I serbatoi cilindrici Gli effetti delle variazioni...

Gianni Bartoli/Claudio Mannini/Carlo Guastini – Appunti di Tecnica delle Costruzioni (2) Revisione – 28/05/12

Lezione n. 7

I serbatoi cilindrici Gli effetti delle variazioni termiche

Le sollecitazioni derivanti da variazioni termiche sono spesso non trascurabili e possono rappresen-

tare una delle grandezze determinanti nel dimensionamento dei serbatoi cilindrici. Questo è dovuto

alla intrinseca “iperstaticità interna” di tali strutture, causata dal grado di vincolo offerto dai paralle-li nei confronti della libera deformazione delle strisce meridiane. Il comportamento bidimensionale,

inoltre, fa nascere un livello di sollecitazione abbastanza complesso, il cui studio richiede una certa

attenzione e conduce ad alcune osservazioni di carattere generale particolarmente interessanti. Inol-

tre, è utile ricordare che le variazioni termiche sono coazioni, cosicché si perde il legame diretto fra

deformazioni e sollecitazioni che abbiamo visto fino ad ora per i carichi veri e propri. Infatti, come

succede per le travi, è possibile avere casi limite di deformazioni in assenza di tensioni e viceversa.

Nel seguito si quantificheranno le sollecitazioni che nascono in un serbatoio, ancora supposto di

lunghezza infinita, a causa della presenza di variazioni termiche costanti o variabili linearmente

lungo lo spessore.

Variazioni termiche uniformi

Nel caso di una variazione termica ΔT uniforme lungo lo sviluppo del serbatoio, è utile analizzare

dapprima il caso di un serbatoio privo di vincoli ai bordi.

In questo caso, l’applicazione di ΔT (supposta positiva) conduce contemporaneamente ad una va-

riazione della lunghezza delle strisce parallele e di quelle meridiane, che tendono entrambe ad al-

lungarsi. Il problema è ancora assial-simmetrico e, in assenza di vincoli, si può osservare che le ten-

denza all’allungamento dei paralleli non è ostacolata dalla presenza delle strisce meridiane, che ten-

dono a mantenersi rettilinee; analogamente, l’allungamento delle strisce meridiane non ha ripercus-

sioni sulle strisce parallele, che possono mantenersi indeformate. Il problema, in questo caso, può

essere quindi studiato indipendentemente nelle due direzioni.

Indicato con αT il coefficiente di dilatazione termica (ossia il parametro che definisce la deforma-

zione indotta da una variazione termica unitaria, misurato in °C-1

), le strisce meridiane, inizialmente

di lunghezza h, subiscono l’allungamento

Th T h

che non risulta ostacolato nemmeno dalla presenza di eventuali vincoli; infatti, questi ultimi si svi-

luppano di solito soltanto lungo uno dei bordi dei serbatoio, che pertanto è libero di allungarsi in

misura via via crescente man mano che ci si allontana dal vincolo. In direzione meridiana, quindi,

siamo in presenza di uno stato deformativo che non induce sollecitazioni nella struttura.

Lungo i paralleli l’effetto della variazione termica uniforme si esplica in un allungamento delle fibre

in direzione circonferenziale; infatti i paralleli, di lunghezza iniziale

pL 2 R

subiscono una variazione di lunghezza pari a

p T p TL T L T 2 R

e quindi, in configurazione deformata, è come se il parallelo avesse subito un allungamento ΔR del

raggio di entità

Lezione n. 7 – pag. VII.2


p TT

L T 2 RR T R

2 2

(*)

Tale allungamento corrisponde ad uno spostamento w in direzione radiale di uguale modulo.

Anche in questo caso, si è in presenza di una deformazione senza che nascano sollecitazioni inter-

namente al serbatoio.

Complessivamente, quindi, nel caso di un serbatoio in assenza di vincoli, la variazione termica si

potrebbe esplicare liberamente, senza l’insorgere di caratteristiche di sollecitazione nella struttura.

Nel caso in cui fossero presenti dei vincoli (supposti agenti lungo il bordo corrispondente a x=0),

invece, l’eventuale ostacolo al campo di deformazioni e spostamenti appena descritto fa nascere nel

serbatoio uno stato di sollecitazione.

Analizziamo, a titolo di esempio, la situazione in cui in x=0 sia disposto un vincolo di incastro. La

soluzione appena trovata, ossia quella di serbatoio in assenza di vincoli, corrisponde all’integrale

particolare della soluzione in termini di spostamento; si ha cioè

part Tw (x) T R

La soluzione complessiva,

x x

part Tw x w x C e sin x T R C e sin x

deve soddisfare le condizioni al contorno

0 x 0

0 x 0

w w x 0

w ' x 0

da cui si ottiene il seguente sistema nelle due incognite C e ψ

x

T x 0

x

x 0

T R C e sin x 0

2 C e sin x 04

T T R C sin 0

2 C sin 04

Dalla seconda, non potendo essere C=0 (che soddisferebbe la prima solo nel caso ∆T=0, ovvero in

assenza di variazione termica), si ottiene ψ = π/4, e quindi, sostituendo nella prima, si ha

T TT R C sin 0 C 2 T R4

e quindi la soluzione vale

x x

T T Tw x T R 2 T R e sin x T R 1 2 e sin x4 4

Nel serbatoio incastrato, a causa di una variazione termica uniforme, nascono quindi le sollecitazio-

ni

x

p om T

E s E sn x w x T R 2 e sin x

R R 4

2 x

m om Tm x B w x T R 2 2 B e sin x4

(*)

È immediato osservare che l’allungamento del raggio corrisponde all’allungamento di un elemento lineare di lun-

ghezza R, sottoposto alla variazione termica ΔT; in altre parole, la deformazione corrisponde a quella che si otter-

rebbe se si supponesse di “riscaldare” nella stessa maniera un ipotetico segmento rappresentante il raggio.



3 x

m om Tt x B w x T R 4 B e sin x2

p mm x m x

Occorre osservare che le caratteristiche della sollecitazione sono legate alla sola componente di

spostamento radiale indotta dalla presenza dei vincoli (ossia alla parte omogenea della soluzione) e

non al valore dello spostamento complessivo w(x). Bisogna infatti ricordarsi che, in assenza di vin-

coli esterni, non nascerebbero sollecitazioni e quindi alla componente wpart(x) non può essere impu-

tata alcuna azione interna nel serbatoio. Inoltre, è utile sottolineare come nella parte inferiore del

serbatoio, per variazioni termiche positive, nascano sollecitazioni di compressione lungo i paralleli,

che si oppongono, comprimendosi, alla naturale tendenza del serbatoio ad allargarsi.

Le caratteristiche di sollecitazione mostrano alcune proprietà sulle quali vale la pena di soffermarsi.

A titolo di esempio, si può analizzare la sollecitazione flessionale indotta in direzione meridiana

dalla variazione termica. Il valore della sollecitazione flettente all’incastro vale:

2 2

m T T

2m 0 T R 2 2 B 2 B T R

2

Si noterà come l’espressione del momento flettente di meridiano che abbiamo ottenuto è data dal

prodotto fra la rigidezza k21 del bordo del serbatoio e l’opposto dello spostamento radiale che la va-

riazione termica avrebbe prodotto in assenza di vincoli. Si tratta infatti della distribuzione di coppie

che, insieme ad una distribuzione di forze radiali (taglio di meridiano), sono in grado di annullare lo

spostamento e la rotazione del bordo, ristabilendo la compatibilità con il vincolo.

Ricordando poi le definizioni di B e α

3

2

E sB

12 1

24 3 1

R s

si ottiene

23

2

m T T 2

3 1E sm 0 2 T R B 2 T R

R s12 1

ossia

2

m T2

1 3m 0 T E s

6 1

Si può quindi osservare che:

i valori della sollecitazione dipendono, come nel caso delle travi, dal prodotto αT·ΔT·E, quindi sono tanto maggiori quanto più è rigido il materiale costituente il serbatoio;

il valore della sollecitazione è indipendente dalle dimensioni globali del serbatoio (h ed R) ma dipende dal quadrato dello spessore s: di conseguenza, ogni eventuale irrigidimento della sezione

(operando, ad esempio, attraverso l’aumento dello spessore s) risulta del tutto inutile se non addi-

rittura nocivo;



Andamento delle deformazioni e delle sollecitazioni in un serbatoio di raggio 5 m e spessore 20 cm,

incastrato alla base, soggetto ad una variazione termica uniforme di 20° C (altri dati: E = 30000

MPa, ν = 0, αT = 1.0·10-5

°C-1

; h = λ). La linea tratteggiata nel primo grafico rappresenta lo

spostamento in assenza di vincolo. Le unità di misura dei grafici sono m, rad, N/m e Nm/m,

rispettivamente per w(x), (x), np(x) e t(x), m(x).

se la sezione fosse interamente reagente, si otterrebbe il seguente valore della tensione massima

(coincidente in valore assoluto con quello della tensione minima)

m m

max T2 2

m 0 m 0 3T E

1 sW 1

6



che risulta indipendente dalle dimensioni del serbatoio (ogni variazione geometrica del serbatoio

non induce variazioni nello stato tensionale). La stessa osservazione vale per tutte le sollecita-

zioni: ad esempio, lo sforzo normale nel parallelo induce una tensione che all’incastro vale

(sempre nel caso di materiale reagente sia a compressione che a trazione)

p p

T

n 0 n 0T E

A 1 s

L’entità delle sollecitazioni derivanti dalle variazioni termiche è spesso molto importante; a titolo di

esempio, per un serbatoio di spessore 20 cm e raggio 5 m, 20° C di variazione termica producono

all’incastro lo stesso momento che si avrebbe per una spinta idrostatica di una colonna d’acqua di

altezza pari a circa 5.55 m. Di conseguenza, in alcuni casi, non essendo possibile assorbire tali mo-

menti attraverso un incremento dello spessore del serbatoio, è necessario ricorrere ad una precom-

pressione della struttura per contrastare l’effetto di tali sollecitazioni.

Variazioni termiche a farfalla

L’analisi di un serbatoio sottoposto all’azione di una variazione termica ±ΔT a farfalla (supposta

positiva all’esterno e negativa all’interno), procede individuando dapprima una situazione limite,

che risulterà utile nel seguito.

Supponiamo che tale variazione termica agisca su un serbatoio di lunghezza illimitata. In tale con-

dizione ideale, siamo al cospetto di un problema che presenta infiniti piani di simmetria (analogo al

caso della lastra di lunghezza infinita in una direzione), per cui si può affermare che ogni parallelo

subisce la stessa deformazione (non si possono avere differenze di deformazione lungo lo sviluppo

delle strisce meridiane) e che quindi le strisce meridiane devono rimanere indeformate (se si inflet-

tessero, i paralleli non presenterebbero tutti lo stesso stato deformativo).

Inoltre, poiché la superficie media del serbatoio non può deformarsi (su di essa la variazione termi-

ca è nulla), si può affermare che il serbatoio di lunghezza infinita rimane indeformato sotto l’azione

della variazione termica a farfalla. Siamo quindi in presenza di un caso duale rispetto a quello visto

in precedenza (serbatoio non vincolato sottoposto ad una variazione termica uniforme): la variazio-

ne termica a farfalla non induce deformazioni né spostamenti, per cui la coazione rappresentata dal-

la variazione termica devono essere assorbite da sollecitazioni interne in grado di annullare la de-

formazione impressa.

Se si suppone di fare agire tale variazione termica soltanto in direzione dei paralleli, supponendo gli

stessi come indipendenti l’uno dall’altro (ossia prescindendo dalla presenza delle strisce meridiane,

il che equivale a svincolare i paralleli), alla curvatura termica, espressa da

T TT

2 2 T

s s

si deve opporre internamente la presenza di un momento flettente di parallelo mp,I, in grado di pro-

vocare una curvatura uguale ed opposta

23TT

p,I T

T E s2 Ts 1m EJ ' E

12 s 6

dove si è considerato, al solito, un elemento di altezza unitaria. Trasversalmente, la sezione

dell’elemento tenderebbe ad incurvarsi di una quantità proporzionale al momento mp,I moltiplicato

per il fattore ν. Tuttavia, poiché le strisce meridiane devono mantenersi rettilinee, tale curvatura è

annullata dalla presenza di un momento di meridiano pari a

2

T

m,I p,I

T E sm m

6

I momenti mp,I ed mm,I appena ricavati sono costanti lungo lo sviluppo del serbatoio.

Analogamente, considerando invece le strisce meridiane separate una dall’altra (prescindendo cioè

dalla presenza dei paralleli, il che equivale a svincolare i meridiani), la variazione termica fa nasce-

re (dato che le strisce meridiane devono complessivamente risultare indeformate) un momento flet-



tente di meridiano mm,II, che si oppone a tale curvatura e che, su elementi di altezza unitaria, assume

il valore

23TT

m,II T

T E s2 Ts 1m EJ ' E

12 s 6

Tale momento, a causa della presenza del coefficiente di Poisson, indurrebbe una curvatura nei pa-

ralleli, che deve però necessariamente essere nulla (i paralleli devono complessivamente rimanere

indeformati); nasce quindi un momento nelle strisce di parallelo pari a

2

T

p,II m,II

T E sm m

6

Anche in questo caso, entrambi i momenti mm,II ed mp,II sono costanti lungo lo sviluppo del serba-

toio.

Sommando i due contributi appena trovati, si ricava

2

T

m m,I m,II p

T E sm m m 1 m

6

Quindi, nel serbatoio di lunghezza infinita, l’assenza di deformazioni induce la presenza di momenti

flettenti di meridiano e di parallelo costanti lungo lo sviluppo della struttura e tra loro uguali(**)(+)

. Il

classico regime tensionale dei serbatoi, che vede i paralleli soggetti prevalentemente a sforzo nor-

male ed i meridiani sostanzialmente inflessi, viene quindi notevolmente alterato dalla possibile pre-

senza di una variazione termica a farfalla.

La situazione “ideale” appena descritta, alla luce dei risultati ottenuti, è equivalente a quella di un

serbatoio di lunghezza finita con entrambi i bordi incastrati; anche in questo caso, infatti, si avrebbe

l’assenza di deformazione accompagnata dalle stesse sollecitazioni viste in precedenza. In altri ter-

mini, la lunghezza infinita del serbatoio equivale ad un vincolo che impedisce la rotazione di una

qualsiasi porzione del cilindro delimitata da piani ortogonali alle direttrici.

A questo punto, è possibile affrontare lo studio di un serbatoio di lunghezza finita, comunque vinco-

lato alla base. Ad esempio, nel caso di un serbatoio incastrato alla base (sezione corrispondente a

x = 0) e libero all’estremità superiore (x = h), si può risalire alla soluzione osservando come questa

possa essere vista come somma dei seguenti sistemi:

(**)

È bene osservare che questa rappresenta una delle poche situazioni in cui i momenti flettenti di parallelo e di meri-

diano non sono tra loro collegati dalla consueta relazione mp = ν·mm. Inoltre, il segno del momento flettente è rife-

rito al segno della variazione termica agente all’esterno del serbatoio: in altre parole, si hanno momenti positivi (che

tendono l’interno del serbatoio) se la variazione termica è positiva all’esterno del serbatoio e negativa al suo interno.

(+) La situazione è la stessa in tutti i continui bidimensionali dotati di simmetria centrale ed incastrati ai bordi; ad esem-

pio, una lastra quadrata incastrata lungo il perimetro e soggetta all’azione di una variazione termica a farfalla, rima-

ne indeformata e al suo interno nascono momenti flettenti uguali a quelli appena visti; nel caso di una cupola di rivo-

luzione incastrata lungo il bordo, la variazione termica a farfalla induce momenti di meridiano e parallelo la cui enti-

tà è ancora offerta dall’espressione precedente.

= + + R

h +ΔT -ΔT

+ΔT -ΔT

m t

(I) (II1)

R R R

(II2)



Il primo sistema (I), corrisponde a quello appena descritto, in cui si siano applicati vincoli ausiliari

nella sezione x = h per impedire la rotazione e la traslazione del bordo libero del serbatoio; i casi

(II1) e (II2) corrispondono, nell’ottica del metodo dell’equilibrio, ai sistemi nei quali si applicano,

cambiate di segno, le reazioni offerte nella condizione (I) dalla presenza del vincolo di incastro in

x = h. È evidente che, nel caso in esame, l’incastro dà luogo soltanto ad un momento m di entità pa-

ri a quella ricavata in precedenza, mentre la reazione orizzontale t è nulla; di conseguenza, per la

particolare condizione di carico offerta dalla variazione termica a farfalla, la soluzione si riconduce

alla somma dei soli sistemi (I) e (II1). Inoltre, ricordando la procedura per il calcolo dei coefficienti

elastici di bordo, il caso (II1) è facilmente riconducibile ad una delle soluzioni già note, purché si

consideri un’ascissa verticale x', definita da x' = h ‒ x.

Anche in questo caso, oltre a quelle già viste per le variazioni termiche uniformi, si possono fare al-

cune osservazioni. Il regime flessionale uniforme è alterato soltanto per una porzione abbastanza

limitata della parte superiore del cilindro (al massimo pari alla lunghezza d’onda λ), dove i momenti

flettenti di meridiano tendono ad assumere valori via via inferiori, mentre lo stesso non accade per i

momenti di parallelo (che, se ν fosse nullo, rimarrebbero costanti anche nell’ultima parte).

Quest’ultimi, infatti, in corrispondenza del bordo libero raggiungono il valore:

2

T 2

p

T E sm m m 1

6

in quanto, ovviamente, per il sistema (II1) ritorna ad essere valida la relazione mp = ν∙mm.

Sempre nella parte terminale, la presenza di spostamenti radiali (verso il centro del serbatoio, se la

variazione termica è positiva all’esterno del serbatoio) comporta l’insorgere, lungo i paralleli, di

sforzi normali di compressione che possono essere anche abbastanza elevati.

Come sempre, è utile ricordare che qualunque variazione termica lineare tra interno ed esterno del

serbatoio può essere vista come la sovrapposizione di una variazione termica uniforme ed una a far-

falla.




incastrato alla base, soggetto ad una variazione termica a farfalla di ±20°C, positiva all’esterno

del serbatoio (altri dati: E = 30000 MPa, ν = 0.2, αT = 1.0·10-5

°C-1

; h = λ). La linea tratteggiata

nel secondo grafico rappresenta il valore del momento flettente in condizioni di vincolo di doppio

incastro. Le unità di misura dei grafici sono m, rad, N/m e Nm/m, rispettivamente per w(x), (x), np(x) e t(x), m(x).



Variazioni termiche non uniformi lungo l’altezza del serbatoio

È possibile che la variazione termica, sia essa uniforme sullo spessore o a farfalla, non si sviluppi in

maniera uniforme lungo l’altezza del cilindro, pur mantenendosi costante lungo i singoli paralleli

(in modo da mantenere l’assial-simmetria del problema). Questo è il caso, ad esempio, dei serbatoi

parzialmente interrati, nei quali le differenze di temperatura nella parte fuori terra possono essere

sensibilmente diverse da quelle subite dalle parti entro terra.

In generale, il problema può essere risolto facendo ricorso al metodo dell’equilibrio. Con riferimen-

to alla figura seguente, che mostra il caso di un serbatoio incastrato soggetto ad una distribuzione

arbitraria di variazioni termiche variabili lungo l’altezza ma uniformi sullo spessore, si può dappri-

ma inserire una distribuzione continua di vincoli ausiliari, in grado di impedire la traslazione in di-

rezione radiale lungo tutto lo sviluppo del serbatoio. In questa condizione (fase I), i singoli paralleli

non possono allargarsi e, in corrispondenza di ognuno di essi, nasce la reazione vincolare necessaria

ad impedire tale allargamento, di valore

T T2

E s E sp(x) T(x) R T(x)

R R

(++)

In questa fase, i paralleli risultano soggetti ad uno sforzo normale pari a

p,I Tn (x) p(x) R T(x) E s

di compressione se la variazione termica è positiva. Nella fase II si rimuovono i vincoli ausiliari e si

applicano le corrispettive reazioni cambiate di segno: lo stato di sollecitazione finale del serbatoio

coincide con la somma di quelli ricavati nelle due fasi.

Per rendersi conto della validità di tale approccio, si provi a particolarizzarlo nel caso di una varia-

zione termica uniforme. In questo caso si ha

T

E sp(x) T

R

a cui corrisponde lo spostamento (in fase II) offerto dalla soluzione dell’equazione differenziale

(IV)

2

p xE sw x w x

BB R

ossia dalla somma dell’integrale particolare

2 2

part T T

R E s Rw x p x T T R

E s R E s

e dell’integrale dell’equazione omogenea associata

xsineCxw xom

Quindi, si ha:

(++)

Si ricordi il ragionamento con il quale si è giunti a caratterizzare l’azione dello sforzo normale di parallelo come

equivalente ad una distribuzione di pressioni costanti lungo i paralleli stessi.

= + ΔT(x)

(I) (II)

x

0

x

0

x

0

-p(x)

(II2) p(x)

(II2)



x

part om Tw x w x w x T R C e sin x

ovviamente uguale al risultato ricavato in precedenza. Così operando, è facile rendersi inoltre conto

del fatto che lo sforzo normale (che è l’unica caratteristica di sollecitazione non nulla nella fase I, in

condizioni di traslazione radiale impedita) non è più direttamente collegato al valore dello sposta-

mento finale in direzione radiale del serbatoio. Questo risultato è tipico delle coazioni, quali appun-

to le variazioni termiche.

In alcuni casi si può ricavare la soluzione utilizzando i coefficienti elastici di bordo. Per esempio,

attraverso questi ultimi si può analizzare il caso riportato in figura, nel quale una variazione termica

uniforme sullo spessore agisce soltanto nella parte superiore del serbatoio (di altezza h1); per sem-

plicità di trattazione, si supponga che sia h1 che h2 risultino maggiori della lunghezza d’onda λ del

serbatoio(o)

.

Si può procedere suddividendo il serbatoio in due parti, in corrispondenza della discontinuità nella

distribuzione delle variazioni termiche, evidenziando le azioni interne m e t (incognite), che le due

parti si scambiano, e gli spostamenti w e φ in corrispondenza del contatto tra le due parti. I segni

delle sollecitazioni e degli spostamenti sono stati arbitrariamente assunti come tutti positivi per la

porzione superiore del serbatoio. Ognuna delle due parti può essere analizzata facendo ricorso ai

coefficienti elastici di bordo.

(o)

Per quanto riportato in precedenza, questo caso è di fatto equivalente a quello di un serbatoio sul quale agisca una

distribuzione uniforme di pressioni applicata soltanto su una parte dello sviluppo del cilindro.

R

+ΔT h1

h2

+ΔT m

t

t t

t

m

m

m

w

w

w

w

φ φ

φ φ

x1

x2

h1

h2

h1

h2

+ΔT

+ΔT +ΔT

=



Operando nell’ottica del metodo della congruenza, per la parte superiore si ha(oo)

:

T h m

h m

w w t w m w

t m

dove si è fatto uso del fatto, già appurato precedentemente, che la variazione termica uniforme non

induce rotazioni in x1 = 0 (e nemmeno nelle altre sezioni del serbatoio); il termine wΔT corrisponde

allo spostamento indotto dalla variazione termica in assenza di vincoli

T part Tx 0w w x T R

Per la parte inferiore, invece, si ottiene:

h m

h m

w t w m w

t m

dove i segni negativi sono dovuti al fatto che l’azione t (per equilibrio, di verso opposto rispetto a

quello individuato nel serbatoio superiore) è negativa rispetto alle usuali convenzioni adottate, così

come la rotazione (antioraria, per congruenza con la deformazione della parte superiore).

Uguagliando i valori degli spostamenti nelle due porzioni di serbatoio, si ottiene il sistema

T h m h m

h m h m

w t w m w t w m w

t m t m

da cui si deriva che

3 3T TT

h

w T Rt 2 B T R B

2 w 2

m 0

A questo punto, essendo noti i valori delle sollecitazioni alla base del serbatoio superiore ed alla

sommità del serbatoio inferiore, utilizzando le soluzioni ricavate per la determinazione dei coeffi-

cienti elastici di bordo (facendo attenzione alle convenzioni sui segni per la parte inferiore), è possi-

bile ricostruire l’andamento delle deformazioni e delle caratteristiche di sollecitazione lungo il ser-

batoio.

È importante notare che può succedere (nel caso di coazioni) che alcune delle caratteristiche di sol-

lecitazione risultino discontinue lungo lo sviluppo del serbatoio, anche se non ci sono azioni esterne

applicate in tali sezioni; nel caso esaminato, questo avviene per lo sforzo normale di parallelo, che

mostra un salto in corrispondenza della sezione in cui si ha la discontinuità della variazione termica

applicata. Questa circostanza è dovuta al fatto che le due parti, se scollegate, tenderebbero a defor-

marsi in maniera diversa, e questo in assenza di sforzi normali. Per ripristinare la congruenza dello

spostamento in direzione radiale, occorre che, nel caso specifico, la parte superiore tenda a restrin-

gersi (sotto l’azione di uno sforzo np evidentemente negativo) mentre quella inferiore tenda ad al-

largarsi; il fatto che la rigidezza sia stata assunta uguale per le due parti fa sì che lo spostamento fi-

nale della sezione in cui la variazione termica si annulla sia uguale alla metà di quello che si avreb-

be se le due parti fossero libere di deformarsi indipendentemente l’una dall’altra. Inoltre, il salto

nello sforzo normale è pari al valore dell’azione che corrisponde all’annullamento della discontinui-

tà dello spostamento, ossia

(oo)

Occorre prestare attenzione al fatto che se, come si è supposto, h1 > λ, la condizione di vincolo di incastro alla

estremità inferiore del serbatoio non interviene nelle equazioni appena scritte per la parte superiore; in altre parole,

la soluzione sarebbe la stessa, qualunque fossero le condizioni di vincolo della parte inferiore del serbatoio. Questo è

dovuto al fatto che gli effetti di eventuali reazioni vincolari risulterebbero praticamente del tutto smorzati ad una di-

stanza dal vincolo maggiore o uguale a λ; lo stato deformativo alla sommità del serbatoio non risulta quindi influen-

zato dalle reazioni vincolari alla base.



p T T T

E s E sn w T R T E s

R R


incastrato alla base, soggetto ad una variazione termica uniforme di 20° C nella sola parte

superiore (altri dati: E = 30000 MPa, ν = 0, αT = 1.0·10-5

°C-1

; h1 = h2 = λ). Le linee tratteggiate

nel primo grafico rappresentano gli spostamenti che si avrebbero nelle due parti se queste fossero

separate tra loro. Le unità di misura dei grafici sono m, rad, N/m e Nm/m, rispettivamente per w(x),

(x), np(x) e t(x), m(x).



Alcune osservazioni sulle variazioni termiche nelle strutture in c.a.

Lo stato tensionale che può nascere in una struttura iperstatica a causa della presenza di variazioni

termiche può, in molti casi, risultare estremamente gravoso, in maniera particolare nei serbatoi ci-

lindrici appena analizzati. Nel caso di strutture in c.a., tuttavia, gli effetti riscontrati sono normal-

mente più modesti di quelli che l’applicazione della teoria dell’elasticità, vista finora, lascerebbe

supporre.

Questo è dovuto al fatto che la struttura tende in qualche modo ad attenuare la propria rigidezza, sia

per la presenza di eventuali trazioni in grado di produrre uno stato fessurativo, sia perché eventuali

fenomeni di plasticizzazione localizzati, in zone fortemente compresse, possono anch’essi essere in-

terpretati come riduzioni locali di rigidezza.

Inoltre, nel caso di variazioni termiche stagionali, l’azione si esplica in tempi estremamente lenti,

per cui si può pensare che anche la viscosità del calcestruzzo possa giocare un ruolo importante.

Di conseguenza, nel calcolo delle sollecitazioni indotte da variazioni termiche in strutture in c.a., si

fa spesso ricorso ad analisi basate sull’elasticità lineare ma utilizzando un modulo di elasticità ridot-

to (Erid) rispetto a quello tangente di un fattore pari a circa 2÷3:

0rid

EE

2 3

Naturalmente, per tutte le sollecitazioni non derivanti da variazioni termiche, si continuerà a fare ri-

ferimento al modulo elastico tangente. Tuttavia, nei programmi di calcolo automatico delle strutture

risulta spesso impossibile introdurre valori diversi del modulo elastico in funzione delle varie con-

dizioni di carico analizzate. Giova quindi osservare come in tutti i fenomeni collegati alle variazioni

termiche, le sollecitazioni risultino sempre proporzionali al termine T T E :

Tsollecitazioni T E

Di conseguenza, un abbattimento del modulo elastico può essere introdotto attraverso una equiva-

lente riduzione del coefficiente di dilatazione termica o del valore della variazione termica agente

sulla struttura.

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