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Liceo Scientifico e Classico “B. Varchi”

Montevarchi

Laboratorio di Metamatematica

Geometrie

non euclidee

Conferenza del prof. Giorgio Ottaviani dell’Università di Firenze

Giovedì 31 Marzo 2011 ore 14.30

Biblioteca del liceo scientifico e classico B. Varchi

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La scuola di Atene ( Raffaello ,Musei Vaticani) La geometria euclidea nasce con Euclide, dal quale ha ereditato il nome, e dai suoi Elementi. Gli Elementi , scritti nel 300 a.C. e costituiti da 13 libri , hanno rappresentato per 2300 anni il paradigma del metodo scientifico cioè del metodo “assiomatico - deduttivo”. A quel tempo la Grecia era nel fiorire della sua democrazia e lo sviluppo della matematica andava di pari passo con lo sviluppo del sistema politico : all’interno della democrazia ciascuno deve convincere gli altri che la sua opinione è quella giusta proprio come succede nella dimostrazione di un teorema.

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Quello di Euclide è diventato il libro di testo di geometria per 2300 anni. Tutti coloro che hanno studiato geometria hanno avuto tra le mani gli “Elementi “ di Euclide: lo stesso Einstein affermò di essere colpito dal rigore delle dimostrazioni di questo testo.

All'età di dodici anni provai una nuova meraviglia di natura completamente diversa; e fu leggendo un libretto sulla geometria piana euclidea, capitatomi tra le mani al principio dell'anno scolastico. C'erano delle asserzioni, ad esempio quella che le tre altezze di un triangolo si intersecano in un sol punto, che - pur non essendo affatto evidenti - potevano tuttavia essere dimostrate con tanta certezza da eliminare qualsiasi dubbio. Questa lucidità e certezza mi fecero un'indescrivibile impressione. Il fatto che l'assioma dovesse essere accettato senza dimostrazione non mi dava fastidio. La geometria diviene l’esempio per eccellenza di scienza vera di per sé . Ecco come Dante Alighieri parla della geometria: La Geometria è bianchissima, in quanto è senza macula d'errore e certissima per sé e per la sua ancella, che si chiama Prospettiva.

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Gli Elementi si compongono di tredici libri e non trattano soltanto di Geometria : per esempio nel libro IX c'e la dimostrazione che i numeri primi sono infiniti. Il primo libro comincia con delle definizioni e poi vengono introdotti 5 postulati.

Il I postulato garantisce la possibilità di condurre una retta (concepita come segmento) passante per due punti dati; con il II è possibile prolungare una retta (segmento) indefinitamente; il III ci permette di costruire (con un compasso ideale!) circonferenze di raggio qualunque; il IV è necessario per garantire che l'angolo retto ottenuto costruendo due rette che incontrandosi formano angoli adiacenti uguali, non dipende dalle rette considerate. Ma adesso prendiamo in esame il quinto postulato: Se una retta venendo a cadere su due rette forma gli angoli interni e dalla stessa parte minori di due retti, le due rette prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli minori di due retti. La formulazione più nota di questo postulato è: “Dato un punto P esterno ad una retta r esiste una ed una sola retta per P parallela alla retta r.” Ma è come se Euclide utilizzasse malvolentieri questo quinto postulato meno evidente e così diverso dagli altri quattro (costruttivi): infatti nel primo libro le iniziali 27 proposizioni sono tutte dimostrate senza ricorrere al V postulato. La proposizione 32 è particolarmente significativa e viene invece dimostrata ricorrendo al V postulato: “La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale ad un angolo piatto”

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I tentativi di “dimostrare” il V postulato

Fin dal Medioevo i matematici cercarono di dimostrare il V postulato a partire dai

primi quatto.

OMAR KHAYAM (1048-1131)

Fu un matematico persiano che cercando di dimostrare il quinto postulato provò che il postulato delle parallele è equivalente al seguente:“L’insieme dei punti equidistanti da una retta è formato da due rette”. GIROLAMO SACCHERI (1667-1773) Matematico gesuita che cercò di dimostrare, per assurdo, che il V postulato si deduceva dagli altri: negò il V postulato e credette di giungere ad una contraddizione che in realtà non c’era. LEGENDRE (1752-1833) Dopo quaranta anni di lavoro dimostra che il V postulato è equivalente all’enunciato: “La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a un angolo piatto”.

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FARKAS BOLYAI (1775-1854) e JANOS BOLYAI

Farkas Bolyai credeva che una buona mente poteva ottenere buoni risultati solo se era in un corpo sano,e quindi pose molta attenzione alla salute fisica del figlio Janos. Nel 1816 Farkas scrisse al suo amico Gauss chiedendogli se voleva prendere Janos a vivere con lui e crescerlo come studente, in modo che potesse ricevere la migliore educazione matematica possibile ma Gauss rifiutò. Farkas aveva studiato a lungo il quinto postulato e in una lettera del 4 Aprile 1820 al figlio Janos, F.Bolyai scrive: E' incredibile che questa oscurità testarda, questa eterna eclisse,questa macchia nella geometria, questa nuvola eterna sulla verità verginale possa essere sopportata. Non ti misurare con il problema delle parallele. Conosco tutta la strada per intero. Ho misurato la notte senza fondo e tutta la luce e la gioia della mia vita se ne sono andate via. Invece Janos si dedicò con passione al V postulato e nel 1825 mostra al padre la sua scoperta della geometria non euclidea : il postulato delle parallele può non valere. E' una svolta per la matematica:la geometria euclidea non è l'unica geometria.

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All'inizio il padre non fu entusiasta, ma nel 1830 persuase il figlio a pubblicare le sue scoperte. Il 20 June 1831 il testo era stato stampato e Farkas Bolyai ne spedì una copia a Gauss, che dopo averlo letto, scrisse a un amico con queste parole: “Questo giovane geometra Bolyai è un genio di primo ordine”. A Farkas Bolyai, però, Gauss scrisse: “L'intero contenuto del lavoro coincide quasi esattamente con le meditazioni che hanno occupato la mia mente negli ultimi 30 o 35 anni.”

In effetti dalla lettura delle lettere private di Gauss risulta che egli aveva sviluppato un punto di vista analogo 20 anni prima, ma non osò renderlo pubblico perché temeva “le strida dei beoti”. Due secoli dopo il processo a Galileo da parte dell'Inquisizione, la libertà di pensiero nelle opinioni scientifiche era ancora in pericolo.

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SOPHIE GERMAIN (1776-1831) Matematica di grande valore, intrattenne con Gauss una fitta corrispondenza (si firmava con lo pseudonimo “Monsieur Le Blanc” perché le donne non erano a quei tempi credibili come studiose) sulle superficie elastiche e la loro curvatura e comprese subito l’importanza delle nuove geometrie. NIKOLAI LOBACHEVSKY (1792-1856)

Mentre Janos Bolyai proponeva il suo modello di geometria non euclidea, contemporaneamente il problema fu risolto da Nikolai Lobachevsky: il suo maggiore lavoro, Geometriya completato nel 1823, non fu pubblicato nella forma originale fino al 1909.

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BELTRAMI (1835-1900)

Nel 1868 Beltrami scrisse un saggio sull'interpretazione della geometria non euclidea dove produsse il modello disegnato qui sopra, detto pseudosfera, con curvatura gaussiana negativa. E' il primo modello di geometria non euclidea compatibile con i quattro postulati di Euclide. La somma degli angoli interni a un triangolo è minore di un angolo piatto sulla pseudosfera.

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Ci sono quindi tre geometrie: la geometria euclidea in cui è valido il V postulato e per un punto esterno ad una retta passa una sola retta parallela alla retta data; la geometria ellittica in cui non è valido il V postulato e per un punto esterno ad una retta non passa alcuna retta parallela alla retta data (ellittica dal termine greco ελλειψις che significa “mancanza”); la geometria iperbolica in cui non è valido il V postulato e per un punto esterno ad una retta passano infinite rette parallele alla retta data (iperbolica dal termine greco υπερβολη che significa “ eccesso”). E’ interessante notare che per la somma degli angoli interni di un triangolo si ha: nella geometria ellittica πγβα >++ nella geometria euclidea πγβα =++ nella geometria iperbolica πγβα <++

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Un modello di geometria ellittica: la sfera Studiamo meglio un modello di geometria ellittica: la sfera. Innanzitutto dobbiamo stabilire cosa intendiamo per “retta” : definiamo retta per due punti A e B la linea di minima distanza tra i due punti (detta geodetica), cioè l'arco di circonferenza massima che passa per i due punti ( circonferenza per A e B con centro nel centro della sfera).

Se vogliamo realizzare una geodetica possiamo fissare gli estremi di un elastico nei punti A e B e vedremo che l’elastico si posiziona secondo un arco di circonferenza massima. Area di un triangolo sferico

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Come si calcola l’area di un triangolo sferico? Innanzitutto osserviamo che, mentre tre rette nel piano individuano 7 regioni, tre rette (geodetiche) sulla sfera individuano 8 triangoli.

Infatti “dietro” al triangolo rosso in figura c’è un triangolo uguale e quindi le tre “rette” dividono la sfera in 8 parti. Cominciamo con il calcolare l’area del “doppio fuso” individuato da due “rette” sulla sfera di raggio R: è piuttosto intuitivo che, indicando con A l’area del “doppio fuso” di angolo α si abbia

παπ :4: 2 =RA

Da cui si ricava che α⋅= 24RA

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Poiché ogni “doppio fuso” copre sia il triangolo rosso che il triangolo uguale al rosso nella parte retrostante, se sommiamo le aree dei tre “doppi fusi” di angoli α , β , γ (che intersecati danno il triangolo rosso) otteniamo la superficie della sfera in cui però i due triangoli sono stati contati 6 volte invece di due volte e quindi

TARRRR ⋅−++= 44444 2222 γβαπ

E quindi l’area del triangolo sferico di angoli α , β , γ risulta

)(2 πγβα −++= RAT

Osservazioni Innanzitutto si osserva che, essendo l’area positiva, dovrà essere 0>−++ πγβα e

quindi πγβα >++

cioè la somma degli angoli interni di un triangolo, sulla sfera, è maggiore di un

angolo piatto.

Inoltre l’area del triangolo è determinata, oltre che dal raggio R della sfera, solo

dall’ampiezza degli angoli del triangolo: quindi due triangoli con angoli uguali

sono “uguali” e non simili !

Infine si osserva che misurando sulla sfera l’area di un triangolo sferico e i suoi

angoli posso calcolare il raggio R ( la “curvatura” del mio “mondo”).

Lavoro realizzato dalle studentesse Chiara Bondi, Irene Simeone, Stella

Innocenti della classe 5B con la collaborazione degli insegnanti Gori, Iacomelli,

Magni, Stocchi.

Si ringrazia il Prof. Giorgio Ottaviani per averci fornito le slides relative

alla sua conferenza.