Idrodinamica (a.a. 2011/2012)

Moto uniforme negli alvei naturali

Marco Toffoloncon contributi da presentazioni diGuido ZolezziMatilde WelberGary Parker

Contatti

Marco Toffolonemail: marco.toffolon@ing.unitn.it

Laboratorio Didattico di Modellistica Idrodinamica(2° piano, corridoio centrale)tel.: 0461 28 2480

Moto uniforme:introduzione

Introduzione

Moto uniforme:

cosa significa?

perché è importante?

uniforme: «uguale» ovunque

quali condizioni devono essere soddisfatte?

quali sono i limiti di questa definizione?

utilizzo: scala delle portate (principalmente)

nota la profondità stima della portata (locale)o viceversa

Equazioni

Equazioni 1D (De Saint Venant)

0

x

Q

t

0

gjx

hg

x

UU

t

U

Equazione di bilancio della quantità di moto (2° principio della dinamica)

Equazione di continuità (conservazione della massa)

0

gjgix

Yg

x

UU

t

Uf (con sistema di riferimento inclinato)

Equazioni

Moto uniforme

fij 0t

0x

0

gjgix

Yg

x

UU

t

Uf

hh gR

u

gRj

2*0

0

* u

Velocità d’attrito

BRh

Raggio idraulico

fgixxB 0

tan0 mgVgiA f

Bilancio di forze all’equilibrio

mg

Termined’attrito

fhigR 0

fhigRu *

Relazioni (generali)di moto uniforme

Chiusura

Moto uniforme fhh

igR

u

gRj

2*0

Problema della chiusura: definire un legame tra tensioni e velocità

23 YigbCQ fhalveo rettangolare “largo”

Yb

bY

YYb

bYRh

2 b

YbY

QU

hfh RigCU

hfh RigCUQ

fhh

igRC

Uj

2

2

*u

UCh Coefficiente di Chézy (adimensionale)

BRh

2010*

u

UCh

Coefficiente di Chézy (adimensionale)

Formule di resistenza

“scabro” “liscio”

21 hfh RigCQ

121 6030 smgCh21

hf RiQ Coefficiente di Chézy (dimensionale)

Moto turbolento pienamente sviluppato (Re>105)

Coefficiente di Gauckler-Strickler

(dimensionale)

61h

sh R

g

kC 131 6020 smks

* hf Rgiu 32hfs RikQ 32

hfs RikU

35 YiBkQ fs 32YikU fs * Ygiu fAlveo rettangolare largo

UY

Re

g

U

RCR

Uj

hhh 2

22

22

2

Darcy-Weisbach

g

U

Dj

2

2

Confronti con moto nei tubi

Chézy

4

DRh

8

hCChiusura

Y

71.3

1

Re

5.2log2

1

Colebrook-White

Stima coefficiente di resistenza

diagramma di Moody

Resistenza nei canali

Y

71.3

1

Re

5.2log2

1Colebrook-White (tubazioni)

lBCC

Relog5.2Canale a sezione circolare

in regime liscio0lB

rh B

C

RC

log5.2Canale a sezione circolare

in regime scabro46.6rB

URh4

Re

CfC

Relog5.2Canale di forma regolare

in regime liscio

C

RfC h3.13log5.2Canale di forma regolare

in regime scabro 824.0f

ffattore di forma

per sezioni rettangolari larghe

fRf

CC

h3.13Relog5.2

Formula di Marchi (1961)per sezioni di forma regolare

Variabili

Problema semplificato (alveo rettangolare largo): 5 variabili

35 YiBkQ fs

Note 4 grandezze, la quinta può essere determinata

Problema idraulico: stima della portata

21 , zRigzdCzQ hfshIn generale:

5 «variabili»: •portata Q•pendenza if•livello idrico z•geometria della sezione (~larghezza)•scabrezza Ch (~diametro caratteristico dei sedimenti)

Problema di progetto• Determinare la profondità richiesta per il deflusso in moto uniforme

della portata Q in un canale di larghezza b con pareti in cemento non perfettamente lisciate.

• (Determinare il coefficiente m della scala di deflusso)• Dati:

Q = 10 m3/s

b = 4 m

if = 0.001

scabrezza cemento tabella

coefficiente di Manningn = 1/ks [s m-1/3]

Portata negli alvei naturali

ALVEI NATURALI

• Geometria irregolare

• Variazione di scabrezza lungo il contorno

• Come determinare la scala di deflusso e in generale le proprietà idrauliche f(Y) della sezione?

21 hfh RigCQ mYkQ

Corso di Idrodinamica – Anno 2009

Adige, Trento, ponte S. Lorenzo, 24 gennaio 2002

~ 100 m³/s

184

186

188

190

192

194

196

198

20 40 60 80 100 120 140 160

coordinata trasversale [m]

qu

ota

[m

s.l.m

.]

B = 75 m

Y = 2 m

Corso di Idrodinamica – Anno 2009

Adige, Trento, ponte S. Lorenzo, 26 novembre 2002

~ 1400 m³/s

184

186

188

190

192

194

196

198

20 40 60 80 100 120 140 160

coordinata trasversale [m]

qu

ota

[m

s.l.m

.]

B = 100 m

Y = 6 m

Corso di Idrodinamica – Anno 2009

Adige, Trento, ponte S. Giorgio, 24 gennaio 2002

~ 100 m³/s

Corso di Idrodinamica – Anno 2009

Adige, Trento, ponte S. Giorgio, 26 novembre 2002

~ 1400 m³/s

Scala di deflussoAdige a Trento, ponte S. Lorenzo

czbazQ

scala idrometrica

32zRikzzQ hfssezione rettangolare

Corso di Idrodinamica – Anno 2009

Adige, Trento, Lungadige G. Leopardi

Corso di Idrodinamica – Anno 2009

Adige, Trento Nord, zona depuratore

…ma quanto vale il coefficiente di scabrezza per

l’Adige??

Resistenze negli alvei naturali

Resistenze negli alvei naturali

VAL RIDANNA, ALTO ADIGE VAL PASSIRIA, ALTO ADIGE

Resistenze

granulometria grossolana

RESISTENZA DI GRANO

granulometria fine

RESISTENZA DI GRANO

+ RESISTENZA DI FORMA

ESEMPISforzo al fondo maggiore

Granulometria

Scala φIntervallo

dimensionale(metrico)

Classi granulometriche

(Wentworth)

< −8 > 256 mm Blocchi

−6 to −8 64–256 mm Ciottoli

−5 to −6 32–64 mm Ghiaia molto grossa

−4 to −5 16–32 mm Ghiaia grossa

−3 to −4 8–16 mm Ghiaia media

−2 to −3 4–8 mm Ghiaia fine

−1 to −2 2–4 mm Ghiaia molto fine

0 to −1 1–2 mm Sabbia molto grossa

1 to 0 ½–1 mm Sabbia grossa

2 to 1 ¼–½ mm Sabbia media

3 to 2 125–250 µm Sabbia fine

4 to 3 62.5–125 µm Sabbia molto fine

8 to 4 3.90625–62.5 µm Silt o Limo

> 8 < 3.90625 µm Argilla

ghiaia(gravel)

sabbia(sand)

Granulometria

Fiume Tevere

monte

valle

Granulometria

Fiume Tagliamento

sotto lo stratodi corazzamento

(vagli)

superficiale(Wolman count)

ghiaiasabbia

Riferimentibibliografici

http://vtchl.uiuc.edu/people/parkerg/

RESISTANCE RELATIONS FOR HYDRAULICALLY ROUGH FLOW

Keulegan (1938) formulation:

sfh a

YC

u

UC 11ln

12/1

where = 0.4 denotes the dimensionless Karman constant and as = a roughnessheight characterizing the bumpiness of the bed [L].

6/1

2/1

srfh a

YC

u

UC

Manning-Strickler formulation:

where r is a dimensionless constant between 8 and 9. Parker (1991) suggested a value of r of 8.1 for gravel-bed streams.

90sks Dna

Roughness height over a flat bed (no bedforms):

where Ds90 denotes the surface sediment size such that 90 percent of the surface material is finer, and nk is a dimensionless number between 1.5 and 3. For example, Kamphuis (1974) evaluated nk as equal to 2.

22

22*0 UC

C

Uu f

h

ss ka notazione

COMPARISION OF KEULEGAN AND MANNING-STRICKLER RELATIONSr = 8.1

Note that Ch does not vary strongly with depth. It is often approximated as a constant in broad-brush calculations.

1

10

100

1 10 100 1000

H/ks

Cz

Keulegan

Parker Version of Manning-Strickler

6/1

1.8

sh a

YC

hC

saY

90sks Dna

Ricostruzione di una relazione per il coefficiente di Gauckler-Strickler

6/1

srh a

YC 6/1

6/1

90

1Y

DnC

skrh

61h

sh R

g

kC

6/1

90

1

skr

s

Dng

k 6/1

90

6/1 1

skrs D

ngk

1.8r 2kn 6/1

90

121 6.22

ss D

smk

mDs 90

diametro passante 90% dei sedimenti

Kamphuis(1974)

Parker(1991)

Formula empirica:

Strickler (1923):

6/150

121 1.21

ss D

smk

Meyer-Peter & Müller (1948):

6/190

121 26

ss D

smk

28.15090 gDD

SKIN FRICTION AND FORM DRAG: THE CONCEPTS

The drag force acting on a body can be decomposed into skin friction and form drag. The former is generated by the viscous shear stress acting tangentially to the body. The latter is generated by the normal stress (mostly pressure) acting on a body. The Newtonian constitutive relation for water is

i

j

j

iijvijvijij x

u

x

up ,, ,

Here ij denotes the stress acting in the jth direction on a face normal to the ith direction, p denotes the pressure, ij denotes the Kronecker delta ( = 1 if i = j and 0 if i j), ui = (u1, u2, u3) denotes the velocity vector and xi = (x1, x2, x3) denotes the position vector.

dSnD jjii

where ji is evaluated at the surface of the body, ni denotes a local unit vector outward normal to the surface of the body, and dS denotes an infinitesimal element of surface area.

The drag force Di on a body is given as

«resistenza di grano» resistenza di forma

SKIN FRICTION AND FORM DRAG: THE CONCEPTS contd.

The drag force Di can be decomposed into a component due to skin friction Dsi and a component due to form drag Dfi as follows:

fisii DDD

dSpnD,dSnx

u

x

udSnD ifij

i

j

j

ijji,vsi

Drag due to skin friction consists of that part of the drag that pulls the surface of the body tangentially. Form drag consists of that part of the drag that pushes the body in normally. Only the former is thought to directly contribute to sediment transport. Now in the diagrams below let and denote the skin friction and form drag forces on the area element dS, denote a unit tangential vector to the surface in the x direction and denote a unit vector normal to the surface.

dSn̂z

uDd tx

bodys

dSn̂pDd nbodyf

sD

fD

txn̂

nn̂

dS

p

nn̂

dS

x

z

txn̂

u

SKIN FRICTION AND FORM DRAG: THE CONCEPTS contd.

Let D denote the drag force in the flow direction and nx denote the component of the unit outward normal vector to the surface in the flow direction. At sufficiently high Reynolds number, the drag on a streamlined body is mostly skin friction. The drag on a blunt body behind which flow separation occurs is mostly form drag. (The pressure in the separation bubble equilibrates with the low pressure at the point of separation.)

u

z

u

flow

dSz

uDD

bodys

flow

separation bubble

p p

p

dSnpDD xbodyf

EINSTEIN DECOMPOSITIONEinstein (1950); Einstein and Barbarossa (1952)

When bedforms are not present, all of the drag on the bed is skin friction. This tangential drag force acts to pull the sediment along. When bedforms such as dunes are present, part of the drag is form drag associated with (most prominently) flow separation behind the dunes. Since this form drag is composed of stress that acts normal to the bed surface, it does not contribute directly to the motion of bed grains. As a result it is usually subtracted out in performing bedload calculations.

U

separation bubble

HY

RELATIONS FOR HYDRAULIC RESISTANCE IN RIVERS

Dunes in the Mississippi River, New Orleans, USA

Image from LUMCON web page:http://weather.lumcon.edu/weatherdata/audubon/map.html

Dunes on an exposed point bar in the meandering Fly River,

Papua New Guinea

Sediment transport often creates bedforms such as dunes. These bedforms are accompanied by form drag, and so reduce the ability of the flow to transport sediment.

EINSTEIN DECOMPOSITION contd.

Consider an equilibrium (normal) flow over a bed with mean streamwise slope if that is covered with bedforms. The flow has average depth Y and velocity U averaged over depth and the bedforms. The boundary shear stress averaged over the bedforms is given by the normal flow relation

U

separation bubble

H

ff gYiUC 20

Y

EINSTEIN DECOMPOSITION contd.

Now smooth out the bedforms, “glue” the sediment to the bed so it remains flat but offers the same microscopic roughness as the case with bedforms, and run a flow over it with the same mean velocity U and bed slope S. In the absence of the bedforms, the resistance is skin friction only. Due to the absence of bedforms the skin friction coefficient Cfs and the flow depth Hs should be less than the corresponding values with bedforms.

U

separation bubble

H

fsfss igYUC 20

UHs

Skin friction + form drag Skin friction only

The difference between the two characterizes form drag.

EINSTEIN DECOMPOSITION contd.

0f = 0 - 0s = mean bed shear stress due to form drag of bedformsCff = Cf – Cfs = friction coefficient associated with form dragYf = Y – Ys = mean depth associated with form drag

U

separation bubble

H

fsfss igYUC 20

UHs

Skin friction + form drag Skin friction only

The difference between the two characterizes form drag.

fffff igYUC 20

ffsfffsfs iYYgUCC 200

ff gYiUC 20

SKIN FRICTION

Skin friction can be computed using the techniques developed in Chapter 5; where = 0.4 and r = 8.1,

U

separation bubble

HU

Hs

Skin friction + form drag Skin friction only

The difference between the two characterizes form drag.

fsfss igYUC 20

s

sfs a

YC 11ln

12/1

6/1

2/1

s

srfs a

YC or

2,90 ksks nDna

FORM DRAG OF DUNES: EINSTEIN AND BARBAROSSA (1952)

One of the first relations developed to predict the form drag in rivers in which dunes predominate is that of Einstein and Barbarossa (1952). They obtained an empirical form for Cff as a function of s, where

35

2

35

035

s

s

s

ss gD

u

gD

s

su 0 0.0001

0.001

0.01

0.1

0.01 0.1 1 10

s35*

Cff

denotes the Shields number due to skin friction and D35 is the grain size such that 35 percent of a bed surface sample is finer. Note that

35s

(numero di Shields) 65.11 s

The total shear velocity u*, shear velocity due to skin friction u*s and shear velocity due to bedforms u*f, and the associated Shields numbers are defined as

Engelund and Hansen (1967) determined the following empirical relation for lower-regime form drag due to dune resistance;

or thus

50

2

50

2

50

2

,,s

ff

s

ss

s gD

u

gD

u

gD

u

24.006.0 s

Note that bedforms are absent (skin friction only) when s = ; bedforms are present when s < . The relation is designed to be used with the following skin friction predictor:

Engelund and Hansen (1967) also present a form drag relation for upper-regime bedforms (antidunes).

FORM DRAG OF DUNES: ENGELUND AND HANSEN (1967)

f

fs

s uuu 000 ,,

24.006.0 sf

s

sfs a

YnC 11

12/1

652 ss Da

Engelund-Hansen Bedform Resistance Predictor

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3x

x E-H RelationNo form drag

s

s

f

No form dragEngelund-Hansen

FORM DRAG OF DUNES: ENGELUND AND HANSEN (1967) contd.

resistenza di forma

resistenza di grano

The form drag predictor of Engelund and Hansen (1967) tends to work well for sand-bed streams at laboratory scale. It also works well at small to medium field scale, i.e. in streams in which dunes give way to upper-regime plane bed before bankfull flow is achieved. It works rather poorly for large, low-slope sand-bed rivers, in which dunes are usually never washed out even at or above bankfull flow. Wright and Parker (2004) have modified it to accurately cover the entire range.

This relation is designed to be used with the skin friction predictor

where strat is a correction for flow stratification which can be set equal to unity in the absence of other information (see original reference).

numberFroudegY

UFr 8.07.07.005.0 Fr s

FORM DRAG OF DUNES: WRIGHT AND PARKER (2004)

61

2/1 32.8

s

s

stratfs a

YC

903 ss Da

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Middle Loup NiobraraRio Grande RedAtchafalaya MississippiEngelund-Hansen

sk*

*

*sk*

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Middle Loup NiobraraRio Grande RedAtchafalaya MississippiNew relation

sk*

7.0*Fr 7.0Fr

s

COMPARISON OF FORM DRAG PREDICTORS AGAINST FIELD DATA

Engelund and Hansen (1967) Wright and Parker (2004)

The Niobrara and Middle Loup are small sand-bed streams. The Rio Grande is a middle-sized sand-bed stream. The Red, Atchafalaya and Mississippi Rivers are large sand-bed streams.

s

Morfologia deglialvei naturali

Alatna river, Alaska Nepal

Configurazione planimetrica:•mono-pluricursale•struttura del campo di moto

FORME PLANIMETRICHE: meandri e braiding

Tagliamento River, ItalyFly river, Papua

Meandri “siberiani” Waimakariri, NZ

Corso di Idrodinamica – Anno 2009

MEANDRI

Forma tipica in presenza di sponde coesive

Scala temporale di erosione del fondo delle sponde diversa

ALVEI INTRECCIATI - “BRAIDING”

Brahmaputra, Bangladesh

(larghezza ~ 10 km)

Tagliamento, Italia (larghezza ~ 1 km)

Val Martello, Italia

(larghezza ~ 0.1 km)

Forma tipica quando il fiume non ha “costrizioni” laterali

SCALE SPAZIALI DIVERSE PROCESSI SIMILI

quanto è “largo” un fiume?di quanto spazio ha bisogno un fiume? che struttura ha il campo di moto?

FORMA DELLA SEZIONE

Drau River, Austria

quali forme di fondo si sviluppano ?quali effetti di “scavo” e “deposito” producono ?che struttura ha il campo di moto ?

CONFIGURAZIONE ALTIMETRICA

BARRE FLUVIALI

Naka river, JPN Toyotte pass, USA

Val Passiria

Congo river

BARRE FLUVIALI

Barre “forzate”

- Sviluppo forzato:

curvatura,confluenze, manufatti

- Forme “stazionarie”

Barre “libere”

- Sviluppo spontaneo

(instabilità)

- Forme “migranti”

BARRE ALTERNATE

• Sequenza longitudinale di zone di deposito e scavo alternate

• Lunghezza L (5-15) larghezza Bo

• Massimo scavo profondità

• Effetti topografici sul campo di moto

• Si formano spontaneamente in alvei “rettilinei”

• Velocità di migrazione (m/d) << velocità della corrente

• Problemi pratici: erosione localizzata, interazione con manufatti, navigazione

• Secondo la ”bar theory” sono la “causa” dei meandri

L

Classificazione

Granulometria GROSSOLANA

Materiale eterogeneo

D50 > 10 mm

Pendenza 1 - 0.1 %

Trasporto di fondo

Macroforme di fondo: BARRE

Regime pluricursale

Granulometria FINE

Materiale uniforme

D50 = 0.1 - 1 mm

Pendenza 0.5 - 0.01 %

Trasporto in sospensione

Macroforme di fondo: DUNE

Regime monocursale

TAGLIAMENTO vs ADIGE

Forgaria

Cornino

Ponte di Pinzano

Trento

Verona

~ 100m

~ 10m

~ 1000m~ 4m

EFFETTI IDRODINAMICICOSA SUCCEDE AL PASSAGGIO DI UNA PIENA?

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

portata [m³/s]

pro

fon

dit

à m

edia

[m

] Adige

Tagliamento

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

portata [m³/s]

velo

cità

med

ia [

m/s

] Adige

Tagliamento

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

portata [m³/s]

larg

hez

za [

m] Adige

Tagliamento

Velocità corrente ↑Celerità onda di piena ↑Picco dell’onda di piena ↑

LA STRUTTURA DEL CAMPO DI MOTO

Y

U=f(Y)