L. Cedolin - Appunti Di Lezione Su Gusci Cilindrici e Sferici - Cap. 1

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l ) Corso di Tecnica delle Costruzioni 2 A.A. 2006-0f Prof. Luigi Cedolin Appunti di lezione su GUSCI CILINDRICI E SFERICI con Ia collaborazione di Alessandro Rossi e Giorgio Zani I s.r .. Viale Romagna. 39- 20133 MILANO Tel. 022363503 - Fax 0270637056 e-mail [email protected] BIBLIOGRAFIA Odone Belluzzi, Scienza delle Costruzioni, Vol.3, ed. Zanichelli, 1978 Stephen P. Timoshenko, Theory of Plates and Shells, ed. McGraw-Hill, 1959 David P. Billington, Thin Shell Concrete Structures, ed. McGraw Hill, 1982 Am in Ghali, Circular Storage Tanks and Silos, ed. E & FN Spon, 2000

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A.A. 2006-0f

Prof. Luigi Cedolin

Appunti di lezione su

GUSCI CILINDRICI E SFERICI

con Ia collaborazione di Alessandro Rossi e Giorgio Zani

'"""'""''?'""'"'~""I"' I 'i,J.J~ ~;,n~·.H4. \.~L:.&r.:.~::iAE-~ s.r .. Viale Romagna. 39- 20133 MILANO Tel. 022363503 - Fax 0270637056

e-mail [email protected]

BIBLIOGRAFIA

Odone Belluzzi, Scienza delle Costruzioni, Vol.3, ed. Zanichelli, 1978

Stephen P. Timoshenko, Theory of Plates and Shells, ed. McGraw-Hill, 1959

David P. Billington, Thin Shell Concrete Structures, ed. McGraw Hill, 1982

Am in Ghali, Circular Storage Tanks and Silos, ed. E & FN Spon, 2000

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Capitolo 1

Gusci cilindrici circolari

l.Gusci cilindrici circolari

Consideriamo (Fig. 1.1 a) un guscio cilindrico di (Qkco!())_"~s()!_t:_Jl. e. raggio della superficie media r. In ciascun punto "a" della superficie media assumiamo_ un _ass_(:) __ E_ ~~~lelo-al['!sse_4el_<:ili'!d.!"()) e_ )..l.n a.ngolo 9'. (a partire da tm piano diametrale fisso) come coordinate che individuano Ia posizione diun punto generico della superficie media stessa (Fig. 1.1 b). Sempre in ciascun pun to "a" della superficie media assumiamo un sistema di riferimento costituito da un asse y normale a x e ap]Jatienente al piano tangente e un asse z

~Jlormak a!_ piano tangente e diretto verso ~i;intei.:nudel_c_i]{~"&Q-:--- --- - . - .. - . ·- . -··-- -- . . .. ,

1.1 Caso assialsimmetrico

Si potrebbe ora procedere come si e fatto perle piastre, partendo dall'analisi dello stato di spostamento secondo I' ipotesi di Love - Kirchhoff. La presenza di una curvatura iniziale della superficie media, tuttavia, pmterebbe a formu!azioni pit! complesse di quelle delle piastre, che possono peraltro essere reperite nei testi di riferimento citati. Siccome lo scopo di questi appunti e quello di giungere all' analisi del regime tensionale nelle struttme assialsinnnetriche (utilizzate nell'ingegneria civile come serbatoi), utilizzeremo invece l'analogia del compmtamento flessionale di questa tipo di guscio con quello gia studiato della piastra in flessione cilindrica.

Come abbiamo fatto per le piastre (in cui avevamo per primo studiato il caso della flessione cilindrica) consideriamo qui il caso patticolare di un guscio (libero di defmmarsi aile estremita in direzione assiale) sogg~!!.o_a Ull(;ar-ic()assialsirrnnetJ)so (;()Sti(Uit()_cla_lll1apressi()f1~-p = p_(x), _indigende!lt()_cio~_d_<~p_ (Fig. 1.1 b). Gli spostamenti _ w dir!_l!Li>\!..S21l5)()__z, (Fig. 1.1 b) sararmo evidentemente soltanto funzione di x, w = w(x) : si ripropone petianto Ia stessa situazione che abbiamo visto nella flessione cilindrica delle piastre (Fig. 1 della relativa dispensa), per Ia quale ogni elemento (Fig. l.lc) ricavato nella direzione longitudinaledel cilindro e a~~()ggettato al!1l~des_i.lno.J>!!Ito di spostamejlto_e_~I_ct~fQ!IDa~i<i.11e: Come iiel\e pla-stre~-fefacce l!!kJalLdell'elemento rimangono parallele a se stesse nella flessione (Fig. l.ld), subendo pen) una CO!l~illllelat~r<llecteha~gtt<!J~ "~~reJ!1()pi~~;;-yantiieTmpo]'tanti ~onseguenze.

1.2 Regime flessionale

L'an~_()g@__gm_ra desqitta ci CQ.Ilsente di individuare nell~elemento cl_i_guscio __l_lll.l·egime flessionale del(l,ttto 1lll_lilog()<\_ql!_ell() di_ug~l()l1l.et!t()_cl_i!Jia_s!l'<l.ln flessione cilindrica (Fig. 3 della dispensa sulle piastre), che porta ad uno stato tensionale (Fig.T.Te) ______________ _

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(a)

h

(c)

(d)

.::, ·: ·r () \'-1/\ <-l 1'

(' \ 'f'- C' ·;·· · ,! ;~-J ''\ ,)

.... ··

_ ... ···········

ds----1

piastra

_ ....... -

... -·· .. ··

......... -·.

.-··· ..... -········

... ··

f ,\ C.Ci:

.... ,---· ... ···

.. ··

I,'-·' (• .. ·_I''

(b)

z

/j /;, . '-" \: . .r c~ ~-- (?- (e)

gusc10 ~l Fig. 1.1

·,:I ..

X --c.:.:~~ ]\v(,;)- - - - - - - - - - - - - - - -~ ; ;;

~----------------~~

.. ------------__ ..... -- -...... ~~~---------------------

I

I I

I

I_ - - - -I

crx cr.

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Ez a2w (J =-----

X 1- v2 Bx2

Ez a2w a- =-v- ---

(jJ 1- v2 f)x2

a cui conispondono delle azioni inteme

Mrp = VMX

sempre per unita di lunghezza misurata lungo la superficie media. Abbiamo usato l'indice cp anziche y perche la coordinata usata per individuare i punti della superficie media e cp ; ricordiamo che, Mrp nasce proprio a causa dell'ip1p~dimento ag~.E_o_~ion~~~.D~fac~~~l.aterale pcitcl.em.ento.

Poh·ebbe sorgere qualche dubbio sulla validita delle espressioni sopra riportate legato al fatto che lvf."' e calcolata per integrazione sull'area della sezione dell'elemento, la quale presenta facce laterali parallele nel caso delle piastre e invece facce laterali inclinate nel caso dei gusci cilindrici (Fig. l.ld). Si puo dimostrare, tuttavia, che le espressioni sopra riportate ~affette da un errore_trascurabile nel caso dei gusci sottili da noi trattato.

1.3 Regime membranale

Nel caso di tm guscio cilindr:ico al regime di piastra in flessione cilindrica si sovrappone anche un regime membranate dovuto all'accorci~mento Jl~!L~~i<?ne circonferenziale, che per la_§UR,~rficie .media e ~pl~.SSQ .si~ (Fig. 1.2a)

ds'-ds (r- w)dcp- rdcp e = = =

rp ds d r cp

w r

Sempre per la ipotizzata esiguita dello spessore,:,guesta deformaziog~.s.l.~l~ El?.~~aj~~d!~ puo essere considerata rapJ?r~se.ntativa della ,c;L~fof1!1azione sull'i.g~~<n:e, a cui corrisponde uno stato di sforzo dato da (Fig. 1.2b)

E 0""' =--~(em+ Vex)

y 1- v- .,.

D'altra parte, a differenza del regime flessionale prima messo in evidenza, il regime membranate legato all'accorciamento nella direzione .cp .. none contrastatQ_~elt§.itY~Jb.45L x, per cui dalla

si ottiene B =-veep nello s~ssore, per cui~·-·

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J

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r

z

(c)

(b)

Fig. 1.2

(b) Mx Qx P• Mx+( iJMx/iJx)·dx (7fflll11JIIIIIIIll 1'\

[\: -j - - - - - d-x- - - - 31 J-tx z Q,+( iJQx/iJx)·dx

Fig. 1.3

.1 ' I J ds=rd<jl

' ",,d~-....._,'

' ' ' ' ' ' ' '

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ewe lJl __ cl_efigitiy<l H _r(Ogirn~ membranale. clit luogo ad uno stato di sforzo ll}()!lOassiale 111

direzione circonferenziale

lV 1J = E& =-E-~ rp r

e quindi a una risultante. Np_p_e_r_t_UJit~jillln_~ezza lungo Ia superfic;ie media data da (Fig. 1.2b)

w N =IJ ·h·l=-Eh-

rp rp r

Questa azione interna N rp viene delta di carattere membranate perc he e analog a a quell a che si verifica nelle membrane (sistemi bidirnensionali infmitamente flessibili), essendo (Fig. 1.2c) contenuta nel piano tangente alla superficie media.

E' utile anche notare che, essendo 1Jx_:'::'".9 ... §\l !tttti_i_]JU!l!L.c!~_l!Q..~E~SOl~_ (naturalmente considerando il solo stato membranale) risulta anche che N, =_ 0. Questa pt:f_riJTI<l!(;<lf_(! che svolgeremo una temia valida in assenza di azioni esterne che possano provocare una Nx * 0; vedrem~ .in. segllit~ C(Jlile questa teoria p~ssa essere-us-ataanchepel: anaJJzzare questa ultimo caso, sfruttando il principia di sovrapposizione degli effetti. · · ~- - - -- - - ---- - - ,_ .. _ -- - ------ ' -, ... " ·-·-- -~--.:.-~- '• -·

1.4 Regime accoppiato flessionale- membranale

I due regi111i illessi in evidenza precedentemente non solo si sovrappongono, rna risultano

I anche ac~~ERi~ti,_in __ (l~~t~ --~~_M., _jia R9':~_S()~Oerit;affib~ .f1mzi~ni_·_ d~Ifo ipostamento , trasversale w. Per contra, in una piastra, i due regirni sarebbero disaccoppiati, perche gli

spostamenti u e v del piano media conseguenti a w sono infinitesimi di ordine superiore (nel caso di piccoli spostamenti w) e quindi trascurabili.

Consideriamo ora 1' equilibria di un elemento di guscio. In Fig. 1.3a abbiamo messo in evidenza le azioni interne ci.L9.!!Iatt~re _fles~Lonale ( analoghe a quelle gilt considerate per la flessione cilindrica delle piastg;)~!)tziQ11Lll!~mhnmal\LN~_Nella direzione rp non abbiamo considerato incrementi di azioni interne in quanta la condizione di assialsirnmetria fa si che essi debbano essere considerati nulli. Occorre poi ricordare che le azioni inteme messe in evidenza sono relative all'unitit di lunghezza lungo la superficie media, e che quindi, nella scrivere le equazioni di equilibria, le suddette azioni inteme varmo moltiplicate per le lunghezze effettive dei lati dell'elemento considerato, dx e ds = rdrp .

Scriviamo per prima l'eguazioJ1~sli~ql1il!!>~is>.J!lla~(Jtazig_ne attornoall'ass~y (Fig. 1.3b)

nella quale si e pasta sin drp = drp essendo drp infinitesimo. Eliminando i termini 2 2

infinite simi di ordine superiore dall' intera equazione si ottiene

~------·

1 Q. =aM, l X Ox ; i--- ____ _1

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Scriviarno ora la .seco~da .Ce ~ltima da~e le condizioni di simmetJ:ia imposte) equazione di equilibria all a traslazwne m du·eztone z (F1g. 1.3 b)

che, trascurando gli infinitesimi di ordine superiore, diventa ,____--- ------ ~,·

8Qx + N 'i' + p z = 0 I Ox ]' --------- . -

S_i ve@_quiJ~ significativa diff§renza rl~p~ttQ..?Jl~.Ri9-stn':~ftS:~H~il.ipr~re il ~ari~_o esJ~!TI9_pz

contr!p_!!~s~~Il..Q!! .. ~PJQ. 1~. V.¥i!i~~.9~~-<!(,!L !~gli~ .... mnm·~~.@l1a_®_ 8~x _,_ma_~k,l~ne

~mbr~a_le_ l!_rp , ~ia pll_!·~_n)pltipli~ata_pe_~Ja..c~a~ra ..!. . Piu grande ~e_)2_31l"YflhU:a (piu . - ]'

piccolo e il raggio), piu efficace e l 'azione membranate nel nortare i carichi esterni: se questa e di conmr.~~si~ ~~a_.J.lli.o essere as~orbita <2Qn fa~iJita c!_a_Pl~t~ri~!i qt1;ali q ~~lc~st:r~z:zo.

Sostituendo l'espressione del taglio in funzione del momenta si trova allora ------] 82M N I __ x +- "' +p =0 8x2 ]' . z

-- ----·- - - - -- -in cui al prima membra il prima termine viene deno!Jllnato "portanza flessionale" e il secondo "portanza membranale" oppure "p01ianza ad anello" perche con·isponde alia p01ianza di 1m tronco di guscio ( anello) che si contrae radialmente.

Sostituendo orale espressioni di lvfx e di Nrp in funzione di w si trova

--- · 84w Eh

D-4- +·2 W= Pz Ox ]'

che e 1' equazione risolvente per il problema in questione. Ponendo

I' Eh ~ ) /3= - 2 I

_: - -''-~ _ ) -

la stessa equazione diventa

che e formalmente analoga a quella che govema il comp01iamento di tma n·ave su suolo elastica alla Winkler. 'La ragione fisica di questa analogia sta nel fatto che 1 'azione di contrasto alla contrazione della superficie media svolta ·dagli anelli e analoga a quella esercitata dal terreno (rappresentato come una distesa di molle lineari) contra l'inflessione della trave.

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1.7 TEORJA FLESSIONALE PER GUSCI CILINDRJCI CIRCOLARJ SOTTO CARICO ASSIALSIMMETRJCO

(1.75)

L~ ~. I, 7 s; .Z. .identic a a quell a. che si scriverebbe per una striscia longitudinale di guscio di larghezza rdc.p (Fig. ·1.13a) considerata come trave purche:

- nel valutare il momenta 1\1x che nasce a causa dell'inflessione w si tenga canto che la assialsim1p.etr.!a ig}p~9._l~~U-!-P?.- ~.smt@;g2,!!-§]~te_~~!~ "YaJi~pjle . linearmente con la distanza dall'asse neutro (Fig. 1.13b) per cui:

E E ax= -

1 2 (c:x + vc:'P) = -1--2 c:x (1.76)

- v - v

nel valutare il carico distribuito per unita di lunghezza si aggiunga a PzTd<p il terrnine Ncpd<p che rappresenta la 12..~ta all'estensione radiale ( o di " paralleio");

- nel valutare Ncp, si riconosca cl:!_~ es~~pd£ f:ix. = 0 , la contrazione laterale non e imp_~gi t?- (Fig. 1.13c).

a) b)

Figura 1.13

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1.7 TEORJA FLESS!ONALE PER GUSC! C!L!NDRJCI C!RCOLARJ SOTTO CARJCO ASSIALSIMMETRJCO

1. 7.1 Integrale generale dell'omogenea associata

Deterrniniamo innanzitutto l'integrale generale dell'omogenea associata alia 1.75. Tale integrale nel caso di azioni applicate solamente sui contorno ci dara Ia soluzione cercata. L'eq. 1.75 puo essere messa nella forma:

(1.77)

Posta

(1.78)

l'equazione caratteristica risulta .A4 + 4a4 = 0 e quindi

.>,4 = -4a4 = p (cos$+ isinB) (1.80)

in cui p = 4a4 e e = 11'. 1

Per il teorema di De Moivre le radici n-esime hanna modulo p;; ed argo-menta ~ ( e + 2k7r) , e quindi:

AI = )2a (cos~ +isin~) = a(1 +i)

Az = )2 ( 31f . . 31f) ( 1 ') a cos4

+tsm4 =a - +'

.A a = )2 ( 51f . . 57r) ( 1 .) a cos4

+tsm4 =a- _,

.A4 = )2 ( 71f .. 71f) (1 ') a cos 4 + t sm 4 = a - ' (1.81)

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\

1.7 TEO RIA FLESS!ONALE PER GUSCI CILINDR!Cl C!RCOLARI SOTTO CARICO ASS!ALSIMM!lTRICO

La soluzione dell'eq. 1.77 vale allora:

---- - 1

W = D1 eA1 x + DzeA2 " + D3e>.,x + D4eA4 x =\ . . . "! . '

e~""(Dze"'"+ D3e-'"") + e""(D1e"'" + D4e-'"")_) (1.82)

')

o)

' ' ' ' ' ' ' ' ' sell(ux+'lf)'-.~ .....

Figura 1.14

' ' ' ' '

.. -..... '

Si introduca ora nei termini moltiplicati per e"" il cambiamento di varia­bile x = l :::- x (fig, ),l:la,}; i! S()f()~cJ~_ter.lllii!~ cleJ_s_ecol1d() r11ell1b~o d~ll'eq. precedente_c!~viene _":!lora:

eo.x(Dleiax + D 4e-iax) = eale-a:t1D1eiale-ia?+ D 4e-ialeial) =

e-ax*[ ( eal n1eio;l) e-iax~ ( eal D 4e-ial) eicr:cj

e-oi ( D~ e-ia,;"+ D~ei"1 (1.83)

Ricordando orale formule di Eulero ( eiox =cos ax+i sin axe e-iax =cos ax - i sin ax ) e raggruppando le cost anti si ha:

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1.7 TEORlA FLESSIONALE PER GUSCI C!LINDRlCI CIRCOLARl SOTTO CARl CO ASSIALSIMMETRlCO

w = e-ax [C1 cos ax+ C2 sin ax] + e-""''"[c3 cos ax""'+ C4 sin at'] (1.84)

x"'=l-x

Il primo termiJ:l~<kLS.~<OQ!lcl9oill~mbro.r-"PPLE§<enta (Fig. 1.14b) !ol_na!-JsCi!­lazione armqnica §ffiQ[llll-i~--Gh~JliUliigimu,li'~.!ltJ(J!Jll) ;1: .C" ()_,_ m§rrt_rgjJ se­condo termjne •a.ppres!Jnt!J, una oscijlazi()ne a.rmo_plca, Sft10re"ta_c.he_ha grigi!le Jlll'~stL(Jffiq_<p = L La lunghezza d'onda delle due oscillazioni vale

-~-- 2;1 " A = -;-F 4.83v hr

!--- --------~1

(1.85)

Per efietto della smorzamento,k d!!~Qscilla~~Qgi_<;_hEJ__sjp_rcJ_pag":_no_a_p_a_r_ti[(l dai d!!~. §S_tr:erni __ de_l_g!ls\'io __ ciUm!rico. di'l'entano trasc\lHJ.bil! dgpoo aY€!' peJ:QOr -. ~o }Jno spazio parialla lU1lghezza ci'onda. Infatti ilra1morto _fra l'ampiezza d"_lgoscillazione dopoun percorso pari a A ed il suo valore iniziale vale (Fig. 1.14c):

e-a(x+-1) 1 --- = e-a.\ = =

e ax e2rr 535.5 1

"'0.2% (1.86)

Anche lo stesso rapporto calcolato dopo un percorso pari a A/2 e comunque piccolo e spesso trascurabile:

1 -a..1 = e 2 e nx e" 1

23.14 c:c4% (1.87)

Se un tuba ha una lunghezza maggiore di A ( od anche A/2) ed e assoggetta­t~richL_arpl~catLsl)j _boEdi :1: ::_0 e a;::_}, ()g]1i_p\1I)to p_o_f!t£":~d~~a di;Tar',za dal bordo _ipJe_ri9__r_e_a.),/_H_soggeHg _solam_e_n~e all'o~o~illfizione_ proveniente c_\al_ bordo suddettQ.§llQI!_da!J'al~fQ (§Lm!rla_aJlcJra d_\"tl!b() l1ln$o").

Dall'eq. 1.85 risulta che A e inversamente proporzionale ad a e diretta­mente proporzionale al raggio di curvatura ,. ed allo spessore h . Ad esempio se si considera un serbatoio cilindrico a vente spessore h = 2~ r si ha che

~ = 4.83 ~ = 0 54 2 2 V 2c{" · r (1.88)

e .9-uindi U_Il __ serbatoio alto circa IJ1eta _del raggi() puo gia essere considerato cPine un tuba llll}go.

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1.7 TEORJA FLESSIONALE PER GUSCI CILINDRJCI C!RCOLARJ SOTTO CARl CO ASS!ALSIMMETRJCO

S_i noti che, al contrario di quanto avviene nei tubi,n~lle 1t(l'fLtlJ;J_cl_i§tyrbo ad unit_ estrergitasi pJ;(JpagaJ;ino all'altra indipende;Jtem!ll1te ,d<!!la Jungl:tezz>J,.

]'lelc;a.so_dfli .t_upiJ'interY§!lto_cl<JJl" pQrtam'l. cii para.llelo, Jil()\to_IJE.tf()rte in _g"_nerale diQuella flessionale (soprattutto per spessori h piccoli), !Cleteunipa 1Jno smorzamento mol to rapido._ Nel caso della t[a:,>E)~l!_Suol,<J_<Jl<ls~Lc(),che obbedisce alia stessa equazione differenziale, Ia rigidezza flessionale.e note':ole,

.P:er cui ilte~~i,.;~l~g;;,to alia po~tanza del terreno ha una importanza relativa rr1inore. ~-- -------~

La soluzione dell'eq. 1.77 puo essere espressa convenientemente come segue:

w = ce-ax sin (ax+ 7,1>)

Le sue derivate sono date da:

~:: = -a32vf2ce-ax sin (ax+ 7,1> -3:)

(1.89)

(1.90)

(1.91)

(1.92)

e sono deducibili semplicemente !'una dall'altra con uno sfasamento di n/4 della funzione sinusoidale e Ia moltiplicazione per il fattore ( -avf2).

Note allora le espressioni di w e delle sue derivate e imrnediato risalire a queUe di )), j\!fx e Qx essendo:

(1.93)

II distmbo fle§§jonaJE!_JlLOYQ\:_>'!d!DChe Ja_n<lSdta dL\lD~a,ziPne--membr_anale _ N'P _e diun' azioneflessionaJ~ N'P .date da:

,---- ------- - -~;;; Eh - ·-\ i N'P = Elu:'P = Eh- =--ce-ca sin (ax+ 7,1>) \ - ...... R.- .. R - - ... ····-- ......... ,

(1.94)

(1.95)

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1.8 CALCOLO Dl COEFFICIENT! Dl INFLUENZA AI BORDI

1.8 Calcolo di coefficienti di influenza ai bordi

1.8.1 Azione di taglio Q0 applicata ai bordi (Fig. 1.15a)

•) t~-x b)

X o) t~-x

L

~

l 11 p, • -pg(L- x)

Figura 1.15

T!~!-~-~-() si ha Mx = Q,,ioe~j

da cui

(1.96)

dacui

(1.97)

Si ottiene allora:

Qo -ax . ( 7r) w=---e sm ax+-2Da3 2

(1.98)

(1.99)

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1.8 CALCOLO DI COEFFICIENT! DIINFLUENZA AI BORDI

(8w) Qo 2a2

1 = 8x x=D = 2Da2 = {3Qo (1.100)

M D 22 ( Qo -ax) . Qo -<>x . x =- a ---3 e s1nax = -e s1nax 2Da a (1.101)

1.8.2 Coppia flettente M 0 applicata ai bordi (Fig. 1.15b)

!Per x = 0 si ha Qx = O',cioe: . '

da cui

3 ,p = ;rrr

\ Sernpre perx = 0 si h_a Mx = .Mo\cioe:

D 220 -<>0 • ( 311' 11') "' - a e sm a · 0 + 4 - '2 = Jv1o

da cui

C=

Si ottiene allora:

W= Mo _ . ( 311') r.; 2

e ox sm ax+-yL.Da 4

1 = (8w) = Jvfo = 4a3 lYio

8x x=O Da (3

Appunti di lezione su gusci cilindrici e sferici- L.Cedolin- A.A. 2005-06

(1.102)

(1.103)

(1.104)

(1.105)

(1.106)

13

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1.9 ESEMPIO Dl SOLUZIONE CON IL METODO DELLE FORZE

1.8.3 Pressione idrostatica

Si consideri ora un tubo cilindrico libero aile estremita e soggetto ad una pressione idrostatica Pz = -pg (L- x) (Fig. 1.15c). L'integrale particolare dell'equaziane:

risulta essere

W= pg (L- x)

=

pg (L- x) D

pg(L-x)

{3

(1.107)

(1.108)

Poiche['e_q. 1.108 _ d<i luago aMx = 0 eQx _=_Q,j~l~integrale particolare soddisfa anche all13 e_O!l_<!i?>ia!lia_lcontorno: l'integ~~Le_generale qell'omogenea associata risulta allora essere nullo dovenda saddisfare candiziani al cantarna ----- ------------- -- ~---~--- ·------ --···· --------

s_to.aJicJle_nulle. Si _realizza quindi un regime puramente membranate ehesoddi-sfa rigarasamente aile equaziani con accoppiamenta fiessianale-membranale.

Si ha allora:

pgL L 6. =- (w)x=O = 4Da4 = 7JP9 (1.109)

(1.110)

1.9 Esempio di soluzione con il metoda delle forze

Si cansideri un tuba cilindrica incastrata alia base e sattapasta ad una pres­siane idrostatica (Fig. 1.16a). Mettendo in evidenza taglia X 1 e momenta x2 all'incastro, si possano scrivere le equazioni di cangruenza utilizzanda i caefficienti di influenza prima travati (Fig. 1.16b,c):

(1.111)

da cui

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•)

L

1.9 ESEMPIO Dl SOLUZIONE CON IL METODO DELLE FORZE

* I I

{ X1 = -~ (2aL- 1)

X2 = ~ (aL- 1)

b) o)

' ' ' ' ' ' ' ' ' x;"'-

d)

w Mx

Figura 1.16

+ ' + ' ' ' ' ' ' ' J x,

(1.112)

Per risalire al regime deformative e flessionale occorre ovviamente applicare il principia di sovrapposizione degli effetti. Spostamento

1/J='!!_ 2

1/J = 3rr 4

' ' \. /

Appunti di Jezione su gusci cilindrici e sferici- L.Cedolin- A.A. 2005-06

(1.113)

(1.114)

(1.115)

15

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1.9 ESEMPIO DI SOLUZIONE CON JL METODO DELLE FORZE

Azione membranale

pg (L- x) wo =- 4a4D

Nei tratti in cui WJ = w2"' 0 si haw = wo e quindi

pg (L- x) N'P =Eh =pg(L-x)7'=Pz7'

(3T

che corrisponde alla soluzione membranale. Momento fiettente M x

Mx = Mx1 +Mx2+Mxo

(1.116)

(1.117)

(1.118)

(1.119)

Nel nostro caso iVfxo = 0, A1xl e iVfx2 si possono esprimere attraverso le eq. 1.91 e U)3, che danno

sostituendo i valori di C e 1/J trovati per w1 e w2. M omen to fiettente M 'P

Ricordando l'eq. 1.95 si trova

',''

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(1.120)

(1.121)

16

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NOTAl

Nel caso il disturbo flessionale provenga dal bordo superiore e si voglia utilizzare Ia coordinata x' , risulta

Si vede allora che, se si vogliono utilizzare le stesse relazioni usate per il bordo inferiore,

occorre considerare un taglio Q.: = -Qx (Fig. 1.16e ).

Analogamente occorre adottare tma convenzione opposta per Ia rotazione (Fig. 1.16f) a!

bd 'h" . dw or o, cos1 c e s1 possa an cora scnvere y = dx • .

Naturalmente si mantiene M' x = Mx , cioe momenta positivo che tende le fibre interne.

(e)

x*

•)

t r /

I '

Q~ )

Fig.1.16

(f)

x*

Appunti di lezione su gusci cilindrici e sferici- L.Cedolin- A.A. 2005-06 17

\ \ \

\

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1.9 ESEMPIO 01 SOLUZIONE CON IL METODO DELLE FORZE

1.9.1 Effetto di una sollecitazione Nx =J 0

Figura 1.17

Nella trattazione precedentemente svolta si era supposto Px = 0 e Nx = 0. Analizziamo ora il caso, frequente nella pratica, in cui Px = 0 rna Nx sia nota e costante lungo il tubo {Fig. 1.17), immaginando di separare questo effetto da quelli gia ana,lizzati e dovuti a Pz·

Una via per studiare questo effetto sarebbe quella di riconsiderare i passaggi svolti> togliendo l'ipotesi Nx = 0 e giungendo quindi ad una diversa equazione differenziale ---- - -----------·-- ·- ---- -------------- -- ----------------------risolvente.

Ci proponiamo qui invece di affrontare il problema calcolando ancora gli effetti di una pressione estema Pz e delle iperstatiche agli estremi supponendo che Nx sia nullo (utilizzando quindi la formulazione precedentemente esposta), sovrapponendo pen) a ffi!._esti effetti.~l!o

dell' azio_I!~. N.x.!: 9. ~!t~dl_ata ~'J?.~'t~_ su -~5ilip_qr~_pr~~o 2i _ _y_~col!_~lle_~stre~ta. Esaminiamo quindi la situazione di Fig. 1.18a in cui e rappresentata tma parete cilindrica

sotto una azione interna (per unita di lunghezza) di compressione P nota ( che deriva generalrnente da carichi permanenti sovrastanti la parete). Siccome per definizione le azioni membranali normali sono positive se di trazione, si ha_ N »-~ :-:! (Fig. 1.18b ). La sollecitazione

ax risulta allora data da

Nx p a =-· =--

x h h

Se consideriamo 29_i_f_~g~ibrio di ~ sernicilindro _ (Fig. 1.18c) . in direzione normale al piano diatl!_et£a!e! ~ediamo ~~~ .f'!p_ = 0 e quindi a rp = 0 . La deformazione circonferenziale

risulta allora

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(a)

Consideriarno ora un elemento eli parete (Fig. 1.18d) lungo ds nella direzione circonferenziale. Per effetto della deformazione circonferenziale E:rp , esso assumerir Ia

lunghezza ds' tale che

ds' -ds ds =£~

e conispondentemente il raggio della parete pas sera da r a r . Siccome ds = r · d rp ,

ds' = ,.· · drp sostituendo si h·ova

r · drp-r · drp =£

/'·dtp ~ e quindi

'' . ''' ' p. /' 6.r=r -r=E: ·r=v·--

~ E·h

che e lo spostarnento da inserire nelle equazioni di congmenza. , __ -- -- ' - -- --~-- - ·- ' - . .

Si noti come in questa situazione ( N, "'0) U(}!l_\'algapiu Ia relazione N rp =-E · h · :~ che

ave\farrwutiliz2:ato per dedurre Ia equazione differenziale risolvente nel caso N, = 0.

PJ ~ r ----------

'---r------'-6x--i r---r' '

(b) (c) '>

~

' ~

d~_l, r ~

' No'

(d) J J I J I J <Jx

~---r----- 1---7 , ___ , ,---) ( ,___ ... ,cr.=O) li---1 1---7 (---L _____ J---7

T 11111· 1---ds -----1

1-----ds' ------1

Fig. 1.18

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N.=o·-.

19

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1.10 SOLUZIONE CON !L METODO DEGLI SPOSTAMENTI

Si puo a questa puntorisolvere ilcaso di unserbatoio incastrato alia base (FiiJ_.fg,;:y-;; s;;gg~tt~ ~iaall'azione a~siaie Nx = -P , sia all;, pressione idrostatica p:;Si nota i~nanzitutt~ che per !;,_ sovrapposizione degli effetti, si po~;orioconsiderare separatamente le due situazioni (Fig. 1.19b e 1.19c), !a s~co;;d8. defie quall-gia 8.nalizzata. Lasituazione di Fig. 1.19d si puo conside-

-- - - - .

rare somma di tre situazioni (Fig. 1.19e,f,g) gia studiate, determinando X1e x2 attraverso le equazioni di congruenza

(1.129)

o)

+

p p p p

d) o) Q g)

+ + x, x,

~ x, x,~

////////////

Figura 1.19

' ..

I ;I \ I _-. '

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