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Forze intermolecolari

Si vuole descrivere in modo semplice la forza che si esercita tra due

molecole A e B, in particolare in base alle caratteristiche elettro-

statiche delle molecole.

Le forze elettriche sono di tipo conservativo. E’ quindi possibile

associare alla forza una energia potenziale. In una dimensione si ha

U(r) = −∫ r

∞F (r)dr

se F e attrattiva l’energia potenziale e negativa.

• In termini opposti

F (r) = −dU(r)

drF = −∇U

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Forza e energia potenziale

F (r) = −dU(r)dr

U(r)

r

1.61.51.41.31.21.110.90.8

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

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Funzione δ di Dirac 1

Gaussiana normalizzata con varianza σ2

G(x) =1√2πσ

e−x2/2σ2

∫ ∞

−∞G(x) = 1

• La δ di Dirac puo essere definita come il limite di G(x) per σ piccolo

δ(x) = limσ→0

G(x)

∫ ∞

−∞δ(x) = 1

δ(x− a) =

0 x 6= a

∞ x = a

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Funzione δ di Dirac 2

σ = 0.025σ = 0.05σ = 0.1

δ(x)∞

x

σ σ σ0

0

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Densita di carica

Consideriamo una molecola descritta dall’approssimazione di Born-

Oppenheimer: i nuclei sono mantenuti in posizioni fisse, gli elettroni

possono muoversi.

Nella meccanica quantistica e stata introdotta la funzione d’onda

elettronica ψe(re; rN): il suo quadrato |ψe(re; rN)|2 rapp-

resenta la probabilita di trovare gli elettroni nelle posizioni r(1)e , r

(2)e , . . .

quando i nuclei sono stati fissati nelle posizioni r(1)N , r

(2)N , . . . .

• Densita di carica

ρ =carica

volume=dQ

dVQ = ρV ρ costante

dQ = ρ(x, y, z) (dxdydz) ≡ ρ(r) d3r ρ variabile

Q =

∫ρ(r)d3r

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Calcolo della densita di carica

Densita di carica nucleare

ρN(r) = e∑i

Ziδ(r− r(i)N )

Densita elettronica

ρe(r) = −eNe

∫d3r(2)

e d3r(3)e . . . d3r(Ne)

e |ψe(re; rN)|2

Ne e il numero totale di elettroni. Di questi il primo viene mantenuto

fisso nella posizione r gli altri possono andare dove vogliono.

• Densita “totale” di carica

ρ(r) = ρN(r) + ρe(r)

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Potenziale di interazionetra due molecole “lontane”

Se sono lontane possiamo pensare che la densita di carica della

molecola A non venga influenzata da quella della molecola B e

viceversa

• Potenziale elettrostatico (teorema di Hellmann-Feymman)

dU =1

4πε0ε

[ρ(A)(rA)d3rA] [ρ(B)(rB)d3rB]

|rA − rB|

U =1

4πε0ε

∫volume di A

d3rA

∫volume di B

d3rBρ(A)(rA)ρ(B)(rB)

|rA − rB|

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Limiti dell’approccio quantomeccanico

1. Determinazione delle corrette funzioni d’onda elettroniche

2. Deformazione degli orbitali di A in presenza di B

3. Deformazione della posizione dei nuclei

4. Fluttuazioni delle cariche

Si preferisce una descrizione classica della interazione

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Multipoli di carica

multipolo caso discreto caso continuomonopolo (carica) Q =

∑i qi Q =

∫ρ(r)d3r

dipolo µ =∑

i qiri µ =∫ρ(r)rd3r

µx =∑

i qixi µx =∫ρ(r)xd3r

µy =∑

i qiyi µy =∫ρ(r)yd3r

µz =∑

i qizi µz =∫ρ(r)zd3r

quadrupolo θ =∑

i qiri ⊗ ri θ =∫ρ(r)r⊗ rd3r

θxx =∑

i qixixi θxx =∫ρ(r)xxd3r

θxy =∑

i qixiyi θxy =∫ρ(r)xyd3r

θxz =∑

i qixizi θxz =∫ρ(r)xzd3r

θyy =∑

i qiyiyi θyy =∫ρ(r)yyd3r

θyz =∑

i qiyizi θyz =∫ρ(r)yzd3r

θzz =∑

i qizizi θzz =∫ρ(r)zzd3r

ottupolo O =∑

i qiri ⊗ ri ⊗ ri O =∫ρ(r)r⊗ r⊗ rd3r

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Dipoli indotti e polarizzabilita

Quando una distribuzione di carica elettrica (orbitali) si trova in un

campo elettrico si puo generare una deformazione: le cariche positive

vengono attirate nella direzione di E quelle negative nella direzione

opposta.

• Si genera quindi un momento di dipolo elettrico indotto µind

• La relazione tra E e µind definisce la matrice di polarizzabilta α

µind = α · E

µindx

µindy

µindz

=

αxx αyx αzxαxy αyy αzyαxz αyz αzz

· Ex

Ey

Ez

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Polarizzabilita 2

Per distribuzioni piuttosto simmetriche di carica (ad esempio una

piccola molecola) o per una macromolecola a grande distanza (ad

esempio una proteina) si puo approssimare la matrice di polarizz-

abilita con una piu semplice polarizzabilita scalare

µind = αE α =1

3(αxx + αyy + αzz)

In questo caso µind ha sempre la direzione e il verso di E

• Si puo dimostrare che il termine α/ε0 ha le dimensioni di un volume:

pertanto piu grande e il volume molecolare, piu grande risulta la

polarizzabilita.

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Energia e fluttuazioni termiche

• In generale l’energia di interazione U tra due molecoleA eB dipende

dalla distanza R tra le due molecole e da tutta una serie di variabili

angolari Ω che sono necessarie per definire l’orientazione con cui B

“vede” A.

Ad una data distanza R il valore medio dell’energia di interazione

U(R,Ω) dipende dalla probabilita con cui vengono popolati tutti i

possibili stati Ω. Tale probabilita e la sua dipendenza dalla temper-

atura e descritta dal fattore di Boltzmann

<U> (R) =

∫dΩU(R,Ω) e−U(R,Ω)/kBT∫

dΩ e−U(R,Ω)/kBT

Moto Browniano

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Energia potenziale e multipoli

U ≈ 1

4πε0ε(Carica-carica + Carica-dipolo + Carica-dipolo indotto+

Carica-quadrupolo + · · · + Dipolo-dipolo + Dipolo-dipolo indotto +

Dipolo indotto-dipolo indotto + Dipolo-quadrupolo + . . . )

U ≈ UQAQB+ UQAµB

+ UQAµindB

+ UQAθB

+ · · · +UµAµB

+ UµAµindB

+ UµindA µind

B+ UµAθB

+ . . .

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Carica-carica

E’ il termine piu semplice, necessario ad esempio per descrivere

l’interazione tra due ioni. Le cariche hanno simmetria sferica, per

cui non e necessaria nessuna variabile angolare,

UQAQB(R) ≡<UQAQB

> (R) =QAQB

4πε0ε

1

R

L’energia e positiva (e quindi di tipo repulsivo) se le cariche hanno

stesso segno, negativa (attrattiva) se il segno delle cariche e opposto.

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Carica-dipolo 1

Immaginiamo che la molecola B abbia un momento di dipolo elet-

trico permanente µB (come l’acqua) e che interagisca con uno ione

A dotato di carica QA.

Conviene calcolare prima il campo elettrico E generato da A e quindi

scrivere l’energia di interazione tra E e µB

E =1

4πε0ε

QA

R2uR uR vettore unitario lungo R

UQAµB(R, θ) = −µB · E = −µBE cos θ = − 1

4πε0εcos θ

QAµBR2

L’energia e repulsiva o attrattiva in funzione di θ

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Carica-dipolo 2

Calcoliamo il valor medio dell’energia dalla statistica di Boltzmann

<UQAµB> (R) =

∫ π0 sin θdθ (−µBE cos θ) eµBE cos θ/kBT∫ π

0 sin dθ eµBE cos θ/kBT

= −µBEL(x)

dove x = µBEkBT

e L(x) = cothx− 1x (funzione di Langevin)

Se x 1, cioe se l’energia termica kBT e molto piu grande di U ,

si ha L(x) ≈ x/3 da cui

<UQAµB> (R) = −µ

2BE

2

3kBT= − µ2

BQ2A

(4πε0ε)21

3kBT

1

R4

L’energia media e sempre attrattiva e varia come R−4

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Funzione di Langevin

x

3

x

L(x

)

50454035302520151050

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

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Esempio

T1 T2 > T1

• •

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Dipolo-dipolo 1

In questo caso sia A che B hanno momenti di dipolo permanenti,

µA e µB. Ad esempio due molecole d’acqua. Per descrivere corret-

tamente tutte le possibili posizioni abbiamo bisogno di due angoli

per ciascun dipolo: θA, φA e θB, φB

• L’energia potenziale si ricava dapprima calcolando il campo elettrico

E generato da µA e quindi applicando la nota relazione U = −µB ·E.

Risulta

UµAµB(R, θA, φA, θB, φB) =

1

4πε0ε

×[sin θA sin θB cos(φA − φB)− 2 cos θA cos θB]µAµBR3

L’energia e repulsiva o attrattiva in funzione di θA, φA, θB, φB.

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Esempio

µB

θB

φB

µAθA

φA

z

y

x

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Parte angolare 1sin θA sin θB cos(φA − φB)− 2 cos θA cos θB φA = φB

2

1

0

-1

-2

θB

− π

−

π2

0

π2

π

θA

− π−

π2

0 π2

π

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Parte angolare 2sin θA sin θB cos(φA − φB)− 2 cos θA cos θB φA − φB = π

2

2

1

0

-1

-2

θB

− π

−

π2

0

π2

π

θA

− π−

π2

0 π2

π

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Dipolo-dipolo 2

Come nel caso carica-dipolo, possiamo calcolare il valor medio dell’energia

di interazione su tutte le variabili angolari. Tralasciando i passaggi

intermedi, si ricava

<UµAµB> (R) = − 2µ2

Aµ2B

(4πε0ε)21

3kBT

1

R6

L’energia media e sempre attrattiva e varia come R−6

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Carica-dipolo indotto

Ad esempio una molecola B (dotata di grande polarizzabilita scalare

αB) e uno ione A con carica QA.

• Per calcolare il termine di energia conviene considerare il campo

elettrico E generato da A (E = QA/4πε0εR2) e quindi scrivere

l’energia di interazione tra E e µindB .

Tuttavia, poiche µindB dipende da E, occorre calcolare l’energia potenziale attraverso un inte-

grale (cioe riprendendo la sua definizione),

UQAµindB

= −∫ r

∞F (r)dr = −

∫ E

0E · dµind

B = −αB

∫ E

0E · dE = −αB

∫ E

0EdE = −αB

E2

2

UQAµindB

= − Q2AαB

2(4πε0ε)21

R4

L’energia e sempre attrattiva e varia come R−4

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Dipolo-dipolo indotto 1

Come esempio pensiamo ad un dipolo permanente A (come quello

di una molecola d’acqua) e una molecola B (dotata di grande po-

larizzabilita scalare αB) Prendiamo in prestito un risultato dell’elettrostatica

ψ(R, θ) =µB cos θ

4πε0εR2E(R, θ) = ER(R, θ) + Eθ(R, θ) =

µB

4πε0εR3(2 cos θuR + sin θuθ)

dove uR e uθ sono due vettori unitari il primo lungo R l’altro lungo µB

UµAµindB

= −αB

∫ E

0E · dE = −αB

[∫ ER

0ERdER +

∫ Eθ

0EθdEθ

]= −αB

2(E2

R + E2θ )

UµAµindB

= − µ2AαB

2(4πε0ε)2(3 cos2 θ + 1)

1

R6

L’energia e sempre attrattiva e varia come R−6

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Dipolo-dipolo indotto 2

µAθ

R

Eθ

ER

αB

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Dipolo-dipolo indotto 3

Come nel caso dipolo-dipolo, possiamo calcolare il valor medio dell’energia

di interazione su tutte i valori di θ. Tralasciando i passaggi intermedi,

per µ2AαB/[2(4πε0ε)

2]R6 kBT si ha

<UµAµindB> (R) = − µ2

AαB(4πε0ε)2

1

R6

L’energia media e sempre attrattiva, varia come R−6 ed e sostanzial-

mente indipendente da T .

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Dipolo-quadrupolo

Per semplicita assumiamo che la matrice momento di quadrupolo

della molecole B abbia solo un valore isotropo θB. La molecola A

ha un momento di dipolo permanente µA

Tralasciamo tutti i passaggi intermedi e mostriamo soltanto l’espressione

finale, mediata su tutte le possibili variabili angolari

<UµAθB> (R) = − µ2

Aθ2B

(4πε0ε)21

kBT

1

R8

L’energia media e sempre attrattiva e varia come R−8

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Quadrupolo-quadrupolo

Due molecoleA eB con due valori isotropi del momento di quadrupolo

θA e θB

<UθAθB> (R) = − 14θ2

Aθ2B

(4πε0ε)21

5kBT

1

R10

L’energia media e sempre attrattiva e varia come R−10

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Dipolo indotto-Dipolo indotto

Deriva dalle fluttuazioni della carica (e quindi della densita elettron-

ica) di una molecola A. Queste fluttuazioni creano un campo elet-

tromagnetico che interagisce con la densita di carica della seconda

molecola B. Il risultato netto e un termine di energia attrattivo.

• L’espressione per l’energia potenziale si ricava attraverso un tratta-

mento quantomeccanico dell’oscillatore armonico, in cui le frequenze

di oscillazione per A e B sono νA e νB (modello di Drude),

UµindA µind

B(R) = −3hαAαB

2(ε0ε)2νAνB

(νA + νB)

1

R6

h e la costante di Planck.

L’energia media e sempre attrattiva e varia come R−6

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Tabella riassuntiva

Tipo di interazione U(R,Ω) <U> (R)

Carica-carica QAQB

4πε0ε1R

QAQB

4πε0ε1R

Carica-dipolo − 14πε0ε

cos θ QAµB

R2 − µ2BQ2

A

(4πε0ε)21

3kBT1

R4

Dipolo-dipolo 14πε0ε

[sin θA sin θB cos(φA − φB)

−2 cos θA cos θB]µAµB

R3 − 2µ2Aµ2

B

(4πε0ε)21

3kBT1

R6

Carica-dipolo indotto − Q2AαB

2(4πε0ε)21

R4 − Q2AαB

2(4πε0ε)21

R4

Dipolo-dipolo indotto − µ2AαB

2(4πε0ε)2(3 cos2 θ + 1) 1

R6 − µ2AαB

(4πε0ε)21

R6

Dipolo-quadrupolo . . . − µ2Aθ2

B

(4πε0ε)21

kBT1

R8

Quadrupolo-quadrupolo . . . − 14θ2Aθ2

B

(4πε0ε)21

5kBT1

R10

Dipolo indotto-Dipolo indotto −3hαAαB

2(ε0ε)2νAνB

(νA+νB)1

R6 −3hαAαB

2(ε0ε)2νAνB

(νA+νB)1

R6

• Tutti i termini di dipo R−6 sono compresi nel cosiddetto termine “at-

trattivo” dell’interazione di van der Waals, e rappresentano la parte

sostanziale dell’interazione a corto raggio.

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Lunghezza di scala

n = 10n = 8n = 6n = 4n = 3n = 2n = 1

n > 3 Interazioni a corto raggio

n ≤ 3 Interazioni a lungo raggio

(R0/R)n

U∝−

(

R0

R

)

n

32.521.51

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

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Potenziale di interazionetra due molecole “vicine”

• Quando due molecole sono molto vicine, prevale la repulsione elet-

trostatica tra gli orbitali elettronici

Il termine di energia potenziale diventa piuttosto complicato da de-

scrivere, in quanto ciascuna delle due distribuzioni di carica e modi-

ficata dalla presenza dell’altra

• In genere vengono adottate espressioni parametriche del tipo

U(R) =A

Rn

dove A e un parametro positivo aggiustabile, dipendente dal tipo di

molecola

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Potenziale di Lennard-Jones

E’ uno dei potenziali piu frequentemente utilizzati per descrivere

l’interazione tra due molecole prive di carica.

ULJ(R) = 4ε

[(σR

)12

−(σR

)6]

• E’ costituito da una parte repulsiva di tipo R−12 e una parte attrat-

tiva di tipo van der Waals R−6. I due parametri che lo caratterizzano

sono la distanza σ che annulla ULJ e la profondita della buca ε. La

distanza d’equilibrio risulta 21/6σ ≈ 1.122σ.

Esempio: per H2O si ha σ = 3.1655A e ε = 0.6502 kJ/mol

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Plot di ULJ(R)

−4ε(

σR

)

6

4ε(

σR

)

12

R

ULJ(R

)

2σ3

2σ21/6σσ

2ε

ε

0

−ε

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Legame idrogeno 1

Il legame idrogeno e un caso particolare di interazione fra dipolo-

dipolo fra dipoli permanenti.

X− H · · · A

→⊕ · · · →⊕

• X e un atomo molto elettronegativo come N, O, o F, che attrae

gli elettroni di valenza, acquisendo una parziale carica negativa δ−lasciando l’idrogeno con una parziale carica positiva δ+. Il gruppo

X− H viene detto donatore D.

• Il legame idrogeno si forma quando la carica positiva su H viene in

contatto con un doppietto elettronico di un gruppo funzionale di un

altra molecola, il quale lega l’H e viene definito accettore A.

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Legame idrogeno 2

D A RAD (A)

N− H :: O = 2.90

N− H : OH 2.90

N− H : N = 3.10

N− H : S 3.70

O− H :: O = 2.75

O− H : OH 2.75

L’energia del legame idrogeno UHB ' 40 kJ/mol e inferiore al

legame covalente (' 500 kJ/mol), ma superiore alla energia di

Van der Waals (' 1 kJ/mol).

Non c’e correlazione fra l’energia UHB e l’energia UµAµDe quindi

con RAD o con gli angoli θA, θD, φA − φD

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Legame idrogeno 3

• Una descrizione quantitativa di UHB si ha con un trattamento quan-

tomeccanico

ψHB = aψ0A,D + bψ1

A−D+

ψ0A,D e la funzione d’onda di A e D separati, ψ1

A−D+ quella di una

coppia ionica in cui un elettrone e passato da D a A. a e b sono

due parametri “aggiustabili”.

Una recente approssimazione dell’energia di interazione risulta

UHB = cos θ

(B′ij

R12ij

−A′ijR6ij

)+ (1− cos θ)

(Bij

R12ij

− Aij

R6ij

)

θ e l’angolo DHA, le costanti A′ij, B′ij, Aij e Bij dipendono dalla

coppia ij accettore/donatore.

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Geometria delle interazioni

“di legame” |i− j| ≤ 4

“di non legame” |i− j| > 4

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Energia e conformazionedi una macromolecola

Si studia nel dettaglio l’energia potenziale conformazionale di una

macromolecola. Si distingue tra energia potenziale di legame (b) e

di non-legame (nb)

U = U b + Unb

• Il termine U b rappresenta l’energia conformazionale dovuta ai legami

chimici. Dipende:

1. Dalla distanza di legame r di ciascun legame

2. Dall’angolo di legame θ tra 3 atomi adiacenti

3. Dall’angolo diedro φ tra 4 atomi adiacenti

Si adotta una descrizione classica di U b

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Quattro atomi adiacenti

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Legame di valenza: distanza

Si assume il modello dell’oscillatore armonico semplice

U b1 = K1(r − r0)

2

K1 costante di forza, r0 distanza di equilibirio

Alcune costanti di forza e distanze di equilibrio usate dal programma

AMBER (http://amber.scripps.edu/)

legame r0 (A) K1 (kcal mol−1 A−2)

C− C 1.507 317

C = C 1.336 570

C− N 1.449 337

C = N 1.273 570

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Esempio

C = NC− NC = CC− C

r (A)

U1(kcalmol−

1)

2.521.510.5

900

600

300

0

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Legame di valenza: angolo

Si assume il modello dell’oscillatore armonico di torsione

U b2 = K2(θ − θ0)

2

K2 costante di forza, θ0 angolo di equilibirio

Alcune costanti di forza e angoli di equilibrio usati dal programma

AMBER

angolo θ0 () K2 (kcal mol−1 rad−2)

C− C− C 112.4 63

C− N− C 121.9 50

C− C− N 111.2 80

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Esempio

C− C− NC− N− CC− C− C

θ ()

U2

(kca

lm

ol−

1)

180160140120100806040200

300

200

100

0

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Potenziale torsionale

Si assume la piu semplice espressione trigonometrica,

U b3 =

V

2[1 + cos(nφ− γ)]

V barriera di energia conformazionale, n molteplicita, γ angolo di

fase.

Alcuni esempi (AMBER)

angolo n γ () V/2 (kcal mol−1)

X− C− C− X 3 0.0 2

P− OS− P− OS 1 0.0 0.897

CT− OS− P− O2 2 0.0 1.179

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Esempio

V/2 = 1.2 kcal/mol n = 2 γ = 0V/2 = 0.9 kcal/mol n = 1 γ = 0V/2 = 2.0 kcal/mol n = 3 γ = 0

φ ()

U3

(kca

lm

ol−

1)

360300240180120600

2

1

0

-1

-2

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Energia potenziale di non-legame

E’ dovuta a tutti gli gli altri effetti ad esclusione dei legami chimici.

Distinguiamo almeno tre termini

1. Interazione di Coulomb

Unb1 =

qiqj4πε0ε

1

rij

2. Interazione di Lennard-Jones

Unb2 = 4εij

[(σijrij

)12

−(σijrij

)6]

3. Legami idrogeno

Unb3 = cos θ

(B′ij

r12ij

−A′ijr6ij

)

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Somma dei termini

U =∑bonds

K1(r − r0)2 +

∑angles

K2(θ − θ0)2

+∑

dihedral angles

V

2[1 + cos(nφ− γ)] +

∑i<j

qiqj4πε0ε

1

rij

+∑i<j

4εij

[(σijrij

)12

−(σijrij

)6]

+∑

hydrogen bonds

cos θ

(B′ij

r12ij

−A′ijr6ij

)

pi =exp(−Ui/kBT )∑j exp(−Ui/kBT )

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Limiti

• Assegnazione delle cariche q: effetto del pH e della forza ionica,

coppie ioniche

• Assegnazione della costante dielettrica relativa ε

• Legami covalenti “non locali”, ponti disolfuro