LICEO DELLE SCIENZE UMANE “SAN LUIGI”

COMPITI VACANZE A.S 2016-2017

CLASSE II^

ITALIANO

SCEGLIERE ALMENO 3 DEI LIBRI PROPOSTI (NON LETTI LO SCORSO ANNO), LEGGERLI E FARNE LA

RECENSIONE.

Ripassare: tutti gli argomenti svolti in grammatica italiana! Concentrarsi su ortografia e analisi del periodo.

Scrivere: Un diario delle proprie vacanze. Sarà fondamentale scrivere un po’ ogni giorno, raccontando le proprie sensazioni, i propri interessi, le avventure, i ricordi più significativi di questo momento della propria vita.

ROMANZI/RACCONTI DI

FORMAZIONE/D’AMORE/D’INDAGINE

PSICOLOGICA

Louisa May Alcott, Piccole donne

Piccole donne crescono

Piccoli uomini

I ragazzi di Jo

Jane Austen, Orgoglio e pregiudizio

Richard Bach, Il gabbiano Jonathan Livingston

Giorgio Bassani, Il giardino dei Finzi-Contini

Charlotte Brontë, Jane Eyre

Frances Burnett, Il piccolo Lord

Il giardino segreto

Pierluigi Cappello, Questa libertà

Raymond Carver, Cattedrale

Carlo Collodi, Pinocchio

Alessandro D’Avenia, Bianca come il latte, rossa

come il

sangue

Cose che nessuno sa

L’arte di essere fragili

James Joice, Gente di Dublino

Jack London, Zanna Bianca

Il richiamo della foresta

J. R. Moehringer, Il bar delle grandi speranze

Luigi Pirandello, Uno nessuno centomila

Il fu Mattia Pascal

Italo Svevo, La coscienza di Zeno

Lev Tolstoj, Anna Karenina

Mark Twain, Le avventure di Huckleberry Finn

Andrea Zilio, Addio alle fionde

ROMANZI/RACCONTI DI VIAGGIO/AVVENTURA

Daniel Defoe, Robinson Crusoe

Alexandre Dumas, Il conte di Montecristo

I tre moschettieri

Rudyard Kipling, Il libro della giungla

Hermann Melville, Moby Dick

Mino Milani, La ricerca del Santo Graal

Emilio Salgari, I misteri della Jungla nera

Le tigri di Mompracen

I pirati della Malesia

Edmondo De Amicis, Cuore

Charles Dickens, Canto di Natale

Oliver Twist

David Copperfield

Fëdor Dostoevskij, Delitto e Castigo

I fratelli Karamazov

Memorie dal sottosuolo

Giovanni Guareschi, Osservazioni di uno qualunque

Ernest Hemingway, Addio alle armi

Il vecchio e il mare

Per chi suona la campana

Victor Hugo, I miserabili

Sandokan alla riscossa

Il corsaro nero

La capitana dello Yucatan

Robert Louis Stevenson, L’isola del tesoro

Jules Verne, L’isola misteriosa

Il giro del mondo in ottanta giorni

ROMANZI/RACCONTI DI

FANTASIA/FANTASCIENZA

Edgar Allan Poe, La maschera della morte rossa

Il gatto nero

Racconti del terrore

Racconti del mistero

Christian Andersen, Fiabe

Isaac Asimov, Io, robot

Il secondo libro dei robot

Trilogia della fondazione

Matthew James Barrie, Peter Pan

Lyman Frank Baum, Il meraviglioso mago di Oz,

Dino Buzzati, La boutique del mistero

Il colombre

Italo Calvino, Il visconte dimezzato

ROMANZI/RACCONTI DI

FANTASIA/FANTASCIENZA

Antoine de Saint-Exupéry, Il piccolo principe

Mary Shelley, Frankenstein, ovvero il Prometeo

moderno

Robert Louis Stevenson, Lo strano caso del dottor

Jekyll e del signor Hyde

Bram Stoker, Dracula

Jonathan Swift, I viaggi di Gulliver

John Tolkien, Il signore degli anelli

Lo Hobbit

Jules Verne, Ventimila leghe sotto i mari

Viaggio al centro della terra

Da Le mille e una notte:

-il racconto-cornice di Sharazad

- Alì Baba e i quaranta ladroni

Il barone rampante

Il cavaliere inesistente

Il sentiero dei nidi di ragno

Le cosmicomiche

Marcovaldo ovvero le stagioni in città

Lewis Carrol, Le avventure di Alice nel paese delle

meraviglie

Philip Dick, Ma gli androidi sognano pecore

elettriche?

Victor Hugo, Notre dame de Paris

Franz Kafka, La metamorfosi

C.S. Lewis, Le cronache di Narnia - Il leone, la strega

e l’armadio

Il principe Caspian

Il viaggio del veliero

Le lettere di Berlicche

George Orwell, La fattoria degli animali

1984

Kathleen Rowling, Harry Potter (un libro qualsiasi

della serie)

- Aladino e la lampada magica

- Sinbad il marinaio

ROMANZI/RACCONTI GIALLI

Andrea Camilleri, Racconti di Montalbano

Agatha Christie, Dieci piccoli indiani

Arthur Conan Doyle, Il mastino dei Baskerville

Uno studio in rosso

Le avventure di Sherlock Holmes

ROMANZO STORICO/AUTOBIOGRAFICO

Umberto Eco, Il nome della rosa

Anna Frank, Diario

Walter Scott, Ivanhoe

Henryk Sienkiewicz, Quo vadis?

M. Rigoni Stern, Il sergente della neve

Marguerite Yourcenar, Memorie di Adriano

Stefan Zweig, Magellano

LATINO

RIPASSO SISTEMATICO DI TUTTI GLI ARGOMENTI SVOLTI QUEST’ANNO.

SVOLGERE I SEGUENTI ESERCIZI:

V. 72-73 p.399;

V. 13 p. 409;

V. 25-26 p. 413-414;

V. 60-62 p. 428;

V. 69-70 p. 432.

INGLESE

Choose 2 films among the following ones and write a summary of the plot and a review

http://www.subsmovies.com/featured (English language with/without English subtitles)

The giver

October sky

Stand by me

Juno

Romeo & Juliet

Freedom writers

The Martian

Braveheart

A beautiful mind

Ex-machina

The Island

Once

Cast away

Beowulf

2)On http://www.bbc.com/news read two articles of your choice each month and write their

summary and conclude with your opinion(altogether 6 texts)

3) Read 1 graded book of your choice and write a review (casa editrice Liberty, Black Cat, ETC...)

LEVEL B1-B2

You can find the catalogues with the titles of the books at:

http://www.myliberty.it/index.asp?Page=NEWS-EN

http://www.blackcat-cideb.com/136-catalogo-inglese

N.B. At the beginning of next school year the Entry Test will focus on the book, the articles and the films

you have read/watched. Be prepared!

USE ENGLISH DURING THE SUMMER AS MUCH AS POSSIBLE AND ENJOY IT!

SCIENZE UMANE Lettura del libro:”I ragazzi felici di Summerhill” di A.S.Neill

TEDESCO Fi t durch den Sommer A2 Catani-Greiner-Pederelli ed Zanichelli euro 9,70

SPAGNOLO

Horacio Quiroga, Cuentos de la selva, CIDEB € 9.60 ISBN 978-88-530-0864-0

Texto “La Pampa”, ¿Qué me cuentas de nuevo? Vol2

Leer el texto, dividirlo en secuencias y darles un título, resumir el texto en ±300 palabra y hacer los

ejercicios 1 y 2.

Inventa una historia cuyos protagonistas sean animales personificados (mínimo 300 palabras).

MATEMATICA

LE EQUAZIONI

DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

1. Che cosa sono le equazioni di secondo grado

Scrivi l’equazione nell’incognita x in forma normale, verifica che sia di secondo grado e scrivi i coefficienti.

1 A ( ) ( ) ( )34 4 3 7

2x x x x + − = + −

[ ]1; 2; 1 a b c= = − = −

1 B ( ) ( ) ( )23 2 1 3 1

3x x x x + + = − +

[ ]5; 9; 5 a b c= = =

2 A ( )( ) ( )( ) ( )4 1 2 3 3 4 3 4 3 5x x x x x x+ − = + − − − [ ]2; 9; 4 a b c= = − =

2 B ( )( ) ( ) ( )22 1 2 3 4 2 3x x x x x+ + = − − − [ ]9; 6; 15 a b c= = − =

2. La risoluzione di un’equazione di secondo grado Senza calcolare le soluzioni, indica se l’equazione ammette soluzioni reali e distinte, reali coincidenti o non ammette soluzioni reali. 3 A 2 3 28 0x x+ − = 3 B 2 5 24 0x x− − = 4 A 23 4 1 0x x+ − = 4 B 23 2 1 0x x− + − = Risolvi l’equazione. 5 A 2 10 21 0x x+ + = [ ]7; 3− −

5 B 2 6 8 0x x− + = [ ]2; 4

6 A 22 7 15 0x x− − = 3

; 52

−

6 B 22 11 12 0x x− + = 3

; 42

7 A 2 7 10

24 4x x− − =

3 2;

8 3 −

7 B 2 5 60

7 49x x+ − =

6 1;

7 7 −

8 A 2 172 0

10x x+ − =

4 5;

5 2 −

8 B 2 5 70

12 8x x− − =

3 7;

4 6 −

9 A 23 4 5 5 0x x− + = 5

5; 3

9 B 210 3 5 1 0x x− + = 5 5

; 10 5

10 A ( ) ( )2 2

2 2 2 2x x− + − = 2; 2 2

10 B ( ) ( )2 2

3 2 3 3x x− + − = 3; 2 3

11 A ( ) ( )( )21 18 4 4x x x− + = − + x ∈ �ó

11 B ( ) ( ) ( )23 1 18 4 3 3 4x x x− + = − + x ∈ �ó

12 A 23 5 1 0x x− + = 5 13

6

±

12 B 25 3 1 0x x+ − = 3 29

10

− ±

13 A ( ) ( ) ( )225 1 1 2 3 3 3 1x x x x+ − = − − −

3 3 2

5

±

13 B ( ) ( )2 2

5 3 2 3 5 28 10 3 20 3x x+ = − − − + 2 3 3 2

5

− ±

14 A 2

42 11 4

3 3 3

x xx − = + −

[ ]9±

14 B 2

2 2 11 42 2

x xx − − = −

[ ]6±

15 A ( ) ( ) ( )22 1 1 1 2 1

6 2 3 6

x x x x− − + −+ = − [3; doppia]

15 B ( ) ( )( )22 1 2 2 1 5

6 2 2 6

x x xx x

+ − + − = + −

[ ]2; 3−

16 A ( ) ( )2 3 2 4 2 2 5 2 2x x x− − = − 2 ±

16 B ( ) ( )3 3 3 4 6 2 3 2 3x x x− − = − 2 3

3

±

17 A ( )( ) ( )23 2 3 4 1 10 2 12x x x x x+ − + = − − [ ]0; 1

17 B ( ) ( ) ( )23 2 3 4 1 10 2 12x x x x x+ + − = + + [ ]0; 1−

18 A ( )( )

2

2

3 9 30

2 11 2

x x

xx

+ −+ =

++

90;

7 −

18 B ( )( )

2

2

1 10

6 11 6

x x

xx

− −+ =

++

10;

7

19 A 2

2

3 4 1 1 20

4 2 2

x x x

x x x

− + −+ − =− − +

1

1; 2

−

19 B 2

2

2 9 1 3 20

4 2 2

x x x

x x x

− + ++ + =− + −

1

1; 3

−

20 A 23 2

3 2

3 3 5 152 2 0

5 5 5

x x x x

x x x x

− − + −+ + = + − − +

1 7;

3 3 −

20 B 23 2

3 2

4 4 46 12 0

2 2 2

x x x x

x x x x

− + − −− − = + + + +

414;

7 −

Risolvi l’equazione nell’incognita x, discutendo i risultati se necessario. 21 A ( )2 23 2 2 3 1 0x a x a a− + + + + = [ ]2 1; 1 a a+ +

21 B ( )2 23 1 2 0x k x k k− − + − = [ ]2 1; k k−

22 A ( )2 24 2 3 6 0x a x a a− + + + = [ ]3 ; 2 a a+

22 B ( )2 23 2 6 0x b x b b+ + − + = [ ]2 ; 3 b b− −

23 A 2 22 0x ax b a b− − = 0 : , 2 0 : b a b a b b x ≥ − < ∈ �ó

23 B 2 23 18 0x kx a k a− − = 0 : 3 , 6 0 : a k a k a a x ≥ − < ∈ �ó

24 A 2 3 1 2 2 0x a x a− − + − = 1: 1, 2 1; 1: l'eq. non è definita a a a a ≥ − − <

24 B 2 2 2 3 6 0x b x b− − − + = 2 : 3 2, 2; 2 : l'eq. non è definita b b b b ≥ − − − <

25 A 22 2 0x a x ax− + = ( )0; 2 1 2

a −

25 B 23 3 0x k x kx+ − = ( )0; 1 3 3

k −

26 A ( ) ( )2 2 22 2x a a x a a− = − + 0 : imp.; 2 : indet.; 0 2 : a a a a a < = ≥ ∧ ≠ ±

26 B ( ) ( )2 2 22 4 8 4x a a x a a− = − + 0 : imp.; 2 : indet.; 0 2 : 2 a a a a a < = ≥ ∧ ≠ ±

27 A ( )( )

2 2 2 2

2 2 2 2 2

36 6 36 6

c x c x c cx c x

c x x c x c x c

+ − −− = +− + − −

0 : 2c c ≠ ±

27 B ( ) ( )

2 2 2 2

3 3 3 3 3

81 9 81 9

a x a x a ax a x

a x x a x a x a

+ − −− = +− + − −

3

0 : 22

a a ≠ ±

Risolvi l’equazione di secondo grado in .�

28 A 22 6 17 0x x− + = 3 5

2 2i

±

28 B 22 14 65 0x x+ + = 7 9

2 2i

− ±

29 A 29 24 20 0x x− + = 4 2

3 3i

±

29 B 29 12 29 0x x− + = 2 5

3 3i

− ±

Calcola il valore dell’espressione.

30 A ( ) ( )21 2 1 23 2 2 1 3

3 33 3i i i i i

+ − + − + − +

29

9 −

30 B ( ) ( )21 3 1 34 3 5 5 1 2

2 22 2i i i i i

+ − − − − − +

11

4

31 A 2

5 1 43

3 4 1 2

i i

i i i + + + + − +

49 21

4 4i

+

31 B 2

15 3 10 31

1 3 2 2 2

ii

i i i + + + − − +

9

44

i +

32 A ( ) ( )

4 72

9 8

3 4 3 2 42 : 1

44 3 2

i i ii

i ii

− + −− − + +−− −

18 31

2 217 34

i − −

32 B ( ) ( )

7 52

13 14

3 2 3 2 21 : 1 2

22 3 2

i i ii

i ii

− − −+ + −−+

9 22

25 25i

− −

I problemi di secondo grado Risolvi il problema. 33 A Sommando al triplo di un numero intero il quadrato del suo consecutivo si ottiene 267. Qual

è il numero? [ ]19; 14 −

33 B Determina la frazione il cui numeratore supera di 2 il denominatore, sapendo inoltre che essa

è uguale alla frazione reciproca aumentata di 16

.15

5

3

34 A Determina l’area di un rettangolo il cui perimetro è di 56 cm, sapendo che esso è inscritto in

una circonferenza di raggio 10 cm. 2192 cm

34 B Un rettangolo ha l’area di 96 2cm e la differenza tra il doppio della base e la metà

dell’altezza è uguale a 29 cm. Determina la lunghezza delle diagonali. 2 73 cm

35 A In un triangolo rettangolo l’ipotenusa è 20 cm più lunga di un cateto e questo è 5

3 della sua

proiezione sull’ipotenusa stessa. Determina il perimetro del triangolo. [120 cm]

35 B In un triangolo rettangolo l’ipotenusa è 5 cm più lunga di un cateto e questo è 5

4 della sua

proiezione sull’ipotenusa stessa. Determina il perimetro del triangolo. [60 cm] 36 A Un triangolo rettangolo ha un cateto lungo 7 cm più dell’altro e il perimetro di 30 cm.

Calcolane l’area. 230 cm

36 B Un triangolo rettangolo ha un cateto lungo 3 cm più dell’altro e il perimetro di 36 cm.

Calcolane l’area. 254 cm

37 A Data la retta r di equazione 3 2 0x y+ − = e il punto P(2; 1), determina i punti M che hanno

distanza da P pari a 5. ( ) ( )1 21; 5 , 2; 4 P P− −

37 B Data la retta r di equazione 2 2 0x y− − = e il punto P(4; 6), determina i punti di r che hanno

distanza da P pari a 5. ( ) ( )1 24; 1 , 8; 3 P P

38 A Data la retta r di equazione 5 3 20 0,x y− − = e il punto 22

0; ,5

A −

determina sulla retta

passante per A e perpendicolare a r i due punti che distano da r una distanza pari a 34.

( ) ( )1 24; 2 , 6; 8 P P− − −

38 B Data la retta r di equazione 5 4 30 0,x y− − = e il punto 17

; 0 ,4

A −

determina sulla retta

passante per A e perpendicolare a r i due punti che distano da r una distanza pari a 2 41.

( ) ( )1 212; 13 , 8; 3 P P− −

39 A Trova i punti sull’asse delle ascisse tali che la loro distanza da A(2; 2) sia metà di quella da

( )3; 2 . B − ( )1 2

191; 0 , ; 0

3 P P

−

39 B Trova i punti sull’asse delle ascisse tali che la loro distanza da A(1; 1) sia metà di quella da

( )3; 4 . B − ( )1 2

171; 0 , ; 0

3 P P

−

3. Le relazioni fra le radici e i coefficienti di un’equazione di secondo grado Senza risolvere l’equazione nella variabile x, calcola la somma e il prodotto delle radici, specificando se le radici sono reali.

40 A 22 3 5 0x x+ − = 3 5

;2 2

s p = − = −

40 B 23 5 1 0x x+ − = 5 1

;3 3

s p = − = −

41 A 22 4 6 0x x+ − = 2 2; 3 2 s p = − = −

41 B 23 6 1 0x x− + = 3

2 3;3

s p

= =

42 A 2 26 5 6 0x ax a+ − = 25;

6 s a p a

= − = −

42 B 2 24 5 0a ax x+ − = 24

;5 5

a

s a p

= = −

43 A ( ) ( )2 21 2 1 1 0a x a x+ − + + = 2 2

3 2 1 1; ;

4 1 1

aa s p

a a

+ ≥ = = + +

43 B ( ) ( )2 23 2 2 3 2 3 0a x a x+ + + + = ( )( ) 22

2 3 27 1; ;

6 23 2

aa s p

aa

+ ≥ = − =

++

Determina due numeri reali, conoscendo la loro somma s e il loro prodotto p.

44 A 3 1

, .4 8

s p= = 1 1

;4 2

44 B 5 1

, .6 6

s p= = 1 1

;3 2

45 A 2 6 3

, .2 2

a

s pa

−= = − 3

;2

a

a −

45 B 220 5

, .4 4

a

s pa

−= = − 5

;4

a

a −

Per la seguente equazione è indicata una soluzione: calcola l’altra, senza applicare la formula risolutiva.

46 A 2 5 3;

2 2x x− − = − 3.x = −

1

2

46 B 2 5 2;

3 3x x− − = − 2.x = −

1

3

Calcola le radici della seguente equazione, senza usare la formula risolutiva, sapendo che una è un sesto dell’altra.

47 A 23 14 8 0x x+ + = 2

4;3

− −

47 B 2 7 32 0

2 4x x− + =

1 3;

4 2

4. La regola di Cartesio Determina il segno delle radici dell’equazione senza risolverla.

48 A 22 3 7 0x x+ − =

48 B 23 2 11 0x x− − =

49 A 2 53 1 0

2x x− − + =

49 B 237 2 0

2x x− − − =

5. La scomposizione di un trinomio di secondo grado Scomponi in fattori, quando è possibile, il trinomio nella variabile x. 50 A 23 2 7x x− + [ ]irriducibile in �

50 B 27 4 5x x+ + [ ]irriducibile in �

51 A 220 50 2x x− − ( )22 5x − −

51 B 220 14 2x x− + ( )( )2 5 2x x− −

52 A 2 24 11 3k kx x− − ( )3 43

kx k x

− + −

52 B 2 22 10x bx b− − ( ) 52 2

2x b x b

+ −

53 A ( )2 23 3 5 5 , 0 ax a x a a+ − − ≠ ( )( )3 5x a ax+ −

53 B ( )2 22 4 3 6 , 0 bx b x b b+ − − ≠ ( )( )2 2 3x b bx+ −

Semplifica la frazione algebrica, esplicitando le condizioni di esistenza.

54 A 2

2

27 36 12

27 72 36

x x

x x

− +− +

3 2 2

, 2,3 6 3

x

x xx

− ≠ ≠ −

54 B 2

2

22 6 20

40 4 12

x x

x x

− −+ −

( )3 5 3 1

, ,2 3 5 5 2

x

x xx

− ≠ − ≠ +

55 A ( )2 2

2

2 3 5

5 5 1

x ax a

x a x a

− −+ + +

2x − 5a

5x + 1, x ≠ −a, x ≠ −

1

5

55 B ( )2 2

2

2 10 28

3 6 1 2

x bx b

x b x b

+ −− + +

2 14 1

, 2 ,3 1 3

x b

x b xx

+ ≠ ≠ −

Risolvi l’equazione fratta di secondo grado nell’incognita x.

56 A ( )2

2 2

7 5 3 4 5 9 43 83 :

2 1 2 3 4 4 3

x x x x

x x x x x x x

− + + + − + = − − + − + + + [ ]3, non accettabile; 7 −

56 B 2

2

2 2 2 3 1 8 3 6:1

3 3 3 3 9 18

x x x x x

x x x x x x

− + − − − + − + = − + + − − + [ ]3, non accettabile; 4

57 A 2 2

2 2

2 1 4 90

2 2

x bx bb

x b x b x bx b

− − + + = − + + − [ ]2 , non accettabile; 3 con 0 x b x b b= − = ≠

57 B 2 2

2

2 4 3

2 2

x b x b x bx

x x b bx x

+ + ++ =− −

[ ]0, non accettabile; con 0 b b− ≠

58 A 2

2

4 3 4 2 3

2 2 2

x a a x

x x ax x a

+ − + −+ =− −

8

8 2 , con 4 ; 1 con 13

a a a a a − ≠ ∧ ≠ − ≠

58 B 2 2

11 1 2

5 4 5

x a

a x x ax a x a

+− =− − − +

1

1 con ; 16

a a − − ≠ − −

6. Le equazioni parametriche Data l’equazione di secondo grado nella variabile x determina per quali valori reali del parametro k è soddisfatta la condizione indicata.

59 A ( ) 22 1 4 2 1 0;k x kx k− − + − = non esistono soluzioni reali. 1

3k <

59 B ( )22 4 1 2 1 0;kx k x k− + + + = soluzioni reali. 2

3k ≥ −

60 A ( ) ( ) 23 1 2 1 1 0;k x k x k− + + − + = soluzioni reali coincidenti. 5

117

k k = ∨ =

60 B ( ) ( ) 23 1 2 5 1 0;k x k x k+ + + − − = soluzioni reali coincidenti. 29

117

k k = − ∨ = −

Risolvi l’equazione nella variabile x e discuti i risultati. 61 A ( )2 2 4 5 0ax a x a− + + − =

5 4 2 9 4 40 : ; 0 : ; :

4 9 9

a aa x a a x a x

a

+ ± += = − ≠ ∧ ≥ − = < − ∈

�ó

61 B ( )2 2 4 3 0bx b x b− − + − =

3 2 40 : ; 0 4 : ; 4 :

4

b bb x b b x b x

b

− ± −= = ≠ ∧ ≤ = > ∈

�ó

62 A ( )( )2 212 2 2 1 8 15 0

3x ax a a a

a− + − − + =

−

( ) ( )5 53: perde significato; 3 : 3 2 3 11 5; :

11 11 a a a a a a a a x

= ≥ ∧ ≠ − ± − − < ∈ �ó

62 B ( )( )2 212 3 3 1 6 8 0

2x bx b b b

b− + − − + =

−

( ) ( )4 42 : perde significato; 2 : 2 3 2 13 4; :

13 13 b b b b b b b b x

= ≥ ∧ ≠ − ± − − < ∈ �ó

63 A Data l’equazione ( ) 29 2 6 0,m x mx m− − + = con 2

,9

m≠ nella variabile x, determina m in

modo che:

a) le radici siano reali; b) una radice sia 1; c) le radici siano opposte; d) la somma delle radici sia negativa; e) le radici siano reciproche; f) le radici siano concordi.

1 2 1 2a) 0; b) ; c) 0; d) 0 ; e) ; f)

2 9 4 9m m m m m m

≥ = = < < = >

63 B Data l’equazione ( )227 6 3 2 3 2 0,kx k x k− + + + = con 0,k ≠ nella variabile x, determina k

in modo che:

a) le radici siano reali; b) una radice sia 1; c) le radici siano opposte; d) la somma delle radici sia negativa; e) le radici siano reciproche; f) le radici siano concordi.

2 5 2 2 1a) ; b) ; c) ; d) 0; e) ; f) 0

3 6 3 3 12k k k k k k

≥ − = = − − < < = >

64 A Data l’equazione parametrica nell’incognita x, ( ) ( )24 1 2 2 3 0,k x k x k− + − + = determina k

in modo che:

a) le radici siano reali distinte; b) il prodotto delle radici sia maggiore di 2; c) una radice sia 1;− d) le radici siano discordi; e) la somma delle radici sia 3.

9 9 9a) ; b) 1 < ; c) 2; d) 0 1; e)

8 8 8k k k k k

< ≤ = − < < =

64 B Data l’equazione parametrica nell’incognita x ( ) ( )22 2 3 1 9 0,k x k x k− + − + = determina k

in modo che:

a) le radici siano reali distinte; b) il prodotto delle radici sia maggiore di 2; c) una radice sia 1;− d) le radici siano discordi; e) la somma delle radici sia 3.

1 8a) ; b) 2; c) 0; d) 0 2; e)

12 9k k k k k

> − > = < < =

7. La funzione quadratica e la parabola Data la seguente equazione di una parabola, indica se volge la concavità verso l’alto o verso il basso. Determina l’equazione dell’asse di simmetria, le coordinate del vertice e traccia il suo grafico.

65 A 2 4 5y x x= − + ( )concavità verso l'alto; 2; 1 ; 2V x =

65 B 2 6y x x= − + + 1 25 1

concavità verso il basso; ; ; 2 4 2

V x =

66 A 23 7 2y x x= − − + 7 73 7

concavità verso il basso; ; ; 6 12 6

V x − = −

66 B 25 3 4y x x= + − 3 89 3

concavità verso l'alto; ; ; 10 20 10

V x − − = −

Utilizza i dati nelle figure per indicare se le funzioni quadratiche rappresentate dalle parabole ammettono zeri. In caso affermativo, indica quali. 67 A

67 B

IL PIANO CARTESIANO

E LA RETTA

TEST

1 Un punto A del piano cartesiano che ha ascissa positiva e ordinata negativa si trova: A nel I quadrante.

B nel II quadrante.

C nel III quadrante.

D nel IV quadrante.

E nel punto di intersezione degli assi. 2 I punti ( )2; 2 A ( )3; 4 B − hanno distanza uguale a:

A 7.

B 37.

C 37.

D 5.

E 61. 3 Il punto medio del segmento di estremi ( )3; 3 A e ( )5; 7 B è:

A ( )8; 10 . M

B ( )1; 2 . M

C ( )2; 4 . M

D ( )4; 5 . M

E ( )1; 2 . M − −

4 L’equazione 3x = è: A l’equazione di una retta parallela all’asse x.

B l’equazione di una retta perpendicolare all’asse y.

C l’equazione dell’asse x.

D l’equazione dell’asse y.

E l’equazione di una retta perpendicolare all’asse x.

5 Quale delle seguenti equazioni rappresenta la bisettrice del II e del IV quadrante?

A y x=

B 0y =

C 0x =

D y y=

E y x− =

6 Se una retta interseca l’asse y nel punto ( )0; 4 , A quanto vale la sua ordinata all’origine?

A 0

B 4

C Non si può calcolare perché non si conosce l’equazione della retta.

D 4−

E 1

7 Le rette r e s sono rette parallele e la retta r ha equazione 4 2 1 0.x y+ − = Quanto vale il coefficiente angolare della retta s?

A 4

B 4−

C 2

D 2−

E 1−

8 Quale dei seguenti punti non appartiene alla retta di equazione 3

?2

y x= −

A ( )6; 9 −

B ( )2; 3 −

C 3

1;2

−

D ( )3; 2 −

E ( )0; 0

9 Il coefficiente angolare m e l’ordinata all’origine q della retta di equazione 5 2 2 0x y− − = sono:

A 5

,2

m= 1.q = −

B 5,m= 2.q = −

C 5

,2

m= − 1.q =

D 5,m= − 2.q =

E 2

,5

m= 2

.5

q =

10 Il coefficiente angolare della retta passante per i punti ( )2; 3 A − e ( )4; 5 B è:

A 3. B 4. C 1

.4

D 4.− E 1.

11 Quale fra le rette seguenti è parallela alla retta di equazione 3 2?y x= +

A 3 1 0x y+ − =

B 3 2 4 0x y− + =

C 6 2 5 0x y− + − =

D 3 5 0x y− + =

E 6 3 4 0x y− + + =

12 Sono date le rette di equazione 2 2y x= − e 1

1.2

y x= − + Possiamo dire che:

A sono parallele.

B sono perpendicolari.

C si incontrano nel punto ( )2; 6 − − .

D si incontrano nel punto ( )2; 2 − .

E passano per l’origine.

13 L’equazione della retta passante per ( )0; 1 A e avente coefficiente angolare 2m= − è:

A 2 2.y x= − +

B 2 1.y x= − +

C 2.y x= −

D 2.y x= − +

E 1

1.2

y x= −

14 Se 1

3 è il coefficiente angolare di una retta r, quanto vale il coefficiente angolare di una retta

perpendicolare a r?

A 1

3 B

1

3− C 1 D 3 E 3−

15 L’equazione del fascio proprio di rette di centro ( )3; 0 C è:

A 3.y mx= +

B 3 .y x q= +

C 3 .y x q= − +

D 3 .y mx m= −

E 3 .y mx m= + 16 Quale delle seguenti affermazioni è falsa se riferita al fascio di equazione 2 0?x y q+ − = A È un fascio improprio di rette parallele alla retta di equazione 2 .y x= −

B È un fascio improprio di rette perpendicolari alla retta di equazione 1

.2

y x=

C È un fascio improprio di rette parallele alla retta di equazione 3 6 7 0.y x+ − =

D È un fascio improprio di rette perpendicolari alla retta di equazione 4 8 5 0.x y− + =

E È un fascio improprio di rette passanti per il punto ( )2; 1 . C

17 La retta passante per il punto ( )2; 1 C − parallela alla bisettrice del I e III quadrante ha

equazione: A 3.y x= −

B 3.y x= +

C 1.y x= − +

D 3.y x= − −

E 3.y x= − +

18 La retta passante per i punti ( )0; 2 A − e ( )3; 7 B ha equazione:

A 3 7.y x= +

B 5

2.3

y x= −

C 3 2.y x= −

D 3 2.y x= − −

E 5

7.3

y x= − +

19 La distanza del punto ( )2; 1 P dalla retta di equazione 3 4 1 0x y− + + = è:

A 1

.7

−

B 1

.7

C 1

.5

D 1

.5

−

E 1.−

SPIEGA PERCHÉ 1 Che cosa rappresenta l’equazione 3 5 0?mx y m− + + = Spiega perché non rappresenta un fascio completo. Quale retta manca? 2 Dato il segmento di estremi ( ) ( ); , ; , con e , A A B B A B A BA x y B x y x x y y≠ ≠ verifica che il suo

asse ha equazione: ( ) ( ) 2 2 2 22 2 0.B A B A A B A Bx x x y y y y y x x− + − + − + − =

3 Data l’equazione 0,ax by c+ + = se 0a b c= = = essa rappresenta un piano. Spiega perché. 4 Spiega perché il fascio di rette ( ) ( )3 2 2 3 6 5 0k x k y k− + − + − = non contiene la retta parallela

all’asse x.

SPIEGA PERCHÉ

1 Spiega perché l’equazione 23 2 0x x k+ + = ammette due radici reali distinte per 1

.3

k <

2 Quali sono la somma e il prodotto delle radici dell’equazione di secondo grado 23 2 1 0?x x+ − = Spiega perché.

3 La frazione algebrica 22 2 13

5

x x

x

+ +−

non è semplificabile. Spiega perché.

4 Data l’equazione parametrica ( ) 22 4 2 0,k x kx k+ + + + = con 2,k ≠ − stabilisci se il prodotto

delle radici dipende dal parametro k.

IL PIANO CARTESIANO

E LA RETTA

ESERCIZI

1. Le coordinate di un punto su un piano 1 A Scrivi le coordinate dei punti indicati in figura.

1 B Scrivi le coordinate dei punti indicati in figura.

Rappresenta nel piano cartesiano i seguenti punti. 2 A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2; 5 , 2; 4 , 1; 1 , 3; 2 , 1; 4 , 0; 2 . A B C D E F− − − − − −

2 B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1; 3 , 4; 1 , 2; 1 , 3; 2 , 3; 0 , 2; 4 . A B C D E F− − − − −

Trova i vertici e l’area del più piccolo rettangolo, con i lati paralleli agli assi, che contiene i punti assegnati. 3 A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2; 1 , 2; 0 , 3; 3 , 5; 2 , 2; 1 , 1; 3 , 1; 1 . A B C D E F G− − − − −

( ) ( ) ( ) ( )Vertici : 5; 3 , 2; 3 , 2; 3 , 5; 3 ; Area = 42 − − − −

3 B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3; 0 , 3; 1 , 2; 4 , 3; 2 , 2; 2 , 1; 4 , 1; 3 . A B C D E F G− − − − − − −

( ) ( ) ( ) ( )Vertici : 3; 4 , 3; 4 , 3; 4 , 3; 4 ; Area = 48 − − − −

Rappresenta nel piano cartesiano l’insieme di punti ( ); P x y le cui coordinate soddisfano le

seguenti condizioni.

4 A 7 1

4 3

x

y

− ≤ ≤− ≤ <

4 B 5 3

3 2

x

y

− < ≤− < ≤

2. I segmenti nel piano cartesiano 5 A Verifica che il triangolo di vertici ( ) ( ) ( )3; 2 , 9; 2 e 7; 8 A B C− è isoscele. Calcola la

misura del perimetro e l’area.

4 13 2 26; 26 +

5 B Verifica che il triangolo di vertici ( ) ( ) ( )2; 1 , 8; 3 e 6; 7 A B C− è isoscele. Calcola la

misura del perimetro e l’area.

4 13 2 26; 26 +

Trova l’area e la lunghezza del lato maggiore del quadrilatero ABCD.

6 A ( ) ( ) ( ) ( )3; 2 , 0; 4 , 4; 1 , 1; 2 .A B C D− − − − − 43

Area ; 3 52

AB = =

6 B ( ) ( ) ( ) ( )4; 6 , 2; 2 , 0; 1 , 5; 2 .A B C D− − − − 49

Area ; 102

AB = =

7 A Sia ( )1; 6 M il punto medio del segmento AB, con ( )3; 5 . A − Determina le coordinate di B.

( )5; 7 B

7 B Sia ( )2; 5 M il punto medio del segmento AB, con ( )2; 4 . A − Determina le coordinate di B.

( )6; 6 B

8 A Considera i punti ( )5 ; 6 A a a+ − e 3

7; ,2

M a a + −

con a reale. Sia M il punto medio del

segmento AB. Determina a in modo che il punto B abbia ordinata doppia della sua ascissa.

Calcola la lunghezza del segmento AB. 2; 10 5 a = −

8 B Considera i punti ( )1 ; A a a− e 2 2 ; ,8

a

M a −

con a reale. Sia M il punto medio del

segmento AB. Determina a in modo che il punto B abbia ordinata uguale a un quinto della

sua ascissa. Calcola la lunghezza del segmento AB. 4; 149 a = −

Trova per quale valore del parametro h la distanza AB è uguale a 10.

9 A ( ) ( )1; 2 , 2 ; A h h B h h+ − − 1 2 5h = ±

9 B ( ) ( )2 3; 3 , 1; 1 A h h B h− − − 2 5 2h = ±

3. L’equazione di una retta passante per l’origine Scrivi l’equazione della retta passante per l’origine e per il punto A. Verifica se il punto B appartiene alla retta trovata. Disegna il grafico della retta, il punto A e il punto B.

10 A ( )3; 18 , A − 1

; 2 .3

B −

[ ]6 ; sì y x= −

10 B ( )2; 8 , A − − 1

; 1 .2

B −

[ ]4 ; no y x=

Tre dei seguenti quattro punti sono allineati. Dopo averli individuati, scrivi l’equazione della retta che li congiunge.

11 A ( )12; 20 , A − ( )6; 12 , B − 10

2; ,3

C −

( )3; 5 . D − 5

, , ;3

A C D y x = −

11 B ( )14; 4 , A 1 7

; ,3 6

B

( )2; 7 , C ( )8; 28 . D − − 7

, , ;2

B C D y x = −

Scrivi l’equazione delle rette passanti per l’origine aventi i coefficienti angolari indicati e disegnale nel piano cartesiano.

12 A 1

,3

m= 4.m= − 1

; 43

y x y x = = −

12 B 1

,4

m= 3.m= − 1

; 34

y x y x = = −

4. L’equazione generale della retta Disegna i grafici delle rette rappresentate dalle seguenti equazioni.

13 A 3

2 5; .5

y x y= − = −

13 B 2

3 4; .5

y x y= − = −

Scrivi in forma esplicita le seguenti equazioni, specificando quali sono il coefficiente angolare e il termine noto. Disegnane, infine, i grafici.

14 A 3 1 0, 3 0, 2 1 0. x y y x y− + = − + = + + = 1 1

; 3; 2 13 3

y x y y x = + = = − −

14 B 2 3 0, 2 0, 4 1 0. x y y x y− + = − = − + = 1 1

2 3; 2;4 4

y x y y x = + = = +

Scrivi in forma implicita, con coefficienti interi, le seguenti equazioni.

15 A 1 4 1

1; 3 8; .5 5 3

y x y x y x= + = − − = +

[ ]5 5 0; 3 8 0; 12 15 5 0 x y x y x y− + = + + = − + =

15 B 3 1 2 1 7

; ; .2 2 3 5 8

y x y x y x= − = + = − −

[ ]3 2 1 0; 10 15 3 0; 8 8 7 0 x y x y x y− − = − + = + + =

16 A Data la retta di equazione 3 2 4 0,x y− − = stabilisci se il punto 1

1;2

A −

appartiene a tale

retta. Determina inoltre i punti B e C appartenenti alla retta e rispettivamente di ascissa 1− e

di ordinata 4. ( )7sì; 1; , 4; 4

2 B C

− −

16 B Data la retta di equazione 2 3 6 0,x y− + = stabilisci se il punto 1

1;3

A −

appartiene a tale

retta. Determina inoltre i punti B e C appartenenti alla retta e rispettivamente di ascissa 4 e

di ordinata 5− . 14 21

no; 4; , ; 53 2

B C − −

17 A Determina il valore reale di a affinché la retta 3 4 0x y− + = passi per il punto

1

2 1; .2

A a a − − +

In tal caso, scrivi le coordinate di A e rappresenta in un grafico la retta

e il punto. 1 8 4

; ;14 7 7

a A = − −

17 B Determina il valore di a affinché la retta 4 3 1 0x y+ − = passi per il punto

1

3 1; .4

A a a + −

In tal caso, scrivi le coordinate di A e rappresenta in un grafico la retta

e il punto. 3 11 2

; ;20 20 5

a A = − −

18 A Determina per quale valore del parametro k la retta 4y kx= + passa, rispettivamente, per il

punto ( )1; 2 P e per il punto ( )3; 4 . Q [ ]2; 0 k k= − =

18 B Determina per quale valore del parametro k la retta 2 3y x k= + passa, rispettivamente, per il

punto ( )1; 4 P − e per il punto ( )3; 2 . Q − − 4

2;3

k k = =

19 A Determina per quali valori di h il punto di ascissa 3 della retta 3 4 0hx y h+ − = ha distanza

dall’origine uguale a 5. [ ]2h = ±

19 B Determina per quali valori di h il punto di ordinata 8 della retta 9 2 2 0x hy h− − = ha

distanza dall’origine uguale a 10. [ ]3h = ±

20 A Trova la distanza tra i punti A, di ascissa 1

2, e B, di ordinata 6, appartenenti alla retta di

equazione 5 4.y x= − 3

262

AB =

20 B Trova la distanza tra i punti A, di ordinata 2,− e B, di ascissa 3

,2

appartenenti alla retta di

equazione 3 7.y x= − + 3

102

AB =

5. Il coefficiente angolare Scrivi l’equazione della retta utilizzando le informazioni fornite dal grafico. 21 A

[ ]2 4y x= +

21 B

5

53

y x = +

Determina, se possibile, il coefficiente angolare delle rette AB, AC e BD.

22 A ( )3; 4 , A − ( )0; 2 , B ( )2; 4 , C − − ( )0; 1 . D − [ ]2; 0; non esiste −

22 B ( )2; 5 , A − ( )3; 0 , B − ( )2; 1 , C ( )2; 0 . D [ ]1; non esiste; 0 −

23 A La retta di coefficiente angolare 3,m= passante per il punto ( )2; 7 , A contiene i punti

( )?; 10 , B ( )5; ? C − e ( ); 2 , D h h con .h∈� Trova le coordinate mancanti dei punti B, C, D.

( ) ( ) ( ) 3; 10 , 5; 14 , 1; 2 B C D− − − −

23 B La retta di coefficiente angolare 4,m= passante per il punto ( )3; 2 , A − contiene i punti

( )?; 2 , B − ( )5; ? C e ( ); 19 , D h h− con .h∈� Trova le coordinate mancanti dei punti B, C, D.

( ) ( ) ( ) 4; 2 , 5; 34 , 1; 18 B C D− −

6. Le rette parallele e le rette perpendicolari

Considera le seguenti quattro rette, determina il loro coefficiente angolare e infine stabilisci quali sono parallele e quali perpendicolari.

24 A 2 3 2 0, 3 6 0, 6 2 0, 3 2 8 0. x y x y x y x y+ − = − + = − + = − − = 2 3

; 3; 3;3 2

−

24 B 2 5 3 0, 4 10 7 0, 2 0, 2 8 0. x y x y x y x y+ − = + + = − + = + − = 2 2 1

; ; ; 25 5 2

− − −

25 A Data la retta di equazione ( )1 3 0,k x y k+ − + = determina per quali valori di k la retta

risulta:

a) parallela all’asse y; k ók

b) parallela all’asse x; [ ]1k = −

c) parallela alla retta di equazione 2 3 1 0;x y− + = 1

3k = −

d) perpendicolare alla retta di equazione 4 2 1 0.x y+ − = 1

2k = −

25 B Data la retta di equazione ( )1 3 0,k x y k− − − = determina per quali valori di k la retta

risulta:

a) parallela all’asse y; k ók

b) parallela all’asse x; [ ]1k =

c) parallela alla retta di equazione2 5 4 0;x y− + = 3

5k =

d) perpendicolare alla retta di equazione4 3 7 0.x y− − = 7

4k =

26 A Determina per quale valore del parametro a le due rette ( )2 3 4 0a x y a− + − = e

( )2 2 3 1 0x a y− + − = sono perpendicolari. 2

11a = −

26 B Determina per quale valore del parametro b le due rette ( ) ( )1 4 20 1 0b x y b− − − + = e

( ) ( )5 2 7 1 0x b y b+ − − + = sono perpendicolari. 23

3b =

27 A Date le rette parallele di equazioni ( )f x mx q= + e ( ) ,g x mx q'= + con ,q q'≠ determina

le funzioni composte f go e g fo e stabilisci quando i loro grafici sono paralleli alle rette

date. [ ]0 1m m= ∨ =

27 B Date le rette parallele di equazioni ( )f x mx q= + e ( ) ,g x mx q'= + con ,q q'≠ determina

le funzioni composte f go e g fo e stabilisci quando i loro grafici sono perpendicolari alle

rette date. [ ]1m= −

28 A Dati i punti ( )2; 4 , A ( )6; 6 B e ( )1; 6 , C a a+ − determina il valore di a per il quale i

segmenti AB e AC risultano perpendicolari. Per tale valore, trova le coordinate di C e l’area

del triangolo ABC. ( )4; 5; 2 ; Area 15 a C= − =

28 B Dati i punti ( )4; 3 , A − ( )5; 6 B e ( )5; , C b b− − determina il valore di b per il quale i

segmenti AB e AC risultano perpendicolari. Per tale valore, trova le coordinate di C e l’area

del triangolo ABC. ( )3; 2; 3 ; Area 30 b C= − − =

7. I fasci di rette 29 A Dopo aver scritto l’equazione del fascio improprio di rette parallele alla retta di equazione

3 5 0,x y+ − = determina quella che passa per il punto ( )2; 0 . A [ ]3 6 0x y+ − =

29 B Dopo aver scritto l’equazione del fascio improprio di rette parallele alla retta di equazione 3 8 0,x y− − = determina quella che passa per il punto ( )3; 0 . A [ ]3 9 0x y− − =

Scrivi l’equazione della retta parallela e della retta perpendicolare alla retta data, entrambe passanti per A, poi disegna le tre rette.

30 A 2

1,5

y x= − − ( )0; 4 . A 2 5

4; 45 2

y x y x = − + = +

30 B 3

1,4

y x= − ( )0; 2 . A − 3 4

2; 24 3

y x y x = − = − −

Scrivi l’equazione del fascio di rette passante per il punto indicato e disegna le rette aventi coefficiente angolare 0, 2, 3. m m m= = = − 31 A ( )3; 4 A − [ ]3 4 3y mx m x= − − ∨ =

31 B ( )1; 2 B − [ ]2 1y mx m x= + + ∨ = −

32 A Tra le rette del fascio di equazione ( ) ( )1 2 3 0,k x k y k+ − − + − = ,k ∈� determina quella

che:

a) è parallela all’asse delle ascisse; 4

3y =

b) è parallela all’asse delle ordinate; 1

3y =

c) passa per l’origine del sistema di riferimento; [ ]4 0x y− =

d) passa per il punto ( )2; 1 ; A − [ ]7 9 0x y− + =

e) è parallela alla retta di equazione 2 3 1 0;x y+ − = [ ]6 9 14 0x y+ − =

f) è perpendicolare alla retta di equazione 2 4 0.x y− − = [ ]2 3 0x y+ − =

32 B Tra le rette del fascio di equazione ( ) ( )2 1 2 0,k x k y k+ − − + − = ,k ∈� determina quella

che:

a) è parallela all’asse delle ascisse; 4

3y =

b) è parallela all’asse delle ordinate; 1

3y =

c) passa per l’origine del sistema di riferimento; [ ]4 0x y− =

d) passa per il punto( )2; 1 ; A − [ ]7 5 9 0x y+ − =

e) è parallela alla retta di equazione2 5 1 0;x y+ − = [ ]6 15 22 0x y+ − =

f) è perpendicolare alla retta di equazione4 1 0.x y+ + = [ ]4 5 0x y− + =

33 A Sono dati i seguenti fasci di rette: a) 3 5 0;kx ky k+ − + = b) 3 4 0.kx y k+ − = Per ciascuno di essi, dopo aver determinato se sia proprio o improprio, individua le coordinate del centro (se si tratta di un fascio proprio) o il coefficiente angolare comune alle sue rette (se si tratta di un fascio improprio).

( ) ( )0 0a) improprio, 3; b) proprio, ; 4; 0 m x y= − =

33 B Sono dati i seguenti fasci di rette:

a) ( )3 2 1 0;k x y k+ + + − =

b) 3 7 4 1 0.x y k+ + + = Per ciascuno di essi, dopo aver determinato se sia proprio o improprio, individua le coordinate del centro (se si tratta di un fascio proprio) o il coefficiente angolare comune alle sue rette (se si tratta di un fascio improprio).

( ) ( )0 0

3a) proprio, ; 1; 2 ; b) improprio,

7 x y m

= − = −

8. La retta passante per due punti Scrivi l’equazione della retta passante per A e B. 34 A ( )2; 4 , A ( )1; 5 . B − − [ ]3 2y x= −

34 B ( )1; 6 , A ( )1; 0 . B − [ ]3 3y x= +

35 A Scrivi le equazioni delle rette contenenti i lati del quadrilatero ABCD, sapendo le coordinate

( )0; 2 , A ( )2; 4 , B ( )6; 5 C e ( )4; 3 . D Verifica che il quadrilatero è un parallelogramma.

1 7 12; ; 1; 2

4 2 4 y x y x y x y x

= + = + = − = +

35 B Scrivi le equazioni delle rette contenenti i lati del quadrilatero ABCD, sapendo le coordinate

( )2; 1 , A − ( )0; 3 , B ( )4; 4 C e ( )2; 2 . D Verifica che il quadrilatero è un parallelogramma.

1 1 33; 3; ;

4 4 2 y x y x y x y x

= + = + = = +

36 A Dati i punti ( )3; 1 A − e ( )2; 3 , B determina il punto C di ascissa 9

2 allineato con A e B.

9; 4

2 C

36 B Dati i punti ( )2; 10 A − e ( )1; 1 , B determina il punto C di ordinata 4− allineato con A e B.

8; 4

3 C

−

9. La distanza di un punto da una retta

37 A Determina la distanza del punto ( )3; 4 P dalla retta di equazione 3 4 1 0.x y+ − = 25

4

37 B Determina la distanza del punto ( )2; 3 P − dalla retta di equazione3 4 3 0.x y− + = 25

4

Determina l’area del triangolo di vertici A, B e C. 38 A ( )2; 2 , A − − ( )2; 1 , B ( )0; 7 . C [15]

38 B ( )2; 1 , A − − ( )2; 2 , B ( )0; 8 . C [15]

39 A Dopo aver verificato il parallelismo tra le rette di equazioni 2 3 12 0x y− + = e 4 6 4 0,x y− − =

determina la loro distanza. 14

1313

39 B Dopo aver verificato il parallelismo tra le rette di equazioni 4

43

y x= − + e 4 3 37 0,x y+ − =

determina la loro distanza. [ ]5

I NUMERI REALI

E I RADICALI

ESERCIZI

1. La necessità di ampliare l’insieme � Utilizzando il teorema di Pitagora costruisci i segmenti con le seguenti lunghezze (in centimetri).

1 A 7; 10; 13. 7 16 9; 10 1 9; 13 4 9 = − = + = +

1 B 8; 11; 12. 8 4 4; 11 27 16; 12 16 4 = + = − = −

2. Dai numeri razionali ai numeri reali Scrivi i primi quattro termini delle successioni approssimanti, per difetto e per eccesso, i seguenti numeri.

2 A 2

;9

13; 2 5.+

2 B 7

;9

17; 3 7.+

Calcola con l’approssimazione a meno di 1

100 il risultato delle seguenti operazioni.

3 A 3 6; 5 7. + ⋅

3 B 5 7; 3 6. + ⋅ Per ciascuno dei seguenti numeri determina se è razionale o irrazionale, e per ciascun razionale determina se è decimale finito o periodico.

4 A 7

;5

3,31311311131111…; 20

;5

3

;2

− 1

;41

2,414141…; 27

.4

4 B 8

;2

1

;40

3,8888…; 5

;7

3 27;− 1,20200200020000…; 13

.3

Disponi in ordine crescente i seguenti numeri reali.

5 A 4,796; 4,795; 4,7; 23; 52

.11

5 B 5,74; 5,74; 23

;4

33; 5,745.

3. I radicali Stabilisci quali delle seguenti radici esistono in .�

6 A 4 81;− ( )36 2 ;− 49

1 ;25

− 335

20 .8

−

6 B 3 64; ( )84 3 ;− 7

2;81

− − ( )21 2 .− − −

Calcola le seguenti radici, se esistono in .�

7 A 3512

;125

− ( )48 ;− − ( )84 3 ;−

425

.81

− −

7 B 3729

;64

( )63 3 ;− − ( )124 4 ;− 4

5.

8

− −

4. I radicali in 0

+�

Determina le condizioni di esistenza dei seguenti radicali in 0

+� .

8 A 23 ;x b 3 1 ;x− 4 2 1.a + 1

0; 1;2

b x a ≥ ≤ ≥ −

8 B 42 ;x b 3 3 ;x− 4 3 2.a + 2

0; 3;3

b x a ≥ ≤ ≥ −

9 A 1

;3 1a +

3 ;2

a

a− ( )4

2 1.a− − + 1

; 2;3

a a a > − > ∀ ∈

�

9 B 24 1;b− − ;2

b

b−

1.

b

b

− ; 0 2; 1 b b b b ∈ ≥ ∧ ≠ ≥ �ó

Completa, determinando il radicale equivalente. Scrivi le condizioni di esistenza

( ), , , 1, 2 . k m n k n∈ ≥ ≥�

10 A 3 95 ...;= 5 4 20 ...;ab = ( )3

1642

1...;

x

y

+= 3 4 ... .m ka b =

10 B 6 1213 ...;= 24 20 ...;abc = ( )2

83

1...;

x

y

−= 3 1 1 9 ... .n n ka b− + =

Riduci allo stesso indice i seguenti radicali.

11 A 7; 24 ;xy 3 2 ;x y− 6 .2

x

a b+

( )( )

246 3 612 12 12

12 27 ; ; 2 ;2

x

x y x ya b

−

+

11 B 5; 3 2 ;xy ( )34 2 ;x y+ ( )

12 3 .5

x y

a b

+−

( )( )

96 4 412 12 1212 35 ; 16 ; 2 ;

5

x yx y x y

a b

+ −

−

Semplifica i seguenti radicali, dopo aver determinato le condizioni di esistenza ( ), 1 . n n∈ >�

12 A 10 243; 3 126 ;x y 2 24 4 24 36 ;x xy y+ + ( )23 2 .nnn x y−

( )24 33; C.E.: , 0, ; C.E.: , , 2 3 ; C.E.: , , 2 y x xy x y x y x y x y ∀ ∈ ≥ ∀ ∈ + ∀ ∈ −

� � �

12 B 151024; 5 1010 ;x y 2 26 9 18 9 ;x xy y− + ( )410 4 .nnn x y−

( )223 534; C.E.: , 0, ; C.E.: , , 3 ; C.E.: , , 2 y x xy x y x y x y x y ∀ ∈ ≥ ∀ ∈ − ∀ ∈ −

� � �

Semplifica i seguenti radicali, dopo aver determinato le condizioni di esistenza.

13 A 464

;25

2

612

4 12 9;

x x

x

+ +

( )( )

4

12 22 2;

x y

x y

+

−

( )( )

222

84

1

1

x y

x y

− −

+ −.

3

6 42

2 3 122 ; C.E.: 0, ; C.E.: , ; C.E.: 1,

5 1

x x y x yx x y x y

x x y x y

+ + − + ≠ ≠ ± + ≠

− + −

13 B 9125

;64

63 2

27;

6 12 8y y y+ + +

( )( )

32 2

9 64 4;

x y

x y

+

−

( )6

82 2

3.

6 9

x y

x xy y

++ +

( )( )3

3 22 2 2 2

5 3 1; C.E.: 2, ; C.E.: , ; C.E.: 3 , 3

4 2 y x y x y x y

x x y x y

> − ≠ ≠ − + + + −

Disponi in ordine crescente i seguenti radicali dopo averli ridotti allo stesso indice.

14 A 3 6, 425

,3

41

,2

6120

.7

14 B 5 8, 3

,2

319

,2

6140

.9

5. La moltiplicazione e la divisione fra radicali Esegui in 0

+� la seguente moltiplicazione fra radicali e semplifica il risultato. (Supponi che siano

verificate le C.E.)

15 A 2 2 2

4 32 1

1

x xy y x

x x y

+ + −⋅− +

( ) ( ) ( )2 412 1 1x y x x + + −

15 B ( )42 2

32 2 2

1

2 1 2

xx y

x x x xy y

+− ⋅+ + − +

( ) ( )3 2

61x y x

x y

+ +

−

Esegui in 0

+� la seguente divisione fra radicali e semplifica il risultato. (Supponi che siano

verificate le C.E.)

16 A ( )

( )( )

23 3

43 2:

1 1

x yx y

x x

++− −

2 2

1

x y xy

x

+ −

−

16 B ( ) ( )10 5

6 33 3

1 1:

x x

x y x y

+ +− −

62 2

x y

x y xy

− + +

Trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili.

17 A 250; ( ) ( )

2 2

2

2 20, 0 ;

3

a b aba b x

x y

+ ++ > >

( ) ( )4

35

160, 0 .

27

x yx y x

x

−− > >

( ) ( )3

2

2 225 10; ;

3 3

x y x ya b

x y x x

− −+

17 B 162; ( ) ( )

2 2

4

4 20 ;

3

a b aba b

xy

+ −− >

( ) ( )5

34

320, 0 .

3

x yx y x

x

−− > >

( ) ( ) ( )2

32

2 2 419 2; ;

3 3

a b x y x y

y x x x

− − −

18 A 3625

;27

4 4 24 2 3 .a a b+ 24355; 2 3

3 a b

⋅ +

18 B 381

;8

6 8 26 3 2 .x x y+ 2 23 633; 3 2

2 x x y

⋅ +

19 A 3128

;125

( )2 3 12 1 , 1, .

2

nn a n n a++ ∈ ≥ > −� ( ) ( )2 334

2; 2 1 2 15

na a + +

19 B ( )3 124 0,0032; 6 , , 1, 6. nn b n n b

++ ∈ ≥ > −� ( )4

122; 6 6

5

nnb b+

+ +

Trova le condizioni di esistenza dei radicali in 0

+� e, dopo aver eseguito le moltiplicazioni, trasporta

fuori dal segno di radice i fattori possibili mettendo il valore assoluto dove necessario.

20 A 4 5

6327 3

2 5

x y

y x⋅

3

63

C.E.: , 0; 320

xy

x y x

> ⋅

20 B 5 5

62 2

9 3

2 2

x y

y x⋅ 2

63

C.E.: , 0; 316

x

x y xy

> ⋅

21 A ( )( ) ( )

5 2

4 87 2

1 6 9

3 1

x x x

x x

+ − +⋅− +

1 1

C.E.: 1 3;3 3

x

x xx x

+ < − ∨ > ⋅

− −

21 B ( )8

532

12 1

1 4 1

xx

x x

++ ⋅+ −

( ) ( )2 415

5

2 1 11C.E.: 1 ; 1

2 2 1

x xx x x

x

+ + < − ∨ > + ⋅ −

Semplifica l’espressione. (Supponi che siano verificate le C.E.)

22 A 6432

2 2: 2 2

2 4

x xx x

x x

+ + ⋅ + ⋅ −− −

( )34 2x +

22 B 6432

3 1 3 1: 3 1 3 1

3 1 9 1

x xx x

x x

+ + ⋅ + ⋅ −− −

( )34 3 1x +

23 A ( )

( ) ( )5 222

49 2

4 4 1 2 14 4:

2 42 1

x x xx x

x xx

− + −+ + ⋅− −−

( ) 42

22

xx

x

++ ⋅ −

23 B ( )( ) ( )

( )4 22 2

566 32 52

4 1 2 1 1: 2 1

12 11

y y y yy

yyy

− + + +⋅ − ⋅ −+ − 6

1 1

2 1 2 1y y

⋅ + −

24 A ( ) ( )

( )

4 523 6

52

1 11:

1

x xx

x x x x

− −− ⋅+ +

6 x

24 B ( ) ( ) ( )4 2 5

3 6 5

2:

1 2 1 2

x x x x

x x x x

+ ⋅

+ ⋅ + + +

6 1x +

6. La potenza e la radice di un radicale Semplifica la seguente espressione con potenze di radicali.

25 A

2 3

3

3 2

2 3 2

a a

a a

+ + ⋅

+ +

2

2

a

25 B

2 3

3

5 2

2 4 5

a a

a a

+ + ⋅

+ +

( )2

2

2

a +

Esegui le seguenti radici di radicali.

26 A 5 7 ; 3 5 5; 3 2 34 .a b 2 32410 157; 5; a b

26 B 4 6; 3 6 7 ; 3 5 3 .a b 30 38 186; 7; a b

Poni nella forma di un unico radicale.

27 A 4 69 3; 32 2 2 ;⋅ ⋅ 2 733

1a a

a⋅ ⋅ 820 13 11 343 ; 2 ; a

27 B 6 5 5;⋅ 3 34 8 16 ;⋅ ⋅ 5

5 4

bb

b⋅ 18 2025 314 5; 2 ; b

Trasporta i fattori dentro il segno di radice, supponendoli non negativi.

28 A 313

3 ;9

⋅ ( ) 41

2 ;2 4

aa

− ⋅−

32

.2

x x

x x

+⋅+

( )

( )

3 23 4

3 2

239; ;

2 2

a x

x

− +

28 B 317

4 ;8

⋅ ( ) 41

2 ;3 6

aa

+ ⋅+

31

.1

x x

x x

+ ⋅+

( ) ( )3 2

3 342

2 1136; ;

3

a x

x

+ +

Dopo aver determinato le C.E. in 0

+� trasporta i fattori dentro alla radice.

29 A ( ) 33 ;

3

aa

a

+−−

( )( )

23 5

21 ;

1x

x+ ⋅

+ 2 1, , 1. nx y n n⋅ − ∈ ≥�

[ 2 2 3C.E.: 3 3, se 3, 9; se 3, 9; se 3, 0; C.E.: 1, 2 2; a a a a a a a x x≤ − ∨ > > − < − − − = − > − +

( ) ( )2 2C.E.: 1, se pari, 4 1 , se dispari e 0, 4 1 , n ny n x y n x x y≥ − < − −

( )2se dispari e 0, 4 1 nn x x y ≥ −

29 B ( )( )

26 4

51 ;

1y

y− ⋅

− ( )4

2

116 ;

4b

b−

+ ( ) 1 2 1, .

nxy x n

+ + ∈�

( ) ( ) ( )28 2 26C.E.: 1, 5 1 ; C.E.: , se 2 2, 4 4 , y y b b b b b ≠ − ∀ ∈ ≤ ∨ ≥ − +

�

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 4 2 2se 2 2, 4 4 ;C.E.: , , se dispari, , nn nb b b x y n x y xy

++ +− < < − − + ∀ ∈ +�

( ) ( )2 2 2 22 4 2 2 2 4 2 2se pari e 0, , se pari e 0, n nn n n nn xy x y xy n xy x y xy

+ ++ + + + < − + ≥ +

7. L’addizione e la sottrazione di radicali Calcola la seguente somma algebrica di radicali (supponi positivi i radicandi letterali).

30 A 2 3 12 27 3 75 108+ − + − 10 3

30 B 3 2 18 2 8 3 50 98+ − + − 10 2

31 A ( )32 4 8 9 18b b b+ − + − + ( )3 2b b − ⋅ +

31 B ( )32 3 8 12 18 27a a a+ − + − + ( )2 1 2 3a a − ⋅ +

Utilizzando anche le regole dei prodotti notevoli, semplifica l’espressione.

32 A ( ) ( ) ( ) ( )2

2 2x y x y x y y y x− ⋅ + − + + ⋅ − 2x xy −

32 B ( ) ( ) ( ) ( )2

2 2y x x y x y y y x− ⋅ + + − − ⋅ − 2 xy x − −

33 A ( ) ( ) ( )2

2 2 2 8x y x y x y xy− ⋅ + − + + [ ]4y−

33 B ( ) ( ) ( )2

3 3 3 12a b a b b a ab+ ⋅ − − − − [ ]2b−

Scomponi in fattori le seguenti somme algebriche. (Supponi che siano verificate le C.E.)

34 A 11 4 6;− 3 2 6.ab b a+ + + ( ) ( )( )2

2 2 3 ; 3 2a b − + +

34 B 7 2 10;+ 2 1 4 2.ab a b a+ + + − − ( ) ( )( )2

5 2 ; 2 1 1 2a b + + + −

Dopo aver opportunamente scomposto in fattori, semplifica la seguente frazione.

35 A ( ) ( )

( )2

2

1 2 2

3 1 3

x x

x x

+ − +

− − −

3

1

x

x

+ +

35 B ( ) ( )

2

2

2 2 6 3

2 3 3 4 5

y y

y y

+ ++ − +

( )2 3

2 2 3

y

y

+ −

8. La razionalizzazione del denominatore di una frazione Razionalizza i denominatori delle seguenti frazioni.

36 A 3

;6

2

;2

x

xy

1;

5 7+

4.

2

a

a

−+

6 7 5

; ; ; 22 2 2

x xy

ay

⋅ − −

36 B 5

;10

;3

xy

yz

1;

7 2−

3.

3

x y

x y

−+

10 7 2

; ; ; 32 3 3

x yz

x yz

⋅ + −

37 A 3

3

5;

5 2+

1.

1 1

a

a a

++ − −

23 35 2 25 4 5 1 1

;13 2

a a − + + + −

37 B 1

;3 5 1− +

1

.2 1

b

b b

−+ +

( )( ) 2 23 5 1 2 3 1 2 1

;11 3 1

b b b

b

+ + + − − − −

9. I radicali quadratici doppi Trasforma i seguenti radicali doppi nella somma di due radicali semplici.

38 A 8 15;+ 9 2 14.− 30 2

; 7 22

+ −

38 B 7 13;− 8 2 7 .+ 26 2

; 7 12

− +

10. Le equazioni, i sistemi e le disequazioni con coefficienti irrazionali Risolvi l’equazione.

39 A 2 2 1

2 2 2 2 1

x x x− − −− =− −

2

22

−

39 B 3 2 3

2 2 1 2 2

x x x− − −+ =− −

2

32

−

Risolvi il sistema lineare con coefficienti irrazionali.

40 A

2 3

31 1

3

y x

x y

+ = − − = +

( )1; 3 2 − −

40 B

3 3

31 2

3

x y

y x

+ = − − = +

( )3 3; 1 − −

Risolvi la disequazione

41 A 3

2 22 3

xx− >

2

3x

< −

41 B 5

33 2

xx+ < −

5 3

4 2x

< −

11. Le potenze con esponente razionale Scrivi sotto forma di radicale le seguenti potenze con esponente razionale.

42 A ( )3

4 12 1681 ;a b

26 3 9

9

27.

x y

c

−

63 94 3

4 227 ;

9

ca b

x y

42 B ( )3

6 14 816 ;a b

25 10 15

5.

32

a b

c

−

29 21 34

2 4

464 ;

ca b

a b

Scrivi sotto forma di potenza con esponente razionale i seguenti radicali

( )0, 0, 0, 0, 0 .a b x y z> > > > >

43 A 2

53

;ab

a b⋅

1 1 1 1 110 3 4 2 2; a b x y z

−

43 B 3

45

;a b

ab⋅

2 3 5

23

.xy

x y z

xy z

1 1 1 1 138 8 12 12 24; a b x y z

− − −

Semplifica l’espressione, in cui compaiono esponenti razionali, utilizzando, quando è possibile, le proprietà delle potenze.

44 A ( ) ( )1 1

3 31 12 33 4 3 62 23 2x x x x x x x

−− − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

12 x

44 B ( )1 1 1

3 3 3 1 312 2 32 34 2 2 2 43x x x x x x x

−−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

24 x

45 A ( ) ( )23

31 11 5 325 2 52 44 8 :xy y xy x y

− ⋅ ⋅

17 724 20 x y

45 B ( ) ( )3

1 4 11423 33 5 22x y x xy yx y

−−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

4

35

x x

y

12. I radicali in .� Stabilisci se le seguenti radici esistono in .� In tal caso, calcolale.

46 A 4 16; 3 125; 3 27;− 4.− 2; 5; 3; − ó

46 B 3 125;− 3 27; 4 81; 36.− 5; 3; 3; − ó

Determina le condizioni di esistenza dei seguenti radicali.

47 A 23 ;x b 3 1 ;x− 4 2 1.a + 1

0; ;2

b x a ≥ ∀ ∈ ≥ −

�

47 B 42 ;x b 3 3 ;x− 4 3 2.a + 2

0; ;3

b x a ≥ ∀ ∈ ≥ −

�

Calcola il valore della seguente espressione con numeri complessi.

48 A 2 2 1

2 21 2

ii i

− − + −+ −

[ ]3 i−

48 B 2 2

2 3 2.2

ii

i

+ − − + −−

[ ]1 3i− +