Geometria descrittiva dinamica Con questo learning object si vuole studiare e definire la legge...

Geometria descrittiva dinamicaCon questo learning object si vuole studiare e definire la legge geometrico-descrittiva relativa alla condizione di appartenenza tra il punto e la retta e la reciproca relazione di contenenza o inclusione.L’indagine affronta sia la procedura deduttiva sia la procedura impositiva.

Al termine dell’analisi si definisce un quadro sintetico di riferimento che comprende sia gli aspetti teorici che quelli grafici che quelli concettuali.

La presentazione si conclude e completa con alcune esemplificazioni grafiche riferite ai quattro diedri e con la proposta di temi scritti da volgere e sviluppare in forma di elaborati grafici

Per approfondimenti consultare il sito http://www.webalice.it/eliofragassi

Geometria descrittiva dinamicaIndagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge

Autore Prof. Elio FragassiAutore Prof. Elio FragassiIl materiale può essere riprodotto citando la fonte

La revisione delle formalizzazioni è stata curata dalla dott.ssa Gabriella

Mostacci

LA CONDIZIONE DI APPARTENENZA E BIUNIVOCA RELAZIONE DI CONTENENZA O

INCLUSIONE

TRA

PUNTO E RETTA

Il disegno di copertina è stato eseguito nell’a.s. 2008/09 da Longo Ilaria della classe 3°C

del Liceo Artistico Statale “G.Misticoni” di Pescaraper la materia : “Discipline grafico-geometriche”

Appartenenza e/o contenenza tra punto e retta (1)Appartenenza e/o contenenza tra punto e retta (1) Indagine esplicativa e deduttiva Indagine esplicativa e deduttiva

Prendiamo in esame il punto e la retta definendone la relativa legge di appartenenza e/o contenenza come sintetizzata dalla seguente espressione

P r r P

Le due rappresentazioni di fig. 01 e fig. 02 (punto e retta) hanno in comune un solo elemento: la linea di terra lt – si ricorda che la lt è costituita dal luogo geometrico dei punti uniti- per cui è possibile far traslare la rappresentazione del punto P sulla rappresentazione della retta r o viceversa facendo in modo che la lt del punto P coincida con la lt della retta r Poiché dobbiamo stabilire, leggi geometriche valide in ogni caso e situazione, tra enti diversi, per prima cosa è necessario analizzare e conoscere quali elementi geometrico-descrittivi prendere in considerazione per la ricerca della specifica legge

In questo caso possiamo prendere in considerazione le proiezioni del punto P(P'; P'') e le proiezioni della retta r(r'; r'') –retta punteggiata- in quanto si caratterizzano, fisicamente, con le stesse caratteristiche, come si evince dalla Tabella – A – presente nel video dell’introduzione.

Ricordando l’espressione insiemistico-descrittiva della retta, perché il punto P appartenga alla retta r - Pr - è necessario accertare che P(P'; P'') sia un punto di questo insieme e quindi delle relative espressioni delle proiezioni della retta r

Pertanto è necessario verificare la sussistenza delle seguenti formalizzazioni relative alle proiezioni della retta

r' 'P | 'P r' -

'r' ''P | ''P 'r' -

r =

Le formalizzazioni esposte esplicitano il rapporto tra le proiezioni del punto e le proiezioni della retta chiarendo che la proiezione r' è formata dalla

sommatoria orientata, dell’insieme di tutte le prime proiezioni del punto P in movimento definito, così

come anche r'' è formata dalla sommatoria dell’insieme di tutte le seconde proiezioni del punto P in movimento definito ed orientato nello spazio

del diedro

Appartenenza e/o contenenza tra punto e retta (2) Appartenenza e/o contenenza tra punto e retta (2) Indagine esplicativa e deduttivaIndagine esplicativa e deduttiva

r P | P r ! W P -


Passando all’analisi grafica, sovrapponendo le due rappresentazioni, può accadere che si presenti la situazione di cui alla fig.03, ed alla fig.04, rispettivamente nei diedri I e II

'r' ''P | ''P 'r' -

In questi casi accade che P’’ sta su r’’, quindi verifica la sommatoria

Mentre P’ non stando su r’ non verifica la sommatoria

'r' ''P | ''P 'r' -

r = r' 'P | 'P r'

-

Pertanto si ha:Data la posizione di P' non può affermarsi che P sia un punto dell’insieme sommatoria che determina la retta r, per cui in questo caso P non appartiene alla retta r: Pr e, reciprocamente, la retta r non contiene il punto P,: r P L’espressione sintetica si esplicita come di seguito

P r r P

r' 'P | 'P r' -


Traslando ulteriormente il punto P e facendo coincidere, sempre, le due linee di terra può accadere che si presenti la situazione grafica delle figg. 05 e 06 riferite ai diedri I e II.

In questi casi accade che P’ sta su r’, quindi verifica la sommatoria

Mentre P’’ non stando su r’’ non verifica la sommatoria

r' 'P | 'P r'-

'r' ''P | ''P 'r'-

Pertanto si ha:

r' 'P | 'P r'-

'r' ''P | ''P 'r'-

r =

Data, la posizione di P'' non può affermarsi che P sia un punto della sommatoria che determina la retta r, per cui, il punto P non appartiene alla retta r ossia: Pr e, reciprocamente la retta r non contiene il punto P, cioè: r P L’espressione sintetica si esplicita come di seguito

P r r P


Infine, può accadere che continuando a traslare la proiezione del punto sulle proiezioni della retta, o viceversa, le proiezioni della retta su quelle del punto, si presenti la situazione grafica della fig.07 e della fig. 08 sempre riferita ai diedri I e II.

In questi casi accade che P’ sta su r’, quindi verifica la sommatoria

Ed anche P’’ sta su r’’ verificando completamente la sommatoria

r' 'P | 'P r'-

'r' ''P | ''P 'r' -

Possiamo affermare, quindi, che esiste un legame completo tra le proiezioni del punto e le proiezioni della retta per cui, in questo caso, il punto P appartiene alla retta r, cioè Pr e, reciprocamente, la retta r contiene il punto P, cioè: r P


In conclusione possiamo definire la seguente legge geometrico-rappresentativa In conclusione possiamo definire la seguente legge geometrico-rappresentativa dell'appartenenza tra punto e retta che, esplicitandola negli elementi geometrico dell'appartenenza tra punto e retta che, esplicitandola negli elementi geometrico

descrittivi, assume la seguente forma esplicativa e deduttiva.descrittivi, assume la seguente forma esplicativa e deduttiva.

dove

dove

dove

P’ r’

P’’ r’’

P r

r' 'P | 'P r' -

'r' ''P | ''P 'r' -

r P | P r -

La reciproca legge della contenenza si esprime, nella forma esplicativa e deduttiva, come di La reciproca legge della contenenza si esprime, nella forma esplicativa e deduttiva, come di seguitoseguito

dove

dove

dover’’ P’’

r P

r’ P’

Per la condizione di appartenenza si ha: Per la condizione di appartenenza si ha:

Se le proiezioni di un punto appartengono alle rispettive omonime

proiezioni di una retta allora, e solo allora, il punto appartiene alla retta.

Per la reciproca legge di inclusione si Per la reciproca legge di inclusione si haha:

Se le proiezioni di una retta contengono le rispettive omonime proiezioni di un

punto allora, e solo allora la retta contiene il punto.

'P r' | 'P r' -

''P 'r' | ''P 'r' -

P r |

-

P r

Procedura applicativa o impositiva (1)Procedura applicativa o impositiva (1)

Se la condizione deve essere imposta è necessario operare in modo tale che si verifichino le graficizzazioni di cui si è discusso

Pertanto, data una retta r rappresentata mediante le sue

proiezioni r’ ed r’’, volendo che sia Pr dovrà costruirsi (quindi

imporre) P’r’ e P’’r’’ in quanto è necessario imporre che le

proiezioni del punto siano elementi geometrici delle seguenti

formalizzazioni

Se il dato iniziale, invece, è un punto P e si vuole che esso appartenga ad una retta r è

necessario imporre, graficamente, che le proiezioni della retta passino (cioè contengano e includano) per

le proiezioni del punto. Così operando il punto sarà elemento

delle formalizzazioni

r' 'P | 'P r' -

'r' ''P | ''P 'r' -

r =

Poiché per un punto passano infinite rette (fascio di rette nel piano o stella di rette nello spazio), è chiaro che, infinite saranno le proiezioni

delle rette che passeranno per le proiezioni del punto in relazione al tipo di forma fondamentale (fascio di rette o stelle di rette)

Procedura applicativa o impositiva (2)Procedura applicativa o impositiva (2)

Allora la formalizzazione applicativa assumerà la forma esposta di seguitoAllora la formalizzazione applicativa assumerà la forma esposta di seguito

dove

dove

dove

P r

P’’r’’

P’ r’ r' 'P | 'P r' -

'r' ''P | ''P 'r' -

r P | P r -

la reciproca legge di contenenza o inclusione sarà espressa dalla seguente la reciproca legge di contenenza o inclusione sarà espressa dalla seguente formalizzazioneformalizzazione

dove

dove

dove

r P

r’’ P’’

r’ P’

Per la condizione di appartenenza si ha: Per la condizione di appartenenza si ha:

Un punto appartiene ad una retta se, e solo se, le proiezioni del punto

appartengono alle rispettive omonime proiezioni della retta

Per la reciproca legge di inclusione si Per la reciproca legge di inclusione si ha:ha:

Una retta contiene un punto se, e solo se, le proiezioni della retta contengono

le rispettive proiezioni del punto

Pr P’r’ e P’’r’’ rP r’P’ e r’’P’’

'P r'| 'P r' -

''P 'r' | ''P 'r' -

P r |

-

P r

Quadro sintetico della condizione di appartenenza e di contenenza Quadro sintetico della condizione di appartenenza e di contenenza o inclusione tra punto e rettao inclusione tra punto e retta

'r' ''P | ''P 'r'-

1a immagine o

1a proiezione2a immagine o

2a proiezione

PP”

P’

punto

punto

virtuale

virtuale

Definizioni grafica e descrittiva degli elementi

geometrici

Relazione insiemistica delle leggi

dell’appartenenza o della inclusione

r

T1r

T2r

r’r”

1a traccia

2a traccia

1a immagine o

1a proiezione

2a immagine o

2a proiezione

punto

punto

retta

retta

virtuale

virtuale

reale

reale

Pr

P’r’

P”r”

r' 'P | 'P r'-

APPARTENENZA

CONTENENZA O

INCLUSIONE

r P

r’P’’

r” P”

Esemplificazioni grafiche nei quattro diedri Esemplificazioni grafiche nei quattro diedri

Seguono alcune esemplificazioni grafiche delle condizioni di appartenenza e/o contenenza nei diversi diedri tra rette e punti di diversa tipologia geometrica e collocazione grafica nello spazio (Fig.09, Fig.10, Fig.11, Fig.12).

Esercitazioni grafiche sulla condizione di appartenenza o Esercitazioni grafiche sulla condizione di appartenenza o contenenza tra punto e retta (1)contenenza tra punto e retta (1)

risoluzione

r’

T 1r

P”

P”

r’

T 1r


risoluzione

r’

r”

T2r

T1r

r”

r’


risoluzione

g’

g”

T2g

T1g

l’

l”

T2l

T1l


risoluzione

X’

X”

Y’

Y”

R’

R”

S’

S”

Temi scritti da volgere e sviluppare in forma di elaborati graficiTemi scritti da volgere e sviluppare in forma di elaborati grafici

Dato il punto A(A’=3; A”=5) definire e rappresentare tre rette a, b, c, contenenti il punto assegnato.Dati i punti X(X’=-3; X”=3), Y(Y’=2; Y”=5) definire e rappresentare la retta a contenente i due punti assegnati.

Dati i punti X(X’=2; X”=3), A(A’=-2; A”=4), B(B’=2; B”=-4) definire e rappresentare le rette contenenti i segmenti .

Sapendo che per due punti non coincidenti passa una ed una sola retta, dati i seguenti punti: A(A’=1;A”=1), B(B’=-2;B”=2), C(C’=-3;C”=-3), D(D’=4,D”=-4), definire e rappresentare le rette contenenti, ciascuna, una coppia dei punti assegnati.

Data una retta a( 1+ 2

+) definire e rappresentare tre punti distinti A, B, C, appartenenti a questa retta.Data una retta b( 1

+ 2+) definire e rappresentare tre punti distinti E, F, G,

appartenenti ad essa.Data la retta c( T1c=-3; T2c=-4) definire e rappresentare tre punti distinti H, I, L, appartenenti a questa.Data la retta d( T1d=3; T2d=) definire e rappresentare tre punti distinti M, N, O, appartenenti a questa retta.

Definire e rappresentare la retta a contenente i punti AW ID ; BW IID.

Definire e rappresentare la retta s contenente i punti DW IID ; EW IIID.

Definire e rappresentare la retta l contenente i punti GW IIID ; HW IVD.

Definire e rappresentare la retta m contenente i punti LW IVD ; MW ID

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