Giuseppe Parini e il primo volo in pallone · 1 LA MECCANICA DEI FLUIDI: UNA SCIENZA NATA PER...

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13CAPITOLO I FLUIDI

1 LA MECCANICA DEI FLUIDI: UNA SCIENZA NATA PER RAGIONI PRATICHE

Agli inizi del Seicento, il problema della distribuzione delle risorse idriche nelle citt, che era diventato via via pi pressante nel corso del Rinascimento, aliment in tutta Europa un vivace dibattito scientifico.

Erano ormai irrealizzabili acquedotti di proporzioni colossali come quelli costruiti du-rante lImpero romano, che sfruttavano le pendenze per accelerare il liquido dai rilievi montuosi fino alle cisterne e fontane cittadine. La necessit di portare lacqua dai fiumi verso i centri abitati spesso arroccati sulle alture, per motivi difensivi richiese lo svi-luppo di sistemi meccanici sempre pi efficaci.

Numerosi problemi furono chiariti e risolti quando, alla met del XVII secolo, fu mi-surata una grandezza fisica la cui esistenza era stata fino ad allora ignorata: la pressione esercitata su ogni cosa dallatmosfera terrestre.

Galileo e i fontanieri di Firenze

In Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (1638), Galileo ana-lizz una questione idraulica postagli dai maestri fontanieri di Firenze: questi avevano osservato che n con trombe, n con altra machina che sollevi lacqua per attrazzione, esser possibile farla montare un capello pi di diciotto braccia: e siano le trombe larghe o strette, questa la misura dellaltezza limitatissima.

Davanti a una moltitudine di spettatori, la mongolfiera di Andreani percorse una decina di chi-lometri e raggiunse 1500 m di quota. Realizzata sul modello dellaeronave francese costruita dai fratelli Joseph Michel e Jacques tienne Montgolfier, la mongolfiera aveva un diametro di 20 m e un peso di poco pi di una tonnellata. Laria al suo interno veniva riscaldata da un braciere (sospeso al di sopra della navicella per i pas-seggeri), alimentato a legna, alcol e trementina. La minore densit dellaria calda contenuta nella mongolfiera, rispetto a quella dellatmosfera attorno, permetteva al velivolo di salire e galleggia-re per effetto della spinta dArchimede.Prima dei Montgolfier, altri avevano teorizzato lutilizzo della legge di Archimede per sostenere il volo umano. Intorno al 1670 il gesuita Francesco Lana de Terzi aveva ipotizzato unaeronave sollevata da grandi sfere di rame, in cui fosse praticato il vuoto.

(Per la macchina aerostatica in Sonetti, VII 1-4)

Ecco del mondo e meraviglia e gioco, Farmi grande in un punto e lieve io sento; E col fumo nel grembo e al piede il foco Salgo per laria e mi confido al vento.

Giuseppe Parini e il primo volo in pallone

Il protagonista del primo volo italiano in mongolfiera fu il conte Paolo Andreani, che il 13 marzo 1784 decoll dai giardini della sua villa a Moncucco (vicino Monza).

123RF.

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i Fluiditermodinamica 13

In termini moderni: nessuna pompa aspirante, per quanto stretto o largo fosse il con-dotto, era in grado di tirare lacqua verso lalto per un dislivello superiore a un ben determinato limite, pari a circa 10 metri. La colonna dacqua aspirata, infatti, una volta raggiunta quella altezza, si fermava senza poter salire oltre. Continuando con grande sforzo ad azionare la pompa (e rischiando di romperla!), il livello dellacqua nel condot-to restava fermo a 10m, qualunque fosse la larghezza del tubo. Lacqua veniva tirata su come una lunga corda sosteneva Galileo che si spezzava sotto il proprio stesso peso una volta superata la lunghezza limite.

Il peso dellacqua contenuta in 10m di tubo costituiva, secondo Galileo, una misura della resistenza del vacuo, la resistenza del vuoto. Contrariamente a quanto afferma-va il principio vigente dellhorror vacui, cio che la natura aborrisce lassenza totale di materia, Galileo sosteneva che il vuoto pu essere prodotto se si usa abbastanza forza. Egli ipotizzava che nella parte superiore del condotto si formasse il vuoto, perch il peso della colonna dacqua vinceva la resistenza opposta dalla natura alla sua produzione.

la scoperta della pressione dellaria

La spiegazione di Galileo non era soddisfacente, ma contribu a stimolare il lavoro del suo allievo Evangelista Torricelli (1608-1647). Questi, come vedremo, realizz la prima misura della pressione atmosferica (FIGURA1), mostrando che essa capace di bilanciare una colonna dacqua alta proprio 10m.

Il fenomeno descritto da Galileo era dunque analogo a quello che accade quando be-viamo con la cannuccia da un bicchiere: la pressione atmosferica agisce sulla superficie dellacqua nella cisterna (bicchiere), spingendo verso lalto la colonna di liquido nel con-dotto (cannuccia), dove la pompa aspirante ha creato una depressione; ma la pressione esercitata dallatmosfera pu bilanciare al massimo 10m dacqua. Nella parte superiore del condotto si produce effettivamente il vuoto, come ipotizzava Galileo: ci accade non perch stata vinta la resistenza della natura, ma perch la pompa aspirante ha sottratto laria dal tubo.

Furono gli esperimenti e gli studi di Torricelli, uniti a quelli del francese Blaise Pascal (1623-1662), a mettere fine al lungo dibattuto sul principio dellhorror vacui, introdotto duemila anni prima da Aristotele (IV sec. a.C.).

2 SOLIDI, LIQUIDI E GAS

Un solido conserva for-ma e volume propri.

Un liquido assume la forma del recipiente che lo contiene, ma conserva il proprio volume.

Un gas occupa tutto il volume disponibile nel re-cipiente che lo contiene.

FIGURA 1

Gli esperimenti diTorricelli sulla pressione atmosferica.

C.

Gard

ini,

Parm

a 2

00

2

C.

Gard

ini,

Parm

a 2

002

Ste

fan

o E

mb

er/

Sh

utt

ers

tock

Ge

tty

Imag

es

416

13 i Fluidi

molto difficile comprimere un liquido in un volume pi piccolo. Riempiendo per esempio una siringa priva di ago con dellacqua e mantenendo chiuso lugello, non si riesce ad abbassare il pistone.

I gas invece sono facilmente comprimibili, come si pu verificare con la stessa siringa, questa volta senza acqua: il pistone si abbassa comprimendo laria.

Diamo a liquidi e gas il nome di fluidi.

A temperatura ambiente sono solidi per esempio il ferro, il sale da cucina, lo zucchero e i composti del silicio che formano la crosta terrestre. Sono liquidi la benzina, lolio doliva e il mercurio. Sono gassosi il metano, lossigeno e lazoto; queste ultime due sostanze formano la maggior parte dellatmosfera terrestre.

In natura, lacqua pu essere solida, liquida o aeriforme a seconda delle condizioni in cui si trova.

Anche le altre sostanze hanno lo stesso comportamento. Ci dimostra che il fatto di essere solido, liquido o aeriforme non una propriet assoluta delle sostanze: a seconda delle condizioni (temperatura e pressione), esse possono trovarsi in uno di questi tre stati di aggregazione.

3 LA PRESSIONEUna forza pu avere effetti diversi a seconda di come agisce su una superficie. Una per-sona che cammina sulla neve fresca

con le racchette affonda poco, per-ch il suo peso si distribuisce sulla su-perficie delle racchette;

se ha solo le scarpe affonda di pi, perch la superficie di appoggio deci-samente minore.

Lo stesso peso ha un effetto tanto pi grande quanto pi piccola la superficie su cui agisce. La pressione d informazioni su come una forza agisce su una superficie (FIGURA2).

La pressione una grandezza scalare definita come il rapporto tra il modulo della forza perpendicolare alla superficie e larea della superficie.

Bo

b H

ose

a/S

hu

tte

rsto

ck

Myp

okc

ik/S

hu

tte

rsto

ck

FIGURA 2

La pressione dovuta a una forza che si esercita

perpendicolarmente su una superficie.

S

F

p SF

==

forza perpendicolare alla superficie (N)

area della superficie (m2)

pressione (Pa) [1]

417


Data una superficie fissata, se la forza aumenta la pressione aumenta. Data una forza fissata, se aumenta la superficie su cui si distribuisce tale forza, la pres-

sione diminuisce.

Per esempio, quando premiamo una puntina da disegno contro la parete, la pressione eser-citata sul muro molto grande perch la forza si concentra su una superficie molto ristretta.

Come fa allora un fachiro a non farsi male sdraiandosi su un letto di chiodi?

Il peso del suo corpo distribuito su tutti i chiodi, e la pressione esercitata tanto mino-re quanto pi numerosi sono i chiodi a contatto con il corpo. Se ad esempio una persona di 60kg si sdraia su 10 000 chiodi, la pressione su ogni chiodo pari a quella dovuta al peso di una massa di 6g, un valore tale da non provocare alcun dolore.

lunit di misura della pressione

Nel Sistema Internazionale lunit di misura della pressione il pascal (Pa).

Esso definito come la pressione che si ottiene quando una forza di intensit pari a 1N agisce in direzione perpendicolare a una superficie di area 1m2:

1 11Pa m

N2=

Per avere una pressione di 1Pa possiamo spargere in modo uniforme un etto di sabbia (il cui peso circa 1N) su un foglio di carta quadrato che misura 1m per lato.

He

rbe

rt P

on

tin

g

AL VOLO

PRESSIONE

Quale pressione esercita sul pavi-mento un armadio di 50kg che poggia su quattro piedini aventi superficie totale di 100cm2?

[2]

UN CUOCO IMPACCIATO

Un cuoco deve preparare delle sottili fette di formaggio e sceglie di utilizzare un coltello con una lama lunga 12,0cm. La larghez-za della lama dalla parte affilata pu essere stimata in 0,050mm, mentre la larghezza dalla parte non affilata 2,240mm. Per errore impugna male il coltello, rivolgendo dal lato del formaggio la par-te non affilata della lama. Per affettare il formaggio, il cuoco eser-cita con la lama una forza di intensit F=270N sul formaggio.

Quanto vale la pressione esercitata dalla lama sul formaggio?

Ora il cuoco rivolge la lama nel modo giusto. Quale forza sarebbe sufficiente per esercitare la stessa pres-

sione di prima?

DATI

Lunghezza della lama: L = 12,0 cm;Larghezza dalla parte affilata: l1 = 0,050 mm;Larghezza dalla parte non affilata: l2 = 2,240 mm;Forza della lama: F = 270 N.

INCOGNITE

Pressione della lama: p= ?Forza della lama nel verso giusto: F=?

LIDEA

Calcolo la pressione come il rapporto tra lintensit della forza (che agisce in direzione perpendicolare alla super-ficie) e larea della superficie su cui agisce la forza.

Se la superficie di contatto minore, a parit di pressione esercitata il modulo della forza minore.

PROBLEMA MODELLO 1

Ro

bo

otb

/Sh

utt

ers

tock

418

13 i Fluidi

4 LA PRESSIONE NEI LIQUIDIMettiamo un palloncino gonfiato con aria allinterno di un recipiente pieno dacqua e provvisto di un pistone scorrevole. Premiamo sul pistone.

Il palloncino diventa pi piccolo per effetto della pressione esercitata dal pi-stone sullacqua, tuttavia conserva la sua forma sferica.

Ci significa che il palloncino subi-sce dappertutto la stessa pressione e la forza , in ogni punto, perpendicolare alla sua superficie.

F F

LA SOLUZIONE

Calcolo larea della lama dal lato non affilato.

Se il lato non affilato ha forma allincirca rettangolare,

, , , ,S 12 0 0 2240 2 69 2 69 10cm cm cm m2 4 2# #= = = -^ ^h h .Calcolo la pressione esercitata dalla lama.

,,p S

F2 69 10

270 1 00 10mN Pa4 2 6

##= = =

-.

Calcolo larea della lama dal lato affilato.

Approssimo anche il lato affilato della lama a un rettangolo:

, , , ,S 12 0 5 0 10 6 0 10 6 0 10cm cm cm m3 2 2 6 2# # # #= = =- - -l ^ ^h h .Ricavo la nuova forza.

La forza che agisce sulla nuova superficie S esercitando la stessa pressione :

, , ,F pS 1 00 10 6 0 10 6 0N/m m N6 2 6 2# # #= = =-ll ^ ^h h .

PER NON SBAGLIARE

La pressione esercitata dalla lama piuttosto elevata; per esempio, la pressione esercitata da un elefante sul ter-reno circa cento volte pi piccola. Ci spiega perch un coltello affilato permetta di tagliare i cibi con uno sfor-zo limitato: la forza esercitata sul coltello si concentra sulla piccola superficie del filo della lama e produce una pressione elevata.

419


Questo fenomeno descritto dalla legge di Pascal, introdotta dal fisico francese Blaise Pascal (1623-1662):

la pressione esercitata su una superficie qualsiasi di un liquido si trasmette, con lo stesso valore, su ogni altra superficie a contatto con il liquido.

La superficie di cui si parla pu trovarsi in qualsiasi punto del liquido ed essere inclina-ta in qualunque modo. Per esempio, se premiamo un tubetto di dentifricio dal fondo, la pasta esce dallimboccatura: anche questo comportamento spiegato dalla legge di Pascal.

La propriet dei liquidi espressa dalla legge di Pascal viene sfruttata in diverse tecnologie per amplificare le forze e anche per trasmetterle da un punto a un altro. Due di questi dispositivi sono il torchio idraulico e i freni a disco.

il torchio idraulico

Il torchio idraulico consente di te-nere in equilibrio (oppure sollevare) un peso grande mediante una forza piccola; esso comunemente utiliz-zato nelle autofficine. costituito da due cilindri, pieni di liquido e colle-gati tra loro, e da due pistoni, come schematizzato nella FIGURA3.

La pressione esercitata verso il basso dal pistone piccolo si trasmette per la legge di Pascal al pistone grande, spingendolo verso lalto. Dallugua-glianza delle due pressioni sulle su-perfici SA e SB dei pistoni,

SF

SF

A

A

B

B= ,

possiamo ricavare la forza FA che dobbiamo esercitare per equilibrare la forza FB:

F F SS

A BB

A=

Se la superficie SA pi piccola di SB, anche la forza FA pi piccola rispetto a FB. In questo caso una forza pi intensa equilibrata da una minore. Se esercitiamo una forza pi intensa di FA, solleviamo il secondo pistone.

Il torchio idraulico funziona perch il liquido contenuto nei cilindri (in genere olio) incomprimibile: se il volume di liquido contenuto nel primo ramo del torchio diminui-sce, quello contenuto nel secondo ramo aumenta della stessa quantit, perch il liquido si trasferisce da un ramo allaltro senza comprimersi. Perci a un abbassamento del primo pistone corrisponde sempre un innalzamento del secondo.

Lo stesso principio alla base del funzionamento di altre macchine, come la pressa e i freni idraulici.

SA

FB

SBFAFFFAAAAAAAAAAAAAAAFAFIGURA 3

Il torchio idraulico permette di sollevare grandi pesi applicando una forza ridotta.

[3]

[4]

420

13 i Fluidi

i freni a disco

I freni a disco delle automobili e delle motociclette sfruttano un circuito oleodinamico che colle-ga il pedale del freno alle ruote.

La pressione esercitata dal peda-le si trasmette lungo i tubi pieni di liquido (il cosiddetto olio dei freni) e fa stringere le due pasti-glie che, per attrito, rallentano il disco collegato alla ruota.

5 LA PRESSIONE DELLA FORZA-PESO NEI LIQUIDIOgni liquido che si trova sulla superficie della Terra soggetto, come ogni altro corpo, alla forza-peso.

La pressione che un liquido con densit d esercita su una superficie piana posta a una profondit h data dalla legge di Stevino:

dove g la costante di proporzionalit che vale circa 9,8 N/kg.

La pressione dovuta al peso di un liquido direttamente proporzionale sia alla den-sit del liquido sia alla sua profondit.

La formula [5] si ricava calcolando il peso di una colonna di liquido di altezza h e deter-minando la pressione da essa esercitata sulla base della colonna:

p SF

Smg

SdVg

S

d S hgdhgl

P= = = = = .

Consideriamo, per esempio, un subacqueo immerso a 4,0m di profondit. Poich la densit dellacqua di mare ,d 1 03 10 kg/m3 3#= , a questa profondit la pressione do-vuta alla colonna dacqua soprastante pari a

, , , ,p gdh 9 8 1 03 10 4 0 4 0 10kgN

mkg

m Pal 3 3 4# # # #= = =c c ^m m h .

Sulla superficie del mare (e di altri liquidi) agisce la pressione atmosferica p0, di cui parleremo alla fine del capitolo. Per la legge di Pascal, essa si trasmette inalterata nel liquido, perci alla pressione totale p a profondit h contribuiscono sia la pressione p0sia la pressione pl dovuta al peso del liquido:

p p gdh0= +

discopastiglie

circuito oleodinamico

ESPERIMENTO VIRTUALE

Sotto pressione

p gdhl =

costante g (N/kg)

densit del liquido (kg/m3)

pressione esercitata da un liquido (Pa) profondit del liquido (m) [5]h

p = gdhpp gdddh==p = gdhS

h p = p0 + gdhpp p= 00 ++++ gdhp = p0 + gdh

p0ppp0p0

S

[6]

421


Se la pressione atmosferica vale ,p 10 1 10 Pa0 4#= , il subacqueo immerso a 4,0 m di profondit risente di una pressione totale pari a

, , ,p p gdh 10 1 10 4 0 10 14 1 10Pa Pa Pa0 4 4 4# # #= + = + = .

CALCOLO DELLA PROFONDIT

Un addetto deve misurare il livello dellacqua in una cisterna prima di deci-dere se necessario un rifornimento. Un manometro posto sul fondo della cisterna segnala una pressione superiore a quella atmosferica di ,3 7 10 Pa4# .

Qual la profondit dellacqua nella cisterna?

Se il manometro posizionato a 20cm dal fondo, di quanto varia la pres-

sione misurata?

DATI

Pressione sul fondo rispetto a quella atmosferica: ,p 3 7 10 Pal 4#=

Densit dellacqua: ,d 1 00 10 kg/m3 3#=Nuova distanza del manometro dal fondo: hb=20cm

INCOGNITE

Profondit dellacqua: h= ?Variazione della pressione segnata dal manome-tro: p= ?

LIDEA

Dalla legge di Stevino so che la pressione esercitata dallacqua pl = dgh. Ricavo la profondit dellacqua nella cisterna come: h=pl/(dg).

Il valore della pressione misurata dal manometro a una certa distanza dal fondo diminuisce perch laltezza del liquido soprastante minore. La variazione (diminuzione) data da p=dgh, dove h corrisponde allaltezza del manometro dal fondo.

LA SOLUZIONE

Ricavo la profondit dellacqua.

, ,,

,hdgp

1 00 10 9 83 7 10 3 8

kg/m N/kgPa ml 3 3

4

# #

#= = =^ ^h h .

Calcolo di quanto varia il valore della pressione misurata dal manometro.

Laltezza dellacqua sopra il manometro diminuisce di h=0,20m, quindi ottengo

, , , ,p dg h 1 00 10 9 8 0 20 2 0 10kg/m N/kg m Pa3 3 3# # # #DD = = =^ ^ ^h h h .

PROBLEMA MODELLO 2

h = ?

pI = 3,7 104 Pa

acqua: d = 1,00 103 kg/m3

422

13 i Fluidi

6 I VASI COMUNICANTISi chiamano vasi comunicanti due o pi recipienti uniti da un tubo di comunicazione.

Consideriamo due vasi comunicanti riempiti con lo stesso liquido ed esaminiamo cosa accade su una sezione trasversale S di liquido nel tubo di collegamento.

Se laltezza hA del liqui-do maggiore di hB, la pressione che agisce su S da sinistra maggiore di quella da destra.

Quindi la superficie S spinta verso destra: il li-quido fluisce dal recipien-te in cui ha unaltezza maggiore verso laltro.

Soltanto quando la quota del liquido la stes-sa nei due recipienti, le due pressioni che agisco-no su S sono uguali e il li-quido in equilibrio.

Un liquido versato in un sistema di vasi comunicanti raggiunge lo stesso livello in tutti i recipienti.

Questa propriet valida qualunque sia la forma dei recipienti, purch siano abbastanza ampi. Il modello dei vasi comunicanti che abbiamo appena utilizzato non pi valido quando i recipienti sono dei tubi molto sottili (detti capillari).

Vasi comunicanti con due liquidi

Consideriamo il caso pi generale, in cui i vasi comunicanti contengono due liquidi diversi, di densit d1 e d2, che non si mescolano. Per esempio, i due liquidi potrebbero essere mercurio e acqua.

Allequilibrio il mercu-rio, che ha una densit maggiore dellacqua, rag-giunge unal tezza minore.

Trascuriamo il mercu-rio che sotto la superfi-cie di separazione con lacqua, perch in equi-librio di per s.

Il sistema in equili-brio se le due pressioni esercitate dalle due colon-ne di liquido (alte h1 e h2) sono uguali.

A

B

S

hA

hB

S

A

B

A Bh

H2O

Hg

H2O

Hg d1d2

h2

h1

423


Le pressioni esercitate dalle colonne di liquido sulla loro base sono

p p d gh p p d ghe1 0 1 1 2 0 2 2= + = + .

La loro uguaglianza fornisce lequazione

p d g h p d g h0 1 1 0 2 2+ = + ,

che pu essere scritta come

hh

dd

2

1

1

2=

Le altezze a cui si portano due liquidi in un tubo a U sono inversamente proporzio-nali alle loro densit.

Il sistema idrico di un acquedotto un insieme di vasi comunicanti. Lacqua viene pom-pata in un serbatoio sopraelevato in modo che possa raggiungere la stessa quota anche allinterno degli edifici.

7 LA SPINTA DI ARCHIMEDEPerch alcuni corpi in acqua affondano mentre altri galleggiano? Facciamo un esperi-mento.

In un contenitore pieno dacqua immergiamo un sottile palloncino riem pito dacqua e chiuso in modo da non inglobare aria.

Il palloncino in equi-librio: la forza peso con-trobilanciata da una forza di uguale intensit e verso opposto.

La forza equilibrante data dalla somma di tutte le forze di superficie, dovu-te allacqua circostante, che agiscono sul palloncino.

Lacqua esercita sul palloncino immerso una forza verso lalto, chiamata spinta di Ar-chimede. Poich il palloncino in equilibrio, questa forza uguale in modulo al peso dellacqua che sta dentro al palloncino.

La spinta di Archimede quindi uguale al peso dellacqua che il palloncino ha spostato una volta immerso.

Legge di Archimede: un corpo immerso in un liquido subisce una forza, diretta verso lalto, di intensit uguale al peso del liquido spostato.

AL VOLO

SPINTA DI ARCHIMEDE

Quanto vale la spinta di Archimede su un cubetto di lato 10cm immerso nelle acque del Mar Morto (d=1240kg/m3)?

[7]

FP

FA

F gdVA =

costante g (N/kg)

densit del liquido (kg/m3)

spinta di Archimede (N) volume del liquido spostato (m3) [8]

424

13 i Fluidi

Nella formula, il prodotto dV la massa del liquido spostato che, moltiplicata per g, d il suo peso.

Quanto pi grande il volume del corpo immerso, tanto maggiore la spinta verso lal-to, perch pi grande il volume di acqua che stato spostato.

Per esempio, quando si vara una nave, lo scafo entra in acqua e sposta una grande quantit dacqua. Questo vo-lume di acqua rimpiazzato da ci che contenuto nella parte immersa della nave (FIGURA4).

La nave galleggia perch la forza-peso che agisce sullo scafo di ferro (che cavo) compensata dalla spinta di Archimede, che rivolta verso lalto.

La legge di Archimede vale anche per i gas: la spinta di Archimede a far salire una mongolfiera o un palloncino riempito di elio.

acquaspostata

FIGURA 4

Una nave galleggia perch lacqua che sposta pesa

quanto la nave stessa.

IL DIRIGIBILE HINDENBURG

Il dirigibile Hindenburg, fabbricato in Germania nel 1936, stato uno degli aeromobili pi grandi mai costru-iti. Aveva un volume di 211 890m3 e una massa di 118 000kg ed era riempito di idrogeno, che ha la densit di 9,0102kg/m3. La densit dellaria 1,29kg/m3.

Quale spinta ascensionale faceva volare lHindenburg?

DATI

Volume del dirigibile: V=211 890m3

Massa del dirigibile: M = 118 000kgDensit dellaria: daria=1,29kg/m

3

Densit dellidrogeno: didrogeno=9,0102kg/m3

Massa del carico: m = 100 t

INCOGNITE

Spinta ascensionale sul dirigibile: S = ?

LIDEA

Sul dirigibile agiscono due forze in direzione verticale: la forza-peso verso il basso e la spinta di Archimede verso lalto.

Ricavo la spinta ascensionale come differenza tra il modulo della spinta di Archimede e quello della forza-peso.

LA SOLUZIONE

Calcolo la spinta ascensionale.

La forza-peso del dirigibile FP=Mg. La spinta di Archimede : FA=dariagV.

, , , .S F F g d V M 9 8 1 29 211890 118000 1 5 10N/kg kg/m m kg NA P 3 3 6aria # # #= - = - = - =^ ^ ^h h h

PER NON SBAGLIARE

Dato che la densit dei gas molto minore di quella di liquidi e solidi, la spinta di Archimede nei gas ha effetti apprezzabili quando, come in questo caso, il volume di gas spostato grande.Il dirigibile pu sostenere, senza perdere quota, un carico massimo pari al peso del suo volume riempito di aria.

PROBLEMA MODELLO 3

425


8 IL GALLEGGIAMENTO DEI CORPIUna nave in mare non sale n scende, perch il suo peso ha la stessa intensit della spinta di Archimede.

Se il peso maggiore della spinta di Archimede, il corpo affonda: ci che accade a unancora nellacqua.

Se invece il peso minore della spinta di Archimede il corpo sale, come succede ai pal-loni di aria, a cui gli archeologi subacquei attaccano i reperti trovati in fondo al mare per riportarli in superficie.

Immergiamo in un contenitore pieno dacqua tre bottiglie: la prima contiene sab-bia ( , ),d 1 6 10 kg/m3 3#= la seconda latte ( , )d 1 0 10 kg/m3 3#= e la terza olio di oliva ( , )d 0 9 10 kg/m3 3#= .

La sabbia ha densit maggiore dellacqua, per-ci la bottiglia affonda.

Il latte ha densit ugua-le allacqua e la bottiglia non va n su n gi.

Lolio ha densit mino-re dellacqua, per questo la bottiglia galleggia.

Un corpo affonda, rimane fermo o sale a galla quando la sua densit rispettiva-mente maggiore, uguale o minore di quella del liquido in cui immerso.

IN LABORATORIO

Il diavoletto di Cartesio

I sommergibili in immersione, quando si muovono in orizzontale, hanno densit media uguale a quella dellacqua che li circonda.

Per immergersi, il sommergibile im-barca acqua in appositi cassoni stagni. In questo modo la sua densit media aumenta.

Per riemergere, nei cassoni viene pompata aria compressa che spinge fuori lacqua. Cos la densit media del sommergibile diminuisce.

Co

rbis

/G. N

eri

sabbia

Mass

imili

an

o T

revi

san

latte

Mass

imili

an

o T

revi

san

Mass

imili

an

o T

revi

san

olio

immersione emersione

ariacompressa

426

IL C

AM

MIN

O D

EL

LA

FIS

ICA

IERIIERI

Le intuizioni di Leonardo

Leonardo da Vinci (1452-1519) stato il primo a studiare la fat-tibilit del volo con un approccio scientifico. Inizia con losservazio-ne degli uccelli, convinto che luo-mo avrebbe potuto volare quando fosse riuscito a fabbricarsi ali effi-cienti con le quali facendo forza contro alla resistente aria, vincen-do, poterla soggiogare e levarsi so-pra di lei.

Leonardo si rende conto che il volo battente non adatto allo scheletro e alla muscolatura delluomo. Tuttavia, dallosserva-zione degli uccelli riesce a indivi-duare i princpi generali del volo planato: resistenza aerodinamica e portanza.

Resistenza e portanza

Tanta forza si fa colla cosa in contro laria, quanto laria contro la cosa. Vedilalie percosse con-tro allaria far sostenere la pesante aquila nella suprema sottile aria.

cos che Leonardo intuisce il terzo principio della dinamica enunciato un secolo dopo da Isaac Newton: un corpo, che in questo caso lala, esercita una forza su un

secondo corpo, laria, e riceve una forza di reazione uguale e contra-ria alla prima, che viene chiamata portanza. La portanza la forza esercitata dallala e prodotta dal moto dellaria rispetto allaria. Tale moto genera una variazione della pressione attorno allala stessa.

Affinch si generi questa forza, necessario che si stabilisca un moto laminare, cosa che Leonardo capisce dalla sezione dellala di un uccello. Questa fatta in modo che i flussi daria che scorrono sopra lala siano pi veloci di quelli che scorrono sotto. Quindi la pressio-ne sul dorso dellala inferiore alla pressione sul ventre e lala spinta verso lalto. La stessa cosa avviene quando teniamo un foglio per un bordo, soffiamo sulla superficie superiore e il foglio si solleva.

A seguito delle sue osservazio-ni Leonardo progetta e costruisce diverse macchine volanti, ma nessuna riesce a volare, sia per mancanza di materiali sufficiente-mente leggeri e tecnologici sia per il fatto che la sola forza umana non basta per sollevarsi in volo.

Pi leggeri dellaria

Per secoli, dopo Leonardo, nes-suno riesce nellimpresa del volo fino al 19 ottobre 1783, quando una mongolfiera si innalza per la prima volta nei cieli parigini.

La mongolfiera, o aerostato, pi leggera dellaria e il principio sfruttato in questo caso la spinta di Archimede: un grande pallone riempito di aria calda (o anche di gas pi leggeri dellaria, come le-lio) spinto verso lalto da una forza pari al peso del volume daria che sposta. Tende a salire se immer-so in aria pi fredda e quindi pi densa.

Tuttavia a causa della sua immo-bilit e dellimpossibilit di con-trollarne il movimento, laerostato non soddisfa pienamente lidea di volo di Leonardo. In effetti, come una nave laerostato galleggia in un fluido, ma non pu sfruttare il dualismo aria/acqua che una barca a vela sfrutta in mare per muover-si. Laerostato pu solo muoversi insieme allaria in cui immerso.

Potrai conoscere luomo colle sua congegnate e grandi ale, facendo forza contro alla resistente aria e vincendo, poterla soggiogare e levarsi sopra di lei

(Leonardo da Vinci, Codice Atlantico, foglio 381)

IL VOLO

OGGI

427

OGGI

LAEROPLANO

Verso laeroplano

Boom, laereo che ti porta da Londra a New York in 3 ore, come riportano alcune testate giornalistiche a fine marzo 2016. La distanza tra le due capitali di circa 5570 chilometri, perci la ve-locit media di un tale aereo supe-ra di oltre 1800km/h la velocit del suono nellaria a 0C che pari a 1191km/h.

Il concetto daereo nasce ai pri-mi dellOttocento ad opera dellin-gegnere inglese George Cayley (1773-1857). Cayley convinto della possibilit di realizzare uno strumento in grado di muoversi nelloceano interamente naviga-bile dove potremo trasportare noi stessi, le nostre famiglie, merci e beni con maggiore sicurezza in aria piuttosto che sullacqua.

Come Leonardo, per, Cayley costruisce diversi modelli via via pi grandi che volano per brevi tratti e poi cadono a terra per via del loro peso. Questo spinge Cay-ley a cercare un propulsore che fornisca la spinta giusta per rima-nere in volo, ma i motori a vapore di allora erano ancora troppo pe-santi e inefficienti. La situazione rimane tale per quasi 100 anni, finch i fratelli Wilburn e Orville Wright, costruttori di biciclette con il sogno di volare, decidono di costruirsene uno: un quattro ci-lindri di circa 90 chilogrammi che

fornisce una potenza di 12 cavalli. Cos, nel dicembre 1903, in una

giornata di forte vento decolla il primo oggetto aereo dalla spiaggia di Kitty Hawk nel Nord Caroli-na. Percorre 36 metri e rimane in volo appena 12 secondi, ma stata la prima macchina con un uomo al comando che si era librata da sola nellaria volando liberamente, aveva percorso un tratto davanti a s, senza ridurre la velocit ed era infine atterrata senza distruggersi come scrisse Orville Wright.

Sempre pi in alto

Da quel primo volo, le migliorie tecnologiche hanno permesso di aumentare notevolmente la veloci-t ma, come aveva notato gi Cay-ley, la resistenza dellaria cresce con il quadrato della velocit: raddop-piando la velocit i valori della re-sistenza quadruplicano. Per dimi-nuire questo effetto gli aerei hanno iniziato a volare a quote pi elevate, dove diminuisce la pressione at-mosferica e quindi anche la den-sit dellaria: se entro i mille metri di quota dei primi voli a motore la densit dellaria di oltre 1,1kg/m3, a 12 000 metri scende a 0,3kg/m3.

A queste quote poi, che corri-spondono alla zona della stratosfe-ra, si viaggia per lo pi al di sopra delle perturbazioni atmosferiche, e quindi si possono evitare fastidio-seturbolenze.

Oltre la velocit del suono

Se in regime subsonico laria si spo-sta davanti allala in moto allincir-ca laminare, avvicinandosi alla ve-locit del suono, laria non fa pi a tempo a spostarsi e si accumula davanti allala. La resistenza aero-dinamica aumenta notevolmente tanto che, localmente, davanti al velivolo si forma una barriera, un muro, che oppone unelevata resi-stenza e che viene chiamata muro del suono.

Aumentano anche i vortici che si creano dietro lala, il moto del fluido attorno non pi lamina-re e non si genera pi portanza. Per questo, nel costruire aerei che superino la velocit del suono si adottano alcuni accorgimenti: il profilo alare pi appuntito nella parte anteriore per limitare laccu-mulo dellaria; la parte anteriore della fusoliera appuntita e a volte presenta una sorta di lancia sulla sommit allo scopo di bucare pi facilmente il muro del suono.

Georgios Kollidas/Shutterstock

428

13 i Fluidi

9 LA PRESSIONE ATMOSFERICAPremendo una ventosa su una superficie liscia si fa uscire buona parte dellaria al suo interno. La pres-sione dellaria sulla superficie esterna maggiore di quella sulla superficie interna, cos la ventosa rimane aderente alla superficie. Con ventose appositamente progettate, possibile sollevare pesanti lastre di vetro.

La pressione sulla superficie esterna della ventosa la pressione atmosferica. Essa presente in qualun-que punto dellatmosfera terrestre ed dovuta al peso dellaria soprastante.

Per esempio, si pu calcolare che il peso della colonna di aria sopra una mano tesa corrisponde a quello di una massa di circa 150kg. Per la legge di Pascal, la pressione at-mosferica si esercita con lo stesso valore su tutte le superfici, comunque siano orientate, quindi anche sotto il dorso della mano tesa e sulle superfici interne al nostro corpo verso lesterno; questo fa s che non la avvertiamo.

la misura della pressione atmosferica

Il valore della pressione atmosferica pu essere misurato con lesperimento di Evangeli-sta Torricelli (1608-1647), realizzato per la prima volta nel 1643.

Si riempie di mercurio una lunga provetta di vetro fino allorlo, si tappa lestremit aper-ta e si capovolge la provetta, immergendola in una bacinella piena di mercurio (FIGURA5). Una volta rimosso il tappo, si osserva che la provetta non si svuota completamente.

Al livello del mare, la colonna di mercurio che rimane nel tubo alta 76,0cm.

Se al posto del mercurio utilizzassimo dellacqua, la colonna sarebbe alta circa 10 m, come calcol lo stesso Torricelli.

Per la legge di Pascal, la pressione atmosferica p0, che spinge verso il basso la superficie libera del mercurio, agisce verso lalto nel punto A della figura, in cui il tubo si immerge nella bacinella. In A, essa equilibrata dalla pressione gdmh dovuta alla colonna di mer-curio (densit ,d 1 36 10 kg/mm 4 3#= ):

, , , , .p gd h 9 80 1 36 10 0 760 1 01 10kgN

mkg

m Pam0 4 53# # # #= = =c c ^m m h

La pressione atmosferica normale, o standard, definita dal valore convenzionale

, .p 1 01 10 Pa0 5#=

Si tratta di un valore di pressione piuttosto elevato, circa uguale alla pressione esercitata da una massa di 2,13kg, ap-poggiata su una moneta da un centesimo, la cui area misura circa 2,07cm2.

la pressione atmosferica che ci consente di bere una bibita con una cannuccia.

A

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

h =

76 c

m

vuoto

mercurio

gdmh

p0

p0

FIGURA 5

Schema dellapparato sperimentale di Torricelli.

monetamoneta

Sto

cksn

ap

pe

r/S

hu

tte

rsto

ck

429


Quando la cannuccia nel liquido, la pressione atmosferica spinge verso il basso nella parte vuota della cannuccia e verso lalto dallinterno del liquido.

Se aspiriamo, riduciamo la pressio-ne verso il basso; la pressione verso lalto, che resta uguale, spinge la bibita alla bocca.

Uno dei cardini della fisica aristotelica era lorrore del vuoto (horror vacui: natura abhor-ret a vacuo). Lesperimento di Torricelli non si limita quindi a misurare la pressione atmosferica, ma produce (nella parte di provetta non occupata dal mercurio) una regio-ne con pressione residua molto bassa, e quindi un primo esempio di vuoto. Si tratt (insieme al lavoro teorico condotto da diversi studiosi, in particolare da Pascal) di un contributo importante nel passaggio dalla vecchia alla nuova fisica.

latmosfera e il bar

Una pressione pari a 1,01105Pa detta anche atmosfera (atm). ununit spesso usata in ambito tecnico, ma non fa parte del Sistema Internazionale.

Il bar, molto vicino allatmosfera, un multiplo del pascal che si usa in meteorologia:

1 10bar Pa5=

lesperimento degli emisferi di magdeburgo

Lesperimento di Torricelli fu replicato in tutta Europa, non solo negli ambienti accade-mici ma anche in contesti pubblici, destando grande stupore. Notevole risonanza ebbe-ro le misure effettuate in alta montagna da Blaise Pascal con laiuto del cognato Florin Prier, alla fine del 1648: il colonnino di mercurio risult pi basso in cima al monte, mostrando che la pressione atmosferica decresce con laltitudine. A Pascal risalgono anche i primi studi che mettono in relazione la pressione atmosferica con le condizioni meteorologiche, con lintento di fare previsioni del tempo.

Il desiderio di riprodurre il vuoto spinse il fisico tedesco Otto von Guericke (1602-1686), borgomastro di Magdeburgo, a incominciare una serie di esperimenti con luso di pom-pe di drenaggio, che egli stesso modific e perfezion, ottenendo i primi esemplari di macchina pneumatica o, nella terminologia moderna, pompa da vuoto.

I tentativi iniziali di Guericke furono fallimentari, sebbene di grande effetto. Utilizz dapprima una botte di legno riempita dacqua e perfettamente sigillata (FIGURA6). Man mano che lacqua veniva tirata fuori, per, laria esterna veniva risucchiata nella botte attraverso piccole fenditure nel legno, provocando un percettibile rumore e impedendo il reale svuotamento. Lingegnoso fisico sostitu allora la botte con una sfera di rame, questa volta riempita solo daria.

pressioneatmosferica

p0

p0

p0p0

AL VOLO

COLONNA DACQUA

Effettuando lespe-rimento di Tor-ricelli con acqua (d=1,00103kg/m3) al posto del mercurio, quanto sarebbe alta la colonna dacqua?

FIGURA 6

Lesperimento di Guericke con la botte di legno.

Pla

ne

t S

hu

le/G

ett

y Im

ag

es

430

13 i Fluidi

A un certo punto del processo di svuotamento, con grandissimo strepito e terrore di tutti, il globo, come un lenzuolo sbriciolato dalle mani, and in frantumi, come se fosse stato scagliato da unaltissima torre (Guericke, Experimenta nova (ut vocantur) Mag-deburgica de vacuo spatio, 1672). La sfera era implosa sotto la pressione dellaria esterna (FIGURA7).

Il gusto per la spettacolarit indusse Guericke ad allestire un esperimento pubblico che ebbe luogo a Ratisbona nel 1654, in presenza dellimperatore Ferdinando III dAsburgo, e che ebbe un forte impatto sullimmaginario collettivo: il cosiddetto esperimento degli emisferi di Magdeburgo.

Il contenitore era costituito da due semisfere di ottone cave, aventi diametro di circa 1m, i cui bordi combaciavano perfettamente con un contatto a tenuta daria, formando una sfera completamente chiusa.

Ciascuno dei due emisferi fu attaccato a quattro pariglie di cavalli: una vol-ta aspirata laria dalla sfera, soltanto la forza dei 16 animali fu in grado di separare le due met, compresse dalla pressione atmosferica (FIGURA8).

Grazie allinvenzione della macchina pneumatica, Guericke fu in grado di realizzare i primi esperimenti in conte-nitori privi daria: mostr, per esempio, che il suono emesso da una campana nel vuoto non si propaga e che una candela in assenza daria si spegne.

la variazione della pressione atmosferica

Al livello del mare la pressione atmosferica allincirca uguale al valore normale ,1 01 10 Pa5# e diminuisce con laumentare dellaltitudine, perch diminuisce il peso

della colonna daria che ci sovrasta.

A bassa quota, la diminuzione della pressione atmosferica pari a circa 1100/1200Pa per ogni 100m di innalzamento; cos, quando si sale di 80m la pressione atmosferica diminuisce delluno per cento. Gli strumenti che misurano la pressione atmosferica si chiamano barometri.

I barometri a mercurio sono sostanzialmente uguali a quello di Torricelli. I barometri metal-lici sfruttano le deformazioni che la pressione atmosferica provoca in una scatola metallica al cui interno stato fatto il vuoto. Quando la pressione esterna varia, cambia anche la defor-mazione. Attraverso un sistema di leve la defor-mazione trasmessa a un indice che si sposta su una scala graduata.

La misura della pressione atmosferica consente di calcolare laltezza di un luogo rispetto al livello del mare. Un altimetro un barometro metallico con una scala tarata in metri di altitudine.

FIGURA 7

Lesperimento di Guericke con la sfera di rame.

FIGURA 8

Esperimento degli emisferi di Magdeburgo.

agoindicatore

vuoto

Mart

ina M

eye

r/S

hu

tte

rsto

ck

Ge

tty

Imag

es

431


B

AA

B

1016

1020 10281032

1028

1020

1016

1012

La pressione cambia anche a seconda delle condizioni meteorologiche. I va-lori della pressione atmosferica sono riportati nelle mappe meteorologiche.

Le linee nere disegnate sulla carta si chiamano isobare. Esse congiungono i punti che hanno la stessa pressione. I numeri a fianco delle isobare sono i corrispondenti valori della pressio-ne atmosferica (uguali in ogni punto della linea) misurati in ununit molto diffusa tra i meteorologi: lettopascal (1 hPa = 100 Pa). Al livello del mare la pressione atmosferica standard di 1010hPa.

10 LA CORRENTE DI UN FLUIDOFinora abbiamo studiato la statica dei fluidi, cio il comportamento di fluidi allequili-brio, fermi rispetto al sistema di riferimento prescelto. Le leggi della dinamica descrivo-no anche le propriet di un fluido in movimento.

Si chiama corrente un movimento ordinato di un liquido o di un gas.

Quando si parla di corrente, si fa sempre riferimento a un moto ordinato.

Il movimento dellacqua di un fiume forma una corrente.

Schizzi dacqua disordinati non co-stituiscono una corrente.

la portata

Una conduttura un tubo in cui scorre un gas o un liquido, oppure il letto in cui scor-re un fiume. La portata di una conduttura una grandezza fisica che descrive quanto intensa la corrente del fluido.

Il Po, per esempio ha una portata di 1540m3/s dacqua; il Rio delle Amazzoni di circa 100 000m3/s

La portata q definita dal rapporto tra il volume V di fluido che in un intervallo di tempo t attraversa una sezione trasversale della conduttura e lintervallo t stesso:

Vla

dim

ir M

eln

iko

v/S

hu

tte

rsto

ck

Ko

khan

chik

ov/

Sh

utt

ers

tock

432

13 i Fluidi

Una sezione trasversale della conduttura una superficie piana immaginaria immersa nella conduttura.

Possiamo visualizzare la sezione trasversale come una grata perpendicolare alla condut-tura, attraverso la quale passa il fluido. Per determinare la portata, misuriamo il volume di fluido che attraversa la grata in un dato intervallo di tempo (FIGURA 8).

Nel Sistema Internazionale il volume si misura in metri cubi e lintervallo di tempo in secondi. Quindi la portata si misura in metri cubi al secondo (m3/s).

correnti stazionarie

Una corrente si dice stazionaria quando la sua portata, attraverso qualunque sezio-ne della conduttura, costante nel tempo.

Mentre apriamo un rubinetto la corrente non stazionaria, perch il volume dacqua che esce ogni secondo aumenta nel tempo.

Dopo un po, vediamo che la cor-rente si stabilizza e diviene stazionaria, cio fornisce lo stesso volume dacqua in ogni secondo.

Stazionario significa costante nel tempo. Quindi, se nel letto di un torrente in un certo momento passano 150 m3 di acqua al secondo e la corrente stazionaria, anche dopo unora passeranno 150 m3 di acqua al secondo.

da che cosa dipende la portata?

Abbiamo definito la portata come il volume di fluido che attraversa per unit di tempo una sezione trasversale di una conduttura. Come dipende la portata dalla sezione?

Pu sembrare ragionevole che:

.qtVDD

=

volume (m3)portata (m3/s)

intervallo di tempo (s)0 5

10

15

20

2530

35

40

45

50

55

[9]

FIGURA 9

Il volume dacqua che attraversa la sezione

trasversale del tubo per unit di tempo costituisce la

portata del tubo.

AL VOLO

LA PORTATA DEL TUBO DELLACQUA

Il getto dacqua stazionario che fuo-riesce dal rubinetto impiega 15 minuti per riempire la vasca da bagno con 180 litri dacqua. Qual la portata del tubo?

[2,0 104 m3/s]

433


le sezioni del grosso tubo di un ga-sdotto siano attraversate, ogni secon-do, da un grande volume di gas;

quelle del tubo di un impianto do-mestico siano attraversate, ogni secon-do, da un volume di gas molto minore.

In realt, non sempre la portata di una conduttura pi larga maggiore di quella di una conduttura pi stretta.

La portata q dipende, oltre che dallarea S della sezione trasversale della conduttura, an-che dal modulo v della velocit con cui il fluido vi scorre. Se v lo stesso in tutti i punti della sezione, vale la formula:

Quindi, fissata la velocit, la portata direttamente proporzionale allarea della sezione della conduttura; fissata la sezione, direttamente proporzionale alla velocit del fluido. Pu succedere che un tubo pi stretto, in cui un fluido scorre pi velocemente, abbia una portata maggiore di un tubo pi largo attraversato da un flusso pi lento.

dimostrazione della formula per la portata

Considera un volumetto di fluido che in un certo istante attraversa una sezione trasver-sale di una conduttura (FIGURA 9). Ti bastano due idee per dedurre la formula [10] dalla definizione [9].

Prima idea: il volumetto di fluido come un punto materiale.

In un intervallo di tempo t, a partire dallistante iniziale considerato, il volumetto per-corre la distanza l = v t.

Seconda idea: tutti i volumetti che attraversano insieme una sezione continuano

a muoversi insieme.

Poich la velocit del fluido assume lo stesso valore v in ogni punto della sezione tra-sversale, tutti i volumetti che nellistante iniziale attraversano la sezione percorrono nel tempo t la stessa distanza l. Pertanto la sezione, di area S, attraversata da un volume complessivo di fluido espresso da

V = S l = S v t.

Sei ora in grado di calcolare la portata e ottenere, dalla [9], la formula [10]:

.qtV

tSv t

SvDD

D

D= = =

Darr

en

J.

Bra

dle

y/S

hu

tte

rsto

ck

erm

ess

/Sh

utt

ers

tock

.q S v=

area della sezione trasversale (m2)

portata (m3/s) velocit del fluido (m/s)

[10]

v

v

v

S S

FIGURA 10

Il volumetto di fluido si muove con velocit v nella conduttura.

434

13 i Fluidi

lequazione di continuit

Sappiamo che i liquidi sono, con ottima approssimazione, incomprimibili. Cio, che il loro volume non cambia nel corso del moto. Di conseguenza, se un certo volume di liquido fluisce in una conduttura, esso deve spingerne via un volume uguale.

Esaminiamo la corrente stazionaria di un liquido che scorre in un tubo singolo, su cui non si inseriscono altri tubi e che non si suddivide (un sistema fatto cos chiamato conduttura senza sorgenti n pozzi).

In un intervallo di tempo fissato, un certo volume di liquido in una zona A del tubo attraversa con velocit vA una sezione trasversale di area SA.

Nello stesso intervallo di tempo, un volume uguale di liquido in un secondo tratto B del tubo attraversa con velocit vB una sezione trasversale di area SB.

Il fatto che due sezioni trasversali diverse siano attraversate nello stesso tempo da volu-mi uguali di liquido significa che la portata uniforme lungo il tubo; in particolare, la stessa in A e B. Dallequazione [10] per la portata discende, dunque:

Questa legge si chiama equazione di continuit. Essa dice che larea trasversale della conduttura e la velocit del li-quido che scorre in essa sono inversamente proporziona-li: se larea si dimezza, la velocit del liquido raddoppia.

La [11] spiega un fenomeno molto comune, che si sfrutta, per esempio, quando si annaffia. Lacqua esce dallim-boccatura del tubo di irrigazione con una velocit non troppo elevata. Per, la velocit dellacqua aumenta note-volmente se si blocca in parte limboccatura con un dito.

Lequazione di continuit utilizzata anche in diagnostica medica per riconoscere i re-stringimenti (detti stenosi) dei vasi sanguigni. Con una tecnica chiamata flussimetria Doppler, si misura la velocit del sangue in diverse zone di un vaso sanguigno. Se si riscontra un aumento della velocit con cui scorre il sangue, significa che in quella zona c una diminuzione del diametro del vaso. Questa diminuzione tanto maggiore quan-to pi grande laumento di velocit.

SA

A

vA

AA

SAS

vvvAv

SB

B

vB

BBBBBB

vvB

SB

vB

.S v S vA A B B=

area in B (m2)area in A (m2)

velocit in A (m/s) velocit in B (m/s)

Gayv

oro

nsk

aya

_Yan

a/S

hu

tte

rsto

ck

[11]

435


LA VELOCIT DEL SANGUE

In una persona in normali condizioni di salute la valvola aortica ha un raggio di circa 9 mm e la velocit del san-gue in essa 30 cm/s. Le prime conseguenze di una stenosi si manifestano quando si ha una riduzione di 1/4 della sezione della valvola rispetto la norma. Il culmine di gravit si ha quando la sezione aortica si riduce a 0,75cm2

o meno. Calcola:

la velocit del sangue nella regione in cui presente la stenosi;

la velocit del sangue nel caso di maggiore gravit.

A B C

DATI

Raggio valvola aortica: rA = 9 mmVelocit del sangue: vA = 30 cm/sRiduzione sezione rispetto alla norma: 1/4Sezione ridotta (limite): SC = 0,75 cm

2

INCOGNITE

Velocit del sangue in presenza di stenosi: vB = ?Velocit del sangue in condizioni critiche: vC = ?

LIDEA

I liquidi sono incomprimibili, di conseguenza se un certo volume di liquido fluisce in una conduttura deve spingerne via un volume uguale.

Lequazione di continuit ci dice che larea trasversale della conduttura e la velocit del liquido sono inversamen-te proporzionali.

LA SOLUZIONE

CASO CON STENOSI LIEVE:

Applico lequazione di continuit e isolo vB.

Lequazione di continuit ci dice che qA= qB, cio vA SA= vB SB; posso isolare vB da questa espressione: v v SS

B AB

A= .

Ricavo i valori numerici da sostituire nellequazione.

In condizioni normali la sezione della valvola aortica (0,9 cm) 3 cmS r 2 2A A2r r= = = ;

nel caso di stenosi lieve i dati ci dicono che la sezione si riduce di 41 , quindi S S4

3B A= .

Pertanto SS

34

B

A= e 3

4 40 cm/sv v SS

30 cm/sB AB

A#= = =^ h .

CASO CON STENOSI GRAVE:

Dallequazione di continuit applicata al caso C ricavo vc.

Con lo stesso procedimento precedente, posso calcolare

1 10 cm/sv v SS

30 cm/s 0,75 cm3 cm 2

C AC

A2

2

# #= = =^ bh l .

PROBLEMA MODELLO 4

Dia

mo

nd

_Im

ag

es/

Sh

utt

ers

tock

436

13 i Fluidi

11 LEQUAZIONE DI BERNOULLIUn fluido che scorre in una conduttura di diametro variabile e piegata in direzione ver-ticale sottoposto a diverse forze:

la spinta FA da parte del fluido che sta a mon-te;

la forza resistente FB da parte del fluido che sta a valle;

la forza-peso che agisce sul fluido stesso;

Per un volumetto di fluido che si sposta lungo la conduttura possono cambiare: la quota y a cui esso si trova, il valore v della sua velocit e la pressione p a cui sottoposto.

In generale, la relazione tra queste grandezze molto complessa; il caso pi semplice quello in cui valgono le seguenti condizioni:

1. il fluido incomprimibile;

2. la corrente stazionaria;

3. la velocit del fluido la stessa in tutti i punti di qualunque sezione trasversale.

Lultima condizione equivale ad affermare lassenza di forze di attrito allinterno del fluido e tra il fluido e le pareti della conduttura: queste forze, infatti, potrebbero frenare in maniera differente lo scorrimento dei diversi volumetti di fluido a seconda della loro distanza dalle pareti.

Se le tre condizioni sono verificate, il moto del fluido obbedisce allequazione di Ber-noulli, cos chiamata in onore del matematico e fisico svizzero Daniel Bernoulli (1700-1782).

Indicando con d la densit del fluido e con g laccelerazione di gravit, si ha:

Lequazione [12] ha la forma di una legge di conservazione, come quelle dellenergia meccanica e della quantit di moto.

In una zona A della conduttura, pressione, velocit e quota del fluido hanno i valori pA, vA e yA. Quando il fluido giunge in una seconda zona B, queste grandezze fisiche possono avere cambiato tutti i loro valori, rispettivamente in pB, vB e yB; tuttavia, lespressione al primo membro della [12] rimane costante. Quindi si ha

.p d v d g y p d v d g y21

21

A A A B B B2 2

+ + = + +

SA

yA

FA

SB

SAS

yyyyyyyAAAA

FFFFFFFFFFFFFFF

SA

SB

yB

SASFB

SA

FPy

SB

FP

SBBBB

SAS

.costantep dv d g y21 2

+ + =

pressione (Pa)

velocit (m/s) accelerazionedi gravit (m/s2)

quota (m)

densit (kg/m3)

[12]

[13]

437


12 LATTRITO NEI FLUIDILa viscosit di un fluido si oppone al moto degli oggetti che sono immersi nel fluido e ostacola lo scorrimento del fluido stesso.

Quando andiamo in bicicletta possiamo sentire in modo molto chiaro limpedimento dovuto alla resistenza dellaria. Se questo impedimento non esistesse, a parit di sforzo si potrebbero raggiungere velocit molto pi elevate.

lattrito con le pareti della conduttura

Normalmente il comportamento di un fluido molto complesso: pu presentare vor-tici, schizzi, e tutta una serie di fenomeni difficili da descrivere.

Esiste, per, una condizione semplice, quella in cui il fluido scorre in una conduttura in modo regolare e con una velocit cos bassa da non creare vortici. Questo comporta-mento si chiama regime laminare:

nel regime laminare il fluido si muove come se fosse formato da sottili lamine fluide che scivolano una sullaltra.

La lamina di fluido a contatto con la parete della conduttura risente di una forza di attrito che la rallen-ta molto. Questo rallentamento si trasmette per attrito a tutto il flu-ido, strato per strato, ma diventa sempre meno evidente allaumen-tare della distanza dalla parete fissa (FIGURA 10).

Gli esperimenti mostrano che lintensit della forza necessaria per mantenere uno strato di fluido in moto laminare, con velocit costante, :

direttamente proporzionale al valore v della velocit dello strato; direttamente proporzionale allarea S della sua superficie a contatto di uno strato di

fluido vicino;

inversamente proporzionale alla distanza d tra lo strato e la parete.

La formula che riassume queste propriet :

La costante di proporzionalit (si pronuncia eta) si chiama coefficiente di viscosit: dipende dal tipo di fluido e dalla sua temperatura, ed tanto maggiore quanto pi gran-di sono le forze di attrito interne al fluido (tabella).

Nel Sistema Internazionale, lunit di misura del coefficiente di viscosit pascal molti-plicato secondo (Pas).

LesP

ale

nik

/Sh

utt

ers

tock

d

F vS vvv

dddddd FIGURA 11

Lamina di fluido che si muove con velocit v a distanza d dalla parete della conduttura.

.Fd

S vh=

area (m2)forza (N)

coefficiente di viscosit (Pa s) distanza (m)

velocit (m/s)

[14]

COEFFICIENTI DI VISCOSIT

SostanzaCoefficienti di viscosit a 20 C (Pa s)

ammoniaca 9,2106

metano 10,2106

aria 17,1106

acqua 1,00103

mercurio 1,55103

sangue (a 37 C)

4,0103

olio doliva 8,4102

glicerina 1,50

438

13 i Fluidi

lattrito su un corpo in movimento nel fluido

Tutti gli automobilisti sanno per esperienza che, per mantenere costante la velocit dellau-tomobile, occorre una maggiore quantit di carburante se la velocit maggiore. Per velocit pi elevate, infatti, sono maggiori anche le forze di attrito che il motore deve controbilanciare.

La resistenza al moto dovuta alla forza di attrito viscoso tra laria e lautomobile dipende, oltre che dalla velocit dellautomobile, anche dalla viscosit dellaria e dalla forma e dal-le dimensioni della carrozzeria: se scelte con criteri aerodinamici, forma e dimensioni limitano la formazione di vortici daria.

Considera unautomobile che parte da ferma e inizia ad accelerare. Gli esperimenti con-dotti nelle gallerie del vento mostrano che:

finch la velocit dellautomobile abbastanza bassa, il flusso daria attor-no alla carrozzeria laminare e la resi-stenza dellaria direttamente propor-zionale alla velocit;

non appena cominciano a formarsi vortici daria, il flusso non pi lami-nare e la resistenza dellaria inizia ad aumentare in modo direttamente pro-porzionale al quadrato della velocit.

Un caso molto pi semplice quello di una sfera di raggio r che si muove con velocit v (non cos elevata da generare vortici) in un fluido che ha un coefficiente di viscosit . In questa situazione, il modulo Fv della forza di attrito viscoso sulla sfera dato dalla legge di Stokes:

Fv

zona dilinearit

v

vvvvvvvvvvvvvvv

Fv

v

zona incui si

formanoi vorticii vorticii vorticii vorticii vortici vortici vortici vortici vortici vortici vortici vortici vortici vortici vortici vortici vortici vortici vorticccccccccccccciciccccccccccccccccicccccccccccccccccccccciciciciciciciciciciicccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccicccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccciiciiiiiiiiiiiiiii

v

i

.F r v6v r h=

raggio (m)forza di attrito viscoso (N)

coefficiente di viscosit (Pas) velocit (m/s)

[15]

LA SFERA IMMERSA

Una sfera immersa in acqua si muove con velocit di 3,8 m/s e subisce una forza di attrito viscoso di 0,0060N.

Calcola il raggio della sfera.

Calcola la velocit che dovrebbe avere la sfera per mantenere la stessa forza di attrito viscoso se fosse im-

mersa in glicerina (il coefficiente di viscosit della glicerina 1,50 Pas).

DATI

Forza di attrito Fv=0,0060NVelocit sfera v=3,8m/sViscosit acqua 1,0 10 Pa s3acqua # $h = -

Viscosit glicerina 1,50 Pa sglicerina $h =

INCOGNITE

Raggio della sfera in acqua r=?Velocit della sfera in glicerina v=?

PROBLEMA MODELLO 5

439


13 LA CADUTA IN UN FLUIDOUn paracadutista che si lancia da un aereo non si muove di moto uniformemente accelerato. Infatti, su di esso non agisce soltanto la forza-peso FP (ri-volta verso il basso), ma anche la forza di attrito Fvcon laria (che si oppone al moto di caduta e quindi rivolta verso lalto). Il moto del paracadutista determinato dalla risultante di queste due forze.

La forza di attrito con laria aumenta allaumenta-re della velocit del paracadutista, finch non rag-giunge la stessa intensit della forza-peso. Da que-sto istante in poi le due forze sono uguali e opposte e la loro risultante uguale a zero:

.F F F 0tot P v= + =

Per il principio di inerzia, il paracadutista scende allora con velocit costante, chiamata velocit limite.

Un oggetto che cade nellatmosfera accelera fino a raggiungere la velocit limite, che rimane poi costante fino alla fine del moto.

Per una massa di 100kg attaccata a un paracadute di 10m di diametro, la velocit limite circa 3m/s, cio poco pi di 10km/h. Raggiunta questa velocit, la forza di attrito ha unintensit Fv=9,810

2N e cancella la forza-peso.

Fp

Fa

v costante

De

wit

t/S

hu

tte

rsto

ck

[16]AL VOLO

LAPERTURA DELPARACADUTEUn paracadutista raggiunge la sua ve-locit limite prima di aprire il paracadute.

Che cosa accade dopo che lha aperto? Perch?

LIDEA

La forza di attrito viscoso per un corpo sferico descritta dalla legge di Stokes.

LA SOLUZIONE

Applico la legge di Stokes in acqua e ricavo r.

Ricavo il raggio della sfera dalla formula F r v6 acquav r h=

60,0060 N 0,084 mr v

F6 1,0 10 Pa s 3,8 m/sacqua

v3

# # #r h r= = =

-^ ^h h .Applico la legge di Stokes nella glicerina e ricavo v.

Dalla legge di Stokes applicata alla caduta nella glicerina posso isolare v:

60,0060 N 0,0025 m/sv r

F6 1,50 Pa s 0,084 mglicerina

v

# #r h r= = =^ ^h h .

PER NON SBAGLIARE

La velocit della sfera nella glicerina deve essere inferiore a quella nellacqua: a parit di dimensioni e di intensit della forza di attrito viscoso, v e sono grandezze inversamente proporzionali, perci se aumenta v diminuisce.

440

13 i Fluidi

la velocit limite per una sfera

Calcoliamo la velocit limite di una sfera di massa m e raggio r che cade in un fluido con coefficiente di viscosit . Visto che i due vettori FP e Fv hanno versi opposti, lintensit di Ftot data dalla differenza tra le intensit di FP e Fv (FIGURA 11), cio

Ftot =FPFv.

Quindi, la condizione [16] diviene

Fv=FP.

Se il flusso laminare, la velocit limite della sfera non troppo elevata. Possiamo, al-lora, sostituire le espressioni F r v6 v h r= (legge di Stokes) e FP=mg nelluguaglianza e otteniamo

r v m g6 r h = ,

da cui possiamo isolare il valore della velocit limite di caduta:

il contributo della spinta di archimede

Quando la densit della sfera confrontabile con quella del fluido attraverso il quale cade, diventa importante tenere conto della spinta di Archimede che agisce sulla sfera verso lalto (FIGURA 12).

Se la sfera ha raggio r, il suo volume V r34 3r= a k e il suo peso, espresso in funzione di

r e della densit d0 del materiale di cui composta,

.F d g r34

p 03r=

Daltra parte, se indichiamo con d la densit del fluido, lespressione dellintensit della forza di Archimede

.F d V g d g r34

A3r= =

Nel caso che stiamo esaminando lintensit della forza totale

Ftot=FPFvFA

e il valore della velocit limite di caduta dato dalla formula

.vd d g r

92 0 2

h=

-^ h

FIGURA 12

La forza totale sulla sfera la somma della forza-peso

(verso il basso) e della forza di attrito (verso lalto).

FP

Ftot

Fv

Ftot = FP Fv

.v rm g

6 r h=

coefficiente di viscosit (Pa s)

velocit limite (m/s) massa (kg)

raggio (m)

accelerazione di gravit (m/s2)

[17]

FP

Ftot

Fv

FA

Ftot = FP Fv FA

FIGURA 13

La forza totale sulla sfera la somma della forza-peso (verso il basso), della forza

di attrito e della spinta di Archimede (entrambe verso

lalto).

[18]

i Fluidi 13

IL F

ISIC

O R

AC

CO

NT

A

441

Nel 1630, i maestri fontanieri Fiorentini osservano che nessuna pompa aspirante riesce a far salire lac-qua verso lalto per un dislivello superiore ai 10 me-tri. Per spiegare questo fenomeno, Torricelli ipotizza che quel limite dipenda dal valore della pressione esercitata dallaria sulla superficie dellacqua alla base della tubo.

Prepara allora un esperimento nel quale sostitu-isce lacqua con il mercurio (argento vivo): essendo questo pi denso dellacqua, Torricelli si aspetta di ricreare una condizione simile a quella sperimentata dai fontanieri, ma con una colonna di fluido di altez-za inferiore, realizzabile in laboratorio.

Dopo aver riempito di mercurio un tubo lungo e sottile, chiuso a una delle estremit, immerge lestremi-t libera in una bacinella piena di mercurio e osserva che il tubo non si svuota del tutto.

La colonna di mercurio nel tubo rimane allaltezza di circa 760 mm (dun braccio e 1/4, et un dito di pi), anche quando lesperimento ripe-tuto con tubi dalle caratteristiche di-verse.

In accordo con Galileo, Torricelli convinto che nella parte superiore del tubo si formi il vuoto e lo dimostra nel suo esperimento. Aggiunge dellacqua nella bacinella di mercurio e solleva il tubo in essa immerso fino a farlo pescare nellacqua; a quel punto il mercurio, pi denso dellacqua, si riversa nella ba-cinella mentre lacqua sale rapidamente nel tubo fino a riempirlo.

Torricelli conclude che il peso di 760 mm di mer-curio in grado di bilanciare la pressione dellaria presente sulla superficie di mercurio nella bacinella (nella catinella gravita laltezza di cinquanta miglia daria), creando il vuoto al di sopra della colonna di mercurio. Il peso di un pari volume dacqua non sa-rebbe sufficiente per raggiungere la stessa condizione di equilibrio.

Noi habbiamo fatti molti vasi di vetro et anco come i seguenti, segnati A et B, grossi e di collo lungo due braccia, questi pieni dargento vivo, poi serratagli con un dito la bocca e rivoltati in un vaso dove era largento vivo C, si vedevano votarsi e non succeder niente nel vaso che si votava; il collo per AD restava sempre pieno allaltezza dun braccio e 1/4, et un dito di pi.

Per mostrar che il vaso fusse perfettamente voto, si riempiva la catinella sottoposta dacqua fino in D et alzando il vaso a poco a poco, si vedeva, quando la bocca del vaso arrivava allacqua, descender quellargento vivo dal collo, e riempirsi con impeto orribile dacqua fino al segnoEaffatto.

Il discorso si faceva mentre il vaso AE stava voto e

largento vivo si sosteneva bench gravissimamente nel collo AC, questa forza, che regge quellargento vivo contro la sua naturalezza di ricader gi, si veduto fino adesso che sia stata interna nel vaso AE, o di vacuo, o di quella roba sommamente rarefatta; ma io pretendo, che la sia esterna e che la forza venga di fuori.

Su la superficie del liquore che nella catinella gra-

vita laltezza di cinquanta miglia daria; per qual

maraviglia se nel vetro CE, dove largento vivo non

ha inclinazione, n anco repugnanza per non esservi

nulla, entri e vi sinnalzi fin tanto, che si equilibri colla

gravit dellaria esterna, che lo spinge?

(Opere dei discepoli di Galileo, Carteggio 1642-1648, a cura

di P. Galluzzi e M. Torrini, Firenze Giunti-Barbera 1975)

In una lettera dell11 giugno 1644, Evangelista Torricelli, allievo di Galileo, racconta al matematico e amico Michelangelo Ricci lesperi-

mento con il quale per la prima volta misura il valore della pressione atmosferica a livello del mare.

IL BAROMETRO DI TORRICELLI

Immagina di ripetere lesperimento

diTorricelli a 3000 m di altitudine:

tiaspetti che la colonna di mercurio

neltubo sia pi o meno alta di 760 mm?

DOMANDA

DE

A/P

INA

IDE

R/G

ett

y

442

13 i Fluidi

SU E GI PER LE SCALE Come sai, Evangelista Torricelli (1608-1647) fu linventore del barometro a mercurio, con cui si pu misurare la pres-sione atmosferica. Si tratta per di uno strumento un po ingombrante, alto almeno 80cm, delicato nelluso. Invece tu, in questa attivit, scoprirai come cambia la pressione atmosferica utilizzando solamente il tuo smartphone.

Cosa ti occorre

Uno smartphone dotato di sensore barometrico.

Una app per la misura della pressione atmosferica.

Le app

Per sapere se il tuo smartphone dotato di barometro, puoi utilizzare una app come Hardware Info per Android e AIDA64 per iOS.

Per misurare la pressione atmosferica, tra le tante app disponibili puoi scarica-re, per smartphone Android, Physics Toolbox Sensor Suite, che comprende la app Barometer (figura a sinistra). Per lambiente iOS puoi servirti di Barometer & Altimeter for iPphone/iPad (figura a destra).

Procedimento

1 Vogliamo analizzare come cambia la pressione atmosferica in funzione dellaltezza. Per questo devi recarti in un edificio con varie rampe di scale o dotato di ascensore.

2 Lancia la app per registrare il grafico della pressione in funzione del tempo. Poi sali le scale con passo regolare, oppure entra in ascensore e vai dal piano terra fino allultimo piano.

3 Al termine, ferma lacquisizione. Puoi, eventualmente, trasferire i dati raccolti a un PC ed elaborarli con un foglio elettronico.

Analisi dei dati

Il grafico seguente stato ottenuto andando a piedi per le scale di casa. Sono stati riportati nella figura alcuni dati significativi.

0

1011,5

1011,0

1010,5

pre

ssio

ne

(h

Pa

)

tempo (s)

10 20 30 40 6050

(3,27 s; 1010,18 hPa)

(50,21 s; 1011,66 hPa)

Puoi notare che la pressione atmosferica aumentata con una certa regolarit, da 1010,18hPa a 1011,66hPa, con una variazione complessiva di 1,48hPa.

ESPERIMENTI CON LO SMARTPHONE

443


Quale sar il dislivello in altezza superato?

Il grafico ha registrato una salita o una discesa per le scale?

Per rispondere a queste domande, osserva il grafico a sinistra, che mostra landamento della pressione atmosferica fino a unaltitudine di 10 000m. La pressione diminuisce secondo una relazione matematica difficile per le tue attuali conoscenze, ma se consideriamo solo la parte iniziale del grafico, ossia solo piccole altitudini, possiamo usare una buona approssimazione di tipo lineare. Calcolando la pendenza della retta, si ha:

,h

p0 12 hPa/m

DD=- .

Il rapporto inverso, / ,h p 8 4 m/hPaD D =- , indica che la pressione atmosferica diminuisce di 1hPa per ogni 8,4m di altezza circa.

0

1200

1000

800

600

400

200

0

pre

ssio

ne

(h

Pa

)

2000 4000 6000 8000 1200010000

0

1013

1012

1011

1010

1009

pre

ssio

ne

(h

Pa

)

altitudine (m)

altitudine (m)

h

p

5 10 15 20 3525 30

Ora fai i calcoli con i tuoi dati e rispondi alle domande precedenti.

Il grafico seguente stato ottenuto muovendosi nelledificio in ascensore. La pressione atmosferica diminuita, poi rimasta stazionaria e infine ritornata al valore iniziale. Lascensore prima salito e poi disceso o viceversa? Utilizza le coordinate dei due punti indicati per calcolare di che altezza si spostato.

0

1025,0

1024,5

1024,0

pre

ssio

ne

(h

Pa

)

tempo (s)

10 20 30 40 50

(10,1 s; 1025,35 hPa)

(25,5 s; 1024,20 hPa)

Approfondimenti

Partendo dal grafico della pressione, prova a tracciare landamento del corrispondente grafico altimetrico, cio dellaltezza in funzione del tempo.

Analizzando il grafico ottenuto muovendoti con lascensore, sapresti calcolare la velocit con cui la cabina saliva o scendeva?

Se ti capita di andare in vacanza in montagna e di salire su una funivia, porta con te lo smartphone, misura la pres-sione durante la salita (o la discesa), ricava il dislivello di altezza e confronta il risultato con i dati ufficiali. Di solito, accanto allingresso della stazione della funivia, c un pannello dove sono riportate varie informazioni, tra cui il dislivello superato dalla cabina.

Se vai in un luna park dove c una ruota panoramica, sali con lo smartphone e registra landamento della pressione atmosferica. Che forma avr il grafico della pressione? E quello dellaltimetria?

13 i Fluidi

444

I CONCETTI E LE LEGGI i Fluidi MAPPA INTERATTIVA

IN TRE MINUTI La pressione

Solidi, liquidi e gas

Un solido conserva forma e volume propri. Un liquido ha volume proprio ma assume la forma del recipiente che lo contiene. Un gas occupa tutto il volume del recipiente che lo contiene e pu essere facilmente compresso.

la pressione

La pressione una grandezza scalare definita come il rapporto tra il modulo della forza perpendicolare alla superficie e larea di questa superficie: p S

F=

= . Nel SI lunit di misura della pressione il pascal (Pa): .1 11Pa m

N2=

la pressione nei liquidi

Legge di Pascal: la pressione esercitata su una superficie qualsiasi di un liquido si trasmette, con lo stesso valore, su ogni altra superficie a contatto con il liquido.

Legge di Stevino: la pressione dovuta al peso di un liquido direttamente proporzionale alla densit del liquido e alla profondit: p dghl = .

Se la superficie libera del liquido soggetta a una pressione p0, la pressione totale a profon-dit h : p=p0+dgh.

la spinta di archimede

Un corpo immerso in un liquido subisce una forza diretta verso lalto di intensit uguale al peso del liquido spostato: F mg dVgA = = .

Un corpo affonda, resta fermo o sale a galla quando la sua densit rispettivamente maggiore, uguale o minore di quella del liquido in cui immerso.

la pressione atmosferica

La pressione atmosferica dovuta al peso della colonna di aria che ci sovrasta. Al livello del mare, la pressione atmosferica uguale a quella generata da una colonna di mercurio alta 76,0cm e

corrisponde a 1,01105Pa.

Latmosfera (atm) ununit di misura della pressione che non appartiene al SI: 1 atm = 1,01105Pa. Il bar ununit di misura della pressione usata in meteorologia: 1 bar = 105 Pa.

Portata

q tV

SvDD

= = : numericamente uguale al volume di liquido che, in un secondo, attraversa la superficie trasversale della conduttura ed direttamente proporzionale allarea della sezione trasversale della conduttura e alla velocit del liquido.

equazione di continuit

S v S vA A B B= : larea trasversale della conduttura e la velocit del liquido sono inversamente proporzionali.

equazione di Bernoulli

costantep d v d g y21 2

+ + = : valida se il fluido incompressibile, la corrente stazionaria e gli attriti interni del

fluido e quelli con le pareti della conduttura sono trascurabili.

lattrito nei fluidi

La forza necessaria per mantenere uno strato di fluido in moto laminare con una velocit v costante F dSvh= .

Il modulo Fv della forza di attrito viscoso su una sfera di raggio r che si muove allinterno di un fluido in regime lami-nare con velocit v dato dalla legge di Stokes: F r v6v r h= .

h p = p0 + gdhpp p= 00 ++++ gdhp = p0 + gdh

p0ppp0p0

S

445

I FLUIDI

ESERCIZI Mettiti alla prova congli esercizi interattiviONLINE

13

2 SOLIDI, LIQUIDI E GAS

DOMANDE

Esamina sotto quali condizioni lacqua si pu trovare nello stato: solido, liquido e aeriforme.

Ricerca sotto quali condizioni lazoto (che normalmente si presenta come un gas) diviene liquido e solido.

Ti vengono in mente sostanze che si possono trovare fa-cilmente in stati di aggregazione diversi? Quali? Fai al-meno 2 esempi.

3 LA PRESSIONE

DOMANDE

Perch per camminare sulla neve, senza affondare, pre-feribile ricorrere alluso delle racchette?

PENSACI BENE Due furgoni identici utilizzano due marche diverse di pneumatici che hanno la stessa massa ma larghezze differenti.

Quale furgone esercita al suolo una pressione minore?

Il professor Rossi ha una cartella molto pesante da por-tare a tracolla tutti i giorni. Un giorno decide di inserirvi un poggiaspalla di larghezza tripla rispetto alla cinghia.

Come cambia la pressione che la borsa esercita sulla sua spalla a parit di peso?

PROBLEMI

PROBLEMA MODELLO 1

Un cuoco impacciato a pag. 417

Una donna di massa 54kg e un bambino di massa 27kg sono in piedi sulla spiaggia. La superficie di un piede del-la donna 1,8dm2 e quella di un piede del bambino 0,90dm2.

La donna e il bambino esercitano la stessa pressione sulla sabbia?

Una cassa di bottiglie di vino, di massa 40kg, ha forma di parallelepipedo e dimensioni 90cm, 25cm e 75cm.

1

2

3

4

5

6

7

8

Quanto vale la minima pressione che la cassa pu esercitare al suolo?

[5,8102Pa]

Un operaio di una ditta di traslochi vorrebbe appoggiare un pianoforte di massa275 kg su un solaio che pu sop-portare al massimo una pressione di 6,0103Pa.

Quale superficie di appoggio minima deve avere il pia-noforte per non provocare danni al solaio?

[0,45m2]

Una botte piena di vino occupa unarea di 1,0m2 ed eser-cita al suolo una pressione di 2,4103Pa.

Qual la massa della botte?

[2,4102kg]

Alice vuole stimare la pressione che esercita al suolo quando sta in piedi. La sua massa circa 50kg. Per va-lutare la sua superficie di appoggio, approssima ciascun piede a un rettangolo di dimensioni 25cm e 5cm.

Senza usare la calcolatrice, stima la pressione esercita-ta al suolo da Alice.

[2104Pa]

In un numero da circo, un clown di massa 58kg cammi-na insieme alla sua scimmietta su unasse sospesa fra due trampolini. Lasse pu sopportare al massimo la pressio-ne di 2,5104Pa. Gli scarponi del clown hanno com-plessivamente una superficie di 280cm2. A un certo pun-to, la scimmietta sale in braccio al clown.

Quale massa pu avere al massimo la scimmietta per non spezzare lasse?

[13kg]

4 LA PRESSIONE NEI LIQUIDI

DOMANDE

COSA SUCCEDE SE Un palloncino sferico immerso in acqua e si trova sul fondo di una piscina profonda 3m.

fuori dallacqua a b c d

Quale forma assumer approssimativamente tra quel-le mostrate?

APPLICA I CONCETTI Unauto pesa 10 000N. La siste-mi sul cilindro pi piccolo di un torchio idraulico e ap-plichi sullaltro cilindro una forza di 10 000N.

Riesci a sollevare lauto?

9

10

11

12

13

14

ESERCIZI

446

13 i Fluidi

PROBLEMI

In un torchio idraulico, i pistoni a e b hanno un piedi-stallo circolare di raggio rispettivamente 4,0 cm e 40 cm. Il pistone a si abbassa di 0,50 m sotto il peso di un carico.

Determina di quanto si innalza il pistone b.

[0,0050m]

Le sezioni dei pistoni di un torchio idraulico hanno un rapporto di 3:1. Vuoi usare il torchio per sollevare unau-to che pesa 15 000N.

Quale forza minima devi essere in grado di esercitare?

[5000N]

In un torchio idraulico le superfici dei pistoni sono pari a 12,8cm2 e 70,1cm2. Spingiamo in basso la superficie pi piccola con una forza di 130N.

Qual lintensit della forza verso lalto che si produce sulla superficie pi grande?

[712N]

In un circo un clown gioca a sollevare un orso di massa 320kg. Il clown sale su un piedistallo circolare di raggio 65cm di un torchio idraulico, e fa salire lorso sul piedi-stallo allaltro estremo del torchio, che ha una superfi-cie di 4,0m2. Lorso si solleva quando il clown prende in braccio un pinguino di massa 28kg.Calcola:

la pressione necessaria per sollevare lorso;

il peso complessivo del clown e del pinguino.

[7,8102Pa; 1,0103N]

Il funzionamento di una pressa idraulica si basa sul-lo stesso principio del torchio. Una lastra metallica di 2,00103kg pressata applicando sul pistone di super-ficie minore una forza di 1,23103N.

Qual il rapporto tra i raggi dei pistoni?

[1:4]

5 LA PRESSIONE DELLA FORZA-PESO NEI LIQUIDI

DOMANDE

I tre recipienti contengono lo stesso tipo di liquido, han-no uguale base e sono tutti riempiti fino alla stessa altez-za. Pur contenendo quantit di liquido diverse, la pres-sione sul fondo sempre la stessa.

Spiega perch e traccia le forze che agiscono sul liqui-do.

15

16

17

18

19

20

Il recipiente in figura pieno dacqua. Ordina i valori della pressione nei punti A, B, C allinterno del recipien-te e giustifica la tua risposta.

AA BB C

Al mare, per fare snorkeling nuoti con la faccia sotto il pelo dellacqua respirando con un boccaglio.

Potresti fare delle immersioni in profondit, senza fare ricorso alluso di bombole di ossigeno o scafandri, solo con lausilio di un lungo tubo che emerge dal pelo dellacqua per respirare?

PENSACI BENE Uno studente afferma che, secondo la legge di Stevino, un liquido esercita pressione solo sulla base del recipiente che lo contiene, perch rispetto alla base la colonna di liquido ha la massima altezza.

Ha ragione?

PENSACI BENE Un secchiello e una bottiglia sono ap-poggiati sulla sabbia. Sono riempiti di acqua fino alla stessa altezza e la profondit del segno che lasciano sulla sabbia appare la stessa per entrambi.

Come possibile, visto che le due quantit di acqua, e quindi i loro rispettivi pesi, sono molto diverse?

PROBLEMI

PROBLEMA MODELLO 2

Calcolo della profondit a pag. 421

La pressione atmosferica di Titano, la maggiore delle lune di Saturno, patm=1,510

5Pa, mentre la sua acce-lerazione di gravit g=1,4m/s. Su Titano esistono la-ghi di metano liquido, una sostanza che ha una densit di423kg/m3.

Un lago di metano ha una profondit di10m: qual la pressione sul fondo del lago?

(a cura di SAIT) [1,6105Pa]

La colonnina di mercurio in un termometro da interni, a temperatura ambiente, alta 12,0 cm. La densit del mercurio 13,6103kg/m3.

21

22

23

24

25

26

ESERCIZItermodinamica

447

i Fluidi 13

Qual il valore della pressione dovuta alla forza-peso del mercurio in fondo al bulbo del termometro?

[16,0kPa]

Una bottiglia di olio riempita fino allaltezza di 16cm e la pressione sul suo fondo, dovuta alla forza-peso dello-lio, vale 1,2103Pa.

Qual la densit dellolio?

[7,7102kg/m3]

Il relitto del Titanic fu ritrovato, nel 1985, sul fondo dellOceano Atlantico ad una pressione di 4,2107Pa. La densit dellacqua di mare 1030kg/m3.

A quale profondit giace il Titanic?

La pressione atmosferica modifica il risultato?

[4,2 km]

Un sottomarino si trova a 120 m di profondit (densit dellacqua di mare 1030kg/m3) e il suo portellone ha for-ma circolare di raggio 40 cm.

Quale forza sarebbe necessaria per aprirlo?

[6,1105N]

Una botte piena dacqua fino al livello del coperchio su-periore. La pressione esercitata dallacqua sul fondo della botte 7,8kPa. Da un foro al centro del coperchio si alza un tubo lungo 1,00m, inizialmente vuoto.

Quanto vale laltezza della botte?

Qual il valore della pressione quando anche il tubo riempito di acqua?

[0,80m; 18kPa]

Un cilindro di raggio 6,0 cm riempito da due liqui-di che non si mescolano, come nella figura. Le densit dei due liquidi sono: d1=1600kg/m

3 (liquido verde) e d2=1380kg/m

3 (liquido giallo).

18,0

12,0

6,0

cm

h1

h2

h3

Calcola la pressione dovuta al peso dei liquidi che agi-sce sulle pareti del cilindro a unaltezza di 6,0 cm dal fondo.

Determina lintensit della forza totale esercitata dai liquidi sul fondo del cilindro.

[1,8103Pa; 30N]

27

28

29

30

31

6 I VASI COMUNICANTI

DOMANDE

Nei palazzi con numerosi piani, spesso negli appartamen-ti pi alti lacqua esce dai rubinetti con poca pressione.

Perch?

PENSACI BENE Tre vasi comunicanti contengono tre li-quidi diversi A, B e C. La densit di A maggiore di quel-la di B e la densit di B maggiore di quella di C.

Allequilibrio, chi raggiunge unaltezza maggiore?

PROBLEMI

In laboratorio, versi in un tubo a U dellacqua in une-stremit e dellolio nellaltra. Le densit dellolio e dellac-qua sono, rispettivamente, 890kg/m3 e 1010kg/m3. Lal-tezza della colonna dacqua 18cm.

A che altezza arriva lolio nellaltro ramo del tubo?

Quanto vale la differenza fra i livelli superiori dellac-qua e dellolio nei due rami?

[20 cm; 2 cm]

Un serbatoio fornisce acqua a un condominio. Il rubi-netto di un appartamento chiude il tubo dellacqua, di se-zione 1,80cm2, esercitando una forza di 24,0N sullacqua.

A quale altezza situato il serbatoio rispetto al rubi-netto?

[13,6 m]

Un tubo a U contiene acqua e mercurio (densit 13 600kg/m3). Nel ramo di destra, dove si trova il mer-curio, c un foro di 4,0cm di diametro, chiuso con un tappo di sughero. Il foro si trova alla quota di 20cm sotto il pelo libero dellacqua.

20 cm

acqua

mercurio

Quale forza dovuta al liquido sopporta il tappo di su-ghero?

Quanti centimetri di mercurio ci sono sopra il foro?

[2,5 N; 1,5 cm]

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Giuseppe Parini e il primo volo in pallone · 1 LA MECCANICA DEI FLUIDI: UNA SCIENZA NATA PER...

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