Giuseppina TrifilettiLiberEtà Udine, 18 ottobre 2007

cbabcbaa)bcbabacaba)bcbacababa)

bacbbaa)

5432

22

22

DOVE SI NASCONDE DOVE SI NASCONDE L’ERRORE?L’ERRORE?

Se Se a > b a > b (o (o a < ba < b), non può essere ), non può essere a = ba = b

0ccba) 1 quindi ba

ba) 6

bcbabacaba)bcbacababa)

bacbbaa)

22

22

432

Se c è un numero positivo allora a>b, es: 7=5+2,

Se c è un numero negativo allora a<b, es: 7=9+(-2)

cba) 1

ba)

cbabcbaa)

65

0 cbaDato che non si può fare il passaggio dalla riga 5) alla riga 6) perché si divide per 0

Un numero diverso da 0 diviso per zero non dà nessun numero

Esempio 8:0 = nessun numero,

Invece 0:0 = qualunque numero

In ambedue i casi non otteniamo uno ed un solo risultato, come deve invece accadere per avere come risultato un numero

08

00

e non sono numeri reali(vedi nota)

Per concludere

E la divisione per 0 non si può fare

NOTA: i numeri reali R sono tutti i numeri decimali, quelli che usiamo di solito - decimali limitati (come 3 e 4,5 e 7 e 2,3 … e infiniti altri), decimali illimitati periodici (come 1/3= 0,333333… e infiniti altri), e decimali illimitati e non periodici, che approssimiamo (come 2=1,41… e =3,14… e infiniti altri)

L’errore quindi sta nella divisione per 0, che si fa dal passaggio 5) al passaggio 6).

Dato che a = b+c si ha che a-b-c = 0.

ESEMPIO: a=7 e b=5 e c=2, 7=5+2, 7-5-2=0

In 6) si ottiene 7*0=5*0 che è un’uguaglianza vera,

ma se divido per 0 ottengo 7 = 5 che è falsa.

Non si può dividere per zero

Brevemente

5=7 è un’uguaglianza falsaSe moltiplico a destra e a sinistra per un qualunque numero ottengo ancora un’uguaglianza falsa.Es: 5x3=7x3 15=21

Se moltiplico a destra e a sinistra per 0 ottengo 5x0=7x0 0=0 E cioè un’uguaglianza vera

Che succede se moltiplico per 0?

PESANDO E RIPESANDO

Se una bottiglia BB e un bicchiere GG. fanno equilibrio a una caraffa CC, e anche la stessa bottiglia BB fa equilibrio a un bicchiere GG più un piatto PP, e 2 caraffe CC bilanciano tre piatti PP, si domanda

QUANTI BICCHIERI “GG” FARANNO EQUILIBRIO A UNA BOTTIGLIA “B”B”?

DATI DEL PROBLEMA

I)I) B + G = C B + G = C

II)II) B = G + P B = G + P

III)III) 2C = 3P 2C = 3P

richiestarichiesta1B = ?G1B = ?G

1) I dato 2) II dato

3) Applico a 2) il I principio:aggiungo un bicchiere da

ambedue le parti.

4) Proprietà transitiva, tra 1) e 3), dell’ =

B G+P=B+G C=

B+G 2G+P=

1) B+G C= 2) B+G =e

dato che2G+P C=

2G+P

SOLUZIONE

5) Applico il II principio:raddoppio da ambedue le parti

6) III dato

7) proprietà transitiva dell’ = tra 5) e 6)

8) Applico il I principio: tolgo due P (piattini) da tutte e due le parti

10) per sostituzione

4G+2P 2C=2C 3P=

5G

= 3P

Sostituisco a un P quattro G

9) II dato

P = 4G

B =RISPOSTA:

4G + 2P

Se si sostituisce ogni simbolo con i seguenti numeri

B (bottiglia) 50g

G (bicchiere) 10g

P (piattino) 40g

C (caraffa) 60g

Le uguaglianze delle diapositive precedenti sono tutte verificate

COME CREARE BIRRACOME CREARE BIRRA

CON I PRINCIPI DI CON I PRINCIPI DI EQUIVALENZAEQUIVALENZA

DELLE EQUAZIONIDELLE EQUAZIONI

LA MIRACOLOSA MOLTIPLICAZIONE DELLA

BIRRA

uotobicchierev2

12ienobicchierep

2

12

uotobicchierev2

1ienobicchierep

2

1

uotobicchierev1ienobicchierep1

BIRRA=

BIRRA

Metà bicchierepieno = Metà bicchierevuoto

significa

"Un bicchiere pieno a metà è uguale a un bicchiere vuoto a metà"

È completamente diverso da

1/2bicchierepieno=1/2bicchierevuoto

Ha un altro significato.

Il detto

"un bicchiere pieno a metà è uguale a un bicchiere vuoto a metà",

NON SI PUO' FORMALIZZARE IN QUEL MODO.

Infatti

1/2bicchierepieno = un mezzo moltiplicato per un bicchierepieno = la metà di un bicchiere pieno

E NON UN BICCHIERE PIENO A METÀ

1/2bicchierevuoto = un mezzo per un bicchierevuoto = la metà di un bicchiere vuoto

E NON UN BICCHIERE VUOTO A METÀ

1/2bicchierepieno=1/2bicchierevuoto, cioè vuol dire che se divido un bicchiere pieno in due parti ottengo metà di un bicchiere vuoto. E viceversa. Cosa che non è assolutamente vera.

FALSO L'INIZIO E FALSA LA FINE

Se invece volevo formalizzare IL DETTO di cui sopra dovevo scrivere

Il bicchiere pieno a metà contiene tanto vino quanto il bicchiere vuoto a metà, quindi l’uguaglianza era piuttosto banale

x = quantità di vino contenuta nel bicchiere pieno

xxx 21

21

Un bicchiere con metà della quantità di vino che può contenere ha tanto vino quanto un bicchiere pieno di vino a cui viene tolto metà del vino che contiene

=

FORMALIZZAZIONE BANALEFORMALIZZAZIONE BANALE

FORMALIZZAZIONE MIGLIOREFORMALIZZAZIONE MIGLIORE

BIRRA

BIRRA

y x

ottengo due bicchieri pieni a metà che sono proprio uguali a due bicchieri vuoti a metà

E se moltiplico per 2, utilizzando il II principio di equivalenza, ottengo

y2 x2

BIRRA

=BIRRA

x = bicchierepienoametày = bicchierevuotoametà

BIRRABIRRA=

LA MIRACOLOSA MOLTIPLICAZIONE DELLA BIRRAi n p o c h i s s i m e p a r o l e

"UN BICCHIERE PIENO A METÀ È UGUALE A UN BICCHIERE VUOTO A METÀ"

ha tutto un altro significato di

"LA METÀ DI UN BICCHIERE PIENO È UGUALE ALLA METÀ DI UN BICCHIERE VUOTO“

dato che l’ultima frase si presta a una formalizzazione di tipo matematico che porta decisamente fuori strada.

LA MIRACOLOSA MOLTIPLICAZIONE DELLA BIRRAi n p o c h i s s i m e p a r o l e

"UN BICCHIERE PIENO A METÀ È UGUALE A UN BICCHIERE VUOTO A METÀ"

ha tutto un altro significato di

"LA METÀ DI UN BICCHIERE PIENO È UGUALE ALLA METÀ DI UN BICCHIERE VUOTO“

dato che l’ultima frase si presta a una formalizzazione di tipo matematico che porta decisamente fuori strada.

IDEE TRATTE DA

• dal libro di testo, di qualche anno fa, della INTERNATIONAL SCHOOL

di Udine MIDDLE SCHOOL MATH, autori vari, Scott Foresman-Addison

Wesley, Carrollton, Texas - Menlo Park, California

• dal libro ENIGMI CRITICI E BIZZARI di Michael DiSpezio, Il Castello

• Personali rielaborazioni

IDEE TRATTE DA

• dal libro di testo, di qualche anno fa, della INTERNATIONAL SCHOOL

di Udine MIDDLE SCHOOL MATH, autori vari, Scott Foresman-Addison

Wesley, Carrollton, Texas - Menlo Park, California

• dal libro ENIGMI CRITICI E BIZZARI di Michael DiSpezio, Il Castello

• Personali rielaborazioni