FORMULARIO DI FISICA GENERALE - Istituto Statale di ... · capacità di risolvere problemi. E o he,...
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Si prega di segnalare via email eventuali errori presenti nel formulario. Si ringrazia anticipatamente FORMULARIO DI FISICA GENERALE A cura del prof. Giovanni Morotti
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Si prega di segnalare via email eventuali errori presenti nel formulario. Si ringrazia anticipatamente
FORMULARIO DI FISICA GENERALE
A cura del prof. Giovanni Morotti
1
PREFAZIONE.................................................................................................................................... 3 Definizione delle grandezze fisiche e loro significato ...................................................................... 4
Grandezze fondamentali nel Sistema Internazionale ................................................................. 4
Le grandezze fondamentali nel Sistema Internazionale ......................................................... 4
GIORNO SOLARE .......................................................................................................................... 5 Grandezze di meccanica ............................................................................................................ 5 Grandezze di idrostatica ............................................................................................................ 7
Grandezze di Termodinamica ................................................................................................... 7
Grandezze di Elettromagnetismo ............................................................................................. 8
MATEMATICA DI USO FREQUENTE......................................................................................... 9
Relazione tra lati e angoli in un triangolo rettangolo ................................................................. 9
Teorema di Pitagora .................................................................................................................. 9
Relazione tra lati e angoli in un triangolo qualunque ............................................................... 10
Regola del parallelogramma ..................................................................................................... 11
Relazione tra angoli ed archi ......................................................................................................... 11
Equazioni di curve notevoli ........................................................................................................... 12
Equazioni esponenziali .................................................................................................................. 12
Relazioni Trigonometriche ............................................................................................................ 13
Formule di addizione ................................................................................................................. 13
Formule di sottrazione .............................................................................................................. 13
Formule di duplicazione ............................................................................................................ 13
Sviluppo in serie di seno e coseno ............................................................................................ 13 CINEMATICA ................................................................................................................................. 15
CINEMATICA TRASLAZIONALE.......................................................................................... 15
Moto rettilineo uniforme ......................................................................................................... 15
Moto rettilineo uniformemente accelerato............................................................................. 15
CINEMATICA ROTAZIONALE .............................................................................................. 15
Moto circolare uniforme .......................................................................................................... 15
Moto circolare uniformemente accelerato ............................................................................. 15
DINAMICA ...................................................................................................................................... 16
DINAMICA TRASLAZIONALE ............................................................................................... 17
Massa e Peso ............................................................................................................................. 17
Legge di Gravitazione Universale ........................................................................................... 17
Periodo del Pendolo e della Molla ........................................................................................... 17
Moto di un proiettile ................................................................................................................ 17
DINAMICA ROTAZIONALE.................................................................................................... 17
LAVORO, ENERGIA, IMPULSO, QUANTITA’ DI MOTO ................................................................. 18
LEGGI DI CONSERVAZIONE ............................................................................................................ 19
URTI ELASTICI ................................................................................................................................. 19 IDROSTATICA................................................................................................................................ 20
Principio di Pascal: ......................................................................................................................... 20
Legge di Stevin ............................................................................................................................... 20
Legge di Archimede ....................................................................................................................... 21
IDRODINAMICA ............................................................................................................................ 21 TERMOLOGIA E TERMODINAMICA ...................................................................................... 22
LEGGI DEI GAS ................................................................................................................................ 22
SIGNIFICATO FISICO DI TEMPERATURA E CALORE ....................................................................... 22
La temperatura di equilibrio ..................................................................................................... 23
Trasmissione del calore: ............................................................................................................ 23
TERMODINAMICA.......................................................................................................................... 23
2
Primo principio della termodinamica ....................................................................................... 24
Secondo principio della termodinamica ................................................................................... 24
Il principio di Carnot .................................................................................................................. 24
ELETTROLOGIA ED ELETTROMAGNETISMO.................................................................... 25
CAMPO ELETTRICO ........................................................................................................................ 25
POTENZIALE ELETTRICO ................................................................................................................. 27
RELAZIONE TRA CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE ELETTRICO................................................... 27
CAPACITA’ E RESISTENZA .............................................................................................................. 27
CAMPO MAGNETICO ..................................................................................................................... 29
Forza di Lorentz.......................................................................................................................... 29
Legge di Faraday‐Neumann....................................................................................................... 30
EQUAZIONI DI MAXWELL NEL VUOTO .......................................................................................... 30 Formule utili per la risoluzione di problemi di fisica II................................................................ 30
Fisica del condensatore ............................................................................................................. 30
Momento di dipolo elettrico e magnetico, momento torcente, lavoro necessario ............... 31
Campo E e B generato da una carica o da una corrente qualunque ....................................... 31
Legge di Gauss e legge di Ampere ............................................................................................. 31
Legge di Gauss per il vettore spostamento elettrico ............................................................... 31
Campi magnetici ........................................................................................................................ 31
Energia nel campo elettrico e magnetico: ................................................................................ 31
Energia dissipata per effetto Joule: .......................................................................................... 32
Transienti ................................................................................................................................... 32 OTTICA ............................................................................................................................................ 32
Ottica Geometrica ......................................................................................................................... 32
Legge della riflessione ............................................................................................................... 32
Legge della rifrazione ................................................................................................................ 32
Specchi e lenti ............................................................................................................................ 33
Ottica Fisica .................................................................................................................................... 34
Onde armoniche: ....................................................................................................................... 34
Interferenza ............................................................................................................................... 34
Diffrazione ................................................................................................................................. 35 FISICA ATOMICA ......................................................................................................................... 36
Fisica del Corpo Nero ..................................................................................................................... 36
Quantizzazione dell’energia. ......................................................................................................... 36
Fotoni e quantizzazione della quantità di moto ........................................................................... 37
Effetto Compton ............................................................................................................................ 37
Spettri atomici e atomo di Bohr .................................................................................................... 38
Decadimento radioattivo .............................................................................................................. 39
3
PREFAZIONE
Questo formulario ha avuto origine come aiuto agli studenti universitari alle prese
con i problemi di Fisica I e Fisica II. Con l’ultima riforma universitaria (quella che ha introdotto le lauree triennali),
infatti, le ore dedicate dai professori allo sviluppo della teoria sono molto diminuite e quelle dedicate alle esercitazioni quasi del tutto scomparse. Di conseguenza, gli studenti, che arrivano agli studi universitari con una
preparazione in Fisica, spesso, assai carente, si trovano a dover sostenere, per
questa disciplina, un esame scritto senza aver potuto maturare una sufficiente capacità di risolvere problemi. Ecco che, dall’esperienza che mi veniva dall’aiutare gli studenti a tale compito, ho
pensato di dar loro un supporto, creando un Formulario Sintetico di Fisica Generale. Ho poi arricchito e semplificato il Formulario, in considerazione del fatto che ho
cominciato a distribuirlo, prima, agli studenti del Liceo che partecipavano al corso di approfondimento per ben affrontare le Olimpiadi della Fisica e, successivamente,
anche agli studenti di 5a, di Liceo e di Industriale, che partecipavano al progetto Riesci ( corso annuale che prepara al superamento dei test di ingresso per le facoltà
scientifiche). Infine, avendo avuto l’opportunità di pubblicare il Formulario nella rete del Book in
Progress, l’ho ulteriormente definito, provando a renderlo più completo e utile possibile.
Resta inteso che sono il primo a sperare nel contributo di chiunque voglia suggerire miglioramenti e arricchimenti, con la speranza, insieme, di creare uno strumento che
sia di valido aiuto e supporto per i nostri studenti, sia durante la scuola superiore che negli anni successivi.
prof. Luciano Cota
4
Definizione delle grandezze fisiche e loro significato
Grandezze fondamentali nel Sistema Internazionale
Le grandezze fondamentali nel Sistema Internazionale
NOME SIGNIFICATO FISICO SIMBOLO UNITA’ DI MISURA
Massa Esprime la quantità d’inerzia di un corpo, la
tendenza cioè a resistere all’accelerazione m Kg
kilogrammo
Posizione E’ i l vettore che esprime la posizione di un
corpo, su una retta, in un piano o nello spazio, in riferimentoal punto origine; la sua
variazione dr esprime lo spostamento realizzato da un corpo
r ( l ) m metro
Tempo Si possono misurare solo intervalli di tempo
t , per istante va inteso un intervallo di
durata infinitesima (similmente ad un punto che può essere immaginato come un segmento di lunghezza infinitesima)
t s secondi
Intensità di corrente
Esprime la quantità di carica al secondo che attraversa una qualunque superficie
i A
ampere
Temperatura Esprime lo stato di agitazione termico‐ molecolare di un corpo. E’, cioè, in diretta relazione con il valore medio (per particella) dell’energia cinetica di agitazione termica
T K kelvin
Quantità di
illuminazione
Esprime la quantità di luce che parte da una sorgente o che colpisce una qualunque
superficie
Qi L
lumen
Quantità di
sostanza
Esprime la quantità di sostanza in moli (in
termini di numero di atomi). Ricordare che ugual numero di moli di sostanze diverse implica ugual numero di atomi, non ugual massa
n mol
Mole
Angolo piano Si tratta di una pseudo‐grandezza. È la parte di piano compresa tra due semirette con uguale
origine e si misura in radianti. Il radiante è l ’angolo al centro che taglia su una circonferenza un arco della lunghezza di un
raggio. Quindi l ’angolo giro contiene 2radianti
rad
Angolo solido Si tratta di una pseudo‐grandezza. È la parte di
spazio compresa in un cono infinito e si misura in steradianti.
sterad
5
GIORNO SOLARE Il giorno solare è il tempo che passa tra un mezzogiorno solare e il successivo. Per varie cause, la principale delle quali risiede nel fatto che mentre la velocità di rivoluzione cambia, quella di rotazione non cambia (in entrambi i casi per la conservazione del momento angolare), il giorno solare ha una durata varia nel corso dell’anno. La durata media viene chiamata “giorno solare medio” e si utilizzava sino al 1967 per definire il secondo come la sua 86400a parte. La durata dei singoli giorni oscilla nel corso dell’anno attorno al valor medio (24ore), da un minimo di 23h 59m 39s (17Settembre) ad un massimo di 24h 0m 30s (24Dicembre). Il susseguirsi di giorni di durata inferiore o superiore a 24 ore, comporta uno sfasamento tra il “tempo medio” (degli orologi) e il “tempo vero” del Sole, secondo l’andamento mostrato in figura:
Grandezze di meccanica
NOME SIGNIFICATO FISICO DEFINIZIONE DIMENSIONE UNITA’ DI MISURA
Velocità Esprime la rapidità con la quale
cambia la posizione di un corpo, ossia lo spostamento compiuto nell’unità di tempo. Può essere media o istantanea
v r
; m
t dr v
dt
v lt 1
m
s ; 1
m
s 3.6
Km
h
Accelerazione Esprime la rapidità di variazione della velocità, ossia la variazione
di velocità nell’unità di tempo. Può essere media o istantanea
a v
m t
dv a
dt
a lt 2
m
s2
Campo gravitazionale (intensità) =Accelerazione di gravità
Esprime la forza di gravità agente, in un punto dello spazio, per unità di massa. E’ di fatto
l’accelerazione di gravità che sulla superficie della Terra vale
mediamente m g 9.81
s2
E’ un’accelerazione
F g g
m
a lt 2
m
s2
Forza Esprime l’intensità dell’azione causa di un’accelerazione o di una
deformazione infinitesima)
F m
a dp F
dt
F mlt 2
N
Kg m N Newton
s2
Peso Non è una nuova grandezza, essendo una particolare forza; quella con cui un corpo è attratto dalla Terra qualunque superficie
E’ una forza
P m
g F mlt
2 N
6
Quantità di moto (Momento)
E’ i l prodotto di massa e velocità, per cambiarla occorre esercitare una forza per un certo tempo
p mv
dp Fdt
p mlt 1 kg m
s
Impulso E’ i l prodotto della forza per i l
tempo di applicazione e produce
una variazione di p
I Fdt
I P
p mlt 1 kg
m
s
Lavoro E’ i l prodotto scalare della forza impressa ad un corpo per lo
spostamento da esso compiuto. Essendo le forze tra due corpi sempre reciproche e opposte, mentre un corpo compie un
lavoro positivo, l ’altro ne compie uno negativo di ugual quantità.
L Fd
r L ml 2t 2
J N m J Joule
Energia Dato che nello scambio di forze tra due corpi che si muovono, uno dei due compie lavoro positivo e l’altro lavoro negativo,
si può esprimere il cambiamento di stato fisico che entrambi sopportano affermando che il
primo ha perso energia ed il secondo ne ha acquistata una ugual quantità. L’energia esprime quindi la quantità di lavoro
compiuto per dare al corpo l ’attuale stato e i l corpo può spenderla per compiere lavoro
E L Fd
r E ml 2t 2
J N m J Joule
Energia cinetica
Esprime l’energia posseduta in relazione alla velocità e corrisponde al lavoro che è stato
necessario per portare all’attuale velocità i l corpo, a partire dalla quiete
K 1
m2
c 2
v E ml
2t 2
J Joule
Energia potenziale gravitazionale
E’ posseduta da due corpi che si attraggono gravitazionalmente. Convenzionalmente si sceglie
come punto di e.p. nulla quello in cui la forza è zero. L’energia potenziale in un punto è quindi i l lavoro che un agente esterno ha
compiuto per portare i corpi all’attuale posizione o, in modo equivalente, quello compiuto
dalla forza del campo mentre i corpo si spostano dalla posizione attuale al punto di forza nulla
r
U Fe dr
U Fg dr r
U G m1m2
m1m2 r
2
E ml 2t 2
J Joule
Energia potenziale elastica
E’ l’energia potenziale associata ad una molla deformata e corrisponde al lavoro che è stato necessario per deformarla a partire dalla posizione di riposo
E 1
k l 2
e 2 e
E ml 2t 2
J Joule
Potenza Esprime la quantità di lavoro
realizzata o l’energia consumata per unità di tempo, da una machina
W dL
dt W ml 2t 3
W J W watt
s
Posizione angolare
Esprime l’angolo al quale corrisponde la posizione di un
corpo su una linea curva
Rad
Radianti
Velocità angolare
Esprime la rapidità con la quale cambia la posizione angolare di un corpo, ossia lo spostamento angolare nell’unità di tempo
d
dt
t 1
rad s
1
s
Periodo E’ i l particolare tempo necessario T s
7
ad un corpo che ruota di moto
circolare uniforme a compiere un giro
E’ un tempo dunque
non va definito
Frequenza E’ i l numero di giri (o oscil lazioni) compiuti nell’unità di tempo
1
T t
1 s1
Accelerazione angolare
Esprime la rapidità di variazione
della velocità angolare ossia la variazione di velocità angolare nell’unità di tempo
d
dt t
2 rad
s2
s2
Momento meccanico
Esprime l’intensità dell’azione che
causa una accelerazione angolare o una deformazione in torsione
F I
r
dl
dt
ml 2t 2
N m
Newton metro
Momento d’inerzia
Dà conto di come la massa è
distribuita intorno all’asse di rotazione
I r 2 dm I ml
2 Kg m2
Momento angolare
Esprime “la quantità di rotazione”
posseduta da un corpo, relativamente ad un asse scelto.
E’, quindi, una quantità dipendente dall’asse cui si sceglie di riferirlo. Un corpo può avere momento angolare anche se
viaggia in l inea retta
l r p I l ml 2t 1
Kg m2
s
Energia cinetica rotazionale
E’ l’energia cinetica associata alla
velocità angolare di rotazione attorno ad un asse
K 1
I 2
r
2 E ml 2t 2
J
Grandezze di idrostatica
NOME SIGNIFICATO FISICO DEFINIZIONE DIMENSIONE UNITA’ DI MISURA
Densità Esprime la massa per unità di volume, di una determinata sostanza
m
V
ml 3 Kg
m3
Peso specifico Esprime il peso per unità di
volume, di una determinata sostanza
Ps P
mg g
V V
P ml 2t 2 s
N
m3
Pressione Esprime la forza esercitata ortogonalmente sull’unità di superficie
P F
S
P ml 1t 2 N pascal m2
1atm 101234 pascal
Grandezze di Termodinamica
Nome Significato fisico Definizione Dimensione Unità di misura
Calore Energia termica
L’energia termica è l’energia cinetica (di agitazione molecolare) posseduta dalle
molecole di un corpo. Si chiama calore l ’energia termica che passa da un corpo all’altro a causa della differenza di
temperatura (quantità di energia termica ceduta o acquistata da un sistema).
Q E’ una forma di energia
E ml 2t 2
J 1Kcal = 4186 J
8
Calore specifico Esprime la quantità di calore
necessaria, per una determinata sostanza, per aumentare di un grado la temperatura di un kilogrammo della stessa
c Q
s m T
c l 2t 2T 1 s
J
Kg K
Calore latente Esprime la quantità di calore
necessaria, per una determinata sostanza, a far variare di stato un kilogrammo della stessa
(calore latente di fusione‐ solidificazione, di vaporizzazione‐condensazione)
c Q
L m
c l 2t 2 L J
Kg
Calore specifico molare
Esprime la quantità di calore
necessaria, per una determinata sostanza, ad aumentare di un
grado la temperatura di una mole della stessa
c Q
m n T
c ml 2t 2 n1T 1 m J
mole K
Rendimento Esprime il rapporto, per una
machina, tra l’energia tradotta in lavoro utile e l’energia in entrata.
L
Ee
Adimensionale Adimensionale
Entropia Esprime la quantità di calore,
ceduta o acquistata da un sistema, per unità di
temperatura
S dQ
T
S ml 2t 2T 1 J
K
Grandezze di Elettromagnetismo
Nome Significato fisico Definizione Dimensione Unità di misura
Carica elettrica La carica elettrica è la
misura di quella caratteristica che
q i t q it C As Coulomb
permette ai corpi di
scambiarsi forze
elettriche.
Campo Elettrico (Intensità)
Esprime la forza elettrica agente per unità di carica
in un determinato punto dello spazio
F E
q
E mlt
3i1
N
C
Flusso elettrico Esprime l’intensità del campo elettrico che investe una superficie moltiplicato scalarmente per la stessa superficie
( E ) E dS ( E ) ml t i 3 3 1 N m2
C
Potenziale elettrico
Esprime l’energia potenziale elettrica per
unità di carica in un determinato punto dello
V Ep
Q
V ml 2t 3i1 J
C
spazio.
V o d.d.p. esprime la
differenza del valore del
potenziale elettrico tra
due punti dello spazio o
di uno stesso circuito
Capacità elettrica
Esprime la quantità di carica necessaria a variare i l potenziale di un
C Q
V
C m1l 2t 4i2 F
C Farad
V corpo o di un
condensatore di un volt
Densità superficiale di carica
Esprime la quantità di carica per unità di
superficie, punto per punto, di un corpo
dq
dS itl
2 C
m2
9
a2 b2
Resistenza elettrica
Esprime la caratteristica
di un circuito o di un elemento di circuito di opporsi al passaggio della corrente
R V
i R ml 2t 3i2
V Ohm
A
Campo magnetico (intensità)
Esprime la forza
magnetica agente per unità del prodotto corrente‐lunghezza del
fi lo in un determinato
F B
i l B
mt 2i1 T
N T Tesla
A m punto dello spazio
Flusso magnetico
Esprime l’intensità del
campo magnetico che
investe una superficie
( M ) B dS ( M ) ml t i 2 2 1 H
B m2 H Henry moltiplicato scalarmente
per la stessa superficie
Circuitazione elettrica
Esprime, lungo un
percorso lineare, l ’intensità del campo
E
( E ) dr ml 2t 3i1 ( E )
N m
moltiplicato per lo
spostamento
Circuitazione magnetica
Esprime, lungo un
percorso lineare, l ’intensità del campo
B
( M ) dr mlt
2i1 ( M )
T m
moltiplicato per lo
spostamento
MATEMATICA DI USO FREQUENTE
Relazione tra lati e angoli in un triangolo rettangolo
Teorema di Pitagora il quadrato dell’ipotenusa (i) di un triangolo rettangolo è uguale alla somma del quadrato dei
cateti (a,b):
i2 a2 b2 i a i2 b2
10
a
Dalla trigonometria si impara che un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto (al cateto) oppure al prodotto dell’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente (al cateto): a i sen a i cos b i sen b i cos
i sen
b
sen
a
cos
b
cos
E’ evidente che a
sen tan
vale a dire che la tangente di un angolo (non quello retto) è b cos
data dal rapporto tra il lato opposto e il lato adiacente (all’angolo in questione). Per conoscere l’angolo basta, quindi, fare l’operazione inversa del trovare la tangente, vale a dire
trovare l’arcotangente (tan‐1 sulla calcolatrice) del rapporto dei cateti: arctan a
. b
a b
Ovviamente l’angolo si può trovare anche nei seguenti modi: arcsen arccos i i
Relazione tra lati e angoli in un triangolo qualunque
Consideriamo il triangolo di lati a,b,i’. Si tratta di un triangolo scaleno nel quale i lati a e b sono uguali a quelli del precedente triangolo rettangolo. E’ evidente che l’angolo che prima era retto è ora ottuso e che la lunghezza del terzo lato i’ è aumentata.
Per angolo tra a e b intenderemo l’angolo esterno , inteso che, se mi sto muovendo lungo b, dovrò
deviare di per trovarmi sulla direzione di a.
Ebbene, vige il teorema del coseno (o di Carnot) che afferma: i' Come può ben vedersi questo teorema è l’estensione del teorema di Pitagora, che ne rimane un caso particolare (quello per il quale l’angolo tra a e b è un angolo retto). Ciò significa che se si conoscono due lati e l’angolo (esterno) tra i due, col teorema del coseno si può trovare il terzo lato e poi applicando il teorema in formula inversa si potrà trovare il valore degli altri due
'2 2 2 i'2 a2 b2
angoli: i a b 2ab cos cos
2ab
a2 b2 2ab cos
11
C
Regola del parallelogramma
Facendo riferimento al triangolo della pagina precedente e alle relazioni tra i suoi lati e angoli, notiamo che torna tutto utile quando si dovesse calcolare la risultante di due vettori, ricavata col metodo del parallelogramma. Nella figura si nota che, se ad essere sommati fossero i vettori rappresentati da a e da b, i’ sarebbe la
risultante cercata e , angolo esterno tra a e b, corrisponderebbe all’angolo compreso tra i vettori a e b.
L’ipotenusa o risultante si può quindi calcolare col teorema del coseno: i'
Relazione tra angoli ed archi
Un radiante è l’angolo al centro che taglia sulla circonferenza un arco della lunghezza di un raggio.
Dato che 2r
in un angolo giro ci sono 2 radianti.
Dalla proporzione 360 : 2 rd x :1 x 2
°
52.3 rd
si rileva che un radiante vale circa 57.3
Dalla proporzione C : 2 Ar : Ar 2 r
2 Ar r
si rileva una semplice ed importante
relazione tra la lunghezza di un arco qualunque, il raggio della circonferenza e l’angolo sotteso dall’arco, purché l’angolo venga espresso in radianti:
a2 b2 2ab cos
12
n
k e
A r r Ar
r
A
r
r
Equazioni di curve notevoli
Equazione della retta:
y mx q (Legge del moto rettilineo uniforme, velocità in funzione del tempo nel moto
uniformemente accelerato)
Equazione della parabola:
y ax2 bx c (Legge del moto uniformemente accelerato, moto del proiettile)
Equazione dell’iperbole:
y x k (Legge dei gas a temperatura costante, isoterma)
Equazioni esponenziali
Ricordiamo la definizione di logaritmo: il logaritmo di un numero è l’esponente che bisogna dare alla
base per avere il numero dato: lg a b nb a
Se ci troviamo davanti ad una equazione esponenziale (l’incognita si trova dentro un esponente), quindi, possiamo trasformarla tramite i logaritmi:
akx b lg b kx x lga b
k E’ opportuno a questo punto ricordare che si può trasformare un logaritmo con base qualunque in un logaritmo con base opportuna (10 o e), in modo da conoscerne facilmente il valore tramite la calcolatrice:
lg b lg
k b lg
b lg
10 b lg b
lge b
a lg a
a
10
a lg a
Ulteriore possibilità di trasformazione è data dal fatto che da quanto appena detto consegue che:
lga x 1
lgx a
Esempio tipico di argomento di fisica in cui compaiono equazioni esponenziali sono i transienti della corrente elettrica (carica e scarica di un condensatore o di un induttore pg.31, decadimento radioattivo
a
lg a
13
pg.40), ed in questo caso è anche utile ricordare che la derivata di ex è ancora e
x :
dex ex
dekx
kex
dx dx
Qualora l’esponente fosse un numero immaginario eix
è utile ricordare la seguente uguaglianza (formula di Eulero):
eix senx i cos x da cui segue: (cos x isenx) eix eln ix
Relazioni Trigonometriche Nella risoluzione di problemi di Fisica è spesso necessario utilizzare le formule di trigonometria che seguono; sarebbe, quindi, buona norma conoscerle a memoria.
Formule di addizione
sen( ) sen cos cos sen
cos( ) cos cos sen sen
tan( ) tan tan
1 tan tan
Formule di sottrazione
sen( ) sen cos cos sen
cos( ) cos cos sen sen
tan( ) tan tan
1 tan tan
Formule di duplicazione
sen(2 ) sen( ) sen cos cos sen 2sen cos
cos(2 ) cos( ) cos cos sen sen cos2 sen2
Dato poi che sin2(α) + cos2(α) = 1, tale formula può anche essere riscritta come:
cos(2 ) 1 sen2 sen2 1 2sen2
cos(2 ) cos2 1 cos
2 2 cos2 1
tan(2 ) tan( ) tan tan
1 tan tan
2 tan
1 tan2
Sviluppo in serie di seno e coseno
L’algoritmo per calcolarsi, desiderando di farlo personalmente, il valore del seno o del coseno di un angolo, con l’approssimazione che si scelga è dato dai seguenti sviluppi in serie:
14
x3 x5 n x
(2n1)
sen(x) x ... (1) 3! 5! (2n 1)!
...
x2 x4 n x
2n
cos(x) 1 ...(1) 2! 4! (2n)!
15
2r
a 2ra
2
2
(t ) 0 0
(t ) (t ) 0
dv a dt v v
t
CINEMATICA
CINEMATICA TRASLAZIONALE Moto
rettilineo uniforme
CINEMATICA ROTAZIONALE Moto circolare uniforme
dr
d 2 rad rad
v dt
dt
( T
) 2 ( ) s s
r
t
t r t t
dr vdt dr v( t ) dt r( t ) r0 v(t ) dt d dt d ( t ) dt ( t ) 0 (t ) dt r0 t0 t0 r0 t0 t0
Se e soltanto se la velocità è costante nel tempo: Se e soltanto se la velocità angolare è costante
t t
r(t ) r0 v dt r(t ) r0 v t t0
Quindi pe
r il m
oto rettilineo uniforme:
(t ) 0 dt (t ) 0 t t0
Quindi per il moto circolare uniforme:
r(t ) r0 v (t t0 ) legge del moto rettil ineo uniforme (t t ) legge del moto circolare uniforme
(t ) 0 0
Potendo spesso porre r0 0 e t0 0
Potendo spesso porre 0 0 e t0 0 r(t )
r(t )
r(t )
v t v t
t v (t )
t (t )
t t
(
t )
Moto
rettilineo uniformemente accelerato Moto circolare uniformemente accelerato
dv a
dt
v
t
t
d
dt (t ) 0
d dt d dt dt
v0 t0 t0 (t ) 0 Se e soltanto se l’accelerazione è costante nel tempo: 0 t0 t0
t Se e soltanto se l’accelerazione angolare è costante (t ) 0
(t ) 0 dt t v v a
t0
dt v v a t t
(t ) 0
(t ) 0
Q
uindi pe
r il mo
to uniformemente accelerato: t0 Quindi per i l moto circolare uniformemente accelerato:
v(t ) v0 a (t t0 ) dato che:
(t t ) dato che:
t t
r(t ) r0 v(t ) dt t0
sostituendo l’espres. della velocità: (t ) 0
(t ) dt
sostituendo l’espres. della velocità:
(t ) 0
t
0
t0
( t)dt
r r (v a t)dt t0
(t ) 0
t 0
1 0
r r v (t t ) a (t t )2
1 2
(t ) 0 0 0 2
0 (t ) 0 0 (t t0 ) (t t0 ) legge del moto uniformemente accelerato 2 Dato che si può porre quasi sempre r 0 e t 0 legge del moto circolare uniformemente accelerato
0 0 Dato che si può porre quasi sempre 0 e t 0
1 2 0 0
r(t ) v0 t 2
a t
(t ) 0 t
1 t 2 2
v(t ) v0 a t
Facendo sistema con queste due ultime formule, si potrà risolvere
(t ) 0
t
ogni p
roble
ma
di m.r.u.a. in quanto 3 dei 5 parametri
(r(t ) ; v(t ) ; v0 ; a; t) devono essere noti, pena la risolvibilità.
Se la velocità iniziale è nulla ( v0 0 ) si ricavano le seguenti 2
Facendo sistema con queste due ultime formule, si potrà risolvere
ogni problema di m.c.u.a. in quanto 3 dei 5 parametri
( ; ; ; ;t) devono essere noti, pena la risolvibil ità.
Se la velocità iniziale è nulla ( v0 0 ) si ricavano le seguenti formule inverse: t
v 2
v r 2a
formule inverse: t
2
t t dv a dt a dt
16
v
F
c ac .
DINAMICA 1°Principio della dinamica: Un corpo che sia sottoposto ad un
insieme di forze di risultante nulla mantiene il proprio moto rettil ineo uniforme (la quiete ne è un caso particolare)
2° Legge della dinamic a: Un corpo sottopos to ad una forza subisce
un’accelerazione pari a: a F
m
Se dal caso più generale di moto curvil ineo passiamo al caso particolare più semplice di moto circolare, possiamo affermare che,
se i l moto è uniforme ( 0 ) allora è zero l’accelerazione
tangenziale e quindi la forza tangenziale. L’accelerazione centripeta
2
invece vale ac r
e quindi la forza centripeta vale
Questa legge consente di definire la forza come quell’ente che applicato ad un corpo di massa m gli procura un’accelerazione a secondo la formula.
3° Legge della dinamica: F1,2 F2,1
I corpi si scambiano forze uguali e contrarie. Nel momento in cui i l corpo 1 esercita una forza sul corpo 2, quest’ultimo eserciterà sul corpo 1 una forza uguale e contraria. Notare che le forze di “azione e reazione” sono esercitate sempre su corpi distinti.
m
m
v
r Perché un corpo ruoti di moto circolare uniforme è, quindi,
necessario che sia sottoposto ad una forza centripeta, diretta cioè v2
continuamente verso il centro dell’orbita e pari a Fc m r
.
F Se è presente una forza tangenziale i l moto circolare non potrà
Dalla seconda legge o legge fondamentale della dinamica a m essere uniforme essendo
si trae che quando una forza, o più forze di somma non nulla, agisce su un corpo, questo subisce una accelerazione nella stessa direzione della forza e questa accelerazione è direttamente proporzionale alla
forza (causa) ma inversamente proporzionale ad una caratteristica propria del corpo, la massa (resistenza o inerzia). La massa è quindi una caratteristica del corpo tale da resistere all’accelerazione e
Ft 0 at 0 at r 0 . Si è ritenuto
opportuno definire due nuove grandezze fisiche in modo da poter
scrivere, nel caso specifico della rotazione, una relazione tra causa
ed effetto simile alla seconda legge della
dinam ica. Le nuove
grandezze sono i l momento torcente r F e i l momento perciò chiamata massa inerziale. La precedente relazione è 2
vettoriale e, dunque, l’accelerazione, come si è detto, ha sempre la stessa direzione della forza. Questo ci obbliga ad una riflessione che
d’inerzia I r dm , grazie alle quali si può dire che I
ci permetta di comprendere nel modo più generale possibile quel
che accade ad un corpo sottoposto a delle forze e ci prepari ad affrontare dinamica e cinematica, tanto traslazionali che rotazionali.
( a F
). E’, quindi, evidente che l’equivalente rotazionale della
m Quando una forza è applicata ad un corpo, nella stessa direzione della sua velocità, produrrà un aumento o una diminuzione del
valore della stessa, a seconda che ne abbia anche lo stesso verso o uno opposto. Si può anche dire che l’accelerazione, positiva o negativa, ha la stessa direzione della velocità. In queste condizioni la
direzione della velocità non muterà e quindi ne deriverà un moto rettil ineo. Quando invece, caso più generale, la forza è applicata al corpo obliquamente rispetto alla sua velocità, ne deriverà una accelerazione ugualmente obliqua che produrrà un moto curvil ineo.
In questa situazione risulta opportuno scomporre, sia la forza che la conseguente accelerazione, in due componenti tra di loro perpendicolari. Una componente sarà nella stessa direzione della velocità e
parleremo di forza e accelerazione tangenziale
Ft m at , l ’altra, ad essa perpendicolare, sarà chiamata forza
forza è i l momento torcente (causa di accelerazione angolare) e l ’equivalente rotazionale della massa è i l momento d’inerzia (inerzia
alla rotazione).
e accelerazione centripeta o radiale Fc m ac . La forza
tangenziale produrrà una accelerazione tangenziale, essendo nella
stessa direzione della velocità, cioè, un aumento o una diminuzione del valore della velocità, ma non la variazione della sua direzione. La forza centripeta produrrà una accelerazione centripeta che causa
una variazione nella direzione della velocità, senza cambiarne il valore.
2 r 2
d ( r)
v ; v r a dv
T T dt dt d
v2
a r dr
a r a a
dt dt r t c
v2
Quindi at r e ac r
2
17
l
g
x
0
x y
0 0
at
y y
DINAMICA TRASLAZIONALE Le leggi della dinamica affermano che:
1. Un corpo sottoposto ad un insieme di forze tali da annullarsi,
rimane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme
Moto di un proiettile
Un oggetto lanciato con velocità v0 in una direzione che rispetto
all’orizzontale abbia un angolo , descrive una traiettoria
parabolica, trattandosi della composizione di un moto rettil ineo
2. a F
m
(Legge fondamentale della dinamica) Un corpo
uniforme (quello orizzontale) e di un moto uniformemente accelerato (quello verticale). L’ipotesi è ovviamente quella di poter trascurare ogni attrito e, dunque, l’unica forza agente durante il volo
sottoposto ad una forza, subisce, nella direzione della stessa, una
accelerazione direttamene proporzionale all’intensità della forza
è la forza di gravità. L’equazione della parabola descritta dal proiettile è:
(causa) e inversamente proporzionale alla propria inerzia (o massa).
2
( x )
g 2v cos2 x tg y0
F dv (mdv ) dp 0
a F m a m La
m dt dt dt seconda legge della dinamica si può quindi esprimere utilmente
Dove y0 è l’altezza da cui viene lanciato il corpo.
Per ottenere la gittata (x o spazio orizzontale percorso dal corpo durante il volo), basterà assegnare zero a y(x) e risolvere l’equazione
come:
dp F
dt
la forza applicata su un corpo, cioè, è pari alla
di secondo grado che ne risulta. Qualora fosse richiesto di calcolare anche il tempo sarebbe
necessario ricavarlo dalle formule della cinematica dei due moti
variazione della quantità di moto che il corpo conseguentemente
subisce nell’unità di tempo
componenti:
x(t ) x0 vx t
3. F1,2 F2,1 La forza applicata da un corpo 1 ad un corpo 2 è y y v t 1
gt 2
uguale e contraria alla forza che per reazione e contemporaneamente il corpo due applica sul corpo 1. I corpi, quindi, si “scambiano” sempre forze uguali e contrarie.
Massa e Peso
La relazione tra la massa di un corpo (che ne esprime l’inerzia) e i l suo peso (la forza con cui quel corpo è attratto verso il basso dalla
(t ) 0 y0 2
v v gt ( t ) 0
Con x0 0 e y0 0 se si sceglie l’origine del sistema di
gravità terrestre) è quella che intercorre tra qualunque forza e la riferimento nel punto da cui i l proiettile parte e con
massa del corpo che la subisce: F m a P m g v v cos0
e v v sen0
dove con g si indica l’accelerazione di c
aduta libera di un corpo nel
punto in cui si trova. Il valore medio di g al l ivello del mare è g =
9.81m/s2 e varia, ovviamente, con l’altitudine.
Legge di Gravitazione Universale La gravità, cioè la mutua attrazione dei corpi, che pur di piccola intensità è l’unica forza significativa a l ivello astronomico, ed è quindi quella che governa la forma e l’evoluzione dell’universo
obbedisce alla seguente legge:
DINAMICA ROTAZIONALE Causa di una accelerazione angolare è i l momento torcente, a resistere a tale accelerazione è i l momento d’inerzia. Le leggi della dinamica sono quelle già espresse, ma adattandole alla situazione di corpi in rotazione, quali ad esempio i corpi celesti,
possiamo affermare che: 1. Un corpo in rotazione che sia sottoposto ad un insieme di
momenti torcenti tali da annullarsi, manterrà i l proprio moto circolare uniforme. Questo corpo è, cioè, sottoposto ad una
m m Nm2 accelerazione centripeta ma non ad una tangenziale.
F G 1 2 G 6.67 1011
v2
g r 2 Kg 2
a r r 0 ;
t I ac
r
G è una costante universale e la forza attrattiva (per cui i l segno meno) si sviluppa nella direzione che congiunge i centri di massa dei due corpi. 2.
Un corpo sottoposto ad un momento torcente subisce m m
I
Fg G 1 2
r 2 P m g una accelerazione angolare direttamente proporzionale al
momento torcente (causa) e inversamente proporzionale al
G m momento d’inerzia (resistenza):
F P g c formula che dà l’accelerazione di
g r 2
r
r
I
v2
a c r
La legge fondamentale
gravità in funzione della massa attrattiva e dalla distanza da essa.
Se un corpo di massa m orbita attorno ad un altro deve valere: della dinamica (rotazionale) si può utilmente scrivere: dl
m v2 m m dt Fc Fg
r G
r 2
tra velocità orbitale e distanza: v
c da cui si ricava la relazione il momento torcente applicato ad un corpo, cioè, è pari alla
variazione del momento angolare che il corpo subisce nell’unità di
tempo (vedi nel paragrafo seguente la conservazione del
momento angolare)
dl d (I) d
Periodo del Pendolo e della Molla Dinamicamente si può ricavare il periodo delle oscillazioni isocrone di un pendolo e di un corpo sottoposto a forza elastica (una molla); con l lunghezza del pendolo e ke costante elastica della molla
I I dt dt dt
Mentre la massa di un corpo è unica, non è la stessa cosa per i l momento d’inerzia che cambia a seconda dell’asse attorno a cui
T 2
T 2 avviene lai rotazione. Attraverso la definizione I r
2 dm è
p e
possibile trovare il momento d’inerzia per corpi simmetrici rotanti intorno ad assi diversi.
G mc
r
m
ke
y
o
18
g h
g
LAVORO, ENERGIA, IMPULSO, QUANTITA’ DI MOTO Dal dilemma se laspinta fosse meglio rappresentata L’energia potenziale elastica associata alla
da F dt o da F
dr si svilupparono pian piano i deformazione di una molla e che misura il lavoro fato
concetti di lavoro e impulso. Quando due corpi si scambiano una forza lungo un
per deformare la molla è: U 1 k x2
e 2 con k
certo spostamento si definisce lavoro L F
dr , costante elastica della molla e x l’allungamento (o la compressione).
da cui risulta evidente che quando un corpo subisce un certo lavoro ne compie nel contempo uno di segno opposto. Immaginiamo per esempio un corpo più veloce che superandone uno più lento che procede nella stessa direzione, lo agganci e lo trascini con sé. Il corpo più veloce subirà una forza frenante, quello più lento una forza accelerante, fintanto che entrambi avranno raggiunto la stessa velocità intermedia. Nel tempo che i corpi si saranno scambiata una forza (uguale e contraria) avranno percorso lo stesso spazio r. Ma mentre il primo avrà compiuto sul secondo un lavoro positivo (forza e spostamento equiversi) il secondo avrà compiuto sul primo un lavoro uguale ma negativo (forza e spostamento antiversi). Entrambi i corpi poi, a causa del lavoro scambiatosi, avranno cambiato il loro stato fisico (in questo caso la velocità) e potremo esprimere questo cambiamento affermando che il primo dei due ha perso una quantità di qualcosa che è stata acquistata dal secondo. A questo qualcosa si da il nome di energia, che nei fatti misura il lavoro che è stato compiuto sul corpo mentre qualche caratteristica del suo stato fisico (velocità,
Per una macchina qualunque si definisce la grandezza potenza come il lavoro che la macchina produce
dL nell’unità di tempo: W (Watt).
dt Nello stesso esempio di prima se moltiplichiamo la forza (es. quella subita dal corpo più lento) per il tempo durante il quale è intercorsa ott
eniamo una
grandezza vettoriale chiamata impulso: i F dt Quando un corpo è sottoposto ad un impulso, subisce una variazione della propria caratteristica fisica data dal prodotto della massa per la velocità, chiamata quantità di moto p m v , infatti i F dt m a dt m dv p
Concludendo l’impulso
è pari alla variazione della
quantità di moto i = ∆p .
L’impulso che i due corpi dell’esempio si sono scambiati sono, ovviamente, uguali e contrari e si sono quindi procurata una variazione di quantità di moto
altezza, deformazione elastica, ecc.) è stata modificata. Il lavoro compiuto può essere positivo o uguale e contraria. Pe
raltro da F ma si ottiene
negativo e corrispondentemente la variazione di dv dp
dp
energia, per il corpo che lo compie, sarà negativa o F ma m F
dt dt dt che è un modo
positiva. L’energia associata alla velocità, che misura il lavoro compiuto sul corpo per dargli quella velocità a partire dalla quiete, viene chiamata energia cinetica e vale:
assai utile di scrivere la legge fondamentale della dinamica.
K 1
mv2
c 2
L’energia potenziale gravitazionale associabile al sistema di due corpi che interagiscono gravitazionalmente e che misura il lavoro fatto da un agente esterno per portare un corpo da distanza infinita fino a distanza r dal secondo corpo vale:
r
Ug Fe dr U g Fg dr r
G m m m m
Ug Fg dr r r
1 2 dr G 1 2
r 2 r
In prossimità della Terra, dove può essere considerata costante l’accelerazione di gravità g , si utilizza anche
U m
19
e
LEGGI DI CONSERVAZIONE Se un sistema fisico è isolato, se cioè non scambia con l’esterno né materia, né energia ed inoltre la somma
nulla genera quindi variazioni di quantità di moto in totale nulle.
delle forze esterne e dei momenti esterni è pari a zero, in esso l’energia, la quantità di moto e il momento Fe
0 dpt
dt
pt = cost
angolare complessivi si conservano. Può cioè cambiare il valore di una di queste grandezze nei singoli corpi che fanno parte del sistema, ma la
Principio di conservazione della quantità di moto
somma estesa a tutti i corpi rimane costante. Da
dl
dt e dal principio di azione e reazione si
Kc L (principio dell’energia cinetica). Se la forza
che compie il lavoro è conservativa e interna al
deduce che, quando dei corpi appartenenti al sistema si scambiano forze, inevitabilmente uguali e contrarie
sistema si definisce l’energia
potenziale (e sono uguali e contrari anche i momenti torcenti), il
U Kc U L F dr Kc U 0 loro momento angolare si modifica di quantità uguali e contrarie e la somma delle variazioni è dunque nulla.
Quindi il lavoro compiuto da forze interne non
modificano l’energia totale ( Et Kc U 0 ) e se la somma delle forze esterne è nulla anche il
Una situazione in cui la somma dei momenti esterni sia nulla genera quindi variazioni di momento angolare in totale nulla.
lavoro da esse compiuto è nullo, quindi
Fe 0 Et 0 Et = cost L’energia di
0 dlt
dt
0 lt = cost Principio di
cui qui si parla è l’energia meccanica Et Kc U e conservazione del momento angolare.
Da l I
consegue che, quando il momento questo si chiama principio di conservazione dell’energia meccanica.
torcente esterno risulta nullo e, dunque, costante il momento angolare totale, ad una diminuzione del
momento d’inerzia corrisponde un aumento della dp
Da F e dal principio di azione e reazione si dt
deduce che, quando dei corpi appartenenti al sistema si scambiano forze, inevitabilmente uguali e contrarie, la loro quantità di moto si modifica di quantità uguali e contrarie e la somma delle variazioni è dunque nulla. Una situazione in cui la somma delle forze esterne sia
URTI ELASTICI
velocità angolare. Quando cioè la materia converge al centro la velocità di rotazione aumenta (pattinatore che mentre ruota avvicina le braccia al corpo o la materia di una nube gassosa che si addensa per attrazione gravitazionale)
Quando dei corpi urtano la quantità di moto e il momento angolare totali si conservano sempre, dato che i corpi si scambiano delle forze e quindi dei momenti torcenti uguali e opposti. L’energia cinetica invece si conserva solo se l’urto è perfettamente elastico, se cioè nessuna frazione dell’energia sia stata dissipata in modifiche strutturali dei corpi. Risolvendo il sistema di due equazioni che si ottiene scrivendo la legge di conservazione dell’energia e quella della quantità di moto si ottengono, per due corpi di massa m 1 ed m2 con velocità v1p e v2p che urtano centralmente, le velocità di uscita dall’urto: m1 m2 2m2
v1d
m m v1 p m m
v2 p
1 2 1 2
2m1 m2 m1 v
2d
m m v1 p m m
v2 p
1 2 1 2
Se l’urto non è centrale i corpi dopo l’urto avranno una velocità con direzione diversa da quella di provenienza e quindi il numero di incognite passa da due (le velocità dopo l’urto) a 4 le componenti orizzontali e verticali delle velocità di uscita, oppure i moduli delle due velocità e gli angoli che formano con l’orizzontale.
0
20
F F
In questo caso le equazioni che è possibile scrivere sono 3, quella della conservazione dell’energia e le due relative alla conservazione della quantità di moto su ciascuno dei due assi. Con 4 incognite e 3 equazioni risulta evidente che è necessario avere come dato noto almeno una delle 4 incognite.
IDROSTATICA
Principio di Pascal:
una pressione, se esercitata sull’intera superficie libera di un liquido, si propaga all’istante in ogni punto del liquido con pari intensità e in ogni direzione. Questo principio è conseguenza della incomprimibilità dei liquidi. Dal principio di Pascal consegue che esercitando una pressione su un tubo stretto, in comunicazione con un tubo più largo, si ottiene di esercitare la stessa pressione all’estremità del tubo largo, ma questo comporta una moltiplicazione della forza, dato che a ugual pressione e maggior superficie corrisponde maggior forza (torchio idraulico). Infatti, indicando con l’indice e le grandezze in entratanel tubo stretto e con l’indice u le stesse grandezze in uscita dal tubo largo
Pe Se
Pu Su
Su n Se Fu n Fe
Legge di Stevin La pressione all’interno di un liquido dipende solo dal suo peso specifico e dalla profondità del punto in esame rispetto alla superficie:
Pi = psl × h dove h rappresenta la profondità. Per la pressione totale non bisogna dimenticare di
aggiungere alla pressione di Stevin o pressione idrostatica, quella agente sulla superficie del liquido.
Conseguenza della legge di Stevin è il principio dei vasi comunicanti secondo cui il livello del liquido in più vasi comunicanti, purché aperti, è uguale. Ciò è ovvio considerando che se l’altezza del liquido nei vasi risultasse diversa, ci sarebbe sul fondo di quello ad altezza maggiore una maggior pressione e questo provocherebbe una spinta con conseguente movimento di fluido, in contraddizione all’ipotesi di situazione statica. Analogamente in un tubo ad U in situazione di equilibrio, qualunque siano i fluidi contenuti nei suoi due rami, la somma delle pressioni in un ramo non può che essere uguale alla somma delle pressioni nell’altro.
e u
21
f i
s i
g
Legge di Archimede Un corpo immerso in un fluido subisce una spinta verso l’alto pari al peso di una quantità di fluido dello
stesso volume del corpo immerso (“il fluido spostato”). Fa = ps × Vc Questa legge è facilmente
deducibile conoscendo la legge di Stevin. Infatti la forza agente verso il basso sulla superficie superiore di un corpo è minore della forza verso l’alto agente sulla superficie inferiore dello stesso corpo a causa
della diversa pressione, che deriva a sua volta dalla differente profondità:
Fs Pi S psf hs S Fi Pi S psf hi S Fa Fi Fs S psf (hi hs ) psf Vc
Ricordare che se un corpo galleggia esiste una situazione di equilibrio e quindi la spinta di Archimede è
esattamente uguale al peso del corpo e si può scrivere: Fa P psf Vc psc Vc
P m
Da ricordare è anche il fatto che ps
V
V g
IDRODINAMICA Situazione di regime per un liquido in movimento dentro un tubo significa che la sua velocità, pur diversa da punto a punto a seconda della sezione del tubo, si mantiene in ogni punto costante nel tempo. Tenendo conto che per la conservazione della massa e per la incomprimibilità dei liquidi, il volume di liquido che passa al secondo da qualunque sezione (portata) è uguale, la condizione di regime implica che la velocità del liquido in un punto dipenda in maniera inversamente proporzionale alla sezione del tubo in quel punto.
Vale a dire che a regime, indicando con Pr la portata, con Vl
il volume di liquido con vl
la sua velocità
in un punto del tubo e con S la sezione del tubo in quel punto, si ha: Vl
Pr t
cos t vl S v1 S1 v2 S2 (equazione di continuità)
Quando il tubo si restringe, quindi, la velocità aumenta e questa accelerazione è determinata da un diminuire della pressione al diminuire della sezione. Si crea cioè un gradiente di pressione che comporta una pressione minore dove minore è la sezione (tubo di Venturi):
1 2 S1 S2
P 2 Pr (
S S ) ricavabile dalla seguente equazione di Bernoulli.
1 2
In generale, quando un liquido scorre a regime in un tubo che cambia sezione, che curva, che sale o scende la relazione tra la pressione del liquido, la sua velocità, la sua altezza, la sua densità è data dalla equazione di Bernoulli, che discende direttamente dal principio di conservazione dell’energia: P
1 2
1 2
1 2
2 v gh cos t P1
2 v1 gh1 P2
2 v2
gh2
Quando due fluidi scorrono a diversa velocità, l’uno rispetto all’altro o ciascuno su una diversa faccia di una superficie, si crea un differenziale di pressione dal moto più veloce verso quello più lento. Ne sono esempi l’aria che scorre davanti al finestrino aperto di un automobile, l’aria che scorre con maggiore velocità sulla parte superiore dell’ala di un aereo rispetto alla parte inferiore (a causa della forma e dell’inclinazione dell’ala), lo sventolio di una bandiera. La differenza di pressione si può ricavarla dalla equazione di Bernoulli, dove si rende nullo il terzo termine, non essendo gravitazionalmente rilevante la differenza di altezza:
1 2 2
P 2 (v1 v2 ) La forza corrispondente a questa differenza di pressione si chiama Portanza
i
i
22
3
TERMOLOGIA E TERMODINAMICA
LEGGI DEI GAS
La legge di dilatazione per solidi e liquidi è:Vt V0 (1 t) dove V0 è il volume a 0°C e è una
costante di dilatazione caratteristica di ogni materiale. Un altro modo pratico di scrivere la formula
precedente è V V0 t
Per i gas, se la pressione è costante, la legge di dilatazione ha la stessa forma: Vt V0 (1 t) prima
legge di Gay‐Lussac La seconda legge di Gay‐Lussac afferma che a volume costante la pressione varia in funzione della
temperatura secondo: P P0 (1 t)
Infine la legge di Boyle afferma che a temperatura costante la pressione e il volume di un gas sono
inversamente proporzionali: PV cos t In sintesi:
P cos t Vt V0 (1 t)
V cos t P P0 (1 t)
T cos t PV cos t
I coefficienti di dilatazione e sono leggermente diversi per lo stesso gas e cambiano da gas a gas. I
1 loro valori però convergono al valore
273.16 man mano che i gas vengono riscaldati e resi più
rarefatti. Questo ha dato l’idea di immaginare un gas che abbia quel valore di e a qualunque condizione e, dato che un simile gas non esiste, lo si è chiamato gas ideale. E’ evidente che per tal gas la temperatura di ‐273.16°C sarebbe tale da annullarne la pressione ed il volume e si è da qui compreso che questa è la minima temperatura limite, avvicinabile, cioè, ma non raggiungibile e tanto meno superabile.
Peraltro, non avendo senso fisico dare alla temperatura valori negativi, si è deciso di adottare una nuova scala termometrica, la Kelvin, che ha lo zero nella temperatura minima limite (‐273.16°C) e mantenesse la stessa definizione di grado della scala centigrada. Di conseguenza per passare dalla scala centigrada a quella Kelvin è sufficiente aggiungere 273.16. Applicando infine le precedenti leggi empiriche ad un gas ideale, si ottiene, dopo semplici passaggi:
PV = nRT legge di stato del gas ideale
in cui n indica il numero di moli del gas, R una costante universale ( R 8.31
temperatura assoluta (scala Kelvin).
J
mol K
) e T la
Sebbene a rigore la legge di stato dei gas valga solo per un gas ideale, è bene sapere che la si può utilizzare con ottima approssimazione per i gas ordinari, a meno che non siano notevolmente compressi, come accade ad esempio in molte situazioni relative ad impianti industriali. In tal caso occorre utilizzare una versione modificata della stessa legge, con modifiche di adattamento che variano a seconda delle condizioni fisiche del gas cui ci si riferisce (pressione e temperatura). Per il gas ideale l’unica forma di energia termica è quella cinetica. Non va dimenticato il principio di Avogadro secondo il quale due quantità di gas diversi che occupino lo stesso volume e si trovino allo stesso valore di pressione e temperatura, sono costituite dallo stesso numero di particelle. Se questo è desumibile dalla legge di stato dei gas, occorre però ricordare che Amedeo Avogadro fece questa affermazione circa 50 anni prima.
SIGNIFICATO FISICO DI TEMPERATURA E CALORE Dalla teoria cinetica dei gas si desume che la temperatura è legata strettamente all’energia cinetica media delle molecole dei corpi.
Infatti, nel caso di un gas monoatomico rarefatto: Km 2
kBT
23
N
c s
R con kB
A
1.38110 23 J
K
costante di Bolzmann ed NA 6.02310
numero di Avogadro
(numero di atomi o di molecole in una mole della sostanza). Ciò rende chiaro cosa intendere per temperatura di un corpo e cosa significa aumentare o diminuire la temperatura, almeno per un gas rarefatto. Per un tal gas, infatti, ogni particella è sufficientemente lontana dalle altre da poter affermare l’assenza di reciproche forze elettriche e quindi di energia potenziale (unica forma dell’energia di agitazione termica è quella cinetica). Nei gas compressi, nei liquidi ed ancor più nei solidi, però, le particelle costituenti sono più vicine e si scambiano forze assimilabili al tipo elastico, in ogni istante, per ciò, la complessiva energia di agitazione è ripartita tra energia cinetica ed energia potenziale. Possiamo pensare alla temperatura, quindi, come una misura dell’energia complessiva di agitazione termica media (per particella). Il calore rappresenta invece l’ammontare complessivo di tale energia. Quando una quantità di calore (energia di agitazione termica) passa da un corpo ad un altro, il valor medio di energia (per particella) diminuisce nel primo, aumenta nel secondo. Quando poi due corpi con una temperatura diversa vengono a contatto (e possono essere immaginati ora come un unico corpo), lentamente l’energia di agitazione termica media si uniforma, distribuendosi equamente tra tutte le particelle, e si può affermare di conseguenza che i due corpi raggiungeranno prima o poi la stessa temperatura (principio dell’equilibrio termico).
Per solidi e liquidi, dato che la quantità di calore necessario per cambiare di un grado una ugual massa di materiali diversi è diversa (è simile la quantità di calore necessario per ugual numero di moli o calore molare), si definisce il calore specifico delle sostanze come:
c Q
; conoscendo (sperimentalmente) i calori specifici è, quindi, possibile mettere in s
m T relazione calore e temperatura:
Q c m t e t Q
s m
La temperatura di equilibrio raggiunta da due corpi messi a contatto con masse diverse e calori specifici diversi è:
t cs1 m1 t1 cs 2 m2 t2
e c m c m
s1 1 s 2 2
Trasmissione del calore: Tra due ambienti a diversa temperatura separati da una parete di spessore s e di superficie A si trasmette una certa quantità di calore al secondo, vale a dire che c’è una potenza trasmissiva ottenibile
da:W Q
t Kt
T A
s dove T è la differenza di temperatura tra i due ambienti e Kt un
coefficiente di dispersione caratteristico del materiale che separa gli ambienti.
TERMODINAMICA Per i gas di calori specifici ne sono necessari 2, dato che si può cambiare la temperatura di un gas mantenendolo a pressione costante o a volume costante e che la quantità di calore nei due casi è diversa. Si definiscono quindi i calori specifici molari a pressione costante e a volume costante:
dQ c
p n dt
;
c dQ
v n dt
Per un gas ideale (è prossimo al vero anche per un gas reale caldo e rarefatto) cp cv R
23
24
L
5 3 7 5 In particolare, per gas monoatomici cp
2 R e cv
2 R , per gas biatomici cp
2 R e cv
2 R
Primo principio della termodinamica
dE dQ dL afferma che l’energia di un sistema può variare sia se esso compie o subisce del lavoro (determinato da forze di tipo qualunque), sia se perde o acquista del calore. Si tratta, quindi,
dell’estensione del principio di conservazione dell’energia meccanica, con il riconoscimento del calore
come forma di energia. dQ è, ovviamente, positivo se il calore entra nel sistema, mentre dL è positivo se compiuto dal sistema.
Per un gas dL p dV quindi si può abitualmente scrivere dE dQ p dV
Ricordare che mentre Q ed L non lo sono, E è un variabile funzione di stato (ha un unico possibile valore per ogni terna P,V,T); dell’energia ci interessa solo conoscere le variazioni e non i valori assoluti. Trasformazione termodinamica significa portare un gas da un iniziale valore della terna volume,
temperatura e pressione PV nRT , ad un’altra. Si dice reversibile di una trasformazione se è realizzata in modo che la si possa percorrere, desiderandolo, in senso inverso (ciò è possibile solo in linea teorica).
Secondo principio della termodinamica afferma che non è possibile realizzare una trasformazione termodinamica che, come unico risultato, abbia quello di far passare del calore da un corpo meno caldo ad uno più caldo o, equivalentemente, che non è possibile realizzare una trasformazione termodinamica che, come unico risultato, abbia quello di trasformare interamente in lavoro una data quantità di calore. Il secondo principio della termodinamica sancisce quindi una impossibilità teorica, più che affermare una qualche relazione tra grandezze. Il piano di Claipeyron è un piano che abbia come coordinate cartesiane il volume (in ascisse) e la pressione (in ordinate).
In ogni trasformazione che non sia adiabatica (sistema termicamente isolato dall’esterno
coinvolta una quantità di calore, che entra o esce dal sistema.
dQ 0 ) è
In ogni trasformazione che non sia isocora (volume costante L pdV 0 ) è coinvolta una quantità di
lavoro fatto o subito dal sistema.
In ogni trasformazione che non sia isoterma (temperatura costante, quindi, vista la reciproca interdipendenza, energia costante) l’energia del sistema cambia. Dalla definizione di trasformazione
ciclica e in dipendenza dal fatto che l’energia è una funzione di stato, l’energia non cambia ( dE 0 ) se la trasformazione è ciclica. Per una trasformazione ciclica si può parlare di rendimento, riferendosi ad una ipotetica macchina
termica che lavori seguendo quella trasformazione ciclica: con L il lavoro complessivamente
Ee
realizzato durante la trasformazione ciclica del gas ed Ee l‘energia (quindi il calore) entrata nel sistema
L dL
Dato che per una trasformazione ciclica è dE=0 e quindi dQ dL
Qe Qu
Ee dQe Qe
Il principio di Carnot afferma che il rendimento di una macchina reversibile è sempre maggiore o uguale al rendimento di
qualunque macchina che lavori tra le stesse temperature r nr e l’uguale vale solo se entrambe
sono macchine reversibili. Infine dato che si dimostra che in una trasformazione ciclica reversibile si ha Te Tu
si conclude che quest’ultimo è il valore limite per il rendimento di una macchina Te
Qe Qu
qualunque: Qe
Te Tu
Te
Come lontana conseguenza, dal principio di Carnot, deriva l’opportunità di definire una nuova grandezza funzione di stato, l’entropia, come:
25
dQ
dQ dS Anche dell’entropia ci interessa conoscere solo le variazioni e non i valori assoluti.
T E’ significativo ricordare che l’entropia di un sistema isolato, nel quale avvengano solo trasformazioni reversibili, rimane costante. Se invece nel sistema isolato avvengono, anche parzialmente, trasformazioni irreversibili, l’entropia del sistema aumenta. L’Universo è il sistema isolato per eccellenza ed in esso avvengono solo trasformazioni irreversibili….. Risolvere compiutamente una trasformazione è la via per la risoluzione di qualunque problema di termodinamica. Ciò significa conoscere P,V,T per i punti iniziale e finale della trasformazione e conoscere il lavoro, il calore, la variazione di energia e la variazione di entropia coinvolti nella trasformazione. Per le trasformazioni cicliche è anche richiesto il rendimento.
Per raggiungere questo obbiettivo si utilizza la legge di stato dei gas PV nRT e le seguenti relazioni,
tutte valide per trasformazioni reversibili:Per qualunque trasformazione E n cv T
Isocora ( V 0 ) PV nRT PV nRT P2
T2
1 1 2 2
dV 0 dL 0 dE dQ n cv dT
P1 T1
inoltre
dS dQ
S T
dQ
T
n cv dT
T n cv ln
Tf
Ti
Isobara ( P 0 ) PV nRT PV nRT V2
T2
1 1 2 2 V1 T1
dP 0 dQ n cpdT e
E n cp T P(Vf Vi )
L P (Vf Vi ) quindi dE dQ dL
dQ n cpdT Tf
Inoltre dS T
S T n cp ln
i
Isoterma ( T 0 ) PV nRT PV k
dT 0 dE 0 dL dQ dQ PdV Q L P(Vf Vi )
dQ dQ PdV n R TdV dV Vf
inoltre dS T
S T T
T V n R V
n R ln Vi
Adiabatica ( dQ 0 )
dQ 0 dE dL PdV n cvdT
inoltre dS 0
T Attraverso le precedenti relazioni è anche possibile trovare con facilità il rendimento di una eventuale
trasformazione ciclica: L dL
Qe Qu Te Tu
Ee dQe Qe Te
ELETTROLOGIA ED ELETTROMAGNETISMO
CAMPO ELETTRICO
La forza che si scambiano due corpi carichi puntiformi è data dalla legge di Coulomb: 1 F
4 q1 q2
r 2 dove q1 e q2 sono le quantità di carica, r la distanza ed
una costante che
assume un valore diverso a seconda del mezzo che circonda i corpi carichi. Per il vuoto si usa il simbolo
0 .
T
26
Al fine di disporre di una grandezza che, pur dando conto delle forze elettriche che intercorrono tra i corpi carichi, non dipenda in un punto dello spazio dalla carica eventualmente presente in quel punto, si
definisce la grandezza intensità del campo elettrico:
E
( x, y , z ) F
( x, y , z )
q
l’unità di misura è N
e rappresenta la forza che nel punto dello spazio in questione C
subirebbe l’unità di carica.
Nel caso che a creare il campo sia una carica puntiforme Q si ha: F( x, y , z ) 1 Q q 1 Q E
( x, y , z ) q
4 r 2 q 4 r 2
Si definisce flusso elettrico su una superficie: ( E ) E dS
Il flusso elettrico su una superficie sferica che abbia una carica q al centro è:
1
Q
Q
Q 4 r 2
Q
( E ) E dS 4 r 2 dS
4 r 2 dS 4 r 2
Gauss dimostrò che lo stesso risultato si ottiene qualunque sia la forma della superficie chiusa e qualunque sia la disposizione spaziale delle cariche al suo interno. Il teorema di Gauss afferma quindi
Q che il flusso elettrico su una qualunque superficie chiusa è: ( E )
con Q semplice sommatoria delle
cariche racchiuse dalla superficie. Le cariche esterne non danno contributo al flusso. Il teorema di Gauss è utilissimo per determinare il campo elettrico in ogni punto dello spazio determinato da distribuzioni di cariche che abbiano una simmetria spaziale. Come esempio seguono le funzioni spaziali del campo elettrico determinato da alcune significative distribuzioni di carica:
2
Piano infinito con distribuzione superficiale di carica uniforme
perpendicolare al piano
(C/m ) E( x, y , z ) 2
in direzione
Doppio piano: se le cariche sono di segno diverso all’esterno dei piani il campo è nullo e all’interno vale E
( x, y , z )
se le cariche sono di segno uguale all’interno il campo è nullo e all’esterno vale
E
( x, y, z )
Filo infinito con distribuzione lineare di carica uniforme
perpendicolare al filo
(C/m) E( x, y , z ) 2 r
in direzione
Per una sfera, con distribuzione di carica a simmetria sferica qualunque, il campo all’esterno della sfera è quello che genererebbe una carica puntiforme di ugual valore posta nel centro della sfera: 1 Q E
( x, y , z )
4 r 2
Corpo di qualunque forma purchè conduttore: sui corpi conduttori le cariche si distribuiscono sulla superficie esterna, addensandosi nei punti di maggior curvatura in modo che all’interno del conduttore il campo elettrico sia dovunque nullo ed in modo che il campo all’esterno sia dovunque perpendicolare alla superficie. L’andamento del campo nelle immediate vicinanze della superficie del corpo risulta
perciò assimilabile a quello presente tra due piani infiniti di carica opposta E( x, y, z )
( x, y, z )
dove
( x, y , z ) cambia, per quanto detto, in ogni punto della superficie. A grande distanza dal corpo (la
distanza deve essere grande rispetto alle dimensioni del corpo) il campo assume l’andamento che 1 Q
avrebbe se la carica fosse puntiforme: E( x, y , z ) 4 r 2
Due cariche poste ad una distanza r si scambiano una forza che dipende da r, quindi, possiamo affermare che il sistema delle due cariche possiede un’energia potenziale. Se le cariche sono di ugual
27
r r
L
Ue
r
segno l’energia potenziale elettrica sarà positiva, se di segno opposto, essendo la forza attrattiva, l’energia potenziale, come nel caso gravitazionale sarà negativa. Nel caso di due cariche puntiformi o di due cariche qualunque in cui la distanza sia molto maggiore delle loro dimensioni l’energia potenziale
1 Q q 1 Q q
vale: Ue Fe dr 4
r 2 4 r
Al fine di disporre di una grandezza che, come il campo elettrico, abbia in ogni punto dello spazio un valore dipendente solo dalla posizione del punto rispetto alle cariche generatrici e che in più sia una grandezza di tipo scalare, si definisce il
POTENZIALE ELETTRICO
come l’energia potenziale che nel punto in questione avrebbe l’unità di carica: V Ue
q
( J Volt)
C Il potenziale generato da una carica puntiforme, così come quello generato da una sfera di carica con
distribuzione a simmetria sferica, all’esterno della sfera, è: V(r ) q
1
4
Q q
r q
1 Q
4 r e
Fisicamente significativa è la differenza di potenziale tra due punti: V V V a,b
(a ,b) b a q
Per valutare quindi quanto lavoro compiono le forze del campo per portare una carica di prova q da a a
b: La,b q V(a,b)
RELAZIONE TRA CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE ELETTRICO
Conoscendo il valore del campo elettrico in ogni punto dello spazio è possibile conoscere in ogni punto anche il potenziale:
b b
Le Fe dr E q dr b (a,b)
q q q
V
b
a,b a
a E dr a
per concludere
V(a,b)
E( x, y , z ) dr
a
Viceversa se si conosce in ogni punto dello spazio il potenziale si potrà conoscere dovunque anche il valore del campo elettrico:
Le q
V V V a,b
E r E E
V
(a ,b) b a q q
r
CAPACITA’ E RESISTENZA
Si definisce capacità elettrica di un conduttore la carica necessaria a variare di una unità il potenziale del conduttore:
C Q
V
(C Farad )
V
28
1
Dato che sui corpi conduttori la carica si distribuisce in modo che al suo interno il campo elettrico sia dovunque nullo (altrimenti le cariche si muoverebbero contraddicendo la situazione immaginata statica), il potenziale è uguale in ogni punto del conduttore:
b
V(a,b)
E( x, y , z ) dr 0 a
Nel caso di un conduttore sferico è possibile conoscere il potenziale in
1 Q ogni punto: V con r raggio della sfera.
4 r Q 4 r
La capacità elettrica di una sfera conduttrice è quindi: C Q 4 r e dipende da sole V Q
caratteristiche fisiche intrinseche alla sfera stessa. Due sfere di raggio diverso, quindi di diversa capacità elettrica, caricate con ugual carica avrebbero diverso potenziale, maggiore per la minore e minore per la maggiore. Se caricate allo stesso potenziale avrebbero carica diversa, maggiore per la maggiore, minore per la minore.
Chiamando condensatore piano una coppia di armature di superficie S, poste a distanza d piccola rispetto alle dimensioni, si definisce capacità elettrica del condensatore la carica che varierebbe di
Q Q S S un’unità la differenza di potenziale delle armature: C
V
E d
d
d
che anche in
questo caso dipende da sole caratteristiche fisiche del condensatore. Più condensatori collegati in serie corrispondono ad un unico condensatore con le armature poste a
una distanza pari alla somma delle singole distanze, quindi la capacità totale è: Ct 1 1 1
C1 C2 Cn
Più condensatori collegati in parallelo corrispondono ad un unico condensatore con la superficie delle
armature pari alla somma delle singole superfici, quindi la capacità totale è: Ct C1 C2 Cn
Una stessa differenza di potenziale se applicata a circuiti diversi induce il passaggio di correnti elettriche di valore diverso. Questo perché ogni circuito si oppone in maniera diversa al passaggio della corrente. Questa caratteristica, intrinseca del circuito, viene chiamata resistenza elettrica. Come grandezza fisica la resistenza elettrica di un circuito o la resistenza di un qualunque elemento di circuito viene definita come la differenza di potenziale necessaria a far passare (nel circuito o nell’elemento di circuito) una corrente unitaria:
R V
(V
i A ohm ) 1a legge di Ohm La resistenza di fili metallici vale: R
l
S 2 a legge di Ohm Sebbene ogni elemento di circuito possieda una certa resistenza elettrica, alcuni di questi (resistori) ne hanno una che supera di gran lunga quella degli altri (fili conduttori, induttori, ecc…); di conseguenza si usa immaginare la resistenza concentrata nei resistori e trascurare la resistenza minima degli atri elementi. Più resistori collegati in serie sono attraversati, ovviamente, dalla stessa corrente di conseguenza su ciascuno di loro la differenza di potenziale (applicata tra l’ingresso del primo resistore e l’uscita dell’ultimo) si distribuisce in maniera proporzionale ala resistenza. Se più resistori sono collegati in parallelo vorrà dire che la differenza di potenziale è applicata identicamente d ciascuno di essi, sarà quindi diversa la corrente che li attraversa (tanto più piccola quanto più la resistenza del resistore è grande). La resistenza totale di più resistori collegati in serie e in parallelo si calcola come segue:
R R R R R 1
tS 1 2 n tP 1
1
R1 R2
1
Rn
29
2 g g
r
7 N
r
Per poter risolvere circuiti in corrente continua, trovare cioè il valore della corrente elettrica in ogni ramo del circuito a partire dalla conoscenza della d.d.p. del generatore e della resistenza di ciascun resistore, oltre le leggi di Ohm occorre conoscere le leggi di Kirchoff: La somma algebrica delle correnti in un nodo è sempre uguale a zero (1 a legge di Kirchoff). La somma algebrica delle cadute di potenziale che si incontrano percorrendo interamente una maglia è sempre uguale a zero (2 a legge di Kirchoff).
CAMPO MAGNETICO La forza magnetica che si scambiano due fili percorsi da corrente elettrica è: 0 i1 i2 l
Fm
2 r
dove l è la lunghezza dei fili affacciati parallelamente, r la loro distanza e , detta
permeabilità magnetica, una costante che ha valore diverso a seconda del mezzo che separa i fili. Per il
vuoto il valore della permeabilità magnetica è posto convenzionalmente a 0 4 10 A2
Se un filo lungo l e attraversato da una corrente i subisce una forza di tipo magnetico, si definisce la grandezza fisica campo magnetico come: dFm N
B( x, y, z ) i dl
( Tesla) ciò vale a dire che in un punto dello spazio l’intensità del campo A m
magnetico è data dalla forza agente sull’unità del prodotto corrente per lunghezza. 0 i
Al centro di una spira di raggio r il campo magnetico vale: B 2 r N i
All’interno di un solenoide lungo l, formato da N spire il campo magnetico vale: B 0 l
Se dunque il soggetto e l’oggetto della forza gravitazionale sono le masse, della forza elettrica sono le cariche elettriche, come soggetto e oggetto delle forze magnetiche bisogna intendere le correnti
elettrichemoltiplicate per la lunghezza di esse considerata.
Fm i l B
Fg G
M m
r 2
g Fg
m
G M
r
F m
1 Q q
Fe 1 Q
Fe 4
E q
4 2
Fe q E
i1 i2 l F
m
i F i l F
m 2 r
B i l
B 2 r
m
Passando dal filo attraversato da corrente alla singola carica in movimento la precedente formula diventa:
Forza di Lorentz F q v B nota come forza di Lorentz, dalla quale si deduce che una carica elettrica che si muove
dentro un campo magnetico subisce una forza perpendicolare al campo ed alla velocità. Ciò significa che una carica elettrica lanciata con velocità v, perpendicolarmente ad un campo magnetico
mv uniforme si muoverà di moto circolare uniforme con raggio di curvatura: r
qB
Similmente a quello del campo elettrico si definisce un flusso magnetico: (m) B dS
2
30
2
( B )
( X )
2
Legge di Faraday‐Neumann
In una zona dello spazio in cui il campo magnetico sia variabile nel tempo viene generata una differenza di potenziale elettrica indotta o forza elettromotrice indotta. Pensando cioè alla superficie di un circuito
sulla quale insiste un campo magnetico variabile nel tempo, nel circuito si genererà una dB
fem indotta :
fem dt
legge di Faraday‐Neumann
Nelle centrali elettriche si produce fem indotta a livello industriale facendo ruotare (50 volte al
secondo) delle grosse calamite attorno a grossi solenoidi o viceversa. A seconda del tipo di energia utilizzata per realizzare questa rotazione la centrale assume nome diverso (idroelettrica, termoelettrica, nucleare ecc…)
La fem indotta industrialmente e distribuita nelle case, provenendo da una rotazione, è di tipo
sinusoidale o alternata: f(t ) f0 sen(t ) e in un circuito puramente resistivo ne consegue una
corrente dello stesso tipo i(t ) i0 sen(t ) .
Nei circuiti che contengono invece anche condensatori e induttori (solenoidi caratterizzati dalla
grandezza induttanza L N
S )
i l
Occorre modificare come segue la legge di Ohm:
ieff
feff
Z
dove
ieff
feff
f0 e Z
chiamata impedenza rappresenta il concetto esteso di resistenza opposta da un circuito in tensione
alternata: Z
Ricordando la definizione di flusso su una superficie e di circuitazione lungo una linea valide per un qualunque campo vettoriale: X dS
S
e ( X ) X dr l
segue la sintesi matematica delle caratteristiche dei campi elettrico e magnetico che messe insieme costituiscono quelle che sono chiamate equazioni di Maxwell:
EQUAZIONI DI MAXWELL NEL VUOTO
Caso generale Caso statico
( E )
0
( E )
0
d( B )
( E ) 0 ( E )
( B ) 0
dt
(i
d( E ) )
( B ) 0
( B ) 0i ( B ) 0 0 dt
Formule utili per la risoluzione di problemi di fisica II
Fisica del condensatore Senza dielettrico
C dq
S
q
V E d
0 dV d
0
E0 0 S 0
Con dielettrico C C S
E E
0
V V
0 E
0 d E d
d 0 r d 0 r r d r
r 0 r r r
2
R2 (L C
1 )2
i0
Q
Q
0 0
31
1 p
0 i B
1 2 1 q i
Polarizzazione q P
S 1 P 0 Er 0 E0
r
1
E
0 0
E0 Ep Er
Momento di dipolo elettrico e magnetico, momento torcente, lavoro necessario
N i S
d q 2a q
B
p
E p
dL F dr d
L F dr d B sen d 0
n i S B sen d U
Campo E e B generato da una carica o da una corrente qualunque 1 dq
1 dq dE
40 r
E 40
r2
0 i dl r 0 i dl sen
0 i dl sen
dB 4 r3 4 r2
B 4 r 2
Legge di Gauss e legge di Ampere
qint
i ( E ) E dS
0
( B ) B dl 0 int
In
presenza
di di
elet
trico‐p
olarizzazione P
E E E D P E ' E
0 p 0 0
Legge di Gauss per il vettore spostamento elettrico
( D ) D dS qint
Campi magnetici
Centro di una spira:
B
Filo infinito:
0 i
Dentro un solenoide:
2 r N B 0 i n 0 i
l
2 d
Energia nel campo elettrico e magnetico: 2
U CV
1 qV
U 1 L i2
1
1 2
2 2 C 2 2 2 2 L
U
Vvol
1
2 0 E 2
U
Vvol
1 B2
2 0
U 1
2 0 E 2 dV
1 B2
U 2 0
dVvol vol
r
2
32
1
LC 2L (
R
Energia dissipata per effetto Joule: dL V 2
2
P V i R i dT R
L dL P dt R i2dt
Transienti
Carica di un condensatore (RC) Scarica di un condensatore (RC)
i i
t e
V 0 e t RC i i
t
e V 0 e
t RC
(t ) 0 R
t
t
(t ) 0 R
t
t
q(t ) q0 (1 e ) CV0 (1 e RC )
t
q(t ) q0 e CV0 e RC
t
V(t ) V0 (1 e RC ) V(t ) V0 e RC
V(t ) V t V(t ) V
t
E(t ) 0 (1 e d d
RC ) E(t ) 0 e RC
d d
Carica di un induttore (solenoide) (RL) Scarica di un induttore (solenoide) (RL)
t
V
Rt
t
V Rt
i i (1 e ) 0 .(1 e L ) i i e 0 .e L
(t ) 0 R
Rt
Rt
(t ) 0 R
Rt
Rt
V(t ) V0 R i V0 V0 .(1 e L ) V0 e L V(t ) V0 R i V0 V0 .e L V0 (1 e L )
B n i n V 0 .(1 e
Rt L ) B n i n
V 0 .e Rt L
(t ) 0 0 R (t ) 0 0 R
RLC: q(t ) q0 e
Rt
2 L cos(t) )2
d
cost 2
dt T 2 d dt dt
OTTICA
Ottica Geometrica
Legge della riflessione
i = r (con i ed r angolo di incidenza e angolo di riflessione)
Legge della rifrazione seni
senr cos t (con i ed r angolo di incidenza ed angolo rifratto)
seni Se il raggio di luce passa dal mezzo A al mezzo B
primo mezzo rispetto al secondo)
senr n
AB
(dove n si chiama indice di rifrazione del
Dato che la luce passando dal secondo mezzo al primo ripercorrerebbe il cammino esattamente a ritroso
vale ovviamente: nAB n
BA
1
33
Conseguenza del fatto che il raggio di luce passando da un mezzo più trasparente (meno rifrangente) ad uno meno trasparente (più rifrangente) devia avvicinandosi alla perpendicolare, è che l’indice di
rifrazione nAB risulterà maggiore dell’unità.
Nel caso contrario nAB risulterà minore dell’unità.
Si dice indice di rifrazione assoluto ( nA , nB ) quello che ogni materiale ha nei confronti del vuoto e vale nB
nAB ; quello del vuoto vale naturalmente 1 e dato che il vuoto risulta essere il mezzo più
A
trasparente (meno rifrangente), tutti gli altri mezzi hanno indice di rifrazione assoluto minore dell’unità. Il valore dell’angolo limite , che è l’angolo per il quale, un raggio di luce proveniente da un mezzo più
rifrangente sfiora (orizzontalmente) la superficie di separazione sen
n
sen90 AB
sen
1 sen , è
dato di conseguenza da arcsen (nAB ) ; ovviamente per mezzo A si intende quello più rifrangente
da cui il raggio di luce sta provenendo.
Specchi e lenti
La legge relativa alla costruzione delle immagini da parte di uno specchio curvo è:
f=r/2
1
1
1 con
p q f
Dove r è il raggio dello specchio, f la distanza focale, p la distanza dallo specchio dell’oggetto e q la distanza dallo specchio dell’immagine, sia essa reale o virtuale. E’ solo necessario porre grande attenzione ai segni da dare a p,q,f.
G q
p
dà il rapporto tra la dimensione dell’immagine e quella dell’oggetto, vale a dire
l’ingrandimento.
Per le lenti vale la stessa legge:
alle grandezze p,q,f.
1
1
1 a condizione di porre ancor più attenzione al segno da dare
p q f
Ricordare che, nel caso di lenti convergenti con l’immagine dalla parte opposta della lente rispetto al corpo, p q ed f sono positivi. L’inverso della distanza focale, nel caso delle lenti, si chiama potere diottrico.
n
34
2
Ottica Fisica
Legge del Moto armonico:
generale:
y(t ) y0 cos(t 0 ) , questa vale per un moto armonico verticale, più in
r(t ) r0 cos(t 0 ) . Il coseno può essere tranquillamente sostituito col seno.
Derivando una volta e poi ancora si ottengono le formule della velocità e dell’accelerazione: v r sen(t ) ; a 2r cos(t ) 2r
(t ) 0 0 (t ) 0 0 (t )
Ricordare che 2 f T
2quindi: T
e
2Se il moto armonico è smorzato per la presenza di una forza d’attrito proporzionale alla velocità
(F a bv) con b coefficiente di resistenza la legge del moto è: r(t ) r0e
b t
2m cos(t 0 )
Onde armoniche:
Un onda armonica è generata da un punto che si muova di moto armonico e comunichi tale moto ai punti con cui è in contatto. Ciò significa che ogni punto del mezzo investito dall’onda si muoverà nel tempo di un moto armonico identico al punto di origine, inoltre fotografando l’onda, vale a dire osservandola in un determinato istante, la posizione dei punti disegnerà una funzione sinusoidale (o cosinusoidale).
Ipotizzando che il moto armonico del punto d’origine sia verticale ' x
y(t ) y0 cos(t 0 ) e che l’onda
si propaghi orizzontalmente con velocità v ( t ) : v
y(t ) y
0 cos
2 (t t ' ) y
T (t ) y
0 cos
2 (t
x ) e chiamando vT
T v
y y cos 2 ( t
x ) y y cos(
2 t
2 x )
(t ) 0
T (t ) 0 T Da questa funzione di x e t ( y f (x, t) ) si vede che per un dato valore di x : y(t ) y0 cos(t t )
che rappresenta il moto armonico verticale di un qualunque punto (x). Se si fissa invece il tempo si 2
ottiene: y( x ) y0 cos(
x x ) che rappresenta il disegno nella dimensione x dell’onda.
Derivando rispetto al tempo l’equazione relativa ad un dato valore di x si ottiene la velocità trasversale
dei punti soggetti a moto ondoso: v(t ) y0 sen(t 0 )
Da ricordare che l’energia che l’onda trasporta è in ogni punto dello spazio (in realtà in ogni piccolissimo E 2
volume) proporzionale al quadrato dell’ampiezza dell’onda in quel punto Vol
y0
Interferenza
Se in uno spazio sono presenti contemporaneamente due onde armoniche, di uguale ampiezza e
frequenza y1 y0 cost e y2 y0 cos(t 0 ) (per x dato) in ogni punto l’ampiezza dell’onda
sarà y y1 y2 2 y0 cos
0 cos(t 2
) che è ancora un’onda armonica.
2
L’equazione generale sarà: y 2 y0 cos
0 cos(kx t
2
0 ) 2
Un’esperienza di interferenza si ha con l’esperimento di Young, che fece passare della luce attraverso due sottili fenditure vicine. Al di là delle fenditure la luce proveniente da esse interferisce e crea su uno schermo dei massimi e dei minimi alternati.
0
f
35
La posizione angolare dei massimi (essendo l’angolo formato con la perpendicolare allo schermo dalla
linea che parte dal centro delle fenditure e va al massimo) è: sen k d
con k=0,1,2…, la
lunghezza d’onda della luce e d la distanza tra le fenditure. 2k 1
La posizione angolare dei minimi è invece: sen 2 d
y Dato che la prima frangia luminosa si trova a circa sen se y è la distanza della prima frangia
L
luminosa da quella centrale ed L la distanza tra fenditure e schermo, sostituendo si ha d y
e
L questo è un modo di misurare indirettamente la lunghezza d’onda della luce.
Diffrazione
Quando la luce passa attraverso una fenditura dalle dimensioni paragonabili alla sua lunghezza d’onda, il fascio subisce un allargamento. A distanza L se la dimensione della fenditura è d la larghezza dL del fascio è:
d d L
L d
36
FISICA ATOMICA
Fisica del Corpo Nero Si chiama “Corpo Nero” un corpo che assorbe tutte le radiazioni elettromagnetiche che lo colpiscono. In questo modo si comporta con buona approssimazione un corpo di colore nero. Un Corpo Nero oltre ad assorbire tutte le radiazioni incidenti, emette esso stesso radiazioni di tutte le lunghezze d’onda (o frequenza) e la quantità di energia al secondo (intensità di irraggiamento) emessa
in tal modo è proporzionale alla quarta potenza della temperatura E
k T 4
t
. Questa
proporzionalità vale con buona approssimazione per qualunque corpo (anche quello umano). L’intensità di emissione (o irraggiamento) è diversa alle varie lunghezze d’onda, ciò che è proporzionale
a T 4 è la somma dell’energia emessa a tutte le frequenze.
Le curve della figura seguente furono ricavate prima sperimentalmente e ciascuna curva rappresenta l’intensità di irraggiamento, ad una data temperatura, al variare della lunghezza d’onda. Come si vede, mano a mano che la temperatura cresce, la lunghezza d’onda corrispondente alla massima intensità di irraggiamento diventa sempre più piccola (la frequenza ovviamente aumenta).
Questo significa che i corpi a temperature basse emettono massimamente nell’infrarosso, ma al crescere della temperatura emettono maggiormente nel visibile e infine nell’ultravioletto. Il Sole (T=5740 k) emette per lo più nel visibile, i corpi più caldi emettono nell’ultravioletto, quelli da 3000 k in giù emettono per lo più nell’infrarosso. La lunghezza d’onda di massima emissione si ottiene dalla legge di spostamento di Wien:
max
2.9 103 m K
T Si ha, quindi, emissione nel visibile ( 0.75m
) a temperature superiori
ai 1000 K.
Quantizzazione dell’energia.
Plank spiegò le inconsistenze tra teoria elettromagnetica ed evidenze sperimentali della curva di emissione ipotizzando che lo scambio energetico tra gli atomi del corpo nero e la radiazione avviene attraverso “pacchetti di energia” o quanti.
Ogni quanto consiste di un’energia proporzionale alla frequenza dell’onda elettromagnetica: E hcon h chiamata costante di Plank e pari a h 6.62607 10
34 J s
e la frequenza della radiazione ( 1
) T c
L’energia scambiata risulta di conseguenza quantizzata essendo pari a: E n h con n numero intero.
37
c2 p
2 m
2c
4
1 ( v
)2
c hc
Fotoni e quantizzazione della quantità di moto
Einstein generalizzò l’ipotesi di Plank affermando che ad essere quantizzato non è solo lo scambio di energia, ma la stessa radiazione elettromagnetica, che risulta così costituita da granelli di energia chiamati fotoni.
E h l’energia di ciascun fotone è proporzionale alla frequenza della radiazione, così che un fotone di radiazione infrarossa è meno energetico di un fotone di luce visibile, che è meno energetico di un fotone X ecc.. L’energia risulta perciò quantizzata potendo assumere solo valori multipli di un valore determinato dalla
frequenza: E n hDalla teoria della relatività di Einstein si evince che ad essere quantizzata non è solo l’energia, lo è anche la quantità di moto, infatti tra l’energia E e la quantità di moto p di un corpo di massa m esiste la
relazione: E . E h
Di conseguenza per un fotone che ha massa nulla vale: p la quantità di moto del fotone c c
risulta, quindi, proporzionale alla frequenza della radiazione e una radiazione elettromagnetica può h
avere solo quantità di moto pari a:
Effetto Compton
p n c
Compton inviò un fascio di raggi X, di lunghezza d’onda contro un bersaglio di grafite che ben simulava una nuvola di elettroni liberi. Rilevando i raggi X a monte dell’impatto si accorse che la loro lunghezza d’onda cambiava con l’angolo di deviazione secondo la legge:
h
(1 cos ) mc
dove m è la massa dell’elettrone, h la costante di Plank, c la velocità della luce. La teoria classica dell’elettromagnetismo non spiegava questo comportamento, prevedendo invece che l’onda elettromagnetica assorbita dagli elettroni, che per questo dovessero oscillare alla stessa frequenza, doveva poi essere riemessa con la stessa frequenza. Non era, cioè, prevedibile alcuna variazione di lunghezza d’onda. Compton dimostrò, utilizzando la teoria di Einstein sull’esistenza dei fotoni, che la formula era deducibile immaginando l’urto tra fotoni ed elettroni come un urto tra particelle relativistiche.
Dimostrazione di Compton: L’energia degli elettroni prima (fermi) e dopo l’urto (in moto con velocità v) secondo la relatività ristretta
è: Eep mc2 , E mc
2 dove
1
L’energia prima e dopo l’urto dei fotoni è: Efp h
, Efd h
hc
' quindi per la conservazione dell’energia possiamo scrivere l’uguaglianza (1):
mc2 hc
mc2 hc
' Per quanto riguarda la quantità di moto, quella degli elettroni prima dell’urto è nulla dato che sono
fermi, quella dei fotoni (per quanto detto nel paragrafo precedente) vale: p h
h
c
ed
'
38
1 1
Dopo l’urto le rispettive quantità di moto sono: pe mv , pf
h '
h
c '
Va però considerato, per la conservazione della quantità di moto che la somma delle componenti orizzontali delle quantità di moto dopo l’urto deve corrispondere alla quantità di moto iniziale dei fotoni, mentre la somma delle componenti ortogonali deve essere nulla. Possiamo quindi scrivere le uguaglianze (2) e (3): h mv cos
h
' cos ,
h sen mvsen 0
'
Dove e sono evidentemente l’angolo di deviazione del fotone e quello dell’elettrone.
Risolvendo il sistema formato dalle uguaglianze (1), (2) e (3) si ottiene la formula ottenuta
sperimentalmente da Compton.
Spettri atomici e atomo di Bohr
Nel 1885 Balmer rilevò empiricamente che le righe spettrali nel visibile emesse dall’idrogeno atomico erano date dalla formula: 1 1 7 ‐1
c Rh ( 4
n2 ) con c velocità della luce nel vuoto, Rh una costante pari a Rh 1.097 10 m
ed n un numero intero maggiore di 2. Al progredire delle tecniche spettroscopiche si scoprirono altre righe di emissione nell’infrarosso e nell’ultravioletto e tutte avevano una frequenza determinabile dalla formula:
c Rh ( m2
n2
) dove m ed n sono numeri interi con m n
Non c’era spiegazione alla emissione di questi spettri da parte degli atomi; ci si sarebbe aspettati un’emissione continua cioè di radiazione di ogni frequenza. L’ipotesi di Rutherford che gli atomi fossero costituiti da un denso e massivo nucleo contenente le cariche positive, circondato da elettroni di piccola massa e carichi negativamente, non chiarì l’enigma.
39
2 0 me rn
e
e
0
Due anni dopo però (1913) Bohr (guidato dal valore dell’energia dei fotoni emessi alle varie frequenze dello spettro) ipotizzò che gli elettroni ruotassero attorno al nucleo solo su alcune orbite permesse (“stazionarie”) alle quali corrispondessero energie ben definite. Gli elettroni avrebbero potuto saltare da un’orbita permessa ad un’altra (eccitazione) ma non circolare su orbite intermedie. (Tale limitazione non esiste nella gravitazione: un satellite può ruotare a qualunque distanza dal corpo centrale). Per saltare da un’orbita all’altra l’elettrone avrebbe dovuto assorbire il deficit di energia che separa i due stati, ma essendo tale situazione instabile prima o poi l’elettrone sarebbe tornato all’orbita più interna di provenienza. Tornando ad uno stato (livello) energetico inferiore l’elettrone si sarebbe dovuto liberare dell’energia eccedente emettendo un fotone della stessa energia. I fotoni emessi da un atomo non potevano dunque avere una energia (o frequenza) qualunque ma solo quella corrispondente ai vari salti possibili agli elettroni di quell’atomo. I raggi di queste orbite “permesse” erano calcolabili ipotizzando che la circuitazione della quantità di moto fosse quantizzata: nh
nh 2 r p nh r n
h vale a dire r n
h con n
p p dr
n n 2 p
2 mV
numero intero. Calcolando la velocità dall’uguagliare la forza centripeta a quella coulombiana si ottiene
V e
che sostituita nella formula precedente porta a:
h2
r n2 0 =(5.29 10‐11m) n2 Dai valori possibili del raggio delle orbite si giunge facilmente n m e2
all’energia dei vari livelli o orbite: E
m e4 1
13.6eV
n 8 h2 n2 n2
Nell’ipotesi che un elettrone eccitato tornasse al proprio naturale livello emettendo l’energia d’avanzo
come fotone: E E( n1) E( n 2) la frequenza di tale fotone sarebbe dunque:
E
E(n1) E(n 2) me4
1
1
h h 8 2 3 (
2 2 )
e questa a ben guardare è la formula, già ottenuta per via
0 h n2 n1
sperimentale, dello spettro dell’idrogeno. La teoria di Bohr dava così finalmente spiegazione degli spettri di emissione che fino ad allora erano stati fenomeno del tutto incomprensibile.
Decadimento radioattivo
I nuclei delle sostanze radioattive, essendo instabili, si alleggeriscono decadendo in più modi. Il nucleo di partenza si chiama padre quello finale figlio. Nel decadimento alfa viene espulso un nucleo di elio. Il nucleo figlio avrà, quindi, massa atomica diminuita di 4 e numero atomico diminuito di 2, rispetto al padre.
Nel decadimento viene espulso un elettrone. La massa atomica, quindi, non cambia ma il numero
atomico aumenta di 1 (Un neutrone si trasforma in un protone + un elettrone + un neutrino).
40
(t ) 0
In entrambi i precedenti decadimenti può accadere che lo stato del nucleo figlio sia eccitato e che si riassesti in uno stato fondamentale emettendo un fotone . Le espulsioni o decadimenti avvengono in modo del tutto casuale e non si può prevedere quando un atomo decadrà; c’è di certo che il numero di decadimenti è proporzionale al numero di nuclei radioattivi presenti ed al tempo (più tempo passa più atomi finiscono per decadere).
Questo si esprime matematicamente nel modo seguente: N N t ; N
t N
Dato poi che la rapidità di decadimento è una caratteristica che varia da specie atomica a specie atomica N
potremo scrivere: kt N
dove il segno meno ricorda che si tratta di una diminuzione.
dN Portando al limite (per variazioni infinitesime) questa uguaglianza:
dt kN e ricordando che la
derivata di una funzione è proporzionale alla funzione stessa nel caso di una equazione esponenziale, ne
deriva: N N ekt ( N0 numeri di atomi al tempo zero)
Si dimostra che la vita media ( ) degli atomi presenti in un certo istante in un preparato è: 1
, k
t
quindi il numero di atomi radioattivi al tempo t sarà: N(t ) N0e
Il numero di atomi, in particolare, si riduce alla metà, di quelli presenti all’inizio, in un tempo (T1/2)
N T
1/ 2
T1/ 2 T calcolabile come segue: 0 N e e 2 1/ 2 ln 2 T ln 2 0.693 .
2 0
1/ 2
Vale a dire che il tempo di dimezzamento degli atomi radioattivi è ln2 volte la vita media.
Qualora si conoscesse il tempo di dimezzamento di una specie chimica, si potrebbe esprimere il numero t
residuo di atomi radioattivi come: N
T1/ 2
N e ln 2 N t ln 2
N e T1/ 2 . (t ) 0 (t ) 0
t ln 2 ( t
)ln 2 t
Da cui dato che ealn x
xa si arriva a: N N e T1/ 2 N e T1 / 2 e infine a: N N 2T1 / 2
(t ) 0 0 (t ) 0
come si può verificare dando al tempo valori come T1/ 2 , 2 T1/ 2 , 3 T1/ 2 ecc…
