II ESONERO Modelli di Sistemi Biologici II 11/06/2009 h11 A.40

TEMA 1

1. Si consideri il modello minimo del glucosio (6) rappresentato dalle seguenti equazioni:

dG/dt = (p1-X) G+ p4 G(0) = Gss  dX/dt = p2X + p3 i(t) X(0) = 0

In cui p1<0 p2<0 e p4= -p1Gss

Si analizzi la stabilità del modello nell’intorno del punto di equilibrio G=Gss e X=0 (12pt)

2. Cosa rappresenta la fase G0 nel ciclo cellulare. (2pt)

In che punti del ciclo cellulare si ipotizza ci possa essere una transizione alla fase G0. (2pt)

Quali sono le ipotesi alla base dei due differenti modelli che tengono conto di tale fase. (4pt)

3. Definizione di attrattore (3pt)

Quali sono le caratteristiche peculiari di un attrattore strano (2pt)

Cosa sono e a cosa servono le mappe di Poincaré (5pt)

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TEMA 2

1. Si consideri il modello minimo del glucosio 5

dG/dt = p1G + p2X + p3 G(0) = Gss  dX/dt = p4X + i(t) X(0) = 0

Con p1<0 p2<0 p3=-p1Gss p4<0

Se ne valuti la stabilità rispetto al punto di equilibrio G=Gss e X=0 (10pt)

2. Modelli di pura crescita (8pt)

3. Cosa si intende per biforcazione (2pt)Equazioni della biforcazione di Hoph (4pt)Condizioni perchè si abbia una biforcazione di Hoph (3pt)Cosa si intende per biforcazione di Hoph supercritica (3pt)

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TEMA 3

1. Si consideri il modello

dx1/dt= -kx1dx2/dt= -ax2-(bx1)x2

Con K a e b>0Se ne valuti la stabilità rispetto al punto di equilibrio x1=x2=0 (10)

2. Modelli di popolazioni cellulari con interazione età-volume (10)

3. Modello di Bonhoffer- Van der Pol (10)

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TEMA 4

1. Si consideri il modello epidemiologico base definito dalle equazioni

dx/dt = -xy/NdI/dt = xy/N –ydz/dt = y

Con x+y+z = N x(0) = N-b, y(0) = b, R(0) = 0

Si analizzi la stabilità del punto di equilibrio banale x=N, y=z=0 e si determinino le condizioni di stabilità (12pt)

2. Modello di pura crescita: Modello della sola fase della mitosi, determinazione della P(n,t). (4pt)

Spiegare perchè non è accettabile la funzione densità di probabilità del tempo di ciclo. (2pt)Modelli di puracrescita a più stadi (2pt)

3. Mappe Poincarè. Esempio (10pt)

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TEMA 5

1. Si consideri il sistema bidimensionale illustrato per l’esemplificazione delle mappe di Poicarè. Si ne analizzi la stabilità rispetto all’origine (x=y=0) con il criterio di Liapunov. (12pt)

2. Modello a due compartimenti del ciclo cellulare con fase G0 (8pt)

3. Modello di Hodgkin-Huxley semplificato (10pt)