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Il concetto di vincolo

Analisi cinematica dei vincoli

Strutture isostatiche, ipostatiche e

iperstatiche

Labilità

Obiettivo della lezione: comprendere il concetto di vincolo strutturale e le sue implicazioni di

carattere cinematico, saper computare il numero di gradi di libertà e di gradi di vincolo di una

struttura formata da una o più aste, definire se questa è isostatica, iperstatica o ipostatica e

analizzare alcuni semplici casi di labilità

Movimento di un punto materiale

• Descrivere il movimento di un punto materiale nello spazio, significa

assegnarne la posizione in funzione del tempo rispetto ad un sistema di

riferimento ritenuto fisso

• In un sistema cartesiano ortogonale, ciò equivale ad assegnare i valori di tre parametri, ossia le coordinate x, y, z del punto che ne definiscono la

posizione durante il movimento.

z

x

y

P (x,y,z)

Movimento di un corpo rigido

In modo analogo, per descrivere completamente

il movimento di un corpo rigido nello spazio si

dovrebbe definire, istante per istante, la

posizione di ogni suo punto rispetto al sistema di riferimento

Tuttavia, ricordando che i punti che costituiscono

il corpo rigido mantengono inalterata la distanza

relativa, tale condizione equivale di fatto ad assegnare i valori di sei parametri (nel caso di

corpo libero) che ne definiscono la posizione

durante il movimento

Ad esempio è possibile fornire le coordinate di due punti P1 e P2 del corpo (6 parametri) più

l’angolo di rotazione del corpo attorno all’asse

formato dalla congiungente i due punti (+1

parametro), e ricordando che si ha una relazione che lega la distanza tra i due punti (-1

parametro).

z

x

y

P1 (x1,y1,z1)

P2 (x2,y2,z2)

Un corpo si dice rigido quando la

distanza di due punti qualsiasi del

corpo si mantiene indefinitamente

costante nel tempo

Movimento di un corpo rigido nel piano

Per le nostre trattazioni rivestono particolare interesse i

movimenti dei corpi rigidi nel piano, che richiedono la

conoscenza di solo tre parametri di posizione.

Le coordinate necessarie a definire la posizione del corpo rigido

sono: 2 coordinate dell’origine degli assi locali rispetto agli assi

fissi; 1 parametro angolare che definisce l’orientamento degli

assi locali rispetto agli assi fissi (ad esempio l’angolo θ che forma

l’asse x con l’asse X).

Le tipologie di movimento di un corpo rigido nel piano si possono

così classificare:

1. Traslazione: il corpo si muove in modo tale che tutte le

direzioni rettilinee, individuabili sul corpo, restano parallele a

se stesse durante il moto (es. cabina di ascensore)

2. Rotazione: il corpo si muove in modo tale che un punto

denominato centro della rotazione ha spostamento nullo (es.

trottola con punto P0 fisso).

3. Rototraslazione: il corpo si muove con movimento generico,

ottenuto per sovrapposizione di traslazione e rotazione

Centro di istantanea rotazione (CIR)

Nel moto rigido piano (ovvero nel moto di un corpo

rigido su di un piano) esiste in ogni istante del moto

un punto del piano mobile (ovvero equivalentemente

un punto del corpo rigido) la cui velocità è nulla. Tale punto viene definito centro di istantanea rotazione.

Negli istanti in cui il moto ha carattere traslatorio il

CIR si trova all'infinito nella direzione normale a quella della velocità del moto traslatorio

Nel caso di ruota rotolante e non strisciante, la

rotazione infinitesima attorno al punto di contatto

ruota-piano provoca in ogni punto del corpo rigido

uno spostamento diretto lungo la normale al

segmento congiungente il CIR con i punti

considerati, con grandezza proporzionale alla

distanza dei punti dal centro stesso.

Il CIR è utilizzato anche per definire un movimento

infinitesimo virtuale (consentito dai vincoli).


Nelle strutture gli spostamenti rigidi vengono impediti mediante particolari dispositivi, detti vincoli, che possono essere distinti in esterni ed interni. I vincoli esterni collegano i

tratti della struttura col sistema di riferimento assoluto (mondo esterno) mentre quelli interni collegano due o più tratti tra di loro.

Ai fini delle successive trattazioni, si assumeranno alcune ipotesi sulla natura dei vincoli che

sono considerati puntiformi, perfetti, fissi, bilateri e privi d'attrito.

• Un vincolo si dice perfetto cioè non cedevole, quando è in grado di bloccare

completamente lo spostamento a cui si oppone. La sua azione, quindi, non dipende

dall’entità̀ delle forze agenti

• Puntiforme, se privo di estensione

• Fisso se la sua posizione non dipende dal tempo

• Bilatero quando agisce in una prefissata direzione e impedisce gli spostamenti in

entrambi i versi.

L’azione che il vincolo esplica è inoltre considerata indipendente dalle forze d’attrito.

I vincoli si possono caratterizzare dal punto di vista cinematico, ovvero in relazione agli

spostamenti impediti e permessi, e da quello statico definendo le forze reattive (reazioni vincolari) con le quali vengono annullati determinati gradi di libertà.


Quindi, in definitiva, un vincolo rappresenta di

fatto una condizione che limita il moto di un corpo.

Dal punto di vista cinematico, ricordiamo che nel piano, il corpo rigido ha tre gradi di libertà (GdL) ossia:

• due traslazioni secondo i due assi di

riferimento

• una rotazione intorno ad un asse ortogonale

al piano, e passante per il polo di riferimento

La classificazione cinematica dei vincoli, dipende

quindi dal fatto che essi sopprimano uno, due o

tre gradi di libertà al corpo rigido.

Noi ci occuperemo sempre di corpi rigidi nel piano (3 GdL) o di sistemi di corpi rigidi nel piano (n corpi, 3n GdL).

Simbologia

Il nostro corpo rigido di riferimento è l’asta (o trave). Essa si simboleggia con

un segmento rettilineo (caso più semplice) o di geometria più complessa e

orientato in modo opportuno.

Il vincolo tipicamente è posizionato su

una delle estremità dell’asta o su

entrambe.

Ogni vincolo ha una sua simbologia

peculiare riconosciuta a livello

internazionale

Incastro

Si schematizza il corpo considerato con

un elemento lineare (trave, asta).

Immaginiamo di «bloccare» una delle

due estremità

Il vincolo così ottenuto impedisce qualunque traslazione e la rotazione dell’asta.

Incastro

L’incastro è, quindi, un vincolo triplo

GdL = 3

GdV = 3

GdL residui = 0

Incastro: esempi pratici

Cerniera

Si schematizza il corpo considerato con

un elemento lineare (trave, asta).

Una delle due estremità è libera di

ruotare

Il vincolo così ottenuto impedisce qualunque traslazione dell’asta (ma non la rotazione).

Cerniera tra due aste

La cerniera è quindi un vincolo doppio

GdL = 3

GdV = 2

GdL residui = 1

Cerniera a terra

Cerniera: esempi pratici

Carrello (cerniera con carrello)

Questo vincolo toglie la traslazione al corpo sulla

direzione normale alla sua retta di scorrimento,

consentendo contemporaneamente:

traslazione lungo la retta di scorrimento (rotazione

attorno al punto all’infinito della normale alla retta di

scorrimento);

rotazione attorno al perno della propria cerniera.

Il vincolo così ottenuto impedisce solo la traslazione verticale dell’asta

Il carrello è quindi un vincolo semplice

GdL = 3

GdV = 1

GdL residui = 2

Carrello

Pattino e manicotto

Questi vincoli permettono la traslazione in una direzione ma non la rotazione.

Il pattino si rappresenta come in figura

con una linea parallela al piano di

scorrimento ed un'asta, che può avere

inclinazione libera, ma fissa.

Il manicotto rappresenta il caso in cui

l'inclinazione dell'asta è parallela a quella

del piano di scorrimento: si usa infatti

disegnare una semplice linea che

attraversa due superfici vicine e parallele

(la cui area è tratteggiata se

rappresentano la terra).

Entrambi i vincoli permettono la sola traslazione in una sola direzione e

bloccano sia la traslazione in direzione

ortogonale al vincolo, che la rotazione

dell'asta sul pattino o attorno al manicotto.

Il pattino è quindi un vincolo semplice

GdL = 3

GdV = 2

GdL residui = 1

Pattino

Manicotto

Vincoli su più corpi

Esistono casi in cui il vincolo esplica la sua azione su più corpi uniti tra loro

Se uniamo due aste con un vincolo rigido (incastro interno)

otteniamo un sistema che da due corpi rigidi (6 GdL) si è ridotto ad

un solo corpo rigido (3 GdL), quindi è stato introdotto un vincolo triplo.

La cerniera sopprime due

gradi di libertà

Il pattino sopprime un

grado di libertà

Il carrello sopprime un

grado di libertà

Analisi cinematica dei corpi rigidi

Parlando di singolo corpo rigido, e avendo definito i vincoli semplici che permettono il collegamento con l’esterno, l’analisi cinematica prevede i seguenti passi:

• bilancio tra GdL e GdV (verifica della isostaticità della struttura);

• valutazione eventuale labilità del corpo (spostamenti virtuali infinitesimi permessi).

Un corpo rigido o un sistema di corpi rigidi vincolati tra loro e al mondo esterno può contenere vincoli:

• in numero insufficiente a togliere ogni libertà di movimento (sistema ipostatico);

• in numero strettamente necessario all’obiettivo precedente (sistema isostatico);

• in numero sovrabbondante all’obiettivo precedente (sistema iperstatico).

Il sistema più semplice per effettuare tale valutazione è il conteggio di GdL e GdV e il

successivo confronto

In particolare potremo avere: - GdL > GdV (sistema ipostatico); - GdL = GdV (sistema isostatico); - GdL < GdV (sistema iperstatico).

Analisi cinematica dei corpi rigidi

Nei sistemi ipostatici La determinazione delle reazioni vincolari (ossia dell’effetto del vincolo in termini

di forze in conseguenza dell’applicazione di carichi esterni) e quindi la

determinazione della configurazione di equilibrio sono possibili solo per

determinate configurazioni di forze applicate.

Nei sistemi isostatici (caso di maggior interesse) L’equilibrio è garantito e si possono sempre determinare le reazioni vincolari per

qualunque sistema di forze applicate

Nei sistemi iperstatici L’equilibrio è garantito e si possono sempre determinare le reazioni vincolari per

qualunque sistema di forze applicate a patto che si considerino anche le

deformazioni della struttura e non solo le equazioni cardinali della statica. In

seguito si vedrà che la risoluzione delle strutture iperstatiche si basa su un

doppio studio: equilibrio e deformazione

Esempio 1

Esempio 1

Consideriamo il singolo corpo rigido (asta

semplice) in figura.

Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.

GdL: asta semplice = 3GdL

GdV: due carrelli = 2 • (1 vincolo) = 2GdV

3 > 2, GdL > GdV

Il sistema è ipostatico

Esempio 2

Esempio 2

3 = 3, GdL = GdV

Il sistema è isostatico

In questo caso l’asta è vincolata alle due estremità con:

Carrello (sinistra) = 1 GdV

Cerniera (destra) = 2 GdV


GdL: asta semplice = 3 GdL

GdV: 1 (carrello) + 2 (cerniera) = 3 GdV

Esempio 3

Esempio 3

3 = 3, GdL = GdV


Trave incastrata ad una delle estremità. L’altro estremo è libero

Incastro = 3 GdV



GdV: incastro = 3 GdV

Esempio 4

Esempio 4

3 < 4, GdL < GdV

Il sistema è 1 volta iperstatico

In questo caso abbiamo una trave che è vincolata ad entrambi gli estremi. A sinistra è

presente un incastro e a destra un carrello

Incastro (sinistra) = 3 GdV

Carrello (destra) = 1 GdV



GdV: incastro + carrello = 3 +1 = 4 GdV

Esempio 5

Esempio 5

3 < 5, GdL < GdV

Il sistema è 2 volte iperstatico

In questo caso abbiamo una trave che è vincolata ad entrambi gli estremi. A sinistra è

presente un incastro e a destra una cerniera


Cerniera (destra) = 2 GdV



GdV: incastro + cerniera = 3 + 2 = 5 GdV

Esempio 6

Esempio 6

3 < 6, GdL < GdV

Il sistema è 3 volte iperstatico

In questo caso abbiamo una trave che è vincolata ad entrambe le estremità con un

incastro (trave doppiamente incastrata)





GdV: incastro + incastro = 3 + 3 = 6 GdV

Vincoli efficaci e non efficaci

La valutazione del rapporto tra gradi di libertà e gradi di vincolo di una struttura deve tenere

conto anche della reale efficacia dei vincoli. Si parla di vincolo “non efficace” o “inefficace” riferendosi ad un vincolo che, se aggiunto ad una situazione esistente, non è

in grado di alterare la stabilità della struttura

Esempio: Consideriamo il singolo corpo rigido (asta semplice) in figura.


GdL: asta semplice = 3GdL

GdV: due carrelli = 2 • (1 vincolo) = 2GdV


Aggiungiamo un terzo vincolo semplice Il bilancio ora lascerebbe pensare ad una

struttura isostatica….ma è realmente così?

Quali possibilità di movimento ha l’asta?

Sistemi complessi (o articolati)

Nella pratica costruttiva spesso si ha a che fare con sistemi cosiddetti articolati che sono costituiti da più aste collegate tra loro mediante vincoli interni ed esterni

Esempio: telaio

1

2

3


Nella pratica costruttiva spesso si ha a che fare con sistemi cosiddetti articolati che sono costituiti da più aste collegate tra loro mediante vincoli interni ed esterni

Esempio 1

2

3 4


I sistemi articolati sono costituiti da più aste collegate tra loro mediante vincoli

interni ed esterni

Esempio 1

2

3 4

Le aste 1 e 2, pur non essendo rettilinee, sono da

considerarsi come un unico corpo perché, presi due

punti qualsiasi, essi non possono mutare la loro

distanza


GdL degli n corpi liberi (aste) = 3•n

GdL residui = n (1 rotazione per ogni asta)

GdV = 3••••n – n = 2••••n

GdL degli n corpi liberi (aste) = 3•n

GdL residui = n +1 (1 rotazione per ogni

asta + la traslazione del carrello)

GdV = 3••••n – (n+1) = 3••••n-n-1 = 2n -1

Nei sistemi articolati, il computo dei gradi di vincolo deve tenere conto delle aste

concorrenti sul vincolo e delle residue possibilità di movimento

Sistemi complessi

Il calcolo è differente a seconda che si abbia a che fare con vincoli “a terra” o vincoli “interni”

Vincoli a terra

Vincoli interni

Esempio 7

Esempio 7

9 < 10, GdL < GdV

Il sistema è iperstatico


GdL: 3 aste = 3 • 3 = 9 GdL

GdV: 2+2+2+2+2 = 10 GdV

Cerniera interna GdV = 2•n -2 = 2•2 -2 = 4-2 = 2

Cerniera a terra GdV = 2•n = 2•1 = 2




Esempio 8

Esempio 8

9 = 9, GdL = GdV



GdL: 3 aste = 3 • 3 = 9 GdL

GdV: 2+4+1+2 = 9 GdV

Cerniera a terra GdV = 2

Pattino a terra GdV = 2


Carrello a terra GdV = 1

Esempio 9

Esempio 9

9 = 9, GdL = GdV



GdL: 3 aste = 3 • 3 = 9 GdL

GdV: 2+2+3+2 = 9 GdV

Pattino a terra GdV = 2

Carrello a terra GdV = 2•n -1 = 2•2 -1 = 4-1 = 3



Esempio 10

Esempio 10

15 = 15, GdL = GdV



GdL: 5 aste = 5 • 3 = 15 GdL

GdV: 4+5+2+4 = 15 GdV

1 2

3

4

5




Carrello a terra GdV = 2•n -1 = 2•3 -1 = 6-1 = 5

Esempio 11

Esempio 11

6 > 4, GdL > GdV



GdL: 2 aste = 2 • 3 = 6 GdL

GdV: 2+2 = 4 GdV

In particolare rimangono due libertà di movimento possibili: 1. la rotazione di tutto il sistema attorno alla cerniera fissa

2. la rotazione relativa dell’asta 2 rispetto alla cerniera interna.

1

2



Esempio 12

Esempio 12


GdL: 4 aste = 4 • 3 = 12 GdL

GdV: 1+1+2+2+2+2 = 10 GdV

1

2

3

4







12 > 10, GdL > GdV


Esempio 13

Esempio 13


GdL: 3 aste = 3 • 3 = 9 GdL

GdV: 2+2+2+2 = 8 GdV

1

2

3




9 > 8, GdL > GdV



Esempio 14

Esempio 14


GdL: 4 aste = 3 • 4 = 12 GdL

GdV: 3+2+2+2+1+2 = 12 GdV

12 = 12, GdL = GdV


1

2

3

4

Incastro GdV = 3



Pattino interno GdV = 3•n -4 = 3•2 -4 = 6-4 = 2

Pattino interno GdV = 3•n -4 = 3•2 -4 = 6-4 = 2

Carrello interno GdV = 2•n -3 = 2•2 -3 = 4-3 = 1

Esempio 15

Esempio 15


GdL: 7 aste = 3 • 7 = 21 GdL

GdV: 4+4+4+4+6 = 22 GdV

21 < 22, GdL < GdV

Il sistema è 1 volta iperstatico

3 1

2

4 5

6 7






Esempio 16

Infine va ricordato che il caso di un anello chiuso

• L’anello chiuso può essere immaginato come un’asta ripiegata su sè stessa e i cui lembi

vengono saldati tra loro

• L’asta chiusa si definisce «internamente ipervincolata» e il grado di vincolo in eccesso è

pari a 3

• I tre vincoli interni aggiuntivi possono essere rimossi (ad esempio con un taglio nella

struttura), senza modificarne l’ equilibrio.

Strutture labili

La condizione di uguaglianza tra GdL e GdV è una condizione necessaria ma non sufficiente affinchè la struttura sia in equilibrio

Infatti deve essere impedita ogni sua possibile mobilità, anche solo virtuale Negli esempi riportati nelle figure sottostanti, il numero di GdV eguaglia quello dei GdL ma

esiste la possibilità di movimenti rigidi.


Manicotto GdV = 2

Incastro GdV = 3



GdL = GdV = 6

GdL = GdV = 3

Strutture labili

• Il caso più frequente di labilità riguarda però la possibilità di eseguire movimenti virtuali

infinitesimi consentiti dai vincoli

• Una tipica esemplificazione di questa condizione è riscontrabile nella struttura in figura

(trave con vincolo cerniera – carrello mal disposto).

• Il CIR si trova nella cerniera a terra

GdL = GdV = 3

Arco a tre cerniere

• Un caso molto frequente di struttura semplice isostatica è l’arco a tre cerniere




GdL: 2 aste = 3 • 2 = 6 GdL

GdV: 2+2+2 = 6 GdV Il sistema è isostatico

Arco a tre cerniere labile

• L’asta AB può ruotare rispetto all’asta BC attorno ad un punto qualsiasi che sta sulla

retta congiungente i punti B e C

• In particolare l’asta AB può ruotare attorno al punto A, che è anche il movimento

permesso dal vincolo a terra della stessa asta.

• Si ha labilità ogniqualvolta tre articolazioni (cerniere) sono allineate



A C

B

Altri casi di labilità

• Nel caso precedente abbiamo visto che la labilità della struttura era causata da una

errata disposizione dei vincoli

• Tuttavia può capitare che la labilità sia originata anche da una cattiva disposizione delle aste

2

2 2

2 4

2 4

6

GdL = 24 GdV = 24


Altri casi di labilità

• Nel caso precedente abbiamo visto che la labilità della struttura era causata da una

errata disposizione dei vincoli

• Tuttavia può capitare che la labilità sia originata anche da una cattiva disposizione delle

aste

Parallelogramma articolato

2

2 2

2

2 2

6 6

GdL = 24 GdV = 24


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