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29/03/2011

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Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II

Jacques Heyman

The Stone Skeleton, Cambridge University Press, 1982

Direttore del dipartimento di ingegneria a Cambridge fra il 1983 e il 1992


Criteri strutturali e strutture in muratura

1 Resistenza (sopportazione delle sollecitazioni)Tipicamente le sollecitazioni massime in strutture in muratura sono 10‐20

volte inferiori alla resistenza del materiale (salvo picchi estremamentelocalizzati) grazie alla notevole dimensione delle sezioni resistenti.

2 Rigidezza (limitazione le deformazioni)Le deformazioni e gli spostamenti (esclusi, in alcuni casi, quelli provocate da

cedimenti delle fondazioni) sono in genere estremamente contenuti.

3 Stabilità (mantenimento della configurazione di equilibrio)In molte strutture in muratura è questo il criterio di progettazione più

stringente. Non tanto nei confronti di fenomeni di instabilità euleriana (datoche si tratta di elementi in genere piuttosto tozzi) quanto nei confronti dimeccanismi simili a quelli di ribaltamento (v. esempio).

4 Duttilità (deformabilità plastica prima della rottura)

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Esempio

2b

2h

P

tanb h

Il progetto di un blocco di altezza prefissata su di unpiano di inclinazione prefissata è esclusivamentegeometrico (scelta della larghezza b), ipotizzando diescludere lo scivolamento grazie, per esempio, aduna sede scavata nel piano.

Prima del ribaltamento resistenza e deformabilitànon sono un problema

0

id adm

u


Picchi di tensioni locali solo a ribaltamento incipiente causati dalla forza concentrata

2bcr

2h

P

,id loc

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Dalle proporzioni geometriche alla resistenza

RN

RQ

RQRN

2 2R R R R

h hQ L N Q N

L

h

L

Le regole geometriche di proporzioni, fondate soprattutto sull’esperienza e su canoniestetici, sono state alla base della progettazione di edifici in muratura sin dall’antichità(con esempi prominenti in Antico Egitto, Grecia e Regni Ellenistici), nel mondoromano, nel Medioevo e per tutto il Rinascimento.

Fra i primi Galileo propose il concetto di resistenza (nei “Discorsi e dimostrazionimatematiche intorno a due nuove scienze”, 1638, dove discute proprio la resistenzadei materiali e la dinamica).

2

6 6R

R adm R R

N bh hQ L W Q N

bh L

Con la formula di Navier abbiamo in realtà:


Strutture iperstatiche

Per “risolvere” le strutture iperstatiche dobbiamo introdurre iconcetti di deformabilità e di legame costitutivo.

Se vale l’ipotesi di elasticità lineare si applica il teorema diKirchhoff sull’unicità della soluzione.

Tuttavia l’idea di conoscere lo stato di sollecitazione effettivo diuna struttura è illusorio. Infatti la soluzione è fortementedipendente dalle condizioni al contorno…

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In strutture iperstatiche piccole variazioni delle condizioni al contorno producono grandi variazioni nelle sollecitazioni

q

M = 6EJ/L2

Mq = qL2/12

L a

a

L = 100 cma = 10 cm = 0.002 kgf/cm3

E = 400000 kgf/cm2

q = 2.0 kgf/cm

= 0.01 cm

Mq = 1670 kgf cm

M = 2000 kgf cm

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Non è possibile conoscere lo stato effettivo di una struttura

I cedimenti vincolari sono inevitabili ma non prevedibili in maniera accurata e, d’altra parte influenzano grandemente la soluzione.È impossibile conoscere lo stato “effettivo” di una struttura!

Teoria plastica

“Se due strutture molto simili che differiscono per piccole imperfezioni e sono dunque in stati tensionali molto diversi fra loro, vengono caricate progressivamente fino al collasso, il valore del carico ultimo nelle due strutture sarà lo stesso”

• Per questo nell’analisi limite delle strutture ci interessano i carichi ultimi e non lo stato della struttura (tensioni ammissibili).

• Il progetto elastico funziona nei materiali duttili perché se la struttura è verificata in una certa condizione, una condizione di poco variata darà sollecitazioni diverse ma lo stesso carico ultimo.

• NB. Materiali fragili necessitano infatti di vincoli isostatici.8

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Muratura

Caratteristiche del materiale:• Non omogeneo• Anisotropo• Non isoresistente (resistenza a trazione trascurabile)• Non lineare (anche in compressione)• Parametri meccanici fortemente dispersi (o incogniti)• c.c. di difficile determinazione

Materiale complesso: il comportamento su larga scala è fortemente influenzato da quello della microstruttura (geometria dei blocchi, interazioni fra blocchi e letti di malta, ecc.)

MOLTI MODELLI DISPONIBILI


Modello di Heyman

Ipotesi:

1) Assenza di resistenza a trazione• La malta, quando presente, si deteriora nel tempo• L’ipotesi è comunque a favore di sicurezza

2) Resistenza a compressione infinita• Ci possono essere schiacciamenti locali ma in genere non causano

effetti globali• È interessante stimare la resistenza di un materiale come l’altezza

massima di una colonna: h = fc/ = 400 kgf cm‐2 / 0.002 kgf cm‐3 = 2 km

3) Assenza di scorrimento• La compressione è necessaria per attivare la resistenza per attrito• È un’ipotesi che talvolta deve essere verificata a posteriori

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Esempio: effetto dei pinnacoli nell’aumentare la resistenza per attrito


“Master safe theorem”

Per l’ipotesi di non resistenza a trazione, la curva delle pressioni deve essere interamente contenuta nella geometria della struttura.

Teorema:

“La struttura è stabile sotto un certo carico se e solo se è possibile trovare una funicolare dei carichi interamente contenuta nella geometria della struttura.”

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Corollario 1: Lesioni che non alterano sostanzialmente la geometria non compromettono la stabilità

La struttura stava in piedi prima delle lesioni

La geometria non è variata in modo sostanziale

Esiste una funicolare dei carichi interamente contenuta nella geometria della struttura

La struttura è ancora stabile


S. Maria del Fiore: quadro fessurativoprincipale

zona di trazione

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Corollario 2: “teorema dei 5 minuti”

Una struttura in muratura che appena tolte le centine sta in piedi per 5 minuti (dopo la rimozione delle centine), resterà in piedi per 500 anni (decadimento dei materiali).

In realtà le fondazioni possono avere anche grandi cedimenti che alterano la geometria della struttura tanto da comprometterne la stabilità. Il teorema diventa allora “dei 20 anni” con riferimento ai tempi dei cedimenti viscosi del terreno.

Tuttavia esiste un’altra eccezione: le condizioni del terreno possono cambiare (e.g. variazioni del livello dell’acqua nelle falde).


Corollario 3: I modelli in scala funzionano

Verifica:

ft > = P / A = a3 / d2 = a3/d2

(raddoppiando la scala raddoppiano gli sforzi!)

d

a

a

Poiché la stabilità dipende solo dalla geometria una variazione di scala non altera le proporzioni e di conseguenza la stabilità.

Contrariamente, dove la verifica dipende dalla resistenza i modelli in scala non sono significativi.

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Catenaria inversa (Hooke, 1675)

La forma di una fune che sostiene il proprio peso in trazione è la stessa dell’arco ideale che sostiene il proprio peso in compressione.

La forma dipende dalla lunghezza della fune e dalla distanza delle imposte.


Un arco incastrato (iperstatico) contiene infinite curve delle pressioni corrispondenti al proprio peso

Una possibile curva delle pressioni in un arco semicircolare

• Il solo equilibrio non è sufficientee a determinare quale sia quella effettiva.• La soluzione elastica (Navier, 1826) è unica (Teorema di Kirchhoff) tuttavia è

fortemente dipendente dalle condizioni al contorno.

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Movimenti fra blocchi

I blocchi non possono scorrere l’uno sull’altro né compenetrarsi, dunque sono possibili solo rotazioni rispetto ai punti di contatto all’intradosso o all’estradosso che si comportano allora come cerniere.


Fessurazione dovuta al cedimento delle imposte

Le fessure si formano sempre (anche se nella realtà possono essere richiuse dalla deformazione elastica dei blocchi).

Si forma un arco a tre cerniere:esiste soluzione

basata sul solo equilibrio

La curva delle pressioni è univocamente determinata e passa per le zone di contatto.

Spinta orizzontale minima e indipendente dall’entità del cedimento.

isostatico

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Cerniera all’intradosso(fessurazione con schiacciamento)

Il punto di rotazione relativa effettivo è in realtà arretrato interno all’arcoche si comporta come se avesse uno spessore inferiore

cerniera effettiva

cerniera ideale


Arco semicircolare: spinta attiva e passiva

V

V

Allontanamento delle imposte

Avvicinamento delle imposte(ad esempio a causa della spinta di archi adiacenti)

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Arco di spessore minimo

Esiste un’unica curva delle pressioni interamente contenuta nella geometria dell’arco.

La spinta massima e minima coincidono.

tmin ≈ R/10 È possibile definire un fattore di sicurezza basato su proporzioni geometriche:

t/tmin > 2

Le regole di progettazione basate sulla geometria ritornano!


Rapporto fra spessore minimo e raggio per un arco circolare in funzione dell’angolo di apertura

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Collasso di un arco semicircolare sottoposto ad un carico concentrato


Modello meccanico

nGx

y

I

IC

mu

mvm

mG

nu

nvn

IC

IIs

Ir

2 Ib

INIM

IV

• Corpi rigidi separati da interfacce deformabili

• Azioni normali: letti di molle non resistenti a trazione

• Azioni di taglio: comportamento elastico – perfettamente plastico (attrito alla Coulomb)

• Piccole deformazioni delle interfacce

[Salvatori e Spinelli, 2007]

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Esempio 1: Arco con forza concentrata

Confronto con modello analitico[Lucchesi, Padovani, Pasquinelli, Zani, 1997]

cr 1.6580P W

1 15

2 60

3 105 4mR

Carico critico

Posizione delle cerniere al collasso


Modello numerico

12 3n 1.0 10 N/mk

17 3t 1.0 10 N/mk

20.0 N/mc

0.6 Discretizzazione in conci di 5°

Parametri del modello costitutivo

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Simulazione

P


Analisi statica

Effetto del peso proprioP.p. + carico concentrato

(config. a collasso incipiente)

• Buona stima del carico critico (‐1.5% rispetto al modello teorico)

• Corretta stima della posizione delle cerniere (15°, 60°, 105°, 145°)

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Effetto di un cedimento vincolare

P.p. + cedimentoP.p. + cedimento + carico concentrato

(config. a collasso incipiente)

La presenza del cedimento non influenza il carico critico né il meccanismo di collasso


Diagramma carico‐spostamento

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.020

1

2

3

4

5

6

7x 10

5

[m]

P [

N]

fixed abutmentssettled abutment

• Iniziale chiusura delle fessure dovute al cedimenti

• Stesso andamento e stesso carico critico del caso con vincoli non cedevoli

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Sollecitazioni dovute al peso proprio(analisi elastica lineare)

min ≈ –1.5·102 kN/m2 min ≈ –1.5·104 kN/m2

Vincoli perfetti Cedimento vincolare

“Small initial imperfections, while leading to different initial states of the structure, do not affect its ultimate strength” – Jacques Heyman

1 cm


Il materiale di riempimento collabora al meccanismo resistente esercitando pressioni sull’arco vero e proprio,

aumentando così la capacità portante

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Volte e cupole

VOLTE E CUPOLE

• 2D• Inversione dei carichi di una membrana infinitamente flessibile

• Una configurazione della membrana (se a doppia curvatura) è in grado di sostenere carichi differenti da quelli che la hanno prodotta purché non producano tensioni principali di compressione

ARCHI

• 1D• Inversione dei carichi di una fune infinitamente flessibile

• Una configurazione della fune è in equilibrio solo con il carico che la ha prodotta


Cupola semisferica sotto peso proprio

a

• Il peso proprio è l’azione dominante per gusci in muratura

• La stabilità, anche per gusci resistenti a trazione, non è un problema cr

tkE

a

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Membrana sferica

coordinate sferiche

Nj

Nj

Nq

Nq

Njq

Njq

sollecitazioni membranali


Tensioni lungo i meridiani

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Tensioni lungo i paralleli


Risultati analitici

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Fessurazione di una calotta sferica

Dopo la fessurazione ciascuno spicchio si comporta come un arco rampante:• Nascono spinte orizzontali• È necessario uno spessore minimo della muratura


Arco piano a spessore variabile

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Studio di Poleni (1743)per la cupola di S. Pietro a Roma


Rapporto fra spessore minimo e raggio per una calotta sferica in muratura in funzione dell’angolo di apertura

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Calcolo della spinta orizzontale

H ≈ 0.196 W


St. Paul a Londra (progettato nel 1668)

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Pantheon a Roma

Spessore del tamburo di circa 6 m per contrastare le spinte orizzontali


Una calotta sferica in muratura non necessita di coronamento…

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… contrariamente ad un arco


Iglù

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Cupola di S. Maria del Fiore a Firenze


Una semi‐calotta è stabile(se ha uno spessore minimo)

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Tensioni scambiate fra le due metà di una semisfera


Semi‐calotta usata come controvento in alternativa o combinazione con volte

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Hagia Sofia a Istanbul


Se una semicupola è stabile lo è anche una qualsiasi frazione compresa fra metà e l’intero

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Hagia Sofia nel 986 e 1346

In due occasioni è crollata una semicupola, facendo crollare un quartodella cupola principale e lasciando in piedi gli altri tre quarti.

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