I problemi additivi

II PROBLEMI PROBLEMI ADDITIVIADDITIVI(Vergnaud)(Vergnaud)

26/07/13 I problemi additivi 2

I tre problemiI tre problemi

Ci sono 4 ragazzi e 7 ragazze attorno ad un tavolo. Quante persone ci sono in tutto?Giovanni regala a sua sorella 4 figurine. Adesso ha 11 figurine. Quante ne aveva prima?Roberto ha fatto due partite alle biglie. Nella prima partita ha perso 4 biglie. Poi ha giocato una seconda partita. In tutto adesso ha vinto 7 biglie. Cosa è successo durante la seconda partita?

4 + 7 = 11


Cause della differente difficoltà Cause della differente difficoltà delle situazioni problematichedelle situazioni problematiche

Facilità più o meno grande del calcolo numerico necessarioOrdine e presentazione delle informazioniTipo di contenuto e dominio delle relazioni considerateFattori legati al calcolo relazionale


Tipologie di problemiTipologie di problemi

Misura – stato: espressa da numeri naturali: Misurare = contare = trovare il cardinale dell’insiemeTrasformazione: cambiamento di stato che avviene nel tempo. Espressa da numeri relativiRelazione statica: collega elementi simultanei della realtà


Sei grandi categorie di relazioni Sei grandi categorie di relazioni additiveadditive

1. Due misure si compongono per dare una misura2. Una trasformazione opera su una misura per dare una misura3. Una relazione collega due misure

4. Due trasformazioni si compongono per dare una trasformazione5. Una trasformazione opera su uno stato relativo per dare uno stato relativo6. Due stati relativi si compongono per dare uno stato relativo


Analisi della seconda categoria Analisi della seconda categoria di relazioni additivedi relazioni additive

6 classi di problemi a seconda:• del valore positivo o negativo della trasformazione• della domanda (se verte su stato finale, su

trasformazione o su stato iniziale)

a c

b

Una trasformazione opera su una misura (stato) per dare una misura (stato)


6 grandi classi di problemi6 grandi classi di problemila domanda verte sula domanda verte su

c b a

B>0

Marco ha 4 biglie. Gioca una partita e ne vince 6. Quante biglie ha dopo la partita

3. Claudio ha 5 biglie. Gioca una partita. Dopo la partita ha 9 biglie. Cosa è successo durante la partita?

Alex gioca una partita alle biglie e vince 4 biglie. Dopo la partita ha 12 biglie. Quante ne aveva prima della partita?

B<0

1. Pietro ha 6 biglie. Gioca una partita e perde 4 biglie. Quante biglie ha dopo la partita?

Paul ha finito di giocare una partita e ha 8 biglie. Prima della partita ne aveva 14. Cosa è successo?

2. Mauro gioca una partita alle biglie e perde 7 biglie. Dopo la partita ha 3 biglie. Quante biglie aveva prima della partita?


Problemi relativi alla quarta Problemi relativi alla quarta categoria di relazioni additivecategoria di relazioni additive

Due trasformazioni si compongono per dare una trasformazione

T1 T2

T3


Problemi relativi alla quarta Problemi relativi alla quarta categoria di relazioni additivecategoria di relazioni additive

2 grandi classi di problemi2 grandi classi di problemi

A. Conoscendo le due trasformazioni elementari T1 e T2 trovare la trasformazione composta T3

B. Conoscendo la trasformazione composta T3 e una delle due trasformazioni elementari (T1 o T2), trovare l’altra trasformazione elementare (T1 o T2)


a. Conoscendo le trasformazioni elementari a. Conoscendo le trasformazioni elementari trovare la trasformazione compostatrovare la trasformazione composta

T1>0T2>0

T1<0T2<0

T1>0T2<0

T1<0T2>0

T1 > T2

T3>0 T3<0 T3>04. Paolo gioca due

partite alle biglie. Alla prima partita guadagna 6 biglie. Alla seconda partita perde 4 biglie. In totale, cos’è capitato?

T3<0

T1 < T2

T3>0 T3<05. Lorenzo gioca due

partite alle biglie. Alla prima partita perde 2 biglie. Alla seconda partita perde 5 biglie. In totale, cos’è capitato?

T3<06. Michele gioca due

partite alle biglie. Alla prima partita guadagna 4 biglie. Alla seconda partita perde 6 biglie. In totale, cos’è capitato?

T3>0


Analisi della quarta categoriaAnalisi della quarta categoriaTT1 1 TT2 2 TT33

a. Conoscendo le due trasformazioni elementari trovare la trasformazione composta

T1 e T2 sono entrambe positive: caso più semplice

T1 e T2 sono entrambe negative: somma di due perdite comporta difficoltà

concettuale.

T1 e T2 sono di segno opposto: difficoltà diverse a seconda della grandezza

relativa dei valori assoluti di T1 e T2

- problema 4 sottrazione (somma di due numeri di segno contrario)

da | T1 | si sottrae | T2 |

- problema 6 sottrazione (somma di due numeri di segno contrario)

da | T2 | si sottrae | T1 | è più difficile.


b. Conoscendo la trasformazione composta e una delle b. Conoscendo la trasformazione composta e una delle trasformazioni elementari, trovare l’altra trasformazione trasformazioni elementari, trovare l’altra trasformazione

elementare elementare ( Incognita T( Incognita T22))T1>0T3>0

T1<0T3<0

T1>0T3<0

T1<0T3>0

|T1| > |T3|

T2>07.Cristiano gioca due

partite. Alla prima guadagna 5 biglie. Poi gioca una seconda partita. Dopo le due partite ha guadagnato in tutto 9 biglie. Cos’è successo durante la seconda partita?

T2<08.Giacomo gioca due

partite. Alla prima partita perde 5 biglie. Poi gioca una seconda partita. Dopo le due partite ha perso in tutto 8 biglie. Cos’è successo durante la seconda partita?

T2>010.Oliviero gioca due

partite. Alla prima partita guadagna 2 biglie. Poi gioca una seconda partita. Dopo due partite ha perso in tutto 7 biglie. Cos’è successo durante la seconda partita?

T2<0

|T1| < |T3|

T2>0 T2<0 T2<011.Vincenzo gioca

due partite. Alla prima partita guadagna 8 biglie. Poi gioca una seconda partita. Dopo le due partite ha perso in tutto 2 biglie. Cos’è successo durante la seconda partita?

T2>09.Didier gioca due partite. Alla prima partita perde 7 biglie. Poi gioca una seconda partita. Dopo le due partite ha perso in tutto 4 biglie. Cos’è successo durante la seconda partita?


Analisi della quarta categoriaAnalisi della quarta categoriaTT1 1 TT2 2 TT33

b. Conoscendo la trasformazione composta e una trasformazione elementare trovare l’altra trasformazione elementare

Più difficili dei problemi della classe a.La soluzione richiede un’operazione di sottrazione tra numeri relativi.Sottoclassi rispetto al segno delle trasformazioni date e secondo la grandezza relativa dei valori assoluti.Problema 11: Solo il 25% di allievi di quinta e prima media è riuscito a risolverlo, nonostante la semplicità del calcolo numerico.La difficoltà si situa a livello di calcolo relazionale:

1. Si annulla con la trasformazione – 8 ciò che è stato guadagnato: (- 8) + (+ 8) + x2. composizione di – 8 e – 2 per trovare il valore di x: (- 8) + (- 2)3. Uguaglianza tra le due catene: (- 8) + (+ 8) + x=(- 8) + (- 2) semplificando: x= (- 8) + (- 2) x= (-10)

Questo ragionamento è fuori dalla portata dei bambini almeno fino alla quinta elementare


b. Conoscendo la trasformazione composta e una b. Conoscendo la trasformazione composta e una delle trasformazioni elementari, trovare l’altra delle trasformazioni elementari, trovare l’altra

trasformazione elementare trasformazione elementare ( Incognita T( Incognita T11))

T2<0T3>0

|T2| > |T3|

T1>0

12.Bruno gioca due partite.Prima gioca una partita e poi un’altra.Alla seconda partita perde 7 biglie.Dopo le due partite ha guadagnato in tutto 3 biglie.Cos’è successo durante la prima partita?


Indicazioni bibliograficheIndicazioni bibliografiche

Vergnaud G., Il bambino, la matematica, la realtà, Armando ed, Roma 1994 (trad.it)

Nunes t., Bryant P.(1996), Children Doing Mathematics, Blackwell Publishers, Oxford


Due misure si compongono Due misure si compongono per dare una misuraper dare una misura

Franco ha 6 biglie di vetro e8 biglie di acciaio. In tutto ha

14 biglie


Una trasformazione opera su Una trasformazione opera su una misura per dare una misurauna misura per dare una misura

Franco prima di iniziare agiocare aveva 7 biglie. Ne ha

perse 4. Ora ne ha 3.


Una relazione collega due Una relazione collega due misuremisure

Franco ha 8 biglie. Anna ne ha 5in meno. Quindi ha 3 biglie.


Due trasformazioni si Due trasformazioni si compongono per dare una compongono per dare una

trasformazionetrasformazione

Franco ieri ha vinto 6 biglie e oggi ne ha perse 9. In tutto ne

ha perse 3


Una trasformazione opera su uno stato Una trasformazione opera su uno stato relativo per dare uno stato relativorelativo per dare uno stato relativo

Franco doveva 6 biglie a Anna.Gliene restituisce 4. Gliene deve

ancora 2.


Due stati relativi si Due stati relativi si compongono per dare uno compongono per dare uno

stato relativostato relativo

Franco deve 6 biglie a Anna, ma AnnaGliene deve 4. Franco deve dunque 2

biglie a Anna.


Analisi della seconda categoriaAnalisi della seconda categoria

Se l’incognita è lo stato finale c il calcolorelazionale è più semplice:se b>0 la trasformazione è diretta. Per lasoluzione occorre un’addizione che è semprepossibileSe b<0 occorre una sottrazione. È possibile seil valore iniziale è sufficientemente grande


Analisi della seconda categoriaAnalisi della seconda categoria

Se l’incognita è la trasformazione b sono implicate due procedure di soluzione:

Differenza=ricerca del valore della trasformazionetramite sottrazione tra stato iniziale e stato finaleComplemento=ricerca, senza eseguire sottrazioni, di ciòche occorre aggiungere o togliere allo stato iniziale perottenere lo stato finale.1. Non richiede calcolo relazionale complesso, è

usata precocemente2. È possibile solo con numeri piccoli che si prestano

al calcolo mentale


Analisi della seconda categoriaAnalisi della seconda categoriaSe l’incognita è lo stato iniziale a, calcolo razionale ancora più complesso.

Soluzione canonica:Se b fa passare da a a c, allora –b fa passare da c a a:quindi occorre applicare c - b per trovare a Alternative alla soluzione canonica:1. Complemento: ricerca diretta di ciò che si deve

aggiungere a b per trovare c può essere applicato se la trasformazione è positiva e quando i numeri si prestano al calcolo mentale.

2. Stato iniziale ipotetico: prendere per ipotesi uno stato iniziale e applicare la trasformazione per trovare lo stato finale e correggere l’ipotesi di partenza confrontando il risultato ottenuto con lo stato finale del problema.

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