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Fondamenti di Astrofisica

Lezione 6

AA 2010/2011

Alessandro Marconi

Dipartimento di Fisica e Astronomia

A. Marconi Fondamenti di Astrofisica (2010/2011)

Il diagramma di Hertzsprung-RusselNelle lezioni precedenti abbiamo visto come stimare L, T, R, M delle stelle.

Adesso cercheremo di capire la struttura fisica delle stelle a partire dalle relazioni osservate tra queste quantità.

Ejnar Hertzsprung (1911) e Henry Norris Russel (1913) ottengono indipendentemente una diagramma LV-T ovvero luminosità V (nella banda 5100-5900Å) - classificazione spettrale (da cui la Temperatura superficiale) per le stelle.

Quello riportato in figura è il diagramma HR (Hertzsprung-Russel) per le stelle nei dintorni del Sole:

l’asse Y è la magnitudine assoluta in banda V, una grandezza legata al logaritmo della luminosità in banda V [ M(V) = -2.5 log LV +cost. ]l’asse X è il colore B-V = M(B)-M(V) ovvero una grandezza proporzionale al logaritmo del rapporto tra le luminosità [ B-V = 2.5 log (LV/LB)+cost. ];come sappiamo questa grandezza è a sua volta legata alla temperatura

per motivi storici, in figura T (temperatura superficiale, indicata anche come Teff o Te, temperatura efficace o del corpo nero equivalente) cresce verso destra.

2

Il diagramma HR8 Chapter 1: Introduction

Figure 1.1 The color-magnitude diagram for over 104 nearby stars. Close binary stars have been excluded, since the companion contaminates the color and magnitude measure-ments. Most of the stars fall on the main sequence, which runs from upper left to lower right. The red-giant branch runs upward and to the right from the main sequence. The red-clump stars form a prominent concentration in the middle of the red-giant branch. The giants are chosen from a larger volume than the other stars to enhance their numbers and thereby show the structure of the giant branch more clearly. The absolute magnitudes are in the V band and the colors are based on B ! V , which gives the ratio of fluxes between ! = 450 nm and 550 nm (BM Table 2.1). The right axis shows the V -band luminosity in solar units, and the top axis shows approximate values of the e!ective temperature, which follows from the color and luminosity because the stars are approximate black bodies. From Perryman et al. (1995).

are visible mainly from the radiation they emit as they contract and cool. The luminosity of these objects, known as brown dwarfs, therefore depends on both mass and age and they do not form a one-parameter sequence like their more massive siblings.

The massive, high-luminosity stars at the upper end of the main se-quence exhaust their fuel rapidly and hence are short-lived (< 100 Myr for !stars with MV = "2), while stars at the lower end of the main sequence

Diagramma HR per circa ~104 stelle vicine(distanze da parallasse con il satellite Hipparcos)

Il diagramma HR


Il diagramma HRLe superfici delle stelle si possono approssimare come corpi neri di temperatura T allora

Tutte le stelle sono in parti ben definite del diagramma:80-90% delle stelle sono nella striscia diagonale detta Sequenza Principale (Main Sequence, MS) che corrisponde ad una relazione

data la relazione di corpo nero sulla MS r★ ~ T2 ovvero stelle più calde sono più grandi. Il Sole è una stella di MS.Stelle più fredde hanno T~ 0.5 T⊙ ovvero r ~ 1/4 r⊙; Stelle più calde hanno T~ 5 T⊙ ovvero r ~ 25 r⊙.

L = 4πr2� σT4�

nel diagramma HR in figura si ha logL vs logT ovvero

logL = [log(4πσ) + 2 log r�] + 4 log T

cioè le linee a raggio stellare costante sono delle rette con pendenza 4.

5

L ∼ T 8e (Sequenza Principale)


Il diagramma HREsistono altri luoghi occupati nel diagramma HR.

In alto a destra rispetto alla MS esiste una concentrazione di stelle fredde (più rosse) dette Giganti Rosse;L alcuni ordini di grandezza più grande rispetto alle stelle di MS con la stessa T; per L = 4πr2 σT4 queste stelle devono avere raggi più grandi fino a 100 r⊙ ~ 1 AU.Nella parte bassa del diagramma c’è una sequenza di punti corrispondente alle stelle Nane Bianche;L alcuni ordini di grandezza più piccola rispetto alle stelle di MS con la stessa queste stelle hanno raggi ~ 10-2 r⊙ ~ 104 km.

Inizialmente fu ipotizzato che la MS fosse una sequenza di raffreddamento da cui il nome Early Types per O-B e Late Types per F-G-K-M.Quando le masse divennero disponibili ci si rese conto che alte T corrispondevano a alte M e viceversa.

Sulla MS si ha M ~ 0.1 - 100 M⊙ e la relazione L-M è L ~ Mα con α≈3 per M > M⊙ e α≈5 per stelle meno massicce;Le nane bianche hanno masse ~M⊙ ma sempre < 1.4 M⊙.

6

Relazione Massa Luminosità


Il diagramma HRCome vedremo più in dettaglio una stella passa gran parte della sua vita sulla MS dove la sua collocazione dipende da M;in questa fase le stelle bruciano H nei nuclei (ovvero sono alimentate da reazioni di fusione nucleare che convertono H in He).Quando H nel nucleo è terminato si passa ad una breve fase in cui si brucia He in strati esterni al nucleo (fase di gigante rossa).Stelle con M < 8 M⊙ durante la fase di gigante rossa riescono a espellere gran parte degli strati esterni e diventano infine nane bianche.Le nane bianche non sono alimentate da reazioni nucleari ma irraggiano l’energia residua fino a spegnersi come nane nere.Stelle con M > 8 M⊙ dopo essere passate da fase di gigante (super giganti dato L) vanno incontro a processo inarrestabile di collasso del nucleo che le porta a esplodere come Supernovae.Le Supernovae lasciano come resto stelle di neutroni o buchi neri.Le Stelle di neutroni sono più calde e compatte delle nane bianche; hanno r di alcuni km e M ~ M⊙. Inoltre sono ~10-2 volte meno luminose delle nane bianche e non compaiono nel diagramma HR.

8

Classi di Luminosità

Ia Supergiganti brillanti

Ib Supergiganti

II Giganti brillanti

III Giganti

IV Sub-giganti

V Sequenza principale

A parte la classificazione spettrale (es. G2) le stelle sono anche divise in classi di luminosità (I - V) in base alla loro collocazione nel diagramma HR. Il Sole è quindi una stella G2V (V sta per nana).


Una stella è una sfera di gas tenuta insieme dall’auto gravità ed il cui collasso è impedito dalla presenza di gradienti di pressione. Con ottima approssimazione una stella è un sistema a simmetria sferica, ovvero le grandezze fisiche sono funzione soltanto della distanza r dal centro della stella.

Prima di procedere vediamo alcuni cenni di teoria del campo gravitazionale.Il campo gravitazionale in P generato da una massa puntiforme in P’ è

La struttura stellare

10

φ(�x) = − GM

|�x− �x�|

pertanto il campo generato da una distribuzione di massa è

φ(�x) = −−G

�

V

ρ(�x�)dV

|�x− �x�|dV = d3�x� dM = ρ(�x�)dV


La struttura stellareVediamo ora di ottenere l’energia gravitazionale. Data una distribuzione di massa l’elemento di massa in i è soggetto al campo gravitazionale generato dall’elemento di massa in j ovvero l’energia gravitazionale associata sarà

dove ϕj(xi) è il potenziale gravitazionale generato dalla massa j in i ed il fattore 1/2 è necessario per non contare due volte l’energia gravitazionale dell’interazione ij ovvero ΔWij e ΔWji sono la stessa cosa e devono contribuire una sola volta a W.Infine, passando al limite per elementi di volume infinitesimi

11

∆Wij = ∆mi φj(�xi) = ρ(�xi)φj(�xi)∆Vi W =1

2

�

i �=j

ρ(�xi)φj(�xi)∆Vi

W =1

2

�

Vρ(�x)φ(�x) dV

che esprime l’energia potenziale di una distribuzione di massa.


W =1

2

�

Vd3�x ρ(�x)

�−�

V

Gρ(�x�)d3�x�

|�x− �x�|

�

La struttura stellaresostituiamo ora l’espressione del potenziale in W

12

= −1

2G

�

Vd3�x

�

Vd3�x� ρ(�x)ρ(�x

�)

|�x− �x�|3 |�x− �x�|2

1

2|�x− �x�|2 =

1

2

�

i

(xi − x�i)(xi − x�

i)

=1

2

�

i

xi(xi − x�i)−

1

2

�

j

x�j(xj − x�

j)

=1

2

�

i

xi(xi − x�i) +

1

2

�

j

x�j(x

�j − xj)


La struttura stellarema siccome nell’integrale le variabili x e x’ sono perfettamente interscambiabili allora posso scrivere (sempre e solo ai fini dell’integrale)

13

W = −G

�

Vd3�x

�

Vd3�x� ρ(�x)ρ(�x

�)

|�x− �x�|3 �x · (�x− �x�)

ma l’espressione tra le parentesi quadre è quella del campo gravitazionale generato dalla stessa distribuzione di massa

�g(�x) = −�

V

Gρ(�x�)d3�x�

|�x− �x�|3 (�x− �x�)

1

2|�x− �x�|2 =

�

i

xi(xi − x�i) = �x · (�x− �x�)

ovvero

W =

�

Vd3�x ρ(�x)�x ·

�−�

Vd3�x� Gρ(�x�)

|�x− �x�|3 (�x− �x�)

�


per cui si ottiene un’altra espressione per l’energia potenziale gravitazionale

Per calcolare W si può adesso utilizzare una proprietà notevole della forza gravitazionale ovvero il teorema di Gauss secondo cui, data una superficie chiusa S, si ha

dove n è la normale all’elemento di superficie dS, ed M è la massa contenuta all’interno di S. Questo teorema è l’analogo di quello che sarà visto nel corso di Fisica II per il campo elettrostatico.

Introduzione alla struttura stellare

14

�

S�g · �ndS = −4πGM

W =

�

Vρ(�x) �x · �g dV


Introduzione alla struttura stellareCon una distribuzione sferica di massa M(r), se S è superficie sferica di raggio r si ha

ovvero

pertanto g a distanza r dal centro dipende soltanto nella massa contenuta all'interno della sfera di raggio r ed è la stessa che si avrebbe se questa massa fosse concentrata nel centro della sfera stessa. Allora l’energia potenziale di una distribuzione sferica di massa è

15

�g = g(r)�ur �n = �ur

−4πGM(r) =

�

S�g · �ndS =

�

Sg(r) dS = g(r)

�

SdS = g(r) 4πr2

g(r) = −GM(r)

r2

W =

�

Vρ(�x)�x · �g dV =

�

Vρ(r) r�ur ·

�−GM(r)

r2

��ur dV

W = −�

V

GM(r)

rρ(r) dV


Il tempo di free fallVedremo come questa relazione sarà utile tra poco, ma per adesso consideriamo solo la massa dm contenuta nell’elemento di volume dV a distanza r0 dal centro (shell sferica), la sua energia potenziale gravitazionale è

16

dW = −GM(r0)

r0dm

dm = ρ(r0)dV

Supponiamo che questo elemento di massa sia in caduta libera allora dalla conservazione dell’energia meccanica, al raggio r si avrà

1

2dm

�dr

dt

�2

− GM(r)

rdm =

1

2dm

�dr

dt

�2

r=r0

− GM(r0)

r0dm

Se tutta la massa è in caduta libera partendo da ferma si ha M(r) = M(r0) e dr/dt = 0 per r = r0.

r0


Il tempo di free fallSi ottiene

17

1

2

�dr

dt

�2

=GM(r0)

r− GM(r0)

r0

dr

dt= −

�

2GM(r0)

�1

r− 1

r0

�

il segno “-” è stato scelto dal fatto che il gas deve “cadere” verso il centro ( r=0 ) per cui dr/dt < 0.Separando le variabili ed integrando membro a membro si ottiene il tempo che la distribuzione di massa impiega a collassare nel centro

� τff

0dt = −

� 0

r0

�2GM(r0)

�1

r− 1

r0

��−1/2

dr


Il tempo di free fallPonendo x = r/r0, dr = r0 dx si ottiene infine

18

τff =

�2GM(r0)

r30

�−1/2 � 1

0

�x

1− x

�1/2

dx

l’integrale definito ci calcola ponendo

x = sin2 θ dx = 2 sin θ cos θdθ� 1

0

�x

1− x

�1/2

dx =

� π/2

0

�sin2 θ

cos2 θ

�1/2

2 sin θ cos θdθ

=

� π/2

02 sin2 θdθ =

π

2

Definendo la densità mediaρ̄ =

M(r0)43πr

30


Il tempo di free fallsi può esprimere M(r0)/r03 in funzione di ρ ottenendo alla fine

19

τff =

�3π

32Gρ̄

�1/2

nel caso del Sole

τff⊙ =

�3π

32× 6.7× 10−8 cgs × 1.4 g cm−3

�1/2

= 1800 s

quindi, in assenza di supporto, il Sole collasserebbe nell’arco di mezz’ora.Questo non avviene perchè il Sole è in equilibrio idrostatico.


L’equilibrio idrostaticoNel caso di equilibrio idrostatico, si è visto nel corso di Fluidi che

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�∇P = ρ�g

dove P è la pressione del gas, ρ la densità e g l’accelerazione di gravità (il campo gravitazionale).Nel caso semplificato di simmetria sferica che si applica alle stelle, solo la componente radiale di quella equazione vettoriale non è identicamente nulla per cui si ha

dP (r)

dr= −GM(r)

r2ρ(r)

questa è l’equazione dell’equilibrio idrostatico ed è la prima equazione utilizzata per determinare la struttura delle stelle.Si noti come il gradiente di pressione è negativo, poichè la pressione deve aumentare verso l’interno per bilanciare la forza di gravità che tenderebbe a far collassare gli strati esterni.


Il teorema del virialeDall’equazione dell’equilibrio idrostatico è possibile imparare molte cose.Moltiplicando membro a membro per 4π r3 dr ed integrando tra r =0 e r =r★

21

� r�

04πr3

dP

drdr = −

� r�

0

GM(r)ρ(r)

r4πr2dr

ricordando che l’elemento di volume è dV = 4πr2dr e l’espressione per l’energia potenziale gravitazionale W, si nota come il secondo membro è proprio pari a W.Integrando il primo membro per parti si ottiene

� r�

04πr3

dP

drdr = 3

�4

3πr3�P (r�)−

� r�

0P4πr2dr

�

ma P(r★)=0 poichè è la pressione alla superficie della stelle, inoltre

definendo la pressione media

P̄ =

� r�0 PdV� r�0 dV

=

� r�0 PdV

V


Il teorema del virialesi ottiene

22

� r�

04πr3

dP

drdr = −3P̄ V

quindi integrando l’equazione dell’equilibrio idrostatico si è giunti alla relazione

−3P̄ V = W

che rappresenta una delle molte forme del Teorema del Viriale che, in generale, si applica ai sistemi legati gravitazionalmente.Supponiamo che il gas sia ideale, non relativistico (v≪c) e composto di particelle uguali, allora

dove ΔV è un volume di gas, P pressione, T temperatura e Δn il numero di moli. Ricordando che n = N/NA (NA numero Avogadro) e R/NA = k (k costante di Boltzmann) si ha

P∆V = ∆nRT

P∆V = ∆N kT


Il teorema del virialeL’energia cinetica per particella dovuta all’agitazione termica è 3/2 kT (gas perfetto monoatomico) per cui l’energia totale in ΔV è

23

∆Eth = 3/2∆N kT

ovvero

P =2

3

∆Eth

∆V=

2

3Eth

cioè per un gas ideale non relativistico la pressione è 2/3 della densità di energia termica. Questa relazione vale in ogni punto della stella, dove posso definire pressione e temperatura (equilibrio termodinamico locale).Moltiplicando membro a membro per dV = 4π r2 dr e integrando sul volume della stella otteniamo

� r�

04πr2P (r)dr =

2

3

� r�

0EthdV


Il teorema del virialeovvero nella notazione di prima

24

P̄ V =2

3ETOT

th

dove EthTOT è l’energia termica totale immagazzinata nella stella. Sostituendo nel teorema del viriale si ottiene infine

ETOT

th = −1

2Egrav

forma alternativa del teorema del viriale. Ricordiamo che Egrav < 0 poichè il sistema è legato.Se una stella si contrae, Egrav diminuisce (ovvero diventa più negativa) e, di conseguenza, la sua energia termica aumenta. In pratica una stella ha una capacità termica negativa, e questo fatto è alla base di tutta l'evoluzione stellare.


Il teorema del virialeAltre forme del teorema del viriale sono

25

ETOT = ETOT

th + Egrav = −ETOT

th =1

2Egrav

Siccome tutte le stelle irraggiano (perdono) energia sono destinate prima o poi a collassare (Egrav diventa sempre più negativo).Consideriamo nuovamente

P̄ = −1

3

ETOTgrav

V

e supponiamo, in prima approssimazione, che ρ sia costante, allora si ha

Egrav = −� r�

0

GM(r)

rρ4πr2dr = −

� r�

0

G 43πr

3ρ

rρ4πr2dr

= −G4

3πρ24π

� r�

0r4dr


Il teorema del virialeovvero

26

Egrav = −3

5

G�43πr

3�ρ� �

43πr

3�ρ�

r�= −3

5

GM2�

r�

dove M★ è la massa della stella e ρ è costante. Se ρ decrescesse con r, Egrav sarebbe più negativo (sistema più legato) con un coefficiente > 3/5.In conclusione, a meno di una costante, il valore caratteristico dell’energia gravitazionale di una stella è

Egrav = −GM2�

r�ovvero P̄ = −1

3

Egrav

V=

GM2�

4πr4�

nel caso del Sole si avrebbe

P̄⊙ =GM2

⊙4πr4⊙

≈ 1015 dyne cm−2


Il teorema del virialericordiamo che 1 dyne cm-2 = 1 g cm s-2 cm-2 = 10-1 (kg m s-2) m-2 = 10-1 Pa. Poichè 105 Pa ≃ 1 atm risulta infine

27

P̄⊙ = 1014 Pa = 109 atm

ovvero la pressione media del Sole è 109 volte quella dell’atmosfera terrestre!Per stimare il valore tipico della temperatura

ETOT

th = −1

2Egrav

3

2NkTvir ∼ −1

2

�−GM2

�

r�

�

kTvir ∼ GM2�

3Nr�

con N numero totale di particelle nella stella. M★ = m N dove m è la massa media delle particelle.


Il teorema del virialeSe il gas è fatto di solo H, ad 1 protone corrisponde un elettrone ovvero

28

m̄ =mp +me

2=

1

2mp

�1 +

me

mp

�� 1

2mp

poiché me/mp ~ 1/2000. Sostituendo per N si ottiene infine

kTvir ∼ GM�mp

6r�

Nel caso del Sole kTvir⊙ ∼ 5.4× 10−10 erg = 0.34 keV

con k = 1.4 × 10-16 erg K-1 si ha Tvir⊙ ∼ 4× 106 K

si ricorda che questa è una temperatura media (viriale) della struttura stellare ed è ovviamente diversa dalla temperature superficiali stimate dagli spettri stellari e che si utilizzano per ottenere la luminosità della stella con la formula del corpo nero.Come vedremo più avanti, a temperature di questo ordine di grandezza possono aver luogo le reazioni di fusione termonucleare.

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