SISTEMI DI NUMERAZIONE -...

Università degli Studi di Roma – Tor Vergata

Facoltà di Ingegneria – Corso di Laurea in Ingegneria Medica

SISTEMI DI NUMERAZIONE

Come nei calcolatori sono

rappresentati i numeri

Informatica - Ingegneria Medica -2013 - Franco Del Bolgia Slide 2 of 55_

Numeri

I numeri rappresentano il modo simbolico per

descrivere su un supporto delle quantità.

Fin dall’antichità gli esseri umani hanno avuto

bisogno di quantificare le cose e gli eventi.

Anche gli animali hanno un loro modo di

quantificare e qualificare

Ci sono popolazioni che ancora usano solo piccoli

numeri

Alcune popolazioni hanno ideato le loro modalità di

rappresentazione


Numerali

Numerale è una stringa di simboli che

rappresentano un numero

124 BF189AH 100000 MCMLXXXVIII

Il valore non è definibile se non si conoscono le

regole che sono state definite per le modalità

di rappresentazione

NUMERI Maya - Babilonesi - Egizi - Etruschi

Sistemi additivi e sistemi posizionali http://it.wikipedia.org/wiki/File:Babylonian_numerals.svg


Sistemi di numerazione

SISTEMI ADDITIVI

Sono stabiliti dei simboli base

Il valore del numero risulta dalla somma o differenza di una

sequenza di tali simboli posizionati in modo opportuno

Nella rappresentazione è insita una operazione matematica

non costante

Risulta a volte impossibile rappresentare tutti i numeri

Per i Maya ci sono 20 simboli base costituiti da 3 ripetuti

Per i Babilonesi 60 costituiti da 2 simboli ripetuti

Per i romani sono 7 (I V X L C D M)


NUMERAZIONE ROMANA

I II III IV V VI VII

simboli usati e loro peso

I uno V cinque X dieci L cinquanta

C cento D cinquecento M mille

Il simbolo può avere valore positivo o negativo a secondo che preceda un simbolo minore o uguale oppure segua un simbolo di peso maggiore.

IV (4=-1+5) VI (6=5+1)

XL (40=-10+50) LX (60=50+10)

Poi ci sono altre regole …..


C = C *1000 = 50000



SISTEMI POSIZIONALI o Arabi

Vi troviamo due condizioni essenziali:

1-E’ definito un’insieme di simboli base

2-Ad ogni simbolo è associato un peso, che

NON cambia mai.

Il valore del numero è funzione del valore

assegnato al simbolo e della posizione in cui il

simbolo stesso si trova nel numerale

SIMBOLOGIA della CIFRA decimale

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


Criterio di rappresentazione-Numeri Naturali

Informatica - Ingegneria Medica - 2013 - Franco Del Bolgia Slide 10 of XX _

Il peso di ogni singolo simbolo è relazionato al precedente ed

al successivo dall’aggiunta o dalla sottrazione del peso

unitario

3 + 1 = 4 = 5 – 1 3 precede 5 segue

Giunti all’ultimo simbolo si ricomincia dal primo simbolo con

il riporto di una unità nella PRIMA colonna a sinistra

9 + 1 = 0 con il riporto di 1 = 10

19+1 = 0 con il riporto di 1 che sommato a 1(decine) da

2(decine) = 20 e così via fino a 99

99 + 1 = 0 unità con il riporto di 1(decine) che sommato a 9

da 0 con il riporto di 1(centinaia) = 100


Rappresentazioni numeriche

Sistema decimale 24D = 2x10(1) + 4x10(0) = 20 + 4

4735D = 4x10(3) + 7x10(2) + 3x10(1) + 5x10(0)

= 4000 + 700 + 30 + 5

La costruzione di un qualsiasi numero può essere effettuata

aggiungendo allo 0 più a destra l’unità tenendo presente che

ogni volta che si arriva a 9, l’ulteriore valore è dato

dall’aggiunta (riporto) nella colonna a sinistra di 1 e

riazzerando il simbolo più a destra. Esempio:

migliaia centinaia decine unità

0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 0 Perché gli uomini hanno scelto un sistema decimale! Perché hanno 10 dita!

9 9 0 0 1


Sistema decimale-Numeri Naturali


Tutti gli infiniti valori interi positivi sono ottenuti

da combinazioni ordinate di un numero definito

di cifre. Ogni singola cifra assume quindi un

peso nel numero, che è funzione della sua

posizione.

7924D = 7*103 + 9*102 + 2*101 + 4*100

4735D = 4*103 + 7*102 + 3*101 + 5*100

32196D = 3*104+2*103+1*102 + 9*101 + 6*100


SISTEMI DI NUMERAZIONE


10000

RIPORTO 1

ma con errore

OVERFLOW


Nunerazione ternaria

Realizziamo ora, come esempio una

nostra base numerica del tutto arbitraria

formata da solo 3 simboli

& di peso 0

$ di peso 1

§ di peso 2

scriviamo i valori che possiamo

rappresentare con quattro cifre partendo

da zero

si ottiene la seguente tabella dove nella

colonna di sinistra è rappresentato il

numero espresso con la nostra base

ternaria , mentre nella colonna di destra il

numero espresso in base decimale

Base 3 Base 10


L’elettronica nel calcolo

Elettronicamente si possono realizzare dispositivi in

grado di effettuare operazioni matematiche.

Dispositivi analogici

Sommatore

Amplificatore

Integratore

Derivatore

Questa tecnologia è però imprecisa e risente in modo

pesante di varie condizioni al contorno

Temperatura, rumore, caratteristiche dei singoli componenti

nel tempo

http://it.wikipedia.org/wiki/File:Op-Amp_Inverting_Amplifier.svg

http://it.wikipedia.org/wiki/File:Sommatore_analogico.PNG


Rappresentazione Binaria

Anche i calcolatori sono realizzati con tecnologie elettroniche ma le modalità con cui rappresentano le informazioni sono diverse.

I circuiti che li compongono vengono fatti funzionare come elementari interruttori, dando così luogo a due soli stati possibili

circuito APERTO o CHIUSO

0 o 1




Questa condizione può essere sfruttata per

definire una base di numerazione diversa da

quella decimale

con una base di due soli simboli

che possiede le stesse proprietà e

segue le stesse regole dell’algebra.

Con opportuni insiemi di interruttori e circuiti

adeguati si possono

Rappresentare e memorizzare i numeri binari

Rappresentare funzioni da svolgere Informatica - Ingegneria Medica - 2012 - Franco Del Bolgia Slide 18 of XX _



Nel sistema binario il set di

simboli base è composto solo

da 0 e 1

Decimale 23 22 21 unità

0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 7 1 8 1 0 0 0 1 9 10 1 0 11 1

Perché i computer adottano un sistema binario !

Perché un circuito può avere 2 soli stadi stabili aperto o chiuso !

Utilizzando ad esempio una

combinazione di 4 cifre

binarie (“interruttori”)

Perché nei computer si utilizza il sistema binario ?

Perché un circuito può avere 2 soli stadi stabili ben definiti aperto o chiuso !



Il valore della combinazione sarà allora :

1011B

1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 8 + 0 + 2 + 1

1011B binario = 11D decimale

Così come per il sistema decimale, possiamo

stabilire di lavorare con un numero prefissato di

cifre

999 tre cifre 99999 cinque cifre 9 una cifra

La singola cifra prende il nome di BIT

(Binary Digit)



Con 4 cifre decimali si conta da 0 a 9999

avendo a disposizione 10000 combinazioni

Con 4 cifre binarie si conta da 0 a 1111 (15D)


Con 8 cifre binarie da 0 a 11111111 (255D)


Con k cifre a disposizione posso rappresentare (10k -1) numeri

Con n cifre a disposizione posso rappresentare (2n -1) numeri


Ripetizione dei simboli

00 0 0 0 0

01 0 0 0 1

02 0 0 1 0

03 0 0 1 1

04 0 1 0 0

05 0 1 0 1

06 0 1 1 0

07 0 1 1 1

08 1 0 0 0

09 1 0 0 1

10 1 0 1 0

11 1 0 1 1

12 1 1 0 0

13 1 1 0 1

14 1 1 1 0

15 1 1 1 1


Codifica esadecimale

0 0 0 0 0

1 0 0 0 1

2 0 0 1 0

3 0 0 1 1

4 0 1 0 0

5 0 1 0 1

6 0 1 1 0

7 0 1 1 1

8 1 0 0 0

9 1 0 0 1

A 1 0 1 0

B 1 0 1 1

C 1 1 0 0

D 1 1 0 1

E 1 1 1 0

F 1 1 1 1

La numerazione esadecimale base 16 (sedici simboli pesati) nasce per la

necessità di associare (rappresentare un numero binario di 4 cifre), con un

unico simbolo pesato, i 6 pesi che hanno valori superiori al 9, dal 10 al 15


Un numero esadecimale è composto da lettere

che assumo i per da 10 a 15 con una sola

cifra e la base diventa di 16 simboli

A3CDH = A*163 + 3*162 + C*161 + D*160 =

= 10*4096 + 3*256 + 12*16 + 13*1

= 40960 + 768 + 72 +13

A3CDH = 41933D


Codifica dei dati – Tipologia dei dati

Numerici

Numeri naturali – interi – razionali - irrazionali

0,1,2,3,4,5,…. ; -5,-4,-3,…,0,1,2,3,4,5,….;

½ ; ¼, 1/8, 1/10 \ 1/3

0,5 ; 0,25 ; 0,125 ; 0,1 ; \ 0,3333…

Non numerici (Alfabetici o Alfanumerici)

A,a,B,b,C,c,…….., 00150,……

Istruzioni

+, -, *, /, carica, deposita , trasferisci,……..


Rappresentazione a numero finito di bit

Nell’utilizzo dei sistemi informatizzati è di

questione fondamentale stabilire il numero di bit

da utilizzare per la rappresentazione dei

numeri.

Tale numero di bit ci permette di stabilire il

massimo \ minimo valore rappresentabile per

evitare le condizioni di

OVERFLOW \ UNDERFLOW


Errori di rappresentazione

Numeri a precisione finita

numero di cifre definito a priori (es. 2)

80 + 23 = 03 ? (103) errore chiusura o overflow)

Associazione nelle operazioni (Proprietà associativa)

70+80-60 = ?

70+(80-60)= 70+20 = 90

(70+80)-60 = 150 - 60 = -10

Errori di arrotondamento / troncamento

È possibile rappresentare esattamente un numero decimale ?

SI - Se la parte decimale è multiplo di frazioni di 2 fino al numero di bit che uso per la rappresentazione binaria multiplo di ½ per 1 bit o ¼ per 2 bit o 1/8 per 3 bit etc…


Rappresentazione dei decimali

I decimali si rappresentano con lo stesso criterio

posizionale con cui rappresentiamo gli interi.

S*102+ S*101+ S*100 +S*10-1 +S*10-2 +S*10-3 (dec)

22 + 21 + 20 + 2-1 + 2-2 + 2-3 + 2-4

4 2 1 ½ ¼ 1/8 1/16…..

………………0,5 0,25 0,125 0,0625 …..

101,1011B = 4 + 1 + 0,5 + 0,125 + 0,0625

5,6875D

Rappresentazione in virgola fissa esempi


Numeri interi

I numeri interi sono l’estensione ai valori negativi dei

numeri naturali

Si rappresentano con il segno – (meno) davanti al

numero.

-14 - 325

Per i numeri espressi in binario scritto su carta non ci

sono problemi è la stesso meccanismo, ma …

(pensiamo al supporto elettronico)

Rappresentazione con bit di segno + = 0 - = 1

Rappresentazione complemento ad 1 (obsoleto)

Rappresentazione complemento a 2


Rappresentazione con bit di segno 1 bit in più

Se usiamo 5 bit , 1 bit per il segno e 4 bit per il numero

0- 10000

-1 10001

-2 10010

-3 10011

-4 10100

-7 10111

……………

-12 11100

……………

0+ 00000

1 00001

2 00010

3 00011

4 00100

7 00111

……………

12 01100

……………

Intervallo [-15, +15]

È poco usata per

l’elevata

complessità della

circuiteria da

realizzare

Doppia

rappresentazione

dello zero



Se usiamo 4 bit , 1 bit per il segno e 3 bit per il numero

Intervallo [-7, +7]

Per cambiare di

segno si

complementa bit a

bit

Doppia

rappresentazione

dello zero

[-2n-1+1, +2n-1-1]

0- 1111

-1 1110

-2 1101

-3 1100

-4 1011

-7 1000

0+ 0000

1 0001

2 0010

3 0011

4 0100

7 0111

Si rappresentano i numeri 2n-2…..21 20

Il complemento si ottiene cambiando

0 in 1 e 1 in 0

0101 complementato 1010



I valori negativi sono ottenuti complementando il valore

positivo e sommando 1

Con 4 bit (1+3)

Intervallo [-8, +7]

UNICA

rappresentazione

dello zero

[-2n-1, +2n-1-1]

-1 1111

-2 1110

-3 1101

-4 1100

-5 1011

-6 1010

-7 1001

-8 1000

0+ 0000

1 0001

2 0010

3 0011

4 0100

5 0101

6 0110

7 0111



Intervallo più esteso di una unità

Intervallo asimmetrico Intervallo [-8, +7]

Il segno è associato alla sola cifra più significativa

Si rappresentano i numeri -2n-1,+2n-2,...... +21, +20

Esempio

complem + 1

6 = 0110 1001 + 0001 = 1010

-6 = 1010

1*(-23)+ 0*(22)+ 1*(21) +0*(20) = -8 + 0 + 2 + 0=-6


Interpretazione grafica

Numeri reali positivi

Negativi segnati Negativi c’1 e c‘2


Operazioni algebriche

Somma

A+B+C+D+E = Risultato

A+B=x x+C=y y+D=z z+E=R

Sottrazione

A-B-C-D=Risulatato A-(B+C+D) = Risultato

B+C=x x+D=y A-y=R

Moltiplicazione

A * B = Risultato

A+A+A+A+A+A….B volte = Risultato

B+B+B+B+B……..A volte = Risultato oppure ….

Divisione

A / B = Risultato …… esempio


Operazione somma

Sommare i due numeri 10111 e 11110 a 5 bit

Le operazioni di somma possono aver bisogno di 1 bit

in più

1 1 1 1 riporti

1 0 1 1 1 +

1 1 1 1 0 =

1 1 0 1 0 1

23 +

30 =

53 (21)

Regole della somma: 0+0 = 0

0+1 = 1

1+0 = 1

1+1 = 1 con riporto di 1


Operazioni-Somma

Le operazioni

matematiche nel

sistema binario si

eseguono con le

identiche modalità

del sistema

decimale

Errore di overflow

su numeri definiti

positivi

173D

101D

274D

274D > 255D OVERFLOW


Operazioni prodotto

Moltiplicare i due numeri 111 e 011 a 3 bit

Le operazioni di prodotto possono aver bisogno di 2n bit

dove n è il numero bit stabiliti per la rappresentazione

1 1 1 *

0 1 1 =

111 1

111 1

0 0 0

1 0 1 0 1

7 *

3 =

21

7 * 7 = 49 3 bit

110001 = 32+16+1 = 49

32.16.8.4.2.1

Risultato 6 bit

Moltiplicare i due numeri

111 e 111 a 3 bit


Sottrazione

Regole della sottrazione: 0 - 0 = 0

1 - 0 = 1

1 - 1 = 0

0 - 1 = 1 con prestito di 1


Operazioni - sottrazione

I numeri naturali non ammettono i negativi

Il minuendo deve essere sempre maggiore del sottraendo

15 – 6 = 9

0 0 0 0 prestiti

1 1 1 1 – 15-

0 1 1 0 6

1 0 0 1 9

13 – 6 = 7

0 1 1 0 prestiti

1 1 0 1 – 13 -

0 1 1 0 6

0 1 1 1 7

6 - 13 = -7

1 0 0 1 0 prestiti

0 1 1 0 – 6 -

1 1 0 1 13

1 1 0 0 1 -7 (25)

Se non ho definito i

numeri negativi il

suo valore è

sbagliato


Esempi di somme

1 1 riporti

0 0 0 1 +

0 0 1 1 =

0 1 0 0

Sommare i numeri lavorando a 4 bit segnati e non

1 1 1 riporti

0 0 1 0 1 +

0 0 1 1 1 =

0 1 1 0 0

La regola è se il risultato ha

segno opposta agli operandi

di egual segno allora se c’è

stato un overflow il risultato

non è corretto.

1 1 0 1 1 rip.

1 1 1 0 1 1 +

1 1 1 0 0 1 =

1 1 0 1 0 0

NS

5 +

7 = S

12 (-4)

S

-5 +

-7 =

-12 (4)

3 bit con overflow

4 bit senza overflow


Sottrazione svolta come somma

A – B = C

La sottrazione prevede

un minuendo A

un sottraendo B

un risultato differenza C

Lo stesso risultato si

ottiene

sommando il minuendo A

al complemento del

sottraendo B alla base

numerica

ed eliminando il riporto

9 – 4 = 5

9 + 6 = 1 5

17 – 8 = 9

17 + 2 = 1 9

6 è il complemento a 10 di 4

2 è il complemento a 10 di 8


Sottrazione

Operazione

da svolgere

decimale

Operazione

svolta in

complemento

con base 10

Operazione

da svolgere

binario

Complemento

a 2 del

sottraendo

Operazione

svolta in

complemento

con base

9 –

6 =

------

3

9 +

4 =

------

13

1001 –

0110 =

----------

0011

1001 +

(1001+1)

01001 +

11010 =

----------

10011

20 –

12 =

------

8

20 +

88 =

------

108

10100 –

01100 =

----------

01000

10100 +

(10011 +1)

1 0 1 0 0 +

1 0 1 0 0 =

----------------

1 0 1 0 0 0

Nella numerazione binaria effettuare il complemento a due equivale a

trasformare gli 1 in 0 e gli 0 in 1 e sommare 1 al risultato

01011 (11) il suo C1s è 10100 + 1 = 10101 (-11)


Numerali

Un numerale è una stringa di cifre (sequenza di simboli) che

può rappresentare un numero solo se viene specificata la

base.

Lo stesso numerale può rappresentare più valori se

considerato scritto su basi numeriche diverse.

101110base

centouno mila centodieci in decimale

Valore decimale se …….

46D se letto come binario naturale

-17D se letto in complemento a 1

-18D se letto in complemento a 2

33352D se letto in ottale

1052944D se letto in esadecimale


Conversioni tra basi numeriche diverse

La conversione tra basi numeriche diverse si può eseguire

utilizzando la formula standard già vista in precedenza:

Indicando con S il simbolo della base di origine e con B valore

nella base di destinazione:

Sn-1 Sn-2.. S2 S1 S0 = Bn-1 x Bn-1 + Bn-2 x Bn-2 +..+ B1 x B1 + B0 x B0

568D = 101 x 101010 + 110 x 10101 + 1000 x 10100

568D = 101 x 1100100 + 110 x 1010 + 1000 x 1

568D = 1000111000 (10D bit)

568D = 111110100 + 111100 + 1000



Osserviamo la relazione

Bn-1 x Bn-1 + Bn-2 x Bn-2 +..+ B1 x B1 + B0 x B0

Bn-1 x Bn-1 + Bn-2 x Bn-2 +..+ B1 x B1 + B0 x 1

B

B B xB .. B xB B xB 01

12-n

2-n1-n

1-n

B

B B .. B xB B xB 0

13-n

2-n2-n

1-n

r esto i l è B dove B .. B xB B xB 013-n

2-n2-n

1-n



Esempio:

573D da convertire in binario

valore quoziente resto

573 286,5 1 Cifra meno significativa

286 143 0

143 71,5 1

71 35,5 1

35 17,5 1

17 8,5 1

8 4 0

4 2 0

2 1 0

1 0,5 1 Cifra più significativa


Rappresentazione in virgola mobile

Risulta molto spesso più agevole rappresentare i numeri in

formato diverso (normalizzato) la virgola viene spostata

fintantoché la cifra delle unità è 0 mentre la prima cifra decimale è

la cifra più significativa del numero, il tutto moltiplicato per una

potenza di 10 elevata al numero di passi di cui si è spostata la

virgola positiva quando si sposta verso sinistra, negativa quando

si sposta verso destra

-1.678.928D 0,00000762342D

- 0,1678928D x 107D

0,762342D x 10-5D

segno negativo segno positivo

1678928 mantissa 762342 mantissa

7 esponente positivo -5 esponente negativo


Rappresentazione in virgola mobile

Lo stesso vale per la numerazione binaria tutti i numeri sono

espressi in base 2

- 10011,01B 0,000101011B

- 0,1001101B x 10B101 (5) 0,101011B x 10B

1001 (-3)

Complemento a 2 1,0110011B 0,101011B

1 segno - 0 segno +

0110011B mantissa 101011B mantissa

101 (5) esponente base 2 1001 (-3) esponente negativo


Numero di bit per le rappresentazioni

Numeri in precisione singola 32 bit

23 per la mantissa il primo con segno

8 per l’esponente di cui il primo è il segno

Si rappresentano i numeri tra

-1038 e -10-38 10-38 e 1038

0 22 bit mantissa 0 7 bit esponente

0 segno 8 bit esponente 22 bit mantissa

Modello ISO (internationl Organization for Standardization)

OSI (Open System Interconnection protocols) e standard IEEE 754


Numero di bit per le rappresentazioni

Numeri in doppia precisione 64 bit


11 per l’esponente

Si rappres. i numeri tra -10308 e -10-308 10-308 e 10308

Numeri in quadrupla precisione 128 bit


15 per l’esponente


esempio

52,6975 0,526875 x 10D2

110100,1011 x 10B0 convertito in binario

shift della virgola calcolo dell’esponente 0,1101001011 x 10B

0110 26 = 64

riconversione in decimale

0,8232422D x 64D = 52,6975

0 11010010110000000 0 0000110

S mantissa S Esponente


Esempio di somma in virgola mobile

Supponiamo di voler sommare i valori 5,5 e 2,625 = 8,125

5,5 2,625

101,1 * 20

4+0+1+0,5

10,101*20

2+0+0,5+0+0,125

0,1011 * 23 0,10101*22

0,1011 * 23 0,010101*23

Risultato binario 1,000001*23

Risultato 0,5078125 * 16 = 8,125

0,1000001*24

2-1 + 2-7 _

(0,5 + 0,0078125)*16

A sei bit di mantissa

0,5 *16= 8

0,100000*24

(0,5)*16

0,101100

0,010101

1,000001

somma


Moltiplicare o dividere per la base

In base 10 moltiplicare per 10 equivale ad effettuare lo spostamento di tutte le

cifre di una posizione verso sinistra mentre dividere equivale a uno

spostamento verso destra

base 10 con 5 cifre

cifra 4 cifra 3 cifra 2 cifra 1 cifra 0

0 4 7 2 3

4 7 2 3 0 x 10

0 4 7 2 3 / 10

7 2 3 0 0 x 100 Errore Overflow

0 0 7 2 3 / 100

base 2 con 5 cifre

0 1 0 1 1

1 0 1 1 0 x 2

0 1 0 1 1 / 2

0 1 1 0 0 x 4 Errore Overflow

0 0 0 1 1 / 4

In base 2 vale la stessa regola quando si moltiplica o divide per potenze di 2

Università degli Studi di Roma – Tor Vergata

Facoltà di Ingegneria – Corso di Laurea in Ingegneria Medica

Fine Lezione 3

SISTEMI DI NUMERAZIONE -...

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