LEZIONE 3

3.1. Sistemi di equazioni lineari.

Definizione 3.1.1. Un’equazione lineare nelle n incognite x1, x2, . . . , xn a coefficienti ink = R, C, e un’equazione della forma

(3.1.1.1) a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b,

ove aj , b ∈ k sono fissati.Un sistema di m equazioni lineari nelle n incognite x1, x2, . . . , xn a coefficienti in k =

R, C, e un insieme di m equazioni lineari della forma

(3.1.1.2)

a1,1x1 + a1,2x2 + · · ·+ a1,nxn = b1

a2,1x1 + a2,2x2 + · · ·+ a2,nxn = b2

...am,1x1 + am,2x2 + · · ·+ am,nxn = bm

ove ai,j , bi ∈ kUna soluzione dell’Equazione (3.1.1.1) a coefficienti in di elementi di in k = R, C e una

successione ordinata (x1, x2, . . . , xn) ∈ kn per cui vale l’identita numerica a1x1 + a2x2 +· · ·+ anxn = b. Una soluzione del Sistema (3.1.1.2) e una soluzione di ogni equazione delsistema.

Esempio 3.1.2. L’equazione 2x1 − x2 = 2 e lineare: le coppie ordinate (1, 0), (0,−2),(−1,−4) sono sue soluzioni. Invece le coppie ordinate (0, 1), (−2, 0), (−4,−1) non sonosoluzioni.

Convenzionalmente, ad un sistema della forma del Sistema (3.1.1.2), viene aggiunta unaparentesi graffa che indica quali equazioni devono essere considerate: percio un sistema dim equazioni lineari nelle n incognite x1, x2, . . . , xn a coefficienti in k = R, Ci viene spessodenotato con

a1,1x1 + a1,2x2 + · · ·+ a1,nxn = b1

a2,1x1 + a2,2x2 + · · ·+ a2,nxn = b2

...am,1x1 + am,2x2 + · · ·+ am,nxn = bm.

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1

2 3.1. SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI

Pertanto le scritture 2x1 − x2 = 3x1 + x2 = 0−x1 + x2 = −2,

{2x1 − x2 = 3x1 + x2 = 0

−x1 + x2 = −2,

hanno significati diversi.Si noti che al Sistema (3.1.1.2) possono essere naturalmente associate due matrici,

precisamente

A =

a1,1 a1,2 . . . a1,n

a2,1 a2,2 . . . a2,n

......

. . ....

am,1 am,2 . . . am,n

, B =

b1

b2...

bm

.

A e B vengono rispettivamente dette matrice dei coefficienti del sistema (o anche matriceincompleta del sistema) e matrice dei termini noti del sistema. Invece la matrice

(A|B) =

a1,1 a1,2 . . . a1,n

a2,1 a2,2 . . . a2,n

......

. . ....

am,1 am,2 . . . am,n

∣∣∣∣∣∣∣∣b1

b2...

bm

viene detta matrice completa del sistema. La linea verticale serve a ricordare che cio che sitrova alla sua sinistra e la matrice incompleta del sistema e cio che si trova alla sua destrae la colonna dei termini noti.

Si noti che, posto

X =

x1

x2...

xn

,

il Sistema (3.1.1.2) puo essere scritto in forma matriciale come

(3.1.3) AX = B.

In particolare, con tale formalismo, le soluzioni del Sistema (3.1.1.2) sono esattamentele matrici numeriche

X =

x1

x2...

xn

tali che valga l’identita matriciale AX = B.

LEZIONE 3 3

Esempio 3.1.4. Si consideri il sistema

(3.1.4.1)

2x1 − x2 = 3x1 + x2 = 0−x1 + x2 = −2.

La matrice completa del sistema e

(A|B) =

2 −11 1−1 1

∣∣∣∣∣∣30−2

.

Il sistema puo essere scritto in forma matriciale come 2 −11 1−1 1

(x1

x2

)=

30−2

.

Si noti che t ( 1 −1 ) e soluzione del Sistema (3.1.4.1) poiche 2 −11 1−1 1

( 1−1

)=

30−2

.

Invece t (−1 1 ) non e soluzione del Sistema (3.1.4.1): infatti 2 −11 1−1 1

(−11

)=

−302

6= 3

0−2

.

Prima di concludere diamo un po’ di terminologia.

Definizione 3.1.5. Si consideri il Sistema (3.1.3). Il sistema si dice omogeneo se B =0m,1, non omogeneo in caso contrario. Il sistema si dice compatibile se ha soluzioni, noncompatibile o incompatibile in caso contrario.

Diamo ora qualche esempio di sistema omogeneo, non omogeneo, compatibile, incom-patibile.

Esempio 3.1.6. Il Sistema (3.1.4.1) 2 −11 1−1 1

(x1

x2

)=

30−2

.

4 3.2. MATRICI FORTEMENTE RIDOTTE PER RIGHE

e non omogeneo e compatibile poiche ammette t ( 1 −1 ) come soluzione.Se A ∈ km,n allora ogni sistema omogeneo AX = 0m,1 e compatibile in quanto 0n,1 e

sempre sua soluzione.Invece il sistema 2 −1

1 11 1

(x1

x2

)=

30−2

e non omogeneo e non puo essere compatibile: infatti se t ( x1 x2 ) ∈ k2,1 (ove k = R, C)fosse una sua soluzione si dovrebbe avere x1+x2 = 0 e, contemporaneamente, x1+x2 = −2,il che e, ovviamente, impossibile.

3.2. Matrici fortemente ridotte per righe.Abbiamo introdotto la nozione di soluzione di un sistema di equazioni lineari. In questa

lezione ci poniamo il problema di descrivere un metodo efficiente per la determinazionedella totalita delle soluzioni di un tale sistema.

A tale scopo iniziamo considerando un semplice esempio.

Esempio 3.2.1. Si consideri il sistema

(3.2.1.1)

a + b + 2c + e = 1−b + d + g = 03b + f + 3g = −2.

Il Sistema (3.2.1.1) si scrive nella forma matriciale

1 1 2 0 1 0 00 −1 0 1 0 0 10 3 0 0 0 1 3

abcdefg

=

10−2

.

Il Sistema (3.2.1.1) ha una proprieta “notevole”: in ogni sua equazione c’e un’incognitacon coefficiente non nullo che non figura in nessuna delle altre equazioni.

Questo ci permette di risolvere il sistema in maniera veloce. In ogni equazione si sceglieun’incognita che non figura nelle rimanenti equazioni del sistema e la si esplicita in funzionedelle altre incognite dell’equazione stessa.

Per esempio nella prima equazione scegliamo l’incognita a, e si ha

a = 1− b− 2c− e,

nella seconda l’incognita d, e si had = b− g,

LEZIONE 3 5

nella terza l’incognita f , e si ha

f = −2− 3b− 3g.

Dunque le soluzioni del Sistema (3.2.1.1) sono necessariamente tutte e sole le matrici ink7,1 (ove k = R, C) della forma

t ( 1− b− 2c− e b c b− g e −2− 3b− 3g g )

al variare di b, c, e, g in k. Per esempio, scelti b = c = e = g = 0, si ottiene la soluzionet ( 1 0 0 0 0 −2 0 ). Invece, scelti b = 1, c = 0, e = −2, g = 1, si ottiene lasoluzione t ( 2 1 0 0 −2 −8 1 ).

Il fatto che in ogni equazione del Sistema (3.2.1.1) c’e un’incognita che non figura innessuna delle altre equazioni puo essere tradotto in linguaggio matriciale osservando chein ogni riga della sua matrice (incompleta) c’e un’entrata non nulla che e l’unica entratanon nulla nella sua colonna.

A tutti i sistemi la cui matrice incompleta ha questa proprieta si puo applicare il metododescritto nell’esempio precedente ottenendo facilmente la soluzione generale.

Per questo motivo e utile dare un nome a tale tipo di matrici.

Definizione 3.2.2. La matrice A = (ai,j) 1≤i≤m1≤j≤n

∈ km,n, k = R, C, si dice fortementeridotta per righe se valgono le seguenti proprieta:(FR1) se la riga di indice i0 contiene entrate non nulle allora esiste una sua entrata ai0,j0 ,

detta pivot (della riga di indice i0), che vale 1 e tale che ai,j0 = 0 per ogni i 6= i0;(FR2) se tutte le entrate della riga di indice i0 < m sono nulle allora le entrate di ogni

riga di indice i > i0 sono anch’esse nulle.

Quindi il metodo sopra descritto si puo applicare ogni volta si abbia a che fare con unsistema la cui matrice incompleta sia fortemente ridotta per righe.

Esempio 3.2.2. Si considerino le matrici

A1 =

1 −2 0 0 0 0 00 2 0 5 −1 1 20 4 1 0 2 0 40 0 0 0 0 0 0

,

A2 =

0 0 0 0 0 0 01 −2 0 0 0 0 00 2 0 5 −1 1 20 4 1 0 2 0 4

, A3 =

1 −2 0 0 0 0 00 2 0 5 −1 2 20 4 1 0 2 0 40 0 0 0 0 0 0

.

A1 e fortemente ridotta per righe, mentre A2 ed A3 non lo sono.

Spesso e utile lavorare con matrici aventi delle proprieta simili ma un po’ piu deboli.

6 3.2. MATRICI FORTEMENTE RIDOTTE PER RIGHE

Definizione 3.2.4. La matrice A = (ai,j) 1≤i≤m1≤j≤n

∈ km,n, k = R, C, si dice ridotta per righese vale la seguente proprieta: se la riga di indice i0 < m contiene entrate non nulle alloraesiste una sua entrata ai0,j0 6= 0, detta pivot (della riga di indice i0), tale che ai,j0 = 0 perogni i > i0.

Chiaramente ogni matrice fortemente ridotta per righe e ridotta per righe, ma non valeil viceversa come mostra il seguente esempio.

Esempio 3.2.5. Si considerino le matrici

A1 =

1 −2 3 0 0 3 00 2 0 5 −1 2 20 4 1 0 2 0 40 5 0 0 0 0 0

A2 =

1 −2 3 0 0 3 00 2 0 5 −1 2 20 4 1 0 2 0 44 5 0 0 0 0 0

.

La matrice A1 e ridotta per righe ma non fortemente ridotta per righe. Invece la matriceA2 non e ridotta per righe, dunque non lo e neanche fortemente.