Geometria analitica dello spazio

II lezione

Intersezioni

Intersezioni di due piani Siano e due piani, e consideriamo l’intersezione . Si possono

avere tre casi:) è una retta r: i due piani sono incidenti) contiene tutti i punti di : i piani sono paralleli e coincidenti; c) non contiene nessun punto: i due piani sono paralleli e distinti.Per trovare si considera il sistema formato dalle due equazioni dei

due piani che risulta nel caso a) risolubile con una variabile libera, nel caso b) risolubile con due variabili libere, nel caso c) non risolubile.

Nel I caso il sistema fornisce una rappresentazione cartesiana della retta r= .

Intersezione di una retta e di un piano

Se intersechiamo un piano con una retta r si possono presentare 3 casi:

) r è un solo punto : ed r sono incidenti;

) r=r: r giace su ;

c) r non contiene nessun punto: r è parallela ad , senza essere contenuta.

Procedimento per trovare r

-Si trova una rappresentazione parametrica di r

(x,y,z)=(x0+lt,y0+mt,z0+nt);

-si sostituiscono i valori di x0+lt,y0+mt,z0+nt al posto delle variabili x, y, z nell’equazione ax+by+cz+d=0 del piano;

-Si risolve l’equazione di I grado in t.

-Nel caso a) l’equazione precedente avrà una sola soluzione t0, la quale sostituita a t nelle equazioni parametriche di r, darà le coordinate del punto di intersezione. Nel caso b) l’equazione sarà un’identità, nel caso c) l’equazione non sarà risolubile.

Esempi

1) Studiare l’intersezione della retta r:(x,y,z)=(t,2t,-t) con : y-2x=0.SoluzioneSi ha 2t-2t=0.Quindi r giace su .2) Studiare l’intersezione della retta r:(x,y,z)=(t,2t,-t) con : y-2x+z=0.Soluzione2t-2t-t=0, si ricava t=0, quindi r è l’origine O(0,0,0).

Intersezione di due rette. Rette sghembe.

Intersecando due rette r ed s dello spazio si possono presentare 4 casi:

a) r s è un solo punto: le rette sono incidenti;

b) r s non contiene nessun punto e le rette non sono parallele: le due rette sono sghembe (cioè non esiste nessun piano che le contiene entrambe);

c) r s non contiene nessun punto e le rette sono contenute in uno stesso piano: vuol dire che le due rette sono parallele e distinte;

d) r s contiene infiniti punti: le due rette sono coincidenti.

Procedimento per determinare l’intersezione di due rette

Consideriamo le rappresentazioni parametriche di due rette r ed s

E indichiamo in modo diverso i parametri delle due rappresentazioni t e t’. Risolviamo il sistema nelle incognite t e t’.

'''

'''

'''

::

0

0

0

0

0

0

tnzz

tmyy

tlxx

sed

ntzz

mtyy

ltxx

r

Intersezione di due rette

'''

'''

'''

00

00

00

tnzntz

tmymty

tlxltx

Intersezione di due rette

Nel caso (a) delle rette incidenti, il sistema precedente ammette un’unica soluzione (t0,t0’). Il valore di t0 sostituito nelle equazioni parametriche di r (o il valore di t0‘ sostituito nelle equazioni parametriche di s) fornisce le coordinate del punto di intersezione di r con s.

Nei casi (b) e (c) il sistema non è risolubile Nel caso (d) il sistema ha infinite soluzioni

(dipendenti da una variabile libera).

Esempi

1) Le rette di equazione

Non sono parallele. Esse sono incidenti o sghembe. Per trovare l’intersezione consideriamo il sistema:

Che ha l’unica soluzione (t,t’)=(-1,0). Le due rette sono quindi incidenti. Il punto comune si ottiene sostituendo ad esempio t=0 nelle equazioni di s e si trova P(0,1,0).

tz

ty

tx

sed

tz

ty

tx

r 1

2

:

33

1

:

'33

'1

'21

tt

tt

tt

Esempio 2

Le rette di equazione

Non sono parallele. Esse sono incidenti o sghembe. Per trovare l’intersezione consideriamo il sistema:

che è incompatibile. Quindi le due rette non hanno punti in comune. Poiché non sono parallele, esse sono sghembe.

tz

ty

tx

sed

tz

ty

tx

r 1

2

:

32

1

:

'32

'1

'21

tt

tt

tt

Fasci di piani

Sia r una retta dello spazio. Il fascio di piani per r è l’insieme di tutti i piani dello spazio passanti per r. (r si chiama asse o supporto del fascio).

Siano : ax+by+cz+d=0 e : a’x+b’y+c’z+d=0 due piani distinti passanti per r e consideriamo l’equazione

(ax+by+cz+d)+(a’x+b’y+c’z+d’)=0 (1)

dove e sono due numeri reali non entrambi nulli.

Si può dimostrare che la (1) rappresenta un piano per r, qualunque siano i valori di e purché non entrambi nulli, e che, viceversa, ogni piano passante per r ha un’equazione del tipo (1), per un’opportuna scelta di e . La (1), al variare di e non entrambi nulli nel campo reale, rappresenta tutti e soli i piani per r, e si chiama equazione omogenea del fascio di piani di asse r.

Fasci di piani

Dalla (1) si può ottenere l’equazione non omogenea di un fascio di piani

ax+by+cz+d+k(a’x+b’y+c’z+d’)=0 che con l’equazione a’x+b’y+c’z+d’=0 comprende tutti i piani del fascio (1).

Si possono considerare anche fasci di piani paralleli: si tratta di tutti e soli i piani paralleli ad un dato piano di equazione ax+by+cz+d=0, tale fascio ha equazione

ax+by+cz+d’=0 (2)

Problemi risolubili con i fasci di piani

Piano passante per un punto P ed una retta r non contenente P.

Piano passante per una retta e perpendicolare ad un piano.

Piano passante per una retta e parallelo ad un vettore (o ad una retta)

Esempi

1) Determinare il piano passante per l’origine e per la retta di equazione

Il fascio di piani avente per asse r ha equazione 2x+y-z+1+k(y+2z)=0, quindi quello passante per l’origine è y+2z=0.

02

012:

zy

zyxr

Esempio 2

Determinare il piano passante per la retta r di equazione

e perpendicolare al piano di equazione x+2z+1=0.

Soluzione:

Il fascio di piani di asse r ha equazione 2x+y-z+1+k(y+2z)=0,

da cui 2x+(k+1)y + (2k-1)z+1=0. Applicando la condizione di ortogonalità tra piani si ha: 2+4k-2=0, da cui k=0, pertanto il piano cercato è 2x+y-z+1=0.

02

012:

zy

zyxr

Esempio 3

Determinare il piano passante per la retta r di equazione

e parallelo al vettore v(1,2,-1).Soluzione.Il fascio di piani avente per asse r ha equazione

2x+y-z+1+k(y+2z)=0, da cui 2x+(k+1)y + (2k-1)z+1=0. Applicando la condizione di ortogonalità tra vettori si ha: 2+2k+2-2k+1=0 che è un assurdo, quindi il piano cercato è y+2z=0.

02

012:

zy

zyxr

Rette complanari

Definizione Due rette r ed s si dicono complanari se esiste un piano che le contiene. Ciò vuol dire che le rette sono incidenti o parallele.Per trovare il piano che contiene due rette r ed s si trova il piano che ha per asse una delle due rette e si cerca il piano del fascio che passa per un punto P dell’altra retta, diverso dalla eventuale intersezione di r con s.

Esercizio

Si verifichi che

Sono complanari e si trovi il piano che le contiene.Soluzione. Una rappresentazione parametrica di

e pertanto r interseca s nell’origine O(0,0,0), quindi r ed s sono incidenti e quindi complanari. Il fascio di piani per s è:

2x+y+k(y+2z)=0 ed un punto di r diverso da O è P(-1,2,3). Il piano cercato è il piano del fascio passante per P. Si trova 2x+y=0.

02

02:

3

2:zy

yxsed

tz

ty

tx

r

tz

ty

tx

s 2:

Distanze

Distanza di un punto da un piano

È la distanza d(P0,) uguale alla distanza d(P0’,P0), dove P0’ è la proiezione ortogonale di P0 su . Se P0 (x0,y0,z0) ed : ax+by+cz+d=0

.),(222

0000

cba

dczbyaxPd

Esempio

Calcolare la distanza dell’origine dal piano di equazione: 2x+y-3z+1=0.

Soluzione

.14

1

)3(12

1030102),0(

222

d

Distanza tra due piani paralleli

Se e sono due piani paralleli la loro distanza d(, ) è uguale alla distanza d(P,), dove P è un punto qualsiasi di . Quindi d(, ) si calcola con la formula precedente.

Distanza di un piano da una retta ad esso parallela

È la distanza di un punto della retta dal piano e si calcola con la formula precedente.

Distanza di un punto da una retta

La distanza di un punto P0 da una retta r è la distanza di P0 dalla sua proiezione ortogonale Q0 su r.

Esempio Calcolare la distanza di P0 (2,-1,1) da r di equazioni (x,y,z)=(2t+2,2t+1,t).

Soluzione. Il piano per P0 ortogonale ad r è ed ha equazione:

2(x-2)+2(y+1)+(z-1)=0. Per trovare r sostituiamo le equazioni di r nell’equazione di . Si trova 2(2t+2-2)+2(2t+1+1)+t-1=0, 9t=-3,

Sostituendo nelle equazioni di r si trova

che è la proiezione ortogonale di P0 su r. Si trova d(P0,r)=2

.3

1t

3

1,

3

1,

3

40Q

Distanza tra due rette parallele r ed s

È la distanza tra un punto arbitrario di r da s. Quindi ci riconduciamo al caso precedente.

Distanza tra due rette sghembe

Se

sono due rette sghembe allora esiste un’unica retta p ortogonale sia ad r che ad s, che interseca entrambe.

'''

'''

'''

::

0

0

0

0

0

0

tnzz

tmyy

tlxx

sed

ntzz

mtyy

ltxx

r

Distanza tra due rette sghembe

Se P0 e Q0 sono i punti di intersezione di p con r ed s rispettivamente, la distanza d(P0,Q0) si chiama distanza tra r ed s.

La retta p si trova considerando il punto generico di r

P (x0+lt,y0+mt,z0+nt) ed il punto generico di s

Q (x0’+l’t’,y0’+m’t’,z0’+n’t’) e si impone al vettore P-Q di essere ortogonale sia al vettore v(l,m,n) parallelo ad r, sia al vettore v’=(l’,m’,n’) parallelo ad s.

Quindi si risolve il sistema nelle incognite t e t’:

0')(

0)(

vQP

vQP

Distanza tra due rette sghembe

Tale sistema ammette un’unica soluzione (t0,t0’).

I punti P0 (x0+lt0,y0+mt0,z0+nt0) di r e

Q0 (x0’+l’t0’,y0’+m’t0’,z0’+n’t0’) di s individuano la retta p, e quindi d(r,s)=d(P0,Q0).

Esempio

tz

ty

x

sed

tz

ty

tx

r 2

1

::

Consideriamo le due rette sghembe

Se P è il punto generico di r e Q è il punto generico di s, si ha P-Q=(t-1, t-2t’,t-t’) ricordandosi di nominare i parametri con due modi diversi. Imponendo l’ortogonalità di P-Q con r ed s si ha:

01)'(2)'2(0)1(

01)'(1)'2(1)1(

ttttt

ttttt

Continuazione dell’esempio

6

52

1'

0'53

1'33

t

t

tt

tt

che ha la soluzione

Sostituendo il valore di t nelle equazioni di r ed il valore di t’ in quelle di s, si trovano i punti

.2

1,

6

5)',(

tt

continua

.6

1

36

4

36

1

36

1

2

1

6

51

6

51

6

5),(

,2

1,1,1

6

5,

6

5,

6

5

222

10

10

PPd

PeP

Coseni direttori di una retta

Sono i coseni direttori di un vettore parallelo alla retta r. Se (l,m,n) sono i parametri direttori di r, i coseni direttori sono:

e sono i coseni degli angoli formati da r e dagli assi coordinati. Il segno dipende dal verso dei versori paralleli ad r.

222222222,,

nml

n

nml

m

nml

l

Coseni direttori di un piano

Sono i coseni direttori di un vettore ortogonale al piano di equazione: ax+by+cz+d=0 e sono:

e questi numeri forniscono le componenti dei due versori ortogonali al piano.

222222222,,

cba

c

cba

b

cba

a

Proiezione ortogonale di una retta su piano

La proiezione di una retta r di equazioni parametriche

su un piano di equazione ax+by+cz+d=0 e non contenente r si ottiene considerando il fascio di piani avente per asse r e perpendicolare a : ossia ’. La retta cercata ha equazioni cartesiane il sistema formato dall’equazione di e di ’.

ntzz

mtyy

ltxx

r

0

0

0

:

Bibliografia

1. N. Chiarli, S. Greco, P. Valabrega, 100 pagine di…Geometria Analitica dello spazio, Levrotto & Bella

2. S. Greco, P. Valabrega, Lezioni di Geometria, vol II, Levrotto & Bella TORINO