Gli stimatori e le loro propriet

Gli Stimatorie le loro Propriet

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DefinizioneUno stimatore T(x) consente la stima* di un parametro (valore caratteristico di una popolazione, come pu essere media, mediana o varianza di una popolazione).Si tratta dunque di una funzione di tutte le possibili ennuple campionarie che si possono estrarre da una popolazione.*stima: valore che lo stimatore assume in una specifica ennupla campionaria.

Prima di procedere col definire le propriet degli stimatori, necessario ripassare le propriet del valor medio e della varianza.

Propriet Valor MedioE(ax) = aE(x)E(ax + b) = aE(x) + bE(x + y) = E(x) + E(y)E(x y) = E(x) E(y)Propriet VarianzaVar (ax) = a2 Var(x)Var(ax + b) = a2 Var(x)Var(x + y) = Var(x) + Var(y)Var(x y) = Var(x) + Var (y)

X e Y sono indipendenti

Propriet degli stimatoriPer propriet degli stimatori si intendono quelle propriet che un generico stimatore Tn = f (X1, , Xn) deve possedere perch le sue stime risultino affidabili.Sono propriet di uno stimatore le seguenti:

1. Correttezza di uno stimatoreSi dice che uno stimatore corretto o non distorto se il suo valor medio uguale al parametro da stimareE [T(x)] = Qualora tale condizione non si verificasse, si tratterebbe della distorsione.La distorsione la differenza tra il valore che abbiamo ottenuto calcolando il valor medio dello stimatore e il valore che avremmo dovuto ottenere affinch lo stimatore fosse stato corretto.d() = E[T(x)] -

2. Consistenza di uno stimatoreQuesta propriet indica la capacit di Tn di fornire le stime migliori al crescere della numerosit campionaria.Esistono due tipi di consistenza:consistenza in probabilit o in senso debole;consistenza in media quadratica o in senso forte.

Consistenza in probabilit o in senso debole

Se uno stimatore asintoticamente non distorto anche consistente in probabilit, ossia quando il valor medio del mio stimatore diverso dal parametro da stimare ma il limite di n che tende a + del valor medio dello stimatore esattamente uguale al parametro da stimare.

E (T(x)) ma lim n +

E (T(x)) =

Consistenza in media quadratica o in senso forteLa consistenza in media quadratica si verifica quandolim n + E [T(x) ]2 = 0Per chiarire questa nozione, fissiamo il concetto di errore quadratico medio dello stimatore.

Errore quadratico medio di uno stimatore

LEQM dello stimatore T(x) dato daVar(Tx) + [d()] 2*d: distorsioneSe il limite di n + dellerrore quadratico medio dello stimatore uguale a 0, allora si tratter di uno stimatore consistente in senso forte.

3. Efficienza di uno stimatoreEfficienza tra due stimatori

Dati due stimatori, T1(x)e T2(x),quale dei due sar pi efficiente?Lo stimatore T1 (x) sar pi efficiente dello stimatore T2 (x) se EQM (T1) < EQM (T2).Ci comporta che se gli stimatori fossero non distorti, basterebbe porreVar(T1) < Var(T2)per poter stabilire che lo stimatore T1 pi efficiente rispetto allo stimatore T2.

Classe 5 A TURElena BurgioValentina VecchioMartina AngeleriAndrea Lisa PalazzoElisa CampaciAlessia Fornasini