IMAGING PARTE 1Bartolomeo Cassano

SOMMARIO

Processo di formazione Processo di acquisizione Caratterizzazione di un’immagine

INTRODUZIONE

Dal dizionario: rappresentazione, imitazione di un oggetto o di una cosa; descrizione grafica o visiva di oggetti.

Per studiare le immagini: Formazione di un’immagine Acquisizione di un’immagine Caratterizzazione di un’immagine

PROCESSO DI FORMAZIONE

Il processo di formazione di un’immagine è quel processo che coinvolge l’interazione tra: radiazione emessa da una sorgente l’oggetto che si vuole rappresentare il rivelatore

Un processo di formazione ha tre componenti: Una sorgente Un oggetto Un sistema di rilevazione

PROCESSO DI FORMAZIONE

FORMAZIONE DI IMMAGINI:GENERALITÀ

Le immagini possono essere classificate in base al tipo di interazione che è avvenuta tra la radiazione e l’oggetto: In riflessione (ad es.Fotografia)

Superficiali Di Volume

In trasmissione (ad es. Radiografia) In emissione (ad es. Scintigrafia)

Un sistema di formazione di immagini ideale deve avere le seguenti proprietà: Biunivoco Lineare Invariante Spazialmente

FORMAZIONE DI IMMAGINI:SCHEMATICAMENTE

FORMAZIONE DELLE IMMAGINIIMPORTANTE

È necessaria una corrispondenza biunivoca tra un punto della sorgente e un punto del rivelatore

(x2;y2)

(x1;y1)

(x’1;y’1

)

(x’2;y’2

)

PROCESSO DI ACQUISIZIONE

L’acquisizione di un’immagine è il processo che “ferma” l’immagine su un supporto adatto

Le fasi di acquisizione sono: Scansione Trasduzione o rivelazione Campionamento (solo nel caso di immagini digitali) Quantizzazione (solo nel caso di immagini digitali) Scrittura o memorizzazione

PROCESSO DI ACQUISIZIONESCANSIONE

Possono essere utilizzate tre modalità di scansione: Di punto

Lenta ma con buon contrasto

Di linea Situazione intermedia

Di superficie Veloce ma con basso contrasto

CARATTERIZZAZIONE DI UN IMMAGINE

Un’immagine monocromatica e reale può essere caratterizzata da una funzione detta “Image Light Function” (ILF) che rappresenta la distribuzione di energia radiante prodotta da una sorgente luminosa alle coordinate (x;y) al tempo t alla lunghezza d’onda λ:

CARATTERISTICHE DELL’ILF

Coordinate spaziali reali Coordinata temporale reale ILF è una funzione non negativa e con un massimo di

intensità

Limitata spazialmente

Limitata temporalmente

RISPOSTA IN INTENSITÀ

La risposta in intensità di un osservatore umano standard ad una ILF è comunemente misurata in termini di brillanza istantanea del campo luminoso definita come:

Con V(λ) l’efficienza di brillanza che altri non è che la risposta spettrale della visione umana

RISPOSTA IN INTENSITÀ AL COLORE

Analogamente la risposta al colore di un osservatore umano standard è misurata in termini di un set di tre valori che sono proporzionali alle quantità di rosso (R) verde (G) e blu (B)

Per un arbitrario sistema di riferimento R-G-B abbiamo:

Con RS;GS;BS le risposte rispettivamente al rosso al verde e al blu della visione umana

SISTEMA POLICROMATICO

In un sistema policromatico di formazione di immagini definiamo la i-esima risposta in intensità alla ILF come

Con Si(λ) la risposta dell’i-esimo sensore Per semplicità di notazioni viene scelta un’unica

f(x;y;t) per rappresentare la risposta in intensità in un sistema fisico di formazioni di immagini

f(x;y;t) fornisce l’emissione della sorgente nel punto (x;y) e spesso viene chiamato funzione sorgente

SISTEMA BIDIMENSIONALE

Un sistema a due dimensioni, nella sua forma più generale è semplicemente una mappatura di un qualche input rappresentato da un set di funzioni bidimensionali

Ed un output anch’esso rappresentato da un set di funzioni bidimensionali

La mappatura può essere rappresentata dall’operatore

OPERATORE DI MAPPATURA

Ci sono tre casi: Many to Few N>>M Few to Many N<<M One to One N=M

Come è stato detto precedentemente vogliamo una corrispondenza biunivoca quindi sceglieremo il terzo caso

Quindi possiamo scrivere direttamente:

La relazione tra input e output può essere così schematizzata

FORMA ANALITICA DELL’OPERATORE

Dobbiamo trovare una forma analitica dell’operatore di mappatura

Ricordiamo, quindi, quanto è stato detto precedentemente sulle proprietà di un sistema ideale di formazione di immagini: Biunivoco Lineare Invariante Spaziamente

Quindi l’operatore di mappatura che cerchiamo deve avere queste proprietà L’invarianza spaziale sarà trascurata all’inizio

OPERATORE DI SINGOLARITÀ E LINEARITÀ

Affinché sia rispettata la biunivocità usiamo l’operatore di singolarità noto anche come delta di Dirac che possiede le seguenti proprietà:

Con ε piccolo piacere Affinché il sistema di formazione sia lineare l’operatore

deve avere la seguente proprietà

Con a1 e a2 variabili complesse

FINALMENTE!!!!

Sostituendo si ottiene:

Chiamando:

Otteniamo finalmente:

DA UN PUNTO DI VISTA PRATICO:LA LINEARITÀ

Da un punto di vista pratico un processo di formazione è lineare se è solo se è valido il principio di sovrapposizione: Supponiamo di avere due sorgenti f1(x;y) e f2(x;y)

Otteniamo immagini separate g1(x’;y’) e g2(x’;y’)

Otteniamo adesso un’immagine g(x’;y’) utilizzando la sorgente f(x;y) così definita:

Allora il sistema è lineare se:

DA UN PUNTO DI VISTA PRATICO:L’INVARIANZA SPAZIALE

Un processo di formazione lineare è invariante spazialmente se ponendo una sorgente puntiforme in due punti (successivamente o simultaneamente) si ottiene la stessa immagine traslata nello spazio, ovvero:

Cioè significa che si dice che il sistema è invariante spazialmente se la funzione h(x;y;x’;y’) dipende solo dalle differenze (x-x’) e (y-y’)

IMAGING PARTE 2Bartolomeo Cassano

SOMMARIO 2

PSF Risoluzione MTF Contrasto Rumore Spettro di Wiener

PSF: POINT SPREAD FUNCTION

Supponiamo di acquisire l’immagine di un singolo punto, quindi possiamo scrivere:

Dove δ(x;y) è l’impulso di Dirac nel piano (x;y) L’immagine così ottenuta prende il nome di Point Spread

Function (PSF) o risposta impulsiva del sistema

OSSERVAZIONI SULLA PSF

Applicando alcune proprietà della delta di Dirac otteniamo:

Questo significa che possiamo invertire il significato delle funzioni all’interno dell’integrale: h(x;y) come sorgente δ(x-x’;y-y’) come l’azione del sistema di formazione

In questo modo possiamo considerare come se la sorgente fosse vista attraverso un pin-hole

RISOLUZIONE

Supponiamo di avere a disposizione un sistema di formazione ideale: Vale la biunivocità tra il punto (x;y) e (x’;y’) Vogliamo quindi che h(x-x’;y-y’)=δ(x-x’;y-y’)

Considerando un impulso del tipo f(x;y)=δ(x;y) si otterrà un immagine g(x’;y’)=δ(x’;y’)

In una dimensione si avrà:

RISOLUZIONE Se il sistema non è ideale ma è reale la funzione h(x-x’;y-y’)

non sarà rappresentabile con una δ(x-x’;y-y’) Il sistema riprodurrà in uscita la forma del nucleo h(x-x’;y-

y’) In questo caso è definibile la risoluzione spaziale del sistema

in una data direzione come la larghezza a mezza altezza della curva ottenuta dall’andamento della funzione g(x’y’) rispetto alla variabile scelta

Ad esempio se la risposta fosse gaussiana

BLURRING

L’effetto della PSF sull’oggetto f viene detto blurring (annebbiamento) in quanto l’immagine g è una versione dell’oggetto f in cui i dettagli sono meno nitidi. L’espressione sfocamento, che viene talvolta usata, non è del tutto corretta perchè lo sfocamento è un caso particolare di blurring

DENSITÀ OTTICA

Un’emulsione radiografica, sottoposta all’esposizione di una radiazione e.m., subisce una ionizzazione dei granuli di alogenuro d’argento che, in seguito al processo di sviluppo, determinano l’annerimento della pellicola

Sia I0 l’intensità iniziale di un fascio che investe

I l’intensità trasmessa

Allora si definisce trasmittanza:

L’annerimento di una pellicola, allora, si esprime in funzione della densità ottica definita:

CURVA HURTER DRIFFIELD

Una pellicola per radiografie esposta ad una radiazione ha una risposta non lineare all’esposizione

Nel 1880 Hurter e Driffield studiarono la risposta della pellicola all’esposizione della luce In loro onore, quindi, è stata chiamata la curva caratteristica

che descrive l’OD in funzione del log10 dell’esposizione

CARATTERISTICHE DELLA CURVA H&D

La curva mostra: Inizialmente ha un andamento piatto Superata una certa soglia di esposizione inizia a salire

Gradualmente Andamento rettilineo

In questa regione la densità ottica è proporzionale al logaritmo dell’esposizione ed è indicata come regione della corretta esposizione

Lavorando in questo tratto della curva si hanno le informazioni più dettagliate

Oltre questa zona la pendenza della curva diminuisce fino a raggiungere un valore di saturazione (plateau) in corrispondenza della densità ottica massima DMax

PARAMETRI DELLA CURVA H&D La curva H&D può essere caratterizzata in base ad un

numero ridotto di parametri che sono così definiti: Base + velo

OD di una pellicola non impressionata dopo lo sviluppo, dovuta esclusivamente all’opacità del supporto ed al velo chimico, cioè a quei granuli dell’emulsione che si sviluppano indipendentemente dall’essere stati esposti

Contrasto Capacità di far risaltare le differenze di densità derivanti da diverse

esposizioni. Il contrasto G della pellicola radiografica rappresenta la pendenza della curva caratteristica nella regione lineare ed è calcolato come la tangente dell’angolo formata con l’asse delle ascisse dal prolungamento del tratto rettilineo Più frequentemente viene calcolato il contrasto medio <G>, cioè la

pendenza media della curva che passa per i punti D1=base+velo+0,25 e D2=base + velo+2

L’utilità del concetto di contrasto medio sta nel fatto che, operando nella zona lineare e per un dato rumore, maggiore è il contrasto e maggiore sarà il segnale (più facile da rielvare)

Latitudine di esposizione Intervallo di esposizione corrispondente al tratto rettilineo della curva,

cioè alla regione di corretta esposizione. È in rapporto inverso con il contrasto

ALCUNE REGOLE DELL’OD

È possibile risalire, sotto l’assunzione di alcune ipotesi semplificative, alla seguente relazione tra densità ottica ed esposizione X della pellicola

Con k costante ODMax densità ottica massima ottenibile

Legata ai parametri costruttivi della pellicola secondo la legge di Nutting

g numero di grani per unità di area σ sezione del grano dopo il processo di sviluppo

MTF Consideriamo una serie di onde sinusoidali con differenti

frequenze spaziali (delimitate dalla linea trattegiata) Consideriamo queste serie di un ipotetico sistema di immagini L’ampiezza è una misura della densità di immagini

Densità ottica per pellicole Scala di grigi per le immagini digitali

Ogni immagine sarà soggetta a fenomeni di blurring dovuti alla psf del sistema di immagini; quindi l’output di ogni onda sarà ridotto (delimitato da linea contina)

MTF Notiamo che al crescere della frequenza spaziale il

“blurring” causa una riduzione dell’ampiezza dell’onda sinusoidale di output

Consideriamo L’ampiezza di input Ai

L’ampiezza di output Ao

Δx frequenze spaziale dell’input Allora la modulazione delle frequenze (MTF) sarà

Dove è stato trascurato un eventuale offset

EFFETTI DELL’MTF

MTF

Il grafico della MTF in funzione della frequenza spaziale è una descrizione completa delle proprietà di risoluzione di un sistema di immagini Illustra la frazione o la percentuale del contrasto di un

oggetto registrato dal sistema di immagini come funzione della grandezza dell’oggetto (frequenza spaziale)

In un sistema formato da molti sistemi ottici la MTF risultante è il prodotto delle singole MTF (figura a destra)

CONTRASTO

Supponendo di misurare conteggi il contrasto è definito come la differenza di valori in due punti distinti dell’immagine

Il contrasto presente in un’immagine medica è il risultato di un certo numero di steps che avvengono durante i processo di acquisizione, di processamento e di display di un’immagine

Ci sono differenti definizioni di contrasto per ogni step nel processo di imaging

Questi meccanismi creano: Il contrasto fisico Il contrasto del detector Il contrasto radiologico Il contrasto digitale (rapporto segnale rumore) Il contrasto del display

CONTRASTO FISICO

Il contrasto fisico è generato dal processo di acquisizione Esempio per riprodurre un oggetto utilizziamo

successivamente due fasci di raggi X di diversa energia allora il contrasto fisico delle due immagini ottenute rimarrà inalterato

Per intervenire sul contrasto fisico è necessario modificare alla base il sistema di acquisizione

Nel caso della pellicola, analizziamo il grafico della densità ottica in funzione del logaritmo dell’esposizione Dobbiamo considerare

La dinamica (differenza tra ODMax e ODMin) La sensibilità (minimo valore dell’esposizione per il quale si ottiene

una risposta sulla pellicola)

CONTRASTO FISICO

Per aumentare la dinamica e quindi disporre di un intervallo più ampio di valori bisognerebbe avere grani più grandi In questo modo si incrementa il contrasto fisico In questo modo si riduce la risoluzione spaziale del sistema

Per aumentare la sensibilità si aumentano gli ASA (velocità di risposta di una pellicola) In questo modo il contrasto fisico non varia

CONTRASTO RADIOLOGICO

Il contrasto radiologico è generato dal processo di formazione Esempio per riprodurre un oggetto utilizziamo

successivamente 2 fasci di raggi X di diversa energia allora il avrà una differenza nel contrasto radiologico

Alcuni “trucchi” per migliorare il contrasto radiologico Usare lo iodio Abbassare la tensione di alimentazione del tubo a raggi X

Studiando il grafico del coefficiente di assorbimento lineare ci si accorge che si ha una maggiore diversificazione a basse energie

A energia elevata l’interazione degli X avviene con gli elettroni più interni e quindi il materiale perde di importanza (effetto Compton prevale sull’effetto fotoelettrico)

Rende il fascio meno penetrante Decremento della trasmittanza e dei fotoni rilevati

CALCOLO DELLA TRASMITTANZA OTTIMALE

Dimostriamo che la trasmittanza ottimale si ha per

Con x spessore attraversato μ coefficiente di attenuazione lineare della radiazione

CALCOLO DELLA TRASMITTANZA OTTIMALE La sensibilità del sistema assorbiometrico ad una

variazione di spessore è data da:

La sensibilità dipende dalla risposta stessa, cioè da N Costituisce un fattore negativo per il sistema di formazione

di immagini in quanto è intrinseco un elemento di non linearità

La presenza del rumore determinerà un’incertezza nella determinazione della risposta che indicheremo con σ(N)

Poiché la determinazione dell’assorbimento si basa sulla misura di una variazione di conteggi

Statistica di Poisson

CALCOLO DELLA TRASMITTANZA OTTIMALE

L’incertezza stimata sulla grandezza ΔN sarà pari a:

La risoluzione del sistema, intesa come la minima variazione di spessore apprezzabile, che chiameremo resolving-power sarà:

Derivando per cercare ΔxMin

CONSIDERAZIONI SULLA TRASMITTANZA OTTIMALE

1/μ corrisponde al libero cammino medio della radiazione nel mezzo Dopo aver attraversato un tale spessore la frazione di fotoni

sopravissuti è pari a:

Muoiono circa il 63% dei fotoni incidenti Lo spessore ottimale corrisponde inveece a 2 cammini

liberi medi e si ha:

Ovvero un sistema radiologico è “ottimale” se permette solo al 13% dei fotoni incidenti di sopravvivere

DISTRIBUZIONE DEL NUMERO DI CONTEGGI N

La misura N del numero di conteggi è affetta da un errore statistico che ha origine da diversi contributi Quantum Noise

Un tubo a raggi X è una sorgente di fotoni che è naturalmente distribuita in modo poissoniano e genera un rumore quantico

Statistica dei fotoni Contributo non poissoniano ed è dovuto alla statistica dei fotoni in

arrivo sul rilevatore

Incertezza sul numero degli urti Contributo poissoniano è dovuto all’incertezza sul numero di urti

compiuti durante il loro cammino

Rumore elettronico Indotto dalle apparecchiature utilizzate

Nella trattazione ipotizzeremo che valga solo il primo contributo ed attribuiremo ad N un distribuzione di Poisson

RAPPORTO DI CONTRASTO

Si definisce rapporto di contrasto una grandezza adimensionale che nasce dall’esigenza di confrontare immagini di origine profondamente diversa Ad esempio confontare un’immagine realizzata con gli

ultrasuoni a confronto con una radiografia Consideriamo un mezzo quasi ovunque omogeneo con

coefficiente μ tranne che in un volumetto di spessore Δl con coefficiente μ’

RAPPORTO DI CONTRASTO Allora possiamo scrivere

Definiamo rapporto di contrasto

La sensibilità sulle variazioni Δμ sarà:

RAPPORTO DI CONTRASTO

Quindi

Il minimo Δμ rilevabile risulta inversamente proporzionale alla quantità Δl

Possiamo riscriverla

Quest’ultima formula può essere vista come un principio di indeterminazione delle immagini A parità di numero fotoni rilevati, un tessuto con un certo μ’

sarà rilevabile solo al di sopra di uno spessore Δl Piccoli oggetti si rivelano solo se hanno Δμ elevato

RAPPORTO SEGNALE RUMORE

Definiamo rapporto segnale rumore

Ricordiamo che:

RAPPORTO SEGNALE RUMORE

Inoltre considerando le esperessioni

PROCEDURA DI MISURA

Da tutto quello che abbiamo visto possiamo notare una certa ambiguità tra la misura di Δμ e Δl Siamo interessati a μ

Δμ è un limite

Per superare questo problema si utilizzano procedure che diano 2 misure indipendenti di μ nello stesso punto

METODO 1

Sia Φ0 il numero di fotoni emessi dalla sorgente

Φ il numero di fotoni che incidono sul rivelatore dopo aver attraversato il campione

L spessore del campione (si misura in g/cm2) τ coefficiente di attenuazione (si misura in cm2/g)

Possiamo scrivere:

Consideriamo: I0 la misura di Φ0

I la misura di Φ Consideriamo inoltre due tipi di tessuti

Soft-tissue con coefficiente τst

Bone (osso) con coefficiente τb

METODO 1 Se il fascio attraversa uno spessore L composto da osso e

tessuto soffice, possiamo scrivere

Con wst e wb frazioni di tessuto soffice e osso

Utilizzando due fasci con le misure I1 e I2

Possiamo concludere che è possibile calcolare il valore di wb o di wst indipendentemente da L Ricordiamo inoltre che wst+wb=1

METODO 1

Supponiamo di iniettare un mezzo di contrasto che sarà visibile solo nella misura ad alta energia quindi:

METODO 2 Ripetere lo stesso esperimento in due istanti di tempo

sufficientemente lontani Nel secondo tentativo si introduce un mezzo di contrasto Risultato finale si ottiene sempre per sottrazione Meno vantaggiosa

Aumento del rumore L’oggetto che si considera in un secondo momento non è

esattamente lo stesso

LIMITE DI SELWING È un principio di indeterminazione per la lettura

micorodensimetrica. Supponiamo di illuminare una lastra con un fascio collimato e misurare il valore OD con un microdensitometro

Il principio afferma che il rumore prodotto dal sistema di rivelazione è inversamente proporzionale al passo di campionamento (risoluzione) Coincide con la larghezza del fascio Non si può ridurre la risoluzione senza che aumenti il rumore

LIMITE DI SELWING

Con un fascio più piccolo il valore medio è soggetto a maggiori fluttuazioni La misura risulta più imprecisa

Più piccoli sono i grani Migliore risoluzione Meno rumore Minore contrasto

Bisogna trovare sempre un compromesso

CROSS TALK: QUANTUM MOTTLE

Quando una radiazione di alta energia incide su un punto di una lastra produce: La riduzione di un grano d’argento Una carica secondaria che può colpire un altro grano vicino

impressionando anche quest’ultimo Un singolo fotone impressiona più grani

In un normale rivelatore CCD si presenta lo stesso problema Il meccanismo prende il nome di:

Smearing (trasferimento di carica) Blooming (accecamento del pixel)

Si verifica quando: Sul CCD interagisce un fotone ad elevata energia Sul CCD interagiscono un numero elevato di fotoni a bassa energia La telecamera esposta alla luce del sole

SPETTRO DI WIENER

Possiamo concludere che due punti non sono indipendenti

In una misura del valore medio <OD> con la sua covarianza σ2(OD) queste grandezze tengono conto della dipendenza tra i pixel

Calcoliamo la covarianza Supponiamo di esporre una lastra a un campo di

radiazione uniforme e di costruire la funzione di correlazione

OD(x) e OD(x+Δx) sono i vaolri della OD in due pixel a distanza Δx

SPETTRO DI WIENER

C(Δx) decresce all’aumentare della distanza fra i pixel Il concetto di indipendenza tra i due pixel è strettamente

legato a quello di risoluzione La risoluzione è milgiore quanto più indipendente risulta la

risposta di due elementi adiacenti Studiare la funzione di correlazione risulta laborioso e

poco vantaggioso

Una strada più breve In teoria dei segnali, un processo stocastico si dice

ergodico quando le medie statistiche convergono quasi ovunque alle medie temporali Da adesso in poi considereremo il sistema ergodico È possibile, quindi, sostituire la media spaziale dei pixel

vicini con la media temporale su un singolo pixel

SPETTRO DI WIENER

Studieremo la funzione di auto-correlazione, dove il valore di OD è misurato sullo stesso pixel ma a istanti diversi

Il teorema di Wiener-Khichin afferma che l’auto-correlazione di un sistema è uguale all’antitrasformata di Fourier della densità dello spettro di potenza

Con ρ(W) indichiamo la densità dello spettro di potenza W del segnale che prende il nome di spettro di Wiener

IMAGING PARTE 3Bartolomeo Cassano

SOMMARIO 3

Immagini digitali Campionamento Aliasing Conversione analogico digitale Operazioni sulle immagini digitali

IMMAGINI DIGITALI

Le immagini digitali sono funzioni discrete che misurano l’intensità luminosa nei punti di coordinate (x;y) dell’immagine stessa

Le fasi dell’acquisizione si possono schematizzare

IL CAMPIONAMENTO

Campionare un’immagine significa prendere dei campioni ovvero significa valutare g(xn’;yn’) per le successioni di valori del dominio di partenza {xn} e {yn}

Supponiamo di aver scelto di campionare l’immagine g(x’;y’) con un passo Δx’ e Δy’ rispettivamente lungo i due assi. Quindi dalla successione {nΔx’}n=-∞;…;+∞ e dalla successione

{mΔy’}m=-∞;…;+∞ otteniamo la successione:

{g(nΔx’;mΔy’)} Questa operazione può essere vista matematicamente come la

moltiplicazione della funzione g(x’;y’) con la cosiddetta funzione a letto di fachiro definita:

LA FUNZIONE COMB

IL CAMPIONAMENTO

Scriviamo in fine come scrivere la formula dell’immagine campionata (sampling) gs(x’;y’)

Applichiamo il teorema del prodotto di convoluzione

PRIMO RISULTATO La convoluzione produce, nello spazio delle frequenze,

un’immagine ripetuta

UN FILTRO

È necessario selezionare solo una parte dell’immagine campionata Si utilizza un filtro

Ad esempio possiamo scegliere un filtro che indicheremo con R(ωx;ωy) come una scatola nello spazio delle frequenze che corrisponde nello spazio ordinario alla funzione:

Come ci aspettavamo il filtro scelto fa decrescere i contributi al segnale per x e y molto grandi

TEOREMA DI NYQUIST

Sia g(x) un segnale a banda limitata, ovvero:

Denotando con G(ω) la trasformata di Fourier di g(x)

Sia ωS la frequenza di campionamento Allora g(x) è univocamente determinata dai suoi

campioni g(nΔx) se e solo se:

ALIASING:BUON CAMPIONAMENTO

ALIASING: CATTIVO CAMPIONAMENTO

ALIASING

QUANTIZZAZIONE

A seguito del campionamento l’immagine risulta composta da numeri, g(n;m), reali positivi per essere memorizzata in un dispositivo digitale deve essere quantizzata

Se gli g(n;m) hanno valori compresi tra gmin e gmax in tale intervallo potranno essere individuati con numero finito di valori con cui rappresentare la funzione g(n;m) L’incertezza con cui è misurato il valore della funzione g(x’,y’) durante l’acquisizione dell’immagine, dovuta alla presenza del rumore, giustifica il fatto che non siano assegnanti infiniti valori possibili alla funzione campionata ma solo un numero discreto

QUANTIZZAZIONE Per la quantizzazione del segnale occorre definire:

I livelli di decisione di, opportunamente spaziati Δ=di+1-di,

I livelli di ricostruzione, tali che se g(n,m) [d∈ i ,di+1 ] allora gi (n,m) = ri

I livelli di ricostruzione sono scelti in corrispondenza dei valori aspettati in modo da minimizzare l’errore commesso, facendo così è possibile dimostrare che nel caso di distribuzione uniforme dei valori l’errore di quantizzazione è di σ2=Δ/12

La quantizzazione consiste nel dare un valore ri al pixel dell’immagine se il valore originale è compreso [di ,di+1 ]

IMMAGINI COME MATRICI

La realizzazione di un’immagine digitale consente di esprimere quest’ultima sottoforma di matrice NxM Il valore di ogni elemento corrisponde al valore assegnato al

singolo pixel C’è una corrispondenza biunivoca elemento- pixel

IMMAGINI COME MATRICI

Oltre alla matrice contenente i valori di luminanza di ogni pixel si possono aggiungere tre matrici per la crominanza nel caso si tratti di un immagine colorata

Ad ogni pixel assegneremo un determinato colore individuato secondo il codice RGB

In un processore ad 8 bit ogni pixel può variare per 28 valori nel range [0-255] quindi combinando i tre colori possiamo avere 224 sfumature diverse

DINAMICA

La codifica in bit rende più semplice la definizione di dinamica

La dinamica sarà dato dal numero di livelli a disposizione Il numero di livelli sarà ottenibile dividendo l’ampiezza di

variazione massima dei valori assunti dalla grandezza per il potere risolutivo del sistema (a volte non è costante) Una risoluzione più alta fornirà una maggiore dinamica

Le tecniche di acquisizione sono tali per cui si può ritenere circa costante il prodotto tra dimensioni del quadro e risoluzione Alta risoluzione se il quadro è piccolo

OPERAZIONI SULLE IMMAGINI DIGITALI I principali metodi di elaborazione di immagine

comprendono: Rappresentazione e Modello

È la caratterizzazione delle grandezze che ogni elemento dell’immagine (pixel) rappresenta, ad esempio, la luminosità di un oggetto o l’assorbimento di raggi-X. O della temperatura di un punto (immagine infrarosso) o altro.Il modello fornisceuna descrizione logica o quantitativa della funzione bidimensionale rappresentate l’immagine

Miglioramento (enhancement) di particolari caratteristiche delle immagini Tendono a evidenziare caratteristiche geometriche, fisiche o

strutturali dell’immagine con lo scopo di mettere maggiormente in luce particolari o caratteristiche di quest’ultima. Ci sono tecniche per mettere in evidenza certe caratteristiche delle immagini: come l’esaltazione del contrasto o dei bordi la rappresentazione in falsi colori il filtraggio del rumore

OPERAZIONI SULLE IMMAGINI DIGITALI

Le tecniche di miglioramento sono usate nell’analisi, nell’estrazione delle caratteristiche e nella visualizzazione di informazione.

Queste tecniche non aumentano le informazioni contenute nell’immagine, ma mettono in evidenza certe caratteristiche gia presenti.

Gli iterativi sono quasi sempre iterativi e dipendono dall’applicazione

Restauro dell’immagine È il recupero (per quanto possibile) dell’immagine originale che si è

deteriorata nel processo fisico che ha consentito la sua cattura o successivamente nella fase di riproduzione o imagazzinamento

Se conosciamo le degradazioni presenti in un’immagine, possiamo usare tecniche numeriche di rimozione o minimizzazione dei difetti

I difetti più frequente La distorsione dovuta alla limitazione della geometria dei sensori Rumore aggiunto dai sensori

OPERAZIONI SULLE IMMAGINI DIGITALI

Analisi di un’immagine Sono misure quantitative effettuate sull’immagine con lo scopo di

produrre una sua descrizione, ad esempio in termini di separazione e dimensioni degli oggetti

Esistono metodi avanzati di analisi di immagine impiegati nei sistemi di controllo e di decisione nell’industria robotica

Ricostruzione di un’immagine Sottoclasse del restauro che permette di ricostruire un oggetto bi o

tri-dimensionale usando le proiezioni ad una dimensione (immagine CT)

Compressione di un’immagine La quantità di dati su un’immagine contenente un’informazione

visiva è così grande che richiede una grande capacità di archiviazione.Questi mezzi sono disponibili, ma il tempo d’accesso dcresce con la capacità. Per archiviare e trasmettere una quantità così grandi di dati occorre usare un “hardware” molto costoso.

La compressione senza perdite di un’immagine è la tecnica che permette di ridurre il numero di bit rappresentanti un’immagine senza avere una perdita di informazioni.Sono disponibili anche tecniche per perdite di informazioni in cui si ha una perdita di informazione dipendente dal grado di compressione

OPERAZIONI SULLE IMMAGINI DIGITALI

Quando si parla di elaborazione di immagini digitali si intende una qualsiasi operazione effettuata su una rappresentazione di una scena usando il calcolatore

La matrice viene immagazzinata nella memoria del calcolatore, permettendo La sua elaborazione La sua rappresentazione su di un video

In toni di grigio o a colori

Le operazioni su immagini sono (somma, segmen-tazione, zoom, spostamenti etc…) Ovvero tutte quelle operazioni che possono essere definibili

tra una o più immagini intese come un insieme ordinato di numeri

OPERAZIONI SULLE IMMAGINI DIGITALI Possiamo definire

Operazioni di punto Operazioni di area (locali) Operazioni di quadro (frame)

Queste operazioni sono classificabili in base alla loro complessità di calcolo Al numero di operazioni di base di cui necessitano In alcuni casi tali operazioni possono essere eseguite su

tutti i pixel in modo parallelo TRASFORMAZIONE DEI LIVELLI DI GRIGIO Operazione di punto Consiste in una modificazione di tali livelli assegnando

ad essi valori nuovi Serve per

Ottimizzare l’illumiazione di un’immagine

TRASFORMAZIONE DEI LIVELLI DI GRIGIO Operazione di punto Consiste in una modificazione di tali livelli assegnando

ad essi valori nuovi Serve per

Ottimizzare l’illuminazione di un’immagine Correggere l’immagine se non è omogenea Aumentare il contrasto

OPERAZIONI INVERTIBILI Alcune operazioni non sonoinvertibili

Costituiscono un’irrecuperabile perdita di informazioni Ad esempio supponiamo di sopprimere tutti i valori di grigio

al di sotto di una certa soglia L che vengono sostituiti dal valore 0 (=nero) e tutti quelli al di sopra di una certa soglia H che vengono sostituiti dal valore 255 (=bianco). Allora non sarà possibile tornare all’immagine originale da quella così ottenuta

Un esempio di operazione invertibile è la negazione Si esprime attraverso la formula

q valore iniziale del pixel Q-1 valore massimo assunto da q

È invertibile. Può essere cancellata da un’ulteriore negazione L’operazione inversa

LOOK-UP-TABLE

Per risolvere il problema dei lunghi tempi di calcolo si utilizzano le cosiddette “look-up-table” Sono tabelle in cui compare, già calcolato per ogni livello di

grigio della codifica digitale, il livello corrispondente dopo la trasformazione

In questo modo non è necessario oni volta per ogni pixel calcolare il nuovo livello di grigio

OPERAZIONI PUNTUALI NON OMOGENEE

Alcuni tipi di operazioni omogenee riguardano la valutazione e l’ottimizzazione dell’illuminazione e del contrasto per migliorare la qualità visiva di un’immagine

La più semplice trasformazione di questi tipo è quella:

r livello di grigio del pixel originali s livello di grigio dei pixel trasformati n numero anche frazionario a coefficiente angolare

Aumenta o diminuisce il contrasto

b coefficiente Alza o abbassa la luminosità

Nel caso di operazioni non omogenee non è possibile utilizzare le look-up-table e bisogna calcolare la trasformazione per ogni pixel

ISTOGRAMMI

Lo studio degli effetti delle trasformazioni sulle immagini è facilitato dall’utilizzo degli istogrammi

Sia f un’immagine allora si definisce istogramma la funzione Pf(r) che specifia con quale frequenza viene assunto il livello di grigio r La frequenza f è data dal rapporto del numero “n” di volte in

cui compare quel determinato livello e il numero “N” totale di pixel

ISTOGRAMMI

Pensiamo all’immagine di un quadrato nero su sfondo bianco Con gli istogrammi sarà rappresentabile:

L’istogramma di un’immagine reale sarà più complesso.Sarà rappresentato da una distribuzione di valori attorno ai due picchi corrispondenti ai due valori principali

SEGMENTAZIONE

Un’immagine complessa ha un istogramma complesso Definiamo una ROI (region of interest)

Consideriamo solo una parte del quadro Le proprietà di un’immagine sono locali e non globali Conosciamo due possibili segmentazioni

Segmentazione manuale Si fissa manualmente una determinata ROI

Segmentazione nata dall’estrazione di un oggetto dall’immagine separandola dallo scenario Facilmente ottenibile in un’immagine contrastata fissando una soglia

e assegnando il valore 1 a tutti i pixel al di sotto della soglia Variando la soglia varia la dimensione dell’oggetto

SEGMENTAZIONE (KERNELARE) Consideriamo una sottomatrice 3x3 dell’immagine

Consideriamo una maschera (kernel)

Allora la segmentazione consiste nel sovrappore la maschera alla griglia e sostituire al valore centrale della matrice a22 il risultato della somma pesata

OPERATORI DI DERIVAZIONE

Gli operatori di derivazione È possibile evidenziare i punti in cui l’immagine varia Compiono il riconoscimento degli oggetti

Attraverso un opportuno filtraggio, partendo dla’’immagine originale, viene costruita un’immagine dei soli bordi (Scheletrizzazione)

Sovrapponendo l’originale con l’immagine ottenuta si ottiene una nuova immagine con i bordi evidenziati

Il riconoscimento dei bordi è basato su un filtraggio passa-alto Vengono enfatizzati i cambiamendi tra i valori di grigio Vengono soppresse le aree a valori di grigio costante

ESEMPIO DI SCHELETRIZZAZIONE

Banda Green Equalizzazione semplice dell’istogramma

Immagine RGB diun pattern vascolare

Equalizzazione adattiva CLAHE

SEGMENTAZIONE Segmentazione e scheletrizzazione

ESEMPIO DI SCHELETRIZZAZIONE

OPERATORI DI DERIVAZIONE L’operatore base è la differenziazione

Si possono utilizzare operatoridi derivata prima e seconda Nel bordo la derivata prima è massima Nel bordo la derivata seconda è zero

Operatore che opera una derivazione lungo l’asse x sarà di questo tipo

Metterà in evidenza i bordi lungo l’asse y Analogamente:

Metterò in evidenza i bordi lungo l’asse x Esistono operatori quadrati che eseguono il gradiente

diagonali e sono noti come operatori di Roberts

OPERATORE PASSA-BASSO Operatore che esegue la media dei valori di una

determinata zona, rappresentata dalla matrice avente tutti pesi uguali

L’oggetto risulta identificabile mediante una regione a valore di grigio costante chiaramente distinguibile da quello dello sfondo o degli altri oggetti

Un tale valore sarà ripristinato attraverso il calcolo del valor medio nella regione di interesse, perché in generale il valore di grigio mostrerà delle variazioni dovute a diverse cause Rumore Disomogeneità dell’oggetto Illuminazion non uniforme

IMAGING PARTE 4Bartolomeo Cassano

SOMMARIO

Modello di Rose Curve contrasto-dettaglio L’analisi ROC

INTRODUZIONE Finora è stata fatta una trattazione separata dei concetti:

Di contrasto Di rumore Di risoluzione

È facile intuire che questi concetti sono legati tra loro Tali problematiche sono basilari per un sistema di immagine e

sono incorporati nei concetti di: SNR MTF Spettro di Wiener

In quest’ultima parte analizzeremo Modello di Rose Curve contrasto-dettaglio L’anilisi ROC

Questi tre argomenti riguardano lo studio simmultaneo degli argomenti trattati separatamente (Contrasto-Rumore-Risoluzione) e anche la capacità dell’osservatore di valutare un sistema di immagini

IL MODELLO DI ROSE

È un elaborazione matematica che mette in relazione il SNR necessario per osservare un oggetto di una certa misura con un dato livello di contrasto

I tre concetti (Risoluzione-Rumore-Contrasto) sono considerati simmultaneamente e il modello è in grado di predire se un oggetto di una data dimensione (legato fortemente alla risoluzione) e contrasto può essere rilevato in un’immagine con un determinato rumore e con una fissata fluenza di fotoni

COSTRUZIONE DELLA CURVA C-D Un certo numero di osservatori annota la misura del più

piccolo oggetto che può rilevare: Ad un certo contrasto Ad un dato livello di rumore

Il risultato di una tale analisi è una curva contrasto-dettaglio nella quale la misura del più piccolo oggetto osservabile è riportata con il suo contrasto per un dato livello di rumore

Una tipica curva C-D

CARATTERISTICHE DELLE CURVE C-D

Al diminuire delle dimensioni dell’oggetto e con un basso contrasto diminuisce il SNR e quindi risulta difficile vedere l’oggetto sull’immagine

Tutto ciò che è alla destra e al di sopra è percepibile nell’immagine

Le immagini a basso contrasto risultano noise-limited La percettibilità dell’oggetto è limitata dalla presenza del

rumore Le immagini ad alto contrasto il sistema sarà resolution-

limited La percettibilità dell’oggetto è limitata dall’impossibilità di

vedere oggetti infinitamente piccoli

ESEMPIO 1

Consideriamo 2 sistemi A e B di immagini ognuno con la rispettiva curva C-D come da figura

Il sistema A è migliore del sistema B, perché a parità di contrasto, consente di ottenere dettagli più piccoli

ESEMPIO 2

Consideriamo 2 sistemi A e B di immagini ognuno con la rispettiva curva C-D come da figura

A ha una migliore risoluzione spaziale del sistema B B ha un migliore contrasto del sistema A

STUDIO DELLE CURVE C-D

È un eccellete metodo qualitativo nel quale si combinano le informazioni del SNR-Contrasto-Risoluzione spaziale del sistema

Queste curve sono utilizzate in CT, ma il concetto è applicabile MRI Ultrasuoni Radiografia

TEORIA DI ROSE

Contrasto

SegnaleRumore

GRAFICARE LE CURVE C-D

Per ottenere le curve C-D si usa un pezzo di plastica wedge-shaped (a forma di cuneo) con dei fori di diverse dimensioni riempiti con plastica e con spessore variabile che determina i differenti livelli di contrasto

GRAFICARE LE CURVE C-D

Sia d il diametro del foro ϕ’ fluenza attraverso un foro adiaciente di spessore t

Il contrasto tra il foro e la plastica è:

Inoltre l’area è:

Quindi

Se il cuneo è costruito in modo tale che d è inversamente proporzionale allo spessore t allora SNR rimane costante per una data fluenza

GRAFICARE LE CURVE C-D Supponiamo che:

Il diametro dei fori cresca di un fattore f Il contrasto decresca di un fattore f

Allora una linea che commette questi fori avrà un SNR costante

Fissiamo il valore del SNR tale che la probabilità di distinguere un target è del 50%

Allora ci saranno oggetti o più grandi o con maggior contrasto (o entrambi) che avranno una percentuale maggiore del 50% di essere rilevati e staranno tutti da un lato della linea

Analogamente dall’altro lato della linea ci saranno oggetti che hanno una probabilità di essere rilevati minore del 50%

ANALISI ROC Le curve ROC (Receiving Operator Characteristics) sono

usate per confrontare diversi sistemi di immagine e sono realizzate da un osservatore umano

Sono uno strumento utile per: Comparare le capacità diagnostiche dei vari radiologi Comparare le capacità diagnostiche di due sistemi di imaging

differenti Ad esempio mettere a confronto CT e MRI

In qualsiasi test diagnostico lo scopo di base è quello di separare gli oggetti “normali” da quelli “anormali”

Tuttavia in molti casi avviene che alcuni pazienti sani mostrano anomalie nei loro test o viceversa

ANALISI ROC Si hanno, quindi, 4 casi possibili:

Vero positivo (TP) Vero negativo (TN) Falso positivo (FP) Falso negativo (FN)

Allora si definisce TPF (true positive fraction) come il rapporto del numero delle decisioni corrette sul numero di casi realmente positivi

Analogamente si definisce FPF (False positive fraction) come il rapporto del numero di decisioni positive ricorrette (l’osservatore riconosce che una diagnosi positiva è in realtà negativa) e il numero di casi realmente negativi

ANALISI ROC Una curva ROC è un’analisi del TPF graficata insieme

alla FPF

All’aumentare del contrasto è sempre più facile individuare la risposta giusta

Il caso TPF=FPF=0 l’oggetto è sempre assente Il caso TPF=FPF=1 l’oggetto è sempre presente Il caso TPF=1 e FPF=0 la risposta è sempre giusta (caso

ideale)

ANALISI ROC

Come mostrato in figura consideriamo due sistemi A e B la valutazione della bontà del sistema è data dalle aree sottese dalle curve, quindi, nel nostro caso abbiamo che A è migliore di B

L’analisi ROC porta ad una valutazione del sistema utilizzato nel suo complesso, non solo la qualità dell’immagine prodotta, ma con il fine di determinare l’affidabilità della diagnosi