Il formalismo matematico della meccanica quantistica...

Il formalismo matematico della meccanica quantistica.Introduzione

Marco Bramanti

Politecnico di Milano

Maggio 2020

Marco Bramanti (Politecnico di Milano) Introduzione Corso PiA Maggio 2020 1 / 11

Alcune tappe della formalizzazione matematica dellameccanica quantistica

La m. q. nasce nel 1925-1926, dopo una gestazione di 25 anni,iniziata nel 1900 con l’ipotesi di Planck di quantizzazione dell’energia(radiazione del corpo nero).

Non ripercorriamo qui le tappe storiche di quei 25 anni (“crisi dellafisica classica”).Vediamo invece alcune tappe della formalizzazione matematica dellameccanica quantistica.Mi baso su:

- G. Israel, A. Millán Gasca: The world as a mathematicalgame. John von Neumann and Twentieth CenturyScience. Birkhauser, 2009.

- J. von Neumann: Mathematical Foundations ofQuantum Mechanics. Princeton University Press, 1955.

- M. Haase: Functional Analysis. A. M. S. 2014.- Stanford Encyclopedia of Phylosophy: Quantum theoryand mathematical rigor. (Online)



La m. q. nasce nel 1925-1926, dopo una gestazione di 25 anni,iniziata nel 1900 con l’ipotesi di Planck di quantizzazione dell’energia(radiazione del corpo nero).Non ripercorriamo qui le tappe storiche di quei 25 anni (“crisi dellafisica classica”).

Vediamo invece alcune tappe della formalizzazione matematica dellameccanica quantistica.Mi baso su:






La m. q. nasce nel 1925-1926, dopo una gestazione di 25 anni,iniziata nel 1900 con l’ipotesi di Planck di quantizzazione dell’energia(radiazione del corpo nero).Non ripercorriamo qui le tappe storiche di quei 25 anni (“crisi dellafisica classica”).Vediamo invece alcune tappe della formalizzazione matematica dellameccanica quantistica.

Mi baso su:






La m. q. nasce nel 1925-1926, dopo una gestazione di 25 anni,iniziata nel 1900 con l’ipotesi di Planck di quantizzazione dell’energia(radiazione del corpo nero).Non ripercorriamo qui le tappe storiche di quei 25 anni (“crisi dellafisica classica”).Vediamo invece alcune tappe della formalizzazione matematica dellameccanica quantistica.Mi baso su:









- M. Haase: Functional Analysis. A. M. S. 2014.

- Stanford Encyclopedia of Phylosophy: Quantum theoryand mathematical rigor. (Online)


Le due teorie del 1925-1926“Meccanica delle matrici”, formulata a Göttingen da WernerHeisenberg, Max Born, Pascual Jordan.

“Meccanica ondulatoria”, formulata da Ernst (o Erwin) Schrödinger(università di Zurigo, poi Berlino).Meccanica delle matrici. Teoria “algebrica”.Il concetto matematico di operatore corrisponde al concetto fisico diosservabile.Gli operatori sono rappresentati da matrici con infinite righe e colonne.Gli stati del sistema sono punti a infinite coordinate {cn}∞

n=1 con∑ |cn |2 < ∞, cioè elementi di `2.Come l’usuale prodotto righe per colonne non è commutativo, così lacomposizione degli operatori non è commutativa.Significato fisico: l’ordine in cui misuriamo due diverse grandezze èimportante......e questo dipende dal principio di indeterminazione di HeisenbergLa corrispondenza tra idea matematica di non commutatività e ideafisica di indeterminazione si deve a Dirac (Cambridge) e Jordan, 1927.


Le due teorie del 1925-1926“Meccanica delle matrici”, formulata a Göttingen da WernerHeisenberg, Max Born, Pascual Jordan.“Meccanica ondulatoria”, formulata da Ernst (o Erwin) Schrödinger(università di Zurigo, poi Berlino).

Meccanica delle matrici. Teoria “algebrica”.Il concetto matematico di operatore corrisponde al concetto fisico diosservabile.Gli operatori sono rappresentati da matrici con infinite righe e colonne.Gli stati del sistema sono punti a infinite coordinate {cn}∞



Le due teorie del 1925-1926“Meccanica delle matrici”, formulata a Göttingen da WernerHeisenberg, Max Born, Pascual Jordan.“Meccanica ondulatoria”, formulata da Ernst (o Erwin) Schrödinger(università di Zurigo, poi Berlino).Meccanica delle matrici. Teoria “algebrica”.

Il concetto matematico di operatore corrisponde al concetto fisico diosservabile.Gli operatori sono rappresentati da matrici con infinite righe e colonne.Gli stati del sistema sono punti a infinite coordinate {cn}∞



Le due teorie del 1925-1926“Meccanica delle matrici”, formulata a Göttingen da WernerHeisenberg, Max Born, Pascual Jordan.“Meccanica ondulatoria”, formulata da Ernst (o Erwin) Schrödinger(università di Zurigo, poi Berlino).Meccanica delle matrici. Teoria “algebrica”.Il concetto matematico di operatore corrisponde al concetto fisico diosservabile.

Gli operatori sono rappresentati da matrici con infinite righe e colonne.Gli stati del sistema sono punti a infinite coordinate {cn}∞



Le due teorie del 1925-1926“Meccanica delle matrici”, formulata a Göttingen da WernerHeisenberg, Max Born, Pascual Jordan.“Meccanica ondulatoria”, formulata da Ernst (o Erwin) Schrödinger(università di Zurigo, poi Berlino).Meccanica delle matrici. Teoria “algebrica”.Il concetto matematico di operatore corrisponde al concetto fisico diosservabile.Gli operatori sono rappresentati da matrici con infinite righe e colonne.

Gli stati del sistema sono punti a infinite coordinate {cn}∞n=1 con

∑ |cn |2 < ∞, cioè elementi di `2.Come l’usuale prodotto righe per colonne non è commutativo, così lacomposizione degli operatori non è commutativa.Significato fisico: l’ordine in cui misuriamo due diverse grandezze èimportante......e questo dipende dal principio di indeterminazione di HeisenbergLa corrispondenza tra idea matematica di non commutatività e ideafisica di indeterminazione si deve a Dirac (Cambridge) e Jordan, 1927.


Le due teorie del 1925-1926“Meccanica delle matrici”, formulata a Göttingen da WernerHeisenberg, Max Born, Pascual Jordan.“Meccanica ondulatoria”, formulata da Ernst (o Erwin) Schrödinger(università di Zurigo, poi Berlino).Meccanica delle matrici. Teoria “algebrica”.Il concetto matematico di operatore corrisponde al concetto fisico diosservabile.Gli operatori sono rappresentati da matrici con infinite righe e colonne.Gli stati del sistema sono punti a infinite coordinate {cn}∞

n=1 con∑ |cn |2 < ∞, cioè elementi di `2.

Come l’usuale prodotto righe per colonne non è commutativo, così lacomposizione degli operatori non è commutativa.Significato fisico: l’ordine in cui misuriamo due diverse grandezze èimportante......e questo dipende dal principio di indeterminazione di HeisenbergLa corrispondenza tra idea matematica di non commutatività e ideafisica di indeterminazione si deve a Dirac (Cambridge) e Jordan, 1927.



n=1 con∑ |cn |2 < ∞, cioè elementi di `2.Come l’usuale prodotto righe per colonne non è commutativo, così lacomposizione degli operatori non è commutativa.

Significato fisico: l’ordine in cui misuriamo due diverse grandezze èimportante......e questo dipende dal principio di indeterminazione di HeisenbergLa corrispondenza tra idea matematica di non commutatività e ideafisica di indeterminazione si deve a Dirac (Cambridge) e Jordan, 1927.



n=1 con∑ |cn |2 < ∞, cioè elementi di `2.Come l’usuale prodotto righe per colonne non è commutativo, così lacomposizione degli operatori non è commutativa.Significato fisico: l’ordine in cui misuriamo due diverse grandezze èimportante...

...e questo dipende dal principio di indeterminazione di HeisenbergLa corrispondenza tra idea matematica di non commutatività e ideafisica di indeterminazione si deve a Dirac (Cambridge) e Jordan, 1927.



n=1 con∑ |cn |2 < ∞, cioè elementi di `2.Come l’usuale prodotto righe per colonne non è commutativo, così lacomposizione degli operatori non è commutativa.Significato fisico: l’ordine in cui misuriamo due diverse grandezze èimportante......e questo dipende dal principio di indeterminazione di Heisenberg

La corrispondenza tra idea matematica di non commutatività e ideafisica di indeterminazione si deve a Dirac (Cambridge) e Jordan, 1927.


Le due teorie del 1925-1926Nella meccanica delle matrici, i livelli energetici sono visti comeautovalori di matrici infinite.

Nella teoria di Schrödinger invece il problema agli autovalori chedetermina i livelli energetici è relativo all’operatore di Schrödinger(differenziale).Le autofunzioni di Schrödinger sono gli stati stazionari, elementi diuno spazio L2 (Rn).Meccanica ondulatoria ↔ spazio di Hilbert “continuo”L2 (Rn)(funzioni a quadrato integrabile).Meccanica delle matrici ↔ spazio di Hilbert “discreto” `2 (successionicon serie dei quadrati convergente).Due teorie, quasi contemporanee, oggettivamente molto diverse,arrivano a previsioni fisiche sostanzialmente uguali e corrette.Il buon senso suggerisce che dovrebbero essere due modi diversi diraccontare la stessa storia......idea supportata dal teorema di Riesz-Fischer, che afferma che glispazi di Hilbert `2 e L2 (Rn) sono tra loro isomorfi.


Le due teorie del 1925-1926Nella meccanica delle matrici, i livelli energetici sono visti comeautovalori di matrici infinite.Nella teoria di Schrödinger invece il problema agli autovalori chedetermina i livelli energetici è relativo all’operatore di Schrödinger(differenziale).

Le autofunzioni di Schrödinger sono gli stati stazionari, elementi diuno spazio L2 (Rn).Meccanica ondulatoria ↔ spazio di Hilbert “continuo”L2 (Rn)(funzioni a quadrato integrabile).Meccanica delle matrici ↔ spazio di Hilbert “discreto” `2 (successionicon serie dei quadrati convergente).Due teorie, quasi contemporanee, oggettivamente molto diverse,arrivano a previsioni fisiche sostanzialmente uguali e corrette.Il buon senso suggerisce che dovrebbero essere due modi diversi diraccontare la stessa storia......idea supportata dal teorema di Riesz-Fischer, che afferma che glispazi di Hilbert `2 e L2 (Rn) sono tra loro isomorfi.


Le due teorie del 1925-1926Nella meccanica delle matrici, i livelli energetici sono visti comeautovalori di matrici infinite.Nella teoria di Schrödinger invece il problema agli autovalori chedetermina i livelli energetici è relativo all’operatore di Schrödinger(differenziale).Le autofunzioni di Schrödinger sono gli stati stazionari, elementi diuno spazio L2 (Rn).

Meccanica ondulatoria ↔ spazio di Hilbert “continuo”L2 (Rn)(funzioni a quadrato integrabile).Meccanica delle matrici ↔ spazio di Hilbert “discreto” `2 (successionicon serie dei quadrati convergente).Due teorie, quasi contemporanee, oggettivamente molto diverse,arrivano a previsioni fisiche sostanzialmente uguali e corrette.Il buon senso suggerisce che dovrebbero essere due modi diversi diraccontare la stessa storia......idea supportata dal teorema di Riesz-Fischer, che afferma che glispazi di Hilbert `2 e L2 (Rn) sono tra loro isomorfi.


Le due teorie del 1925-1926Nella meccanica delle matrici, i livelli energetici sono visti comeautovalori di matrici infinite.Nella teoria di Schrödinger invece il problema agli autovalori chedetermina i livelli energetici è relativo all’operatore di Schrödinger(differenziale).Le autofunzioni di Schrödinger sono gli stati stazionari, elementi diuno spazio L2 (Rn).Meccanica ondulatoria ↔ spazio di Hilbert “continuo”L2 (Rn)(funzioni a quadrato integrabile).

Meccanica delle matrici ↔ spazio di Hilbert “discreto” `2 (successionicon serie dei quadrati convergente).Due teorie, quasi contemporanee, oggettivamente molto diverse,arrivano a previsioni fisiche sostanzialmente uguali e corrette.Il buon senso suggerisce che dovrebbero essere due modi diversi diraccontare la stessa storia......idea supportata dal teorema di Riesz-Fischer, che afferma che glispazi di Hilbert `2 e L2 (Rn) sono tra loro isomorfi.


Le due teorie del 1925-1926Nella meccanica delle matrici, i livelli energetici sono visti comeautovalori di matrici infinite.Nella teoria di Schrödinger invece il problema agli autovalori chedetermina i livelli energetici è relativo all’operatore di Schrödinger(differenziale).Le autofunzioni di Schrödinger sono gli stati stazionari, elementi diuno spazio L2 (Rn).Meccanica ondulatoria ↔ spazio di Hilbert “continuo”L2 (Rn)(funzioni a quadrato integrabile).Meccanica delle matrici ↔ spazio di Hilbert “discreto” `2 (successionicon serie dei quadrati convergente).

Due teorie, quasi contemporanee, oggettivamente molto diverse,arrivano a previsioni fisiche sostanzialmente uguali e corrette.Il buon senso suggerisce che dovrebbero essere due modi diversi diraccontare la stessa storia......idea supportata dal teorema di Riesz-Fischer, che afferma che glispazi di Hilbert `2 e L2 (Rn) sono tra loro isomorfi.


Le due teorie del 1925-1926Nella meccanica delle matrici, i livelli energetici sono visti comeautovalori di matrici infinite.Nella teoria di Schrödinger invece il problema agli autovalori chedetermina i livelli energetici è relativo all’operatore di Schrödinger(differenziale).Le autofunzioni di Schrödinger sono gli stati stazionari, elementi diuno spazio L2 (Rn).Meccanica ondulatoria ↔ spazio di Hilbert “continuo”L2 (Rn)(funzioni a quadrato integrabile).Meccanica delle matrici ↔ spazio di Hilbert “discreto” `2 (successionicon serie dei quadrati convergente).Due teorie, quasi contemporanee, oggettivamente molto diverse,arrivano a previsioni fisiche sostanzialmente uguali e corrette.

Il buon senso suggerisce che dovrebbero essere due modi diversi diraccontare la stessa storia......idea supportata dal teorema di Riesz-Fischer, che afferma che glispazi di Hilbert `2 e L2 (Rn) sono tra loro isomorfi.


Le due teorie del 1925-1926Nella meccanica delle matrici, i livelli energetici sono visti comeautovalori di matrici infinite.Nella teoria di Schrödinger invece il problema agli autovalori chedetermina i livelli energetici è relativo all’operatore di Schrödinger(differenziale).Le autofunzioni di Schrödinger sono gli stati stazionari, elementi diuno spazio L2 (Rn).Meccanica ondulatoria ↔ spazio di Hilbert “continuo”L2 (Rn)(funzioni a quadrato integrabile).Meccanica delle matrici ↔ spazio di Hilbert “discreto” `2 (successionicon serie dei quadrati convergente).Due teorie, quasi contemporanee, oggettivamente molto diverse,arrivano a previsioni fisiche sostanzialmente uguali e corrette.Il buon senso suggerisce che dovrebbero essere due modi diversi diraccontare la stessa storia...

...idea supportata dal teorema di Riesz-Fischer, che afferma che glispazi di Hilbert `2 e L2 (Rn) sono tra loro isomorfi.


Le due teorie del 1925-1926Nella meccanica delle matrici, i livelli energetici sono visti comeautovalori di matrici infinite.Nella teoria di Schrödinger invece il problema agli autovalori chedetermina i livelli energetici è relativo all’operatore di Schrödinger(differenziale).Le autofunzioni di Schrödinger sono gli stati stazionari, elementi diuno spazio L2 (Rn).Meccanica ondulatoria ↔ spazio di Hilbert “continuo”L2 (Rn)(funzioni a quadrato integrabile).Meccanica delle matrici ↔ spazio di Hilbert “discreto” `2 (successionicon serie dei quadrati convergente).Due teorie, quasi contemporanee, oggettivamente molto diverse,arrivano a previsioni fisiche sostanzialmente uguali e corrette.Il buon senso suggerisce che dovrebbero essere due modi diversi diraccontare la stessa storia......idea supportata dal teorema di Riesz-Fischer, che afferma che glispazi di Hilbert `2 e L2 (Rn) sono tra loro isomorfi.


La ricerca di una sintesi / dimostrazione di equivalenza

Dimostrare l’equivalenza logica delle due teorie non è facile.

Il primo a porsi questo problema fu Schrödinger, in un lavoro del 1926.

Invece del nostro L2 (Rn) Schrödinger utilizza lo spazio delle funzionicontinue con norma L2 finita (spazio vettoriale normato noncompleto).

Dirac e Jordan proposero un’altra unificazione delle due teorie, moltoinfluente nell’ambiente dei fisici.

Il testo di Dirac del 1930, “The principles of quantum mechanics”resterà un riferimento autorevole.

Nel 1933 Dirac e Schrödinger condivisero il premio Nobel per la fisica.


Il metodo di Dirac e le critiche di Von NeumannL’idea di Dirac è mostrare l’equivalenza tra la meccanica delle matrici,“discreta”, e la meccanica ondulatoria, “continua”, con un processodi limite che trasforma gli operatori della meccanica delle matrici inoperatori integrali nel continuo, del tipo

Tf (x) =∫k (x , y) f (y) dy .

Questi operatori integrali dovrebbero rappresentare anche l’operatoredi Schrödinger, che è un operatore differenziale.Problema: nessun operatore differenziale si può rappresentare comeoperatore integrale!Infatti gli operatori differenziali sono locali, gli operatori integrali sonoglobali.Dirac aggirò elegantemente il problema introducendo come possibilinuclei integrali k (x , y) le sue “funzioni”delta di Dirac e, peggioancora, derivate di delta di Dirac.Ma la cura è peggio della malattia, infatti...



Tf (x) =∫k (x , y) f (y) dy .

Questi operatori integrali dovrebbero rappresentare anche l’operatoredi Schrödinger, che è un operatore differenziale.

Problema: nessun operatore differenziale si può rappresentare comeoperatore integrale!Infatti gli operatori differenziali sono locali, gli operatori integrali sonoglobali.Dirac aggirò elegantemente il problema introducendo come possibilinuclei integrali k (x , y) le sue “funzioni”delta di Dirac e, peggioancora, derivate di delta di Dirac.Ma la cura è peggio della malattia, infatti...



Tf (x) =∫k (x , y) f (y) dy .

Questi operatori integrali dovrebbero rappresentare anche l’operatoredi Schrödinger, che è un operatore differenziale.Problema: nessun operatore differenziale si può rappresentare comeoperatore integrale!

Infatti gli operatori differenziali sono locali, gli operatori integrali sonoglobali.Dirac aggirò elegantemente il problema introducendo come possibilinuclei integrali k (x , y) le sue “funzioni”delta di Dirac e, peggioancora, derivate di delta di Dirac.Ma la cura è peggio della malattia, infatti...



Tf (x) =∫k (x , y) f (y) dy .

Questi operatori integrali dovrebbero rappresentare anche l’operatoredi Schrödinger, che è un operatore differenziale.Problema: nessun operatore differenziale si può rappresentare comeoperatore integrale!Infatti gli operatori differenziali sono locali, gli operatori integrali sonoglobali.

Dirac aggirò elegantemente il problema introducendo come possibilinuclei integrali k (x , y) le sue “funzioni”delta di Dirac e, peggioancora, derivate di delta di Dirac.Ma la cura è peggio della malattia, infatti...



Tf (x) =∫k (x , y) f (y) dy .

Questi operatori integrali dovrebbero rappresentare anche l’operatoredi Schrödinger, che è un operatore differenziale.Problema: nessun operatore differenziale si può rappresentare comeoperatore integrale!Infatti gli operatori differenziali sono locali, gli operatori integrali sonoglobali.Dirac aggirò elegantemente il problema introducendo come possibilinuclei integrali k (x , y) le sue “funzioni”delta di Dirac e, peggioancora, derivate di delta di Dirac.

Ma la cura è peggio della malattia, infatti...



Tf (x) =∫k (x , y) f (y) dy .

Questi operatori integrali dovrebbero rappresentare anche l’operatoredi Schrödinger, che è un operatore differenziale.Problema: nessun operatore differenziale si può rappresentare comeoperatore integrale!Infatti gli operatori differenziali sono locali, gli operatori integrali sonoglobali.Dirac aggirò elegantemente il problema introducendo come possibilinuclei integrali k (x , y) le sue “funzioni”delta di Dirac e, peggioancora, derivate di delta di Dirac.Ma la cura è peggio della malattia, infatti...


Il metodo di Dirac e le critiche di von Neumann

...solo intorno al 1950 Laurent Schwartz, con la sua teoria delledistribuzioni, darà diritto di cittadinanza a questi oggetti matematici...

...che comunque non consentono di rappresentare operatoridifferenziali con operatori integrali.

La teoria di Dirac dal punto di vista del rigore matematico èsemplicemente un delirio.

Questa è l’analisi lucida e spietata che ne fa Von Neumann.

In quegli anni John von Neumann era a Göttingen, come Heisenberg,Born, Jordan, e Hilbert...


David Hilbert

E’stato il punto di riferimento del movimento matematico che, agliinizi del 1900, ha sostenuto l’utilizzo del metodo assiomatico per farechiarezza sui fondamenti delle varie discipline.

Nel 1899 pubblica i “Fondamenti di Geometria”, il primo dopo 2200anni che osa fare le pulci a Euclide sul rigore matematico.

Nel 1900, al primo congresso internazionale dei matematici, a Parigi,propone i suoi celebri 23 problemi, come sfida alla ricerca matematicadel secolo successivo.

Il 6◦ problema di Hilbert: “assiomatizzare le teorie fisiche”.

Qualcuno lo prese sul serio, ad es. Carathéodory nel 1908 proposeun’assiomatizzazione della termodinamica.

Naturale quindi che von Neumann, interessato a dare un fondamentorigoroso alla m.q., si rivolgesse a Hilbert.

Nel 1927 apparve un paper di von Neumann, Hilbert e Nordheim(fisico), sui fondamenti della m.q.


Chi ha inventato gli spazi di Hilbert?Poi von Neumann prosegue da solo su quella strada, con vari lavorifino al suo trattato del 1932, in cui tra l’altro sviluppa la teoria deglispazi di Hilbert (!)

Hilbert nel 1904-1910 si era occupato di problemi di autovalori eautofunzioni per equazioni integrali.In quell’ambito giocavano un ruolo importante le successioni {xn}∞

n=1

per le quali ∑ |xn |2 < ∞.Erhard Schmidt, allievo di dottorato di Hilbert, riconosce che `2 hauna certa struttura geometrica di ortogonalità, e conia per questospazio il nome di “spazio di Hilbert”.von Neumann definisce la struttura astratta “spazio di Hilbert” comeuno spazio vettoriale normato completo, la cui norma proviene da unprodotto scalare (fin qui, come noi)......e chiede inoltre che lo spazio possieda un s.o.n.c. numerabile{en}∞

n=1. Sotto quest’ipotesi aggiuntiva, lo spazio è sempre isomorfoa `2 (quindi c’è un solo spazio di Hilbert, il che giustifica il singolare).


Chi ha inventato gli spazi di Hilbert?Poi von Neumann prosegue da solo su quella strada, con vari lavorifino al suo trattato del 1932, in cui tra l’altro sviluppa la teoria deglispazi di Hilbert (!)Hilbert nel 1904-1910 si era occupato di problemi di autovalori eautofunzioni per equazioni integrali.

In quell’ambito giocavano un ruolo importante le successioni {xn}∞n=1




Chi ha inventato gli spazi di Hilbert?Poi von Neumann prosegue da solo su quella strada, con vari lavorifino al suo trattato del 1932, in cui tra l’altro sviluppa la teoria deglispazi di Hilbert (!)Hilbert nel 1904-1910 si era occupato di problemi di autovalori eautofunzioni per equazioni integrali.In quell’ambito giocavano un ruolo importante le successioni {xn}∞

n=1

per le quali ∑ |xn |2 < ∞.

Erhard Schmidt, allievo di dottorato di Hilbert, riconosce che `2 hauna certa struttura geometrica di ortogonalità, e conia per questospazio il nome di “spazio di Hilbert”.von Neumann definisce la struttura astratta “spazio di Hilbert” comeuno spazio vettoriale normato completo, la cui norma proviene da unprodotto scalare (fin qui, come noi)......e chiede inoltre che lo spazio possieda un s.o.n.c. numerabile{en}∞




n=1

per le quali ∑ |xn |2 < ∞.Erhard Schmidt, allievo di dottorato di Hilbert, riconosce che `2 hauna certa struttura geometrica di ortogonalità, e conia per questospazio il nome di “spazio di Hilbert”.

von Neumann definisce la struttura astratta “spazio di Hilbert” comeuno spazio vettoriale normato completo, la cui norma proviene da unprodotto scalare (fin qui, come noi)......e chiede inoltre che lo spazio possieda un s.o.n.c. numerabile{en}∞




n=1

per le quali ∑ |xn |2 < ∞.Erhard Schmidt, allievo di dottorato di Hilbert, riconosce che `2 hauna certa struttura geometrica di ortogonalità, e conia per questospazio il nome di “spazio di Hilbert”.von Neumann definisce la struttura astratta “spazio di Hilbert” comeuno spazio vettoriale normato completo, la cui norma proviene da unprodotto scalare (fin qui, come noi)...

...e chiede inoltre che lo spazio possieda un s.o.n.c. numerabile{en}∞




n=1




1932: tre trattati “storici”per l’Analisi Funzionale

von Neumann, 1932: Matematische Grundlagen derQuantenmechanik (Fondamenti Matematici della MeccanicaQuantistica).

E’la prima formalizzazione matematicamente rigorosa dellameccanica quantistica.

ed è l’atto di nascita della teoria degli spazi di Hilbert e deglioperatori lineari non limitati autoaggiunti su spazi di Hilbert.

Analogia con Newton e la nascita della fisica e del calcoloinfinitesimale?

1932: Théorie des Opérations Linéaires di Stefan Banach (polacco):spazi di Banach (“spazi di tipo B”).

1932: Linear Transformations on Hilbert Space, di Marshall Stone(USA): spazi di Hilbert e operatori.


Il trattato di von NeumannCitazione da Israel, Millán Gasca: The world as a mathematical game.John von Neumann and 20th Century Science, 2009:

“Il libro divenne l’esposizione standard dei principi della meccanicaquantistica e il prestigio di von Neumann fu ulteriormente consolidatoquando la sua impostazione si dimostrò capace di render ragione deisuccessivi sviluppi della teoria, come la meccanica quantisticarelativistica e, almeno parzialmente, la teoria quantistica dei campi.La formalizzazione di von Neumann ebbe un’influenza molto piùlimitata sulla pratica di ricerca -la presentazione di Dirac era in effettiusata molto più comunemente tra i fisici nello sviluppo dellameccanica quantistica. In effetti il legame tra fisica teorica ematematica, che era sembrata così solida all’inizio del secolo, siindebolì, con l’aprirsi di un gap, sia psicologico che culturale, che siallargò progressivamente tra le due discipline (Faddeev 1990).E’significativo a questo riguardo che il libro di von Neumann futradotto in Inglese solo nel 1955 -anche se l’edizione originale inTedesco era stata ristampata negli Stati Uniti nel 1943-.


Il trattato di von NeumannCitazione da Israel, Millán Gasca: The world as a mathematical game.John von Neumann and 20th Century Science, 2009:“Il libro divenne l’esposizione standard dei principi della meccanicaquantistica e il prestigio di von Neumann fu ulteriormente consolidatoquando la sua impostazione si dimostrò capace di render ragione deisuccessivi sviluppi della teoria, come la meccanica quantisticarelativistica e, almeno parzialmente, la teoria quantistica dei campi.

La formalizzazione di von Neumann ebbe un’influenza molto piùlimitata sulla pratica di ricerca -la presentazione di Dirac era in effettiusata molto più comunemente tra i fisici nello sviluppo dellameccanica quantistica. In effetti il legame tra fisica teorica ematematica, che era sembrata così solida all’inizio del secolo, siindebolì, con l’aprirsi di un gap, sia psicologico che culturale, che siallargò progressivamente tra le due discipline (Faddeev 1990).E’significativo a questo riguardo che il libro di von Neumann futradotto in Inglese solo nel 1955 -anche se l’edizione originale inTedesco era stata ristampata negli Stati Uniti nel 1943-.


Il trattato di von NeumannCitazione da Israel, Millán Gasca: The world as a mathematical game.John von Neumann and 20th Century Science, 2009:“Il libro divenne l’esposizione standard dei principi della meccanicaquantistica e il prestigio di von Neumann fu ulteriormente consolidatoquando la sua impostazione si dimostrò capace di render ragione deisuccessivi sviluppi della teoria, come la meccanica quantisticarelativistica e, almeno parzialmente, la teoria quantistica dei campi.La formalizzazione di von Neumann ebbe un’influenza molto piùlimitata sulla pratica di ricerca -la presentazione di Dirac era in effettiusata molto più comunemente tra i fisici nello sviluppo dellameccanica quantistica. In effetti il legame tra fisica teorica ematematica, che era sembrata così solida all’inizio del secolo, siindebolì, con l’aprirsi di un gap, sia psicologico che culturale, che siallargò progressivamente tra le due discipline (Faddeev 1990).

E’significativo a questo riguardo che il libro di von Neumann futradotto in Inglese solo nel 1955 -anche se l’edizione originale inTedesco era stata ristampata negli Stati Uniti nel 1943-.


Il trattato di von NeumannCitazione da Israel, Millán Gasca: The world as a mathematical game.John von Neumann and 20th Century Science, 2009:“Il libro divenne l’esposizione standard dei principi della meccanicaquantistica e il prestigio di von Neumann fu ulteriormente consolidatoquando la sua impostazione si dimostrò capace di render ragione deisuccessivi sviluppi della teoria, come la meccanica quantisticarelativistica e, almeno parzialmente, la teoria quantistica dei campi.La formalizzazione di von Neumann ebbe un’influenza molto piùlimitata sulla pratica di ricerca -la presentazione di Dirac era in effettiusata molto più comunemente tra i fisici nello sviluppo dellameccanica quantistica. In effetti il legame tra fisica teorica ematematica, che era sembrata così solida all’inizio del secolo, siindebolì, con l’aprirsi di un gap, sia psicologico che culturale, che siallargò progressivamente tra le due discipline (Faddeev 1990).E’significativo a questo riguardo che il libro di von Neumann futradotto in Inglese solo nel 1955 -anche se l’edizione originale inTedesco era stata ristampata negli Stati Uniti nel 1943-.


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