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Misura e integrazione Formulario

Integrale su rettangolo

1.2. Teorema di riduzione per un rettangolo (Fubini)

Per passare dal rettangolo ad un qualsiasi dominio si definisce una nuova funzione.

Integrale su dominio aperto1. limitato . Sia rettangolo. Definiamo la funzione

Se risulta integrabile sul rettangolo diremo che integrabile in e porremo

2. Si dice che E y-semplice ( o x-semplice ) se tagliando linsieme con una retta parallelaallasse y si ottiene sempre un segmento e questo segmento varia con continuit al variare

della retta.

Se la funzione continua definita su , dominio regolare ( unione di insiemisemplici ) allora ivi integrabile.

Larea di un insieme misurabile si indica con il seguente integrale , ammesso che questo

esista :

E comodo introdurre alcuni criteri per gli insiemi di misura nulla.

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Si pu enunciare ora un importante criterio di integrazione. Sia definita su undominio regolare di , limitata e continua a eccezione di un insieme di misura nulla dipunti di discontinuit. Allora la funzione ivi integrabile.

Propriet elementari dellintegrale doppioSi definiscano funzioni integrabili in ,

1. Linearit

2. Positivit e monotonia rispetto allintegranda

3. Monotonia rispetto al dominio di integrazioneSia insieme limitato e misurabile . Sia inoltre . Allora risulta

4. Additivit rispetto al dominio di integrazioneSiano domini regolari tali che , integrabile su . Allora

5. Propriet dellannullamento

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Con laggiunta nelle ipotesi della continuit della funzione valgono anche le seguentipropriet.

6. Propriet di annullamento con aperto.

7. Se connesso vale il teorema della media.

Metodi di calcolo degli integrali doppi1. Teorema di riduzione per domini semplici .

Sia continua su dominio x-semplicecon continue. Allora lintegrale doppio di si pu calcolare come

integrale iterato nel modo seguente

Analogamente se il dominio y-semplice

2. BaricentroSi definisce come baricentro il punto individuato dalle coordinate spaziali

3. Cambiamento di variabiliSia dominio regolare , funzione continua e

con

una trasformazione di coordinate ( diffeomorfismo globale ) che porta . Allora

Ove

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la matrice Jacobiana della mappa T.

4. Coordinate polariTalvolta risulta pi semplice passare in coordinate polari per ridurre lintegrale ad uno

calcolabile pi direttamente. In questo caso si ha

Lintegrale doppio si trasforma quindi nel modo seguente

5. Alcuni integrali notevoliGaussiana

Si pu calcolare come limite

Metodi di calcolo degli integrali tripli1. Integrazione per fili

Sia un dominio di che si pu rappresentare analiticamente nella forma:

Dove D un dominio regolare nel piano e sono continue. Allora secontinua integrabile in e lintegrale si pu calcolare mediante la formula

Geometricamente si integra prima sul filo e poi si fa variare

nel dominio .

2. Integrazione per sezioniSia un dominio di che si pu rappresentare analiticamente nella forma :

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Allora se continua integrabile in e lintegrale si pu calcolare mediante laformula

Si integra prima sulla sezione e poi si fa variare la quota tra le quoteminima e massima di in .

3. Cambio di variabili negli integrali tripliSia un dominio regolare , continua e un diffeomorfismoglobale con definito da

Allora , analogamente al caso bidimensionale , si integra cambiando variabili econsiderando

Ove con si indica al solito la matrice Jacobiana del diffeomorfismo T nelle variabili.

4. Coordinate sferiche e cilindriche

Lelemento di volume si trasforma in

Lelemento di volume si trasforma in

5. Derivazione sotto il segno di integraleSia , con dominio regolare di . Indicando con i punti di

, supponiamo che siano continue in ; allora vale

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6. Funzione di Eulero

Tale funzione , definita su tutto , gode delle seguenti propriet :

a) derivabile infinite volte inb) Vale la formula di ricorrenza

c) Per ogni vale

d) Vale lidentit

Integrazione inValgono le propriet enunciate prima per gli integrali doppi e tripli , come le integrazioni per sezioni, per fili e il cambio di variabili , a patto di intendere lo Jacobiano generalizzato per undiffeomorfismo globlale per n variabili.

1. Coordinate polari in (ipersferiche)

Lelemento di volume si trasforma in

2. Integrale di una funzione radialeIndichiamo con il vettore di coordinate

Ove con si indicato larea della superficie sferica di raggio unitario.

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3. Volume e superficie laterale della sfera in

Indicando la sfera come linsieme si ottiene