GALILEO MATEMATICO. 1564nasce a Pisa, il 15 febbraio 1581si iscrive allUniversità di Pisa...

GALILEO MATEMATICO

1564 nasce a Pisa, il 15 febbraio

1581 si iscrive all’Università di Pisa

1583 inizia lo studio della matematica

1585 abbandona l’università

1586 insegnante a Siena (fino al 1587)

1589 professore di matematica a Pisa

1591 muore il padre, Vincenzo

1592 accetta un incarico a Padova

1610 torna a Firenze, con i titoli di primario matematico dello Studiodi Pisa e primo matematico e filosofo del Granduca di Toscana

‘[…] il padre operò che ‘l Ricci di quando in quando tralasciasse le sue lezzioni, e finalmente ch’allegando scuse d’impedimenti desistesse af-fatto dall’opera. Ma accortosi di ciò il Galileo, già che il Ricci non gli aveva per ancora esplicato il primo libro delli Elementi, volle far prova se per se stesso poteva intenderlo sino alla fine, con desiderio di arrivare almeno alla 47, tanto famosa

Racconto istorico della vita di Galileo Galilei

;

UN ANEDDOTO DEL VIVIANI 1/2

‘e vedendo che gli sortì d’apprendere il tutto feli-cemente, fattosi d’animo si propose di voler scor-rere qualche altro libro: e così, ma furtivamente dal padre, andava studiando, con tener gl’Ippo-crati e Galeni appresso l’Euclide, per poter con essi prontamente occultarlo quando ‘l padre gli fosse sopraggiunto.’

Racconto istorico della vita di Galileo Galilei

UN ANEDDOTO DEL VIVIANI 2/2

Le operazioni del compasso geometrico militare, 1606

IL COMPASSO GEOMETRICO MILITARE 1/2

Le operazioni del compasso geometrico militare, 1606

IL COMPASSO GEOMETRICO MILITARE 2/2

Il compasso geometrico militare viene inventato nel 1597. Nel 1606, Galilei pubblica l’opuscolo Sulle operazioni del compasso geometrico militare.

Leida, 1638

DISCORSI E DIMOSTRAZIONI MATEMATICHE

Giornata prima Sulla natura dei corpi (…)Giornata seconda Sulla staticaGiornata terza Sui moti localiGiornata quarta Sul moto dei proiettiAppendice Sui centri di gravitàPubblicate postume (Firenze, 1718):Giornata quinta Sulla teoria euclidea delle

proporzioniGiornata sesta Sulla percossa

DISCORSI E DIMOSTRAZIONI MATEMATICHE INTORNO A DUE NUOVE SCIENZE

ATTENENTI ALLA MECANICA E I MOVIMENTI LOCALI

Leida, 1638

LA TEORIA DELLE PROPORZIONI

Libro quinto degli Elementi di Euclide (Definizione quinta)

Def. V Si dice che una prima grandezza è con una seconda nello stesso rapporto in cui una terza è con una quarta, quando, se si considerano equimultipli qualsiasi della prima e della terza e altri equimultipli della seconda e della quarta, i primi equimultipli sono ambedue maggiori o ambedue uguali o ambedue minori degli altri equimultipli presi nell’ordine corrispondente. Ossia a:b = c:d se, e solo se, presi comunque due interi positivi m e n si ha

ma < nc ↔ mb < nd

ma = nc ↔ mb = nd ma > nc ↔ mb > nd

MOTO UNIFORME

Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata terza)

‘Circa il moto equabile o uniforme, ci occorre una sola definizione che formulo così:DEFINIZIONEMoto eguale o uniforme intendo quello in cui gli spazi percorsi da un mobile in tempi uguali, comunque presi, risultano tra di loro eguali.AVVERTENZACi è parso opportuno aggiungere alla vecchia definizione […] l’espressione comunque presi […]’

MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO


‘Possiamo quindi ammettere la seguente defini-zione del moto di cui tratteremo: Moto equa-bilmente, ossia uniformemente accelerato, dico quello che, a partire dalla quiete, in tempi eguali acquista eguali momenti di velocità.’

DE MOTU LOCALI: TEOREMA 6. PROPOSIZIONE 6


Se dal più alto o dal più basso punto di un cerchio eretto sull’orizzonte si conducono piani inclinati qualsiasi fino alla circonferenza, i tempi delle discese lungo tali piani saranno uguali.

G F H

A

C

DB

I

E

A

BC

D

E F

L

HG I

.

D A

B E C

N H IGF

R OQP


CADUTA DEI GRAVI: LA LEGGE DEI NUMERI DISPARI

SUL MOTO DEI PROIETTI: PROBLEMA 1. PROPOSIZIONE 4

Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata quarta)

Come si debba determinare l’impeto nei singoli punti di una data parabola descritta da un proietto. a

b

dc

fg

i o

e

IL GRANDE LIBRO DELLA NATURA

Il Saggiatore

‘[…] La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (io dico l’universo), ma non si può inten-dere se prima non s’impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son tri-angoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamen-te parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.’

MATEMATICA: UN APPROCCIO EMPIRICO

● Determinazione della superficie sferica attra-verso il confronto del peso di un guscio sferico e del peso di quattro dischi aventi il raggio della sfera e lo stesso spessore del guscio● Tracciamento meccanico di curve, in partico-lare parabola e cicloide● Determinazione dell’area della cicloide attra-verso misure fisiche effettuate su una sagoma di cartone.

DUE MODI DI TRACCIARE PARABOLE 1/2

Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata seconda)

‘[…] una palla di bronzo esquisitamente rotonda, non più grande di una noce; questa, tirata sopra uno specchio di metallo, tenuto non eretto all’ori-zonte, ma alquanto inchinato, sì che la palla nel moto vi possa camminare sopra, calcandolo leg-giermente nel muoversi, lascia una linea para-bolica sottilissimamente e pulitissimamente de-scritta, e più larga e più stretta secondo che la proiezzione si sarà più o meno elevata.’

‘[…] L’altro modo per disegnar la linea, che cerchiamo, sopra il prisma, procede così. Fer-minsi ad alto due chiodi in un parete, equidistanti all’orizonte e tra di loro lontani il doppio della larghezza del rettangolo su ’l quale vogliamo notare la semiparabola, e da questi due chiodi penda una catenella sottile e tanto lunga che la sua sacca si stenda quanta è la lunghezza del prisma: questa catenella si piega in figura pa-rabolica […]’

DUE MODI DI TRACCIARE PARABOLE 2/2

Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata seconda)

QUADRATURA DELLA PARABOLA 1/3

Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata prima)



2xy


Discorsi intorno a due nuove scienze (Appendice)

IL METODO DI ESAUSTIONE 1/9

Quadratura della parabola

A

B

M

C

a

Indicato con M il punto medio di AB, si tracci per M la parallela all’asse e si chiami C il punto di intersezione con la parabola. Relativamente al segmento di parabola, il triangolo ABC si dice triangolo inscritto, la corda AB si dice base e il punto C si dice vertice.



Dato un segmento di parabola S, il triangolo inscritto suddivide S in tre parti, due delle quali sono ancora segmenti di parabola. L’area di ciascun triangolo inscritto in questi segmenti è un ottavo dell’area del triangolo più grande.


L’area del segmento di parabola è data dalla serie:

...842 3210 σσσσAseg

0

1

1

2

2

2

2


Poiché si ha

si ottiene per l’area del segmento l’espressione

e si ricava infine



...8

8

8

4

8

2332210 σσσσAseg

018

1...

8

1σσσ

nnn

0410320 3

4

1

1...

4

1

4

1

4

11 σσσAseg



Archimede perviene allo stesso risultato in modo diverso: dimostra che l’area del segmento di parabola non può essere maggiore, né minore, dei quattro terzi dell’area del triangolo.

Il metodo di esaustione è essenzialmente un metodo per assurdo. Per dimostrare che la grandezza G è uguale alla grandezza H, si prova che ambedue le alternative G < H e G > H conducono a contrad-dizione.



Postulato Se due aree sono disuguali, esiste un multiplo della differenza che supera qualsiasi area precedentemente fissata.

Lemma 1 Se C è il vertice del segmento di parabola di base AB, l’area del triangolo ABC è maggiore della metà dell’area del segmento di parabola.

Lemma 2 Se C è il vertice del segmento di parabola di base AB, e D è il vertice del segmento di parabola di base BC, l’area del triangolo BCD è un ottavo dell’area del triangolo ABC.



Lemma 3 Se A0 A1 A2 … An sono una successione finita di grandezze, ciascuna delle quali sia un quarto della precedente, si ha

Teorema L’area del segmento di parabola è quattro terzi l’area del triangolo inscritto nel segmento stesso.

034

31

210 ... AAAAAA nn



Prima ipotesi per assurdoPoniamo: Δ = S (4/3) A0

En = S (A0 + A1 + A2 + …+ An)Per il lemma 3, si ha:

En = Δ + (1/3)An

da cui, per ogni n,En > Δ

Dal lemma 1 segue cheEn+1 < ½En

cioè (per ogni n) En < (1/2)n E0

Ne consegue che (1/2)n E0 > Δ

ossiaE0 > 2n Δ per ogni n

che è in contraddizione con il postulato.

0AS3

4



Seconda ipotesi per assurdo

Poniamo: Δ = (4/3) A0 SEn = S (A0 + A1 + A2 + …+ An)

Per il lemma 3, si ha:En = (1/3)An Δ

da cui, per ogni n,An > Δ

Poiché An+1 = ¼ An

si ricava (¼)n A0 > Δ

ossia A0 > 4n Δ per ogni n

nuovamente in contraddizione con il postulato.

0AS3

4

LA SCUOLA DI GALILEO

BONAVENTURA CAVALIERI EVANGELISTA TORRICELLI

BONAVENTURA CAVALIERI

Francesco Bonaventura Cavalieri (1598-1647)

Frate dell’Ordine dei Gesuati di S. GerolamoAllievo di Benedetto Castelli (1577-1644), a sua volta allievo di Galileo

- Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (1635) La geometria dei continui indivisibili sviluppata mediante una nuova tecnica- Centuria di varii problemi (1639)- Exercitationes geometricae sex (1647)

EVANGELISTA TORRICELLI

Evangelista Torricelli (1608-1647)

Allievo di Benedetto Castelli (come il Cavalieri) ma ‘di professione e di fede galileista’

- Opera geometrica (1644)- De indivisibilium doctrina perperam usurpata La dottrina degli indivisibili malamente usurpata (com-pilata postuma dal Viviani)

PRINCIPIO DI CAVALIERI 1/3

La prima versione data dal Cavalieri di quello che verrà indicato come il principio di Cavalieri recita così:

‘Figure piane hanno tra di loro il medesimo rapporto, che hanno tutte le linee di esse prese con riferimento qualunque; e figure solide lo stesso rapporto che han-no tutti i piani di esse presi rispetto a un riferimento qualunque.’

Geometria degli indivisibili , II libro, proposizione III


Dalla ‘dimostrazione’ del Cavalieri:

‘[…] Ora se il continuo è composto da indivisibili, è evidente senza bisogno d’altra dimostrazione che la figura A sta alla figura D come tutte le linee della figura A stanno a tutte le linee della figura D.’

Geometria degli indivisibili , II libro, proposizione III

A D


Versione adottata dai moderni manuali di geometria elementare

Due solidi, che siano secati da ogni piano parallelo ad un piano fisso secondo figure piane equivalenti, sono equivalenti.

Generalizzazione

Due solidi, che siano secati da ogni piano parallelo ad un piano fisso secondo figure piane le cui aree abbiano rapporto costante, hanno i volumi nel medesimo rapporto.

IL METODO DEGLI INDIVISIBILI 1/4

Quadratura della cicloide (Roberval-Torricelli)



cosθ1ysinθθx

θ − sin θ θ

sin θ sin θ

1 − cos θ



Le due figure che suddividono il rettangolo sono tra loro congruenti

Ciascuna di esse è equivalente al cerchio evidenziato a sinistra

LA SCODELLA DI GALILEO


A C B

D F E

GHI

P

L ON

RY

XY

Y

YX

22circolarecorona πXπRA 2

circolaresezione πYA

222 YXR

IL TEOREMA DELLA ‘SCODELLA’


‘Or mentre che nella diminuzione de i due solidi si va, sino all’ultimo, mantenendo sempre tra essi la egualità, ben par conveniente il dire che gli altissimi e gli ultimi termini di tali menomamenti restino tra di loro eguali, e non l’uno infini-tamente maggiore dell’altro: par dunque che la circonferenza di un cerchio immenso possa chiamarsi eguale a un sol punto.’

L’INFINITO E GLI INDIVISIBILI


‘[…] l’infinito è per sé solo da noi incom-prensibile, come anco gli indivisibili; or pensate quel che saranno congiunti insieme: e pur se vogliamo compor la linea di punti indivisibili, bisogna fargli infiniti; e così conviene apprender nel medesimo tempo l’infinito e l’indivisibile.[…] né dieci, né cento, né mille non compongono una grandezza divisibile e quanta, ma sì bene infiniti.’

BOH

boh

De compositione continui

SCOLIO 1/2

Figure costituite con i medesimi indivisibili possono avere area diversa

Tra i segmenti paralleli alle basi dei due trapezi sotto stanti si può stabilire una corrispondenza biunivoca che mette in relazione segmenti di lunghezza uguale

SCOLIO 2/2

Figure costituite con i medesimi indivisibili possono avere area diversa

Tra i segmenti paralleli alle basi dei due trapezoidi sotto stanti si può stabilire una corrispondenza biunivoca che mette in relazione segmenti di lunghezza uguale

VERSO LA DEFINIZIONE DI INTEGRALE

n

kk

n

b

a

xflimdxxfn

ab

1)()(

continua funzione baf ],[:

)2

1(

k

n

abaxk

x1 x2 x3 x4 x5

n) ,... ,k per 1,2(

L’INFINITO E I NUMERI QUADRATI


‘Onde se io dirò, i numeri tutti, comprendendo i quadrati e non quadrati, essere più che i quadrati soli, dirò proposizione verissima: non è così?[…]Ma se io domanderò, quante siano le radici, non si può negare che elle non siano quante tutti i numeri […]’

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 4 9 16 25 36 49 64 81

LA RUOTA DI ARISTOTELE 1/2


A

B

C

D

E

F

A B Q X S

H I

G

T

VRC

K

O P

N

M L

E D

F

Y Z


LA RUOTA DI ARISTOTELE 2/2

H I

A Bb c

CKL

O M

INDIVISIBILI VACUI


Liceo Scientifico Statale ‘G. B. Quadri’

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