Calcolo algebrico Le lettere offrono la possibilità di parlare non di un numero particolare ma di un numero generico. Una variabile numerica è una lettera qualunque ( di solito minuscola ) che usiamo al posto del numero per generalizzare le operazioni , cioè la lettera è un simbolo al quale, volta per volta, possiamo sostituire valori numerici diversi. Con le variabili possiamo scrivere espressioni letterali. Es. 2a – b + 3a2 Il simbolo di moltiplicazione fra variabili e fra variabili e numeri può essere sottointeso. Cioè se tra numeri e lettere non ci sono segni di operazione si sottintende il segno di moltiplicazione. Quando una variabile compare più volte nella stessa espressione rappresenta lo stesso numero. Si definisce espressione algebrica un’espressione in cui compaiono numeri e lettere. Le lettere ,come già detto , rappresentano numeri , solo che invece di essere numeri fissi sono numeri variabili. Un’espressione algebrica diventa numerica se alle lettere sostituiamo numeri e può essere quindi calcolata il valore assunto cambierà in base al valore numerico sostituito. 2a – b + 3a2 per a = -2 e b = -7 2(-2)-(-7)+3(-2)2 = -4+7+3(4) = -4+7+12 = 15 per a=3 e b=0 2(3)-(0)+3(3)2=6+0+27=33 Un’espressione algebrica si dice fratta se al denominatore compaiono lettere ,altrimenti si dice intera. Si dice irrazionale se le lettere compaiono dentro una radice ,altrimenti si dice razionale.

Es : x-2 2-x 23

��

xx 2

3�x

Int.raz. frat.raz. int.irraz. int.irraz. Monomi e Polinomi La più semplice espressione algebrica si chiama monomio. Il monomio è un prodotto di fattori numerici e letterali. Si chiama intero se ogni fattore letterale ha esponente non negativo,ovvero se non ci sono fattori letterali nel denominatore, altrimenti si dice fratto o frazione algebrica

xy 23- 3 32 cabba sono monomi interi

cbabba

212 a

43 3 �� sono monomi fratti

3a+b abba �2

21 non sono monomi , ma somme di monomi o polinomi

La parte numerica prende il nome di coefficiente Le lettere prendono il nome di parte letterale Si chiama grado di un monomio la somma degli esponenti dei fattori letterali

cba 34

45

� 8134grado a 45 34 ��ooo� letteralepartecbtecoefficien

Il monomio è poi digrado 4 rispetto ad a , di grado 3 rispetto a b , di 1°grado rispetto a c , di grado 0 rispetto a d (od a qualunque altra lettera che non sia presente nel monomio)

4grado 1 tecoefficien 3 ooba -1 coefficiente ĺ -1 grado ĺ 0

La somma di più monomi si chiama polinomio. Si chiama grado del polinomio il grado massimo dei monomi dei quali è composto.

2a3bc4-3a+7a5-11 ĺ polinomio di grado 8 8° 1° 5° 0°

Il calcolo algebrico ci permette di semplificare le espressioni algebriche cioè di operare con le lettere esprimendole in forma più sintetica senza sostituire numeri particolari

1

Somma di monomi

Due monomi si dicono simili quando hanno la stessa parte letterale

Per sommare due monomi simili si sommano i coefficienti e si lascia la stessa parte letterale per la proprietà inversa della proprietà distributiva

2a+3a=(2+3)a=5a

Due monomi non simili non si possono sommare e la somma si lascia indicata

2a+3b =2a + 3b non sapendo quali numeri sostituire ad a e b

Prodotto di monomi

Per moltiplicare 2 monomi si moltiplicano i coefficienti con le regole dei numeri e le lettere si accorpano con la 1° proprietà delle potenze (si sommano gli esponenti) 2ab4c3(-3a3b)=2(-3)aa3b4bc3= -6a4b5c3 proprietà commutativa ed associativa Il grado del monomio prodotto è uguale alla somma dei gradi dei monomi fattori

Potenza di un monomio

Per elevare a potenza un monomio si eleva a potenza il coefficiente con le regole dei numeri e le lettere con la 5° proprietà delle potenze (si moltiplica l’esponente per la potenza)

3963

32

278

32 cbacba � ¸

¹·

¨©§� NB: � � 6323 a 82 a

Divisione di monomi

Per dividere due monomi si dividono i coefficienti con la regola dei numeri e le lettere con la 2°proprietà delle potenze(si sottraggono gli esponenti).

cbacbaabcba 222413243

21

23

31

32.:

31

� �¸¹·

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¨©§� ��

Due monomi sono divisibili quando il 1°monomio contiene tutte le lettere del 2°con esponente uguale o maggiore.

� �divisibilinon monomi 2:4a

divisibilinon monomi ...:63

2543

abbacba �

Se due monomi non sono divisibili la divisione si può scrivere in forma di frazione di monomi o frazione algebrica e poi se si può si semplifica

� �

ba

abab

acb

bacbbacba

233

2

2

25

432543

224a 2:4a

66a..:6

� �

�

Per dividere 2 monomi si può anche moltiplicare il primo monomio per l’inverso del secondo monomio (monomio fratto, le lettere passano tutte al denominatore)

2

cbacbaab

cbaab

cbaabcba 2222

2

43

243243

21

263

23

31

32:

31

� � � ¸¹·

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oppure si scrive subito la divisione sotto forma di frazione e poi se si può si semplifica

cbacbacba

ab

cbaabcba 2222

22

2

43

243

21

23

31

32

31

32

31

32:

31

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Il grado del monomio quoziente è uguale alla differenza dei gradi dei monomi dividendo e divisore Prodotto di un monomio per un polinomio. Per moltiplicare un monomio per un polinomio si applica la proprietà distributiva e si moltiplica il monomio per tutti i termini del polinomio. 2a2(3a+2b)=6a3+4a2b Prodotto tra due polinomi Per moltiplicare due polinomi si applica più volte la proprietà distributiva e si moltiplica ogni termine del primo polinomio per tutti i termini del secondo polinomio. (2a+3b)(4a-5b)=8a2 -10ab +12ab-15b2=8a2 +2ab-15b2 sommando i due monomi simili Prodotti notevoli Si chiamano prodotti notevoli alcuni prodotti tra polinomi che si possono eseguire con delle regole anziché con tutti i passaggi , come alle scuole elementari per moltiplicare per 10 , 100 , 1000 ecc… si aggiungono 1 , 2 , 3 zeri alla destra del numero. Noi ne studiamo 2 1) quadrato di un binomio ( il quadrato è un prodotto con i due fattori uguali)

� � � �� �

teanalogamen simili terminii sommando 2avadistributi proprietà a

uguali fattori due icon prodottoun è quadratoun poichè

22

22

2

babbabab

bababa

��

���

�� �

� � � �� �

similiterminii sommando 2avadistributi proprietà a

uguali fattori due icon prodottoun è quadratoun poichè

22

22

2

babbabab

bababa

��

���

�� �

Regola per non fare tutti i passaggi Per eseguire il quadrato del binomio si scrive: il quadrato del 1°termine più il quadrato del secondo termine più il doppio prodotto dei due termini con tutto il segno

2) Prodotto della somma di due numeri per la loro differenza � �� �

opposti terminii eliminando avadistributi proprietà

22

22

bbababababa

�

��� ��

Regola per non fare tutti i passaggi Per eseguire il prodotto della somma di due numeri per la loro differenza si scrive Il quadrato del 1°termine meno il quadrato del 2°termine Semplificare la seguente espressione algebrica : Divisione di un polinomio per un monomio. Per dividere un polinomio per un monomio si applica la proprietà distributiva e si divide ogni termine del polinomio per il monomio dato.

� � � �

� � xyyxyxyx

babaababa

32:32

31

3533:59

222

222223

� �

�� ����

3

Divisione tra polinomi A(x) : B(x)

Noi non tratteremo il caso generale ma eseguiremo la divisione solo quando il polinomio dividendo

è ordinato secondo le potenze decrescenti di una sola lettera e B(x) è di 1°grado ed ha 1 per primo coefficiente del tipo x+k Utilizzeremo un metodo schematico : METODO DI RUFFINI A(x) una sola variabile 1°grado B(x) 1°coefficiente 1 del tipo x+k Vediamolo con un esempio: � � � 1:2352 34 ���� xxxx � Si traccia uno schema costituito da un segmento orizzontale e da due verticali e si dispongono nella prima riga i coefficienti di A(x) separando il termine noto(se mancano termini si mettono zeri) 2 -5 0 -3 2 Opposto del termine noto del divisore (x-1) 1 2 -3 -3 -6 2 -3 -3 -6 -4 resto Coefficienti del quoziente NB: Il quoziente avrà grado uguale alla differenza dei gradi Q(x)=2x3-3x2-3x-6 R=0

I polinomi si dicono divisibili se R=0 Nel caso precedente i due polinomi non sono divisibili PROVA: Q(x)B(x)+R=A(x) � �� � � �2352)4(16332 3423 ��� ������ xxxxxxx � � � �2:83 �� xx 1 0 0 8 -2 - 2 4 -8 1 -2 4 0 Q(x)=x2-2x+4 R=0 polinomi divisibili (x2-2x+4)(x+2)=x3 +8

4

Poiché una espressione algebrica assume un valore numerico diverso al variare del numero che sostituiamo al posto delle lettere , ogni espressione algebrica si può pensare come funzione delle lettere che in essa compaiono: x-2 è funzione della lettera x si può scrivere: f(x)=x-2 se al posto di x mettiamo 3 ĺ f(3)=3-2=1 ; se x =-5 ĺ f(-5)=-5-2=-7

23

��

ba è funzione delle lettere a e b

f(a,b)= 23

��

ba se al posto di a mettiamo 5 ed al posto di b mettiamo 4ĺ f(5,4)=

62

2435

��

se a=3 e b = 7 ĺ f(3,7)= 070

2733

��

se a = 4 e b =-2 ĺ f(4,-2)=01

2234

��� che non è un numero reale quindi f(4,-2) non esiste

Noi ci occuperemo di espressioni algebriche con una sola lettera che chiameremo funzioni ad una variabile e parleremo di campo di esistenza di una funzione. Campo di esistenza di una funzione : l’insieme dei numeri reali che si possono sostituire alla x

52)(��

x

xxf CE: x � 5

5

Esercitazione 1) Eseguire le seguenti operazioni nell’insieme dei numeri reali e , nel caso una di esse non si possa eseguire , scrivere

accanto impossibile

� � � � � �> @ ��� ¸¹·

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�

��

44611

023

3:33- 31

75:2

73

56-:6-5

0:53

35:

32-

31

2)Eseguire le seguenti operazioni tra monomi

� �

� � � � ���¸¹·

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¹·

¨©§ ��

yxyyxyxyxyx

xyxyyxyxyx

:512,0

21

523,0

53

232:

34 3x- - 4

332

2322322

3)Eseguire le seguenti operazioni tra monomi e polinomi e tra polinomi

� �� �� � � �� � � � ������

��

¸¹·

¨©§ �¸¹·

¨©§�

22112352

9

1065

53

22

24

aaaaababa

xxyxy

4) Calcolare il valore della seguente espressione algebrica per x = 21

� e y = -32

� �� � � �� � � � ������� 222222 xyxyxyxyx 5)In ciascuno dei seguenti esercizi ci sono degli errori; cercali e correggili

5210 : aaa 23 45 aaa �

� � � � � � 22 1234322 baababb � �� ���

6

I numeri reali

I numeri reali sono formati da due grandi famiglie: numeri reali razionali e numeri reali irrazionali numeri reali razionali: sono i numeri che si possono scrivere in frazione e possono essere _interi, positivi o negativi _ frazioni _numeri decimali finiti _numeri decimali infiniti ma periodici Alla scuola media si lavora con questi numeri. numeri reali irrazionali: sono i numeri che non si possono scrivere in frazione e si trovano soprattutto quando si estraggono le radici di alcuni numeri razionali; sono formati da una parte intera e da infinite cifre dopo la virgola che si ripetono però in modo disordinato, sono cioè decimali infiniti ma non periodici

Anche ʌ= 3,14……è un numero irrazionale ( ʌ è il rapporto costante tra una qualsiasi circonferenza ed il suo diametro) Quando si trova un numero irrazionale si può proseguire in due modi:

- si sostituisce un’approssimazione razionale fermandosi fino ai decimi o ai centesimi e commettendo in ogni caso un errore : 41,12 73,13

- si lascia il simbolo dell’operazione : 3,2 tali simboli prendono il nome di radicali ( noi non lavoreremo con i radicali ) I numeri reali costituiscono un ampliamento del campo numerico. I numeri reali si possono rappresentare con un disegno Reali 15 ; 3 ; 2343…… ; ʌ ĺ irrazionali

7

36 =6; 2 ; 5,1 ; 30,5 ĺ razionali

In R si possono eseguire tutte le operazioni e l’estrazione di radice tranne :

- la divisione per 0 - la radice ad indice pari di un numero negativo (le potenze ad esponente pari sono sempre positive) - 0 0-n (che quest’anno non prenderemo in considerazione) 0

7

3� ĺ reale irrazionale 4� ĺ non è un numero reale

Razionali Irrazionali Numeri che si possono Numeri decimali infiniti Scrivere in frazione ma non periodici (interi positivi e negativi, Radicali frazioni,decimali finiti, decimali infiniti ma periodici