I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 1 di 12 Prof S Patti

I SISTEMI DI NUMERAZIONE

Sistema di Numerazione Un sistema di numerazione egrave un insieme di simboli e regole atti a dar luogo ad una codifica

numerica cioegrave a produrre un insieme di simboli diversi tra loro che siano in corrispondenza

biunivoca con le grandezze numeriche

Sistema decimale

Tra gli innumerevoli modi per soddisfare alla precedente definizione quello piugrave consueto allrsquouomo

egrave il sistema di numerazione decimale questo sistema di numerazione appartiene alla famiglia dei

ssiisstteemmii ppoossiizziioonnaall ii

In un sistema ppoossiizziioonnaallee i simboli impiegati per connotare le grandezze numeriche sono in

quantitagrave limitata ma consentono di nnuummeerr aarr ee iinnff iinnii ttee ggrr aannddeezzzzee in virtugrave della ppoossiizziioonnee da loro

occupata nella rappresentazione

Per meglio comprendere quanto asserito si consideri il numero 353 in esso sono utilizzati due soli

simboli (cifre) il 3 ed il 5 ma vengono numerate tt rr eecceennttoocciinnqquuaannttaattrr ee grandezze in virtugrave della

posizione occupata da tali simboli

Precisamente la cifra 33 nella posizione piugrave a destra rappresenta le uunnii ttagraveagrave la cifra 55 al centro le

ddeecciinnee e la cifra 33 a sinistra le cceenntt iinnaaiiaa

Egrave dunque possibile comprendere che per utilizzare un numero limitato di simboli (cifre) occorre

associare loro una base che nel caso del sistema decimale vvaallee 1100

la posizione che una cifra occupa nel numero le conferisce un diverso valore in quanto risulta

moltiplicata per la potenza di 10 corrispondente a quella posizione

Nel caso dellrsquoesempio a partire dalla destra del numero

mdash la prima posizione prevede il prodotto della cifra per 100 =1

mdash la seconda posizione prevede il prodotto della cifra per 101 = 10

mdash la terza posizione prevede il prodotto della cifra per 102 = 100

In generale 10n con n=012hellip la posizione da destra verso sinistra

Sistemi di base b

Il sistema di numerazione decimale egrave un caso particolare dellrsquoinsieme dei sistemi ponderali in

effetti ogni intero bb gtgt 11 puograve costituire la base di un sistema di numerazione ponderale che prevede

un numero di simboli o cifre diverse in quantitagrave pari a bb mdashmdash 11

Per rappresentare un numero NN di grandezze numerabili in un sistema di numerazione ponderale

in bbaassee bb occorre rispettare la seguente relazione fondamentale

N= Cnbull bn+ Cn-1 bull b

n-1 + + C1bull b1 + C0 b

0

ove

N = numero di grandezze

b = base o radice numero intero positivo

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Cn = cifra generica con i compreso tra 0 e b-1

La cifra C viene definita digit e trattandosi di un sistema posizionale la cifra piugrave a destra C0 egrave

detta LSD (Least Significant Digit) ovvero egrave quella avente laquopesoraquo minore mentre quella piugrave a

sinistra Cn egrave detta MM SSDD (Most Significant Digit) ovvero egrave quella avente laquopesoraquo maggiore

Analogamente

Nel linguaggio elettronico la cifra C viene rappresentata con un bit e trattandosi di un sistema

posizionale la cifra piugrave a destra C0 egrave detta LL SSBB (Least Significant Bit) ovvero egrave quella avente

laquopesoraquo minore mentre quella piugrave a sinistra Cn egrave detta MM SSBB (Most Significant Digit) ovvero egrave

quella avente laquopesoraquo maggiore

Quanto premesso porta a concludere che egrave possibile realizzare un sistema di numerazione in base

qualsiasi a condizione che si possano definire delle cifre

Cosigrave non puograve esistere il sistema in base 0 percheacute egrave privo di cifre

parimenti non puograve esistere il sistema in bbaassee 11 in quanto la sua unica cifra non potrebbe che essere

lo 00

Se ne trae che il sistema ponderale a base minore egrave quello con bb == 22 che ha come cifre 00 ed 11

Questo sistema ha il pregio di consentire la rappresentazione dei numeri mediante i due soli simboli

00 ed 11 che costituiscono la condizione di funzionamento piugrave certa di un sistema elettrico

Binarioottale e esadecimale

Oltre al sistema di numerazione in base due detto binario tra i piugrave utilizzati in elettronica vi sono i

sistemi in base otto (ottale) e sedici (esadecimale) le cui caratteristiche principali sono riportate

in tabella 1 1

Tab 11 - I sistemi di numerazione piugrave utilizzati in campo elettronico

Numerazione binaria

La numerazione binaria per la rappresentazione dei numeri utilizza due soli simboli 0 e 1

Ognuno di tali simboli e comunemente denominato bbii tt (bbiinnari digitt = cifra con due valori)

Sistema binario

In particolare nel sistema binario con nn bit egrave possibile codificare 22nn mdashmdash 11 numeri decimali ovvero egrave

possibile numerare (cioegrave contare) 2n mdash 1 unitagrave decimali

Es 4 bit

24-1=16-1=15

Cioegrave con 4 bit si possono rappresentare i numeri decimali da 0 a 15

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Numerazione binaria

Essa egrave pertanto in base 2

Con un solo bbii tt si possono rappresentare 2211 ccii ff rree cciiooegraveegrave ssoolloo ((00 oo 11))

Decimale Binario

0 0

1 1

Numeri rappresentabili = 22nn

con nn=numero di bit

Con 22 bit si possono rappresentare 4 numeri decimali infatti 22=4

Decimale Binario

0 0

1 1

2 1 0

3 1 1

Sistema di correlazione tra decimale e binario Si noti che in corrispondenza delle potenze di 2

nella colonna decimale si ha lrsquoaumento di un bit nella colonna binaria

Numeri codificabili

Per ogni ccii ff rr aa si codificano bbnn--11 numeri decimali per es nel sistema binario bb==22 per nn==11 si

possono codificare 2211==22 numeri (0 e 1)

Se fosse ddeecciimmaallee bb==1100

110011==1100 dieci numeri (0123456789)

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La conversione tra le basi

Il metodo per effettuare il passaggio di base puograve essere genericamente espresso nel seguente modo

Dato un numero N in base p questo puograve essere convertito nei numero equivalente in base s

mediante una serie di divisioni successive per il numero s proseguita sino a che il quoziente risulta

minore del divisore

La conversione tra le basi

I digit del numero in base ss sono costituiti dai rr eesstt ii iinntteerr ii ddeell llee ddiivviissiioonnii

in particolare il LL SSDD egrave il primo resto mentre il MM SSDD egrave lrsquoultimo

Osservazione

Egrave consuetudine allorcheacute si fa uso di numeri espressi in basi diverse indicare la base con un pedice

a fianco della cifra

Per esempio

335533((1100)) rappresenta il numero 353 in base decimale

Conversione in base binaria

Supponiamo di voler convertire il numero 353 decimale a binario

VVeerr ii ff iiccaa

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La rappresentazione dei numeri frazionari

Un numero frazionario puograve essere indicato come somma della parte intera con quella frazionaria

cioegrave

N = NI + NF

per quanto riguarda la parte intera vale la consueta relazione

NI= Cnbull bn+ Cn-1 bull b

n-1 + + C1bull b1 + C0 b

0

Per quanto riguarda la parte frazionaria vale invece la seguente espressione

NF=D-1 bullb-1 +D-2 bull b

-2+

ove DDii egrave il digit generico della parte frazionaria e analogamente a CCii puograve variare da 0 a b-1

Complessivamente quindi si ha

N= NI+ NF=Cnbull bn+ Cn-1 bull b

n-1 + + C1bull b1+ +C0 b

0+D-1 bullb-1 +D-2 bull b

-2+

Conversione della parte frazionaria

Per effettuare il passaggio di base con numeri aventi parte frazionaria indicata con pp la vecchia

base e con ss la nuova si procede nel seguente modo

1 Si separa la parte decimale da quella intera

2 Si moltiplica per la nuova base ss la parte decimale separata

Cioegrave

1 Si separa la parte decimale da quella intera

22 si eseguono una serie di prodotti successivi per ss assumendo via via la parte intera come

digit nella nnuuoovvaa bbaassee e la parte decimale come ffaattttoorree ddeell pprrooddoottttoo ssuucccceessssiivvoo

3 Lrsquooperazione non ha termine e puograve essere arrestata allorcheacute si ritiene di aver raggiunto il

numero di cifre desiderato

4 I digit ottenuti vengono posti dopo la virgola nello stesso ordine con cui sono stati ricavati

Il primo ottenuto egrave quello di peso maggiore e via via gli altri sono di peso minore percheacute vanno

moltiplicati per potenze con esponente negativo crescente

Esempio

Si converta il numero 347 da decimale in base binaria eseguendo la verifica dei risultati

Applicando le convenzioni precedenti risulta

N=NI+NF=3+047

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Verifica

Che egrave praticamente uguale a 347 se lo approssimiamo alla seconda cifra decimale

Lrsquoerrore egrave solo di 00013=1310-3

In pratica si prende ogni volta il risultato della moltiplicazione e la parte intera (zero o uno che sia)

si assume come digit la parte decimale si rimoltiplica per la nuova base ss ripetendo queste

operazioni ciclicamente fino a ottenere la approssimazione desiderata

Conversione binario - ottale - esadecimale

La conversione di un numero da una base b diversa da 10 ad unrsquoaltra anchrsquoessa diversa da 10 puograve

essere fatta con il metodo delle divisioni successive o con quello delle moltiplicazioni successive a

seconda che il numero sia intero o con virgola Va perograve tenuto presente che sia le divisioni che le

moltiplicazioni vanno fatte appunto con basi diverse dal 10 e quindi non sono molto semplici

La conversione di un numero da una base bb diversa da 1100 ad uunnrsquorsquo aall tt rr aa anchrsquoessa ddiivveerr ssaa ddaa 1100

puograve essere fatta con il metodo delle divisioni successive o con quello delle moltiplicazioni

successive a seconda che il numero sia intero o con virgola

Va perograve tenuto presente che sia le divisioni che le moltiplicazioni vanno fatte appunto ccoonn bbaassii

ddiivveerr ssee ddaall 1100 e quindi non sono molto semplici

Il metodo piugrave comodo e affidabile egrave comunque quello di convertire il numero di partenza dalla base

bb al sistema decimale e poi alla nuova base diversa dal 1100

LL ee ccoonnvveerr ssiioonnii ddii nnuummeerr ii tt rr aa ssiisstteemmii llee ccuuii bbaassii ssoonnoo ppootteennzzee ll rsquorsquo uunnaa ddeell ll rsquorsquo aall tt rr aa

sono invece particolarmente facili e immediate

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Esempio sono le conversioni da binario a ottale e esadecimale e

viceversa

Conversione da binario a ottale

Questa trasformazione si esegue raggruppando i bbii tt del numero binario (a partire da destra) iinn

ggrr uuppppii costituiti da ttaannttii bbii tt quanti sono necessari per rappresentare in binario una qualsiasi cifra

ottale cioegrave 3

Se ad esempio il numero binario egrave

11110100102

che rappresenta il numero decimale 978 per ottenere la sua rappresentazione ottale dobbiamo

procedere nel modo seguente

A partire dal bit meno significativo dividiamo il numero in gruppi di 3 bit avremo pertanto i gruppi

(001) (111) (010) (010)

I due zeri nellrsquoultimo gruppo a sinistra sono stati aggiunti per completezza

Associando ad essa i singoli gruppi la cifra ottale corrispondente avremo

(001) (111) (010) (010)

1 7 2 2

In definitiva

17228= 0011110100102

Conversione da binario a esadecimale

Il metodo egrave lo stesso di quello adottato nel caso della conversione bbiinnaarr iioo--oott ttaallee la differenza e

che il numero di bit necessari per ogni gruppo egrave quello che consente di rappresentare le cifre del

sistema esadecimale cioegrave 44

Consideriamo ad esempio il numero binario

1101001010

a partire dal bit meno significativo dividiamo il numero binario in gruppi di 4 bit ciascuno Avremo pertanto i gruppi

(0011) (0100) (1010)

sono stati aggiunti degli 0 ai due bit piugrave significativi associando ad ogni gruppo la cifra

esadecimale corrispondente avremo

(00001111) ((00110000)) ((11001100))

33 44 AA

In definitiva

(00001111) ((00110000)) ((11001100))

33 44 AA

iinn ddeeff iinnii tt iivvaa ii ll nnuummeerr oo eessaaddeecciimmaallee ccoorr rr iissppoonnddeennttee aa qquueell lloo bbiinnaarr iioo ddaattoo egraveegrave

3344AAHH == 1111001100001100110022

Conversione da ottale a binario

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Lo stesso procedimento applicato precedentemente per la trasformazione da binario a ottale

applicato allrsquoinverso consente di convertire un numero ottale in binario

Supponiamo di avere il numero ottale 3248 e di volerlo rappresentare in binario basteragrave a tale

scopo sostituire ad ogni cifra ottale nellrsquoordine in cui sono scritte le corrispondenti

rappresentazioni binarie su 3 bit

Avremo cosigrave

33 22 44

(001111) (001100) (110000)

quindi il numero bbiinnaarr iioo che corrisponde a quello oottttaallee dato saragrave 33224488==111100110011000022

Conversione da esadecimale a binario

Allo stesso modo

Dato il numero 33AA11HH la sua rappresentazione binaria saragrave data da

33 AA 11

(00001111) (11001100) (00000011)

per cui il numero binario cercato saragrave 11111100110000000011

La rappresentazione dei numeri con segno

La esigenza di ricorrere a numeri con segno egrave motivata da due tipi di operazioni aritmetiche

1 rappresentazione di numeri relativi

2 sottrazione tra due numeri

(in questo caso infatti egrave possibile considerare la sottrazione come somma di uno degli addendi con

lrsquoaltro cambiato di segno) Il metodo piugrave consueto per indicare i numeri relativi qualunque sia la base consiste nel

1 premettere loro un segno

2 rappresentare i numeri negativi in complemento (in tal modo si riconduce una sottrazione

ad una somma)

Rappresentazione dei numeri negativi in complemento

In particolare due sono i tipi di complemento

1 il complemento alla base

2 il complemento alla base meno uno

a) Complemento alla base

complemento alla base di un numero di nn ccii ff rr ee rappresentato in un sistema di numerazione in bbaassee

bb egrave dato dalla differenza tra la potenza ennesima bbnn della base ed il numero stesso

b) Complemento alla base mdash1

Il complemento alla base meno 1 di un numero in qualunque sistema di numerazione si esegue

sottraendo ciascuna delle cifre del numero dal valore bb mdashmdash 11 (ove b egrave la base)

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In un sistema di numerazione in base bb impiegando nn ddiiggii tt (cifre) egrave possibile numerare

bbnnmdashmdash 11 unitagrave decimali

In generale passando da una base bb ad una base ss con bgts occorrono un numero di cifre maggiore

per rappresentare il numero equivalente Nel caso di b=10 e s=2

Si ottiene che occorrono 332 volte le cifre necessarie nella base 10

Infatti per rappresentare 9999((1100)) occorrono 22 cifre per rappresentare lrsquoequivalente in base 22

99(10)=1100011(2) occorrono 7 digit

infatti 3322=664cong7

Numeri binari con segno

Il fattore fondamentale dellrsquoutilizzo dei numeri binari consiste nel fatto che essi usano due soli

simboli 00 11 Sarebbe controproducente introdurre un nuovo simbolo per individuare il segno

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Convenzionalmente si egrave quindi introdotto un metodo particolare per individuare i numeri binari

negativi Per tale scopo il bit piugrave significativo (MSB) di un certo numero viene considerato come

bit di segno

Se esso egrave uguale ad uunnoo il numero egrave da considerarsi nneeggaatt iivvoo se invece egrave zzeerr oo esso egrave ppoossii tt iivvoo

Lo zero egrave considerato positivo

Si deduce quindi che utilizzando un bit per il segno diminuisce il campo dei numeri

rappresentabili con un certo numero di bit

Se infatti con nn bit egrave possibile avere 22nn numeri diversi con il bit di segno se ne potranno avere solo

22nn--11

Per esempio con un bbyyttee (otto bit) si ha

28 = 256

mentre 28-1 = 128

tali valori includono anche lo zero

Questo quindi significa che se abbiamo 8 bit per rappresentare un numero in bit quello piugrave

significativo viene dedicato solo al segno gli altri sette bit invece rappresentano il numero

Individuare i numeri negativi con il solo bit di segno non risolve completamente il problema in

quanto tale rappresentazione conduce a volte a risultati non corretti quando si eseguono alcune

operazioni su tali numeri

Per rendere quindi possibili tutte le operazioni con i numeri binari con segno senza commettere

errori i numeri negativi debbono essere rappresentati in complemento a due

Numeri relativi

Il campo dei numeri relativi binari esprimibili con n bit in complemento a 2 egrave

-(2n-1)leNle2n-1-1

Per n=4 -(24-1)=-8 +24-1-1=+7

Quindi con 4 bit si puograve rappresentare dal numero +7 a numero -8

Rappresentazione delle corrispondenze tra numeri decimali e binari relativi

II ll ccoommpplleemmeennttoo ssii ffaa ppeerr rr aapppprr eesseennttaarr ee ii nnuummeerr ii nneeggaatt iivvii

Senza il bit del segno

Con il bit del segno

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AArriittmmeettiiccaa bbiinnaarriiaa

Il sistema di numerazione binario egrave di tipo pesato come il decimale pertanto le regole

dellrsquoaritmetica binaria coincidono con quelle dellrsquoaritmetica decimale

Si riportano soltanto i metodi per lrsquoesecuzione delle quattro operazioni

Somma

Le regole della somma tra due bit sono

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=0 con riporto di 1 verso sinistra

Esempio somma

23+12=35 base decimale

In binaria

1 0 1 1 1+

1 1 00

10 0 0 1 1 somma totale

100011(2)=35(10)

Moltiplicazione

Bencheacute di norma la moltiplicazione venga eseguita come serie di somme le sue regole sono

0x0=0

0x1=0

1x0=0

1x1=1

Si esegua il prodotto tra i numeri Nrsquo=33(10) ed Nrdquo = 3(10) Dopo averli trasformati in base 2

NNeell llaa mmaaggggiioorr ppaarrttee ddeeii ddiissppoossii ttiivvii eelleettttrroonniiccii ddii ccaallccoolloo ssii

eesseegguuee llaa mmooll ttiippll iiccaazziioonnee ccoommee ssoommmmaa rriippeettuuttaa ddeell pprriimmoo

ffaattttoorree ccoonn ssee sstteessssoo ttaannttee vvooll ttee qquuaannttee nnee iinnddiiccaa ii ll sseeccoonnddoo

ffaattttoorree

bullbull NNeell ccaassoo ddeell ll rsquorsquo eesseemmppiioo pprreecceeddeennttee ssii aavvrreebbbbee

bull NN((1100)) == 3333++3333++3333 == 9999

Sottrazione

Come per lrsquoaddizione si incolonnano le cifre di egual peso del mmiinnuueennddoo con quelle del ssoottttrr aaeennddoo

partendo dalla colonna meno significativa

Le regole sono

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0-0=0

1-0=1

1-1=0

0-1=1 con prestito 1 dalla colonna di peso immediatamente superiore

La sottrazione puograve essere ridotta alla somma fra il minuendo e il complemento a due del sottraendo

Divisione

La divisione nei sistemi elettronici viene di massima eseguita come successione di differenze

ovvero si sottrae il divisore dal dividendo sino a cheacute il risultato della differenza diviene minore del

divisore stesso

Il qquuoozziieennttee equivale al numero di successive sottrazioni mentre il risultato dellrsquoultima operazione

rappresenta il rr eessttoo iinntteerr oo

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Cn = cifra generica con i compreso tra 0 e b-1

La cifra C viene definita digit e trattandosi di un sistema posizionale la cifra piugrave a destra C0 egrave

detta LSD (Least Significant Digit) ovvero egrave quella avente laquopesoraquo minore mentre quella piugrave a

sinistra Cn egrave detta MM SSDD (Most Significant Digit) ovvero egrave quella avente laquopesoraquo maggiore

Analogamente

Nel linguaggio elettronico la cifra C viene rappresentata con un bit e trattandosi di un sistema

posizionale la cifra piugrave a destra C0 egrave detta LL SSBB (Least Significant Bit) ovvero egrave quella avente

laquopesoraquo minore mentre quella piugrave a sinistra Cn egrave detta MM SSBB (Most Significant Digit) ovvero egrave

quella avente laquopesoraquo maggiore

Quanto premesso porta a concludere che egrave possibile realizzare un sistema di numerazione in base

qualsiasi a condizione che si possano definire delle cifre

Cosigrave non puograve esistere il sistema in base 0 percheacute egrave privo di cifre

parimenti non puograve esistere il sistema in bbaassee 11 in quanto la sua unica cifra non potrebbe che essere

lo 00

Se ne trae che il sistema ponderale a base minore egrave quello con bb == 22 che ha come cifre 00 ed 11

Questo sistema ha il pregio di consentire la rappresentazione dei numeri mediante i due soli simboli

00 ed 11 che costituiscono la condizione di funzionamento piugrave certa di un sistema elettrico

Binarioottale e esadecimale

Oltre al sistema di numerazione in base due detto binario tra i piugrave utilizzati in elettronica vi sono i

sistemi in base otto (ottale) e sedici (esadecimale) le cui caratteristiche principali sono riportate

in tabella 1 1

Tab 11 - I sistemi di numerazione piugrave utilizzati in campo elettronico

Numerazione binaria

La numerazione binaria per la rappresentazione dei numeri utilizza due soli simboli 0 e 1

Ognuno di tali simboli e comunemente denominato bbii tt (bbiinnari digitt = cifra con due valori)

Sistema binario

In particolare nel sistema binario con nn bit egrave possibile codificare 22nn mdashmdash 11 numeri decimali ovvero egrave

possibile numerare (cioegrave contare) 2n mdash 1 unitagrave decimali

Es 4 bit

24-1=16-1=15

Cioegrave con 4 bit si possono rappresentare i numeri decimali da 0 a 15

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Numerazione binaria

Essa egrave pertanto in base 2

Con un solo bbii tt si possono rappresentare 2211 ccii ff rree cciiooegraveegrave ssoolloo ((00 oo 11))

Decimale Binario

0 0

1 1

Numeri rappresentabili = 22nn

con nn=numero di bit

Con 22 bit si possono rappresentare 4 numeri decimali infatti 22=4

Decimale Binario

0 0

1 1

2 1 0

3 1 1

Sistema di correlazione tra decimale e binario Si noti che in corrispondenza delle potenze di 2

nella colonna decimale si ha lrsquoaumento di un bit nella colonna binaria

Numeri codificabili

Per ogni ccii ff rr aa si codificano bbnn--11 numeri decimali per es nel sistema binario bb==22 per nn==11 si

possono codificare 2211==22 numeri (0 e 1)

Se fosse ddeecciimmaallee bb==1100

110011==1100 dieci numeri (0123456789)

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La conversione tra le basi

Il metodo per effettuare il passaggio di base puograve essere genericamente espresso nel seguente modo

Dato un numero N in base p questo puograve essere convertito nei numero equivalente in base s

mediante una serie di divisioni successive per il numero s proseguita sino a che il quoziente risulta

minore del divisore

La conversione tra le basi

I digit del numero in base ss sono costituiti dai rr eesstt ii iinntteerr ii ddeell llee ddiivviissiioonnii

in particolare il LL SSDD egrave il primo resto mentre il MM SSDD egrave lrsquoultimo

Osservazione

Egrave consuetudine allorcheacute si fa uso di numeri espressi in basi diverse indicare la base con un pedice

a fianco della cifra

Per esempio

335533((1100)) rappresenta il numero 353 in base decimale

Conversione in base binaria

Supponiamo di voler convertire il numero 353 decimale a binario

VVeerr ii ff iiccaa

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La rappresentazione dei numeri frazionari

Un numero frazionario puograve essere indicato come somma della parte intera con quella frazionaria

cioegrave

N = NI + NF

per quanto riguarda la parte intera vale la consueta relazione

NI= Cnbull bn+ Cn-1 bull b

n-1 + + C1bull b1 + C0 b

0

Per quanto riguarda la parte frazionaria vale invece la seguente espressione

NF=D-1 bullb-1 +D-2 bull b

-2+

ove DDii egrave il digit generico della parte frazionaria e analogamente a CCii puograve variare da 0 a b-1

Complessivamente quindi si ha

N= NI+ NF=Cnbull bn+ Cn-1 bull b

n-1 + + C1bull b1+ +C0 b

0+D-1 bullb-1 +D-2 bull b

-2+

Conversione della parte frazionaria

Per effettuare il passaggio di base con numeri aventi parte frazionaria indicata con pp la vecchia

base e con ss la nuova si procede nel seguente modo

1 Si separa la parte decimale da quella intera

2 Si moltiplica per la nuova base ss la parte decimale separata

Cioegrave

1 Si separa la parte decimale da quella intera

22 si eseguono una serie di prodotti successivi per ss assumendo via via la parte intera come

digit nella nnuuoovvaa bbaassee e la parte decimale come ffaattttoorree ddeell pprrooddoottttoo ssuucccceessssiivvoo

3 Lrsquooperazione non ha termine e puograve essere arrestata allorcheacute si ritiene di aver raggiunto il

numero di cifre desiderato

4 I digit ottenuti vengono posti dopo la virgola nello stesso ordine con cui sono stati ricavati

Il primo ottenuto egrave quello di peso maggiore e via via gli altri sono di peso minore percheacute vanno

moltiplicati per potenze con esponente negativo crescente

Esempio

Si converta il numero 347 da decimale in base binaria eseguendo la verifica dei risultati

Applicando le convenzioni precedenti risulta

N=NI+NF=3+047

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Verifica

Che egrave praticamente uguale a 347 se lo approssimiamo alla seconda cifra decimale

Lrsquoerrore egrave solo di 00013=1310-3

In pratica si prende ogni volta il risultato della moltiplicazione e la parte intera (zero o uno che sia)

si assume come digit la parte decimale si rimoltiplica per la nuova base ss ripetendo queste

operazioni ciclicamente fino a ottenere la approssimazione desiderata

Conversione binario - ottale - esadecimale

La conversione di un numero da una base b diversa da 10 ad unrsquoaltra anchrsquoessa diversa da 10 puograve

essere fatta con il metodo delle divisioni successive o con quello delle moltiplicazioni successive a

seconda che il numero sia intero o con virgola Va perograve tenuto presente che sia le divisioni che le

moltiplicazioni vanno fatte appunto con basi diverse dal 10 e quindi non sono molto semplici

La conversione di un numero da una base bb diversa da 1100 ad uunnrsquorsquo aall tt rr aa anchrsquoessa ddiivveerr ssaa ddaa 1100

puograve essere fatta con il metodo delle divisioni successive o con quello delle moltiplicazioni

successive a seconda che il numero sia intero o con virgola

Va perograve tenuto presente che sia le divisioni che le moltiplicazioni vanno fatte appunto ccoonn bbaassii

ddiivveerr ssee ddaall 1100 e quindi non sono molto semplici

Il metodo piugrave comodo e affidabile egrave comunque quello di convertire il numero di partenza dalla base

bb al sistema decimale e poi alla nuova base diversa dal 1100

LL ee ccoonnvveerr ssiioonnii ddii nnuummeerr ii tt rr aa ssiisstteemmii llee ccuuii bbaassii ssoonnoo ppootteennzzee ll rsquorsquo uunnaa ddeell ll rsquorsquo aall tt rr aa

sono invece particolarmente facili e immediate

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 7 di 12 Prof S Patti

Esempio sono le conversioni da binario a ottale e esadecimale e

viceversa

Conversione da binario a ottale

Questa trasformazione si esegue raggruppando i bbii tt del numero binario (a partire da destra) iinn

ggrr uuppppii costituiti da ttaannttii bbii tt quanti sono necessari per rappresentare in binario una qualsiasi cifra

ottale cioegrave 3

Se ad esempio il numero binario egrave

11110100102

che rappresenta il numero decimale 978 per ottenere la sua rappresentazione ottale dobbiamo

procedere nel modo seguente

A partire dal bit meno significativo dividiamo il numero in gruppi di 3 bit avremo pertanto i gruppi

(001) (111) (010) (010)

I due zeri nellrsquoultimo gruppo a sinistra sono stati aggiunti per completezza

Associando ad essa i singoli gruppi la cifra ottale corrispondente avremo

(001) (111) (010) (010)

1 7 2 2

In definitiva

17228= 0011110100102

Conversione da binario a esadecimale

Il metodo egrave lo stesso di quello adottato nel caso della conversione bbiinnaarr iioo--oott ttaallee la differenza e

che il numero di bit necessari per ogni gruppo egrave quello che consente di rappresentare le cifre del

sistema esadecimale cioegrave 44

Consideriamo ad esempio il numero binario

1101001010

a partire dal bit meno significativo dividiamo il numero binario in gruppi di 4 bit ciascuno Avremo pertanto i gruppi

(0011) (0100) (1010)

sono stati aggiunti degli 0 ai due bit piugrave significativi associando ad ogni gruppo la cifra

esadecimale corrispondente avremo

(00001111) ((00110000)) ((11001100))

33 44 AA

In definitiva

(00001111) ((00110000)) ((11001100))

33 44 AA

iinn ddeeff iinnii tt iivvaa ii ll nnuummeerr oo eessaaddeecciimmaallee ccoorr rr iissppoonnddeennttee aa qquueell lloo bbiinnaarr iioo ddaattoo egraveegrave

3344AAHH == 1111001100001100110022

Conversione da ottale a binario

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 8 di 12 Prof S Patti

Lo stesso procedimento applicato precedentemente per la trasformazione da binario a ottale

applicato allrsquoinverso consente di convertire un numero ottale in binario

Supponiamo di avere il numero ottale 3248 e di volerlo rappresentare in binario basteragrave a tale

scopo sostituire ad ogni cifra ottale nellrsquoordine in cui sono scritte le corrispondenti

rappresentazioni binarie su 3 bit

Avremo cosigrave

33 22 44

(001111) (001100) (110000)

quindi il numero bbiinnaarr iioo che corrisponde a quello oottttaallee dato saragrave 33224488==111100110011000022

Conversione da esadecimale a binario

Allo stesso modo

Dato il numero 33AA11HH la sua rappresentazione binaria saragrave data da

33 AA 11

(00001111) (11001100) (00000011)

per cui il numero binario cercato saragrave 11111100110000000011

La rappresentazione dei numeri con segno

La esigenza di ricorrere a numeri con segno egrave motivata da due tipi di operazioni aritmetiche

1 rappresentazione di numeri relativi

2 sottrazione tra due numeri

(in questo caso infatti egrave possibile considerare la sottrazione come somma di uno degli addendi con

lrsquoaltro cambiato di segno) Il metodo piugrave consueto per indicare i numeri relativi qualunque sia la base consiste nel

1 premettere loro un segno

2 rappresentare i numeri negativi in complemento (in tal modo si riconduce una sottrazione

ad una somma)

Rappresentazione dei numeri negativi in complemento

In particolare due sono i tipi di complemento

1 il complemento alla base

2 il complemento alla base meno uno

a) Complemento alla base

complemento alla base di un numero di nn ccii ff rr ee rappresentato in un sistema di numerazione in bbaassee

bb egrave dato dalla differenza tra la potenza ennesima bbnn della base ed il numero stesso

b) Complemento alla base mdash1

Il complemento alla base meno 1 di un numero in qualunque sistema di numerazione si esegue

sottraendo ciascuna delle cifre del numero dal valore bb mdashmdash 11 (ove b egrave la base)

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 9 di 12 Prof S Patti

In un sistema di numerazione in base bb impiegando nn ddiiggii tt (cifre) egrave possibile numerare

bbnnmdashmdash 11 unitagrave decimali

In generale passando da una base bb ad una base ss con bgts occorrono un numero di cifre maggiore

per rappresentare il numero equivalente Nel caso di b=10 e s=2

Si ottiene che occorrono 332 volte le cifre necessarie nella base 10

Infatti per rappresentare 9999((1100)) occorrono 22 cifre per rappresentare lrsquoequivalente in base 22

99(10)=1100011(2) occorrono 7 digit

infatti 3322=664cong7

Numeri binari con segno

Il fattore fondamentale dellrsquoutilizzo dei numeri binari consiste nel fatto che essi usano due soli

simboli 00 11 Sarebbe controproducente introdurre un nuovo simbolo per individuare il segno

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 10 di 12 Prof S Patti

Convenzionalmente si egrave quindi introdotto un metodo particolare per individuare i numeri binari

negativi Per tale scopo il bit piugrave significativo (MSB) di un certo numero viene considerato come

bit di segno

Se esso egrave uguale ad uunnoo il numero egrave da considerarsi nneeggaatt iivvoo se invece egrave zzeerr oo esso egrave ppoossii tt iivvoo

Lo zero egrave considerato positivo

Si deduce quindi che utilizzando un bit per il segno diminuisce il campo dei numeri

rappresentabili con un certo numero di bit

Se infatti con nn bit egrave possibile avere 22nn numeri diversi con il bit di segno se ne potranno avere solo

22nn--11

Per esempio con un bbyyttee (otto bit) si ha

28 = 256

mentre 28-1 = 128

tali valori includono anche lo zero

Questo quindi significa che se abbiamo 8 bit per rappresentare un numero in bit quello piugrave

significativo viene dedicato solo al segno gli altri sette bit invece rappresentano il numero

Individuare i numeri negativi con il solo bit di segno non risolve completamente il problema in

quanto tale rappresentazione conduce a volte a risultati non corretti quando si eseguono alcune

operazioni su tali numeri

Per rendere quindi possibili tutte le operazioni con i numeri binari con segno senza commettere

errori i numeri negativi debbono essere rappresentati in complemento a due

Numeri relativi

Il campo dei numeri relativi binari esprimibili con n bit in complemento a 2 egrave

-(2n-1)leNle2n-1-1

Per n=4 -(24-1)=-8 +24-1-1=+7

Quindi con 4 bit si puograve rappresentare dal numero +7 a numero -8

Rappresentazione delle corrispondenze tra numeri decimali e binari relativi

II ll ccoommpplleemmeennttoo ssii ffaa ppeerr rr aapppprr eesseennttaarr ee ii nnuummeerr ii nneeggaatt iivvii

Senza il bit del segno

Con il bit del segno

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 11 di 12 Prof S Patti

AArriittmmeettiiccaa bbiinnaarriiaa

Il sistema di numerazione binario egrave di tipo pesato come il decimale pertanto le regole

dellrsquoaritmetica binaria coincidono con quelle dellrsquoaritmetica decimale

Si riportano soltanto i metodi per lrsquoesecuzione delle quattro operazioni

Somma

Le regole della somma tra due bit sono

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=0 con riporto di 1 verso sinistra

Esempio somma

23+12=35 base decimale

In binaria

1 0 1 1 1+

1 1 00

10 0 0 1 1 somma totale

100011(2)=35(10)

Moltiplicazione

Bencheacute di norma la moltiplicazione venga eseguita come serie di somme le sue regole sono

0x0=0

0x1=0

1x0=0

1x1=1

Si esegua il prodotto tra i numeri Nrsquo=33(10) ed Nrdquo = 3(10) Dopo averli trasformati in base 2

NNeell llaa mmaaggggiioorr ppaarrttee ddeeii ddiissppoossii ttiivvii eelleettttrroonniiccii ddii ccaallccoolloo ssii

eesseegguuee llaa mmooll ttiippll iiccaazziioonnee ccoommee ssoommmmaa rriippeettuuttaa ddeell pprriimmoo

ffaattttoorree ccoonn ssee sstteessssoo ttaannttee vvooll ttee qquuaannttee nnee iinnddiiccaa ii ll sseeccoonnddoo

ffaattttoorree

bullbull NNeell ccaassoo ddeell ll rsquorsquo eesseemmppiioo pprreecceeddeennttee ssii aavvrreebbbbee

bull NN((1100)) == 3333++3333++3333 == 9999

Sottrazione

Come per lrsquoaddizione si incolonnano le cifre di egual peso del mmiinnuueennddoo con quelle del ssoottttrr aaeennddoo

partendo dalla colonna meno significativa

Le regole sono

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 12 di 12 Prof S Patti

0-0=0

1-0=1

1-1=0

0-1=1 con prestito 1 dalla colonna di peso immediatamente superiore

La sottrazione puograve essere ridotta alla somma fra il minuendo e il complemento a due del sottraendo

Divisione

La divisione nei sistemi elettronici viene di massima eseguita come successione di differenze

ovvero si sottrae il divisore dal dividendo sino a cheacute il risultato della differenza diviene minore del

divisore stesso

Il qquuoozziieennttee equivale al numero di successive sottrazioni mentre il risultato dellrsquoultima operazione

rappresenta il rr eessttoo iinntteerr oo

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 3 di 12 Prof S Patti

Numerazione binaria

Essa egrave pertanto in base 2

Con un solo bbii tt si possono rappresentare 2211 ccii ff rree cciiooegraveegrave ssoolloo ((00 oo 11))

Decimale Binario

0 0

1 1

Numeri rappresentabili = 22nn

con nn=numero di bit

Con 22 bit si possono rappresentare 4 numeri decimali infatti 22=4

Decimale Binario

0 0

1 1

2 1 0

3 1 1

Sistema di correlazione tra decimale e binario Si noti che in corrispondenza delle potenze di 2

nella colonna decimale si ha lrsquoaumento di un bit nella colonna binaria

Numeri codificabili

Per ogni ccii ff rr aa si codificano bbnn--11 numeri decimali per es nel sistema binario bb==22 per nn==11 si

possono codificare 2211==22 numeri (0 e 1)

Se fosse ddeecciimmaallee bb==1100

110011==1100 dieci numeri (0123456789)

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 4 di 12 Prof S Patti

La conversione tra le basi

Il metodo per effettuare il passaggio di base puograve essere genericamente espresso nel seguente modo

Dato un numero N in base p questo puograve essere convertito nei numero equivalente in base s

mediante una serie di divisioni successive per il numero s proseguita sino a che il quoziente risulta

minore del divisore

La conversione tra le basi

I digit del numero in base ss sono costituiti dai rr eesstt ii iinntteerr ii ddeell llee ddiivviissiioonnii

in particolare il LL SSDD egrave il primo resto mentre il MM SSDD egrave lrsquoultimo

Osservazione

Egrave consuetudine allorcheacute si fa uso di numeri espressi in basi diverse indicare la base con un pedice

a fianco della cifra

Per esempio

335533((1100)) rappresenta il numero 353 in base decimale

Conversione in base binaria

Supponiamo di voler convertire il numero 353 decimale a binario

VVeerr ii ff iiccaa

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 5 di 12 Prof S Patti

La rappresentazione dei numeri frazionari

Un numero frazionario puograve essere indicato come somma della parte intera con quella frazionaria

cioegrave

N = NI + NF

per quanto riguarda la parte intera vale la consueta relazione

NI= Cnbull bn+ Cn-1 bull b

n-1 + + C1bull b1 + C0 b

0

Per quanto riguarda la parte frazionaria vale invece la seguente espressione

NF=D-1 bullb-1 +D-2 bull b

-2+

ove DDii egrave il digit generico della parte frazionaria e analogamente a CCii puograve variare da 0 a b-1

Complessivamente quindi si ha

N= NI+ NF=Cnbull bn+ Cn-1 bull b

n-1 + + C1bull b1+ +C0 b

0+D-1 bullb-1 +D-2 bull b

-2+

Conversione della parte frazionaria

Per effettuare il passaggio di base con numeri aventi parte frazionaria indicata con pp la vecchia

base e con ss la nuova si procede nel seguente modo

1 Si separa la parte decimale da quella intera

2 Si moltiplica per la nuova base ss la parte decimale separata

Cioegrave

1 Si separa la parte decimale da quella intera

22 si eseguono una serie di prodotti successivi per ss assumendo via via la parte intera come

digit nella nnuuoovvaa bbaassee e la parte decimale come ffaattttoorree ddeell pprrooddoottttoo ssuucccceessssiivvoo

3 Lrsquooperazione non ha termine e puograve essere arrestata allorcheacute si ritiene di aver raggiunto il

numero di cifre desiderato

4 I digit ottenuti vengono posti dopo la virgola nello stesso ordine con cui sono stati ricavati

Il primo ottenuto egrave quello di peso maggiore e via via gli altri sono di peso minore percheacute vanno

moltiplicati per potenze con esponente negativo crescente

Esempio

Si converta il numero 347 da decimale in base binaria eseguendo la verifica dei risultati

Applicando le convenzioni precedenti risulta

N=NI+NF=3+047

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 6 di 12 Prof S Patti

Verifica

Che egrave praticamente uguale a 347 se lo approssimiamo alla seconda cifra decimale

Lrsquoerrore egrave solo di 00013=1310-3

In pratica si prende ogni volta il risultato della moltiplicazione e la parte intera (zero o uno che sia)

si assume come digit la parte decimale si rimoltiplica per la nuova base ss ripetendo queste

operazioni ciclicamente fino a ottenere la approssimazione desiderata

Conversione binario - ottale - esadecimale

La conversione di un numero da una base b diversa da 10 ad unrsquoaltra anchrsquoessa diversa da 10 puograve

essere fatta con il metodo delle divisioni successive o con quello delle moltiplicazioni successive a

seconda che il numero sia intero o con virgola Va perograve tenuto presente che sia le divisioni che le

moltiplicazioni vanno fatte appunto con basi diverse dal 10 e quindi non sono molto semplici

La conversione di un numero da una base bb diversa da 1100 ad uunnrsquorsquo aall tt rr aa anchrsquoessa ddiivveerr ssaa ddaa 1100

puograve essere fatta con il metodo delle divisioni successive o con quello delle moltiplicazioni

successive a seconda che il numero sia intero o con virgola

Va perograve tenuto presente che sia le divisioni che le moltiplicazioni vanno fatte appunto ccoonn bbaassii

ddiivveerr ssee ddaall 1100 e quindi non sono molto semplici

Il metodo piugrave comodo e affidabile egrave comunque quello di convertire il numero di partenza dalla base

bb al sistema decimale e poi alla nuova base diversa dal 1100

LL ee ccoonnvveerr ssiioonnii ddii nnuummeerr ii tt rr aa ssiisstteemmii llee ccuuii bbaassii ssoonnoo ppootteennzzee ll rsquorsquo uunnaa ddeell ll rsquorsquo aall tt rr aa

sono invece particolarmente facili e immediate

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 7 di 12 Prof S Patti

Esempio sono le conversioni da binario a ottale e esadecimale e

viceversa

Conversione da binario a ottale

Questa trasformazione si esegue raggruppando i bbii tt del numero binario (a partire da destra) iinn

ggrr uuppppii costituiti da ttaannttii bbii tt quanti sono necessari per rappresentare in binario una qualsiasi cifra

ottale cioegrave 3

Se ad esempio il numero binario egrave

11110100102

che rappresenta il numero decimale 978 per ottenere la sua rappresentazione ottale dobbiamo

procedere nel modo seguente

A partire dal bit meno significativo dividiamo il numero in gruppi di 3 bit avremo pertanto i gruppi

(001) (111) (010) (010)

I due zeri nellrsquoultimo gruppo a sinistra sono stati aggiunti per completezza

Associando ad essa i singoli gruppi la cifra ottale corrispondente avremo

(001) (111) (010) (010)

1 7 2 2

In definitiva

17228= 0011110100102

Conversione da binario a esadecimale

Il metodo egrave lo stesso di quello adottato nel caso della conversione bbiinnaarr iioo--oott ttaallee la differenza e

che il numero di bit necessari per ogni gruppo egrave quello che consente di rappresentare le cifre del

sistema esadecimale cioegrave 44

Consideriamo ad esempio il numero binario

1101001010

a partire dal bit meno significativo dividiamo il numero binario in gruppi di 4 bit ciascuno Avremo pertanto i gruppi

(0011) (0100) (1010)

sono stati aggiunti degli 0 ai due bit piugrave significativi associando ad ogni gruppo la cifra

esadecimale corrispondente avremo

(00001111) ((00110000)) ((11001100))

33 44 AA

In definitiva

(00001111) ((00110000)) ((11001100))

33 44 AA

iinn ddeeff iinnii tt iivvaa ii ll nnuummeerr oo eessaaddeecciimmaallee ccoorr rr iissppoonnddeennttee aa qquueell lloo bbiinnaarr iioo ddaattoo egraveegrave

3344AAHH == 1111001100001100110022

Conversione da ottale a binario

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 8 di 12 Prof S Patti

Lo stesso procedimento applicato precedentemente per la trasformazione da binario a ottale

applicato allrsquoinverso consente di convertire un numero ottale in binario

Supponiamo di avere il numero ottale 3248 e di volerlo rappresentare in binario basteragrave a tale

scopo sostituire ad ogni cifra ottale nellrsquoordine in cui sono scritte le corrispondenti

rappresentazioni binarie su 3 bit

Avremo cosigrave

33 22 44

(001111) (001100) (110000)

quindi il numero bbiinnaarr iioo che corrisponde a quello oottttaallee dato saragrave 33224488==111100110011000022

Conversione da esadecimale a binario

Allo stesso modo

Dato il numero 33AA11HH la sua rappresentazione binaria saragrave data da

33 AA 11

(00001111) (11001100) (00000011)

per cui il numero binario cercato saragrave 11111100110000000011

La rappresentazione dei numeri con segno

La esigenza di ricorrere a numeri con segno egrave motivata da due tipi di operazioni aritmetiche

1 rappresentazione di numeri relativi

2 sottrazione tra due numeri

(in questo caso infatti egrave possibile considerare la sottrazione come somma di uno degli addendi con

lrsquoaltro cambiato di segno) Il metodo piugrave consueto per indicare i numeri relativi qualunque sia la base consiste nel

1 premettere loro un segno

2 rappresentare i numeri negativi in complemento (in tal modo si riconduce una sottrazione

ad una somma)

Rappresentazione dei numeri negativi in complemento

In particolare due sono i tipi di complemento

1 il complemento alla base

2 il complemento alla base meno uno

a) Complemento alla base

complemento alla base di un numero di nn ccii ff rr ee rappresentato in un sistema di numerazione in bbaassee

bb egrave dato dalla differenza tra la potenza ennesima bbnn della base ed il numero stesso

b) Complemento alla base mdash1

Il complemento alla base meno 1 di un numero in qualunque sistema di numerazione si esegue

sottraendo ciascuna delle cifre del numero dal valore bb mdashmdash 11 (ove b egrave la base)

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 9 di 12 Prof S Patti

In un sistema di numerazione in base bb impiegando nn ddiiggii tt (cifre) egrave possibile numerare

bbnnmdashmdash 11 unitagrave decimali

In generale passando da una base bb ad una base ss con bgts occorrono un numero di cifre maggiore

per rappresentare il numero equivalente Nel caso di b=10 e s=2

Si ottiene che occorrono 332 volte le cifre necessarie nella base 10

Infatti per rappresentare 9999((1100)) occorrono 22 cifre per rappresentare lrsquoequivalente in base 22

99(10)=1100011(2) occorrono 7 digit

infatti 3322=664cong7

Numeri binari con segno

Il fattore fondamentale dellrsquoutilizzo dei numeri binari consiste nel fatto che essi usano due soli

simboli 00 11 Sarebbe controproducente introdurre un nuovo simbolo per individuare il segno

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 10 di 12 Prof S Patti

Convenzionalmente si egrave quindi introdotto un metodo particolare per individuare i numeri binari

negativi Per tale scopo il bit piugrave significativo (MSB) di un certo numero viene considerato come

bit di segno

Se esso egrave uguale ad uunnoo il numero egrave da considerarsi nneeggaatt iivvoo se invece egrave zzeerr oo esso egrave ppoossii tt iivvoo

Lo zero egrave considerato positivo

Si deduce quindi che utilizzando un bit per il segno diminuisce il campo dei numeri

rappresentabili con un certo numero di bit

Se infatti con nn bit egrave possibile avere 22nn numeri diversi con il bit di segno se ne potranno avere solo

22nn--11

Per esempio con un bbyyttee (otto bit) si ha

28 = 256

mentre 28-1 = 128

tali valori includono anche lo zero

Questo quindi significa che se abbiamo 8 bit per rappresentare un numero in bit quello piugrave

significativo viene dedicato solo al segno gli altri sette bit invece rappresentano il numero

Individuare i numeri negativi con il solo bit di segno non risolve completamente il problema in

quanto tale rappresentazione conduce a volte a risultati non corretti quando si eseguono alcune

operazioni su tali numeri

Per rendere quindi possibili tutte le operazioni con i numeri binari con segno senza commettere

errori i numeri negativi debbono essere rappresentati in complemento a due

Numeri relativi

Il campo dei numeri relativi binari esprimibili con n bit in complemento a 2 egrave

-(2n-1)leNle2n-1-1

Per n=4 -(24-1)=-8 +24-1-1=+7

Quindi con 4 bit si puograve rappresentare dal numero +7 a numero -8

Rappresentazione delle corrispondenze tra numeri decimali e binari relativi

II ll ccoommpplleemmeennttoo ssii ffaa ppeerr rr aapppprr eesseennttaarr ee ii nnuummeerr ii nneeggaatt iivvii

Senza il bit del segno

Con il bit del segno

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 11 di 12 Prof S Patti

AArriittmmeettiiccaa bbiinnaarriiaa

Il sistema di numerazione binario egrave di tipo pesato come il decimale pertanto le regole

dellrsquoaritmetica binaria coincidono con quelle dellrsquoaritmetica decimale

Si riportano soltanto i metodi per lrsquoesecuzione delle quattro operazioni

Somma

Le regole della somma tra due bit sono

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=0 con riporto di 1 verso sinistra

Esempio somma

23+12=35 base decimale

In binaria

1 0 1 1 1+

1 1 00

10 0 0 1 1 somma totale

100011(2)=35(10)

Moltiplicazione

Bencheacute di norma la moltiplicazione venga eseguita come serie di somme le sue regole sono

0x0=0

0x1=0

1x0=0

1x1=1

Si esegua il prodotto tra i numeri Nrsquo=33(10) ed Nrdquo = 3(10) Dopo averli trasformati in base 2

NNeell llaa mmaaggggiioorr ppaarrttee ddeeii ddiissppoossii ttiivvii eelleettttrroonniiccii ddii ccaallccoolloo ssii

eesseegguuee llaa mmooll ttiippll iiccaazziioonnee ccoommee ssoommmmaa rriippeettuuttaa ddeell pprriimmoo

ffaattttoorree ccoonn ssee sstteessssoo ttaannttee vvooll ttee qquuaannttee nnee iinnddiiccaa ii ll sseeccoonnddoo

ffaattttoorree

bullbull NNeell ccaassoo ddeell ll rsquorsquo eesseemmppiioo pprreecceeddeennttee ssii aavvrreebbbbee

bull NN((1100)) == 3333++3333++3333 == 9999

Sottrazione

Come per lrsquoaddizione si incolonnano le cifre di egual peso del mmiinnuueennddoo con quelle del ssoottttrr aaeennddoo

partendo dalla colonna meno significativa

Le regole sono

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 12 di 12 Prof S Patti

0-0=0

1-0=1

1-1=0

0-1=1 con prestito 1 dalla colonna di peso immediatamente superiore

La sottrazione puograve essere ridotta alla somma fra il minuendo e il complemento a due del sottraendo

Divisione

La divisione nei sistemi elettronici viene di massima eseguita come successione di differenze

ovvero si sottrae il divisore dal dividendo sino a cheacute il risultato della differenza diviene minore del

divisore stesso

Il qquuoozziieennttee equivale al numero di successive sottrazioni mentre il risultato dellrsquoultima operazione

rappresenta il rr eessttoo iinntteerr oo

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 4 di 12 Prof S Patti

La conversione tra le basi

Il metodo per effettuare il passaggio di base puograve essere genericamente espresso nel seguente modo

Dato un numero N in base p questo puograve essere convertito nei numero equivalente in base s

mediante una serie di divisioni successive per il numero s proseguita sino a che il quoziente risulta

minore del divisore

La conversione tra le basi

I digit del numero in base ss sono costituiti dai rr eesstt ii iinntteerr ii ddeell llee ddiivviissiioonnii

in particolare il LL SSDD egrave il primo resto mentre il MM SSDD egrave lrsquoultimo

Osservazione

Egrave consuetudine allorcheacute si fa uso di numeri espressi in basi diverse indicare la base con un pedice

a fianco della cifra

Per esempio

335533((1100)) rappresenta il numero 353 in base decimale

Conversione in base binaria

Supponiamo di voler convertire il numero 353 decimale a binario

VVeerr ii ff iiccaa

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 5 di 12 Prof S Patti

La rappresentazione dei numeri frazionari

Un numero frazionario puograve essere indicato come somma della parte intera con quella frazionaria

cioegrave

N = NI + NF

per quanto riguarda la parte intera vale la consueta relazione

NI= Cnbull bn+ Cn-1 bull b

n-1 + + C1bull b1 + C0 b

0

Per quanto riguarda la parte frazionaria vale invece la seguente espressione

NF=D-1 bullb-1 +D-2 bull b

-2+

ove DDii egrave il digit generico della parte frazionaria e analogamente a CCii puograve variare da 0 a b-1

Complessivamente quindi si ha

N= NI+ NF=Cnbull bn+ Cn-1 bull b

n-1 + + C1bull b1+ +C0 b

0+D-1 bullb-1 +D-2 bull b

-2+

Conversione della parte frazionaria

Per effettuare il passaggio di base con numeri aventi parte frazionaria indicata con pp la vecchia

base e con ss la nuova si procede nel seguente modo

1 Si separa la parte decimale da quella intera

2 Si moltiplica per la nuova base ss la parte decimale separata

Cioegrave

1 Si separa la parte decimale da quella intera

22 si eseguono una serie di prodotti successivi per ss assumendo via via la parte intera come

digit nella nnuuoovvaa bbaassee e la parte decimale come ffaattttoorree ddeell pprrooddoottttoo ssuucccceessssiivvoo

3 Lrsquooperazione non ha termine e puograve essere arrestata allorcheacute si ritiene di aver raggiunto il

numero di cifre desiderato

4 I digit ottenuti vengono posti dopo la virgola nello stesso ordine con cui sono stati ricavati

Il primo ottenuto egrave quello di peso maggiore e via via gli altri sono di peso minore percheacute vanno

moltiplicati per potenze con esponente negativo crescente

Esempio

Si converta il numero 347 da decimale in base binaria eseguendo la verifica dei risultati

Applicando le convenzioni precedenti risulta

N=NI+NF=3+047

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 6 di 12 Prof S Patti

Verifica

Che egrave praticamente uguale a 347 se lo approssimiamo alla seconda cifra decimale

Lrsquoerrore egrave solo di 00013=1310-3

In pratica si prende ogni volta il risultato della moltiplicazione e la parte intera (zero o uno che sia)

si assume come digit la parte decimale si rimoltiplica per la nuova base ss ripetendo queste

operazioni ciclicamente fino a ottenere la approssimazione desiderata

Conversione binario - ottale - esadecimale

La conversione di un numero da una base b diversa da 10 ad unrsquoaltra anchrsquoessa diversa da 10 puograve

essere fatta con il metodo delle divisioni successive o con quello delle moltiplicazioni successive a

seconda che il numero sia intero o con virgola Va perograve tenuto presente che sia le divisioni che le

moltiplicazioni vanno fatte appunto con basi diverse dal 10 e quindi non sono molto semplici

La conversione di un numero da una base bb diversa da 1100 ad uunnrsquorsquo aall tt rr aa anchrsquoessa ddiivveerr ssaa ddaa 1100

puograve essere fatta con il metodo delle divisioni successive o con quello delle moltiplicazioni

successive a seconda che il numero sia intero o con virgola

Va perograve tenuto presente che sia le divisioni che le moltiplicazioni vanno fatte appunto ccoonn bbaassii

ddiivveerr ssee ddaall 1100 e quindi non sono molto semplici

Il metodo piugrave comodo e affidabile egrave comunque quello di convertire il numero di partenza dalla base

bb al sistema decimale e poi alla nuova base diversa dal 1100

LL ee ccoonnvveerr ssiioonnii ddii nnuummeerr ii tt rr aa ssiisstteemmii llee ccuuii bbaassii ssoonnoo ppootteennzzee ll rsquorsquo uunnaa ddeell ll rsquorsquo aall tt rr aa

sono invece particolarmente facili e immediate

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 7 di 12 Prof S Patti

Esempio sono le conversioni da binario a ottale e esadecimale e

viceversa

Conversione da binario a ottale

Questa trasformazione si esegue raggruppando i bbii tt del numero binario (a partire da destra) iinn

ggrr uuppppii costituiti da ttaannttii bbii tt quanti sono necessari per rappresentare in binario una qualsiasi cifra

ottale cioegrave 3

Se ad esempio il numero binario egrave

11110100102

che rappresenta il numero decimale 978 per ottenere la sua rappresentazione ottale dobbiamo

procedere nel modo seguente

A partire dal bit meno significativo dividiamo il numero in gruppi di 3 bit avremo pertanto i gruppi

(001) (111) (010) (010)

I due zeri nellrsquoultimo gruppo a sinistra sono stati aggiunti per completezza

Associando ad essa i singoli gruppi la cifra ottale corrispondente avremo

(001) (111) (010) (010)

1 7 2 2

In definitiva

17228= 0011110100102

Conversione da binario a esadecimale

Il metodo egrave lo stesso di quello adottato nel caso della conversione bbiinnaarr iioo--oott ttaallee la differenza e

che il numero di bit necessari per ogni gruppo egrave quello che consente di rappresentare le cifre del

sistema esadecimale cioegrave 44

Consideriamo ad esempio il numero binario

1101001010

a partire dal bit meno significativo dividiamo il numero binario in gruppi di 4 bit ciascuno Avremo pertanto i gruppi

(0011) (0100) (1010)

sono stati aggiunti degli 0 ai due bit piugrave significativi associando ad ogni gruppo la cifra

esadecimale corrispondente avremo

(00001111) ((00110000)) ((11001100))

33 44 AA

In definitiva

(00001111) ((00110000)) ((11001100))

33 44 AA

iinn ddeeff iinnii tt iivvaa ii ll nnuummeerr oo eessaaddeecciimmaallee ccoorr rr iissppoonnddeennttee aa qquueell lloo bbiinnaarr iioo ddaattoo egraveegrave

3344AAHH == 1111001100001100110022

Conversione da ottale a binario

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 8 di 12 Prof S Patti

Lo stesso procedimento applicato precedentemente per la trasformazione da binario a ottale

applicato allrsquoinverso consente di convertire un numero ottale in binario

Supponiamo di avere il numero ottale 3248 e di volerlo rappresentare in binario basteragrave a tale

scopo sostituire ad ogni cifra ottale nellrsquoordine in cui sono scritte le corrispondenti

rappresentazioni binarie su 3 bit

Avremo cosigrave

33 22 44

(001111) (001100) (110000)

quindi il numero bbiinnaarr iioo che corrisponde a quello oottttaallee dato saragrave 33224488==111100110011000022

Conversione da esadecimale a binario

Allo stesso modo

Dato il numero 33AA11HH la sua rappresentazione binaria saragrave data da

33 AA 11

(00001111) (11001100) (00000011)

per cui il numero binario cercato saragrave 11111100110000000011

La rappresentazione dei numeri con segno

La esigenza di ricorrere a numeri con segno egrave motivata da due tipi di operazioni aritmetiche

1 rappresentazione di numeri relativi

2 sottrazione tra due numeri

(in questo caso infatti egrave possibile considerare la sottrazione come somma di uno degli addendi con

lrsquoaltro cambiato di segno) Il metodo piugrave consueto per indicare i numeri relativi qualunque sia la base consiste nel

1 premettere loro un segno

2 rappresentare i numeri negativi in complemento (in tal modo si riconduce una sottrazione

ad una somma)

Rappresentazione dei numeri negativi in complemento

In particolare due sono i tipi di complemento

1 il complemento alla base

2 il complemento alla base meno uno

a) Complemento alla base

complemento alla base di un numero di nn ccii ff rr ee rappresentato in un sistema di numerazione in bbaassee

bb egrave dato dalla differenza tra la potenza ennesima bbnn della base ed il numero stesso

b) Complemento alla base mdash1

Il complemento alla base meno 1 di un numero in qualunque sistema di numerazione si esegue

sottraendo ciascuna delle cifre del numero dal valore bb mdashmdash 11 (ove b egrave la base)

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 9 di 12 Prof S Patti

In un sistema di numerazione in base bb impiegando nn ddiiggii tt (cifre) egrave possibile numerare

bbnnmdashmdash 11 unitagrave decimali

In generale passando da una base bb ad una base ss con bgts occorrono un numero di cifre maggiore

per rappresentare il numero equivalente Nel caso di b=10 e s=2

Si ottiene che occorrono 332 volte le cifre necessarie nella base 10

Infatti per rappresentare 9999((1100)) occorrono 22 cifre per rappresentare lrsquoequivalente in base 22

99(10)=1100011(2) occorrono 7 digit

infatti 3322=664cong7

Numeri binari con segno

Il fattore fondamentale dellrsquoutilizzo dei numeri binari consiste nel fatto che essi usano due soli

simboli 00 11 Sarebbe controproducente introdurre un nuovo simbolo per individuare il segno

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 10 di 12 Prof S Patti

Convenzionalmente si egrave quindi introdotto un metodo particolare per individuare i numeri binari

negativi Per tale scopo il bit piugrave significativo (MSB) di un certo numero viene considerato come

bit di segno

Se esso egrave uguale ad uunnoo il numero egrave da considerarsi nneeggaatt iivvoo se invece egrave zzeerr oo esso egrave ppoossii tt iivvoo

Lo zero egrave considerato positivo

Si deduce quindi che utilizzando un bit per il segno diminuisce il campo dei numeri

rappresentabili con un certo numero di bit

Se infatti con nn bit egrave possibile avere 22nn numeri diversi con il bit di segno se ne potranno avere solo

22nn--11

Per esempio con un bbyyttee (otto bit) si ha

28 = 256

mentre 28-1 = 128

tali valori includono anche lo zero

Questo quindi significa che se abbiamo 8 bit per rappresentare un numero in bit quello piugrave

significativo viene dedicato solo al segno gli altri sette bit invece rappresentano il numero

Individuare i numeri negativi con il solo bit di segno non risolve completamente il problema in

quanto tale rappresentazione conduce a volte a risultati non corretti quando si eseguono alcune

operazioni su tali numeri

Per rendere quindi possibili tutte le operazioni con i numeri binari con segno senza commettere

errori i numeri negativi debbono essere rappresentati in complemento a due

Numeri relativi

Il campo dei numeri relativi binari esprimibili con n bit in complemento a 2 egrave

-(2n-1)leNle2n-1-1

Per n=4 -(24-1)=-8 +24-1-1=+7

Quindi con 4 bit si puograve rappresentare dal numero +7 a numero -8

Rappresentazione delle corrispondenze tra numeri decimali e binari relativi

II ll ccoommpplleemmeennttoo ssii ffaa ppeerr rr aapppprr eesseennttaarr ee ii nnuummeerr ii nneeggaatt iivvii

Senza il bit del segno

Con il bit del segno

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 11 di 12 Prof S Patti

AArriittmmeettiiccaa bbiinnaarriiaa

Il sistema di numerazione binario egrave di tipo pesato come il decimale pertanto le regole

dellrsquoaritmetica binaria coincidono con quelle dellrsquoaritmetica decimale

Si riportano soltanto i metodi per lrsquoesecuzione delle quattro operazioni

Somma

Le regole della somma tra due bit sono

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=0 con riporto di 1 verso sinistra

Esempio somma

23+12=35 base decimale

In binaria

1 0 1 1 1+

1 1 00

10 0 0 1 1 somma totale

100011(2)=35(10)

Moltiplicazione

Bencheacute di norma la moltiplicazione venga eseguita come serie di somme le sue regole sono

0x0=0

0x1=0

1x0=0

1x1=1

Si esegua il prodotto tra i numeri Nrsquo=33(10) ed Nrdquo = 3(10) Dopo averli trasformati in base 2

NNeell llaa mmaaggggiioorr ppaarrttee ddeeii ddiissppoossii ttiivvii eelleettttrroonniiccii ddii ccaallccoolloo ssii

eesseegguuee llaa mmooll ttiippll iiccaazziioonnee ccoommee ssoommmmaa rriippeettuuttaa ddeell pprriimmoo

ffaattttoorree ccoonn ssee sstteessssoo ttaannttee vvooll ttee qquuaannttee nnee iinnddiiccaa ii ll sseeccoonnddoo

ffaattttoorree

bullbull NNeell ccaassoo ddeell ll rsquorsquo eesseemmppiioo pprreecceeddeennttee ssii aavvrreebbbbee

bull NN((1100)) == 3333++3333++3333 == 9999

Sottrazione

Come per lrsquoaddizione si incolonnano le cifre di egual peso del mmiinnuueennddoo con quelle del ssoottttrr aaeennddoo

partendo dalla colonna meno significativa

Le regole sono

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 12 di 12 Prof S Patti

0-0=0

1-0=1

1-1=0

0-1=1 con prestito 1 dalla colonna di peso immediatamente superiore

La sottrazione puograve essere ridotta alla somma fra il minuendo e il complemento a due del sottraendo

Divisione

La divisione nei sistemi elettronici viene di massima eseguita come successione di differenze

ovvero si sottrae il divisore dal dividendo sino a cheacute il risultato della differenza diviene minore del

divisore stesso

Il qquuoozziieennttee equivale al numero di successive sottrazioni mentre il risultato dellrsquoultima operazione

rappresenta il rr eessttoo iinntteerr oo

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 5 di 12 Prof S Patti

La rappresentazione dei numeri frazionari

Un numero frazionario puograve essere indicato come somma della parte intera con quella frazionaria

cioegrave

N = NI + NF

per quanto riguarda la parte intera vale la consueta relazione

NI= Cnbull bn+ Cn-1 bull b

n-1 + + C1bull b1 + C0 b

0

Per quanto riguarda la parte frazionaria vale invece la seguente espressione

NF=D-1 bullb-1 +D-2 bull b

-2+

ove DDii egrave il digit generico della parte frazionaria e analogamente a CCii puograve variare da 0 a b-1

Complessivamente quindi si ha

N= NI+ NF=Cnbull bn+ Cn-1 bull b

n-1 + + C1bull b1+ +C0 b

0+D-1 bullb-1 +D-2 bull b

-2+

Conversione della parte frazionaria

Per effettuare il passaggio di base con numeri aventi parte frazionaria indicata con pp la vecchia

base e con ss la nuova si procede nel seguente modo

1 Si separa la parte decimale da quella intera

2 Si moltiplica per la nuova base ss la parte decimale separata

Cioegrave

1 Si separa la parte decimale da quella intera

22 si eseguono una serie di prodotti successivi per ss assumendo via via la parte intera come

digit nella nnuuoovvaa bbaassee e la parte decimale come ffaattttoorree ddeell pprrooddoottttoo ssuucccceessssiivvoo

3 Lrsquooperazione non ha termine e puograve essere arrestata allorcheacute si ritiene di aver raggiunto il

numero di cifre desiderato

4 I digit ottenuti vengono posti dopo la virgola nello stesso ordine con cui sono stati ricavati

Il primo ottenuto egrave quello di peso maggiore e via via gli altri sono di peso minore percheacute vanno

moltiplicati per potenze con esponente negativo crescente

Esempio

Si converta il numero 347 da decimale in base binaria eseguendo la verifica dei risultati

Applicando le convenzioni precedenti risulta

N=NI+NF=3+047

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 6 di 12 Prof S Patti

Verifica

Che egrave praticamente uguale a 347 se lo approssimiamo alla seconda cifra decimale

Lrsquoerrore egrave solo di 00013=1310-3

In pratica si prende ogni volta il risultato della moltiplicazione e la parte intera (zero o uno che sia)

si assume come digit la parte decimale si rimoltiplica per la nuova base ss ripetendo queste

operazioni ciclicamente fino a ottenere la approssimazione desiderata

Conversione binario - ottale - esadecimale

La conversione di un numero da una base b diversa da 10 ad unrsquoaltra anchrsquoessa diversa da 10 puograve

essere fatta con il metodo delle divisioni successive o con quello delle moltiplicazioni successive a

seconda che il numero sia intero o con virgola Va perograve tenuto presente che sia le divisioni che le

moltiplicazioni vanno fatte appunto con basi diverse dal 10 e quindi non sono molto semplici

La conversione di un numero da una base bb diversa da 1100 ad uunnrsquorsquo aall tt rr aa anchrsquoessa ddiivveerr ssaa ddaa 1100

puograve essere fatta con il metodo delle divisioni successive o con quello delle moltiplicazioni

successive a seconda che il numero sia intero o con virgola

Va perograve tenuto presente che sia le divisioni che le moltiplicazioni vanno fatte appunto ccoonn bbaassii

ddiivveerr ssee ddaall 1100 e quindi non sono molto semplici

Il metodo piugrave comodo e affidabile egrave comunque quello di convertire il numero di partenza dalla base

bb al sistema decimale e poi alla nuova base diversa dal 1100

LL ee ccoonnvveerr ssiioonnii ddii nnuummeerr ii tt rr aa ssiisstteemmii llee ccuuii bbaassii ssoonnoo ppootteennzzee ll rsquorsquo uunnaa ddeell ll rsquorsquo aall tt rr aa

sono invece particolarmente facili e immediate

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 7 di 12 Prof S Patti

Esempio sono le conversioni da binario a ottale e esadecimale e

viceversa

Conversione da binario a ottale

Questa trasformazione si esegue raggruppando i bbii tt del numero binario (a partire da destra) iinn

ggrr uuppppii costituiti da ttaannttii bbii tt quanti sono necessari per rappresentare in binario una qualsiasi cifra

ottale cioegrave 3

Se ad esempio il numero binario egrave

11110100102

che rappresenta il numero decimale 978 per ottenere la sua rappresentazione ottale dobbiamo

procedere nel modo seguente

A partire dal bit meno significativo dividiamo il numero in gruppi di 3 bit avremo pertanto i gruppi

(001) (111) (010) (010)

I due zeri nellrsquoultimo gruppo a sinistra sono stati aggiunti per completezza

Associando ad essa i singoli gruppi la cifra ottale corrispondente avremo

(001) (111) (010) (010)

1 7 2 2

In definitiva

17228= 0011110100102

Conversione da binario a esadecimale

Il metodo egrave lo stesso di quello adottato nel caso della conversione bbiinnaarr iioo--oott ttaallee la differenza e

che il numero di bit necessari per ogni gruppo egrave quello che consente di rappresentare le cifre del

sistema esadecimale cioegrave 44

Consideriamo ad esempio il numero binario

1101001010

a partire dal bit meno significativo dividiamo il numero binario in gruppi di 4 bit ciascuno Avremo pertanto i gruppi

(0011) (0100) (1010)

sono stati aggiunti degli 0 ai due bit piugrave significativi associando ad ogni gruppo la cifra

esadecimale corrispondente avremo

(00001111) ((00110000)) ((11001100))

33 44 AA

In definitiva

(00001111) ((00110000)) ((11001100))

33 44 AA

iinn ddeeff iinnii tt iivvaa ii ll nnuummeerr oo eessaaddeecciimmaallee ccoorr rr iissppoonnddeennttee aa qquueell lloo bbiinnaarr iioo ddaattoo egraveegrave

3344AAHH == 1111001100001100110022

Conversione da ottale a binario

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 8 di 12 Prof S Patti

Lo stesso procedimento applicato precedentemente per la trasformazione da binario a ottale

applicato allrsquoinverso consente di convertire un numero ottale in binario

Supponiamo di avere il numero ottale 3248 e di volerlo rappresentare in binario basteragrave a tale

scopo sostituire ad ogni cifra ottale nellrsquoordine in cui sono scritte le corrispondenti

rappresentazioni binarie su 3 bit

Avremo cosigrave

33 22 44

(001111) (001100) (110000)

quindi il numero bbiinnaarr iioo che corrisponde a quello oottttaallee dato saragrave 33224488==111100110011000022

Conversione da esadecimale a binario

Allo stesso modo

Dato il numero 33AA11HH la sua rappresentazione binaria saragrave data da

33 AA 11

(00001111) (11001100) (00000011)

per cui il numero binario cercato saragrave 11111100110000000011

La rappresentazione dei numeri con segno

La esigenza di ricorrere a numeri con segno egrave motivata da due tipi di operazioni aritmetiche

1 rappresentazione di numeri relativi

2 sottrazione tra due numeri

(in questo caso infatti egrave possibile considerare la sottrazione come somma di uno degli addendi con

lrsquoaltro cambiato di segno) Il metodo piugrave consueto per indicare i numeri relativi qualunque sia la base consiste nel

1 premettere loro un segno

2 rappresentare i numeri negativi in complemento (in tal modo si riconduce una sottrazione

ad una somma)

Rappresentazione dei numeri negativi in complemento

In particolare due sono i tipi di complemento

1 il complemento alla base

2 il complemento alla base meno uno

a) Complemento alla base

complemento alla base di un numero di nn ccii ff rr ee rappresentato in un sistema di numerazione in bbaassee

bb egrave dato dalla differenza tra la potenza ennesima bbnn della base ed il numero stesso

b) Complemento alla base mdash1

Il complemento alla base meno 1 di un numero in qualunque sistema di numerazione si esegue

sottraendo ciascuna delle cifre del numero dal valore bb mdashmdash 11 (ove b egrave la base)

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 9 di 12 Prof S Patti

In un sistema di numerazione in base bb impiegando nn ddiiggii tt (cifre) egrave possibile numerare

bbnnmdashmdash 11 unitagrave decimali

In generale passando da una base bb ad una base ss con bgts occorrono un numero di cifre maggiore

per rappresentare il numero equivalente Nel caso di b=10 e s=2

Si ottiene che occorrono 332 volte le cifre necessarie nella base 10

Infatti per rappresentare 9999((1100)) occorrono 22 cifre per rappresentare lrsquoequivalente in base 22

99(10)=1100011(2) occorrono 7 digit

infatti 3322=664cong7

Numeri binari con segno

Il fattore fondamentale dellrsquoutilizzo dei numeri binari consiste nel fatto che essi usano due soli

simboli 00 11 Sarebbe controproducente introdurre un nuovo simbolo per individuare il segno

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 10 di 12 Prof S Patti

Convenzionalmente si egrave quindi introdotto un metodo particolare per individuare i numeri binari

negativi Per tale scopo il bit piugrave significativo (MSB) di un certo numero viene considerato come

bit di segno

Se esso egrave uguale ad uunnoo il numero egrave da considerarsi nneeggaatt iivvoo se invece egrave zzeerr oo esso egrave ppoossii tt iivvoo

Lo zero egrave considerato positivo

Si deduce quindi che utilizzando un bit per il segno diminuisce il campo dei numeri

rappresentabili con un certo numero di bit

Se infatti con nn bit egrave possibile avere 22nn numeri diversi con il bit di segno se ne potranno avere solo

22nn--11

Per esempio con un bbyyttee (otto bit) si ha

28 = 256

mentre 28-1 = 128

tali valori includono anche lo zero

Questo quindi significa che se abbiamo 8 bit per rappresentare un numero in bit quello piugrave

significativo viene dedicato solo al segno gli altri sette bit invece rappresentano il numero

Individuare i numeri negativi con il solo bit di segno non risolve completamente il problema in

quanto tale rappresentazione conduce a volte a risultati non corretti quando si eseguono alcune

operazioni su tali numeri

Per rendere quindi possibili tutte le operazioni con i numeri binari con segno senza commettere

errori i numeri negativi debbono essere rappresentati in complemento a due

Numeri relativi

Il campo dei numeri relativi binari esprimibili con n bit in complemento a 2 egrave

-(2n-1)leNle2n-1-1

Per n=4 -(24-1)=-8 +24-1-1=+7

Quindi con 4 bit si puograve rappresentare dal numero +7 a numero -8

Rappresentazione delle corrispondenze tra numeri decimali e binari relativi

II ll ccoommpplleemmeennttoo ssii ffaa ppeerr rr aapppprr eesseennttaarr ee ii nnuummeerr ii nneeggaatt iivvii

Senza il bit del segno

Con il bit del segno

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 11 di 12 Prof S Patti

AArriittmmeettiiccaa bbiinnaarriiaa

Il sistema di numerazione binario egrave di tipo pesato come il decimale pertanto le regole

dellrsquoaritmetica binaria coincidono con quelle dellrsquoaritmetica decimale

Si riportano soltanto i metodi per lrsquoesecuzione delle quattro operazioni

Somma

Le regole della somma tra due bit sono

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=0 con riporto di 1 verso sinistra

Esempio somma

23+12=35 base decimale

In binaria

1 0 1 1 1+

1 1 00

10 0 0 1 1 somma totale

100011(2)=35(10)

Moltiplicazione

Bencheacute di norma la moltiplicazione venga eseguita come serie di somme le sue regole sono

0x0=0

0x1=0

1x0=0

1x1=1

Si esegua il prodotto tra i numeri Nrsquo=33(10) ed Nrdquo = 3(10) Dopo averli trasformati in base 2

NNeell llaa mmaaggggiioorr ppaarrttee ddeeii ddiissppoossii ttiivvii eelleettttrroonniiccii ddii ccaallccoolloo ssii

eesseegguuee llaa mmooll ttiippll iiccaazziioonnee ccoommee ssoommmmaa rriippeettuuttaa ddeell pprriimmoo

ffaattttoorree ccoonn ssee sstteessssoo ttaannttee vvooll ttee qquuaannttee nnee iinnddiiccaa ii ll sseeccoonnddoo

ffaattttoorree

bullbull NNeell ccaassoo ddeell ll rsquorsquo eesseemmppiioo pprreecceeddeennttee ssii aavvrreebbbbee

bull NN((1100)) == 3333++3333++3333 == 9999

Sottrazione

Come per lrsquoaddizione si incolonnano le cifre di egual peso del mmiinnuueennddoo con quelle del ssoottttrr aaeennddoo

partendo dalla colonna meno significativa

Le regole sono

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 12 di 12 Prof S Patti

0-0=0

1-0=1

1-1=0

0-1=1 con prestito 1 dalla colonna di peso immediatamente superiore

La sottrazione puograve essere ridotta alla somma fra il minuendo e il complemento a due del sottraendo

Divisione

La divisione nei sistemi elettronici viene di massima eseguita come successione di differenze

ovvero si sottrae il divisore dal dividendo sino a cheacute il risultato della differenza diviene minore del

divisore stesso

Il qquuoozziieennttee equivale al numero di successive sottrazioni mentre il risultato dellrsquoultima operazione

rappresenta il rr eessttoo iinntteerr oo

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 6 di 12 Prof S Patti

Verifica

Che egrave praticamente uguale a 347 se lo approssimiamo alla seconda cifra decimale

Lrsquoerrore egrave solo di 00013=1310-3

In pratica si prende ogni volta il risultato della moltiplicazione e la parte intera (zero o uno che sia)

si assume come digit la parte decimale si rimoltiplica per la nuova base ss ripetendo queste

operazioni ciclicamente fino a ottenere la approssimazione desiderata

Conversione binario - ottale - esadecimale

La conversione di un numero da una base b diversa da 10 ad unrsquoaltra anchrsquoessa diversa da 10 puograve

essere fatta con il metodo delle divisioni successive o con quello delle moltiplicazioni successive a

seconda che il numero sia intero o con virgola Va perograve tenuto presente che sia le divisioni che le

moltiplicazioni vanno fatte appunto con basi diverse dal 10 e quindi non sono molto semplici

La conversione di un numero da una base bb diversa da 1100 ad uunnrsquorsquo aall tt rr aa anchrsquoessa ddiivveerr ssaa ddaa 1100

puograve essere fatta con il metodo delle divisioni successive o con quello delle moltiplicazioni

successive a seconda che il numero sia intero o con virgola

Va perograve tenuto presente che sia le divisioni che le moltiplicazioni vanno fatte appunto ccoonn bbaassii

ddiivveerr ssee ddaall 1100 e quindi non sono molto semplici

Il metodo piugrave comodo e affidabile egrave comunque quello di convertire il numero di partenza dalla base

bb al sistema decimale e poi alla nuova base diversa dal 1100

LL ee ccoonnvveerr ssiioonnii ddii nnuummeerr ii tt rr aa ssiisstteemmii llee ccuuii bbaassii ssoonnoo ppootteennzzee ll rsquorsquo uunnaa ddeell ll rsquorsquo aall tt rr aa

sono invece particolarmente facili e immediate

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 7 di 12 Prof S Patti

Esempio sono le conversioni da binario a ottale e esadecimale e

viceversa

Conversione da binario a ottale

Questa trasformazione si esegue raggruppando i bbii tt del numero binario (a partire da destra) iinn

ggrr uuppppii costituiti da ttaannttii bbii tt quanti sono necessari per rappresentare in binario una qualsiasi cifra

ottale cioegrave 3

Se ad esempio il numero binario egrave

11110100102

che rappresenta il numero decimale 978 per ottenere la sua rappresentazione ottale dobbiamo

procedere nel modo seguente

A partire dal bit meno significativo dividiamo il numero in gruppi di 3 bit avremo pertanto i gruppi

(001) (111) (010) (010)

I due zeri nellrsquoultimo gruppo a sinistra sono stati aggiunti per completezza

Associando ad essa i singoli gruppi la cifra ottale corrispondente avremo

(001) (111) (010) (010)

1 7 2 2

In definitiva

17228= 0011110100102

Conversione da binario a esadecimale

Il metodo egrave lo stesso di quello adottato nel caso della conversione bbiinnaarr iioo--oott ttaallee la differenza e

che il numero di bit necessari per ogni gruppo egrave quello che consente di rappresentare le cifre del

sistema esadecimale cioegrave 44

Consideriamo ad esempio il numero binario

1101001010

a partire dal bit meno significativo dividiamo il numero binario in gruppi di 4 bit ciascuno Avremo pertanto i gruppi

(0011) (0100) (1010)

sono stati aggiunti degli 0 ai due bit piugrave significativi associando ad ogni gruppo la cifra

esadecimale corrispondente avremo

(00001111) ((00110000)) ((11001100))

33 44 AA

In definitiva

(00001111) ((00110000)) ((11001100))

33 44 AA

iinn ddeeff iinnii tt iivvaa ii ll nnuummeerr oo eessaaddeecciimmaallee ccoorr rr iissppoonnddeennttee aa qquueell lloo bbiinnaarr iioo ddaattoo egraveegrave

3344AAHH == 1111001100001100110022

Conversione da ottale a binario

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 8 di 12 Prof S Patti

Lo stesso procedimento applicato precedentemente per la trasformazione da binario a ottale

applicato allrsquoinverso consente di convertire un numero ottale in binario

Supponiamo di avere il numero ottale 3248 e di volerlo rappresentare in binario basteragrave a tale

scopo sostituire ad ogni cifra ottale nellrsquoordine in cui sono scritte le corrispondenti

rappresentazioni binarie su 3 bit

Avremo cosigrave

33 22 44

(001111) (001100) (110000)

quindi il numero bbiinnaarr iioo che corrisponde a quello oottttaallee dato saragrave 33224488==111100110011000022

Conversione da esadecimale a binario

Allo stesso modo

Dato il numero 33AA11HH la sua rappresentazione binaria saragrave data da

33 AA 11

(00001111) (11001100) (00000011)

per cui il numero binario cercato saragrave 11111100110000000011

La rappresentazione dei numeri con segno

La esigenza di ricorrere a numeri con segno egrave motivata da due tipi di operazioni aritmetiche

1 rappresentazione di numeri relativi

2 sottrazione tra due numeri

(in questo caso infatti egrave possibile considerare la sottrazione come somma di uno degli addendi con

lrsquoaltro cambiato di segno) Il metodo piugrave consueto per indicare i numeri relativi qualunque sia la base consiste nel

1 premettere loro un segno

2 rappresentare i numeri negativi in complemento (in tal modo si riconduce una sottrazione

ad una somma)

Rappresentazione dei numeri negativi in complemento

In particolare due sono i tipi di complemento

1 il complemento alla base

2 il complemento alla base meno uno

a) Complemento alla base

complemento alla base di un numero di nn ccii ff rr ee rappresentato in un sistema di numerazione in bbaassee

bb egrave dato dalla differenza tra la potenza ennesima bbnn della base ed il numero stesso

b) Complemento alla base mdash1

Il complemento alla base meno 1 di un numero in qualunque sistema di numerazione si esegue

sottraendo ciascuna delle cifre del numero dal valore bb mdashmdash 11 (ove b egrave la base)

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 9 di 12 Prof S Patti

In un sistema di numerazione in base bb impiegando nn ddiiggii tt (cifre) egrave possibile numerare

bbnnmdashmdash 11 unitagrave decimali

In generale passando da una base bb ad una base ss con bgts occorrono un numero di cifre maggiore

per rappresentare il numero equivalente Nel caso di b=10 e s=2

Si ottiene che occorrono 332 volte le cifre necessarie nella base 10

Infatti per rappresentare 9999((1100)) occorrono 22 cifre per rappresentare lrsquoequivalente in base 22

99(10)=1100011(2) occorrono 7 digit

infatti 3322=664cong7

Numeri binari con segno

Il fattore fondamentale dellrsquoutilizzo dei numeri binari consiste nel fatto che essi usano due soli

simboli 00 11 Sarebbe controproducente introdurre un nuovo simbolo per individuare il segno

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 10 di 12 Prof S Patti

Convenzionalmente si egrave quindi introdotto un metodo particolare per individuare i numeri binari

negativi Per tale scopo il bit piugrave significativo (MSB) di un certo numero viene considerato come

bit di segno

Se esso egrave uguale ad uunnoo il numero egrave da considerarsi nneeggaatt iivvoo se invece egrave zzeerr oo esso egrave ppoossii tt iivvoo

Lo zero egrave considerato positivo

Si deduce quindi che utilizzando un bit per il segno diminuisce il campo dei numeri

rappresentabili con un certo numero di bit

Se infatti con nn bit egrave possibile avere 22nn numeri diversi con il bit di segno se ne potranno avere solo

22nn--11

Per esempio con un bbyyttee (otto bit) si ha

28 = 256

mentre 28-1 = 128

tali valori includono anche lo zero

Questo quindi significa che se abbiamo 8 bit per rappresentare un numero in bit quello piugrave

significativo viene dedicato solo al segno gli altri sette bit invece rappresentano il numero

Individuare i numeri negativi con il solo bit di segno non risolve completamente il problema in

quanto tale rappresentazione conduce a volte a risultati non corretti quando si eseguono alcune

operazioni su tali numeri

Per rendere quindi possibili tutte le operazioni con i numeri binari con segno senza commettere

errori i numeri negativi debbono essere rappresentati in complemento a due

Numeri relativi

Il campo dei numeri relativi binari esprimibili con n bit in complemento a 2 egrave

-(2n-1)leNle2n-1-1

Per n=4 -(24-1)=-8 +24-1-1=+7

Quindi con 4 bit si puograve rappresentare dal numero +7 a numero -8

Rappresentazione delle corrispondenze tra numeri decimali e binari relativi

II ll ccoommpplleemmeennttoo ssii ffaa ppeerr rr aapppprr eesseennttaarr ee ii nnuummeerr ii nneeggaatt iivvii

Senza il bit del segno

Con il bit del segno

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 11 di 12 Prof S Patti

AArriittmmeettiiccaa bbiinnaarriiaa

Il sistema di numerazione binario egrave di tipo pesato come il decimale pertanto le regole

dellrsquoaritmetica binaria coincidono con quelle dellrsquoaritmetica decimale

Si riportano soltanto i metodi per lrsquoesecuzione delle quattro operazioni

Somma

Le regole della somma tra due bit sono

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=0 con riporto di 1 verso sinistra

Esempio somma

23+12=35 base decimale

In binaria

1 0 1 1 1+

1 1 00

10 0 0 1 1 somma totale

100011(2)=35(10)

Moltiplicazione

Bencheacute di norma la moltiplicazione venga eseguita come serie di somme le sue regole sono

0x0=0

0x1=0

1x0=0

1x1=1

Si esegua il prodotto tra i numeri Nrsquo=33(10) ed Nrdquo = 3(10) Dopo averli trasformati in base 2

NNeell llaa mmaaggggiioorr ppaarrttee ddeeii ddiissppoossii ttiivvii eelleettttrroonniiccii ddii ccaallccoolloo ssii

eesseegguuee llaa mmooll ttiippll iiccaazziioonnee ccoommee ssoommmmaa rriippeettuuttaa ddeell pprriimmoo

ffaattttoorree ccoonn ssee sstteessssoo ttaannttee vvooll ttee qquuaannttee nnee iinnddiiccaa ii ll sseeccoonnddoo

ffaattttoorree

bullbull NNeell ccaassoo ddeell ll rsquorsquo eesseemmppiioo pprreecceeddeennttee ssii aavvrreebbbbee

bull NN((1100)) == 3333++3333++3333 == 9999

Sottrazione

Come per lrsquoaddizione si incolonnano le cifre di egual peso del mmiinnuueennddoo con quelle del ssoottttrr aaeennddoo

partendo dalla colonna meno significativa

Le regole sono

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 12 di 12 Prof S Patti

0-0=0

1-0=1

1-1=0

0-1=1 con prestito 1 dalla colonna di peso immediatamente superiore

La sottrazione puograve essere ridotta alla somma fra il minuendo e il complemento a due del sottraendo

Divisione

La divisione nei sistemi elettronici viene di massima eseguita come successione di differenze

ovvero si sottrae il divisore dal dividendo sino a cheacute il risultato della differenza diviene minore del

divisore stesso

Il qquuoozziieennttee equivale al numero di successive sottrazioni mentre il risultato dellrsquoultima operazione

rappresenta il rr eessttoo iinntteerr oo

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 7 di 12 Prof S Patti

Esempio sono le conversioni da binario a ottale e esadecimale e

viceversa

Conversione da binario a ottale

Questa trasformazione si esegue raggruppando i bbii tt del numero binario (a partire da destra) iinn

ggrr uuppppii costituiti da ttaannttii bbii tt quanti sono necessari per rappresentare in binario una qualsiasi cifra

ottale cioegrave 3

Se ad esempio il numero binario egrave

11110100102

che rappresenta il numero decimale 978 per ottenere la sua rappresentazione ottale dobbiamo

procedere nel modo seguente

A partire dal bit meno significativo dividiamo il numero in gruppi di 3 bit avremo pertanto i gruppi

(001) (111) (010) (010)

I due zeri nellrsquoultimo gruppo a sinistra sono stati aggiunti per completezza

Associando ad essa i singoli gruppi la cifra ottale corrispondente avremo

(001) (111) (010) (010)

1 7 2 2

In definitiva

17228= 0011110100102

Conversione da binario a esadecimale

Il metodo egrave lo stesso di quello adottato nel caso della conversione bbiinnaarr iioo--oott ttaallee la differenza e

che il numero di bit necessari per ogni gruppo egrave quello che consente di rappresentare le cifre del

sistema esadecimale cioegrave 44

Consideriamo ad esempio il numero binario

1101001010

a partire dal bit meno significativo dividiamo il numero binario in gruppi di 4 bit ciascuno Avremo pertanto i gruppi

(0011) (0100) (1010)

sono stati aggiunti degli 0 ai due bit piugrave significativi associando ad ogni gruppo la cifra

esadecimale corrispondente avremo

(00001111) ((00110000)) ((11001100))

33 44 AA

In definitiva

(00001111) ((00110000)) ((11001100))

33 44 AA

iinn ddeeff iinnii tt iivvaa ii ll nnuummeerr oo eessaaddeecciimmaallee ccoorr rr iissppoonnddeennttee aa qquueell lloo bbiinnaarr iioo ddaattoo egraveegrave

3344AAHH == 1111001100001100110022

Conversione da ottale a binario

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 8 di 12 Prof S Patti

Lo stesso procedimento applicato precedentemente per la trasformazione da binario a ottale

applicato allrsquoinverso consente di convertire un numero ottale in binario

Supponiamo di avere il numero ottale 3248 e di volerlo rappresentare in binario basteragrave a tale

scopo sostituire ad ogni cifra ottale nellrsquoordine in cui sono scritte le corrispondenti

rappresentazioni binarie su 3 bit

Avremo cosigrave

33 22 44

(001111) (001100) (110000)

quindi il numero bbiinnaarr iioo che corrisponde a quello oottttaallee dato saragrave 33224488==111100110011000022

Conversione da esadecimale a binario

Allo stesso modo

Dato il numero 33AA11HH la sua rappresentazione binaria saragrave data da

33 AA 11

(00001111) (11001100) (00000011)

per cui il numero binario cercato saragrave 11111100110000000011

La rappresentazione dei numeri con segno

La esigenza di ricorrere a numeri con segno egrave motivata da due tipi di operazioni aritmetiche

1 rappresentazione di numeri relativi

2 sottrazione tra due numeri

(in questo caso infatti egrave possibile considerare la sottrazione come somma di uno degli addendi con

lrsquoaltro cambiato di segno) Il metodo piugrave consueto per indicare i numeri relativi qualunque sia la base consiste nel

1 premettere loro un segno

2 rappresentare i numeri negativi in complemento (in tal modo si riconduce una sottrazione

ad una somma)

Rappresentazione dei numeri negativi in complemento

In particolare due sono i tipi di complemento

1 il complemento alla base

2 il complemento alla base meno uno

a) Complemento alla base

complemento alla base di un numero di nn ccii ff rr ee rappresentato in un sistema di numerazione in bbaassee

bb egrave dato dalla differenza tra la potenza ennesima bbnn della base ed il numero stesso

b) Complemento alla base mdash1

Il complemento alla base meno 1 di un numero in qualunque sistema di numerazione si esegue

sottraendo ciascuna delle cifre del numero dal valore bb mdashmdash 11 (ove b egrave la base)

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 9 di 12 Prof S Patti

In un sistema di numerazione in base bb impiegando nn ddiiggii tt (cifre) egrave possibile numerare

bbnnmdashmdash 11 unitagrave decimali

In generale passando da una base bb ad una base ss con bgts occorrono un numero di cifre maggiore

per rappresentare il numero equivalente Nel caso di b=10 e s=2

Si ottiene che occorrono 332 volte le cifre necessarie nella base 10

Infatti per rappresentare 9999((1100)) occorrono 22 cifre per rappresentare lrsquoequivalente in base 22

99(10)=1100011(2) occorrono 7 digit

infatti 3322=664cong7

Numeri binari con segno

Il fattore fondamentale dellrsquoutilizzo dei numeri binari consiste nel fatto che essi usano due soli

simboli 00 11 Sarebbe controproducente introdurre un nuovo simbolo per individuare il segno

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 10 di 12 Prof S Patti

Convenzionalmente si egrave quindi introdotto un metodo particolare per individuare i numeri binari

negativi Per tale scopo il bit piugrave significativo (MSB) di un certo numero viene considerato come

bit di segno

Se esso egrave uguale ad uunnoo il numero egrave da considerarsi nneeggaatt iivvoo se invece egrave zzeerr oo esso egrave ppoossii tt iivvoo

Lo zero egrave considerato positivo

Si deduce quindi che utilizzando un bit per il segno diminuisce il campo dei numeri

rappresentabili con un certo numero di bit

Se infatti con nn bit egrave possibile avere 22nn numeri diversi con il bit di segno se ne potranno avere solo

22nn--11

Per esempio con un bbyyttee (otto bit) si ha

28 = 256

mentre 28-1 = 128

tali valori includono anche lo zero

Questo quindi significa che se abbiamo 8 bit per rappresentare un numero in bit quello piugrave

significativo viene dedicato solo al segno gli altri sette bit invece rappresentano il numero

Individuare i numeri negativi con il solo bit di segno non risolve completamente il problema in

quanto tale rappresentazione conduce a volte a risultati non corretti quando si eseguono alcune

operazioni su tali numeri

Per rendere quindi possibili tutte le operazioni con i numeri binari con segno senza commettere

errori i numeri negativi debbono essere rappresentati in complemento a due

Numeri relativi

Il campo dei numeri relativi binari esprimibili con n bit in complemento a 2 egrave

-(2n-1)leNle2n-1-1

Per n=4 -(24-1)=-8 +24-1-1=+7

Quindi con 4 bit si puograve rappresentare dal numero +7 a numero -8

Rappresentazione delle corrispondenze tra numeri decimali e binari relativi

II ll ccoommpplleemmeennttoo ssii ffaa ppeerr rr aapppprr eesseennttaarr ee ii nnuummeerr ii nneeggaatt iivvii

Senza il bit del segno

Con il bit del segno

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 11 di 12 Prof S Patti

AArriittmmeettiiccaa bbiinnaarriiaa

Il sistema di numerazione binario egrave di tipo pesato come il decimale pertanto le regole

dellrsquoaritmetica binaria coincidono con quelle dellrsquoaritmetica decimale

Si riportano soltanto i metodi per lrsquoesecuzione delle quattro operazioni

Somma

Le regole della somma tra due bit sono

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=0 con riporto di 1 verso sinistra

Esempio somma

23+12=35 base decimale

In binaria

1 0 1 1 1+

1 1 00

10 0 0 1 1 somma totale

100011(2)=35(10)

Moltiplicazione

Bencheacute di norma la moltiplicazione venga eseguita come serie di somme le sue regole sono

0x0=0

0x1=0

1x0=0

1x1=1

Si esegua il prodotto tra i numeri Nrsquo=33(10) ed Nrdquo = 3(10) Dopo averli trasformati in base 2

NNeell llaa mmaaggggiioorr ppaarrttee ddeeii ddiissppoossii ttiivvii eelleettttrroonniiccii ddii ccaallccoolloo ssii

eesseegguuee llaa mmooll ttiippll iiccaazziioonnee ccoommee ssoommmmaa rriippeettuuttaa ddeell pprriimmoo

ffaattttoorree ccoonn ssee sstteessssoo ttaannttee vvooll ttee qquuaannttee nnee iinnddiiccaa ii ll sseeccoonnddoo

ffaattttoorree

bullbull NNeell ccaassoo ddeell ll rsquorsquo eesseemmppiioo pprreecceeddeennttee ssii aavvrreebbbbee

bull NN((1100)) == 3333++3333++3333 == 9999

Sottrazione

Come per lrsquoaddizione si incolonnano le cifre di egual peso del mmiinnuueennddoo con quelle del ssoottttrr aaeennddoo

partendo dalla colonna meno significativa

Le regole sono

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 12 di 12 Prof S Patti

0-0=0

1-0=1

1-1=0

0-1=1 con prestito 1 dalla colonna di peso immediatamente superiore

La sottrazione puograve essere ridotta alla somma fra il minuendo e il complemento a due del sottraendo

Divisione

La divisione nei sistemi elettronici viene di massima eseguita come successione di differenze

ovvero si sottrae il divisore dal dividendo sino a cheacute il risultato della differenza diviene minore del

divisore stesso

Il qquuoozziieennttee equivale al numero di successive sottrazioni mentre il risultato dellrsquoultima operazione

rappresenta il rr eessttoo iinntteerr oo

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 8 di 12 Prof S Patti

Lo stesso procedimento applicato precedentemente per la trasformazione da binario a ottale

applicato allrsquoinverso consente di convertire un numero ottale in binario

Supponiamo di avere il numero ottale 3248 e di volerlo rappresentare in binario basteragrave a tale

scopo sostituire ad ogni cifra ottale nellrsquoordine in cui sono scritte le corrispondenti

rappresentazioni binarie su 3 bit

Avremo cosigrave

33 22 44

(001111) (001100) (110000)

quindi il numero bbiinnaarr iioo che corrisponde a quello oottttaallee dato saragrave 33224488==111100110011000022

Conversione da esadecimale a binario

Allo stesso modo

Dato il numero 33AA11HH la sua rappresentazione binaria saragrave data da

33 AA 11

(00001111) (11001100) (00000011)

per cui il numero binario cercato saragrave 11111100110000000011

La rappresentazione dei numeri con segno

La esigenza di ricorrere a numeri con segno egrave motivata da due tipi di operazioni aritmetiche

1 rappresentazione di numeri relativi

2 sottrazione tra due numeri

(in questo caso infatti egrave possibile considerare la sottrazione come somma di uno degli addendi con

lrsquoaltro cambiato di segno) Il metodo piugrave consueto per indicare i numeri relativi qualunque sia la base consiste nel

1 premettere loro un segno

2 rappresentare i numeri negativi in complemento (in tal modo si riconduce una sottrazione

ad una somma)

Rappresentazione dei numeri negativi in complemento

In particolare due sono i tipi di complemento

1 il complemento alla base

2 il complemento alla base meno uno

a) Complemento alla base

complemento alla base di un numero di nn ccii ff rr ee rappresentato in un sistema di numerazione in bbaassee

bb egrave dato dalla differenza tra la potenza ennesima bbnn della base ed il numero stesso

b) Complemento alla base mdash1

Il complemento alla base meno 1 di un numero in qualunque sistema di numerazione si esegue

sottraendo ciascuna delle cifre del numero dal valore bb mdashmdash 11 (ove b egrave la base)

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 9 di 12 Prof S Patti

In un sistema di numerazione in base bb impiegando nn ddiiggii tt (cifre) egrave possibile numerare

bbnnmdashmdash 11 unitagrave decimali

In generale passando da una base bb ad una base ss con bgts occorrono un numero di cifre maggiore

per rappresentare il numero equivalente Nel caso di b=10 e s=2

Si ottiene che occorrono 332 volte le cifre necessarie nella base 10

Infatti per rappresentare 9999((1100)) occorrono 22 cifre per rappresentare lrsquoequivalente in base 22

99(10)=1100011(2) occorrono 7 digit

infatti 3322=664cong7

Numeri binari con segno

Il fattore fondamentale dellrsquoutilizzo dei numeri binari consiste nel fatto che essi usano due soli

simboli 00 11 Sarebbe controproducente introdurre un nuovo simbolo per individuare il segno

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 10 di 12 Prof S Patti

Convenzionalmente si egrave quindi introdotto un metodo particolare per individuare i numeri binari

negativi Per tale scopo il bit piugrave significativo (MSB) di un certo numero viene considerato come

bit di segno

Se esso egrave uguale ad uunnoo il numero egrave da considerarsi nneeggaatt iivvoo se invece egrave zzeerr oo esso egrave ppoossii tt iivvoo

Lo zero egrave considerato positivo

Si deduce quindi che utilizzando un bit per il segno diminuisce il campo dei numeri

rappresentabili con un certo numero di bit

Se infatti con nn bit egrave possibile avere 22nn numeri diversi con il bit di segno se ne potranno avere solo

22nn--11

Per esempio con un bbyyttee (otto bit) si ha

28 = 256

mentre 28-1 = 128

tali valori includono anche lo zero

Questo quindi significa che se abbiamo 8 bit per rappresentare un numero in bit quello piugrave

significativo viene dedicato solo al segno gli altri sette bit invece rappresentano il numero

Individuare i numeri negativi con il solo bit di segno non risolve completamente il problema in

quanto tale rappresentazione conduce a volte a risultati non corretti quando si eseguono alcune

operazioni su tali numeri

Per rendere quindi possibili tutte le operazioni con i numeri binari con segno senza commettere

errori i numeri negativi debbono essere rappresentati in complemento a due

Numeri relativi

Il campo dei numeri relativi binari esprimibili con n bit in complemento a 2 egrave

-(2n-1)leNle2n-1-1

Per n=4 -(24-1)=-8 +24-1-1=+7

Quindi con 4 bit si puograve rappresentare dal numero +7 a numero -8

Rappresentazione delle corrispondenze tra numeri decimali e binari relativi

II ll ccoommpplleemmeennttoo ssii ffaa ppeerr rr aapppprr eesseennttaarr ee ii nnuummeerr ii nneeggaatt iivvii

Senza il bit del segno

Con il bit del segno

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 11 di 12 Prof S Patti

AArriittmmeettiiccaa bbiinnaarriiaa

Il sistema di numerazione binario egrave di tipo pesato come il decimale pertanto le regole

dellrsquoaritmetica binaria coincidono con quelle dellrsquoaritmetica decimale

Si riportano soltanto i metodi per lrsquoesecuzione delle quattro operazioni

Somma

Le regole della somma tra due bit sono

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=0 con riporto di 1 verso sinistra

Esempio somma

23+12=35 base decimale

In binaria

1 0 1 1 1+

1 1 00

10 0 0 1 1 somma totale

100011(2)=35(10)

Moltiplicazione

Bencheacute di norma la moltiplicazione venga eseguita come serie di somme le sue regole sono

0x0=0

0x1=0

1x0=0

1x1=1

Si esegua il prodotto tra i numeri Nrsquo=33(10) ed Nrdquo = 3(10) Dopo averli trasformati in base 2

NNeell llaa mmaaggggiioorr ppaarrttee ddeeii ddiissppoossii ttiivvii eelleettttrroonniiccii ddii ccaallccoolloo ssii

eesseegguuee llaa mmooll ttiippll iiccaazziioonnee ccoommee ssoommmmaa rriippeettuuttaa ddeell pprriimmoo

ffaattttoorree ccoonn ssee sstteessssoo ttaannttee vvooll ttee qquuaannttee nnee iinnddiiccaa ii ll sseeccoonnddoo

ffaattttoorree

bullbull NNeell ccaassoo ddeell ll rsquorsquo eesseemmppiioo pprreecceeddeennttee ssii aavvrreebbbbee

bull NN((1100)) == 3333++3333++3333 == 9999

Sottrazione

Come per lrsquoaddizione si incolonnano le cifre di egual peso del mmiinnuueennddoo con quelle del ssoottttrr aaeennddoo

partendo dalla colonna meno significativa

Le regole sono

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 12 di 12 Prof S Patti

0-0=0

1-0=1

1-1=0

0-1=1 con prestito 1 dalla colonna di peso immediatamente superiore

La sottrazione puograve essere ridotta alla somma fra il minuendo e il complemento a due del sottraendo

Divisione

La divisione nei sistemi elettronici viene di massima eseguita come successione di differenze

ovvero si sottrae il divisore dal dividendo sino a cheacute il risultato della differenza diviene minore del

divisore stesso

Il qquuoozziieennttee equivale al numero di successive sottrazioni mentre il risultato dellrsquoultima operazione

rappresenta il rr eessttoo iinntteerr oo

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 9 di 12 Prof S Patti

In un sistema di numerazione in base bb impiegando nn ddiiggii tt (cifre) egrave possibile numerare

bbnnmdashmdash 11 unitagrave decimali

In generale passando da una base bb ad una base ss con bgts occorrono un numero di cifre maggiore

per rappresentare il numero equivalente Nel caso di b=10 e s=2

Si ottiene che occorrono 332 volte le cifre necessarie nella base 10

Infatti per rappresentare 9999((1100)) occorrono 22 cifre per rappresentare lrsquoequivalente in base 22

99(10)=1100011(2) occorrono 7 digit

infatti 3322=664cong7

Numeri binari con segno

Il fattore fondamentale dellrsquoutilizzo dei numeri binari consiste nel fatto che essi usano due soli

simboli 00 11 Sarebbe controproducente introdurre un nuovo simbolo per individuare il segno

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 10 di 12 Prof S Patti

Convenzionalmente si egrave quindi introdotto un metodo particolare per individuare i numeri binari

negativi Per tale scopo il bit piugrave significativo (MSB) di un certo numero viene considerato come

bit di segno

Se esso egrave uguale ad uunnoo il numero egrave da considerarsi nneeggaatt iivvoo se invece egrave zzeerr oo esso egrave ppoossii tt iivvoo

Lo zero egrave considerato positivo

Si deduce quindi che utilizzando un bit per il segno diminuisce il campo dei numeri

rappresentabili con un certo numero di bit

Se infatti con nn bit egrave possibile avere 22nn numeri diversi con il bit di segno se ne potranno avere solo

22nn--11

Per esempio con un bbyyttee (otto bit) si ha

28 = 256

mentre 28-1 = 128

tali valori includono anche lo zero

Questo quindi significa che se abbiamo 8 bit per rappresentare un numero in bit quello piugrave

significativo viene dedicato solo al segno gli altri sette bit invece rappresentano il numero

Individuare i numeri negativi con il solo bit di segno non risolve completamente il problema in

quanto tale rappresentazione conduce a volte a risultati non corretti quando si eseguono alcune

operazioni su tali numeri

Per rendere quindi possibili tutte le operazioni con i numeri binari con segno senza commettere

errori i numeri negativi debbono essere rappresentati in complemento a due

Numeri relativi

Il campo dei numeri relativi binari esprimibili con n bit in complemento a 2 egrave

-(2n-1)leNle2n-1-1

Per n=4 -(24-1)=-8 +24-1-1=+7

Quindi con 4 bit si puograve rappresentare dal numero +7 a numero -8

Rappresentazione delle corrispondenze tra numeri decimali e binari relativi

II ll ccoommpplleemmeennttoo ssii ffaa ppeerr rr aapppprr eesseennttaarr ee ii nnuummeerr ii nneeggaatt iivvii

Senza il bit del segno

Con il bit del segno

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AArriittmmeettiiccaa bbiinnaarriiaa

Il sistema di numerazione binario egrave di tipo pesato come il decimale pertanto le regole

dellrsquoaritmetica binaria coincidono con quelle dellrsquoaritmetica decimale

Si riportano soltanto i metodi per lrsquoesecuzione delle quattro operazioni

Somma

Le regole della somma tra due bit sono

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=0 con riporto di 1 verso sinistra

Esempio somma

23+12=35 base decimale

In binaria

1 0 1 1 1+

1 1 00

10 0 0 1 1 somma totale

100011(2)=35(10)

Moltiplicazione

Bencheacute di norma la moltiplicazione venga eseguita come serie di somme le sue regole sono

0x0=0

0x1=0

1x0=0

1x1=1

Si esegua il prodotto tra i numeri Nrsquo=33(10) ed Nrdquo = 3(10) Dopo averli trasformati in base 2

NNeell llaa mmaaggggiioorr ppaarrttee ddeeii ddiissppoossii ttiivvii eelleettttrroonniiccii ddii ccaallccoolloo ssii

eesseegguuee llaa mmooll ttiippll iiccaazziioonnee ccoommee ssoommmmaa rriippeettuuttaa ddeell pprriimmoo

ffaattttoorree ccoonn ssee sstteessssoo ttaannttee vvooll ttee qquuaannttee nnee iinnddiiccaa ii ll sseeccoonnddoo

ffaattttoorree

bullbull NNeell ccaassoo ddeell ll rsquorsquo eesseemmppiioo pprreecceeddeennttee ssii aavvrreebbbbee

bull NN((1100)) == 3333++3333++3333 == 9999

Sottrazione

Come per lrsquoaddizione si incolonnano le cifre di egual peso del mmiinnuueennddoo con quelle del ssoottttrr aaeennddoo

partendo dalla colonna meno significativa

Le regole sono

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0-0=0

1-0=1

1-1=0

0-1=1 con prestito 1 dalla colonna di peso immediatamente superiore

La sottrazione puograve essere ridotta alla somma fra il minuendo e il complemento a due del sottraendo

Divisione

La divisione nei sistemi elettronici viene di massima eseguita come successione di differenze

ovvero si sottrae il divisore dal dividendo sino a cheacute il risultato della differenza diviene minore del

divisore stesso

Il qquuoozziieennttee equivale al numero di successive sottrazioni mentre il risultato dellrsquoultima operazione

rappresenta il rr eessttoo iinntteerr oo

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Convenzionalmente si egrave quindi introdotto un metodo particolare per individuare i numeri binari

negativi Per tale scopo il bit piugrave significativo (MSB) di un certo numero viene considerato come

bit di segno

Se esso egrave uguale ad uunnoo il numero egrave da considerarsi nneeggaatt iivvoo se invece egrave zzeerr oo esso egrave ppoossii tt iivvoo

Lo zero egrave considerato positivo

Si deduce quindi che utilizzando un bit per il segno diminuisce il campo dei numeri

rappresentabili con un certo numero di bit

Se infatti con nn bit egrave possibile avere 22nn numeri diversi con il bit di segno se ne potranno avere solo

22nn--11

Per esempio con un bbyyttee (otto bit) si ha

28 = 256

mentre 28-1 = 128

tali valori includono anche lo zero

Questo quindi significa che se abbiamo 8 bit per rappresentare un numero in bit quello piugrave

significativo viene dedicato solo al segno gli altri sette bit invece rappresentano il numero

Individuare i numeri negativi con il solo bit di segno non risolve completamente il problema in

quanto tale rappresentazione conduce a volte a risultati non corretti quando si eseguono alcune

operazioni su tali numeri

Per rendere quindi possibili tutte le operazioni con i numeri binari con segno senza commettere

errori i numeri negativi debbono essere rappresentati in complemento a due

Numeri relativi

Il campo dei numeri relativi binari esprimibili con n bit in complemento a 2 egrave

-(2n-1)leNle2n-1-1

Per n=4 -(24-1)=-8 +24-1-1=+7

Quindi con 4 bit si puograve rappresentare dal numero +7 a numero -8

Rappresentazione delle corrispondenze tra numeri decimali e binari relativi

II ll ccoommpplleemmeennttoo ssii ffaa ppeerr rr aapppprr eesseennttaarr ee ii nnuummeerr ii nneeggaatt iivvii

Senza il bit del segno

Con il bit del segno

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AArriittmmeettiiccaa bbiinnaarriiaa

Il sistema di numerazione binario egrave di tipo pesato come il decimale pertanto le regole

dellrsquoaritmetica binaria coincidono con quelle dellrsquoaritmetica decimale

Si riportano soltanto i metodi per lrsquoesecuzione delle quattro operazioni

Somma

Le regole della somma tra due bit sono

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=0 con riporto di 1 verso sinistra

Esempio somma

23+12=35 base decimale

In binaria

1 0 1 1 1+

1 1 00

10 0 0 1 1 somma totale

100011(2)=35(10)

Moltiplicazione

Bencheacute di norma la moltiplicazione venga eseguita come serie di somme le sue regole sono

0x0=0

0x1=0

1x0=0

1x1=1

Si esegua il prodotto tra i numeri Nrsquo=33(10) ed Nrdquo = 3(10) Dopo averli trasformati in base 2

NNeell llaa mmaaggggiioorr ppaarrttee ddeeii ddiissppoossii ttiivvii eelleettttrroonniiccii ddii ccaallccoolloo ssii

eesseegguuee llaa mmooll ttiippll iiccaazziioonnee ccoommee ssoommmmaa rriippeettuuttaa ddeell pprriimmoo

ffaattttoorree ccoonn ssee sstteessssoo ttaannttee vvooll ttee qquuaannttee nnee iinnddiiccaa ii ll sseeccoonnddoo

ffaattttoorree

bullbull NNeell ccaassoo ddeell ll rsquorsquo eesseemmppiioo pprreecceeddeennttee ssii aavvrreebbbbee

bull NN((1100)) == 3333++3333++3333 == 9999

Sottrazione

Come per lrsquoaddizione si incolonnano le cifre di egual peso del mmiinnuueennddoo con quelle del ssoottttrr aaeennddoo

partendo dalla colonna meno significativa

Le regole sono

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0-0=0

1-0=1

1-1=0

0-1=1 con prestito 1 dalla colonna di peso immediatamente superiore

La sottrazione puograve essere ridotta alla somma fra il minuendo e il complemento a due del sottraendo

Divisione

La divisione nei sistemi elettronici viene di massima eseguita come successione di differenze

ovvero si sottrae il divisore dal dividendo sino a cheacute il risultato della differenza diviene minore del

divisore stesso

Il qquuoozziieennttee equivale al numero di successive sottrazioni mentre il risultato dellrsquoultima operazione

rappresenta il rr eessttoo iinntteerr oo

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AArriittmmeettiiccaa bbiinnaarriiaa

Il sistema di numerazione binario egrave di tipo pesato come il decimale pertanto le regole

dellrsquoaritmetica binaria coincidono con quelle dellrsquoaritmetica decimale

Si riportano soltanto i metodi per lrsquoesecuzione delle quattro operazioni

Somma

Le regole della somma tra due bit sono

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=0 con riporto di 1 verso sinistra

Esempio somma

23+12=35 base decimale

In binaria

1 0 1 1 1+

1 1 00

10 0 0 1 1 somma totale

100011(2)=35(10)

Moltiplicazione

Bencheacute di norma la moltiplicazione venga eseguita come serie di somme le sue regole sono

0x0=0

0x1=0

1x0=0

1x1=1

Si esegua il prodotto tra i numeri Nrsquo=33(10) ed Nrdquo = 3(10) Dopo averli trasformati in base 2

NNeell llaa mmaaggggiioorr ppaarrttee ddeeii ddiissppoossii ttiivvii eelleettttrroonniiccii ddii ccaallccoolloo ssii

eesseegguuee llaa mmooll ttiippll iiccaazziioonnee ccoommee ssoommmmaa rriippeettuuttaa ddeell pprriimmoo

ffaattttoorree ccoonn ssee sstteessssoo ttaannttee vvooll ttee qquuaannttee nnee iinnddiiccaa ii ll sseeccoonnddoo

ffaattttoorree

bullbull NNeell ccaassoo ddeell ll rsquorsquo eesseemmppiioo pprreecceeddeennttee ssii aavvrreebbbbee

bull NN((1100)) == 3333++3333++3333 == 9999

Sottrazione

Come per lrsquoaddizione si incolonnano le cifre di egual peso del mmiinnuueennddoo con quelle del ssoottttrr aaeennddoo

partendo dalla colonna meno significativa

Le regole sono

I SISTEMI DI NUMERAZIONE_udoc 12 di 12 Prof S Patti

0-0=0

1-0=1

1-1=0

0-1=1 con prestito 1 dalla colonna di peso immediatamente superiore

La sottrazione puograve essere ridotta alla somma fra il minuendo e il complemento a due del sottraendo

Divisione

La divisione nei sistemi elettronici viene di massima eseguita come successione di differenze

ovvero si sottrae il divisore dal dividendo sino a cheacute il risultato della differenza diviene minore del

divisore stesso

Il qquuoozziieennttee equivale al numero di successive sottrazioni mentre il risultato dellrsquoultima operazione

rappresenta il rr eessttoo iinntteerr oo

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0-0=0

1-0=1

1-1=0

0-1=1 con prestito 1 dalla colonna di peso immediatamente superiore

La sottrazione puograve essere ridotta alla somma fra il minuendo e il complemento a due del sottraendo

Divisione

La divisione nei sistemi elettronici viene di massima eseguita come successione di differenze

ovvero si sottrae il divisore dal dividendo sino a cheacute il risultato della differenza diviene minore del

divisore stesso

Il qquuoozziieennttee equivale al numero di successive sottrazioni mentre il risultato dellrsquoultima operazione

rappresenta il rr eessttoo iinntteerr oo