PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA

U.M.I. UNIONE MATEMATICA ITALIANA

MINISTERO DELLA PUBBLICA ISTRUZIONE

SCUOLA NORMALE SUPERIORE

I Giochi di Archimede -- XVI edizione

ISTRUZIONI GENERALI PER GLI INSEGNANTI

1 Svolgimento della gara del 17 novembre 2010

• La prova deve svolgersi nella mattinata del giorno mercoledı 17 novembre 2010, possibilmente alla stessa ora in tuttol’istituto. Tuttavia, in considerazione del fatto che sono previste manifestazioni studentesche ed e statoindetto uno sciopero degli insegnanti per la mattinata del 17 novembre, nel caso in cui sia impossibile fareffettuare agli studenti la prova nel corso della mattinata, e ammesso lo svolgimento nel pomeriggio del17 novembre (possibilmente nelle prime ore del pomeriggio). Nel caso in cui nessuna delle due precedentiopzioni (mattina o pomeriggio del 17) risulti praticabile a causa dello sciopero e delle manifestazionistudentesche, si ammette la possibilita di far svolgere la gara la mattina del 18 novembre. In questocaso il responsabile di Istituto e pregato di darne comunicazione all’U.M.I. per posta elettronica.

• Il tempo totale a disposizione degli studenti e fissato in due ore (120 min.), sia per la gara del biennioche per quella del triennio.

• Non e ammesso l’uso di calcolatrici, tavole, testi o appunti personali; agli studenti e concesso solo l’uso di fogli di bruttacopia, che non dovranno essere consegnati.

• Le risposte riportate nella griglia iniziale del testo stampato saranno l’unico elemento di giudizio; ogni correzione ocancellatura nella griglia va considerata risposta errata.

• Si raccomanda di garantire la massima serieta delle prove, curando in particolare che il lavoro venga svolto autonomamenteda ciascuno studente in un clima di serenita e di impegno.

2 Valutazione degli elaborati

• Fatta salva la liberta di ciascun insegnante di utilizzare, eventualmente per fini scolastici, gli elaborati delle proprieclassi con il criterio di valutazione che ritiene piu appropriato, si dovra assegnare agli effetti della gara il seguentepunteggio per ogni quesito:

– risposta esatta: 5 punti– risposta errata: 0 punti– nessuna risposta (casella bianca): 1 punto.

• Per ciascuna classe partecipante alla prova si chiede la compilazione di una scheda statistica di classe, da consegnareal referente di istituto (o al Dirigente Scolastico in persona) che provvedera ad aggregare i dati delle singole classi performulare un’unica scheda statistica di istituto, da inserire nell’area del sito delle olimpiadi appositamente dedicata aciascun istituto partecipante. Uno schema della scheda statistica di classe verra inviato ai referenti di istituto nei giornisuccessivi allo svolgimento della gara, assieme alle soluzioni.

• Auspichiamo che il livello di difficolta della gara sia adatto agli studenti coinvolti. Ricordiamo tuttavia che la soluzionedi tutti i problemi deve ritenersi assolutamente eccezionale, in quanto il loro numero e dovuto al desiderio di offrire unampio spettro di quesiti in modo che ciascuno possa cimentarsi con quelli a lui piu congeniali. La soluzione da partedegli studenti anche soltanto di alcuni problemi, magari inusuali per loro, deve considerarsi dunque un successo in ognicaso.

3 Selezione per la prova di febbraio

• La selezione finale per la partecipazione alla gara di secondo livello (gara provinciale) e demandata per ciascunaprovincia ai rispettivi responsabili distrettuali.

• La gara di secondo livello si svolgera nel mese di febbraio 2011 e sara finalizzata alla selezione dei partecipanti allaGara Nazionale e agli stage intensivi di preparazione alle gare stesse. Ricordiamo che la partecipazione degli studenti

del biennio alle gare e di fondamentale importanza, pertanto si raccomanda di favorire la massima partecipazione distudenti del biennio e di segnalarne un congruo numero, in vista delle iniziative a loro dedicate.

A questo fine riteniamo opportuno che una percentuale di almeno il 35% dei partecipanti alla gara di febbraio siacostituita da alunni del biennio.

• Poiche si ritiene ragionevole una partecipazione alla gara di secondo livello non superiore al 5% dei partecipanti aiGiochi di Archimede, invitiamo a segnalare al referente di istituto e, quindi, al responsabile distrettuale da 1 a 3 alunniper ogni classe con il relativo punteggio.

• Qualora si presentino situazioni particolari (ad esempio numerosi punteggi molto elevati, ovvero alunni dal rendimentoscolastico particolarmente brillante autori di elaborati mediocri) queste potranno essere segnalate al responsabiledistrettuale, che ne terra debito conto.

• I moduli elettronici riepilogativi (biennio e triennio) dei risultati di ciascun istituto e le segnalazioni dei nominativi deglialunni per la gara di secondo livello dovranno essere compilati sull’area riservata del sito delle olimpiadi (utilizzandouserid e password inviati con la lettera di invito a partecipare ai giochi) entro il 20 dicembre 2010. La SegreteriaUMI (tel. 051243190, posta elettronica umi@dm.unibo.it) e a disposizione per collaborare con i Responsabili di Istitutoche incontrino difficolta a trasmettere i moduli.

• Si ricorda l’indirizzo del sito delle olimpiadi: http://olimpiadi.dm.unibo.it/. Si suggerisce agli studenti e aidocenti interessati di consultare il sito e in particolare i forum, dove si possono trovare informazioni, esercizi, soluzionie dove vengono annunciate tempestivamente tutte le iniziative “olimpiche”, come gli stage locali e nazionali, che sonospesso aperti ai volontari. Infine segnaliamo che sul sito web di Massimo Gobbino (il preparatore della nostra squadranazionale) all’indirizzo http://www2.ing.unipi.it/∼d9199, si possono trovare lezioni ed esercizi per la preparazionealle Olimpiadi, nella parte “Training olimpico”.

Nel ringraziarvi per la collaborazione, auspichiamo uno svolgimento corretto e sereno dei giochi di Archimede.

La Commissione Nazionale per le Olimpiadi di Matematica

PR

OG

ET

TO

OLIM

PIA

DI

DI

MAT

EM

AT

IC

A

U.M

.I.U

NIO

NE

MAT

EM

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AITA

LIA

NA

MIN

IST

ER

OD

ELLA

PU

BB

LIC

AIST

RU

ZIO

NE

SC

UO

LA

NO

RM

ALE

SU

PER

IO

RE

IGiochidiArchimede-GaraBiennio

17

nov

embre

2010

1)

La

prova

consiste

di20

pro

blem

i;ognidom

anda

eseg

uita

da

cinque

risposte

indica

teco

nle

lettereA

,B

,C

,D

,E

.2)

Una

sola

diqueste

risposte

eco

rretta,le

altre

4so

no

errate.

Ognirisp

osta

corretta

vale

5punti,

ogni

risposta

sbaglia

tava

le0

punti

eogni

pro

blem

ala

sciato

senza

risposta

vale

1punto

.3)

Per

ciascu

no

dei

pro

blem

idev

itra

scrivere

lalettera

corrisp

onden

tealla

risposta

che

ritieni

corretta

nella

grig

liarip

orta

taqui

sotto

.N

on

sono

am

messe

cancel-

latu

reo

correzio

ni

sulla

grig

lia.

Non

econsentit

ol’u

so

di

alcun

tip

odi

calcolatric

e.

4)

Ilte

mpo

tota

lech

ehaia

disp

osiz

ione

per

svolg

ere

lapro

va

edidue

ore

.B

uon

lavoro

ebuon

div

ertimen

to.

Nom

eC

ognom

eC

lasse

12

34

56

78

910

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1)

Quanti

luned

ıposso

no

essercialm

assim

oin

45

gio

rnico

nsecu

tivi?

(A)

5,

(B)

6,

(C)

7,

(D)

8,

(E)

9.

2)

Em

iliopren

de

al

buio

dei

calzin

ida

una

cestain

cui

ciso

no:

6ca

lzini

neri,

14

calzin

iblu

e8

calzin

iverd

i.Per

esseresicu

roch

etra

ica

lzinich

eha

preso

cene

siano

due

dello

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lore,

ilnum

erom

inim

odica

lzinich

edev

epren

dere

e:(A

)3,

(B)

4,

(C)

9,

(D)

15,

(E)

21.

3)

La

figura

afianco

rappresen

tail

tragitto

fatto

da

Plu

toper

andare

dalla

sua

cuccia

,posta

inA

,albar,

posto

inD

.I

treseg

men

tiA

B,

BC

eC

Dso

no

lunghi

100

metri

ciascu

no.

Se

l’angolo

AB

C(in

terno

altria

ngolo

AB

C)

edi120◦

el’a

ngolo

BC

D(in

terno

al

triangolo

BC

D)

edi

60◦,

quanto

dista

inlin

earetta

ilbar

dalla

cuccia

?(A

)100

m,

(B)

100√

3m

,(C

)200

m,

(D)

330

m,

(E)

200√

3m

.

A B

C

D

4)

Quale

fraqueste

seriedidisu

guaglia

nze

eco

rretta?

(A)

2√

2<

√

10

<√

5+

√

3,(B

)√

5+√

3<

2√

2<

√

10,

(C)

2√

2<

√

5+√

3<

√

10,

(D)√

10

<2√

2<

√

5+√

3,

(E)√

5+√

3<

√

10

<2√

2.

5)

Matild

evuole

regala

reuna

marg

herita

di

carto

ne

alla

sua

mam

ma.

Rita

glia

un

cerchio

gia

lloe

lom

ettealcen

tro.

Poirita

glia

alcu

nicerch

ibia

nch

i,dello

stessora

ggio

del

cerchio

gia

llo,per

fare

ipeta

li.D

ispone

ipeta

linel

modo

seguen

te:il

prim

ota

ngen

teestern

am

ente

alcerch

iogia

llo,il

secondo

tangen

teestern

am

ente

al

cerchio

gia

lloe

al

prim

opeta

lo,

eco

sıvia

fino

aco

mpleta

reil

giro

con

l’ultim

opeta

loch

ee

tangen

tealpen

ultim

oe

alprim

opeta

lo,

eal

cerchio

gia

llo.

Quanti

peta

liha

lam

arg

herita

?(A

)3,

(B)

4,

(C)

5,

(D)

6,

(E)

questa

disp

osizio

ne

eim

possib

ile:l’u

ltimo

peta

losi

sovra

ppone

necessa

riam

ente

alprim

o.

6)

a,

be

cso

no

num

erirea

lita

lich

eco

munque

sene

scelgano

due

lalo

roso

mm

ae

maggio

reo

uguale

azero

.Q

uale

delle

seguen

tiafferm

azio

nie

certam

ente

vera

?(A

)a·b

·c≥

0,

(B)

alm

eno

uno

dei

trenum

erie

zero,

(C)

alm

eno

uno

dei

trenum

erie

strettam

ente

min

ore

dizero

,(D

)a,b

ec

sono

tutti

maggio

rio

uguali

azero

,(E

)a

+b+

c≥

0.

7)

Concetta

imm

agin

aun

mondo

pia

ttoe

tondo,

elo

div

ide

insette

stati,

uno

centra

lee

gli

altri

seiin

torn

oa

questo

,co

me

indica

tonella

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afianco

.In

oltre

acia

scuno

stato

asseg

na

com

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euna

lettera(v

edifigura

).Vuole

colo

rare

ciascu

no

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diro

sso,oppure

diverd

e,oppure

digia

llo,in

modo

che

due

stati

confinanti

non

abbia

no

lostesso

colo

re.In

quanti

modidiv

ersipuo

farlo

?(A

)N

essuno,

(B)

2,

(C)

4,

(D)

5,

(E)

6.

A

B

C

DE

F

G

8)

Alb

ertoca

mm

ina

da

Aa

Be

poi

(senza

fermarsi

inB

)to

rna

ad

A;

Barb

ara

cam

min

ada

Bad

Ae

poi(sen

zaferm

arsi

inA

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aB

.E

ntra

mbisi

muov

ono

inlin

earetta

,co

nvelo

citaco

stante

(ma

ledue

velo

citanon

sono

necessa

riam

ente

uguali).

Parto

no

nello

stessoista

nte,

esi

inco

ntra

no

una

prim

avolta

,all’a

ndata

,a

700

metri

da

B,e

una

seconda

volta

,m

entre

Alb

ertosta

andando

da

Bad

Ae

Barb

ara

da

Aa

B,a

400

metri

da

A.

Quanto

dista

Ada

B?

(A)

900

metri,

(B)

1100

metri,

(C)

1700

metri,

(D)

2000

metri,

(E)

non

sipuo

determ

inare.

9)

Luca

scrive

sulla

lavagna

tutti

inum

eripari

consecu

tivida

2e

2010

(com

presi).

Poi

Giova

nnica

ncella

tutti

inum

erich

eso

no

multip

liditre.

Quanti

num

eririm

angono?

(A)

670,

(B)

710,

(C)

840,

(D)

905,

(E)

1005.

10)

Silva

no,

l’uom

opiu

riccodi

Nettu

no,

possied

eun’a

uto

strada

con

molte

corsie.

Inun

mom

ento

di

pro

sperita

decid

edi

aum

enta

reil

num

erodi

corsie

del

60

%.

Successiva

men

te,a

causa

diun’a

ntica

legge

del

pia

neta

,dev

erid

urre

ilnum

erodi

corsie

diuna

certapercen

tuale

X.

Dopo

averlo

fatto

siritrova

con

lostesso

num

ero

dico

rsiech

eav

evaall’in

izio.

Quanto

vale

X?

(A)

15%

,(B

)21,5

%,

(C)

28%

,(D

)37,5

%,

(E)

60%

.

11)

Inun

triangolo

due

angoli

misu

rano

rispettiva

men

te30◦

e105◦

edil

lato

traessi

com

preso

elu

ngo

2cm

.Q

uale

lam

isura

del

perim

etrodel

triangolo

?(A

)(5

+√

3)cm

,(B

)(2

+2√

3+√

2)cm

,(C

)(3

+√

3+√

2)

cm,

(D)

(5+√

2)

cm,

(E)

(2+

3√

3)

cm.

12)

Quanto

vale

laso

mm

a:

1+

2+

2+

3+

3+

4+

4+

...+

35

+35

+36?

(A)

990,

(B)

1105,

(C)

1295,

(D)

1395,

(E)

1505.

13)

Scriv

iam

otu

ttiinum

erinatu

rali

da

1a

2010

(com

presi)

uno

diseg

uito

all’a

ltroin

modo

da

form

are

un

nuov

onum

eronatu

rale;

quante

cifreha

questo

num

ero?

(A)

2010,

(B)

3540,

(C)

5225,

(D)

6933,

(E)

7253.

14)

AB

CD

EF

eun

esagono

regola

redila

to1

cm.

Ge

ilpunto

di

intersezio

ne

trale

dia

gonali

AC

eB

E.

Quanto

vale

l’area

del

triangolo

AB

G?

(A)

√3−

1

2cm

2,(B

)√

3

8cm

2,(C

)940

cm2,

(D)

1+√

3

12

cm2,

(E)

√3

4cm

2.

A

B

CD

E

F

15)

Quante

cifreha

ilnum

ero(1

122334455667788

99)/

11?

(A)

9,

(B)

13,

(C)

17,

(D)

19,

(E)

23.

16)

Quanti

sono

inum

erinatu

rali

di

quattro

cifre,ta

lich

ela

cifradelle

unita

siala

som

ma

della

cifradelle

decin

ee

diquella

delle

centin

aia

?(A

)315,

(B)

495,

(C)

540,

(D)

720,

(E)

900.

17)

Inun

triangolo

equila

teroA

BC

con

lato

dilu

nghezza

3m

,pren

dia

mo

ipunti

D,E

eF

suila

tiA

C,A

Be

BC

rispet-

tivam

ente,

inm

odo

che

iseg

men

tiA

De

FC

misu

rino

1m

eil

segm

ento

DE

siaperp

endico

lare

aA

C.

Quanto

misu

ral’a

readel

triangolo

DE

F?

(A)

3√

3

4m

2,(B

)√

3

2m

2,(C

)3√

3m

2,(D

)32

m2,

(E)

4√

3

3m

2.

A

B

CD

E

F

18)

Un

celebre

investig

ato

resta

cercando

ilco

lpev

ole

diun

om

icidio

tracin

que

sosp

et-ta

ti:A

nna,B

runo,C

ecilia,D

ario

edE

nrico

.E

gli

sach

eil

colp

evole

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tesem

pre

egli

altri

dico

no

sempre

laverita

.A

nna

afferm

a:

“Il

colp

evole

eun

masch

io!”

.C

eciliadice:

“E

stata

Anna

oppure

esta

toE

nrico

”.

Infine

Enrico

dice:

“Se

Bru

no

eco

lpev

ole

allo

raA

nna

ein

nocen

te”.

Chiha

com

messo

l’om

icidio

?(A

)A

nna,

(B)

Bru

no,

(C)

Cecilia

,(D

)D

ario

,(E

)E

nrico

.

19)

Quante

coppie

(x,y

),fo

rmate

da

num

eriin

teristretta

men

tem

aggio

ridi

1,

sono

tali

che:

x2

+y

=xy

+1?

(A)

Nessu

na,

(B)

una,

(C)

due,

(D)

tre,(E

)piu

diquattro

.

20)

Ciro

taglia

un

triangolo

equila

terofa

ttodica

rta,dila

to20

cm,in

alcu

nipezzi

che

poi

disp

one

sul

suo

tavolo

inm

odo

che

non

sisov

rappongano

ech

efo

rmin

oun

quadra

to.

Quanto

elu

ngo

illa

todel

quadra

to?

(A)

20

cm,

(B)

10

4√

3cm

,(C

)15

cm,

(D)

84√

2cm

,(E

)10√

3cm

.

PR

OG

ET

TO

OLIM

PIA

DI

DI

MAT

EM

AT

IC

A

U.M

.I.U

NIO

NE

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17

nov

embre

2010

1)

La

prova

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pro

blem

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da

cinque

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,C

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.2)

Una

sola

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risposte

eco

rretta,le

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4so

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Ognirisp

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5punti,

ogni

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sbaglia

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senza

risposta

vale

1punto

.3)

Per

ciascu

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dei

pro

blem

idev

itra

scrivere

lalettera

corrisp

onden

tealla

risposta

che

ritieni

corretta

nella

grig

liarip

orta

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correzio

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grig

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Non

econsentit

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mpo

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ertimen

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ognom

eC

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12

34

56

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910

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

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1)

Quanti

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ıposso

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45

gio

rnico

nsecu

tivi?

(A)

5,

(B)

6,

(C)

7,

(D)

8,

(E)

9.

2)

Em

iliopren

de

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buio

dei

calzin

ida

una

cestain

cui

ciso

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6ca

lzini

neri,

14

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due

dello

stessoco

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ilnum

erom

inim

odica

lzinich

edev

epren

dere

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)3,

(B)

4,

(C)

9,

(D)

15,

(E)

21.

3)

Quante

cifreha

ilquadra

todiun

num

eronatu

rale

di10

cifre?(A

)m

eno

di25,

(B)

40,

(C)

50,

(D)

60,

(E)

alm

eno

100.

4)

Quale

fraqueste

seriedidisu

guaglia

nze

eco

rretta?

(A)

2√

2<

√

10

<√

5+

√

3,(B

)√

5+√

3<

2√

2<

√

10,

(C)

2√

2<

√

5+√

3<

√

10,

(D)√

10

<2√

2<

√

5+√

3,(E

)√

5+√

3<

√

10

<2√

2.

5)

Matild

evuole

regala

reuna

marg

herita

di

carto

ne

alla

sua

mam

ma.

Rita

glia

un

cerchio

gia

lloe

lom

etteal

centro

.Poirita

glia

alcu

ni

cerchibia

nch

i,dello

stessora

ggio

del

cerchio

gia

llo,per

fare

ipeta

li.D

ispone

ipeta

linel

modo

seguen

te:il

prim

ota

ngen

teestern

am

ente

alcerch

iogia

llo,il

secondo

tangen

teestern

am

ente

al

cerchio

gia

lloe

al

prim

opeta

lo,

eco

sıvia

fino

aco

mpleta

reil

giro

con

l’ultim

opeta

loch

ee

tangen

teal

pen

ultim

oe

al

prim

opeta

lo,

ealcerch

iogia

llo.

Quanti

peta

liha

lam

arg

herita

?(A

)3,

(B)

4,

(C)

5,

(D)

6,

(E)

questa

disp

osizio

ne

eim

possib

ile:l’u

ltimo

peta

losi

sovra

ppone

necessa

riam

ente

alprim

o.

6)

a,

be

cso

no

num

erirea

lita

lich

eco

munque

sene

scelgano

due

lalo

roso

mm

ae

maggio

reo

uguale

azero

.Q

uale

delle

seguen

tiafferm

azio

nie

certam

ente

vera

?(A

)a·b

·c≥

0,

(B)

alm

eno

uno

dei

trenum

erie

zero,

(C)

alm

eno

uno

dei

trenum

erie

strettam

ente

min

ore

dizero

,(D

)a,b

ec

sono

tutti

maggio

rio

uguali

azero

,(E

)a

+b+

c≥

0.

7)

Concetta

imm

agin

aun

mondo

pia

ttoe

tondo,

elo

div

ide

inotto

stati,

uno

centra

lee

settein

torn

oa

questo

,co

me

indica

tonella

figura

afianco

.In

oltre

acia

scuno

stato

as-

segna

com

enom

euna

lettera(v

edifigura

).Vuole

colo

rare

ciascu

no

stato

diro

sso,oppure

diverd

e,oppure

digia

llo,in

modo

che

due

stati

confinanti

non

abbia

no

lostesso

colo

re.In

quanti

modidiv

ersipuo

farlo

?(A

)N

essuno,

(B)

2,

(C)

4,

(D)

5,

(E)

6.

AB

CD

EF

G

H

8)

Silva

no,

l’uom

opiu

riccodi

Nettu

no,

possied

eun’a

uto

strada

con

molte

corsie.

Inun

mom

ento

di

pro

sperita

decid

edi

aum

enta

reil

num

erodi

corsie

del

60

%.

Successiva

men

te,a

causa

diun’a

ntica

legge

del

pia

neta

,dev

erid

urre

ilnum

erodi

corsie

diuna

certapercen

tuale

X.

Dopo

averlo

fatto

siritrova

con

lostesso

num

erodico

rsiech

eav

evaall’in

izio.

Quanto

vale

X?

(A)

15%

,(B

)21,5

%,

(C)

28%

,(D

)37,5

%,

(E)

60%

.

9)

Inun

triangolo

due

angoli

misu

rano

rispettiva

men

te30◦

e105◦

edil

lato

traessi

com

preso

elu

ngo

2cm

.Q

uale

lam

isura

del

perim

etrodel

triangolo

?(A

)(5

+√

3)

cm,

(B)

(2+

2√

3+√

2)

cm,

(C)

(3+√

3+√

2)cm

,(D

)(5

+√

2)cm

,(E

)(2

+3√

3)cm

.

10)

Quanto

vale

laso

mm

a:

1+

2+

2+

3+

3+

4+

4+

...+35

+35

+36?

(A)

990,

(B)

1105,

(C)

1295,

(D)

1395,

(E)

1505.

11)

La

squadra

dei

matem

atici

partecip

aad

un

cam

pio

nato

incu

iognivitto

riava

le3

punti,

ogni

pareg

gio

1punto

eogni

sconfitta

0punti.

Dopo

leprim

e13

partite

lasq

uadra

ha

29

punti

eha

perso

tante

partite

quante

ne

ha

pareg

gia

te.Q

uante

partite

ha

vin

tofinora

?(A

)4,

(B)

6,

(C)

8,

(D)

9,

(E)

11.

12)

Per

quanti

valo

ridistin

tidel

num

eronatu

rale

nl’eq

uazio

ne

3x

2+

2nx

+3

=0

ha

due

solu

zionirea

lidistin

te,e

queste

sono

entra

mbe

num

eriin

teri?(A

)N

essuno,

(B)

1,

(C)

2,

(D)

4,

(E)

piu

di5.

13)

AB

CD

EF

eun

esagono

regola

redila

to1

cm.

Ge

ilpunto

diin

tersezionetra

ledia

gonaliA

Ce

BE

.Q

uanto

vale

l’area

del

triangolo

AB

G?

(A)

√3−

1

2cm

2,(B

)√

3

8cm

2,(C

)940

cm2,

(D)

1+√

3

12

cm2,

(E)

√3

4cm

2.

A

B

CD

E

F

14)

Quante

cifreha

ilnum

ero(1

112223334445556

6677

7888

999)/

111

?(A

)13,

(B)

21,

(C)

25,

(D)

27,

(E)

29.

15)

Un

atleta

perco

rre5

km

in16

min

uti

e40

secondi.

Dura

nte

ilperco

rsoaum

enta

pro

gressiva

men

tela

sua

velo

cita,

inm

odo

che

ognich

ilom

etrovien

eco

perto

in5

secondi

inm

eno

del

preced

ente.

Quanto

tempo

impieg

aper

perco

rrerel’u

ltimo

chilo

metro

?(A

)2

min

uti

e55

secondi,

(B)

3m

inuti,

(C)

3m

inuti

e5

secondi,

(D)

3m

inuti

e10

secondi,

(E)

3m

inuti

e15

secondi.

16)

Quante

terne

distin

te(x

,y,z

),fo

rmate

da

num

eriin

terico

mpresi

tra0

e100

(es-trem

iin

clusi),

soddisfa

no

(x−

y)2

+(y

+z)2

=(x

+y)2+

(y−

z)2?

(A)

101·2

01,

(B)

106,

(C)

1012,

(D)

104,

(E)

51·3

01.

17)

Nella

figura

afianco

,il

quadra

toA

BC

Dha

lato

1m

ei

triangoli:

AB

G,

BC

H,

CD

Ee

DA

Fso

no

equila

teri.Q

uanto

vale

l’area

di

EF

GH

?(A

)16

m2,

(B)

14m

2,(C

)(2

−

√

3)m

2,

(D)

(3√

3−

5)m

2,(E

)13

m2.

CD

F

G

H

EA

B

18)

Quanti

sono

iquadra

tiperfetti

dialm

eno

trecifre,

min

ori

ouguali

di2010·2011?

(A)

1890,

(B)

1910,

(C)

2001,

(D)

2011,

(E)

2110.

19)

Ilm

aggio

reTom

eatterra

tosu

un

pia

neta

popola

toda

gatti

vio

la,

che

dico

no

sempre

laverita

,e

da

gatti

neri,

che

men

tono

sempre.

Nel

buio

piu

com

pleto

inco

ntra

5gatti,

che

siriv

olg

ono

alu

inel

modo

seguen

te.P

rimo

gatto

:“Sono

vio

la”;seco

ndo

gatto

:“A

lmen

o3

dinoiso

no

vio

la”,terzo

gatto

:“Il

prim

ogatto

enero

”,quarto

gatto

:“A

lmen

o3

dinoiso

no

neri”

,quin

togatto

:“Sia

mo

tutti

neri”

.Q

uanti

dei

5gatti

sono

vio

la?

(A)

nessu

no,

(B)

1,

(C)

2,

(D)

3,

(E)

4.

20)

Valeria

dev

esceg

lierela

com

bin

azio

ne

della

sua

cassa

forte,

che

dev

eessere

un

nu-

mero

dicin

que

cifre,tu

ttediv

erseda

zero,div

isibile

per

tre,e

tale

che

delle

prim

e

quattro

cifre(d

asin

istra)

due

siano

pari

edue

disp

ari.

Quan

tepossib

ilitaha?

(A)

25·52,

(B)

25·5

2·32,

(C)

22·53·3

2,(D

)52·3

4,(E

)210·5·3

.

21)

All’U

niv

ersitadelle

Fav

ole,

dov

egli

studen

tiso

no

infiniti

egli

sbadig

lim

olto

conta

-gio

si,ogni

volta

che

uno

studen

tesb

adig

liaaltri

2stu

den

tisb

adig

liano

dopo

5seco

ndi

(chi

ha

gia

sbadig

liato

non

lofa

piu

).Ieri

laB

ellaA

ddorm

enta

ta(u

na

studen

tessa)

eralı

e,essen

do

molto

stanca

,ha

sbadig

liato

per

prim

a!

Inquanti

(inclu

sala

Bella

Addorm

enta

ta)

aveva

no

sbadig

liato

dopo

57

secondi?

(A)

2047,

(B)

3024,

(C)

3625,

(D)

4095,

(E)

8192.

22)

Mago

Merlin

oha

7pallin

ebia

nch

ee

7nere,

epuo

fare

due

tipidiin

cantesim

i:il

prim

ofa

sparire

3pallin

enere

ene

faco

mparire

2bia

nch

e(M

erlino

lopuo

fare

solo

seci

sono

alm

eno

3pallin

enere);

ilseco

ndo

fasp

arire

4pallin

ebia

nch

ee

ne

faco

mparire

9nere

(Merlin

olo

puo

fare

solo

seci

sono

alm

eno

4pallin

ebia

nch

e).D

opo

aver

lancia

tova

rievolte

questi

inca

ntesim

ie

possib

ilech

esi

trovico

n...

(A)

2pallin

ebia

nch

ee

15

nere,

(B)

4pallin

ebia

nch

ee

14

nere,

(C)

3pallin

ebia

nch

ee

11

nere,

(D)

7pallin

ebia

nch

ee

13

nere,

(E)

10

pallin

ebia

nch

ee

10

nere.

23)

Nella

figura

afianco

,A

Cm

isura

2cm

,B

eil

punto

med

iodiA

Ce

itria

ngoli

AB

De

BC

Eso

no

equila

-teri.

Se

Pe

Qso

no

icen

tridiA

BD

eB

CE

rispetti-

vam

ente,

quanto

misu

rail

raggio

della

circonferen

zapassa

nte

per

P,Q

eB

?

(A)

√3

6cm

,(B

)12

cm,

(C)

1cm

,(D

)√

3

3cm

,

(E)

√3

2cm

.

AB

C

DE

24)

Un

cono

circola

reretto

ha

volu

me

1m

3.Sita

glia

ilco

no

para

llelam

ente

alla

base,

auna

dista

nza

dalvertice

pari

aun

quarto

dell’a

ltezzadel

cono.

Siottien

eco

sıun

nuov

oco

no;quale

ilsu

ovolu

me?

(A)

164

m3,

(B)

364

m3,

(C)

27

64

m3,

(D)

48

64

m3,

(E)

63

64

m3.

25)

Inuna

squadra

ciso

no

11

gio

cato

rie

11

maglie

num

erate

da

1a

11.

Igio

cato

rien

trano

nello

spoglia

toio

uno

alla

volta

,in

ord

ine

casu

ale.

Cia

scuno,appen

aarriva

,sceg

lieuna

maglia

aca

so,tra

nne

Danilo

che

preferisce

lam

aglia

num

ero8

e,se

edisp

onib

ile,sceg

liequella

.Q

uale

lapro

babilita

che

Danilo

riescaad

otten

ereil

suo

num

erodim

aglia

preferito

?(A

)49,

(B)

511,

(C)

12,

(D)

611,

(E)

59.