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LOTTO  e  SUPERENALOTTO  CALCOLO  COMBINATORIO  e  CALCOLO  DELLE  PROBABILITA’  

 GIOCO  DEL  LOTTO  COME  SI  GIOCA:  Scegli  da  1  a  10  numeri;  scegli  la  sorte  (ambo,  terna…)  e  l'importo  da  associare;  scegli  la  ruota;  scegli  eventuali  abbonamenti,    multiple  e  sistemi.  Gioca  la  tua  schedina  e  attendi  l'estrazione  (martedì-­‐giovedì-­‐sabato).    

1. Qual  è  la  probabilità  di  azzeccare  l’estratto  semplice?  Gioco  un  numero,  ad  esempio   il  13  e  spero  che  esca  nella  cinquina  estratta.   I  casi  possibili  sono  tutte   le  cinquine  non  ordinate  costruibili  con  i  90  numeri  1,2,…,  90:   905 .  I  casi  favorevoli  sono  tutte  le  cinquine  che  contengono  il  numero  13  

scelto,  ossia   sono   tutte   le  quaterne  costruibili   con  gli  89  numeri   rimanenti,   cioè:   894 .   La  probabilità  di   azzeccare  un  

numero  è  pertanto:  𝑝 =!"!!"!= !

!".  

 2. Qual  è  la  probabilità  di  azzeccare  l’ambo?  

Gioco   due   numeri,   ad   esempio   il   13   e   il   17   spero   che   escano   nella   cinquina   estratta.   I   casi   favorevoli   sono   tutte   le  cinquine   che   contengono   i  numeri   scelti   (il   13  e   il   17,  per  es.),   ossia   sono   tutte   le   terne   costruibili   con  gli  88  numeri  

rimanenti,  cioè:   883 .  La  probabilità  di  azzeccare  un  ambo  è  pertanto:  𝑝 =!!!!"!= !

!"#≅ 0,0025 = !

!"".  

 3. Qual  è  la  probabilità  di  azzeccare  il  terno?  

Gioco  tre  numeri,  ad  esempio  il  13,  il  17  e  il  65  spero  che  escano  nella  cinquina  estratta.  I  casi  favorevoli  sono  tutte  le  cinquine   che   contengono   i   numeri   scelti   (il   13,   il   17   e   il   65,   per   es.),   ossia   sono   tutte   le   coppie   costruibili   con   gli   87  

numeri  rimanenti,  cioè:   872 .  La  probabilità  di  azzeccare  un  terno  è  pertanto:  𝑝 =!"!!"!= !

!!"#$≅ 0,000085.  

 4. Qual  è  la  probabilità  di  azzeccare  la  quaterna?  

Gioco  quattro  numeri,  ad  esempio  il  13,  il  17,  il  65  e  il  66  spero  che  escano  nella  cinquina  estratta.  I  casi  favorevoli  sono  tutte  le  cinquine  che  contengono  i  numeri  scelti  (il  13,  il  17,  il  65  e  il  66,  per  es.),  ossia  sono  tutti  i  possibili  86  numeri  

rimanenti,  cioè:   861 = 86.  La  probabilità  di  azzeccare  una  quaterna  è  pertanto:  𝑝 =!"!!"!= !

!""#$%≅ 0,0000019.  

 5. Qual  è  la  probabilità  di  azzeccare  la  cinquina?  

Gioco  cinque  numeri,  ad  esempio  il  13,  il  17,  il  65,  il  66  e  il  90  spero  che  escano.  I  casi  possibili  sono  tutte  le  cinquine  non  ordinate   costruibili   con   i   90   numeri   1,2,…,   90:   905 .   Si   ha   solo   un   caso   favorevole.   La   probabilità   di   azzeccare   una  

cinquina  è  pertanto:  𝑝 = !!"!= !

!"#!#$%&≅ 0,0000000227.  

 IL  GIOCO  DEL  LOTTO  NON  E’  EQUO  PERCHE’  A  FRONTE  DELLE  PROBABILITA’  SOPRA  CALCOLATE  RESTITUISCE  

MOLTO  MENO  DEL  VALORE  ATTESO  Si  dice  che  un  GIOCO  è  EQUO  se  la  posta  S  che  siamo  disposti  a  pagare  per  parteciparvi  è  uguale  al  prodotto  della  vincita  V  per  la  probabilità  p  di  ottenerla  (S=V*p)  Allora  una  scommessa  risulta  equa  se  la  vincita  V  che  possiamo  realizzare  è  uguale  a  1/p  volte  la  posta  S  che  abbiamo  pagato  per  parteciparvi  (V=S/p)  Se  giochiamo  1€  (cioè  S=1)  allora  la  vincita  equa  è  1/p.      Se  gioco  per  fare…   ho  una  probabilità  di  vincita…   Ma,  in  caso  di  vittoria,  vinco  la  posta  

giocata  moltiplicata  per*…  l’estratto  semplice   !

!"           11,23  l’ambo   !

!"#≅!!""     250  

il  terno   !!!.!"#     4.500  

la  quaterna   !!"".!"#     120.000  

la  cinquina   !!".!"!.!"#     6.000.000  

 *  Fonte:  http://www.lottomaticaitalia.it/lotto/gioco/lotto_premi.html;   le  cifre  sono  poi  al   lordo  delle  ritenute  di   legge,  che  vengono  detratte  all’atto  del  pagamento  della  vincita.      

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 GIOCO  DEL  SUPERENALOTTO  COME  SI  GIOCA:  Basta  scegliere  sulla  schedina  un  minimo  di  due  combinazioni  di  6  numeri  ciascuna,  compresi  tra  1  e  90.  Il  regolamento,  infatti,  stabilisce  che  la  giocata  minima  non  possa  essere  inferiore  a  due  combinazioni  di  gioco.  Il  costo  di  una  giocata  minima  è  di  1  €  avendo  ciascuna  combinazione  un  costo  di  0,50  €.  La  giocata  massima  su  una  schedina  è  di  27.132  colonne  (corrispondente  ad  una  giocata  di  19  numeri  su  un  pannello)  per  un  importo  pari  a  13.566  €  (“sistema   integrale”).   Si   vince,   dopo  aver   scommesso   su   una   schedina,   indovinando   il   terno,   la   quaterna,   la   cinquina,   il   cinque  più   uno   (ovvero   cinque  numeri  più  il  numero  jolly)  o  il  sei,  ovvero  i  sei  numeri  della  combinazione  base.    Esaminiamo  i  vari  casi  di  vincita  (fare  “3”,  “4”,  “5”,  “5+1”)  giocando  sei  numeri  (giocata  minima)    

1. Qual  è  la  probabilità  di  “fare  3”?  Gioco  sei  numeri,  ad  esempio  il  10,  il  20,  il  30,  il  40,  il  50  e  il  60  e  spero  che  nella  sestina  vincente  ci  siano  3  fra  i  miei  numeri.  I  casi  favorevoli  sono  tanti  quante  le  sestine  costruibili  utilizzando  3  dei  miei  6  numeri  insieme  con  3  degli  84  

numeri  che  non  ho  giocato.  La  probabilità  di  “fare  3”  è  pertanto:  𝑝 =!! ∙ !"!!"!

= !"∙!"#$%!""!#$!%&

≅ !!"#,!"

≅ 0,003 = 3 ∙ 10!!.  

2. Qual  è  la  probabilità  di  “fare  4”?  Gioco  sei  numeri,  ad  esempio  il  10,  il  20,  il  30,  il  40,  il  50  e  il  60  e  spero  che  nella  sestina  vincente  ci  siano  4  fra  i  miei  numeri.  I  casi  favorevoli  sono  tanti  quante  le  sestine  costruibili  utilizzando  4  dei  miei  6  numeri  insieme  con  2  degli  84  

numeri   che   non   ho   giocato.   La   probabilità   di   “fare   4”   è   pertanto:  𝑝 =!! ∙ !"!!"!

= !"∙!"#$!""!"#!$%

≅ !!!"#$

≅ 0,0000839 = 8,39 ∙

10!!.  3. Qual  è  la  probabilità  di  “fare  5”?  

Gioco  sei  numeri,  ad  esempio  il  10,  il  20,  il  30,  il  40,  il  50  e  il  60  e  spero  che  nella  sestina  vincente  ci  siano  5  fra  i  miei  numeri.   I   casi  possibili   sono   tutte   le   sestine  non  ordinate  costruibili   con   i  90  numeri  1,2,…,  90:   906 .   I   casi   favorevoli  sono  tanti  quante  le  sestine  costruibili  utilizzando  5  dei  miei  6  numeri  insieme  con  1  degli  84  numeri  che  non  ho  giocato.  

La  probabilità  di  “fare  5”  è  pertanto:  𝑝 =!! ∙ !"!!"!

= !∙!"!"!= !"#

!""!#$!%&≅ !

!"#$#%&≅ 0,0000008 = 8 ∙ 10!!.  

N.B.  Questa  probabilità  non  tiene  conto  del  famoso  “settimo  numero  estratto”,  il  numero  Jolly,  quello  che  può  permettere  a  chi  ha  fatto  “5”,  di  totalizzare  il  cosiddetto  “5+1”.      

4. Qual  è  la  probabilità  di  “fare  5+1”?  Gioco  sei  numeri,  ad  esempio  il  10,  il  20,  il  30,  il  40,  il  50  e  il  60;  vinco  con  il  “5+1”  se  esce  una  “settimina”  composta  da  6  termini  iniziali  (costituiti  da  5  fra  i  6  numeri  da  me  giocati  insieme  con  un  numero  che  sta  fra  gli  84  numeri  da  me  non  giocati)  e  da  un  numero  finale  coincidente  col  numero  rimanente  della  mia  sestina;  ad  esempio  se  l’estrazione  fosse:  20,  30,   40,   50,   60,   70   e   numero   jolly   10   io   vincerei.   Posso   formare   65 ∙ 841 ∙ 1 = 6 ∙ 84  di   queste   sestine   (numero   casi  favorevoli).  Il   numero   dei   casi   possibili   è   invece   dato   da:   906 ∙ 841  perché   si   moltiplica   il   numero   dei   modi   di   scegliere   (non  importa  l’ordine)  6  numeri  fra  i  90  disponibili,  più  un  settimo  numero  (che  è  IL  numero  jolly)  fra  gli  84  rimanenti.  La  

probabilità  di  fare  “5+1”  è  data  quindi  da:  𝑝 =!! ∙ !"! ∙!!"! ∙ !"!

= !!"!= !

!""!#$!%&≅ 0,000000009 = 9 ∙ 10!!.  

A   tale   risultato   si   poteva   arrivare   anche   ragionando   così:   i   casi   favorevoli   sono   rappresentati   da   tutte   quelle   sestine  costruibili  usando  (ad  esempio)  il  10  associato  con  5  fra  i  6  numeri  della  sestina  vincente.  Tali  sestine  sono  in  numero  di  6  (basta  prendere  la  sestina  vincente  e  sostituire  il  primo,,  oppure  il  secondo,  …,  oppure  il  sesto  elemento,  con  il  numero  jolly  10).  Allora  la  probabilità  di  fare  “5+1”  è  𝑝 = !

!"!= !

!""!#$!%&≅ 0,000000009 = 9 ∙ 10!!  ossia  è  esattamente  6  volte  

la  probabilità  di  fare  “6”.    

IL  GIOCO  DEL  SUPERENALOTTO  è  EQUO  o  è  INIQUIO?  La  valutazione  è  un  po’  più  elaborata  rispetto  a  quella  fatta  per  il  Lotto  dal  momento  che  il  premio  in  caso  di  vincita  è  il  frutto  della  ripartizione  di  un  monte  premi  variabile  di  settimana  in  settimana,  fra  i  vari  giocatori  che  hanno  azzeccato  le  varie  combinazioni  vincenti.  

IN OGNI CASO…Può aver senso giocare solo se si giocano piccolissime cifre con la quasi certezza di perdere ma con la remota speranza di vincere milioni!

L’emozione di un sogno milionario giustifica una piccola cifra giocata e quasi certamente persa!

   

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La  seguente  tabella  riporta  le  combinazioni  in  gioco  e  le  probabilità  di  “vincita  secca”  (“fare  6”)  a  seconda  del  totale  di  numeri  giocati  in  combinazione  integrale  su  un  solo  pannello.    

Numeri giocati su

un pannello

Combinazioni in gioco

Probabilità di vincita Calcolo matematico

6 1 1 su 622.614.630

7 7=C7,6 1 su 88.944.947 90676

=622614630

7 = 88944947, 142857

8 28=C8,6 1 su 22.236.237

9 84=C9,6 1 su 7.412.079

10 210=C10,6 1 su 2.964.832

11 462=C11,6 1 su 1.347.651

12 924=C12,6 1 su 673.825

13 1.716=C13,6 1 su 362.829

14 3.003=C14,6 1 su 207.331

15 5.005=C15,6 1 su 124.399

16 8.008=C16,6 1 su 77.749

17 12.376=C17,6 1 su 50.308

18 18.564=C18,6 1 su 33.539

19 27.132=C19,6 1 su 22.948