Il concetto di funzione tra XVIII e XIX secolo · 1.1 Che cosa intendiamo oggi per funzione. . . ....

Il concetto di funzione

tra XVIII e XIX secolo

Giacomo Lazzaro

A.A.2012-2013

Indice

Introduzione i

0.1 Perchè non parliamo di analisi �in generale� . . . . . . . . . . . . ii0.2 Perchè parliamo del concetto di funzione . . . . . . . . . . . . . . iii0.3 Attenzioni e disattenzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii0.4 Organizzazione del testo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

1 Introduzione storica 1

1.1 Che cosa intendiamo oggi per funzione. . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Tracce nella storia della matematica . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Situazione nel secolo diciottesimo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Origini del termine di funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Eulero e l'analisi 13

2.1 Biogra�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Contributi in analisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 De�nizione di funzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Il problema della corda vibrante 19

3.1 Tentativi di soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Mutamenti nel concetto di funzione 27

4.1 Arbogast (1759 - 1803) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2 Condorcet (1734 -1794) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3 Lagrange (1736-1813) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5 Inizi XIX secolo: Fourier 33

5.1 Professione matematico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2 Le Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.3 Le concezioni in Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6 Nuovi punti di vista 37

6.1 Abel: questioni aperte all'inizio del secolo . . . . . . . . . . . . . 376.2 Il Cours d'Analyse di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.3 Dirichlet e la convergenza delle serie di Fourier . . . . . . . . . . 41

7 L'Aritmetizzazione dell'analisi e conclusioni 45

Indice Indice

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Introduzione

La presente relazione è la risistemazione di alcuni appunti di una lezione te-nuta nell'ambito del corso di �Matematiche Elementari da un Punto di Vi-sta Superiore� dell'anno accademico 2012/2013 al Dipartimento di Matematicadell'Università degli studi di Padova.

L'argomento trattato riguarda la storia del concetto di funzione da Eulero aWeierstrass, con un attenzione particolare ad inserire questo tema nell'ambitopiù generale dell'analisi matematica di quel periodo. Inoltre si è cercato diinserire questo tema all'interno dell'evoluzione storica dei concetti legati a quellodi funzione.

Questo elaborato è destinato principalmente alla lettura critica degli studentidel corso. Tuttavia può risultare di interesse anche per uno studente e/o docentedi matematica, e per quanti sono appassionati di storia (delle concezioni) dellamatematica, storia della scienza e �loso�a della scienza.

Spero inoltre che questo testo possa essere utile agli studenti che seguirannoil corso di Matematiche Elementari nei prossimi anni: che sia punto di partenzaper una ri�essione riguardante gli stessi temi ed, auspicabilmente, oggetto dicorrezione, revisione e approfondimento.

Chiunque leggerà questo testo è invitato a condividere con l'autore le proprieimpressioni, con il �ne di migliorare la scelta dei contenuti della relazione, lostile di presentazione, l'aggiunta di osservazioni, esempi, esercizi o altro ancora.

In questo capitolo di introduzione vogliamo:

• Dare alcune motivazioni per la scelta dell'argomento nell'ambito di uncorso di Matematiche Elementari in cui si voglia raccontare una storiadelle concezioni in matematica. In questo senso vedremo che, per ragionidi semplicità di esposizione, sarà necessario scegliere un argomento piùristretto dell'analisi dell'Ottocento.

• Motivare la scelta del concetto di funzione come �lo conduttore storicoper un'analisi delle concezioni in analisi matematica tra il diciottesimo edil diciannovesimo secolo.

• Dare qualche informazione pratica per l'utilizzo di questo testo: dichia-riamo cioè le fonti maggiori dal quale è tratto il materiale, e dichiariamomancanze e disattenzioni che si sono avute e che non si ha avuto modo diriparare.

• Presentare la struttura di questa relazione, indicando capitolo per capitologli argomenti trattati.

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0.1. Perchè non parliamo di analisi �in generale� 0. Introduzione

0.1 Perchè non parliamo di analisi �in generale�

Prima di motivare la scelta del concetto di funzione come �lo conduttore diquesta relazione, vogliamo motivare anche la non-scelta di parlare generalmentedi analisi matematica nell'Ottocento.

L'analisi rappresenta certamente una delle aree più importanti e più estese nellamatematica odierna. Nonostante questo fatto, contrariamente a quanto ci sipotrebbe aspettare, la sua nascita come branca indipendente della matematicaè piuttosto recente situandosi a cavallo tra il diciasettesimo ed il diciottesimosecolo. Da allora il suo sviluppo è stato rapidissimo. Tra le ragioni che spieganoquesto successo vi sono senz'altro le seguenti: 1:

1. la generalità del punto di vista analitico ha consentito di far con�uirenell'analisi una grande mole di risultati e di idee già sviluppate in passato.In questo senso alla sua nascita l'analisi non era un �nuovo mondo tuttoda esplorare� (come, ad esempio, quello delle geometrie non euclidee), mapiuttosto una torre dalla quale osservare il cammino intrapreso �no adallora 2

2. la potenza degli strumenti dell'analisi ha stimolato da subito una lororapida di�usione, non solo in ambito teorico ma anche (e soprattutto) inambito applicativo, come in problemi di �sica o ingegneristici.

Questo rapido sviluppo ha contribuito a far sì che nel diciannovesimo secolola produzione di matematica è stata maggiore rispetto a quella di tutti secoliprecedenti.

Sulla base delle poche osservazioni fatte, ci risulta evidente la di�coltà di orga-nizzare un discorso sul complesso dell'analisi matematica in un periodo storicoche abbracci più di un secolo e mezzo di storia e che renda giustizia alla quan-tità di risultati prodotti, alle motivazioni storiche (esterne ed interne) del suosviluppo e alla necessità di dare ragione dell'evoluzione delle concezioni.

Tale progetto necessiterebbe lo spazio di un manuale più che di una relazione,e ci sembra piuttosto concreto il rischio di scadere nella compilazione di unsemplice elenco di date, teoremi, personaggi, fatti storici, titoli di articoli inlatino... eccetera, il che non ha nulla a che fare con il nostro intento.

Oltre a questo, pur riuscendo nell' impresa di riordino delle tappe fonda-mentali dell'analisi matematica tra il diciottesimo ed il diciannovesimo secolo,il risultato che si otterebbe sarebbe probabilmente un testo o troppo prolissoo irrimediabilmente super�ciale, che non consentirebbe di avere un'idea delleconcezioni che stanno alla base dello sviluppo reale dell'analisi.

Per queste ragioni abbiamo ritenuto necessario scegliere un altro punto divista più ristretto, che consentisse, da una parte, di evidenziare una qualcheevoluzione delle concezioni nella storia dell'analisi, e, dell'altra, di toccare, anchese non in maniera esaustiva, alcuni dei temi e dei risultati salienti di questabranca della matematica nel periodo considerato.

1Sarebbe una ricerca interessante quella riguardante le motivazioni storiche e culturali chehanno favorito un così rapido sviluppo dell'analisi.

2A proposito della capacità di inglobare problemi e questioni di�erenti, è interessante notareche il termine �analistà� aveva nell'Ottocento una connotazione ancora più ampia di quelloche avrebbe oggi, annettendo in questa materia anche argomenti (come, per esempio, la teoriadelle funzioni ellittiche abeliane) che oggi non sono considerati prettamente di analisi. (vedi[3], p.16).

ii

0.2. Perchè parliamo del concetto di funzione 0. Introduzione

0.2 Perchè parliamo del concetto di funzione

Siamo ora pronti a motivare la scelta del concetto di funzione come tema condut-tore di una lezione all'interno di un corso riguardante la storia delle concezioniin matematica.

L'esplicitazione di concetto di funzione all'inizio del diciottesimo secolo rappre-senta di fatto il momento chiave per la nascita dell'analisi matematica: taleevento corrisponde al riconoscimento delle �funzioni� come l'oggetto di studioproprio dell'analisi 3. Si ha così che alle diverse concezioni del termine di �fun-zione� corrisponde un'evoluzione della concezione dell'intera analisi. E' per que-sta ragione che ci sembra sensato scegliere il concetto di funzione come temaconduttore di questa relazione.

Tale scelta ci permetterà di seguire un tragitto, da un lato, su�cientementeben limitato da non essere dispersivo o super�ciale (almeno così ci auguria-mo!), dall'altro, non così ristretto da apparire slegato dagli altri temi principalidell'analisi matematica �no alla �ne del diciannovesimo secolo.

Vedremo che il problema di de�nire in maniera adeguata il concetto di funzio-ne ci consentirà di citare alcuni dei risultati più importanti dell'analisi, nonchèfare alcune ri�essioni e/o collegamenti con alcuni temi di interesse indipendentequali il concetto di rigore in matematica, il legame della matematica con il mon-do delle applicazioni, il problema dell'in�nito potenziale e dell'in�nito attuale,il problema di de�nire il continuo, la tensione verso l'aritmetizzazione.

0.3 Attenzioni e disattenzioni

Raccogliamo in questo paragrafo alcune osservazioni sul modo in cui abbiamoproceduto nel raccogliere ed assemblare i contenuti di questo testo. Dichiara-riamo da subito le attenzioni avute nella redazione, e, purtroppo, alcune dellenumerose disattenzioni presenti.

Lo spirito con cui tale lavoro è stato stilato è quello di riportare in un unicotesto alcune nozioni tratte da alcuni testi di storia della matematica, in par-ticolare del testo Storia della Matematica di Carl Boyer e Il Calcolo Sublimedi Umberto Bottazzini. Tuttavia vi è grande quantità di materiale disponibilesull'argomento, così sono riportate in bibliogra�a anche altre fonti che a lorovolta rimandano ad altre fonti, che a loro volta rimandano ad altre fonti... ecosì via.

Per mancanza di tempo, in questo testo mancano riferimenti ad autori e pro-blematiche che sarebbero importanti per un discorso realmente panoramico sullastoria del concetto di funzione. Nel testo abbiamo inserito spunti per ricerche ul-teriori che potrebbero fungere da miglioria o semplicemente da approfondimento.Oltre a questi, il testo potrebbe essere integrato con:

• un'analisi accurata del rapporto tra gli eventi storici e l'evoluzione delleconcezioni in analisi matematica;

• un capitolo sull'opera di B. Bolzano;

• un capitolo relativo all'analisi complessa;

3Così Boyer in [2]: �il termine essenziale dell'analisi è quello di funzione� (cap.25, par.1).

iii

0.4. Organizzazione del testo 0. Introduzione

• un capitolo sulla teoria delle funzioni di Weierstrass;

• esempi ed esercizi che possano essere integrativi alle spiegazioni;

• altro;

Ovviamente queste proposte non concludono le integrazioni plausibili, quindirimandiamo ai lettori il completamento dell'elenco.

Essendo questo testo la revisione dei contenuti esposti in una lezione, abbiamoscelto di non discostarci troppo da tali contenuti. Le uniche eccezioni riguardanoil capitolo dedicato all'introduzione storica dell'argomento, ed eventualmente aqualche osservazione o nota a più pagina.

0.4 Organizzazione del testo

In seguito parleremo della storia del concetto di funzione nel periodo storicoche va dall'inizio del diciottesimo secolo alla seconda metà del diciannovesimosecolo.

• Nel primo capitolo diamo alcune indicazioni sulla storia della mate-matica che precede il diciottesimo secolo. Cerchiamo di individuare lacomparsa di concetti ed idee assimilabili a quella odierna di funzione.Elenchiamo i primi tentativi di de�nire il termine �funzione�.

• Nel secondo capitolo presentiamo l'opera di Eulero prestando atten-zione alla sua de�nizione di funzione, di funzione continua, discontinua,trascendente ed algebrica.

• Nel terzo capitolo raccogliamo alcune soluzioni ed osservazioni al pro-blema della corda vibrante. Vediamo come questo sia un esempio di appli-cazione che rivela l'inadeguatezza della de�nizione di Eulero di �funzione�.

• Nel quarto capitolo presentiamo la situazione dell'analisi matematicaagli inizi del diciannovesimo secolo, riportando le diverse reazioni in seguitoalla polemica riguardante il problema della corda vibrante.

• Nel quinto capitolo parliamo del problema della rappresentabilità in se-rie trigonometriche di funzioni. Con questo esempio di applicazione si vedequanto la �sica matematica, e più in generale le applicazioni, costituisconouna spinta fondamentale per gli sviluppi in analisi.

• Nel sesto capitolo parliamo della riorganizzazione dei concetti chiavedell'analisi matematica da parte di Cauchy come risposta alla necessità dirinnovare l'impianto dei fondamenti dell'analisi.

• Al termine del testo introduciamo il processo di �aritmetizzazione dell'a-nalisi� e facciamo alcune considerazioni.

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Capitolo 1

Introduzione storica

In questo capitolo diamo alcune coordinate storiche con qualche commentoper comprendere il contesto matematico nel quale nascono i primi tentatividi esplicitare il concetto di funzione e, più in generale, in cui nasce l'analisi.

Ci interesserà fare una distinzione tra il concetto di funzione come lo co-nosciamo oggi e le idee intuitive ad esso legate, al �ne di non confonderli nelseguito del testo.

Dopodichè saremo pronti a descrivere il panorama matematico a cavallo trail diciassettesimo ed il diciottesimo secolo e ad introdurre le prime de�nizioni difunzione.

Riteniamo importante questa distinzione per evitare il pregiudizio spessopresente del leggere la storia della matematica con le lenti della matematicaodierna ed in particolare con la logica della teoria degli insiemi. Cercheremoda questo punto di vista di sottolineare l'importanza di staccarsi da questopregiudizio per comprendere più a fondo l'evoluzione reale dei concetti e nonquella deformata da una loro interpretazione �insiemistica�.

Organizziamo il capitolo come segue:

• Nella prima sezione tratteremo dell'idea del concetto di funzione in re-lazione alle idee intuitive di base che ne hanno segnato l'evoluzione benprima di una sua de�nizione esplicita. Cerchiamo di proporre un punto divista diverso da quello indotto dalla teoria degli insiemi.

• Nella seconda sezione facciamo un elenco di alcune tappe storiche che han-no segnato le concezioni legate alle idee intuitive di funzione: osserveremola presenza di queste idee in tutta la storia della matematica. Vedre-mo inoltre il modo in cui il calcolo in�nitesimale fornisce uno strumentopotentissimo per la trattazione di problemi e applicazioni �no ad alloraconsiderati indipendenti.

• Nella terza sezione proviamo a dare uno sguardo più approfondito sulsecolo diciottesimo e sulla situazione storico/matematica che ha portatoalle prime de�nizioni del concetto di funzione.

• Nella quarta sezione vediamo i primi tentativi di de�nizione del concettodi funzione dovuti a Leibniz e Bernoulli.

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1.1. Che cosa intendiamo oggi per funzione. 1. Introduzione storica

1.1 Che cosa intendiamo oggi per funzione.

Nel primo libro degli Elements de mathematique di Bourbaki dedicato allestrutture fondamentali dell'Analisi, viene così de�nito il termine �funzione�:

�Siano E e F due insiemi distinti o no. Una relazione tra una varia-bile x di E e una variabile y di F è detta relazione funzionale in y, orelazione funzionale di E verso F , se, qualunque sia x ∈ E, esiste unelemento y di F ed uno solo, che stia nella relazione considerata conx. Si dà il nome di funzione all'operazione che associa così ad ognielemnto x ∈ E l'elemento y di F che si trova nella relazione datacon x; si dice che y è il valore della funzione per l'elemento x e che lafunzione è determinata dalla relazione funzionale considerata. Duerelazioni funzionali equivalenti determinano la stessa funzione.�

Le de�nizioni più recenti, come per esempio quelle di Dieudonnè del 1969(in [4]) o di Kolmogorov e Fomine del 1974 (in [5]), non si discostano nellasostanza da quella data da Bourbaki: le funzioni vengono generalmente intesecome sottoinsiemi degli elementi di un prodotto cartesiano. Anche il punto divista assunto dagli autori dei libri di testo per le scuole superiori e per i corsiuniversitari odierni non è troppo dissimile, in genere, da quello presentato 1.

L'ampia di�usione della de�nizione del concetto di funzione nell'ambito dellateoria degli insiemi non ci deve far pensare che il dibattito sul chiarimento ditale concetto sia concluso. Se da un lato, infatti, la de�nizione bourbakista hal'indubbio merito, almeno in ambito didattico, di essere un valido compromessotra le esigenze di contenuto e la semplicità di presentazione, dall'altro la praticamatematica ha messo in luce come tale de�nizione non sia del tutto soddisfacen-te, rendendo necessarie ulteriori generalizzazioni della de�nizione di funzione,anche in sistemi assiomatici diversi da quello della teoria degli insiemi 2.

Questo fatto mostra così che il processo di chiarimento del concetto di fun-zione sia tuttora in corso, e che la domanda su che cosa signi�chi oggi il termine�funzione� non ha una risposta univova. I motivi per cui risulta di�cile la ri-duzione ad un'unica de�nizione formale dei concetti intuitivi a cui il termine�funzione� si collega sono da ricercare nella varietà della natura di questi con-cetti. Sfogliando, ad esempio, un qualunque libro di storia della matematicapossiamo rintracciare la presenza delle seguenti idee �intuitive� di come si èinteso ciò che oggi chiamiamo �funzione� 3:

• Una funzione è una formula di x.

• La variabile y è una funzione della variabile x quando è data una regolache ad ogni valore di x produce un corrispondente valore di y.

1Si veda per esempio [6] e i riferimenti alla bibliogra�a.2In [6], C. Marchini fa un elenco di alcune generalizzazioni del concetto di funzione nella

storia matematica recente: si pensi ad esempio alla teoria delle categorie, le distribuzioni,o il concetto di funzione ricorsiva. Ai �ni della tesi che vogliamo sostenere, è importantesottolineare che tali generalizzazioni non sono dettate da un gusto di astrazione o di estensionedei termini dell'analisi ma sono spesso dettate da esigenze concrete relative a problemi internied esterni alla matematica (vedi [3], p.20).

3L'elenco che riportiamo è tratta da [7]. I termini in corsivo nell'elenco si rifanno ai con-cetti intuitivi che vogliamo sottolineare: quello di formula, regola di corrispondenza, gra�co,dipendenza, tavola di valori, oggetto sintattico.

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1.1. Che cosa intendiamo oggi per funzione. 1. Introduzione storica

Figura 1.1. Da destra verso sinistra: il gruppo Bourbaki, Jean Dieudonne,Andrej Nikolaevi£ Kolmogorov e Saunders Mac Lane.

• Una funzione è una curva nel piano (x, y) tale che ogni linea verticaleintersechi la curva in un solo punto.

• La quantità y è funzione della quantità x quando y dipende da x.

• Una funzione è determinata da una tavola di valori che associa ad ognivalore assunto da x un valore assunto da y.

• Una funzione f di un insieme in un altro insieme è un simbolo f tale cheogni volta che il termine x sta per un elemento di X allora il simbolo fxsta per un elemento di Y che è il valore della funzione in x.

Ancor oggi alcuni studi mostrano che tali concezioni di�erenti del concetto difunzione sono rintracciabili, in maniera più o meno velata, anche nei libri ditesto adottati nelle scuole secondarie 4.

In quest'ottica, la formulazione del concetto di funzione in termini di teoriadegli insiemi, nel tentativo di chiarire singolarmente i termini di applicazione,relazione, corrispondenza, gra�co, perde il bagaglio di idee di base che hannoguidato le concezioni del concetto di funzione nella storia.

E' in questo senso quindi che non possiamo considerare la de�nizione bour-bakista come il riferimento assoluto da tenere a mente per un'analisi critica delleconcezioni del concetto di funzione nella storia della matematica.

Per queste ragioni, prima di parlare di storia del concetto di funzione, ènecessario liberarsi dal punto di vista che presuppone la teoria degli insiemi,evitando di leggere la storia deformata dalle lenti dell'impianto della matematicaodierna, sforzandosi di seguire lo sviluppo reale delle concezioni. 5.

4Per qualche riferimento vedi la bibliogra�a di [6]. In particolare il testo in [8]5A questo proposito Bottazzini scrive:

�Se si vuole cercare di comprendere la dimanica dello sviluppo reale della ma-tematica, è essenziale sottolineare la speci�cità dei contesti e delle motivazio-ni, i mutamenti di punti di vista, le contraddizioni, le generalizzazioni e legiustapposizioni delle teorie� ([3], p. 12)

E ancora si esprime riguardo al rischio del mantenere un punto di vista �bourbakista�:

�[Un punto di vista assai di�uso] è quello di intendere lo sviluppo della matema-tica come una sorta di �commedia degli errori� che ha �nalmente emendato séstessa trovando un esito de�nitivo e rigoroso solo nei tempi più recenti. L'esem-pio più noto [...] è forse costituito [...] dagli Elementi di storia della matematicadi Bourbaki (1960) [...]. Qui il divenire della matematica è visto come attraversoun imbuto: tutto lo sviluppo precedente deve passare attraverso il collo strettodelle �strutture� bourbakiste.� ([3], p. 11)

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1.2. Tracce nella storia della matematica 1. Introduzione storica

In altre parole se la formulazione in termini insiemistici rappresenta unatappa fondamentale del dibattito sulla de�nizione concetto di funzione iniziatoagli inizi del diciottesimo secolo, è indispensabile che il lettore non lo consideraricome il punto di arrivo a cui tendere o il punto di vista dal quale �è lecitovalutare� le altre concezioni e de�nizioni di funzione che si sono a�ermate nellastoria.

Un valido esercizio al �ne di liberarsi da questo pregiudizio spesso insito nelnostro modo di leggere la storia potrebbe essere quello di rintracciare le idee in-tuitive sopra elencate nelle de�nizioni e nelle spiegazioni dei propri libri di testo,o anche nelle concezioni che presenteremo nel seguito della relazione a partiredal prossimo paragrafo. Ci si convincerà in breve tempo che le varie propostedi de�nizione del concetto di funzione non sono una sorta di percorso linearefatto di successivi miglioramenti, precisazioni e generalizzazioni, �nalizzate allacostituzione di una moderna de�nizione, ma piuttosto traduzioni più o menoformali di idee che nascono, si perdono, si intrecciano e si confondono, e chetraggono origine da attività ed intaressi, matematici e non, di�erenti.

1.2 Tracce nella storia della matematica

Per comprendere appieno le novità introdotte dal lavoro degli analisti del XVII eXVIII secolo è necessario ripercorrere alcune tappe ravvisabili nella storia dellamatematica dei secoli precedenti. Vogliamo in particolare raccogliere un elencodi alcuni fatti e personaggi che ci permetta di capire quali siano stati i passaggiche hanno portato all'introduzione esplicita del concetto di funzione.

Per far questo sottolineiamo alcune tappe (senza alcuna pretesa di esausti-vità) in cui si presentano nella storia delle concezioni alcune idee che sarannofondamentali per lo sviluppo dell'analisi e della matematica in genere nel periodoche va dal diciottesimo al diciannovesimo secolo 6.

• In Mesopotamia sono state ritrovate tavolette risalenti al periodo che vadal XVII sec.a.C. al VII sec.a.C. che raccolgono tavole di moltiplicazio-ne, tavole di reciproci e tavole di quatrati, cubi, radici quadrate, cubiche,redatte nella notazione sessaggesimale cuneiforme. Allo stesso periodo ri-salgono tavolette con tabelle contententi potenze successive di un numero,tavole di �funzioni� esponenziali e logaritmiche. 7 (per approfondimenti

6Si possono riconoscere dietro a questi avvenimenti storico-matematici alcune delle ideeintuitive legate al concetto di funzione elencate al paragrafo precedente. Sarebbe un esercizioutile cercare di approfondire questo tentativo di introduzione storica all'analisi matematicaal �ne di avere un'idea chiara delle motivazioni per cui tale branca della matematica è natae sotto quali spinte. Ripeteremo questa opinione più volte nel testo, se non altro perché harappresentato la maggiore di�coltà della redazione di quest'ultimo.

7In questo senso si è soliti assegnare la prima intuizione del concetto di funzione alla civiltàbabilonese. Qualcuno addirittura parla di �istinto verso la funzionalità�:

�Non sarebbe troppo generoso accreditare agli antichi babilonesi un'istinto versola funzionalità; poichè una funzione è stata successivamente de�nita come unatavola di valori o una corrispondenza.� (E.T. Bell, 1945)

Questa opinione non ci sembra condivisibile: di fatti, se è vero che gli antichi babilonesiavevano a che fare con ciò che oggi chiameremo �funzione�, non possiamo concludere che loropensassero la questione in questi termini. Se fosse vero altrimenti potremmo concludere chelo stesso concetto di funzione era noto implicitamente anche all'agricoltore che comprende chela quantità di messe raccolta dipende dalla ampiezza del suo campo. Conclusione che ci paretanto poetica quanto assurda.

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vedi [2], cap.3, par.4 e successivi) .

Figura 1.2. Da destra verso sinistra: tavoletta babilonese datata tra il 1900a.C. e il 1600 a.C. che contiene un elenco di terne pitagoriche per i triangolirettangoli. Manoscritto arabo delle Coniche di Apollonio. .

• Nel IV sec.a.C. la civiltà greca inizia ad avere a che fare con grandezzeincommensurabili. La necessitè di poter confrontare tali grandezze congrandezze commensurabili ha portato al conseguente sviluppo della teoriadelle proporzioni in Eudosso e, successivamente, in Euclide (per approfon-dimenti vedi [2], cap.6, par.6-7). La de�nizione V del libro quinto degliElementi riassume bene questo sviluppo: compare in maniera implici-ta l'idea di corrispondenza espressa dall'uso della costruzione �ordinata-mente... insieme...� 8 , ed in questo modo compaiono alcune delle ideeche saranno utilizzate due millenni dopo per risolvere il problema dellacaratterizzazione dei numeri reali e quindi del continuo.

• Nel III sec.a.C. Apolonnio nel libro quinto delle sue Coniche a�ronta pro-blemi di minimi e di massimi che in realtà sono problemi sulle tangentie sulle normali alle sezioni coniche. I metodi di Apollonio sono ritenutianticipatori di quelli della geometria analitica di Cartesio: egli introducerelazioni tra lunghezze di elementi di curve tramite l'utilizzo di coordinateed equazioni espresse verbalmente. In realtà per gli antichi non era su�-ciente soddisfare una certa relazione tra grandezze per ottenere una curva,bensì sentivano la necessità di rappresentarla come sezione di un solido ocome risultato di un moto 9 (per approfondimenti vedi [2], cap.9, par.16).

• Nei secoli III a.C. Ipparco compila per primo quella che oggi sarebbe chia-mata una tavola trigonometrica, tabulando i valori corrispondenti dell'arcoe della corda associata per una serie completa di ampiezze di angoli. Inseguito Tolomeo compila nuove tavole di valori ed utilizza relazioni equi-valenti alle formule di somma, di�erenza e bisezione per seno e coseno (perapprofondimenti vedi [2], cap.10, par.6).

8DAgli Elementi di Euclide. De�nizione V del libro V:

�si dice che le grandezze sono nello stesso rapporto, la prima rispetto alla secondae la terza rispetto alla quarta, se equimultipli della prima e della terza rispetto agliequimultipli della seconda e della quarta, sono ordinatamente, o insieme maggiori,o insieme eguali, o insieme minori.�

9In questo senso si iniziano ad intravedere due idee fondamentali per i secoli successivi: ilpossibile legame tra algebra e geometria e la necessità di intendere gli oggetti della matematicacome oggetti del mondo reale.

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La trigonometria nasce da necessità di calcolo pratiche esterne alla mate-matica pura: per esempio, gli studi di Tolomeo e di Ipparco sono nell'ambi-to della geometria celeste e dell'ottica. In questo senso non è da intendersiapplicazione di un qualche concetto di funzione non ancora esplicitato mapresente in Tolomeo e negli altri matematici di quel periodo.

• Facendo un salto temporale di oltre un millennio, attorno al 1350 d.C.Oresme estende la teoria delle proporzioni di Bradwardine che a sua voltasi richiamava a quella di Euclide. Include potenze ad esponente frazionarioe formula le regole che oggi diciamo �del prodotto di potenze aventi lastessa base� e della �potenza di potenza�.

Un'altra idea di Oresme fu la rappresentazione di gra�ca di un teoremasul valor medio di una quantità il cui tasso di variazione è costante. Que-sto disegno rappresenta la prima intuizione di quello che oggi chiameremo�gra�co di funzione�. La rappresentazione gra�ca delle funzioni, nota co-me �latitudine delle forme�, rimase argomento molto studiato per tutto ilperiodo che va da Oresme a Galileo. Oresme in realtà era interessato so-prattutto alle aree sottese dalle curve più che alla rappresentazione gra�cadi queste. In questo senso i suoi metodi di somma di aree di rettangoli loportarono a calcolare anche diverse somme di serie in�nite, tra cui la pri-ma dimostrazione che la serie armonica è divergente (per approfondimentivedi [2], cap.14, par.15 e 16).

Figura 1.3. Prima rappresentazione gra�ca di una �funzione� da parte diOresme.

• Nel XVI secolo compaiono, oltre alle formule di somma, di�erenza e bi-sezione, anche le formule di prostaferesi e di Werner. Vieté assieme amolti altri matematici dello stesso periodo redige tavole di valori di otti-ma precisione per seno, coseno, tangente, secante, cosecante, cotangente.Le de�nizioni di queste funzioni non sono quelle moderne di rapporto, edil concetto di funzione non è esplicitato. Ad ogni modo l'elevato grado diprecisione delle tavole di valori e la conoscenza di formule di calcolo ra�-nate sono un primo motivo per un interesse crescente della trigonometriaindipendente dalle applicazioni 10.

10Boyer a�erma in [2] che:

�[Vietè] considera la trigonometria come una disciplina a sé stante della matema-tica ed [...] opera senza fare riferimento diretto alle mezze corde di un cerchio�.Ed aggiunge: �identità trigonometriche comparvero un po' d'ovunque in Europa[...]: ciò ebbe come risultato una meno accentuata insistenza sugli aspetti di cal-colo delle soluzioni di problemi relativi a triangoli, ed un intaresse più accentuatosulle relazioni funzionali analitiche.�

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Nello stesso periodo Napier, Briggs, ed indipendentemente Burgi, introdu-cono l'idea di logaritmo e ne redigono le prime tavole di valori. I logaritminon sono intesi in rapporto al calcolo esponenziale che sarà introdotto cir-ca un secolo più tardi, ma semplicemente come strumento pratico per lasempli�cazione dei calcoli di prodotti e quozienti, soprattutto in ambitotrigonometrico 11 (per approfondimenti vedi [2], cap.16, par.7 - 10).

Figura 1.4. Da sinistra verso destra: Frontespizio e tavole dei logaritmi daMiri�ci logarithmorum canonis descriptio (1614). .

• Il XVII secolo rappresenta un periodo di grandissimo fermento in matema-tica. Le contingenze storiche e culturali fanno sì che molti dei matematicipiù illustri cerchino di trarre, in qualche modo, le somme degli sviluppirecenti in ambito matematico: in questo senso si inizia a cambiare pro-spettiva guardando alle questioni ed ai problemi in un ottica più generale,introducendo un modo più astratto di a�rontarli.

Agli inizi del XVII secolo 12 si manifestano quelle che saranno le originidel calcolo in�nitesimale. Mentre Galileo ri�ette sul concetto di in�nito,il suo discepolo Bonaventura Cavalieri pubblica riguardo al suo �metododegli indivisibili� per il calcolo delle aree e Torricelli, per la prima voltanella storia, traccia il gra�co di una funzione logaritmica calcolandonel'area sottesa. In questo stesso periodo compaiono formule equivalentialla formula di integrazione di potenze ad esponenti interi e di funzionitrigonometriche dovute a matematici quali Fermat, Gregory San Vincent,Roberval. Più in generale sembra che il problema del calcolo delle aree siastato a�rontato con successo prima del problema del calcolo delle tangenti13.

D'altra parte Cartesio mette in dialogo gli strumenti dell'algebra con quellidella geometria consentendo così di creare relazioni quantitative tra �for-mule e �gure�. Il suo contributo è fondamentale in vista della scoperta daparte di Fermat del principio fondamentale della geometria analitica:

�Ogniqualvolta in un'equazione �nale compaiono due quantitàincognite si ha un luogo, l'estremità dell'una descrivendo unalinea retta o curva.� (Fermat, 1636)

11Un'idea delle applicazioni e delle motivazioni concrete che hanno portato all'invenzionedei logaritmi la si può trovare anche in [9] cap.5, par.9.

12Rimandiamo a [9] per una ri�essione sulle motivazioni storiche, oppure, per uno sguardopiù breve, al paragrafo successivo di questo testo.

13da [2] pag.411.

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Fermat introduce per primo l'idea di rapporto incrementale come stru-mento per il calcolo di massimi e minimi a curve algebriche (Per appro-fondimenti vedi [2], cap.18) .

Figura 1.5. Da sinistra verso destra: Galilei, Torricelli, Cartesio e Fermat.

• Il problema del calcolo delle aree era intimamente connesso (come giàvisto parlando di Oresme) al problema del calcolo di somme e prodottiin�niti: per tutto il secolo XVII molti matematici, come per esempioWallis e Mengoli, si preoccuparno del calcolo di tali somme e prodotti.Non solo ma compaiono formule equivalenti all'integrazione di potenzecon esponenti frazionari oltre che interi.

Tali risultati vengono raccolti in pubblicazioni dedicate speci�catamente alcalcolo in�nitesimale: tra queste è rilevante l'opera di Gregory 14 il qualeanticipò di quasi mezzo secolo gran parte dei risultati che sarebbero statipubblicati da Newton nella forma analitica che ne segnerà iol successo:conosceva la formula del binomio, la formula di integrazione di diversefunzioni, la formula di espansione in serie di Taylor (che sarà pubblicatacirca 40 anni dopo).

In questo periodo Mercatore esibisce la prima espansione in serie del loga-ritmo integrando 1

1−x . Mentre in Inghilterra Barrow si rende conto dellanatura inversa del problema del calcolo delle tangenti e dell'integrazione.Siamo arrivati alla soglia della nuova analisi che nascerà con l'apporto diNewton e Leibniz. (Per approfondimenti vedi [2], cap. 18)

Figura 1.6. Da sinistra verso destra: Galilei, Torricelli, Cartesio e Fermat.

• Nella seconda metà del diciassettesimo secolo Newton e Leibniz inventanoindipendentemente il calcolo in�nitesimale moderno presentando il meto-do delle �ussioni e del calcolo di�erenziale rispettivamente. ParallelamenteNewton scopre la formula del binomio ed le sue ri�essioni sull'operare con

14Matematico illustre che ha lavorato e pubblicato molti lavori importanti anche a Padova.Per Boyer: �[Se Gregory] avesse espresso i risultati delle proprie ricerche in forma analiica,avrebbe forse anicipato Newton nell'invenzione del calcolo in�nitesimale�([2], pag.444).

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espansioni in serie lo portano a scoprire �che l'analisi basata su serie in�niteaveva la stessacoerenza interna, ed era regolata dalle stesse leggi generali,dell'algebra che operava con quantità �nite. Serie in�nite non dovevanopiù essere considerate soltanto come tecniche di approssimazione, ma co-stituivano forme alternative delle funzioni che esse rappresentavano� ([2],pag.453). (Per approfondimenti vedi [2], cap. 19).

Successivamente Jean I Bernulli introducono il calcolo esponenziale.

Figura 1.7. Da sinistra verso destra: Newton, Leibniz e Bernoulli.

Questa lunga storia che abbiamo appena abboazzato (e che varrebbe la penaapprofondire, completandola con le tappe intermedie non citate e le motivazio-ni storiche, sia interne che esterne, dello sviluppo della matematica ), vuolefar intravedere quale sia stato il percorso storico che porta alla nascita del cal-colo in�nitesimale ed alla successiva nascita dell'analisi intesa come disciplinaindipendente che si occupa di processi in�niti.

Non vogliamo so�ermarci ulteriormente sulle tappe storiche che hanno por-tato alla nascita dell'analisi nel diciottesimo secolo, ma vogliamo sottolinearealcuni aspetti che risultano evidenti dall'elenco precedente e che costituisco-no la premessa fondamentale per la compresione dello sviluppo del concetto difunzione inteso come oggetto principe dello studio in analisi:

a. il concetto di funzione, inteso come lo intendiamo oggi, benché non espli-citato è comparso nella storia con sfumature di signi�cato di�erenti checostituiscono il bagaglio concettuale intuitivo a cui tale concetto si riferi-sce.

Tali idee sono disperse nelle tavole di valori dei logaritmi e delle funzionitrigonometriche, nei simboli dell'algebra, nelle formule della �sica, nellaconcezione di curve come sezioni o moti... etc etc.

Il calcolo in�nitesimale si pone come strumento di indagine per ognuno diquesti campi, un approdo per ciascuno di questi problemi.

b. i problemi che hanno portato all'introduzione dei vari concetti che oggicolleghiamo a quello di funzione sono in gran parte di carattere applicativo.Il fatto che le applicazioni abbiano da sempre guidato gli interessi deimatematici, pur con la necessità continua di sistemare e formalizzare inmaniera organica i contenuti delle proprie conquiste, sarà una tensionepresente anche nel seguito della storia.

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1.3. Situazione nel secolo diciottesimo. 1. Introduzione storica

1.3 Situazione nel secolo diciottesimo.

Nel secolo XVII, come abbiamo visto al paragrafo precedente, la matematicaha subito un grosso impulso er l'attività frenetica di personaggi quali Galileo,Cavalieri, Torricelli in Italia, o come Cartesio, Fermat, Roberval, Desargues,Pascal in Francia. I numerosi sviluppi portarno alla formazione di circoli didiscussione ed una più �tta corrispondenza tra matematici. Fino ad allorainfatti non esisteva alcuna organizzazione u�ciale che coordinava le attività deimatematici di professione, cosìcché a partire dal XVII secolo la matematica sisviluppoò più per una sua logica interna che non a seguito alle sollecitazioni diforze economiche, sociali o tecnologiche 15

Fu in questo contesto culturale che videro la luce le prime Accademie: primaa Napoli nel 1590, poi a Roma nel 1603, in Francia il Cabinet du Puy ed inInghilterra l'Invisible College. Si trattava della �cristallizzazione� dei gruppi dimatematici in attività che erano in stretto rapporto. Tale organizzazione erain aprto contrasto con quella delle Università dell'epoca le quali aderivano allospirito �scolastico� che perpetuava un atteggiamento conservatore nei confrontidelle forme e dell'oggetto della conoscenza. Si ha pertanto che le Accademiecostituiscono il soggetto che esprime il nuovo spirito di ricerca tipico del XVIIsecolo 16

Più avanti nasceranno la Royal Society a Londra (1662) e l'Accademia delleScienze a Parigi (1665). In questo periodo il ritmo di produzione di risultati inambito matematico non si arrestò di certo arricchendosi dei contributi di nomicome quelli di Wallis, Gregory, Mengoli e Barrow (di cui abbiamo già fatto ilnome).

Nelle Accademie l'attività didattica era quasi del tutto inesistente lasciandocosì grande libertà ai membri di dedicarsi ai loro interessi cosìcché agli inizi delXVIII secolo i centri più importanti per la matematica coincidevano con le sedidelle Accademie più prestigiose: quelle di Parigi, Berlino e San Pietroburgo.

Ma l'attività scienti�ca non si può dire fosse interamente concentrata solonella Accademie: nel periodo che ha visto i cosidetti �sovrani illuminati� alpotere in tutta Europa durante l'Illuminismo, si di�use nelle corti una sorta di�snobbismo intellettuale� (come lo chiama Struik in [9] cap.7, par.1) secondocui era prestigioso circondarsi di menti illustri, dotti, scienziali. Non è cosìsorprendente vedere matematici quali Eulero, i Bernoulli, Lagrange girare perle corti d'Europa. In questo senso le Accademie divengono luogo privilegiato nonsolo per gli scienziati ma anche per le stesse corti che le utilizzano con �ni praticidi miglioramento delle manufatture, dell'e�cienza dell'esercito, della costruzionedella �otta, delle tecniche di navigazione, la balistica ed la predizione dei moticelesti. Le applicazioni divengono stimolo fondamentale per il matematico delXVIII secolo.

La teoria gravitazionale di Newton costituisce lo strumento teorico per in-dagare i problemi relativi al calcolo della posizione degli astri, mentre il nuovocalcolo di�erenziale di Leibniz diviene patrimonio comune europeo, calamitan-do così sul calcolo in�nitesimale e la meccanica gli interessi di gran parte deimatematici del tempo 17.

15Contenuti tratti da [2], cap.17, par.1.16Contenuti tratti da [9], cap.6, par.5.17Contenuti tratti da [9], cap.7, par.1.

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1.4. Origini del termine di funzione 1. Introduzione storica

Nonostante ciò alla vigilia del XVIII secolo vi sono ancora molte questioni darisolvere:

a. l'apparente frammentazione di molte parti della matematica che rientre-ranno in seguito nelle competenze degli �analisti�.

b. le numerose critiche al metodo delle �ussioni di Newton e quello del calcolodi�erenziale di Leibniz costituivano un problema di fondamentale impor-tanza per giusti�care gli sviluppi della matematica. Per avere un esempioriportiamo un estratto da The Analyst di George Berkley (1685 - 1753):

�Che cosa sono queste �ussioni? Le veocità di incrementi eva-nescenti. E che cosa sono questi incrementi evanescenti? Essinon sono né quantità �nite, né quantità in�nitesime, e tutta-via non sono un nulla. Perché non chiamarle spiriti di quantitàsparite?� (The Analyst, 1734).

c. l'individuazione dell'oggetto proprio del calcolo in�nitesimale e quindi ladiscussione sulla natura del concetto di funzione.

Saranno proprio i primi tentativi di Leiniz e Newton a rispondere a quest'ul-timo punto a rendere possibile in seguito lo sviluppo di una nuova disciplinamatematica che contenesse:

• i polinomi, la trigonometria, il calcolo esponenziale, la teoria dei logaritmi;

• la rappresentazione gra�ca e le espansioni in serie di queste funzioni;

• gli strumenti del calcolo in�nitesimale;

• i problemi relativi al calcolo delle aree, delle tangenti, del calcolo di sommee prodotti in�niti.

Nel prossimo paragrafo commentiamo le prime de�nizioni del termine �funzione�.

1.4 Origini del termine di funzione

Il termine di funzione si trova per la prima volta in Leibniz (qualcuno dice 1673altri dicono 1694. . . bo!):

�tutte le porzioni di linea retta, che si ottengono tracciando retteinde�nite, che corrispondono al punto �sso e ai punti della curva�(G. Leibniz, Nova Calculi di�erentialis, 1694)

Intende cioè una qualunque quantità variabile da punto a punto di una curva(per esempio: la lunghezza della tangente, della normale, etc etc). Della cur-va veniva detto semplicemente che era fornita �da un'equazione�. A Leibniz,oltre all'introduzione del termine funzione, si riconosce la paternità dei termini�costante�, �variabile� e �parametro�, nel senso moderno.

In seguito lo stesso Leibniz, nella sua Historia del 1714, intenderà più sem-plicemente per funzione una quantità che dipende da una variabile. Si avvicinacosì alla de�nizione che ne darà Johann I Bernoulli nel 1718:

�Chiamo funzione di una grandezza variabile una quantità formatein una maniera qualsiasi da variabili e da costanti�

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1.4. Origini del termine di funzione 1. Introduzione storica

Questa de�nizione sarà quella più adottata negli anni successivi e �consacrata�all'uso da Eulero: si tratta di una de�nizione formale che avremmo modo diindagare più tardi nella versione di Eulero.

Si intravedono in queste prime de�nizioni piuttosto vaghe le stesse idee cheavevamo visto alla prima sezione di questo capitolo: l'utilizzo delle parole �cur-va�, �equazione�, �dipende�, �formate in maniera qualsiasi�, la dice lunga suquanto l'intuizione guidasse tali de�nizioni.

Al di là delle de�nizioni in sé è bene sottolineare l'importanza che il concettodi funzione ha avuto in questo periodo storico. Così, pur non avendo mai usato iltermine funzione, Newton sembra avere le idee ben chiare su quale sia l'oggettodel calcolo in�nitesimale e quindi su cosa siano per lui le �funzioni�.

A partire dai suoi primi lavori sul calcolo in�nitesimale, Newton introducel'idea che il calcolo di�erenziale si occupi del concetto di �variazione�. In partico-lare Newton è interessato a mettere al centro della sua ricerca il movimento deicorpi, e l'impostazione analitica deve essere adatta a trattare quantità variabili.In proposito a�erma:

�Io considero qui le quantità matematiche non come costituite daparti molto piccole, ma come descritte da un moto continuo. Le lineesono descritte, e quindi generate, non dalla giustapposizione delleloro parti, ma dal moto continuo dei punti [. . . ]. Questa genesi hae�ettivamente luogo in natura e può essere vista quotidianamentenel moto dei corpi.� (Newton, Tractatus de quadratura curvarum,1676)

Quest'idea non così esplicita nelle de�nizioni di Leibniz e Bernoulli è fondamen-tale poiché porta con se quel bagaglio di intuizione geometrica e �sica che faràda contraltare alle idee legate al formalismo di Leibniz e Bernoulli, ed inoltresarà motore per lo sviluppo del concetto di funzione nel futuro.

Riassumendo potremmo dire che:

• L'esplicitazione del concetto di funzione diviene necessaria nel momento incui gli strumenti del calcolo di�erenziale individuano le �grandezze variabi-li legate ad una curva� di Leibniz, o le ��ussioni� di Newton come oggettodella loro ricerca. La de�nizione esplicita del concetto di funzione non èquindi solo una questione di nomenclatura ma il riconoscimento dell'ogget-to del calcolo in�nitesimale, e quindi, in de�nitiva, la presa di coscienzadi un programma di ricerca. Questo segna già un primo cambiamentodi prospettiva rispetto al passato: il concetto di funzione da strumentodi indagine (dalle tavole Mesopotamiche, alle tavole trigonometriche piu`avanzate...) diviene oggetto stesso di indagine.

• La de�nizione formale di Bernoulli e l'idea così intuitiva di Newton rappre-sentano i due riferimenti della storia futura del concetto di funzione. Dauna parte c'è la volontà di allontanarsi da una trattazione geometrica delcalcolo in�nitesimale cercando de�nizioni che si dirigano verso l'algebrapiuttosto che verso la geometria. Dall'altra parte la necessità di parlaredella natura, e quindi trovare un riscontro �sico nei risultati ottenuti me-diante l'analisi matematica. Queste due tensioni muoveranno il seguitodella storia.

Da qui ha inizio la storia dell'analisi matematica in senso moderno. Nelprossimo capitolo descriveremo l'opera del suo primo grande interprete: Eulero.

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Capitolo 2

Eulero e l'analisi

Sarà Leonhard Euler a provare a dare una prima risposta a queste questioni. Itrattati euleriani Introductio in Analisin In�nitorum (1748), Institutiones calculidi�erentialis (1755) e Institutiones calculi integralis (1768-1779) rappresentanoil punto di arrivo della speculazione analitica del periodo che va dal 1655, annoal quale risalgono le prime ricerche newtoniane sul metodo delle �ussioni, �noalla metà del Settecento. Al contempo essi rappresentano il punto di partenzadell'analisi matematica moderna.

2.1 Biogra�a

Figura 2.1. Leon-hard Euler.

1 Leonhard Euler è nato a Basilea il 15 aprile 1707. Suopadre era un pastore protestante che sperava che il �glioentrasse nella carriera ecclesiastica. Il giovane Eulero stu-diò però sotto la guida di Jean (o Johann) Bernoulli e col-laborò con i �gli Daniel e Nicolaus Bernoulli 2 ottenendo,da una parte un'educazione di vasto respiro che compren-deva lo studio della teologia, della medicina, dell'astrono-mia, della �sica e delle lingue orientali, e dall'altra partela scoperta della propria vocazione verso la matematica.

La vastità delle sue conoscenze gli permise a Eulero diseguire i fratelli Bernoulli in Russia come insegnante dimedicina nell'Accademia di Pietroburgo istituita in que-gl'anni da Caterina I di Russia. Nel frattempo NicolausBernoulli era morto e quando Eulero nel 1730 occupa lacattedra di �loso�a naturale Daniel Bernoulli era titolaredella cattedra di Matematica dell'Accademia. Ma bisogna attendere soltantotre anni perché Daniel accetti la cattedra a Basilea ed Eulero diventi a soli 26anni il matematico più importante dell'Accademia.

1La biogra�a di Eulero è tratta in larga parte da [2].2In questo testo non parleremo del fenomeno della famiglia Bernoulli, una delle famiglie

più feconde di scienziati ed in particolare di matematici, di tutta la storia. Per quanto ciriguarda nomineremo solamente due componenti di questa famiglia: Johann Bernoulli e DanielBernoulli, ma è bene sapere almeno come curiosità che un cugino di Daniel, Nicholaus, occupòper un certo periodo di tempo la cattedra di matematica che un tempo era stata di Galileo aPadova (vedi [2], cap.20, par.7).

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2.2. Contributi in analisi 2. Eulero e l'analisi

Fin dall'inizio della sua attività Eulero contribuisce alla stesura di una �ttaserie di articoli per la rivista scienti�ca fondata dall'Accademia di Pietroburgo,i Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. L'attività diEulero fu instancabile e si calcola che nel corso della sua vita abbia pubblicatopiù di 500 lavori mentre con la comparsa di quelli postumi la sua bibliogra�araggiunge il numero di 886 scritti: si tratta di testi di tutti i livelli, dal manualed'uso nelle scuole, ad articoli per concorsi, da articoli di ricerca a grandi opereenciclopediche. Oltre alle opere di stampo teorico, non mancano opere di ca-rattere applicativo (ricevette una menzione d'onore da parte dell'Académie desSciences di Parigi per un saggio sull'alberatura delle navi).

La reputazione di Eulero varco molto rapidamente i con�ni degli stati europeie nel 1741 viene invitato all'Accademia di Prussia di Berlino da Federico ilGrande. Lavorerà a Berlino per venticinque anni (qui incontrerà il compositoreJohann Sebastian Bach!), poi, nel 1766 ritorna a Pietroburgo. Nel frattempoaveva perso la vista prima da un'occhio poi da entrambi: nonostante questo ilsuo ritmo di produzione scienti�ca non diminuì �no al termine della sua vita.Muore a San Pietroburgo il 18 settembre 1783.

Nel suo elogio funebre, Condorcet, un matematico francese illustre, scrisse:�ha cessato di calcolare e di vivere�.

2.2 Contributi in analisi

3 I contributi di Eulero spaziano in tutte le branche della matematica pura eapplicata, da quella elementare a quella di livello più elevato. Non vogliamoqui fare un elenco dei suoi risultati o delle sue pubblicazioni ma ci basti darequalcuno dei contributi che ha avuto grande importanza almeno in analisi.

Eulero introdusse un linguaggio e una notazione che per molti aspetti corri-spondono a quelli odierni:

• Attorno al 1727 introduce nei suoi scritti la lettera e per indicare la basedei logaritmi neperiani.

• Fissa la notazione π per indicare il rapporto tra la circonferenza e ildiametro di un cerchio.

• A partire dal 1777, introduce il simbolo i per indicare l'unità immaginaria√−1.

• Usa le lettere minuscole a, b, c per indicare i lati di un triangolo e lecorrispondenti maiscole per indicare i vertici opposti.

• Usa l'espressione lx per indicare il logaritmo naturale di x.

• Utilizza il simbolo∑

per indicare una sommatoria.

• Introduce a partire dal 1734 la notazione f(x) per indicare una funzionedi x.

Bisogna ricordare che spesso dietro all'utilizzo di una notazione piuttostoche un'altra vi sono concetti profondi che costituiscono la parte più importantedel discorso e stabiliscono il successo e la comprensione dei propri risultati (bastiricordare, per esempio, la scarsa fortuna della notazione di Newton).

3I contributi di Eulero sono tratti in larga parte da [2].

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2.2. Contributi in analisi 2. Eulero e l'analisi

Figura 2.2. Estrat-to dall'Introductio.

Da questo punto di vista i concetti che determinaronoil successo delle notazioni di Eulero sono di importan-za fondamentale per la storia della matematica. Eulerotrattò per primo il calcolo di�erenziale ed il metodo delle�ussioni come parti di una branca più generale della ma-tematica che da allora è nota con il nome di analisi e cheriguarda generalmente lo studio di procedimenti in�niti.In questo senso si compie quanto auspicato al termine delcapitolo precedente: l'uni�cazione di molti settori dellamatematica dentro un unico grande contenitore che neconsentisse una sistemazione organica.

In questo senso l'opera Introductio in analisin in�nito-rum pubblicata nel 1748 rappresenta certamente il passopiù importante. In questo testo uscito in due volumi,Eulero:

• De�nisce il termine di funzione che pone come concetto fondamentale del-l'analisi (parleremo più approfonditamente di questo nel prossimo para-grafo).

• Dà una trattazione rigorosamente analitica alle funzioni trascendenti ele-mentari: le funzioni trigonometriche, logaritmiche, trigonometriche inver-se, le funzioni esponenziali, venivano scritte e concepite da Euero nellastessa forma in cui sono studiate oggi abbandonando di fatto il legamecon le applicazioni e le tavole di valori del passato ed introducendo unatrattazione puramente analitica. Non solo, usa le abbreviazioni sin ., cos .,log ., exp . simili a quelle odierne.

• Dagli sviluppi in serie delle funzioni trigonometriche ed esponenziali derivale �formule di Eulero�: eix = cosx+ isenx traendono tutte le conseguenzee determinandone l'uso comune in analisi.

• Calcola diverse somme e prodotti in�niti, anche se non sempre con proce-dimenti che oggi diremmo rigorosi. Diamo alcuni esempi:∑

n=1

1

n2=π2

6,∑n=0

1

(2n+ 1)2=π2

8,∑n=1

1

n26=

224 · 76977927π26

1 · 2 · 3 · ... · 27

• Intende i logaritmi come esponenti e chiarisce per primo il concetto esattodi logaritmo di numero negativo.

• Fa rientrare nell'analisi lo studio delle curve geometriche attraverso unateoria generale delle curve fondata sul concetto di funzione, spostando cosìl'attenzione dalle sezioni coniche e dalle costruzioni geometriche ai metodidell'analisi fondati sull'uso di coordinate, rappresentazioni parametrichedelle curve e del calcolo di�erenziale ed integrale.

Nel 1755 Eulero pubblica le �Istitutiones calculi di�erentialis� e, tra il 1768-1770, le �Istitutiones calculi integralis�. In questi testi grandi lavori enciclopediciEulero sistematizza i concetti del calcolo di�erenziale ed integrale da un puntodi vista analitico introducendo, oltre ai metodi del calcolo in�nitesimale, ancheproblemi e risoluzioni relativi ad equazioni di�erenziali.

Non vogliamo indugiare oltre su questi temi, preferendo approfondire laconcezione del termine funzione in Eulero.

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2.3. De�nizione di funzione. 2. Eulero e l'analisi

2.3 De�nizione di funzione.

Figura 2.3. Fron-tespizio di Introduc-

tio in analisin in�ni-

torum pubblicata nel1748 dall'Accademiadi Pietroburgo.

4 Eulero fonda per primo tutto il castello dell'analisi sulconcetto di funzione. Questo fatto assume importanzainedita �no ad ora nella concezione della matematica: ciòimplica infatti, come già asserito più volte, la riunione diuna grandissima parte di risultati sotto un'unico punto divista ed asserisce inoltre che tale punto di vista ha comeoggetto proprio di indagine il concetto di funzione.

E' in questo senso che è necessario introdurre una de�-nizione più possibile precisa e strutturata di tale concetto.Pertanto, in continuità con la concezione del suo mae-tro Johann Bernoulli (della cui concezione abbiamo giàparlato al capitolo precedente), e discostandosi da quellaNewtoniana meno in voga in quel periodo, Eulero iniziail suo Introductio in analisin in�nitorum con la seguentede�nizione di funzione:

�Una funzione di quantità variabili è un'e-spressione analitica composta in modo qua-lunque da quelle quantità e da numeri o quan-tità costanti.� (Eulero, Introductio AnalysinIn�nitorum, 1748)

Con il termine �espressione analitica� Eulero intende un'espressione simboli-ca composta da quantità variabili e numeriche in relazione mediante: operazionialgebriche (i.e: +, -, × , ÷, radici, potenze o risoluzione di equazioni polino-miali), operazioni trascendenti elementari (funzioni trigonometriche, logaritmi,esponenziali) ed �innumerevoli altre che ci fornisce il calcolo integrale�.

Correlata a questa de�nizione vi è la distinzione tra funzioni algebriche efunzioni trascendenti : le funzioni algebriche sono quelle ottenibili tramite unnumero �nito di operazioni elementari (per Eulero le equazioni algebriche sonoin linea di princiio risolubili algebricamente!), mentre le seconde sono certamenteottenibili da un numero in�nito di operazioni elementari, o, in altre parole, sonosenz'altro espandibili in serie. Eulero non si pone il problema della legittimità odella dimostrazione dell'esistenza di talii estensioni, come è esplicito infatti nelcapitolo 4 dell' Introductio, Eulero ritiene che ogni funzione sia espandibile inserie di potenze ad esponente qualunque: in particolare ammette che la manierapiù generale di esprimere una funzione è quella di scriverla come serie di potenzead esponenti razionali sia positivi che, al più negativi. In questo senso unafunzione qualunque di z è esprimibile, per Eulero, nella somma in�nita o �nita:

Azα +Bzβ + Czχ +Dzδ + ...,

dove A, B, C, D, ... ed α, β, χ, δ, ... sono numeri qualunque.

A questo punto è bene fare qualche osservazione:

a. La de�nizione di funzione di Eulero si richiama in maniera evidente aquella del maestro di gioventù, Johann Bernoulli: in particolare in ciascunadelle due de�nizioni non vi sono riferimenti a tempi, moto, velocità, spazi,

4L'analisi del concetto di funzione in Eulero è tratta in larga parte da [3].

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movimento, preferendo una de�nizione del tutto formale e lontana (almenoapparentemente) dalla concezione di Newton.

b. La distinzione tra funzioni algebriche e trascendenti è, ai nostri occhi,inadeguata: per Eulero è decisivo il tipo di espressione analitica che vieneusata nella descrizione, mentre oggi sappiamo che ciò non è indicativo.

c. Non è oggi accettabile l'idea che ogni funzione si possa esprimere comeserie di potenze ad esponente qualunque. Questa idea non è da impu-tare a mancanza di rigore nel ragionamento, ma semplicemente ad unaconcezione di funzione �glia delle conoscenze del tempo.

Ogni funzione allora conosciuta, algebrica o trascendente che fosse, è esten-dibile in serie di potenze. Risulta così spontaneo pensare che combinazionianche in�nite di tali funzioni risulti ancora espandibile in serie. In questosenso non sono necessarie dimostrazioni dell'esistenza di tali espansioni nétantomeno ricerche in proposito poiché le funzioni per Eulero sono esat-tamente quelle combinazioni, e non ve ne sono altre la cui espansione inserie è da controllare.

In altri termini, Eulero fonda il concetto di funzione sulla proprietà di esten-dibilità in serie di potenze delle funzioni allora note, cadendo in quell'erroredi estensione di risultati che valgono in ambito �nito, a situazioni in ambito�in�nito�, errore che si perpetuerà �no all'inizio del diciannovesimo secolo. Siconclude così che il prototipo di funzione che ha in mente Eulero è quello dellaodierna funzione analitica.

Nel secondo volume dell' �Introductio� Eulero da un'ulteriore distinzione trafunzioni dando la seguente de�nizione di funzione continua e discontinua:

�Benché si possano descrivere meccanicamente diverse linee curvemediante il movimento continuo di un punto che ci fa vedere la cur-va nel suo complesso, noi qui le consideriamo principalmente comeil risultato di funzioni, essendo questa maniera di considerarle piùanalitica, più generale e più adatta al calcolo.

Così una funzione qualunque di x darà una certa linea retta ocurva, da cui segue che, reciprocamente, si potranno mettere in rela-zione le linee curve con le funzioni. Di conseguenza, la natura di unalinea curva sarà determinata da una funzione di x [. . . ]. Da questaconcezione delle linee curve discende naturalmente la loro divisionein continue e in discontinue o miste.

La linea curva continua è quella la cui natura è espressa da unasola funzione determinata di x. Se però la linea curva è compostada di�erenti parti determinate da più funzioni di x, di modo che unaparte sia il risultato di una funzione e un'altra sia il risultato di unaseconda funzione, noi chiamiamo queste specie di linee curve discon-tinue, o miste e irregolari, giacché esse non sono formate secondouna legge costante e sono composte di porzioni di di�erenti curvecontinue.

In geometria si ha a che fare principalmente con curve continuee nel seguito si mostrerà che le curve che sono descritte meccanica-mente da un movimento uniforme secondo una certa legge costante,

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possono essere espresse da un'unica funzione e di conseguenza sonocurve continue.� (Eulero, Introductio Analysin In�nitorum, 1748)

Raduniamo anche in questo caso alcune osservazioni:

a. Dal nostro punto di vista si riconoscono due concetti: il concetto di cur-va analitica (curve continue per Eulero) ed il concetto di curva continuaregolare a tratti (curve discontinue per Eulero). E' di particolare im-portanza notare che le curve continue sono le curve rappresentate da unasola �formula� dando qundi della continuità una de�nizione sostanzialmen-te formale. A questo proposito non si trova in Eulero l'idea di funzionediscontinua così come è intesa oggi. Questo si spiega con la seguente:

b. L'idea geometrica di movimento esclusa nella de�nizione di funzione pre-ferendo una de�nizione formale, �rientra dalla �nestra� nella concezione difunzione continua: si parla infatti del movimento �uniforme� della mano.

c. E' sottointesa nella de�nizione di curva discontinua un'idea, non svilup-pata successivamente, di dominio delle funzioni: nel momento in cui sirichiede che vi siano linee composte da porzioni di�erenti di gra�co, sisottintende infatti l'idea di poter restringere il dominio di una funzione.Questa idea sarebbe stata rivoluzionaria per l'epoca visto che ad ogni fun-zione era associato il suo dominio di esistenza naturale senza porsi nem-meno il problema di poterle restringere o estendere. Il fatto che Euleronon abbia pensato all'introduzione della nozione di dominio insita nellasua stessa de�nizione non quindi da reputare una mancanza.

Concludendo possiamo dire che, nonostante la notevole complessità della con-cezione del concetto di funzione in Eulero, la de�nizione data non è scevra dacritiche e da problemi. Questo non soltanto dal punto di vista odierno, masoprattutto dal punto di vista delle applicazioni e dei problemi pratici che ta-le de�nizione comporta. In questo senso introduciamo nella prossima sezioneil problema della �corda vibrante� che rappresenta un primo esempio di comesubito si presentino agli occhi di Eulero necessità di revisione di tale concezione.

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Capitolo 3

Il problema della corda

vibrante

1 Per a�nità di interessi matematici Eulero aveva mantenuto nel corso deglianni una �tta e cordiale corrispondenza con molti dei matematici più illustridell'epoca, tra cui Jean Le Rond D'Alembert.

Figura 3.1. JeanBaptiste d'Alembert.

Jean-Baptiste Le Rond d'Alembert nacque a Parigi il 16novembre 1717 2 Fu abbandonato dalla madre sui gradinidella cappella di Saint-Jean-le-Rond di Parigi, attinentealla torre nord della cattedrale di Notre-Dame. Come vo-leva la tradizione, venne chiamato con il nome del santoprotettore della cappella e divenne Jean le Rond. Gio-vanissimo diviene membro dell'Accademia delle Scienzedi Parigi, di cui divenne in seguito �segretario perpetuo�(1754). Egli collaborò con Diderot alla redazione dell'En-ciclopedia, mentre con il suo operato in ambito politi-co contribuì ad aprire la strada alla rivoluzione francese.Muore a Parigi il 29 ottobre 1783.

D'Alembert condivideva intaressi a�ni a quelli di Eu-lero ed entrambi manifestarono a più riprese di�erenze diposizioni su molti temi:

• La natura dei logaritmi negativi: prima che Eulero a�ermasse che si tratta-va di numeri complessi, D'Alembert li credeva numeri reali, in particolareritenendo il logaritmo una funzione simmetrica 3.

1La descrizione del problema della corda vibrante è tratta in larga parte da [3].2la biogra�a di D'Alambert e i suoi contributi alla matematica meriterebbero una sezio-

ne a parte che, purtroppo, in questo testo non trova spazio. Riportiamo così alcune breviinformazioni.

3E' importante per capire questa questione ri�ettere sul fatto che, non avendo a disposizionede�nizioni di tipo analitico, ma solo le de�nizioni date dalla pratica applicativa dei logaritmi(stesso discorso vale per le altre funzionie), questioni come quella di comprendere quale fosse ilsigni�cato dei logaritmi negativi erano di complicata risoluzione poiché non se ne poteva fareesperienza. Ecco perché il ricorso così strano per noi in ambito matematico ad idee personalipiù che a dimostrazioni o giusti�cazioni teoriche.

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3.1. Tentativi di soluzione 3. Il problema della corda vibrante

• D'Alembert si era sforzato di provare il fatto che il campo complesso C erachiuso algebricamente (non riuscendoci completamente!), mentre Euleroprova che C è chiuso per operazioni trascendenti elementari.

• Eulero considera i di�erenziali quantità nulle ma qualitativamente diversedallo zero, mentre D'Alembert non concepisce tale idea e a�erma �che unacosa o è qualcosa o è niente� ed introduce il concetto di limite tramite cuide�nire l'in�nitamente grande e piccolo.

• Lavorano entrambi in molti campi della matematica tra cui la teoria dellaprobabilità.

Fu proprio a partiredal problema della �corda vibrante� che prese origine unodei dibattiti più interessanti riguardo alla de�nizione del concetto di funzione: ilproblema era quello di studiare le vibrazioni di una corda omogenea non soggettaad alcuna forza esterna posta in un piano e �ssata alle estremità.

Dal confronto tra i più illustri matematici dell'epoca riguardo a questo pro-blema avverrà la consapevolezza di due grossi problemi che rappresentavano ipunti deboli della de�nizione di funzione di eulero, e, più in generale, della suaconcezione dell'analisi:

1. Da una parte l'importanza di utilizzare strumenti matematici adeguatialla realtà suggerita dalla �sica degli oggetti.

2. Dall'altra parte la necessità di fondare in maniera maggiormente coerentei concetti dell'analisi. 4

Il problema della ricerca di una soluzione per le corde vibranti è stato a�ron-tato a più riprese: in primo luogo da Johann Bernoulli (1667-1748), in seguitoda D'Alembert e da Eulero ed in�ne anche da Daniel Bernoulli e Lagrange. Ildibattito tra questi ultimi quattro matematici si svolgerà tra il 1749 ed il 1762.

3.1 Tentativi di soluzione

Soluzione di J. Bernoulli

In un lavoro del 1727 Johann Bernoulli studiòil caso �approssimato� in cui piuttosto di averea che fare con una corda, vi fossero n massecollegate tra loro. Operando un limite pern che tende ad in�nito aveva trovato che lesoluzioni del problema erano riconducibili allesoluzioni dell'equazione di�erenziale:

∂2u

∂x2= −ku

dove k è un coe�ciente legato alla tensionedella corda, mentre u era intesa come la funzione che associa ad ogni puntodella corda la sua distanza dall'asse descritto dagli estremi �ssi della corda.

Integrando l'equazione, Bernoulli a�erma che le forme assunte dalla cordasono di forma sinusoidale (risultato peraltro già noto a Taylor).

4Questa tensione tra sensibilità diverse è la stessa tensione individuata, guarda caso, nelleconcezioni diverse dell'oggetto dell'analisi in Bernoulli e in Newton!

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Soluzione di D'Alembert

La conclusione di Bernoulli viene respinta da D'Alembert in un lavoro pubblicatonel 1749, Recherches sur les vibrations des cordes, dove si propone di mostrareche vi sono in�nite altre soluzioni oltre a quella sinusoidale.

Egli non segue lo stesso procedimento di Bernoulli e ricava direttamen-te l'equazione che segue, considerando u come funzione non solo dello spaziox, ma anche del tempo t trovando il primo esempio nella storia di equazioneunidimensionale delle onde:

∂2u(x, t)

∂t2= ν2

∂2u(x, t)

∂x2

Le condizioni iniziali legate al problema sono assegnate dalla realtà �sica. Seindichiamo con f(x) la forma iniziale della curva, con g(x) la velocità inizialedella curva e con l la lunghezza della corda, si hanno le seguenti condizioni:

1. gli estremi della corda sono �ssati quindi:

u(0, t) = 0, u(l, t) = 0

2. il pro�lo della corda al tempo iniziale è quello dato da f(x):

u(x, 0) = f(x),∀x ∈ [0, l]

3. la velocità iniziale dei punti della corda coincide con la funzione g(x):

∂u(x, t)

∂t|t=0 = g(x)

D'Alembert inoltre sottolinea il fatto che la funzione f è soggetta a �legge dicontinuità� (espressione con cui D'Alambert intende che f(x) è data da un'u-nica espressione analitica) 5. Facendo queste assunzioni ricava la soluzioneparticolare:

u(x, t) =1

2[f(x+ νt)− f(x− νt)] + 1

2ν

∫ x+νt

x−νtg(t)dt

che, per arbitrarietà di f e g assume di fatto in�nite forme oltre alle soluzionisinusoidali.

Obiezioni di Eulero

Considerando la stessa equazione di partenza, Eulero, in una memoria del 1750,Sur la vibration des cordes, risolve analogamente a D'Alembert il problema masente la necessità di fare qualche obiezione alle assunzioni sulla funzione f(x)evidenziate da D'Alembert.

5E' vero che la funzione f(x), almeno in linea di principio, deve risultare almeno due voltedi�erenziabile essendo f(x) = u(x, 0), e quindi anche continua. Ma ora stiamo parlando dicontinuità intesa in senso moderno e non centro nel signi�cato di �legge di continuità� cherichiede D'Alembert. In questo senso se ad uno sguardo disattento la richiesta di D'Alembertsembra senz'altro legittima, dall'altro bisogna fare i conti con la nozione di continuità che siutilizzava allora.

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Motivato dall'esperienza concreta della corda pizzicata, Eulero a�erma chenon è assolutamente necessario che f(x) sia sottoposta ad una qualche leggedi continuità (ricordiamo ancora che si sta parlando di continuità intesa allaEulero): basti pensare che il pro�lo di una corda prima di essere lasciata vibrareè proprio quello di una spezzata che, secondo la concezione euleriana di funzionecontinua, non è sottoposta ad alcuna �legge di continuità�.

D'Alembert accoglie la critica ma prova a difendersi al riparo delle �regoledell'analisi�:

�Non si può, mi sembra, esprimere analiticamente y in maniera piùgenerale che supponendola una funzione di t e di x. Ma con questasupposizione si trova la soluzione del problema solo nel caso in cuile diverse �gure della corda vibrante possono essere comprese inuna stessa equazione.� (D'Alembert, Addition au memoire sur lesvibrations des cordes, 1752)

Si comprende ora il motivo per cui il concetto di funzione sia del tutto insod-disfacente nella formulazione euleriana: la realtà �sica del problema imponeinfatti un'evidenza che non può essere trattata nel modo opportuno con le rego-le dell'analisi matematica come ben illustra D'Alembert. Addirittura egli stessonel 1758 scriverà:

�In ogni altro caso il problema non potrà risolversi, almeno col miometodo, e mi domando se pure non sia superiore alle forze dell'analisiconoscita�

E ancora Eulero scriverà a D'Alambert nel 1760:

�La considerazione di tali funzioni non soggette ad alcuna leggedi continutà apre davanti a noi un campo dell'analisi interamentenuovo�

Soluzione di D. Bernoulli

Il �glio di Johann Bernoulli, Daniel (Groninga, 29 gennaio 1700 � Basilea, 27luglio 1782), interviene nel dibattito tra Eulero e D'Alembert con la memoriadel 1755, Ré�exions et eclaircissements sur les nouvelles vibrations des cordes,introducendo l'idea, motivata da osservazioni sperimentali, che il movimentodi una corda vibrante è descrivibile mediante somma di una serie di funzionitrigonometriche. Scrivendo f(x) =

∑an sin(

nπxl ) ottiene la soluzione u(x, t):

u(x, t) :=∑

an sin(nπx

l

)cos

(nπt

l

)Egli a�erma infatti che l'in�nità dei parametri an consente di far passare la

serie considerata per gli in�niti punti che desideriamo. In questo senso Bernoullivuole a�ermare che vi è una forma più generale per le soluzioni di Eulero e diD'Alembert, scavalcando il problema sollevato da Eulero.

Purtroppo però l'idea di Bernoulli, che anticipa di molto l'idea di Serie diFourier, è priva di motivazioni matematiche e si rifà alle ricerche nell'ambitodell'acustica, non consentendo di avere un seguito all'interno del dibattito. SiaEulero che D'Alembert infatti criticano aspramente la soluzione proposta da

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Bernoulli e non ne recepiscono l'innovazione. Inoltre, aggiunsero un'altra criticaalla soluzione proposta da Bernoulli, oltre all'osservazione sulla mancanza di unatrattazione analitica alla questione Secondo Eulero infatti la somma di funzioniperiodiche è necessariamente periodica e, se f(x) non è periodica, non potràessere rappresentata mediante serie trigonometriche.

In realtà tale critica non sussisterebbe poiché ciascuna soluzione deve essereristretta all'intervallo in cui la corda vibra e non è intesa nell'intero dominio dide�nizione. In questo senso ancora una volta Eulero mostra come il suo con-cetto di funzione sia sostanzialmente nominale benché guidato da un'intuizionegeometrica: egli non concepisce l'idea di restringere il dominio di una funzionepoiché associa a ciascuna funzione l'intero suo dominio di esistenza. 6

Soluzione di Lagrange

Figura 3.2. Giusep-pe Lodovico Lagran-gia.

A questo punto entra nel dibattito anche Lagrange. Giu-seppe Lodovico Lagrangia (Torino, 25 gennaio 1736 � Pa-rigi, 10 aprile 1813) è stato un matematico e astronomoitaliano per nascita e formazione, attivo nella sua matu-rità scienti�ca sia all'Accademia di Berlino che a Pari-gi. Lagrange viene unanimemente considerato uno tra imaggiori e più in�uenti matematici del XVIII secolo. Lasua più importante opera è il testo Mécanique analytique,pubblicato nel1788. In campo matematico Lagrange è ri-cordato per le sue attività in teoria dei numeri, per aversviluppato il calcolo delle variazioni, per aver delineato ifondamenti della meccanica razionale, per i risultati nelcampo delle equazioni di�erenziali e per essere stato unodei pionieri della teoria dei gruppi. Nel settore dell'astro-nomia condusse ricerche sui calcoli della librazione lunaree sul moto dei pianeti 7.

6Lebesgue nel 1906 scrive:

�Se l'a�ermazione di Bernoulli fosse stata esatta occorreva che una serie tri-gonometrica potesse uguagliare una funzione lieare in un intervallo e un'altrafunzione lineare in un altro intervallo; o, se si vuole, bisognava che due espres-sioni analitiche fossero uguali in un intervallo e diverse in un altro. Tutto ciòsembrava impossibile.�

Ed aggiunge in nota:

�Siccome si ammetteva che due espressioni analitiche uguali in un intervallosono uguali dappertutto, si ammetteva che era su�ciente dare una funzione conuna de�nizione analitica in un intervallo, per quanto piccolo, perché essa fosseper ciò stesso determinata anche in tutto il suo dominio d'esistenza. Da qi ilnome di funzioni continue dato da Euler a queste funzioni. E' solodopo Cauchyche il termine funzione continua ha acquisito il senso attuale. La proprietà cheEuler pensava di riconoscere nelle sue funzioni continue è quella che caratterizzale funzioni analitiche di una variabile complessa. Fino a Weierstrass, che fecevedere che due espressioni analitiche di una variabile complessa possono essereuguali in un dominio senza esserlo dappertutto, si ammetteva generalmente chequesta continuità euleriana appartenesse ad ogni funzioni di variabile complessade�nita da un procedimento analitico.�

7Non rendiamo giustizia con queste poche righe al contributo di Lagrange. Rimandiamoin questo senso ad altri testi.

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3.2. Conclusioni 3. Il problema della corda vibrante

Lagrange vi prende parte nel 1759 quando pubblica da Torino un articolo incui si propone di liberare le soluzioni precedenti di Eulero e D'Alembert dalleconsiderazioni sulla legge di continuità. Il lavoro però viene giudicato pocorigoroso matematicamente e così due anni più tardi Lagrange tenta di nuovoil programma proponendo un metodo diverso nel suo trattato sulla natura e lapropagazione del suono (1760-1761).

Con un metodo che assomiglia in maniera impressionante all'introduzione disoluzioni deboli mediante identità integrali, e che porta Lagrange ad un passodalla dimostrazione della rappresentabilità di funzioni mediante serie trigono-metriche e la determinazione dei cone�cienti di tali serie mediante integralide�niti.

3.2 Conclusioni

Il problema della corda vibrante ha l'ottimo merito di aver stimolato quindi ladiscussione circa il concetto di funzione. Presto infatti il problema verrà accan-tonato per concentrarsi su alcune questioni generali che stanno alla base del-l'e�ettiva a�dabilità delle teorie euleriane, e più ampiamente, delle concezionidell'analisi in voga in europa in quel periodo:

• Si può liberare dal riferimento intuitivo la de�nizione di funzione e dicontinuità?

• E' su�ciente per le applicazioni una de�nizione formale di funzione?

• Che tipo di soluzioni hanno le equazioni alle derivate parziali ed in generalei problemi del calcolo di�erenziale?

• Si possono chiamare funzioni espressioni non analitiche?

In questo panorama di seconda metà del diciottesimo secolo, lo stesso Euleroè costretto a rivedere il concetto di funzione. Nelle Istitutiones calculi di�eren-tialis, da una nuova de�nizione di funzione, molto più generale ed elastica dellaprima:

�Se delle quantità dipendono da altre in modo tale che dalle mu-tazioni di queste anche le prime subiscano delle variazioni, esse siusano chiamare funzioni di queste. Questa denominazione ha un'e-stensione molto ampia e comprende in sé tutti i modi con i quali unaquantità si può determinare per mezzo di altre. Se dunque x rappre-senta una quantità variabile, allora tutte le quantità che dipendonoda x in un modo qualunque o possono determinarsi per mezzo diessa, sono chiamate funzioni di essa.� (Eulero, Istitutiones calculidi�erentialis, 1750)

Da questo punto di vista Eulero sembra ben più rivoluzionario del rivoluzio-nario D'Alambert ampliando in maniera assai generale il signi�cato del termi-ne funzione. Nonostante però la de�nizione appaia così elastica, nella praticaverranno considerate ancora funzioni non dissimili dalle funzioni algebriche etrascendenti tradizionali, cosìcché la nuova de�nizione di Eulero non sarà suf-�ciente a risolvere de�nitivamente la questione: si trattava da questo puntodi vista solamente di un arti�cio linguistico, ma la concezione del concetto difunzione era ancora legata alle intuizioni passate.

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Saranno necessari ancora molti anni perché, non solo nella teoria, ma anchenell'uso comune, si utilizzi una concezione di funzione sganciata dall'idea geo-metrica di �movimento uniforme� che aveva caratterizzato in parte la concezioneeuleriana: ancora una volta è da rilevare il fatto che tale restrizione non è daimputare a pigrizia o di�coltà di astrazione, ma quanto alla di�coltà di operarecon funzioni arbitrarie in sé visto che la pratica non chiedeva niente di più difunzioni continue a tratti.

Nel prossimo capitolo vedremo come a cavallo tra il diciottesimo ed il dicianno-vesimo secolo vengono recepite le novità introdotte dal dibattito sul problemadella corda vibrante e quali sono gli interpreti degli sviluppi che seguiranno inmatematica alla morte di Eulero nel 1783.

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Capitolo 4

Mutamenti nel concetto di

funzione

Uno degli esiti del dibattito sul problema della corda vibrante fu quello di con-centrare l'attenzione dei matematici di allora sulla de�nizione euleriana di fun-zione, al �ne di cercare di comprendere quali fossero gli oggetti matematici cherisultavano dal calcolo di�erenziale ed integrale, in particolare, dalla risoluzionedi equazioni di�erenziali alle derivate parziali.

In particolare il problema della corda vibrante aveva messo in luce il fattoche la de�nizione euleriana di funzione data nell'Introductio in Analysin In�ni-torum era del tutto inadeguata a guidicare dalle conclusioni che si ottenevanousandola. Anche la de�nizione data da Eulero nelle Istitutiones non sembravasoddisfacente poiché si richiamava alle stesse categorie concettuali che avevanoguidato la de�nizione precedente.

In questo senso la presunta evoluzione del concetto di funzione ci apparenominale più che sostanziale. Non è un caso che nel 1787, solo quattro annidopo la morte di Eulero e D'Alembert l'Accademia di Pietroburgo bandisce unpremio per chi avesse risolto meglio il problema di determinare:

�Se le funzioni arbitrarie cui si perviene mediante l'integrazione diequazioni a tre o più variabili, rappresentino delle curve o super�ciqualunque, sia algebriche o trascendimenti, sia meccaniche, disconti-nue, o generate da un movimento arbitrario della mano; o se questefunzioni comprendano soltanto delle curve continue rappresentate daun'equazione algebrica o trascendente.�

In questo capitolo ci occupiamo di presentare alcune �gure importanti nellamatematica a cavallo tra il diciottesimo e diciannovesimo secolo:

• Louis François Antoine Arbogast: vince il premio dell'Accademia di Pie-troburgo ed introduce l'idea odierna di funzione discontinua.

• Marie-Jean-Antoine-Nicolas de Caritat, marchese di Condorcet: recepisceper primo la generalità della revisione euleriana del concetto di funzione.

• Giuseppe Ludovico Lagrangia: pur non presentando una nuova de�nizionedi funzione, rende esplicita la ricerca di criteri di rigore per l'analisi.

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4.1. Arbogast (1759 - 1803) 4. Mutamenti nel concetto di funzione

4.1 Arbogast (1759 - 1803)

Il premio dell'Accademia di Pietroburgo viene vinto da una memoria di Arbogast(Mutzig, 4 ottobre 1759 � Strasburgo, 18 aprile 1803) del 1791. In questo scrittoegli dà le seguenti de�nizioni:

�[. . . ] La legge di continuità consiste nel fatto che una quantità nonpuò passare da uno stato ad un altro senza passare attraverso tuttigli stati intermedi che sono soggetti alla stessa legge.

Le funzioni algebriche sono considerate continue, poiché i dif-ferenziati valori di queste funzioni dipendono nella stessa manierada quelli della variabile, e supponendo che la variabile scesca conti-nuamente, la funzione subirà variazioni in modo corrispondente, matuttavia non passerà da un valore a un altro senza passare attraversotutti i alori intermedi.

Quindi l'ordinata y di una curva algebrica, quando l'ascissa xvaria, non può passare bruscamente da un valore a un altro; non cipuò essere un salto fra una ordinata e un'altra che di�erisce da essadi una quantità pre�ssata, ma tutti i successivi valori di y devonoessere collegati tra loro da una stessa legge [...].

Questa continuità può essere vani�cata in due modi:

1. La funzione può cambiare la sua forma, vale a dire la leggesecondo cui la funzione dipende dalla variabile può cambiaredel tutto. Una curva formata dall'unione di alcune porzioni dicurve di�erenti è di questo tipo. Non è neppure necessario chela funzione y debba essere espressa da un'equazione in un certointervallo della variabile; essa può continuamente cambiare lasua forma e la linea che rappresenta, al posto di essere l'unionedi curve regolari, può essere interamente irregolare e non seguirealcuna legge per ogni intervallo comunque piccolo. Tale sarebbeuna curva tracciata a caso dal libero movimento della mano.Questo tipo di curve non può essere rappresentato né da unané da più equazioni algebriche o trascendenti [...].

2. La legge di continuità viene meno anche quando le di�erentiparti di una curva non si congiungono tra loro�

(Arbogast, Memoire sur la nature des fonctions, 1791)

Le curve al secondo punto vengono dette da Arbogast funzioni �discontigue� enon sono altro che le nostre funzioni discontinue. Nella memoria si a�erma che lefunzioni arbitrarie che compaiono nell'integrazione delle eqauzioni di�erenzialisono di entrambi i tipi elencati. Per esempio - secondo Arbogast - nell'equazionedelle corde vibranti si può pensare ad un salto dei valori di entrambe le derivateparziali coinvolte in maniera tale che si mantenga vera l'ugualianza data dalproblema.

Possiamo concludere che la memoria di Arbogast generalizza la de�nizionedi funzione data da Eulero nell'Introductio annettendo la possibilità di funzionidiscontinue �no ad allora non considerate (ricordiamo che secondo la primade�nizione di Eulero tutte le funzioni erano continue nel senso odierno, al più nondi�erenziabili). Ma non solo, ma Arbogast è esplicito nel considerare funzionide�nite �a tratti� intuendo così l'idea di dominio.

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4.2. Condorcet (1734 -1794) 4. Mutamenti nel concetto di funzione

Rimane evidente, anche nel resto della memoria, l'atteggiamento critico diArbogast verso un tipo di de�nizione puramente formale di funzione che facciariferimento all'espressione simbolica da cui è rappresentata.

E' bene comunque sottolineare che, nonostante la memoria sembra aprirsiad una concezione più ampia di funzione, Arbogast si a�retta a precisare l'ideaintuitiva che ha in mente nello stilare tale de�nizione, invocando l'immaginetutt'altro che moderna �della mano che si muove sul foglio�. Questo fatto dimo-stra la di�coltà di liberarsi da un riferimento geometrico intuitivo del concettodi funzione.

4.2 Condorcet (1734 -1794)

Figura 4.1. Il mar-chese di Condorcet.

Marie-Jean-Antoine-Nicolas de Caritat, marchese di Con-dorcet (Ribemont, 17 settembre 1743 � Bourg-la-Reine,29 marzo 1794), è stato un matematico, economista, �lo-sofo e politico francese. Fece parte del gruppo che redigel'Enciclopedia, stringendo una pro�cua collaborazione inparticolare con D'Alembert e con Voltaire. Nel 1769 en-trò a far parte dell'Académie des Sciences, di cui divennesegretario nel 1773. Nel 1782 fu eletto all'Académie Fra-nçaise. Partecipò attivamente alla Rivoluzione Francesenel partito dei girondini e fu oggetto di proscrizione peri suoi contrasti con Robespierre, in particolare per diver-genze sulle leggi costituzionali e per la sua opposizione allapena di morte per Luigi XVI, ed in seguito incarcerato.Come matematico scrisse nel 1765 sul calcolo integrale,nel 1768 diversi saggi di analisi e nel 1785 un saggio sull'applicazione dell'ana-lisi alla probabilità delle decisioni prese a maggioranza di voti, dove tentava diapplicare forme di calcolo matematico ai fenomeni sociali. Morì in prigione, incircostanze poco chiare ma probabilmente suicida, nel 1794.

Uomo politico, riformatore nel campo dell'istruzione e autore di due trattatisul calcolo integrale, Condorcet sembra essere il primo a cogliere la generalitàintrodotta dalla seconda de�nizione di funzione data da Eulero. Ciò sembraabbastanza sorprendente visto che Condorcet non era un matematico di profes-sione. Nel 1765 pubblica un testo sul calcolo integrale Traité du calcul integral,ed in seguito lavorerà ad un'opera incompiuta, ma con lo stesso titolo, nellaquale dà la seguente de�nizione di funzione:

�Suppongo di avere un certo numero di quantità x, y, z. . . , F eche ogni valore determinato di x, y, z,. . . , F abbia uno o più valorideterminati che corrispondono ad essi. Io dico allora che F è unafunzione di x, y, z, . . . . In�ne, so che, allorché x, y, z, . . . sarannodeterminati, lo sarà anche F ; anche se non conoscerò né la formadell'equazione tra F e x, y, z, . . . io saprò che F è funzione di x, y,z,. . . . � (Condorcet, Traité du calcul integral)

Per funzione analitica egli intende: una funzione di natura del tutto arbi-traria, dove il termine �analitico� sta a signi�care che lo studio di simili oggettiavviene nel contesto dell'analisi. Inolte distingue le funzioni di cui si conosce la

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4.3. Lagrange (1736-1813) 4. Mutamenti nel concetto di funzione

forma (cioè esplicite), le funzioni introdotte da equazioni tra F e x, y, z,. . . (cioèimplicite) e le funzioni date mediante certe condizioni (per esempio equazionidi�erenziali).

Nonostante il notevole grado di generalità, Condorcet riconduce lo studio difunzioni arbitrarie allo studio della serie di Taylor di queste, che viene assuntocome fondamento di tutta l'analisi. Quest'idea corrisponde all'idea di Eulerocirca la rappresentabilità in serie di qualunque funzione a meno di alcuni puntisingolari. In questo, oltre che da Eulero, Condorcet è in�uenzato dalle idee diLagrange, come vedremo più avanti.

Gli appunti di Condorcet per il suo secondo trattato sul calcolo integrale,in�uenzano i matematici �no alla prima metà del diciannovesimo secolo. Così,per esempio, Lacroix (1765 - 1834) dà la seguente de�nizione di funzione:

�In�ne, delle nuove idee, portate dallo sviluppo dell'analisi, hannodato luogo alla de�nizione seguente di funzione: ogni quantità il cuivalore dipenda da una o più altre quantità è detta funzione di questeultime sia che si sappia sia che si ignori attraverso quali operazionioccorra passare per risalire da queste alla prima.� (Lacroix, Traitédu calcul di�erentiel et du calcul integral,1810)

Queste de�nizioni benché mantengano un livello di generalità inedito almeno�no al 1748, conservano soltanto un valore nominale dacché nella pratica lefunzioni considerate sono ancora sostanzialmente quelle di tipo analitico.

4.3 Lagrange (1736-1813)

Il tentativo più coerente di stabilire una teoria delle funzioni, e quindi un fon-damento sicuro per il calcolo integrale, fu dato da Lagrange nel suo Theorié desfunctions analytiques del 1797.

Per far questo egli si rifà alle de�nizioni di Leibniz e Bernoulli di �funzione�:restringendo così il campo delle funzioni ammissibili alle sole funzioni analiti-che. Lo sforzo innovatore di Lagrange, va ricercato non tanto nella generalitàdella sua concezione quanto nella volontà di liberare de�nitivamente il calcolodi�erenziale da �considerazioni di in�nitesimi, di quantità evanescenti, di limitie �ussioni� e ricondurlo �all'analisi algebrica di quantità �nite� (come scriveLagrange stesso nel sottotitolo dell'opera). Il suo trattato si apre così con laseguente de�nizione di funzione:

�Si chiama funzione di una o più quantità ogni espressione del calcolonella quale queste quantità entrano in maniera qualunque, insiemeo no con altre quantità che si considerano come aventi dei valoridati e costanti, mentre le quantità della funzione possono assumereogni valore possibile.� (Lagrange, Theorié des functions analytiques,1797)

Bisogna osservare che Lagrange contribuisce in questo senso a separare ifondamenti del calcolo in�nitesimale dall'intuizione geometrica e dalla meccani-ca. Egli sottolinea più volte l'esigenza di un progressivo distacco dal riferimentogeometrico o meccanico nel trattare i problemi dell'analisi e la necessità di auto-nomi criteri di coerenza. Nel trattato di Meccanica Analitica del 1788 Lagrangead esempio sottolinea:

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�In quest'opera non si troveranno a�atto �gure. I metodi che viespongo non richiedono ne costruzioni ne ragionamenti geometrici omeccanici, ma soltanto delle operazioni algebriche.�

Questa sarà la strada che e�ettivamente verrà percorsa nel futuro dai mate-matici del secolo diciannovesimo.

Pertanto l'esperienza di Lagrange non è da leggere come un nostalgico ri-torno al passato, ma rappresenta certamente un passo avanti nella concezionedell'analisi come branca indipendente che ha la necessità di trovare in se stessadei fondamenti ben più solidi del riferimento alla geometria o alla meccanica:

Per perseguire questo obiettivo Lagrange restringe il campo di azione del-la de�nizione di funzione, evitando le complicazioni dovute all'annessione difunzioni non analitiche e considerando tutte le funzioni espandibili in serie dipotenze come aveva già fatto Eulero. In realtà tale assunzione è il punto deboledi tutta la costruzione lagrangiana, ma non è questo il contributo che vogliamosottolineare.

Infatti, benché i matematici di �ne XVII ancora legati alle concezioni pas-sate, non sappiano risolvere completamente i problemi legati alle de�nizionieuleriane, riescono comunque a comprendere più a fondo le necessità nuove pre-sentatesi alla vigilia del diciannovesimo secolo: ricercare non solo la generalitàdella de�nizione di funzione ma anche un fondamento per i termini dell'analisi,sia concettuale sia formale, che sappia staccarsi de�nitivamente dal riferimentogeometrico e �sico, trovando così criteri di rigore interni all'analisi stessa.

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Capitolo 5

Inizi XIX secolo: Fourier

5.1 Professione matematico.

Riportiamo come introduzione a questo capitolo le parole di Bottazzini in [3] 1:

�Tra il Settecento e l'Ottocento si veri�ca una profonda frattura sul piano po-litico, sociale ed economico ad opera della rivoluzione francese, un fatto che haun'importanza decisiva anche rispetto alla storia della matematica. Infatti comeesito della radicale trasformazione operata dalla Rivoluzione francese anche lamatematica esce profondamente mutata, sia nel ruolo sociale de matematici chenegli orientamenti della ricerca. [...]�

�Nel settecento i matematii svolgevano la loro attività all'ombra delle ac-cademie, senza pbblighi di insegnamento, con un appannaggio assicurato dalmecenatismo dei pìncipi e dei sovrani (esemplari da questo punto di vista eranole accademie di Berlino, dove lavorò lungamente Eulero, e poi Lagrange primadi lasciare la Germania per l'Accademia di Parigi, e quella di Pietroburgo, dovefurono attivi lo stesso Eulero e Daniel Bernoulli). [...] Alle Accademie eranoa�date in pratica le sorti dello sviluppo della matematica e alle memorie o agliatti delle accademie era dovuta la propagazione dei risultati e delle soperte [...]�.

�La situazione cambia radicalmente, prima in Francia e poi nel resto d'Eu-ropa, in seguito alla Rivoluzione francese. Il fatto che materialmente segna lasvolta nel modo din intendere (e di svolgere) il mestiere del matemaico è la fon-dazione delle grandi scuole francesi, anzitutto l'Ecole Polytechnique e l'EvoleNormale Superieure [...]. Le scuole francesi sono costitutite con compito preci-so di formare una estesa classe di ingegneri e di tecnici adeguata alle esigenzemilitari e produttive della Francia rivoluzionaria (e poi bonapartista[...]). comeinsegnati sono chiamati matematici tra i più prestigiosi, quali Monge, Legendre,Lacroix, Laplace, Lagrange. [...]�

�Il tipo di insegnamento impartito nelle scuole uscite dalla Rivoluzione èfondato sulla matematica, �pura e applicata�, dove impegnativi corsi di anali-si erano a�ancati da corsi di meccanica o di geometria descrittiva, la nuovadisciplina elaborata da Monge e rivelatasi anche di grande interesse strategico-militare. Il piano di studi prevedeva un severo impegno da parte di docenti estudenti, i pirmi impegnati, oltre che nelle lezioni, in seminari, esami e, cosa

1Riportiamo con qualche taglio l'intera introduzione al paragrafo 2.1 del testo indicato.

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5.2. Le Serie di Fourier 5. Inizi XIX secolo: Fourier

fondamentale, nello scrivere manuali dei rispettivi corsi; i secondi a tenere ilpasso previsto da rigidi programmi. [...]�

� Il fatto che i matematici divegano, a partire dall'ottocento, professori avràesiti non indi�erenti anche proprio nello speci�co della matematica, per quantoriguarda l'organizzazione rigorosa delle teorie in funzione didattica. Inoltre,la caatterizzazione �politecnica� dell'insegnamento, con una grande atttenzionerivola agli aspetti �applicati�, costituirà un tratto distintivo per lungo tempodela matematica francese, e contribuirà, tra l'altro, ad assicurare all'analisi unruolo privilegiato tra le varie branche della matematica.�

5.2 Le Serie di Fourier

Alla �ne del Settecento lo studio della natura del calore era una questione digrande interesse per �sici e matematici. Si sta cominciando ad intuire la pos-sibilità di usare il calore come fonte di energia: numerosi tecnici lavorano allacosa facendo sì che compaiano macchine a vapore nei processi industriali e nellefabbriche tessili. Ma se in Inghilterra c'è sostanzialmente interesse pratico perla cosa, in Francia numerosi matematici pubblicarono memorie a riguardo.

Figura 5.1. JeanBaptiste Joseph Fou-rier.

Uno di questi sarà Jean Baptiste Joseph Fourier Auxer-re, 21 marzo 1768 � Parigi, 16 maggio 1830) è stato unmatematico e �sico francese. La sua istruzione si compìdapprima presso i monaci benedettini, poi in una scuolamilitare. Partecipò alla Rivoluzione francese, rischiandodi essere ghigliottinato durante il Terrore, ma fu salva-to dalla caduta di Robespierre. Entrò quindi nella ÉcoleNormale Supérieure, dove ebbe come professori, tra gli al-tri, Joseph-Louis Lagrange e Pierre-Simon Laplace. Suc-cedette a quest'ultimo nel ruolo di professore alla ÉcolePolytechnique nel 1797. Fourier partecipò alla campa-gna d'Egitto di Napoleone nel 1798 e ricoprì un impor-tante ruolo di diplomatico in quel paese. Al suo ritornoin Francia, nel 1801, fu nominato da Napoleone prefet-to dell'Isère. Fu quindi lì, nella città di Grenoble, checondusse i suoi esperimenti sulla propagazione del calore.

Nel 1817 entrò a far parte dell'Accademia delle Scienze. Tra i suoi maggioricontributi �gurano: la teorizzazione della serie di Fourier e la conseguente tra-sformata, la formulazione dell'equazione generale della conduzione termica intermodinamica.

Nella Teorie analytique de la chaleur del 1822, Fourier a�rontò il problemadello studio della natura e della propagazione del calore. Nell'integrare le equa-zioni di�erenziali ottenute egli fece uso di serie trigonometriche determinandoneopportunamente i coe�cienti: si tratta delle serie di Fourier.

Non riportiamo qui né una descrizione del problema risolto da Fourier, néuna descrizione dei metodi usati 2, ma ci concentriamo sulle conseguenze chetale lavoro ha portato sul concetto di funzione. Così riportiamo le parole diFourier:

2Per questo rimandiamo al testo [3], cap.2.2

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5.3. Le concezioni in Fourier 5. Inizi XIX secolo: Fourier

�Risulta dalle mie ricerche che le funzioni arbitrarie anche disconti-nue possono sempre essere rappresentate da sviluppi in seno o cosenodi archi multipli, conclusione che il celebre Eulero ha sempre respinto[. . . ]. Gli sviluppi in discorso hanno questo in comune con le equa-zioni di�erenziali alle derivate parziali, che essi possono esprimere laproprietà delle funzioni interamente arbitrarie e discontinue; è perquesto che si presentano in maniera naturale per l'integrazione diqueste ultime equazioni.� (Fourier, Teorie analytique de la chaleur,1822)

Da queste poche righe si può comprendere come Fourier pensi di aver trovatola strada per caratterizzare tutte le funzioni inerenti al calcolo integrale, comerichiedeva il concorso di Pietroburgo circa trent'anni prima. Egli a�erma inparticolare che le sue serie trigonometriche possono rappresentare funzioni nonnecessariamente de�nite da un'unica espressione analitica e non necessariamentecontinue. Per funzione Fourier intende:

�La funzione f(x) rappresenta una successione di valori o di ordinateciascuna delle quali è arbitraria. [. . . ] Noi non supponiamo chequeste ordinate siano soggette a una legge comune; esse si succedonol'una all'altra in maniera qualsiasi.� (Fourier, Teorie analytique dela chaleur, 1822)

Nell'entusiasmo della sua scoperta egli a�erma che con tali serie si possa-no rappresentare funzioni completamente arbitrarie benché egli avesse operatosoltanto con funzioni con un numero �nito di discontinuità. Nonostante que-sto slancio sia immotivato sul piano matematico, l'opera di Fourier rappresentacomunque la rottura de�nitiva con l'idea che le funzioni analitiche siano il proto-tipo di tutte le funzioni: non solo infatti il problema �sico impone una revisionedi tale concetto, ma la de�nizione di serie di Fourier mostra concretamente l'esi-stenza di una quantità di funzioni che non può essere ignorata nella risoluzionedi problemi inerenti alla risoluzione di equazioni di�erenziali.

Si ha infatti che le funzioni rappresentate dalle serie di Fourier sono benpiù generali delle funzioni analitiche: per esempio una serie di Fourier nonrappresenta per forza una funzione derivabile e tantomeno continua. Poichéle proprietà delle funzioni analitiche non potevano più essere estese a tutte lefunzioni, sorse il problema di individuare, al di là del riferimento gra�co intutivo,il signi�cato preciso da dare ai concetti di funzione, di continuità, di derivabilità,di integrabilità, e così via.

5.3 Le concezioni in Fourier

L'opera di Fourier impone una ri�essione più approfondita di quella propostada Eulero e D'Alembert, ma aggiunge nuovi elementi di interesse.

Le ricerche di Fourier non avvengono sulla spinta di una sempre maggio-re generalizzazione dei risultati, anzi, la genralità è un argomento indotto daiproblemi a�rontati, e ci spinge su questa via solo quanto basta per risolverli com-piutamente. Per Fourier l'analisi rimane quindi una scienza molto concreta. Perquesto motivo egli ri�uta il formalismo lagrangiano ed euleriano, sottolinean-do il ruolo fondamentale che la �sica matematica sta acquisendo nello sviluppo

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5.3. Le concezioni in Fourier 5. Inizi XIX secolo: Fourier

dell'analisi: Si ha infatti che i risultati di quest'ultima, secondo Fourier, nondevono soltanto provenire da problemi della Fisica, ma devono anche spiegarnei fenomeni e quindi essere veri�cati da questa.

In parole povere, la matematica deve trovare nella realtà esterna (�sica) sti-moli e veri�che (e dunque anche i propri criteri di rigore): questa è l'indicazioneche emerge con chiarezza dall'opera di Fourier, in totale contrasto con le idee,per esempio, di Lagrange viste al capitolo precedente.

Il carattere della matematica usata da Fourier è del tutto nuovo rispetto aquello di Lagrange. Riportiamo le parole di Bottazzini in [3]:

�Il concetto di funzione, in Fourier, non è rivestibile con l'abitostret-to imposto da Lagrange, né tantomeno la sua idea di analisi è quellalagrangiana di studio algebrico di quantità �nite. Il rigore lagrangia-no (di cui, non a caso, la trattazione di Fourier è accusata di esserecarente) viene sostituito da un'altra concezione, non formale. Adesempio per quanto riguarda le serie [...] è rigorosa per Fourier nongià la trattazione (se pure formalmente ineccepibile) delle funzionimediante serie di Taylor, ma un calcolo e�ettivo dei primi n termini,che mostra già come debba essere il limite per n in�nito, e poi unaveri�ca dei risultati sui dati (matematici o �sici) da cui si è partiti.�

La concretezza della concezione di Fourier sarà l'elemento principale di di-stinzione tra la matematica francese e quella tedesca. Lontano dalla rivoluzioneindustriale inglese e dalla Rivoluzione francese i matematici tedeschi elaboranouna concezione della matematica separata dalla pratica, e non è un caso che lequestioni sui fondamenti della matematica siano anzitutto sollevate da matema-tici tedeschi quali Kroneker, Dedekind, Weierstrass e Cantor, prima di divenirea cavallo del 1900 argomento di discussione generale.

Agli inizi del XIX secolo la de�nizione di funzione si stacca de�nitivamente dalriferimento geometrico intuitivo di movimento per abbracciare non solo in teoriama anche in pratica una nuova concezione del termine funzione. Questo aprenuove problematiche volte a chiarire i termini dell'analisi:

• Cosa vuol dire che una funzione è continua?

• A cosa converge una generica serie di Fourier? Quando converge?

• Come derivare o integrare una serie in�nita?

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Capitolo 6

Nuovi punti di vista

6.1 Abel: questioni aperte all'inizio del secolo

Per comprendere quali fossero le problematiche all'inizio del XIX secolo cheriguardavano l'analisi riportiamo un estratto da una lettera di Abel (1802-1829)a proposito:

�[L'analisi] manca a tal punto di un piano e di una struttura che èassolutamente stupefacente che possa essere studiata da tanta gente,e il peggio è che non è fatta per nulla con rigore. Non ci sono chepochissime proposizione, nell'analisi superiore, che siano dimostratecon indiscutibile rigore.

Dappertutto si trova questa per�da abitudine di etrapolare dalparticolare al generale, ed è ben strano che con un simile metodonon si trovino malgrado tutto che pochi paradossi. [...]

A mio parere questo deriva dal fatto che le funzioni di cui l'ana-lisi si è occupata �nora possono, nella maggioranza dei casi, essereespresse per mezzo di potenze. Non appena ne intervengono altre,cosa che invero accade piuttosto raramente, allora le cose non tor-nano più e da conclusioni false derivano una serie di proposizioniscorrette, ad esse concatenate.�

Ed ancora:

�Le serie divergenti sono in clocco un'invenzione del diavolo ed è unavergogna che si osi fondare sopra esse la pur minima dimostrazione.Usandole, si può mostrare tutto quello che si vuole e sono esse chehanno portato tanti guai e creato tanti paradossi.�

In questo modo Abel mostra la carenze insite nel modo di far analisi agli inizidel secolo evidenziando la mancanza di una struttura organica dei concetti cheimplicasse la presenza di maggior rigore nell'utilizzo di questi, in particolar modonell'uso delle serie di potenze: Abel giudica gran parte dei risultati, sebbenesorprendentemente non contradditori, malfondati poiché basati sul teorema diespansione in serie di Taylor applicato a funzioni arbitrarie.

Nonostante l'universalità e la potenza del calcolo in�nitesimale, quest'ulti-mo rimane problematico nei suoi principi di base. Il concetto di funzione, di

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6.2. Il Cours d'Analyse di Cauchy 6. Nuovi punti di vista

continuità, di somma di una serie in�nita di funzioni, di limite..., non sono suf-�cientemente ben formulati da rendere rigorosi le deduzioni in campo analitico.In altre parole manca un concetto di rigore applicabile ai risultati teorici e cherisponda alle necessità evidenziate dalla pratica applicativa.

Vi è quindi la lucida consapevolezza che non sono solo necessari criteri dirigore esterni alla logica dell'analisi ma anche derivanti da fondamenta sicuresu cui poggiarne i concetti basilari. Di questo si occuperanno come anticipatonel capitolo precedente quei didatti che avranno l'esigenza di redigere lezionie corsi scolastici che presentino in maniera organica i risultati dell'analisi. Inparticolare la �gura di maggior rilievo in questo ambito è certamente quella diCauchy.

6.2 Il Cours d'Analyse di Cauchy

Figura 6.1. Augu-stin Louis Cauchy.

Augustin-Louis Cauchy (Parigi, 21 agosto 1789 � Sceaux,23 maggio 1857) . Cauchy studiò all'École Centrale duPanthéon nel 1802, all'École Polytechnique nel 1805 edin�ne all'École Nationale des Ponts et Chaussées nel 1807,uscendone ingegnere di ponti e strade nel 1809. Lagran-ge e Laplace lo persuasero a rinunciare all'ingegneria e adedicarsi completamente alla ricerca scienti�ca in Mate-matica. Le sue indubbie qualità gli fruttarono le cattedrealla stessa École Polytechnique, al Collège de France e al-la Sorbona. Intransigente legittimista, nel 1830, ri�utò digiurare fedeltà agli Orléans e fu perciò costretto a lascia-re l'insegnamento e a recarsi in esilio, prima in Svizzerapoi a Torino come docente di �sica sublime all'università(1831). Nel 1833 si trasferì a Praga in qualità di precetto-re del conte di Chambord, nipote di Carlo X. Ritornò in

Francia nel 1838, dove prese ad insegnare in vari istituti religiosi, �no a quando,dispensato dal giuramento alla repubblica da Napoleone III, poté riprendere lacattedra di �sica matematica alla Facoltà di Scienze della Sorbona. Cauchycrebbe in una famiglia di convinte idee monarchiche e fu un cattolico egualmen-te convinto. In suo onore è stato battezzato il cratere Cauchy, sulla super�ciedella Luna.

Nei tre testi, Cours d'analyse de l'Ecole Polytechnique (1821), Resume deslecons su le calcul in�nitesimal (1823), Lecons sur le calcul di�erentiel (1829),Cauchy dà un'esposizione del calcolo in�nitesimale, presentandolo con la vestemoderna che viene ancora oggi presentata, facendo quello che fece Eulero circaun secolo prima alla luce dei nuovi risultati e dei problemi che sin lì si eranopresentati.

Sin dalle prime pagine del suo Cours d'analyse egli dichiara esplicitamentedi non voler ammettere in analisi l'estensione all'in�nito dei passaggi algebricial �nito, senza il rigore dovuto:

�Quanto ai metodi, ho cercato di dar loro tutto il riore che si esigein geometria in modo da non ricorrere mai ad argomenti tratti dallageneralità dell'algebra.

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Argomenti di questo tipo, benché ammessi assai comunementesoprattutto nel passaggio dalle serie convergenti a quelle divergentie dalle quantità reali alle espressioni immaginarie, non possono essereconsiderati, mi sembra, che come delle induzioni adatte a far talvoltapresentire la verità, ma che poco s'accordano con l'esattezza tantovantata delle scienze matematiche.

Bisogna inoltre osservare che essi tedono a far attribuire alle for-mule algebriche un'estensione inde�nita, mentre in realtà la maggiorparte di queste formule sussiste unicamente sotto certe condizioni eper certi valori delle quantitòà in esse contenute.

Determinando queste condizioni e questi valori e �ssando in modopreciso il senso delle notazioni di cui mi servo, faccio sparire ogniincertezza.� (Cauchy, Cour d'Analyse, 1821)

Lo strumento che Cauchy usa per condurre a termine la sua opera ri revisionecritica è la teoria dei limiti, ed il concetto di limite sarà quello attraverso il qualede�nire la continuità delle funzioni, la derivabilità, l'integrale, la convergenza ela divergenza di una serie, nonché la sua somma. Non è più la rappresentabilitàin serie di potenze, come in Lagrange, la base dalla quale partire, ma è il concettoastratto di limite.

E' quindi naturale che questo testo si apra con la de�nizione che segue:

�Allorché i valori successivamente assunti da una stessa variabile siavvicinano inde�nitamente a un valore �ssato, sì da di�erirne alla�ne tanto poco quanto si vorrà, quest'ultima quantità è chiamata illimite di tutte le altre�

Dato questa de�nizione è possibile dare de�nizioni coerenti di in�nito ed in�nite-simo come variabile �che cresce sempre di più in modo da superare ogni numerodato� e variabile �che ha zero come limite�, rispettivamente. Inoltre vengonode�nite le operazioni algebriche e trascendenti elementari come da tradizione,per poi passare al concetto di funzione:

�Allorché delle quantità variabili sono legate tra loro in modo ta-le che, dato il valore di una, si possa ricavare il valore di tutte lealtre, queste, espresse per mezzo della variabile indipendente, sonochiamate funzioni di questa variabile�

In�ne (almeno per quanto ci riguarda!), dopo aver de�nito in�nitesimi di primoordine e degli ordini successivi, Cauchy dà la seguente de�nizione di continuitàdi una funzione:

�Sia f(x) una funzione della variabili x, e supponiamo che, per ognivalore intermedio di x entro due limiti dati, la funzione ammettasempre un valore �nito. Se partendo da un valore di x compresoentro questi due limiti, si attribuisce alla variabile x un incrementoin�nitesimo a, la funzione stessa riceverà per incremento la di�erenzaf(x+a)−f(x) che dipenderà al tempo stesso dalla nuova variabile ae dal valore di x. Ciò posto, la funzione f(x) sarà, entro i due limitiassegnati alla variabile x, funzione continua di questa variabile se,per ogni valore di x compreso tra questi due limiti, il valore numericodella di�erenza f(x+a)− f(x) decrescerà inde�nitivamente insiemea quello di a.�

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E ancora:

�La funzione f(x) resterà continua rispetto a x fra due limiti dati, se,entro questi limiti un incremento ini�nitesimo della variabile produceun incremento in�nitesimo della funzione stessa�

La de�nizione di funzione di Cauchy appare del tutto svincolata dall'esprimi-bilità attraverso un'espressione analitica della variabile dipendente (com'era adesempio per Lagrange). Inoltre la de�nizione di funzione continua comprendeanche funzioni con punti angolosi e dunque non derivabili. L'idea di continuitàdiviene locale (Cauchy parla infatti di rimanere �ento i limiti dati�!), arrivandomolto vicino così alla concezione odierna di funzione e di funzione continua 1.

L'opera analitica di Cauchy fu importante anche perché in essa troviamo unarobusta sistemazione teorica di alcune nozioni geometriche introdotte a partiredalla �ne del XVII secolo in termini intuitivi, cui successivamente erano stateapplicate le tecniche analitiche.

Le nozioni di lunghezza di una curva, di area, di volume, erano state accet-tate nel modo in cui venivano intese intuitivamente e veniva considerato uno deimassimi risultati del calcolo in�nitesimale il fatto che queste quantità potesseroessere calcolate mediane gli integrali. Cauchy invece de�nisce queste grandezzegeometriche mediante gli integrali che erano stati formulati per calcolarle. Inquesto modo il punto di vista di Cauchy diventa quello moderno: l'analisi si libe-ra completamente del riferimento geometrico e trova in se stessa il fondamentodelle sue de�nizioni.

Dopo aver de�nito il concetto di funzione Cauchy 2 de�nisce serie convergentile serie il cui limite delle somme parziali è �nito, altrimentile chiama divergenti.Di qui Cauchy studia alcuni criteri di convergenza per le serie, tanto necessariper smascherare gli abusi nel passato: sono qui enunciati i criteri della radice edel rapporto e i criteri per le serie a segno alterno.

In generale la ricerca e la determinazione di criteri di convergenza per leserie ri�ette un radicale mutamento nel modo di intendere l'analisi rispetto allatradizione settecentesca: mentre Eulero, D'Alembert, Lagrange non sentivanola necessità di dimostrare le proprietà di analiticità di una funzione poichè l'e-spandibilità in serie era considerata come il fondamento stesso dell'analisi, orala consapevolezza dell'esistenza di serie di potenze possibilmente non convegentimette in luce la necessità di invertire questo punto di vista e pensare all'espandi-bilità in serie come una proprietà speci�ca di alcune funzioni legata all'esistenzadelle derivate. Nasce da questo l'interesse per funzioni patologiche che prenderàpiede in tutto l'Ottocento.

Un'osservazion interessante riguarda il fatto che Cauchy si assicura dellaconvergenza delle serie sotto opportune ipotesi per il termine generale dellasomma senza chiedere di conoscere quale sia di fatto il valore della somma.Questo fatto del tutto inedito sembra normale se si pensa che nella matematicaodierna le a�ermazioni di natura esistenziale sono diventate abituali.

La visione di Cauchy presenta novità di risultati condotti con un senso del rigoreinedito �no ad allora. Questo però non ci deve indurre a pensare che con Cauchy

1Cauchy è consapevole della sua novità: rimandiamo alle pag 102 - 103 in [3].2Non diamo in questo testo ulteriori approfondimenti sull'opera di Cauchy. Invitiamo il

lettore interessato a guardare il capitolo dedicato in [3].

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6.3. Dirichlet e la convergenza delle serie di Fourier 6. Nuovi punti di vista

l'analisi avesse raggiunto la sua forma de�nitiva. Se infatti la sistemazioneorganica dell'analisi da parte di Cauchy ha sciolto diversi nodi importanti, nerimangono altrettanti da risolvere e che riguardano questioni tra le più spinose:

a. L'interesse di Cauchy verso criteri di convergenza di una serie evidenziaulteriormente la necessità di provare teoremi di convergenza non solo perle serie di potenze ma anche per le serie trigonometriche come la serie diFourier apparsa nel panorama europeo nel 1822. Se infatti tali serie ave-vano messo in discussione il concetto di funzione antecedente a quello diCauchy, era necessario comprendere se tali serie e�ettivamente converges-sero e quale fosse il loro limite, identi�cando così la portata dell'estensionedel concetto di funzione annunciata da Fourier stesso. Pertanto una primaquestione è: quando una serie è convergente? a cosa converge una serie diFourier?

b. Un altro punto delicato che Cauchy non risolve, è proprio la sua de�nizionedi limite: cosa vuol dire �avvicinarsi in de�nitivamente�? E' necessarioeliminare anche da questa de�nizione un ultimo baluardo di intuizionegeometrica ereditata dalle concezioni passate. Per far questo si dovràcaratterizzare la nozione di limite in maniera più precisa e che faccia rife-rimento a proprietà proprie dei numeri reali. Si apre così il problema dellaricerca di una de�nizione dei numeri reali che renda ben fondato l'interocastello dell'analisi. Da qui trarrà origine la cosìdetta �aritmetizzazionedell'analisi�.

Nella prossima sezione diamo una risposta parziale alla prima questioneintroducendo l'opera di Dirichlet.

6.3 Dirichlet e la convergenza delle serie di Fou-rier

L'opera di Fourier aveva rivelato che una vasta classe di funzione può essererappresentata mediante serie trigonometriche. Rimaneva però aperto il proble-ma di determinare condizioni su�cienti a�nché una funzione sia sviluppabilein serie di Fourier. In questo senso vi furono dei tentativi di risoluzione delproblema da parte di Poisson e Cauchy, ma non portarono molto lontano. Laquestione della convergenza delle serie di Fourier ebbe un primo risultato in unlavoro di Dirichlet.

Figura 6.2. LejeuneDirichlet.

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Düren, 13 feb-braio 1805 � Gottinga, 5 maggio 1859) La sua famigliaproveniva dalla città di Richelet nel Belgio, da cui derivòil cognome �Lejeune Dirichlet� (�le jeune de Richelet� =�il ragazzo di Richelet�). Fu educato in Germania e quindiin Francia, dove ebbe modo di conoscere molti dei più ce-lebri matematici del tempo. Sposò Rebecca Mendelssohn,che veniva da una distinta famiglia ebrea, essendo nipotedel �losofo Moses Mendelssohn, e sorella del compositoreFelix Mendelssohn. Dopo la sua morte, gli scritti di Diri-chlet e tra cui molti risultati in teoria dei numeri furonoraccolti, curati e pubblicati dal suo amico e matematico

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Richard Dedekind con il titolo Vorlesungen über Zahlen-theorie (Lezioni sulla teoria dei numeri). I suoi contributimaggiori furono oltre che in teoria dei numeri anche inmeccanica razionale e sistemi dinamici.

In Sur la convergence des series trigonometriques del 1829, Dirichlet diede ilprimo insieme di condizioni su�cienti a�nché la serie di Fourier di una funzionef periodica converga puntualmente ad f : la funzione doveva essere continuasalvo un numero �nito di discontinuità, ed avere nel periodo un numero �nitodi massimi e minimi.

La dimostrazione data da Dirichlet é un a�namento di quella abbozzata daFourier nelle sezioni conclusive della Theorie analytique de la chaleur.

Dirichlet é cosciente che nei casi esclusi dal suo teorema di convergenzacoinvolgono alcuni dei problemi più delicati dell'analisi:

• nel caso in cui si voglia estendere il ragionamento ad una funzione conun numero in�nito di discontinuità si incontra subito un impedimentonell'integrare tali funzioni come richiederebbe il calcolo dei coe�cientidella serie: la nozione di integrale allora disponibile era quella di Cauchyil quale aveva de�nito l'integrale per funzioni continue su un intervallo, o alpiù discontinue in un numero �nito di punti. Dirichlet conclude pertantoche la �nitezza del numero di discontinuità é una condizione necessariaper la rappresentabilità di una funzione in serie di Fourier. E' in questoambito che propone, come esempio, la celebre funzione di Dirichlet: 1 suQ e 0 altrove.

• Dirichlet sembra essere dell'opinione che una funzione continua a tratti siasempre rappresentabile in serie di Fourier, ammettendo quindi un'in�nitàdi massimi e minimi. Vent'anni più tardi (1853) risponderà ad una let-tera di Gauss che prospettava l'estensione della convergenza di tali seriederivate da funzioni continue, dicendo che l'ipotesi gli sembra corretta ameno di alcuni casi del tutto singolari. Tale convinzione, per la cronaca,si mostrerà sbagliata soltanto nel 1876 quando Du Bois- Reymond esibiràun esempio di funzione continua la cui serie di Fourier non converge allafunzione data.

Dirichlet avrà da dire che queste questioni per essere risolte compiutamentenecessitano di una revisione dei principi generali dell'analisi:

�la cosa, per essere fatta con tutta la chiarezza desiderabile, esigequalche dettaglio legato ai principi fondamentali dell'analisi in�nite-simale� (Dirichlet, Sur la convergence des series trigonometriques,1829)

Possiamo concludere questo paragrafo ribadendo però l'importanza del contri-buto di Dirichlet nell'ambito dello studio di ipotesi su�cienti per la convergenzadelle serie di Fourier: infatti, se da un lato il suo teorema non sarà de�nitivoed il suo entusiasmo lo aveva portato a concludere una tesi dimostratasi poierrata, dall'altro lato, Dirichlet mostra che le serie di Fourier sono uno stru-mento valido non solo secondo motivazioni �siche, ma anche da un punto divista teorico. In altre parole quella generalizzazione del concetto di funzioneoperata implicitamente da Fourier utilizzando le serie trigonometriche, non è

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una generalizzazione nominale ma sostanziale che chiariva una volta per tuttela questione.

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Capitolo 7

L'Aritmetizzazione dell'analisi

e conclusioni

Come sottolineato nel capitolo scorso nella seconda metà dell'Ottocento si pro-�lano chiaramente due tendenze tra i matematici dell'epoca:

1. quella che si rifà alle concezioni di Fourier e che ritiene la matematicasottoposta alle veri�che sperimentali delle sue applicazioni, e quindi rivoltaalla costruzione di risultati che spieghino e diano ragione di ciò che accadenella realtà.

2. ed un'altra impegnata nel trovare un linguaggio che sia coerente dal puntodi vista formale e che sia scevro delle idee intuitive a cui ci si era sempreappigliati in passato.

Cauchy, pur promuovendo un opera di riorganizzazione dei principi dell'ana-lisi, non poteva dirsi estraneo alle idee di Fourier e i suoi scritti mostrano ancoraun approccio alla matematica come ad una scienza di tipo sperimentale, in cui sienunciano proposizioni, si testano, si ritorna sugli enunciati, si prova a guardareil problema da altre prospettive e si continua alla stessa maniera. Contribuivaa questo clima, fortemente sbilanciato verso le applicazioni e i vantaggi concretiche la matematica poteva apportare alla vita quotidiana, la presenza in Franciadi scuole di carattere ingegneristico più che semplicemente teorico. In questosenso è necessario sottolineare che la ricerca di rigore nella Francia dell'epocaaveva importanza in vista della capacità da parte degli �scienziati� matematicidi dire qualcosa di reale, di vero, di portata applicativa. Si può leggere quil'in�uenza delle idee di Fourier.

Ma se in Francia vigeva questo clima, nel resto d'Europa, in particolare inGermania non si può dire che avvenisse lo stesso tipo di evoluzione.

In particolare prendeva piede la coscienza di fondare secondo principi dirigore l'intero impianto dell'analisi non tanto per dire qualcosa di realmente ap-plicabile, quanto più per garantire una logica interna alla disciplina matematica.

In questo senso va prendendo piede in questo periodo l'idea che il rigore de-siderato si potesse raggiungere soltanto a patto di abbandonare de�nitivamenteil terreno intuitivo dell'evidenza geometrica. Si intende così eliminare anchequelle ultime proposizioni �evidenti� poiché, in qualche senso, veri�cabili, dallamatematica al �ne di fondare tutto il sistema teorico su principi unici e ben

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7. L'Aritmetizzazione dell'analisi e conclusioni

fondati. L'idea che si fa strada è quella di considerare il concetto di numeronaturale, e l'aritmetica in genere, come il fondamento dell'analisi.

Matematici come Kroneker, Dedekind, Weierstrass, che saranno tra i princi-pali protagonisti di questo progetto non vogliono con questo negare l'importanzadella pratica matematica in favore di una sua logica interna (un po' come avevafatto Lagrange in passato), ma ritengono necessario fondare il tutto su nozioniteoriche che sia praticabili di fatto e che consentano di essere trattate ed usatecon deduzioni esatte.

In questo senso vi è chiara la consapevolezza dell'importanza di trarre,per esempio, dal concetto di funzione tutte le sue conseguenze a partire dal-la sua de�nizione precisa. Non soltanto dare ragione delle applicazioni (serie diFourier, equazioni di�erenziali, etc), ma anche un interesse intrinseco verso leconseguenze che tale de�nizione può portare.

Cresce così per esempio l'interesse verso le funzioni patologiche, portandoalla vista di tutti, la portata ed i limiti dei concetti utilizzati, eventualmen-te ricercadone contraddizioni e problemi. Tutto ciò ben illustra lo sforzo dimatematici quali Weierstrass di enunciare teoremi con la massima generalità etraendone rigorosamente tutte le conseguenze derivabili.

E' questo il clima in cui si sviluppa la cosìdetta �aritmetizzazione dell'analisi�che prevede la possibilità di riportare ogni risultato e nozione analitica ai terminidell'algebra dei numeri naturali.

In questo senso il primo problema da risolvere era quello di de�nire i numerireali. Come abbiamo visto infatti gran parte delle intuizioni matematiche �noraavute erano legate ad un'idea intuitiva di movimento continuo. Questa idea sifonda sulle proprietà non esplicite dei numeri reali.

In questo senso, benchè a partire da punti di vista di�erenti, la de�nizionedei numeri reali fu il progetto di diversi matematici quali: Waierstrass, motivatodalla costruzione della sua teoria delle funzioni, Cantor per pervenire ad un teo-rema di unicità della rappresentazione di una funzione in serie trigonometriche,Dedekind per trovare un fondamento rigoroso al calcolo di�erenziale.

Le loro risoluzioni saranno del tutto equivalenti ed apriranno la via ad unperiodo di grande fermento matematico che porterà non solo ad una maggiorecoscienza nel campo dell'analisi da parte dei matematici ma anche ad una ricercasempre più profonda sul fondamento della matematica come scienza capace diparlare al mondo reale.

Si conclude così una prima parte dell'evoluzione del concetto di funzionein cui il legame con le idee intuitive di movimento o di variazione lascianode�nitivamente il posto ad una struttura formale deduttiva e assiomatica.

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Il concetto di funzione tra XVIII e XIX secolo · 1.1 Che cosa intendiamo oggi per funzione. . . ....

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