Funzione polinomiale di 1° grado baxy +=

� 62 −= xy (coefficiente di x positivo)

D = R

Determino dove la funzione si annulla (cioè troviamo gli zeri della funzione) risolvendo

l’equazione 062 =−x che, essendo di primo grado, ha sempre una e una sola soluzione, in

questo caso x = 3.

Posso già mettere il punto 0 nel grafico dei segni in corrispondenza del valore x = 3.

1° modo: algebrico

Trovo dove la funzione è positiva risolvendo la disequazione 062 >−x che ha soluzione x > 3.

La funzione è negativa per i rimanenti valori di x cioè per x < 3.

2° modo: grafico

La funzione di 1° grado rappresenta sempre una retta, in questo caso di coefficiente angolare

positivo (2) che interseca l’asse x nel punto x = 3.

3° metodo: pratico

Regola generale per i polinomi:

· si considera solo il termine in x di grado massimo;

· nell’intervallo più a destra il segno è uguale a quello del coefficiente di x;

· nell’intervallo più a sinistra il segno è

· uguale se l’esponente di x è pari,

· diverso se l’esponente di x è dispari.

In questo caso il termine di grado massimo è 2x

Il coefficiente è positivo (2), quindi a destra metto i segni +

L’esponente di x è dispari (1) quindi a sinistra metto i segni contrari, cioè −

In tutti i casi giungo alla stessa conclusione che posso rappresentare nel piano cartesiano:

3

− − − − − − 0 + + + + + + +

3

− − − − − − 0 + + + + + + +

A destra dell’intersezione il grafico sta al di sopra

dell’asse x, quindi la funzione è positiva,

a sinistra dell’intersezione il grafico sta al di sotto

dell’asse x, quindi la funzione è negativa.

3

− − − − − − − − 0 + + + + + + +

� 63 +−= xy (coefficiente di x negativo)

D = R

Risolvo l’equazione 062 =−x che ha come soluzione x = 2.

Metto il punto 0 nel grafico dei segni in corrispondenza del valore x = 2.

1° modo: algebrico

La funzione è positiva quando 063 >+− x cioè per x < 2;

ed è negativa per i rimanenti valori di x cioè per x > 2.

2° modo: grafico

La funzione rappresenta una retta di coefficiente angolare negativo (−3) che interseca l’asse x

nel punto x = 2.

3° metodo: pratico

Il termine di grado massimo è −3x.

Il coefficiente è negativo (−3), quindi a destra metto i segni −

L’esponente di x è dispari (1) quindi a sinistra metto i segni contrari, cioè +

Riporto nel piano cartesiano:

2

+ + + + + + 0 − − − − − −

A destra dell’intersezione il grafico sta al di sotto

dell’asse x, quindi la funzione è negativa,

a sinistra dell’intersezione il grafico sta al di sopra

dell’asse x, quindi la funzione è positiva.

2

+ + + + + + 0 − − − − − −

2

+ + + + + + 0 − − − − − −

Funzione polinomiale di 2° grado cbxaxy ++=2

� 432−+= xxy (coefficiente di x

2 positivo e ∆ > 0)

D = R

Cerco gli zeri del polinomio risolvendo l’equazione 0432=−+ xx che in questo caso ha due

soluzioni x1 = 1 e x2 = −4.

Metto gli 0 nel grafico dei segni in corrispondenza dei valori trovati: in questo caso si formano

tre intervalli.

1° modo: algebrico

Risolvo la disequazione 0432>−+ xx per trovare dove la funzione è positiva: la soluzione è

x > 1 o x < −4.

La funzione è negativa per i rimanenti valori di x cioè per −4 < x < 1.

2° modo: grafico

La funzione di 2° grado rappresenta sempre una parabola con asse di simmetria parallelo

all’asse y, nel nostro caso con concavità verso l’alto (a > 0) che interseca l’asse x nei due punti

x1 = 1 e x2 = −4.

3° modo: pratico

Il termine di grado massimo è x2.

Il coefficiente è positivo (1), quindi a destra metto i segni +

L’esponente di x è pari (2) quindi a sinistra metto i segni uguali, cioè +

Nell’intervallo intermedio metto i segni contrari, quindi −

(ottengo il grafico dei segni come sopra)

Riporto i segni nel piano cartesiano:

A destra di x1 e a sinistra di x2 il grafico sta al di sopra

dell’asse x, quindi la funzione è positiva,

tra le due intersezioni il grafico sta al di sotto dell’asse x,

quindi la funzione è negativa.

x1 x2

+ + + + 0 − − − − − − − 0 + + + + + +

1

0 0

−4

1

+ + + + + 0 − − − − − − − − − − 0 + + + + +

−4

� 322++−= xxy (coefficiente di x

2 negativo e ∆ > 0)

D = R

La funzione si annulla quando 0322=++− xx cioè per x1 = 3 e per x2 = −1;

Metto gli 0 nel grafico dei segni in corrispondenza dei valori trovati: si formano tre intervalli.

Metodo algebrico

La funzione è positiva quando 0322>++− xx cioè per −1 > x > 3;

è negativa per i rimanenti valori di x cioè per x < −1 o x > 3.

Grafico dei segni:

Metodo grafico

La parabola rappresentata dalla funzione di ha concavità verso il basso (a < 0) e interseca l’asse

x nei due punti x1 = 3 e x2 = −1.

Metodo pratico

Il termine di grado massimo è −x2.

Il coefficiente è negativo (−1), quindi a destra metto i segni −

L’esponente di x è pari (2) quindi a sinistra metto i segni uguali, cioè −

Nell’intervallo intermedio metto i segni contrari, quindi +

(ottengo il grafico dei segni come sopra)

Riporto i segni nel piano cartesiano:

3

− − − − − 0 + + + + + + + + 0 − − − − − −

−1

A destra di x1 e a sinistra di x2 il grafico sta al di sotto

dell’asse x, quindi la funzione è negativa,

tra le due intersezioni il grafico sta al di sopra dell’asse x,

quindi la funzione è positiva.

x1 x2

− − − − 0 + + + + + + 0 − − − − −

3

− − − − − 0 + + + + + + + + 0 − − − − − −

−1

� 442++= xxy (coefficiente di x

2 positivo e ∆ = 0)

D = R

La funzione si annulla quando 0442=++ xx cioè solo per x = 2.

Metto lo 0 nel grafico dei segni in corrispondenza del valore trovato x = 2; in questo caso si

formano due intervalli.

Metodo algebrico

La funzione è positiva quando 0442>++ xx cioè per x ≠ 2;

è negativa per i rimanenti valori di x cioè mai.

Metodo grafico

La funzione una parabola con concavità verso l’alto (a > 0) che interseca l’asse x solo nel punto

x = 2.

Metodo pratico

Il termine di grado massimo è x2.

Il coefficiente è positivo (1), quindi a destra metto i segni +

L’esponente di x è pari (2) quindi a sinistra metto i segni uguali, cioè +

Non c’è intervallo intermedio.

Riporto nel piano cartesiano:

+ + + + + + + 0 + + + + + +

2

Sia a destra che a sinistra di 2 il grafico sta al di sopra

dell’asse x, quindi la funzione è positiva,

il grafico non sta mai al di sotto dell’asse x.

2 + + + + + + 0 + + + + + +

0

2

+ + + + + + + 0 + + + + + +

2

� 122−+−= xxy (coefficiente di x

2 negativo e ∆ = 0)

D = R

La funzione si annulla quando 0122=−+− xx cioè solo per x = 1.

Metto lo 0 nel grafico dei segni in corrispondenza del valore trovato x = 2; si formano due

intervalli.

Modo algebrico

La funzione è positiva quando 0122>−+− xx cioè mai;

è negativa per tutti gli altri valori, quindi per x ≠ 1.

Metodo grafico

La funzione una parabola con concavità verso il basso (a < 0) che interseca l’asse x solo nel

punto x = 1.

Metodo pratico

Il termine di grado massimo è −x2.

Il coefficiente è negativo (−1), quindi a destra metto i segni −

L’esponente di x è pari (2) quindi a sinistra metto i segni uguali, cioè −

Non c’è intervallo intermedio.

Riporto nel piano cartesiano:

− − − − − − − 0 − − − − − −

1

Sia a destra che a sinistra di 1 il grafico sta al di sotto

dell’asse x, quindi la funzione è negativa,

il grafico non sta mai al di sopra dell’asse x.

1

− − − − − − 0 − − − − − −

0

1

− − − − − − − 0 − − − − − −

1

� 42+−= xxy (coefficiente di x

2 positivo e ∆ < 0)

D = R

La funzione si annulla quando 042=+− xx cioè mai (∆ < 0).

Non ci sono zeri: l’intervallo è unico.

Metodo algebrico

La funzione è positiva quando 042>+− xx cioè sempre;

è negativa per i rimanenti valori di x cioè mai.

Metodo grafico

La funzione una parabola con concavità verso l’alto (a > 0) che non interseca l’asse x.

Metodo pratico

Il termine di grado massimo è x2.

Il coefficiente è positivo (1), quindi (a destra) metto i segni +

Non ci sono altri intervalli.

Riporto nel piano cartesiano:

+ + + + + + + + + + + + +

Il grafico sta sempre al di sopra dell’asse x, quindi la

funzione è sempre positiva.

+ + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + +

� 322−+−= xxy (coefficiente di x

2 negativo e ∆ < 0)

D = R

La funzione si annulla quando 0322=−+− xx cioè mai (∆ < 0).

Non ci sono zeri: l’intervallo è unico.

Metodo algebrico

La funzione è positiva quando 0322>−+− xx cioè mai;

è negativa per i rimanenti valori di x cioè sempre.

Metodo grafico

La funzione una parabola con concavità verso il basso (a < 0) che non interseca l’asse x.

Metodo pratico

Il termine di grado massimo è −x2.

Il coefficiente è negativo (−1), quindi (a destra) metto i segni −

Non ci sono altri intervalli.

Riporto nel piano cartesiano:

− − − − − − − − − − − − − −

Il grafico sta sempre al di sotto dell’asse x, quindi la

funzione è sempre negativa.

− − − − − − − − − − − −

− − − − − − − − − − − − − −

Funzione polinomiale di grado superiore a 2

Si riscrive la funzione come prodotto di polinomi (o potenze) ciascuno di grado non superiore a 2, si

studia il segno di ogni fattore poi si effettua il prodotto dei segni per ogni intervallo trovato.

� 22 23+−−= xxxy

Scomponendo in fattori la funzione si può scrivere come )1( )2( 2−−= xxy

Il fattore 2−x (polinomio di 1° grado con a > 0)

si annulla quando x = 2

è positivo quando x > 2

è negativo quando x < 2

Il fattore 12−x (2° grado con a > 0 e ∆ > 0)

si annulla per x = ± 1

è positivo per x > 1 o x < −1

è negativo per −1 < x < 1

Il segno della funzione è il prodotto (fatto in

verticale) dei segni dei suoi fattori

Piano cartesiano:

1

+ + + + + 0 − − − 0 + + + + + + +

−1 2

− − − − − − − − − − − − − 0 + + + +

− − − − − 0 + + + 0 − − 0 + + +

x − 2

x2 − 1

y

Funzione irrazionale

Se il radicale ha indice pari:

- esiste solo quando il radicando non è negativo;

- si annulla quando si annulla il radicando;

- è positiva per tutti gli altri valori del suo dominio;

- non è mai negativa

Se il radicale ha indice dispari:

- è sempre definito;

- ha gli stessi segni del radicando.

� 2−= xy (radicale con indice pari)

D = [2 ; +∞)

si annulla quando 02 =−x cioè per x = 2;

è positiva per x ≠ 2;

è negativa mai.

Grafico dei segni:

Piano cartesiano:

� 3 2−= xy (radicale con indice dispari)

D = (−∞ ; +∞)

Ha lo stesso segno di x − 2

si annulla quando 02 =−x cioè per x = 2;

è positiva quando 02 >−x cioè per x > 2;

è negativa quando 02 <−x cioè per x < 2.

Grafico dei segni:

Piano cartesiano:

− − − − − − − − 0 + + + + + + +

2

0 + + + + + + +

2

Funzione logaritmica

Se la base è maggiore di 1:

- esiste solo quando l’argomento è positivo;

- si annulla quando l’argomento è 1;

- è positiva quando l’argomento è maggiore di 1;

- è negativa quando l’argomento è minore di 1.

Se la base è minore di 1:

- esiste solo quando l’argomento è positivo;

- si annulla quando l’argomento è 1;

- è positiva quando l’argomento è minore di 1;

- è negativa quando l’argomento è maggiore di 1.

� ( )2log −= xy (base maggiore di 1)

D = (2 ; +∞)

si annulla quando x − 2 = 1 cioè per x = 3;

è positiva quando x − 2 > 1 cioè per x > 3;

è negativa quando x − 2 < 1 cioè per x < 3.

Grafico dei segni:

Piano cartesiano:

Funzione esponenziale

- esiste quando la base è positiva;

- non si annulla mai;

- è positiva in tutto il suo dominio.

� 35 +

=xy

D = (−∞ ; +∞)

si annulla mai

è positiva sempre

è negativa mai

Grafico dei segni:

Piano cartesiano:

+ + + + + + + + + + + + +

x

− − − 0 + + + + + + +

3 2

Potenza di funzione [ ]nxfy )(=

Se l’esponente è pari:

- si annulla quando si annulla la base;

- è positiva per tutti gli altri valori del dominio;

- non è mai negativa.

Se l’esponente è dispari:

- ha gli stessi segni della base.

� 4)2( −= xy (esponente pari)

si annulla quando x − 2 = 0 cioè per x = 2;

è positiva per x ≠ 2;

è negativa mai.

Grafico dei segni:

Piano cartesiano:

� 3)2( −= xy (esponente dispari)

Ha gli stessi segni di x − 2

si annulla quando x − 2 = 0 cioè per x = 2;

è positiva quando x − 2 > 0 cioè per x > 2;

è negativa quando x − 2 < 0 cioè per x < 2.

Grafico dei segni:

Piano cartesiano:

+ + + + + + + 0 + + + + + + +

2

− − − − − − − − 0 + + + + + + +

2

Funzione scomponibile in fattori

Si studia il segno di ogni fattore poi si effettua il prodotto dei segni per ogni intervallo trovato.

Attenzione: quando ci sono denominatori, occorre eliminare i valori in cui questi si annullano.

(La discussione dovrebbe essere già stata fatta nello studio del dominio)

� 4

)2)(3(

−

−+=

x

xxy

( ) ( )∞+∞−= ; 44 ; D U

Numeratore:

Il fattore 3+x (polinomio di 1° grado con a > 0)

si annulla quando x = −3

è positivo quando x > −3

è negativo quando x < −3

Il fattore x−2 (polinomio di 1° grado con a < 0)

si annulla per x = 2

è positivo per x < 2

è negativo per x < 2

Denominatore:

Il fattore 4−x (polinomio di 1° grado con a > 0)

si annulla quando x = 4

è positivo quando x > 4

è negativo quando x < 4

Il segno della funzione è il prodotto (fatto in

verticale) dei segni dei suoi fattori.

Piano cartesiano:

x

−3 4

+ + + 0 − − − 0 + + + x − − − −

x + 3

2 − x

y

+ + + + + + + + 0 − − − − − − − −

2

− − − − 0 + + + + + + + + + + + +

x − 4 − − − − − − − − − − − − x + + + +

� 523 )1()2( xxxy −−=

Il fattore 3x (potenza dispari) ha lo stesso

segno di x (polinomio di 1° grado con a > 0)

si annulla quando x = 0

è positivo quando x > 0

è negativo quando x < 0

Il fattore 2)2( −x (potenza pari)

si annulla per x = 2

è positivo per x ≠ 2

è negativo mai

Il fattore 3)1( x− (potenza dispari) ha lo stesso

segno di 1 − x (polinomio di 1° grado con a < 0)

si annulla quando x = 1

è positivo quando x < 1

è negativo quando x > 1

Il segno della funzione è il prodotto (fatto in

verticale) dei segni dei suoi fattori.

Piano cartesiano:

+ + + + + + + + + + + + 0 + + + +

0 2

− − − − 0 + + + 0 − − − 0 − − −

x3

(x − 2)2

y

+ + + + + + + + 0 − − − − − − − −

1

− − − − 0 + + + + + + + + + + + +

(1 − x)3

� 32

3

4

42)2(

xx

xxy

−

−+=

Scompongo in fattori il denominatore )4(

42)2(2

3

xx

xxy

−

−+=

Determino il dominio:

≠−

≠

≥−

04

0

042

:D 2

x

x

x

→ [ ) ( )∞+= ; 44 ; 2D U

Studio i segni dei fattori facendo attenzione alle condizioni del dominio:

Numeratore:

Il fattore ( )32+x (potenza dispari) ha lo stesso

segno di x + 2 (polinomio di 1° grado con a > 0)

si annulla quando x = −2

è positivo quando x > −2

è negativo quando x < −2

Il fattore 42 −x (radice con indice pari)

si annulla per x = 2

è positivo per gli altri valori del dominio

è negativo mai

Denominatore:

Il fattore 2x (potenza pari)

si annulla per x = 0

è positivo per gli altri valori del dominio

è negativo mai

Il fattore x−4 (polinomio di 1° grado con a < 0)

si annulla quando x = 4

è positivo quando x < 4

è negativo quando x > 4

Il segno della funzione è il prodotto dei segni

dei suoi fattori

Riporto nel piano cartesiano:

x

0 + + + + + +

−2 2

(x + 2)3

42 −x

y

+ + + + + + + x + + + + + + + + +

0

− − − − 0 + + + + + + + + + + + +

x2

4 − x

4

− − − − − − − − − − − − − − x + + +

0 − − x + + +

Funzione non scomponibile in fattori di base

� xxy −=

[ )∞+= ; 0D

La funzione si annulla quando 0=− xx

Risolvo l’equazione:

isolo il radicale xx =

poiché entrambi i membri non sono negativi (vedi dominio) li elevo al quadrato xx =2

risolvo l’equazione di secondo grado trovata 02=− xx

che ha soluzione x1 = 0 e x2 = 1.

La funzione è positiva quando 0>− xx

Con considerazioni analoghe all’equazione trovo la soluzione x > 1.

La funzione è negativa per gli altri valori del dominio, cioè 0 < x < 1.

� xy log1−=

( )∞+= ; 0D

La funzione si annulla quando 0log1 =− x

cioè 1log =x , quindi x = 10.

La funzione è positiva quando 0log1 >− x

cioè 1log <x , quindi x < 10.

La funzione è negativa per gli altri valori del dominio, cioè x > 10.

x

10

1