I NUMERI RELATIVI

Livio Giansiracusa

Strutturare un’unità di apprendimento che miri ad evidenziare:

La collocazione temporale dell’argomento in esame;

I prerequisiti, gli obiettivi di apprendimento (conoscenze ed abilità) e i contenuti da trattare;

Alcuni spunti di metodologie per agevolare il lavoro da parte dei ragazzi. Si farà notare che numerosi esempi sono tratti da semplici osservazioni della realtà che faranno scaturire un logico collegamento interdisciplinare;

La scelta di differenti tipi di esercizi proposti per verificare e migliorare il grado di acquisizione di conoscenze degli alunni;

Considerazioni personali.

OBIETTIVI DEL PRESENTE LAVORO

COLLOCAZIONE TEMPORALE: fine secondo anno scolastico – inizio terzo anno scolastico;

INQUADRAMENTO ARGOMENTO: algebra

PREREQUISITI: conoscere gli insiemi numerici N e Q+ ;

conoscere ed utilizzare le operazioni con gli insiemi N e Q+ ;

saper svolgere semplici espressioni con numeri appartenenti agli insiemi N e Q+.

Conoscenze

conoscere il concetto di numero relativo e quindi conoscere gli insiemi Z, Q e R;

conoscere l’utilizzo del numero relativo nella vita quotidiana;

conoscere ed utilizzare le operazioni con l’insieme R dei numeri reali relativi;

conoscere la simbologia e la terminologia dei numeri relativi.

Abilità

saper rappresentare sulla retta orientata i numeri relativi;

saper operare confronti tra numeri relativi;

essere in grado di operare con i numeri relativi e saper calcolare il valore di semplici espressioni;

saper calcolare potenze di numeri relativi con esponenti positivi o negativi;

OBIETTIVI SPECIFICI DI APPRENDIMENTO

Concetto di numero relativo, dall’insieme N all’insieme R;

Rappresentazione grafica di numeri relativi sulla retta;

Il segno di un numero relativo;

Il valore assoluto di un numero relativo;

Numeri relativi concordi, discordi, opposti;

Confronto di numeri relativi;

Operazioni e proprietà dei numeri relativi;

Calcolo di espressioni.

CONTENUTI

Per introdurre il concetto di numero relativo possono (devono) essere fatti semplici esempi tratti dalla realtà:

• Parlando del bilancio di un’azienda, se si dirà che esso è pari a 63000 E, dovrà essere specificato se è in attivo o in passivo;

• Se si afferma che Nerone è nato nell’anno 37 dovrà essere necessariamente indicato se prima o dopo Cristo;

• Per esempio, se diciamo che la temperatura di una certa località è 6°C non ci esprimiamo con precisione. Occorrerà specificare infatti se è al di sopra o al di sotto dello zero;

• In geografia, per identificare la posizione di un punto, si utilizzano la latitudine e la longitudine ma bisogna specificare rispettivamente se N e S o E e W da Greenwich.

• E ancora, quando si assiste in televisione al lancio di un razzo, o quando pochi istanti prima di Capodanno si sentirà dire: “Meno quattro, meno tre, meno due, meno uno, zero” che significa?

In tutti questi esempi, un certo punto, indicato come ZERO, viene preso come riferimento. Alcune misure risultano inferiori allo zero, altre superiori e per distinguere le varie misurazioni abbiamo utilizzato termini come “in attivo” - “in passivo”, “al di sopra” – “al di sotto”, “prima” – “ dopo” ecc.

In Matematica si ricorre invece all’uso di numeri preceduti dal segno più o meno (+ o -).

Come può esistere un numero negativo?

E così adesso si dirà:

• La temperatura minima registrata a Varese il 12 Gennaio 2006 è stata -8°C;

• L’azienda Giubbotti&Giubbotti ha chiuso il bilancio 2001 a + 91000 Euro.

• Cleopatra è nata ad Alessandria nell’anno -69.

Viene quindi introdotta la necessità di utilizzare nuovi numeri, rispetto a quelli dell’insieme N, poiché appunto preceduti da un segno e che vengono chiamati numeri relativi perché il loro valore risulta definito relativamente ad uno zero di riferimento.

I numeri relativi si distinguono in:

Numeri positivi, cioè superiori allo zero (segno +)

Numeri negativi, cioè inferiori allo zero (segno -)

DEFINIZIONE:

i numeri interi preceduti dal segno + costituiscono l’insieme dei numeri interi positivi; tale insieme si indica con Z+; i numeri interi preceduti dal segno – costituiscono l’insieme dei numeri interi negativi; tale insieme si indica con Z-.

L’unione dei numeri interi positivi, Z+, compreso lo zero a cui non si associa alcun segno, e dei numeri interi negativi, Z-, forma l’insieme dei numeri interi relativi, che si indica con Z;Oltre ai numeri interi è possibile considerare positivi o negativi anche i numeri razionali, attribuendo ad essi il segno più o meno. Determineremo così l’insieme dei numeri razionali positivi Q+ e quello dei numeri razionali negativi Q-.

Dall’unione di Q+ e Q-, compreso lo zero, otteniamo l’insieme dei numeri razionali (o razionali relativi), che si indica con Q.

Si ha quindi che Z è sottinsieme di Q

Anche i numeri irrazionali possono essere preceduti dal segno più o meno. Determineremo pertanto l’insieme dei numeri irrazionali relativi, che si indica con I.

Q U I = R

R sarà l’insieme dei numeri reali relativi.

Per numeri relativi si intendono quindi tutti i numeri interi, razionali e irrazionali, sia positivi che negativi.

I

Q

ZN

R

Considerando una retta r ed un suo punto O che la divide in due semirette, la retta r può essere percorsa in due versi: positivo da O verso destra che negativo da O verso sinistra.

Sulla retta orientata, riportiamo successivamente, a partire da O, un segmento unitario u che rappresenta un’unità di misura scelta ad arbitrio.

O

0 +1 +3+2 +6+4 +7+5-1 +8 +9-6 -5 -4 -3-7-8 -2

Possiamo quindi associare ai punti individuati da u sulla retta, i numeri interi relativi. Quelli che si susseguono da zero verso destra rappresentano numeri interi relativi positivi, quelli che si susseguono da zero verso sinistra rappresentano numeri interi relativi negativi.

-9

I numeri interi relativi possono essere rappresentati su una retta orientata.

u

verso negativo

verso positivo

Da chi sono occupati i vuoti tra un numero intero ed un altro?

Dai numeri razionali e irrazionali.

E si potrà far osservare che:

L’insieme dei numeri interi relativi (Z) è ordinato, cioè scelti due elementi qualsiasi, è sempre possibile stabilire quale è maggiore e quale è minore.

Gli insiemi dei numeri razionali (Q) e irrazionali (I) oltre ad essere ordinati sono densi, cioè scelti due elementi qualsiasi (appartenenti allo stesso insieme), è sempre possibile trovare un altro elemento sempre dello stesso insieme.

L’insieme dei numeri reali R, dato dall’unione di Q e I, è invece continuo. Ad ogni punto sulla retta orientata corrisponde un numero reale, e viceversa, ad ogni numero reale corrisponde un punto sulla retta (corrispondenza biunivoca).

Esercizi di pronta verifica possono essere i seguenti:

• Indica quali fra le seguenti grandezze possono essere espresse per mezzo di numeri relativi e quali no. Motivare le risposte:

La temperatura media registrata in una località

La profondità del mare

La velocità di un corpo

La longitudine di un punto sulla Terra

Il peso di un corpo

E poi:

esegui le ricerche opportune e rispondi alle seguenti domande:

Qual è la temperatura di fusione del piombo? Quella di solidificazione del mercurio? E quella di fusione del ghiaccio?

Il campionato di calcio di serie A dell’anno 1999-2000 è stato vinto dalla Lazio con due punti di vantaggio sulla Juventus. Con quale numero puoi esprimere il distacco che quest’ultima ha avuto nei confronti della Lazio?

E ancora

Il valore assoluto di un numero relativo è uguale al numero stesso se esso è positivo, al numero cambiato di segno se esso è negativo.

Es. Valore assoluto di +4, e si indica |+4|, è uguale a 4.

Valore assoluto di -18, e si indica |-18|, è uguale a 18. Due numeri relativi si dicono concordi se hanno lo stesso segno, si dicono discordi se hanno segno diverso.

Così +3 e +2/5 sono concordi, mentre -9 e +4/7 sono discordi

Due numeri relativi si dicono opposti o simmetrici se hanno lo stesso valore assoluto ma segno contrario.

Così +6 e -6, -9/2 e +9/2 sono opposti

VALORE ASSOLUTO, NUMERI RELATIVI CONCORDI, DISCORDI, OPPOSTI

Per effettuare il confronto tra due numeri relativi possiamo sfruttare la rappresentazione grafica di R

O

0 +1 +3+2 +6+4 +7+5-1 +8 +9-6 -5 -4 -3-7-8 -2-9

Presa una qualsiasi coppia di numeri, sarà sempre maggiore il numero che si trova più a destra, ovvero, quello che segue l’altro, nella successione, procedendo da sinistra verso destra;

Vengono introdotti i simboli < e >, che significano rispettivamente “minore di” e “maggiore di”.

Es. 0 precede +2 e quindi 0 < +2;

0 segue -3/8 e quindi 0 > -3/8

-4 segue -6 e quindi -4 > -6

-1 precede + 13/7 quindi -1 < +13/7

+7/5 segue + 1 quindi + 7/5 > +1

Lo zero è maggiore di ogni numero negativo;

Lo zero è minore di ogni numero positivo;

Ogni numero positivo è maggiore di ogni numero negativo;

Dati due numeri positivi, è maggiore quello che ha valore assoluto maggiore;

Dati due numeri negativi, è maggiore quello che ha valore assoluto minore;

Esercizi da proporre

Disponi in ordine crescente i seguenti numeri relativi: -9, - 65, + 4/9, 0, - 2/3, +2, -4;

Disponi in ordine decrescente i seguenti numeri relativi: -1, +6/5, +23, - ½, 0.Oppure

Inserisci il segno < (minore di), > (maggiore di), = (uguale)

+3…..+8; -7…..-5; -8/7……-7/8; +1,25……+5/4; +9……-7,2.

PROPRIETA’

ADDIZIONE FRA DUE NUMERI RELATIVI

Sfruttare la retta orientata e partire da esempi.

A) I due numeri da sommare hanno entrambi segno positivo: es. (+3) + (+2)

Individuare sulla retta il primo addendo. Aggiungere tante unità quante sono quelle del secondo addendo spostandoci verso destra perché il segno del secondo addendo è +

+3+2

+5

(+3) + (+2) = +5

B) I due numeri da sommare hanno entrambi segno negativo: es. (-3) + (-2)

Individuare sulla retta il primo addendo. Aggiungere tante unità quante sono quelle del secondo addendo spostandoci verso sinistra perché il segno del secondo addendo è -

-3

-2

-5

(-3) + (-2) = -5

O

O

C) I due numeri da sommare hanno uno segno positivo e l’altro segno negativo: es. (+3) + (-2)

Individuare sulla retta il primo addendo. Aggiungere tante unità quante sono quelle del secondo addendo spostandoci verso sinistra perché il segno del secondo addendo è - (se il secondo addendo fosse stato positivo ci spostavamo verso destra).

+3

-2

+1

(+3) + (-2) = +1

O

REGOLE GENERALI

La somma di due numeri relativi concordi è un numero relativo che ha lo stesso segno degli addendi dati e per valore assoluto la somma dei valori assoluti;

La somma di due numeri relativi discordi è un numero relativo che ha lo stesso segno dell’addendo avente valore assoluto maggiore e per valore assoluto la differenza dei valori assoluti

REGOLA PRATICA PER L’ESECUZIONE DELLA SOTTRAZIONE FRA DUE NUMERI RELATIVI

L’utilizzo del metodo della retta orientata risulta piuttosto complicato per spiegare l’operazione di sottrazione fra due numeri relativi e i testi suggeriscono pertanto una “regola pratica” che consente di eseguire l’operazione con molta più facilità.

REGOLA: la differenza tra due numeri relativi si ottiene effettuando la somma del primo con l’opposto del secondo

Esempi

a. (+7) – (+6) = (+7) + (-6) = +1

b. (-3) – (-5) = (-3) + (+5) = +2

c. (-2) – (+8) = (-2) + (-8) = -10

d. (+4) – (-9) = (+4) + (+9) = +13

Si procederà quindi utilizzando la regola generale vista per l’operazione di addizione. Poiché l’operazione di sottrazione è stata trasformata in addizione si deduce che le due operazioni ne costituiscono una sola, chiamata somma algebrica

SOMMA ALGEBRICA DI PIU’ NUMERI RELATIVI

La somma algebrica fra più numeri relativi può risultare di non immediata comprensione

Ad es. calcolare (-9+3-2+7+4+12-21-1+11-14) può sembrare un’operazione difficile.

Basterà far capire ai ragazzi che si dovranno dapprima sommare i moduli di tutti i valori positivi, successivamente sommare i moduli di tutti i valori positivi e quindi effettuare l’operazione di somma algebrica.

3

7

4

11

12+ -

1

21

14

2

9

(+37) + (- 47) =

-10

MOLTIPLICAZIONE DI DUE NUMERI RELATIVI

Rispetto a quando si opera con i numeri naturali bisogna tenere conto del segno dei due fattori

I due fattori sono entrambi positivi, ad es. (+2) • (+4) sarà uguale a

(+2) + (+2) + (+2) + (+2) = +8

I due fattori sono uno negativo e l’altro positivo, ad es. (-3) • (+5) sarà uguale a

(-3) + (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = -15

I due fattori sono entrambi negativi, ad es. (-3) • (-4) e in questo caso si utilizza un percorso indiretto. Si prende in esame un’altra moltiplicazione e precisamente [(+3) + (-3)] • (-4).

Il risultato della somma algebrica in parentesi quadra è zero, quindi anche l’intera moltiplicazione sarà uguale a zero. Si applica la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione: (+3) • (-4) + (-3) • (-4) = 0

Il prodotto (+3) • (-4) è uguale a (-12), come sopra descritto; poiché il prodotto fra (-3) • (-4) aggiunto a -12 deve dare come risultato zero, dovrà necessariamente essere: (-3) • (-4) = +12

+ · + = ++ · - = -- · + = -- · - = +

+ · + = ++ · - = -- · + = -- · - = +

Ricapitolando i quattro casi descritti si può costruire la seguente tabella dei segni

REGOLA: il prodotto fra due numeri relativi è un numero relativo che ha

-Come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti;

-Segno: positivo se i due numeri sono concordi, negativo se discordi.Per la divisione fra due numeri relativi vale la stessa regola dei segni per la moltiplicazione, mentre come valore assoluto avremo naturalmente il quoziente dei valori assoluti.

Qual è il segno del prodotto di due numeri relativi concordi?

E tra due discordi?

Qual è il segno del prodotto di una moltiplicazione in cui i fattori negativi sono in numero pari?

E se dispari?

Metti al posto dei puntini due numeri relativi concordi tali che l’uguaglianza sia verificata:

(…) + (…) = -8; (…) + (…) = +6 (…) + (…) = -24

Metti al posto dei puntini due numeri relativi discordi tali che l’uguaglianza sia verificata:

(…) + (…) = -10; (…) + (…) = +7 (…) + (…) = -90

ALTRI ESERCIZI DA PROPORRE

E ancora…

Alcune delle seguenti operazioni sono state eseguite in modo sbagliato, individua l’errore e correggilo:

(-8) + (-4) = - 4

(+7) – (-2) = + 9

(-4) • (-9) = - 36

(+8) : (+2) = + 4

(+81) – (-1) = + 80

(+44) • (-1) = + 44

(-10) : (+5) = + 2

Ed infine, calcolare il valore di espressioni come:

[(2/7 + ½ -1/3) : (-19/7) + (1/8 + 10/3 – 5/2) + 1/3 – 1]

[-6/5 + 3/2 – 1/15 – (3/2 + 9/4 -1) + 2/3 • 9/8] : (1/10 + 4/5 -1) -1/3 + 10/3

[(3/4 + ½ - 9/10) : (1/4 + 6/5 -1) – (5/3 – 1/9 + 11/3) + (-8/3 + 1/9)] : (-7/3)

Bibliografia

G. Flaccavento Romano – MATEMATICA UNO SU MISURA – Fabbri Editori (1999);

E. Nicoletti, M.T. Servida, G. Somaschi – ALGEBRA – CEDAM (2002);

D. Valenti, C. Gori Giorgi – IMMAGINI DELLA MATEMATICA (vol. C) – Zanichelli (2004);

R. Vacca, B. Artuso, F. Barreca – PROGETTO MODULARE DI ALGEBRA – ATLAS (2003).