I LIMITI

NON PUÒ FARE PIÙ FREDDO DI COSÌ! Non c’è limite al caldo, ma esiste un limite al freddo. La temperatura più bassa teoricamente raggiungibile nell’Universo si definisce «zero as-soluto» ed è pari a –273,15 °C.

Perché il termometro non può scendere sotto lo zero assoluto?

La risposta a pag. 765

CAPITO

LO

[numerazione cinese][numerazione devanagari][numerazione araba]12

CAPITOLO 12. I LIMITITEORIA

716

1. GLI INTORNIEsponiamo alcune nozioni fondamentali della topologia dell’insieme R dei nume-ri reali riguardanti loro particolari sottoinsiemi. Poiché esiste una corrispondenza biunivoca tra R e i punti di una retta orientata r, detta retta reale, possiamo iden-tificare ogni sottoinsieme di R (insieme numerico) con un sottoinsieme di punti della retta r e quindi parlare anche di topologia della retta.

Gli intorni di un puntoDEFINIZIONE

Intorno completoDato un numero reale x 0, si chia-ma intorno completo di x 0 un qualunque intervallo aperto I (x 0) contenente x 0: I(x 0) = ]x 0 - d1; x 0 + d2[,con d1, d2 numeri reali positivi.

ESEMPIO

Se x 0 = 1, l’intervallo aperto I = ]0; 3[ è un intorno completo di 1. In questo caso d1 = 1 e d2 = 2, perché possiamo scrivere:

I = ]1 - 1; 1 + 2[.

Questo intorno ha ampiezza (x0 + d2) - (x0 - d1) = d1 + d2 = 1 + 2 = 3.

Anche ]- 1; 2 [ e 21 ; 4;E sono intorni completi di 1.

Quando d1 = d2, il punto x 0 è il punto medio dell’intervallo. In questo caso parlia-mo di intorno circolare di x 0.

DEFINIZIONE

Intorno circolareDato un numero reale x 0 e un numero reale positivo d, si chiama intorno circolare di x 0, di raggio d, l’intervallo aperto I d(x 0) di centro x 0 e raggio d: I d(x 0) = ] x 0 - d; x 0 + d[.

L’intorno circolare del punto 5 di raggio 2 è ]5 - 2; 5 + 2[, ossia ]3; 7[.

Poiché l’intorno circolare di x 0 di raggio d è l’insieme dei punti x ! R tali che

x 0 - d 1 x 1 x 0 + d,

cioè tali che - d 1 x - x 0 1 d, possiamo anche scrivere:

R( )I x x x x0 0 1! d= -d $ ..

● Il termine topologia significa «studio del luogo» e deriva dalla parola greca topos che significa appunto «luogo».

310

1 2Ð1

412––1

x0 − δ x0 x0 + δ

δ = raggio

Ιδ(x0)

3 75Ι2(5)

2 2

● Ricorda che ( )A x 1

è equivalente a( )k A x k1 1-

e viceversa.

Ι(x0)

x0 – δ1

δ1 δ2

x0 x0 + δ2

● Un intervallo è un sot-toinsieme di numeri reali che corrisponde a una semi-retta (intervallo illimitato) o a un segmento (intervallo limitato) della retta reale.Un intervallo può essere chiuso o aperto, a seconda che gli estremi apparten-gano o meno all’intervallo.Parlando di punto di un intervallo intenderemo sia il numero reale, sia il punto del segmento che lo rappre-senta.

TEORIA

717

Per gli intorni completi e circolari di un punto x 0 vale la seguente proprietà.

PROPRIETÀ

L’intersezione e l’unione di due o più intorni di x 0 sono ancora degli intorni di x 0.

L’intorno destro e l’intorno sinistro di un puntoDato un intorno di un punto x 0, talvolta interessa considerare soltanto la parte dell’intorno che sta a destra di x 0 oppure quella che sta a sinistra.

In generale, dato un numero d ! R+, chiamiamo:

• intorno destro di x 0 l’intervallo Id+(x 0) = ]x 0; x 0 + d[;

• intorno sinistro di x 0 l’intervallo Id-(x 0) = ]x 0 - d; x 0[.

Per esempio, l’intervallo ]2; 2 + d[ è un intorno destro di 2; l’intervallo ]-5; -3[ è sia un intorno sinistro di -3, sia un intorno destro di -5.

Gli intorni di infinitoDati a, b ! R, con a 1 b, chiamiamo:

• intorno di meno infinito un qualsiasi intervallo aperto illimitato inferiormente:

R( ) ;I a x x a3 3 1!- = - =6@ " ,;

• intorno di più infinito un qualsiasi intervallo aperto illimitato superiormente:

R( ) ;I b x x b3 3 2!+ = + =6@ " ,.

Si definisce inoltre intorno di infinito l’unione tra un intorno di 3- e un intorno di 3+ , cioè:

R( ) ( ) ( )I I I x x a x b, 03 3 3 1 2!= - + = " ,.

● La scrittura 3, priva di segno, indica contemporaneamente sia -3 che +3. Quindi, se si vuole indicare solo +3, bisogna esplicitamente scrivere il segno + davanti al simbolo 3.

Analogamente al caso di un punto reale x 0, possiamo parlare di intorno circolare di infinito:

( ) ; ;I c cc ,3 3 3= - - +6 6@ @ R( )c ! + .

PARAGRAFO 1. GLI INTORNI

x0intorno destro di x0

x0 + δ

intorno sinistro di x0x0x0 – δ

Ιδ+(x0)

Ιδ–(x0)

b Figura 1

● Per esempio:

intornosinistro di 1

1intornodestro di 1

Ι–(1) Ι+(1)

CAPITOLO 12. I LIMITITEORIA

718

I punti di accumulazioneDEFINIZIONE

Punto di accumulazioneSi dice che il numero reale x 0 è un punto di accumulazione di A, sottoinsie-me di R, se ogni intorno completo di x 0 contiene infiniti punti di A.

ESEMPIO

Consideriamo l’insieme:

0, 21 , 3

2 , 43 , 5

4 , 65 , 7

6 , , 1A nn

f=+

& 0, n ! N.

All’aumentare di n , i corrispondenti valori di A si avvicinano al valore 1, come si può osservare dalla tabella:

n 10 100 1000 10 000 f

nn1+

,1110 0 90= ,101

100 0 9900= ,10011000 0 999000= ,10001

10000 0 9999000= f

È possibile verificare che il punto 1 gode della seguente proprietà: comunque scegliamo un intorno completo di 1 (anche di raggio molto piccolo), questo contiene infiniti elementi di A. Quindi 1 è un punto di accumulazione di A.Per esempio l’intorno ]0,9; 1,1[ del punto 1 contiene infiniti punti di A:

, , ,1110

1211

1312

f

L’intorno ]0,99; 1,01[ contiene altri infiniti punti di A: , , ,101100

102101

103102

f

E così via.

Ogni punto di un intervallo è di accumulazione per l’intervallo stesso. Anche gli estremi dell’intervallo sono suoi punti di accumulazione.

● Si dimostra che è equivalente alla definizione data dire che x0 è punto di accumulazione di A se ogni intorno completo di x0 contiene almeno un elemento di A distinto da x0.

● Il termine accumula-zione indica che i punti di A si addensano intorno a x0.

0,9 1011––– 11

12–––

0,99 1 1,01

0,99 100101–––– 101

102–––– 102

103–––– 1 1,01

1,1

1213–––

c Figura 2 Disegniamo alcuni punti dell’insieme A contenuti in ]0,9; 1,1[. Ingrandiamo poi la figura e disegniamo alcuni punti di A, contenuti in ]0,99; 1,01[. Questo procedimento può essere ripetuto considerandoun intorno con raggio preso piccolo a piacere.

● Osserva che il punto 1 è punto di accumulazione di A, ma non appartiene ad A.

TEORIA

719

PARAGRAFO 2. LA DEFINIZIONE DI ( ) <lim f x( ))x x0xx

=

2. LA DEFINIZIONE DI ( ) <lim f x( ))x x0xx=

Sia D un sottoinsieme di R. Consideriamo la funzione f : D " R, y = f (x) e sup-poniamo che il suo grafico sia quello rappresentato nella figura 3.

Introduciamo uno strumento matematico che permetta di descrivere con precisione la proprietà che vediamo nella figura 3: più scegliamo x vicino al valore x0 e più la sua immagine f (x) si avvicina a un certo valore l .

Consideriamo, per esempio, la funzione, definita in D = R - {3}:

( )y f x xxx 6

32 2

= =-

- .

Vogliamo studiare il comportamento della funzione vicino al punto x 0 = 3.

Osserviamo che f (x) non è definita in 3, quindi non ha senso considerare f (3). Cerchiamo allora a quale valore l si avvicina la funzione quando x si approssima al valore 3.

Diamo alla variabile x dei valori che si avvicinano sempre più (per eccesso o per difetto) a 3 e calcoliamo le loro immagini f (x).

x f(x) x f(x)

2,9 5,8 3,1 6,22,99 5,98 3,01 6,022,999 5,998 3,001 6,0022,9999 5,9998 3,0001 6,0002f f f f

Vediamo che quanto più x si avvicina a 3, tanto più f (x) si avvicina al valore 6.

Più in generale, se prendiamo un qualunque valore di x in un intorno di 3 sempre più piccolo, allora f (x) si trova sempre più vicino a 6, cioè si trova in un intorno di 6 sempre più piccolo. Per comodità, consideriamo degli intorni circolari.

, = f(x0)

f(x)→

x0x →

,

f(x)

x0x →

f(x)

x→

a. Nel caso di una funzione f comequella disegnata in figura vediamoche, se x si avvicina a x0, allora f(x) siavvicina a , = f(x0).

b. Possiamo porci la stessa domandaanche nel caso in cui x0 è punto diaccumulazione per D, ma x0 Ó D equindi l’espressione f(x0) nonha significato. A quale valore , siavvicina f(x) quando x si avvicina a x0?

y

xO

y

xO

c Figura 3 Quando x si avvi-cina a x0, f(x) si avvicina a ,?

● Negli esempi che consi-dereremo, D sarà spesso un intervallo o un’unione di intervalli.

● Vedremo che l può coin-cidere con f (x 0), ma può anche essere diverso.

m Tabella 2m Tabella 1

CAPITOLO 12. I LIMITITEORIA

720

Possiamo allora dire che, se consideriamo un qualunque intorno circolare di 6 di ampiezza f, che indichiamo con If(6), esiste sempre un intorno di 3 i cui punti x (con x ! 3) hanno immagine f (x) contenuta in If(6). Infatti i punti dell’intorno ( )I 6f sono quei valori di f(x) per cui si ha:

( )f x 6 1 f- , ossia 32 6 6xx x2

1 f-

-- .

Svolgendo i calcoli, otteniamo:

( )

2 ( ) 3 ,

xx x x

xx x

xx x x

32 6 6 18

32 6 9

33 3 2 2 2

2 2

2

" "

" " "$

1 1

1 1 1 1

f f

ff f f

-

- - +

-

- +

-

-- - -

cioè 3 x2 3 21 1f f

- + . Quindi le soluzioni della disequazione sono i punti

dell’intorno ( ) 3 2 ; 3 2I 3 f f= - + ;E .

Riassumendo: per ogni 02f esiste un intorno I (3), che dipende da f, tale che per ogni x ! I (3), con x ! 3,

( ) 6f x 1 f- .

Diciamo allora che «per x che tende a 3, f (x) ha limite 6» e scriviamo:

( )lim f x 6x 3

="

.

● Come abbiamo visto, non è necessario che il punto x 0 = 3 appartenga al dominio D della funzione, ma poiché dobbiamo considerare le immagini di punti sempre più vicini a x 0, occor-re che la funzione sia definita in questi punti. Ciò significa che x 0 deve essere un punto di accu-mulazione per D.

In generale possiamo dare la seguente definizione.

● Ricordiamo che i punti di un intorno circolare I f(x 0) sono i numeri reali x tali che x x x0 01 1f f- + ossia x x0 1 f- .

● L’ampiezza dell’intorno di 3 dipende dalla scelta dell’intorno di 6.

● Stiamo studiando il comportamento di f(x) in un intorno di 3, ma non in 3, quindi possiamo conside-rare x 3! e semplificare.

DEFINIZIONE

Limite finito per x che tende a x0Si dice che la funzione f (x) ha per limite il numero reale l , per x che tende a x 0, e si scrive

( )lim f x lx x0=

",

quando, comunque si scelga un numero reale positivo f, si può determinare un intorno completo I di x0 tale che risulti

( )l f x l1 1f f- + , ossia ( )f x l 1 f- ,

per ogni x appartenente a I, diverso (al più) da x 0.

) l 1

y

O x

,f(x),+ε

x0 x1

y = f(x)

Ιε(x0)

f(x)–, <εÐε,

● La validità della condi-zione ( )f x l 1 f- pre-suppone che f (x) sia defi-nita in I (escluso al più x0). Il punto x 0 è di accumula-zione per il dominio della funzione. Non ci interessa il valore che la funzione f (x) assume eventualmente in x 0.

TEORIA

721

PARAGRAFO 2. LA DEFINIZIONE DI ( ) �lim f x( ))x x0xx

=

In simboli la definizione di ( )lim f x lxx 0=

" si può formulare così:

( ) ( ) , ( ),I x f x l x I x x x0 0 0 06 7 62 1 !!f f- .

Il significato della definizioneNella definizione appena data, considerando f, pensiamo a valori che diventano sempre più piccoli. Diremo che f è preso «piccolo a piacere».

Inoltre, se esplicitiamo il valore assoluto nell’espressione ( )f x l 1 f- , otteniamo

- f 1 f (x) - l 1 f " l - f 1 f (x) 1 l + f,

ossia f(x) appartiene all’intorno ]l - f; l + f[ .

Interpretiamo la definizioneLa definizione dice che l è il limite di f (x) se, fissato un f qualsiasi, anche «molto piccolo», troviamo sempre un intorno di x 0 tale che, per ogni x x0! di quell’intor-no, f (x) appartiene a ] l - f; l + f[, cioè f (x) è «molto vicino» a l (figura 4).

La verificaPer eseguire la verifica del limite ( )lim f x lxx 0

="

, applichiamo la definizione.

ESEMPIO

Verifichiamo che ( )lim x2 1 3x 2

- ="

.

Dobbiamo provare che, scelto f2 0, esiste un intorno completo di 2 per ogni x del quale (escluso al più 2) si ha:

( )x x2 1 3 2 4"1 1f f- - - .

Esplicitiamo il valore assoluto: - f 1 2x - 4 1 f.Aggiungiamo 4 ai tre membri: 4 - f 1 2x 1 4 + f.

Dividiamo ciascun membro per 2: 2 x2 2 21 1f f

- + .

L’insieme delle soluzioni della disequazione è quindi: 2 2 ; 2 2f f

- + ;E .

● 6 significa comunque, per ogni; 7 significa esiste;significa tale che.

. Figura 4

� + ε

a. Fissiamo ε > 0. Individuiamo unintorno I di x0 tale chef(x) � ]� – ε; � + ε[ per ogni x � I.

f(x)�

� – ε

x0 x {

Ι

O

� + εf(x)

�� – ε

x0x{

Ι

O

b. Se riduciamo ε, troviamo unintorno di x0 più piccolo.

x0x {O

Ι

y

x

y

x

y

x

c. Più piccolo scegliamo ε, più piccolodiventa, in genere, l’intorno I.

� + ε

�

� – εf(x)

CAPITOLO 12. I LIMITITEORIA

722

Abbiamo trovato un intorno circolare di 2 per cui è vera la condizione inizia-le, quindi il limite è verificato.

Osserviamo nell’esempio precedente che ( ) ( )lim f x f 2x 2

="

.

In generale, l’esistenza del limite di una funzione in un punto x0 è indipendente dal comportamento della funzione in x0. Sono possibili i seguenti casi:

• esiste ( )lim f x lxx 0=

" e ( )l f x0= ;

• esiste ( )lim f x lxx 0=

" e ( )l f x0! ;

• esiste ( )lim f x lxx 0=

" e non esiste ( )f x0 .

Le funzioni continue Se per una funzione f(x) si verifica che, per un punto x0 appartenente al dominio di f, esiste il limite di f(x) per x x0" e si ha

( ) ( )lim f x f xxx 00

="

,

allora si dice che f è continua in x0. Diciamo poi che f è continua nel suo dominio D quando risulta continua in ogni punto di D.Sono funzioni continue nel loro dominio quelle il cui grafico è una curva senza interruzioni; è il caso, per esempio, di una retta o di una parabola.

Se una funzione è continua in un punto, il calcolo del limite in quel punto risulta semplice, perché basta calcolare il valore della funzione in quel punto. Elenchiamo le funzioni continue in R (o in intervalli di R) più utilizzate.

La funzione polinomialeLa funzione f(x) = 3x2 - 2x + 5, espressa mediante un polinomio, è continua in R.In generale, è continua in tutto R ogni funzione polinomiale, ossia ogni funzione del tipo f (x) = a 0 xn + a 1 xn-1 + … + an-1 x + an.

La funzione radice quadrataLa funzione, definita in R+ � {0}, y x= è continua per ogni x reale positivo o nullo.Più in generale, sono continue le funzioni potenza con esponente reale, definite in R+: y = x a (a ! R).

Le funzioni goniometricheSono continue in R le funzioni sen x e cos x.

È continua anche la funzione tangente in R Z2 ,k k !r

r- +& 0.La funzione cotangente è continua in R - {kr, k ! Z}.Infine, si può dimostrare che le funzioni secante, cosecante, arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcocotangente sono continue nel loro dominio.

La funzione esponenziale e la funzione logaritmicaLa funzione esponenziale y = a x, con a 2 0, è continua in R.La funzione logaritmica y = loga x, con a 2 0, a ! 1, è continua in R+.

● Il raggio d dell’intorno trovato dipende da f;

2df

= .

● Facendo un esempio numerico, possiamo dire che se scegliamo ,0 6f = , troviamo l’intorno di 2, ] , ; , [2 0 3 2 0 3- + , ossia ] , ; , [1 7 2 3 . Preso un valore di x appartenente all’in-torno, per esempio

,x 2 02= , abbiamo ( , ) ,f 2 02 3 04= .

Risulta vero che: ,3 3 04 31 1f f- + ,

ossia , , ,2 4 3 04 3 61 1 .

● La funzione radice qua-drata è un caso particolare della funzione potenza con esponente reale. Infatti

( )f x x x21

= = .

● La funzione tg x non è

definita per x k2r

r= + .

● La funzione cotg x non è definita per x kr= .

● Per esempio, sapendo che la funzione f (x) = 2x è continua nel punto 7, risulta

lim x2 2 7 14x 7

$= ="

.

TEORIA

723

PARAGRAFO 2. LA DEFINIZIONE DI ( ) <lim f x( ))x x0xx

=

Il limite destro e il limite sinistroIl limite destroIl limite destro di una funzione viene indicato con il simbolo: ( )lim f x l

x x0=

"+

.

La definizione del limite destro è analoga a quella già data di limite, con la sola differenza che la disuguaglianza u f (x) - l u 1 f deve essere verificata per ogni x appartenente a un intorno destro di x 0, ossia a un intorno del tipo ]x 0; x 0 + d[.

Il limite sinistroIl limite sinistro di una funzione viene indicato con il simbolo: ( )lim f x l

x x0=

" -.

Anche per il limite sinistro valgono le stesse considerazioni fatte per il limite destro, con la sola differenza che ( )f x l 1 f- deve essere verificata per ogni x appartenente a un intorno sinistro di x 0, ossia un intorno del tipo ]x 0 - d; x 0[.

ESEMPIO

Consideriamo la funzione il cui grafico è illustrato nella figura 5.

( )3 1 12 1 1

f xx xx x

sese

1

$=

-

+)

Verifichiamo che ( )lim f x 2x 1

=" -

, mentre ( )lim f x 3x 1

=" +

.

Infatti, per ogni numero reale 02f , è possibile trovare rispettivamente un intorno sinistro e un intorno destro di 1 in cui:

( ) ,f x x2 1con1 1f- . ( ) ,f x x3 1con1 2f- .

Verifichiamolo:

( )x3 1 2 1 f- - (2 1) 3x 1 f+ -

x3 3 1 f- x2 2 1 f-

x3 31 1f f- - x2 21 1f f- -

3 3 3x1 1f f- + x2 2 21 1f f- +

x1 3 1 31 1f f

- + , con x 11 x1 2 1 21 1f f

- + , con x 12

x1 3 11 1f

- . x1 1 21 1f

+ .

La disuguaglianza iniziale La disuguaglianza iniziale è verificata in un intorno è verificata in un intorno

sinistro di 1. destro di 1.

Osserviamo che il ( )lim f x lx x0=

" esiste se e solo se esistono entrambi i limiti destro

e sinistro e coincidono:

( ) ( ) ( )lim lim limf x l f x l f x lx x x x x x0 0 0+ /= = =

"" "+ -

.

Infatti, fissato 02f , la disuguaglianza ( )f x l 1 f- è verificata in un intorno completo I di x 0, con al più x x0! , se e solo se è verificata sia in un intorno destro di x 0 sia in un intorno sinistro di x 0.

● La scrittura x " x 0+

si legge «x tende a x0 da destra». Significa che x si avvicina a x0 restando però sempre maggiore di x0.

● La scrittura x " x 0- si

legge «x tende a x 0 dasinistra». Significa che x si avvicina a x 0 restando però sempre minore di x0.

x

y

3

2

1O

y = 3x − 1

y = 2x + 1

m Figura 5

CAPITOLO 12. I LIMITITEORIA

724

3. LA DEFINIZIONE DI ( )lim f x( ))x x0xx3=

Il limite è 3+

Consideriamo la funzione ( ) ( )f x x 11

2=-

definita per x 1! .

Calcoliamo i valori della funzione per valori di x che si avvicinano sempre di più (per eccesso o per difetto) a 1.

x f(x) x f(x)

0,9 100 1,1 1000,99 10000 1,01 100000,999 1000000 1,001 10000000,9999 100 000 000 1,0001 100 000 000f f f f

Osserviamo che, per valori di x sempre più vicini a 1, i valori di f(x) crescono sempre di più.Diciamo allora che per x che tende a 1 la funzione tende a 3+ .Per essere sicuri che l’avvicinamento non sia dovuto ai particolari valori che abbia-mo scelto, ma sia vero sempre, è necessario poter affermare che, preso un numero reale positivo M grande quanto vogliamo, esiste sempre un intorno di 1 in cui f(x) è ancora più grande del valore scelto. Diamo allora la seguente definizione.

Sinteticamente possiamo dire che ( )lim f xx x03=+

" se:

( ) ( ) , ( )M I x f x M x I x x0 0 0 06 7 62 2 ! - " ,.

Se ( )lim f xx x03=+

", si dice anche che la funzione f diverge positivamente.

m Tabella 4m Tabella 3

● La funzione è definita in tutti i punti di I tranne che in x0.

● Nella definizione, quando diciamo «per ogni numero reale positivo M», pensiamo a valori di M che diventano sempre più grandi. Diremo allora che M è preso grande a piacere.

DEFINIZIONE

Limite 3+ per x che tende a x0Sia f (x) una funzione non definita in x 0.Si dice che f (x) tende a 3+ per x che tende a x 0 e si scrive

( )lim f xx x03=+

"

quando per ogni numero reale positi-vo M si può determinare un intorno completo I di x 0 tale che risulti f (x) 2 Mper ogni x appartenente a I e diverso da x 0.

x x

M

y

f(x)

O

y = f(x)

x = x0

I

x0

f(x) > M

● Per questi limiti e per i successivi, gli esempi di verifica si trovano negli esercizi.

a

TEORIA

725

PARAGRAFO 3. LA DEFINIZIONE DI ( )lim f x( ))x x0xx

3=

Il limite è �3

Ci sono anche funzioni che decrescono sempre di più in prossimità di un certo punto x 0, ossia che tendono a 3- per x che tende a x 0, come per esempio la fun-zione disegnata nella figura 6. In questo caso diciamo che la funzione ha limite 3- per x che tende a x 0. In generale vale la seguente definizione.

DEFINIZIONE

Limite 3- per x che tende a x0Sia f (x) una funzione non definita in x0. Si dice che f (x) tende a - 3 per x che tende a x0 e si scrive

( )lim f xx x03=-

"

quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno completo I di x 0 tale che risulti:

f (x) 1 - M

per ogni x appartenente a I e diverso da x 0.

In simboli, diciamo che ( )lim f xxx 03=-

" se:

( ) ( ) , ( )M I x f x M x I x x0 0 0 06 7 62 1 !- - " ,.

Se ( )lim f xx x03=-

", si dice anche che la funzione f diverge negativamente.

I limiti destro e sinistro infinitiAnche per i limiti infiniti si possono distinguere limiti destri e sinistri.

Se... la disequazione... è soddisfattaper x x0! , in un...

( )lim f xx x0

3=+"

+( )f x M2 intorno destro di x0

( )lim f xx x0

3=+" -

( )f x M2 intorno sinistro di x0

( )lim f xx x0

3=-"

+( )f x M1- intorno destro di x0

( )lim f xx x0

3=-" -

( )f x M1- intorno sinistro di x0

ESEMPIO

Consideriamo la funzione y x1

= (figura a lato). Nel grafico puoi osservare

che: lim limx x1 1e

x x0 03 3=+ =-

" "+ -.

d

x

y

O

−Mf(x)

x x0

y = f(x)I

x = x0

x0

x

y

O

. Figura 6

y = —1x

x

y

O

+ 3

− 3

CAPITOLO 12. I LIMITITEORIA

726

● Le scritture lim limx x1 1e

x x0 03 3=+ =-

" "+ - si possono riassumere in una sola,

lim x1

x 03=

",

cioè scrivendo «infinito» senza segni + o - e lo 0 senza specificare se da destra o da sinistra.Quando scriviamo ( )lim f x

x x03=

", intendiamo dire che f diverge, ma non importa specificare

se positivamente o negativamente.

La definizione di ( )lim f xx x03=

" è analoga alle precedenti, ma con la seguente

variazione:per ogni M 2 0, è possibile trovare un intorno I di x0 tale che ( )f x M2 , per ogni x ! I nel dominio di f, con x ! x0.

La disequazione ( )f x M2 si può scrivere in modo equivalente come

f (x) 2 M 0 f (x) 1 - M,e quindi le sue soluzioni sono l’unione delle soluzioni delle singole disequazioni.

Gli asintoti verticaliDEFINIZIONE

AsintotoUna retta è detta asintoto del gra-fico di una funzione se la distanza di un generico punto del grafico da tale retta tende a 0 quando l’ascissa o l’ordinata del punto tendono a 3.

Studiamo ora gli asintoti verticali.DEFINIZIONE

Asintoto verticaleData la funzione y = f (x), se si verifica che ( )lim f xcx 3=

",

si dice che la retta x = c è asintoto verticale per il grafico della funzione.

La distanza di un generico punto del grafico di una funzione da un suo asintoto verticale, di equazione x = c, tende a 0 quando x " c (figura 7).Infatti, essendo P(x; y) il generico punto del grafico, si ha:

lim limPH x c 0x c x c= - =" "

.

La definizione di asintoto verticale è ancora valida se consideriamo il limite destro (x x0" +) o il limite sinistro (x x0" -) e i due limiti sono entrambi infiniti, ma con segno opposto, oppure solo uno dei due limiti è infinito.

ESEMPIO

Prendiamo in esame la funzione logaritmo y = ln x, per la quale: .lim lnxx 0

3=-" +

La retta x = 0 è asintoto verticale del grafico della funzione.

y

O x

P(x; y)

Per x " + 3, PH " 0

H

r

y = f(x)

asintoto

x0 x

y

M

O

I

−M−f(x)

f(x)

⏐f(x)⏐> M

● Questa scrittura significa che f (x) appartiene a un intorno circolare di 3.

m Figura 7

● In particolare, puòaccadere che

( )lim f xcx

3=+"

oppure

( )lim f xcx

3=-"

.

m Figura 8 Il grafico della funzione y = ln x ha come asintoto verticale l’asse y, cioè x = 0.

m Fi 7

asintotoverticale

y

O x

HP

y = f(x) x = c

y

O x1

y = lnx

TEORIA

727

● Il grafico di una funzione può avere più asintoti verticali, anche infiniti, come nel caso di y = tg x .

4. LA DEFINIZIONE DI ( ) <lim f x( ))x ="3

x tende a �3

Dicendo «x tende a 3+ » intendiamo dire che consideriamo valori di x sempre più grandi e tali da superare qualsiasi numero reale positivo c fissato.,Consideriamo la funzione ( )f x x

x3 2=

+ , definita per x 0! .Assegniamo a x valori positivi sempre più grandi e otteniamo per f(x) i valori indicati nella tabella 5.

Osserviamo che per valori di x crescenti, i valori della funzione si avvicinano al valore 3, ossia per x che tende a 3+ la funzione tende a 3.Per essere sicuri che l’avvicinamento non sia dovuto ai particolari valori che abbiamo scelto ma sia vero sempre, occorre che, preso a piacere un intorno di 3, anche molto piccolo, esista un intorno di 3+ in cui per ogni valore di x il valore corrispondente di f(x) appartiene all’intorno di 3 scelto.Più precisamente, diciamo che, per ogni 02f , si può trovare un intorno I di 3+

tale che per ogni x di I la funzione differisce dal limite 3 per meno di f:

xx

x3 2 3 2

" "1 1f f+

-

x x x21 2 2

" " 02 1 2f f f

- .

Considerato che un intorno di 3+ è costituito da tutti gli x maggiori di un nume-ro c, possiamo dire che ( )lim f x l

x=

" 3+ se:

( ) ,c f x l x c0 06 7 62 2 1 2f f- .

DEFINIZIONE

Limite finito di una funzione per x che tende a 3+

Si dice che una funzione f (x) tende al numero reale l per x che tende a 3+ e si scrive

( )lim f x lx

=" 3+

quando, comunque si scelga un nu-mero reale positivo f, si può deter-minare un intorno I di 3+ tale che:

( )f x l x Iper ogni1 !f- .

x

y

O

f(x)

ø + ε

ø − ε

ø

xc

y = f(x)

y = ø

�(+3)

x f(x)

10 3,2100 3,021000 3,00210000 3,0002100000 3,00002f f

● Per valori di x crescenti, la distanza tra f(x) e l, cioè ( )f x l- , diventa sempre

più piccola.

m Tabella 5

PARAGRAFO 4. LA DEFINIZIONE DI ( ) <lim f x( ))x

="3

CAPITOLO 12. I LIMITITEORIA

728

L’interpretazione della definizione è data nella figura 9.

Ciò significa che, al crescere dei valori di x, f (x) si avvicina al valore l.

x tende a �3

Il caso in cui «x tende a 3- » è analogo al precedente.

In simboli, ( )lim f x lx =" 3-

se:

( ) ,c f x l x c0 06 7 62 2 1 1f f- - .

x tende a 3I due casi precedenti possono essere riassunti in uno solo se si considera un intor-no di 3 determinato dagli x per i quali

x c2 , ossia x 1 - c 0 x 2 c,

o anche x ! ] 3- ; - c [,]c ; 3+ [, dove c è un numero reale positivo grande a piacere. Diciamo allora che x tende a 3 omettendo il segno + o -.

Si dice che ( )lim f x lx ="3

quando per ogni f 2 0 è possibile trovare un intorno

I di 3 tale che ( )f x l 1 f- per ogni x ! I.

m Figura 9

c1 x x

y

O

a. Fissiamo ε > 0. Individuiamo c1 > 0tale che ⎜f(x) − � ⎜< ε per ogni x > c1,ossia per ogni punto dell’intorno di+3: ]c1; +3[.

b. Se ε diventa più piccolo, ladisuguaglianza ⎜f(x) − � ⎜< ε è ancoravera, purché scegliamo valori di x piùgrandi di c2 > c1.

c. Scegliamo ε ancora più piccolo.In genere, perché f(x) sia distante da� meno di ε, dovremo prendere c3ancora più grande.

� − ε1

� + ε1

�

y = f(x)

ε1

x x

y

O

� − ε2

�

y = f(x)

ε2

c2 x

y

O

� − ε3

� + ε3

�

y = f(x)

ε3

c3

f(x)f(x) f(x)

x

� + ε2

⎜f(x) − � ⎜ ⎜f(x) − � ⎜⎜f(x) − � ⎜

DEFINIZIONE

Limite finito di una funzione per x che tende a 3-

Si dice che una funzione f (x) ha limite reale l per x che tende a 3-

e si scrive( )lim f x lx =

" 3-

se per ogni f 2 0 fissato è possibi-le trovare un intorno I di 3- tale che risulti:

( )f x l x Iper ogni1 !f- .

x

y

O

�

x − c

� + ε

� − ε f (x)y = �

I(− �)

− c

x

c0

● x 2 è un intorno cir-colare di 3 .

TEORIA

729

ESEMPIO

Consideriamo la funzione y xx4 5

=+ , definita in D = R - {0}.

Nel grafico puoi osservare che:

lim xx4 5 4x+

="3

.

Gli asintoti orizzontali

La distanza di un generico punto P del grafico di una funzione da un suo asin-toto orizzontale, di equazione y = q, tende a 0 quando x tende a + 3.

Detto P (x; f (x)) il punto, si ha:

( )lim limPH qf x 0x x

= - =" "3 3+ +

.

Considerazioni analoghe si hanno per x " 3 o x " 3- .

ESEMPIO

Prendiamo in esame una funzione nota, la funzione esponenziale y = e x,il cui grafico è rappresentato nella figura 11. Sappiamo che ,lim e 0x

x =" 3-

quindi la retta y = 0 è asintoto oriz-zontale sinistro.

5. LA DEFINIZIONE DI ( )lim f x( ))x 3="3

Il limite è �3 quando x tende a �3 o a �3

In questo caso si può anche dire che la funzione diverge positivamente.

Studiamo i due casi:

( ) ( )lim limf x f xex x3 3=+ =+" "3 3+ -

.

DEFINIZIONE

Asintoto orizzontaleData la funzione y = f (x), se si verifica una delle condizioni

( ) ( ) ( )lim lim limf x q f x q f x qoox x x= = =" " "3 3 3+ -

,

si dice che la retta y = q è asintoto orizzontale per il grafico della funzione.

y

O x

P

H

y = f(x)

y = q

M

asintotoorizzontale

m Figura 10

y

O x

1

y = ex

● Se il limite esiste finito soltanto per x " 3+ (o x " 3- ), abbiamo un asin-toto orizzontale destro (o sinistro). Se sono valide entrambe le condizioni, pos-siamo anche scrivere:

( )lim f x qx

="3

.

b Figura 11 Il grafico della funzione y = ex ha come asintoto orizzontale sinistro l’asse x, cioè y = 0.

O x

y = ––––––4x + 5x

4

y

PARAGRAFO 5. LA DEFINIZIONE DI ( )lim f x( ))x

3="3

CAPITOLO 12. I LIMITITEORIA

730

x

y

O

y = x3 Consideriamo la funzione y = x 3, il cui grafico è nella figura a lato.Se attribuiamo a x valori positivi crescenti, per esempio 1, 2, 3, 4, …, i corrispon-denti valori x 3, ossia 1, 8, 27, 64, …, aumentano sempre più.Diciamo che quando x tende a 3+ i valori della funzione tendono a 3+ e scri-viamo lim x

x3 3=+

" 3+.

DEFINIZIONE

Limite 3+ di una funzione per x che tende a 3+

Si dice che la funzione f (x) ha per limite 3+ per x che tende a 3+ e si scrive

( )lim f xx

3=+" 3+

quando per ogni numero reale po-sitivo M si può determinare un in-torno I di 3+ tale che risulti: f (x) 2 M per ogni x ! I.

In simboli, ( )lim f xx

3=+" 3+

se:

( ) ,c f x M x cM 0 06 7 62 2 2 2 .

Consideriamo ora la funzione y = x 2, il cui grafico è nella figura a lato.Se attribuiamo a x valori negativi decrescenti, per esempio -1, -2, -3, -4, …, i corrispondenti valori x 2, ossia 1, 4, 9, 16, …, aumentano sempre più. Diciamo che quando x tende a 3- i valori della funzione tendono a 3+ e scriviamolim xx

2 3=+" 3-

.

DEFINIZIONE

Limite 3+ di una funzione per x che tende a 3-

Si dice che la funzione f (x) ha per limite 3+ per x che tende a 3-

e si scrive( )lim f xx 3=+

" 3-

quando per ogni numero reale po-sitivo M si può determinare un in-torno I di 3- tale che risulti: f (x) 2 M per ogni x ! I.

In simboli, ( )lim f xx 3=+" 3-

se:

( ) ,c f x M x cM 0 06 7 62 2 2 1- .

Il limite è �3 quando x tende a �3 o a �3

In questo caso si può anche dire che la funzione diverge negativamente.Studiamo i due casi:

( ) ( )lim limf x f xex x3 3=- =-" "3 3+ -

.

x

y

O

M

y = f(x)

Ι(��)

f(x)

xc

x

y

Ox

M

y = f(x)f(x)

Ι(� �)�c

x

y

O

y = x2

TEORIA

731

PARAGRAFO 6. PRIMI TEOREMI SUI LIMITI

DEFINIZIONE

Limite 3- di una funzione per x che tende a 3+

Si dice che la funzione f (x) ha per limite - 3 per x che tende a 3+ e si scrive ( )lim f x

x3=-

" 3+ quando per ogni numero reale positivo M si può

determinare un intorno I di 3+ tale che risulti f (x) 1 - M per ogni x ! I.

DEFINIZIONE

Limite 3- di una funzione per x che tende a 3-

Si dice che la funzione f (x) ha per limite 3- per x che tende a 3- e si scrive ( )lim f xx 3=-

" 3- quando per ogni numero reale positivo M si può

determinare un intorno I di 3- tale che risulti f (x) 1 - M per ogni x ! I.

Un esempio di verifica di questo limite si trova negli esercizi, dove esaminiamo anche il caso di ( )lim f xx"3

.Nella figura 12 mostriamo i limiti della funzione esponenziale e della funzione logaritmica agli estremi del dominio.

6. PRIMI TEOREMI SUI LIMITII teoremi e le proprietà che enunceremo in questo paragrafo sono validi per funzioni definite in un qualsiasi dominio D 3 R e per punti x 0 (in cui cal-coliamo il limite) di accumulazione del dominio D. Valgono inoltre per x " 3+ oppure x " 3- .Tuttavia, per semplicità, penseremo sempre a particolari domini D, ossia a inter-valli di R o a unioni di intervalli, e a x 0 come punto di D o estremo di uno degli intervalli che costituiscono D.I teoremi valgono anche se invece di l abbiamo 3+ , 3- o 3. Valgono inoltre nei casi di limite destro o limite sinistro.

TEOREMA

Teorema di unicitˆ del limiteSe per x che tende a x 0 la funzione f (x) ha per limite il numero reale l, allo-ra tale limite è unico.

x

y

O

+ �

1

x " + �

y = ax(a > 1)

x

y

O

1

y = bx

(0 < b < 1)

lim ax = + 3x " + 3

lim ax = 0x " − 3

lim bx = 0x " + 3

lim bx = + 3x " − 3

+ �

x " + �

a

x

y

O

+ �

1

y = logax (a > 1)

x " 0+

x " + 3

lim loga x = − 3

− �

x

y

O 1

y = logbx (0 < b < 1)

x " 0+lim logb x = + 3

lim logb x = − 3

+ �

− �

lim loga x = + 3x " + 3

b

. Figura 12

● Il teorema vale anche per i limiti con x " 3+ o x " 3- .

x

y

O

−M

y = f(x)

∀M > 0 ∃c > 0 ⎪f(x) < −M, ∀x > c

I(1` )

x

y

OI(2`)

−M

y = f(x)

∀M > 0 ∃c > 0 ⎪f(x) < −M, ∀x < − c

CAPITOLO 12. I LIMITITEORIA

732

TEOREMA

Teorema della permanenza del segnoSe il limite di una funzione per x che tende a x 0 è un numero l diversoda 0, allora esiste un intorno I di x 0 (escluso al più x 0) in cui f (x) e l sono entrambi positivi oppure entrambi negativi.

TEOREMA

Teorema del confrontoSiano h(x), f (x) e g(x) tre funzio-ni definite nello stesso dominio D 3 R, escluso al più un punto x 0. Se in ogni punto diverso da x0 del dominio risulta

h(x) # f (x) # g(x)

e il limite delle due funzioni h(x) e g(x), per x che tende a x 0, è uno stesso numero l , allora anche il limite di f (x) per x che tende a x 0 è uguale a l .

DIMOSTRAZIONE

Fissiamo 02f a piacere. È vero che:

( )h x l 1 f- , per ogni x I D1+! , perché ( )h x l" per x x0" ;

( )g x l 1 f- , per ogni x I D2+! , perché ( )g x l" per x x0" .

Le disuguaglianze valgono entrambe per ogni x del dominio appartenente all’intorno I = I 1 + I 2, escluso al più x0 . Quindi, per ogni x ! I , abbiamo:

( )l h x l1 1f f- + , ( )l g x l1 1f f- + .

Tenendo conto della relazione fra le funzioni, abbiamo

( ) ( ) ( )l h x f x g x l1 1# #f f- + ,

per ogni x ! I , che implica

l - f 1 f (x) 1 l + f,

per ogni x ! I , ossia:

( ) ,f x l x I61 !f- .

Quest’ultima relazione significa pro-prio che ( )lim f x lx x0

="

.

ESEMPIO

Sono date le funzionih(x) = - x 2 + 4x - 2, f (x) = 2x - 1, g(x) = x 2,

rappresentate nella figura 14a .

● Il teorema afferma che in un intorno di x 0 la funzione f (x) ha lo stesso segno di l se l 0! .

x

y

O x0

ø

y = f(x)y = g(x)

y = h(x)

h(x) ≤ f(x) ≤ g(x)lim h(x) = øx → x0

lim g(x) = øx → x0

lim f(x) = øx → x0

⇒

● Il teorema vale anche per i limiti con x " 3 .

● Poiché la funzione f viene «costretta», da h e da g, a tendere a l, il teorema viene anche detto teorema dei due carabinieri.

c Figura 13

O

, + ε

, – ε,

y

x

Ι1

Ι2

Ι2Ι1

x0

⊃

● h(x) e g(x) sono funzioni polinomiali e quindi conti-nue:

( ) ( )lim h x h 1x 1

="

,

( ) ( )lim g x g 1x 1

="

.

TEORIA

733

PARAGRAFO 7. SUCCESSIONI E LIMITI

Noto che:

( ) ( )lim limh x x x4 2 1x x1 1

2= - + - =" "

e ( )lim limg x x 1x x1 1

2= =" "

,

calcoliamo ( )lim f xx 1"

.

Possiamo osservare che per ogni valore x appartenente all’intervallo ]0; 3[, i rispettivi valori delle tre funzioni h, f e g sono, nell’ordine, uno minore dell’al-tro, ossia h(x) # f (x) # g(x).

Il teorema permette di affermare che è anche vero:

( ) ( )lim limf x x2 1 1x x1 1

= - =" "

.

7. SUCCESSIONI E LIMITI Le successioni

DEFINIZIONE

Successione numericaUna successione numerica a è una funzione che associa a ogni numero naturale n un numero reale an:

a: N " Rn 7 an.

n è la variabile indipendente e si dice indice della successione. an è la variabile dipendente e si dice termine della successione.In particolare, quando non si specifica il numero n, an si chiama termine generico.

Una successione è costituita da un insieme di numeri ordinato e infi nito:a 0, a 1, a 2, a 3, …, an , …

3 3

a. Consideriamo un valore x e icorrispondenti valori h(x) ≤ f(x) ≤ g(x).

b. Se x tende a 1, h(x) e g(x) tendonoa 1. Anche f(x), essendo compresofra h(x) e g(x), deve tendere a 1.

x

y

O

g(x)

x

y = x2

1

h(x)

f(x)

1

y = 2x − 1g

f

y = − x2 + 4x − 2h

x

y

O

g(x)

x

y = x2

1

h(x)f(x)

1

y = 2x − 1g

f

y = − x2 + 4x − 2h

� Figura 14

y = f(x)y = g(x)

y = h(x)

y

xO

● Il teorema vale anche per i limiti con x " 3+ o x " 3- .Un esempio grafico nel caso x " + 3 è illustrato nella figura sotto.

● an si legge «a con n» e sostituisce il simbolo a(n).

● In generale l’indice, o pedice, è un numero natu-rale che si pone in basso a destra, rispetto a una lettera. Esso indica la posizione che occupa il termine nella successione: a0 è il primo termine, a1 il secondo e così via.

a�

CAPITOLO 12. I LIMITITEORIA

734

ESEMPIO

La successione costituita da tutti i quadrati dei numeri naturali è una funzione a che associa a ogni numero naturale il suo quadrato.

a: N " R0 7 a 0 = 0 1 7 a 1 = 1 2 7 a 2 = 4 3 7 a 3 = 9 …

L’insieme immagine di questa successione, cioè il codominio, è proprio l’in-sieme dei quadrati dei numeri naturali.

La rappresentazione di una successioneI numeri naturali sono infiniti; sarebbe dunque impossibile descrivere la succes-sione tramite tutte le assegnazioni. Da questo nasce l’esigenza di scrivere in modo chiaro e sintetico i termini. In alcuni casi è possibile rappresentare una successio-ne come una lista ordinata.

Rappresentazione per enumerazionePer rappresentare una successione, a volte si possono indicare in sequenza i primi cinque o sei termini seguiti dai puntini di sospensione, sottintendendo che l’in-dice equivale alla posizione nella lista. Questo tipo di rappresentazione prende il nome di rappresentazione per enumerazione.

ESEMPIO

0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, …

è la successione dei multipli di 10.

La rappresentazione per enumerazione è consigliabile soltanto se, leggendo i pri-mi termini, si possono dedurre gli altri senza ambiguità.

Rappresentazione mediante espressione analiticaIl modo più comune di rappresentare una successione numerica (per non dare luogo ad ambiguità) consiste nello scrivere esplicitamente la relazione che lega l’indice n e il termine an. Questo tipo di rappresentazione si chiama rappresenta-zione mediante espressione analitica.

ESEMPIO

1. N2 1,a n nn != + . Volendo scrivere i primi termini della successione basta sostituire alla let-

tera n, nell’espressione 2n + 1, i valori 0, 1, 2, 3, … Si ha a0 = 1, a1 = 3, a2 = 5, a3 = 7, … Si vede facilmente che si tratta della successione dei numeri naturali dispari.

2. Consideriamo la seguente successione definita tramite espressione analitica:

N,a nn n32 1

n 2 !=+

+ .

Sostituendo a n i valori 0, 1, 2, 3, 4, …, si ottengono i seguenti termini:

, , , , ,31

43

75

127

199

f

In questo caso non è facile capire quali sono i termini successivi, dunque la rappresentazione per enumerazione può essere inefficace.

TEORIA

735

A volte si indica il primo termine di una successione con a1, oppure con ak se la successione non è definita per numeri minori di k. Consideriamo la successione:

N, { , }.a nn n1

1 0 1n !=-

+-

L’espressione analitica del termine generico an perde significato per n = 1, pertan-to i termini della successione partono da a 2.

Rappresentazione ricorsivaUn ulteriore tipo di rappresentazione di una successione consiste nel fornire il primo termine della successione a0 e una relazione che lega il termine generale ana quello precedente an 1- :

( ) 0aa f a nse0

1n n 2= -

*Questo tipo di rappresentazione si chiama rappresentazione ricorsiva o per ricorsione.

ESEMPIO

12 0

aa a nse0

1n n 2

=

= +-

)Ogni termine si ottiene dal precedente sommando 2. A partire dal primo ter-mine, si determinano quelli successivi:

a1 = a0 + 2 = 1 + 2 = 3,

a2 = a1 + 2 = 3 + 2 = 5,

a3 = a2 + 2 = 5 + 2 = 7,

…

Osserviamo che abbiamo riottenuto la successione dei numeri dispari.

A volte la rappresentazione ricorsiva è data fornendo i primi k termini della suc-cessione e una relazione che lega il termine generale ai k termini precedenti.

ESEMPIO

,a aa a a n

0 11sen n n

0 1

1 2 2

= =

= +- -

)a a a 12 1 0= + = ,

a a a 23 2 1= + = ,

a a a 34 3 2= + = ,

a a a 55 4 3= + = ,

f

Questa successione è detta successione di Fibonacci.

Le successioni monotòneUna successione si dice:• crescente se ogni termine è maggiore del suo precedente, ossia:

, ;a a n Nn n 1 61 !+

PARAGRAFO 7. SUCCESSIONI E LIMITI