6 I Modelli Cosmologici di Friedmann

Nella parte precedente abbiamo inserito la metrica di Robertson e Walkernelle equazioni di Campo di Einstein ed abbiamo trovato due equazioni indi-pendenti per il fattore di scala aptq che, come gia detto, e quello che racchiudela fisica dell’espansione dell’universo.

:aptq “ ´

4G

3aptq

ˆ `

3p

c2

˙`

1

3aptq (6.1)

9a2ptq “

8G

3a2ptq ´

c2

R2`

1

3a2ptq (6.2)

ricordiamo che per la definizione che abbiamo utilizzato del fattore di scalaaptq abbiamo che apt0q “ 1. In quelle equazioni, rappresenta la densita dimassa inerziale totale che, per l’equivalenza tra massa ed energia, tien contodel contributo di materia e radiazione; p e la pressione associata; R e il raggiodi curvatura della geometria dello spazio all’epoca attuale (t “ t0); ´c2R2 euna costante di integrazione.

6.1 La conservazione dell’energia

Vediamo adesso come le equazioni 6.1 e 6.2 siano indipendenti ed incorporinoil Primo Principio della Termodinamica (ovvero la conservazione dell’energia)nella sua forma relativistica.

Consideriamo il caso di una trasformazione adiabatica

dU “ ´pdV (6.3)

dobbiamo applicare questa relazione sia al caso relativistico che non e quindiU deve essere l’energia totale del fluido in senso relativistico: U deve in-cludere il contributo dell’energia della massa a riposo, dell’energia cinetica,dell’energia termica e cosı via. Se ciascun contributo fornisce una densita dienergia "

i

, allora la densita di energia totale e

"tot

“

ÿ

i

"i

(6.4)

pertantoU “ V "

tot

(6.5)

Derivando la 6.3 rispetto ad aptq e sostituendo l’espressione appena trovatasi ottiene

dU

da“ ´p

dV

da(6.6)

83

d

dapV "

tot

q “ ´pdV

da(6.7)

Ma il volume e V „ l3 „ r3a3 con l lunghezza propria e r lunghezzacomovente, per cui

d

da

`a3"

tot

˘“ ´p

d

da

`a3

˘(6.8)

ovvero

3a2"tot

` aA3d"

tot

da“ ´3pa2 (6.9)

d"tot

da` 3

"tot

` p

a“ 0 (6.10)

Se e la densita di massa inerziale associata all’energia ", ovvero proprioquella che deve comparire nelle equazioni di Friedmann, si ha "

tot

“ c2,quindi

d

da` 3

` pc2

a“ 0 (6.11)

questa equazione non esprime altro che il primo principio della termodina-mica per una trasformazione adiabatica, scritto in forma relativistica ovverodU “ ´pdV .

Vediamo quali conseguenze possiamo ottenere da questa espressione dellaconservazione dell’energia. Supponiamo che il fluido cosmologico sia nonrelativistico, ovvero

p ! 0c2 (6.12)

con 0 che stavolta indica la densita associata alla sola massa a riposo. Per-tanto possiamo considerare che p » 0. Indichiamo con N la densita numericadelle particelle, la cui massa media em. Pertanto ponendo “ Nm si ottiene

dN

da` 3

N

a“ 0 (6.13)

questa equazione e risolvibile per separazione delle variabili

dN

N“ ´3

da

a(6.14)

e integrando tra t e t0 (adesso) si ottiene infine

ln

ˆNpt0q

Nptq

˙“ ´3 ln

ˆapt0q

aptq

˙(6.15)

da cuiNptq “ N0 aptq´3 (6.16)

84

questa relazione rappresenta la conservazione della massa per un gas di par-ticelle non relativistiche. In realta questa equazione rappresenta anche laconservazione del numero di particelle a seguito dell’espansione e si puo ap-plicare a qualsiasi tipo di componente per il quale si conservi il numero dielementi costituenti (es. particelle di un gas relativistico e non, fotoni, ecc.).

Adesso, torniamo alla relazione

d"tot

da` 3

"tot

` p

a“ 0 (6.17)

e consideriamo il contributo della pressione termica per un gas non relativisti-co. Di solito in ambito cosmologico si considera sempre del gas monoatomicoper cui

"th

“

3

2NkT (6.18)

e la pressionep “ NkT (6.19)

La densita di energia totale e pertanto data dalla massa a riposo e dall’energiatermica

"tot

“

3

2NkT ` Nmc2 (6.20)

Sostituendo nella 6.31

d

da

ˆ3

2NkT ` Nmc2

˙`

3

aptq

ˆ3

2NkT ` Nmc2 ` NkT

˙“ 0 (6.21)

riordinando i vari termini

mc2

„dN

da` 3

N

a

`

3

2

„d

dapNkT q ` 5

NkT

a

“ 0 (6.22)

il primo termine e nullo perche corrisponde al primo membro dell’equazione6.13 da cui abbiamo ricavato la legge di conservazione del numero di parti-celle Nptq “ N0aptq´3 durante l’espansione dell’universo. Il secondo mem-bro fornisce un’equazione di↵erenziale per la funzione NkT la cui soluzione,analogamente a quanto trovato per la 6.13, e

NkT “ N0kT0 aptq´5 (6.23)

sostituendo Nptq “ N0aptq´3, si ottiene infine

T “ T0 aptq´2 (6.24)

85

questa rappresenta la conservazione dell’energia durante l’espansione adia-batica di un gas perfetto monoatomico per il quale

“

cp

cV

“

5

3(6.25)

In generale, se il calore specifico del gas e ,

"tot

“

NkT

´ 1` Nmc2 (6.26)

e, ripetendo il procedimento di prima, si ottiene

T “ T0 aptq´3p´1q (6.27)

Possiamo ricavare un altro risultato importante per un gas monoatomico peril quale T “ T0 a´2 se andiamo a considerare il legame tra energia termicaed energia cinetica delle particelle

"th

“

1

2Nmxv2y “

3

2NkT (6.28)

da cui

xv2y “ 3k

mT0 a

´2Ñ xv2y “ xv2y0 a

´2 (6.29)

ovvero v 9 a´1 . Questo risultato si applica non solo alle velocita delle par-ticelle di un gas ma anche alle velocita dei moti caotici delle galassie rispettoal flusso di Hubble che sono noti con il nome di “velocita peculiari” e chevedremo meglio piu avanti.

Nel caso di un gas di particelle ultrarelativistiche o di fotoni, "tot

“ "rad

e vale

p “

1

3"rad

(6.30)

per cui dad"

rad

da` 3

"rad

` p

a“ 0 (6.31)

si ottiened"

rad

da` 4

"rad

a“ 0 (6.32)

la cui soluzione e"rad

“ "rad,0 aptq´4 (6.33)

Ormai dovrebbe essere chiaro che

dfpxq

dx` ↵

fpxq

x“ 0 ha soluzione fpxq “ fpx0q

ˆx

x0

˙´↵

86

Consideriamo un gas di fotoni di frequenza e densita numerica N

"rad

“ Nh (6.34)

il numero di fotoni, come quello delle particelle, scala come N 9 a´3 pertantocombinando l’espressione appena scritta con la 6.32 deve risultare che 9 a´1

ovveroem

“ 0 a´1 (6.35)

da cui si ricava infine

z “

em

0´ 1 “

1

a´ 1 (6.36)

a “

1

1 ` z(6.37)

ritrovando la relazione tra fattore di scala e redshift come conseguenza dellaconservazione dell’energia!

Adesso andiamo a cercare la relazione tra le due equazioni di Friedmann

:aptq “ ´

4G

3aptq

ˆ `

3p

c2

˙`

1

3aptq

9a2ptq “

8G

3a2ptq ´

c2

R2`

1

3a2ptq

e deriviamo la seconda rispetto al tempo

29aptq:aptq “

8G

32aptq

9aptq `

4

8 G

3a2ptq

d

da9aptq `

1

32aptq

9aptq

ovvero

:aptq “

4Ga2ptq

3

d

da`

8G aptq

3`

1

3aptq (6.38)

Ma da dU “ ´pdV avevamo trovato che

d

da` 3

` pc2

a“ 0 (6.39)

e sostituendo nella 6.38 si ottiene

:aptq “ ´

4GaA2

33 ` pc2

Za`

8G a

3`

1

3aptq (6.40)

ovvero

:aptq “ ´

4Ga

3

´3 ` 3

p

c2´ 2

¯`

1

3aptq (6.41)

87

da cui si ritrova infine

:aptq “ ´

4Ga

3

ˆ `

3p

c2

˙`

1

3a

cioe la 6.1, la prima delle equazioni di Friedmann. In sostanza, le due equa-zioni di Friedmann includono la legge di conservazione dell’energia per i gasrelativistici e non in espansione adiabatica.

Non dovrebbe sorprendere che l’equazione dell’energia indichi un’espan-sione apparentemente adiabatica del gas. Ricordiamo infatti che siamo partitidall’assunzione di omogeneita ed isotropia: se un qualsiasi volumetto di uni-verso non avesse un’espansione adiabatica ma avesse un flusso netto, entranteo uscente, di energia si creerebbero zone a densita di energia piu alta e zonea densita di energia piu bassa, violando l’omogeneita e isotropia dell’universoche avevamo codificato nella metrica. In sostanza, partendo da un universoomogeneo ed isotropo l’espansione deve avvenire in modo tale che non ci sia-mo trasferimenti netti di energia da una parte all’altra dell’universo. Se loscambio netto di calore e nullo, allora il primo principio della termodinamicae equivalente a quello di una trasformazione adiabatica in cui lo scambio dicalore e nullo perche il sistema e isolato.

Tornando alle Equazioni di Friedmann

:aptq “ ´

4G

3aptq

ˆ `

3p

c2

˙`

1

3aptq

9a2ptq “

8G

3a2ptq ´

c2

R2`

1

3a2ptq

possiamo notare come la prima abbia la forma di un’equazione delle forzeottenibile anche con considerazioni Newtoniane ma con 3pc2 correzione re-lativistica alla densita di massa inerziale per cui ` 3pc2 si puo considerarecome una densita di massa gravitazionale ecace. Come gia accennato ecome vedremo meglio piu avanti, la costante cosmologica fu introdotta daEinstein nel 1917 in quanto era l’unico modo per creare un universo staticocon una geometria chiusa. Ricordiamo che Einstein introdusse prima dellascoperta dell’espansione dell’universo da parte di Hubble.

La seconda equazione, la vera Equazione di Friedmann, ha la forma diuna equazione dell’energia: 9a2ptq corrisponde all’energia cinetica associataall’espansione, 83 Ga2ptq corrisponde all’energia gravitazionale. Contra-riamente al caso Newtoniano, con la relativita generale e possibile ottenereil valore della costante di integrazione ´c2R2 ed il contributo all’energia daparte della costante cosmologica.

88

Le soluzioni aptq di queste due equazioni furono scoperte da Friedmannnel 1922-24 nel caso ‰ 0, per cui di parla dei Modelli Cosmologici diFriedmann.

6.2 I Modelli Cosmologici di Friedmann per “ 0

Prima di tutto esploriamo le soluzioni per “ 0 perche sono spesso analitichee l’e↵etto di ‰ 0 e apprezzabile solo a grandi t, per cui nell’universoprimordiale si puo considerare il caso “ 0.

Consideriamo adesso il caso della polvere cosmologica (dust) ovvero quellodi un fluido senza pressione p “ 0. Inoltre ci riferiamo al tempo attuale e,per quanto visto nella sezione precedente, possiamo scrivere

ptq “ 0 aptq´3 (6.42)

con 0 densita attuale. Le equazioni di Friedmann diventano

:aptq “ ´

4G

3a 0 a

*´2´3

9a2ptq “

8G

3a2 0 a

*´1´3´

c2

R2

ovvero

:aptq “ ´

4G03a2

(6.43)

9a2ptq “

8G03a

´

c2

R2(6.44)

e possibile mostrare che queste due equazioni si possono ricavare con lameccanica Newtoniana non relativistica.

Consideriamo una galassia G di massa m posta a distanza x dalla Terra,ovvero dall’osservatore in O. La galassia G e soggetta all’attrazione gravita-zionale della massa nella sfera di raggio x e questa e come se fosse concen-trata in O: infatti, per l’omogeneita e l’isotropia dell’universo abbiamo unadistribuzione di massa a simmetria sferica centrata in O e possiamo quindiapplicare i Teoremi di Gauss. Quindi possiamo scrivere il secondo principiodella dinamica nella sua componente radiale per G:

m:x “ ´

GMpxqm

x2(6.45)

Sempre per l’omogeneita dell’universo possiamo scrivere

Mpxq “

4

3x3 (6.46)

89

ovvero

:x “ ´

G

x2

4

3xA3 (6.47)

come noto m e scomparsa e :x si riferisce a tutti i punti sulla sfera di raggio xindipendentemente dalla galassia G. Sostituiamo adesso x con la coordinataradiale comovente r

x “ aptq r (6.48)

ed esprimiamoptq “ 0 aptq´3 (6.49)

ottenendo

r :aptq “ ´

4

3Gr

aptq0 aptq*´2´3 (6.50)

ovvero

:aptq “ ´

4G03a2

(6.51)

cioe la 6.43, la prima delle equazioni di Friedmann nel caso p “ 0, “ 0.Moltiplicando per 2 9aptq ed integrando ottengo

2 9aptq:aptq “ ´

8G03

9aptq

a2ptq(6.52)

9a2ptq “

8G03a

` cost. (6.53)

identica alla 6.44, la seconda delle equazioni di Friedmann, nel caso in cuip “ 0, “ 0 e la costante e

cost. “ ´

c2

R2(6.54)

9a2ptq e l’energia cinetica dell’espansione (per unita di massa), 8G03a e lasua energia gravitazionale (sempre per unita di massa).

C’e un errore importante nella derivazione Newtoniana: abbiamo appli-cato il Teorema di Gauss ad una distribuzione di massa infinita ed ignorato lecondizioni al contorno all’infinito. Tuttavia, questo funziona per l’assunzionedi omogeneita ed isotropia nell’universo infinito per cui la fisica locale (dellagalassia G) e uguale alla fisica globale (che potrebbe essere solo descrittacon la Relativita Generale). In sostanza, la stessa fisica sulle piccole scalevale sulle grandi scale: per esempio la curvatura k dell’universo e la stessasu scale di 1 metro come di tutto l’universo. Dal calcolo che abbiamo fattosembra che O sia in una posizione privilegiata ma si otterrebbe lo stesso perqualsiasi altro osservatore; infatti in base al Principio Cosmologico tutti gliosservatori osservano le stesse cose.

90

L’argomento che abbiamo appena esposto non ci dice le scale su cui e va-lido: se l’universo e omogeneo ed isotropo allora deve valere su scale ugualiall’orizzonte ovvero su scale r “ ct perche la fisica locale e uguale alla fisicaglobale. Se l’universo e omogeneo ed isotropo su scale piu grandi dell’oriz-zonte di ciascun punto allora la dinamica su quelle scale sarebbe la stessadella dinamica locale.

6.2.1 Densita critica e parametro di densita

Ricordiamo che

Hptq “

9aptq

aptq(6.55)

e che quindi H0 “ 9apt0q. Definiamo la densita critica come

c

“

3H20

8G“ 1.88 ˆ 10´26 h2 kgm´3

“ 9.21 ˆ 10´27 kgm´3 (6.56)

dove abbiamo usato H0 “ 100h km s´1 Mpc´1 ed il secondo valore e statocalcolato per h “ 0.7.

La densita del modello all’epoca attuale t “ t0 puo essere riferita alladensita critica tramite il parametro di densita

0 “

0c

(6.57)

0 viene riferito a t “ t0 proprio perche cambia con t. Nel seguito, ciriferiremo spesso a “parti” di 0 come

• b

, parametro di densita dei barioni;

• V IS

, parametro di densita della materia visibile;

• DM

, parametro di densita della materia oscura.

Le equazioni nel caso “ 0 sono

:aptq “ ´

4G

3aptq

ˆ `

3p

c2

˙

9a2ptq “

8G

3a2ptq ´

c2

R2

91

con p “ 0, “ 0 a´3, erano diventate

:aptq “ ´

4G03a2

(6.58)

9a2ptq “

8G03a

´

c2

R2(6.59)

Con le definizioni appena introdotte

c

“

3H20

8G; 0 “

0c

(6.60)

possiamo scrivere

8G “

3H20

c

; 0 “ 0c (6.61)

e sostituendo nelle equazioni si ottiene

:aptq “ ´

0H20

2 a2(6.62)

9a2ptq “

0H20

a´

c2

R2(6.63)

Prendiamo adesso la seconda di queste equazioni e valutiamola per t “ t0;ricordando che 9a0 “ H0, a0 “ 1

H20 “ 0H

20 ´

c2

R2(6.64)

da cui

R “

cH0

p0 ´ 1q

12 (6.65)

e

k “

1

R2“

0 ´ 1

pcH0q2

(6.66)

ovvero esiste una relazione biunivoca tra 0 e R e k, uno dei piu bei risultatidei modelli di Friedmann con “ 0.

6.2.2 La dinamica dei modelli di Friedmann con “ 0

Adesso sostituiamoc2

R2“ H2

0 p0 ´ 1q (6.67)

in

9a2 “

0H20

a´

c2

R2(6.68)

92

ottenendo

9a2 “ H20

„0

ˆ1

a´ 1

˙` 1

(6.69)

nel limite di grossi valori di a in futuro si ottiene

9a2 » H20 p1 ´ 0q per a " 1 (6.70)

per cui si possono fare le seguenti considerazioni:

• i modelli con 0 † 1 hanno k † 0 per cui si tratta di geometrie iperbo-liche aperte e si espandono fino a a Ñ 8 con velocita terminale datadalla 6.70.

• I modelli con 0 ° 1 hanno k ° 0 ovvero geometrie sferiche chiusee devono smettere di espandersi una volta raggiunto un valore a “

amax

non arrivando mai a a " 1; quando a ! 1 si ha un’espansionedell’universo con

9a2 » H20

„0

a` 1

(6.71)

successivamente l’espansione si arresta per 9a “ 0 ovvero quando

0

ˆ1

amax

´ 1

˙` 1 “ 0 (6.72)

da cui

amax

“

0

0 ´ 1(6.73)

si puo dimostrare che questo valore massimo del fattore di scala siottiene per

tmax

“

0

2H0p0 ´ 1q

32 (6.74)

mentre il collasso a densita infinita avviene per t “ 2tmax

(big crunch).

• I modelli con 0 “ 1 separano i modelli aperti ed i modelli chiusi,ovvero i modelli che si espandono per sempre da quelli che collassano.Il modello per 0 “ 1 e detto Modello di Einstein-de Sitter o modellocritico. In questo modello la velocita di espansione tende a 0 all’infinito

93

e la soluzione aptq e semplice da ottenere

9a2 “

H20

a

9a “

H0

a12

a12da “ H0dt

2

3a32

t0

t

“ H0pt0 ´ tq

2

3´

2

3a32

“ H0pt0 ´ tq (6.75)

per t “ 0, a “ 0 ovvero 23 “ H0t0 da cui

t0 “

2

3H0(6.76)

questa t0 e l’eta del modello di universo di polvere (p “ 0) con “ 0e 0 “ 1. La soluzione del modello di Einstein-de Sitter e pertanto

aptq “

ˆ2t

3H0

˙23“

ˆt

t0

˙23(6.77)

Alcune soluzioni di

9a2 “ H20

„0

ˆ1

a´ 1

˙` 1

(6.78)

sono mostrate in figura 26 che mostra la ben nota relazione tra dinamica egeometria per i modelli di Friedmann con “ 0. Le unita di t sono H´1

0 cosıche la pendenza per a “ 1 (epoca attuale) e sempre 1 (in quanto 9apt0q “ 1).L’eta dell’universo per un dato modello e data dall’intersezione con la rettaa “ 1.

La soluzione aptq per il modello “vuoto” (0 “ 0, “ 0), detto Modello diMilne, e

aptq “ H0 t (6.79)

con

k “ ´

ˆH0

c

˙2

(6.80)

da cui si vede come la geometria sia in questo caso iperbolica. Le galassie nonsono ne accelerate ne decelerate ed hanno sempre la stessa velocita relativa-mente ad un qualsiasi osservatore fondamentale. Questo modello in cui non

94

206 7 The Friedman World Models

to zero as a tends to infinity. It has a particularly simple variation of a(t) withcosmic epoch,

a =!

tt0

"2/3

κ = 0, (7.24)

where the present age of the world model is t0 = (2/3)H−10 .

Some solutions of (7.21) are displayed in Fig. 7.2 which shows the well-knownrelation between the dynamics and geometry of the Friedman world models withΛ = 0. The abscissa in Fig. 7.2 is in units of H−1

0 and so the slope of the relationsat the present epoch, a = 1, is always 1. The present age of the Universe is given bythe intersection of each curve with the line a = 1.

Another useful result is the function a(t) for the empty world model, Ω0 = 0,a(t) = H0t, κ = −(H0/c)2. This model is sometimes referred to as the Milne

Fig. 7.2. The dynamics of the classical Friedman models with ΩΛ = 0 characterised by thedensity parameter Ω0 = ϱ0/ϱc. If Ω0 > 1, the Universe collapses to a = 0 as shown; ifΩ0 < 1, the Universe expands to infinity and has a finite velocity of expansion as a tends toinfinity. In the case Ω0 = 1, a = (t/t0)2/3 where t0 = (2/3)H−1

0 . The time axis is given interms of the dimensionless time H0t. At the present epoch a = 1 and in this presentation, thethree curves have the same slope of 1 at a = 1, corresponding to a fixed value of Hubble’sconstant at the present day. If t0 is the present age of the Universe, then H0t0 = 1 for Ω0 = 0,H0t0 = 2/3 for Ω0 = 1 and H0t0 = 0.57 for Ω0 = 2

Figura 26: Modelli di Friedmann per “ 0. Il tempo cosmico e in unita di H´10 .

L’intersezione tra la retta a “ 1 e le curve determina l’eta attuale dell’universo inquello specifico modello. 0 “ 1 rappresenta il modello di Einstein-de Sitter.

95

c’e gravita puo essere collegato direttamente alla relativita speciale con cuisi puo ottenere la metrica di RW nel caso di universo vuoto (vedi appendicedel capitolo 7 del libro).

Le soluzioni generali di

9a2 “ H20

„0

ˆ1

a´ 1

˙` 1

(6.81)

possono essere scritte in forma parametrica

• nel caso 0 ° 1 si ha

a “

0

2p0 ´ 1q

p1 ´ cos q

t “

0

2H0p0 ´ 1q

32 p ´ sin q (6.82)

• nel caso 0 ° 1 si ha

a “

0

2p1 ´ 0qpcosh ´ 1q

t “

0

2H0p1 ´ 0q

32 psinh ´ q (6.83)

Tutti i modelli tendono al modello critico 0 “ 1 al tempo iniziale macon constante moltiplicativa diversa. Infatti, se consideriamo t „ 0 ovveroa ! 1 nella 6.81 otteniamo

9a2 » H20

0

a(6.84)

la cui soluzione e analoga a quella della 6.75; partendo da a “ p3H0t2q

23 esostituendo H2

0 con H200 si ottiene

aptq “ 130

ˆ3H0t

2

˙23(6.85)

ovvero la stessa soluzione del modello di Einstein-de Sitter a parte la costantemoltiplicativa 13

0 .Possiamo concludere notando come, una qualsiasi soluzione dei modelli di

Friedmann con “ 0 prevede una espansione o una contrazione dell’universosenza che sia possibile avere un universo stazionario in cui aptq » cost.

96

6.3 La dinamica dei modelli di Friedmann con ‰ 0

Nel 1919, Einstein introdusse il termine con nelle sue equazioni di Campoper avere una soluzione stazionaria anche se si rendeva perfettamente contoche tale termine doveva/poteva comparire indipendentemente dal suo signi-ficato cosmologico. Nel 1933 Lemaitre suggerı che tale termine potesse avereil significato di energia del vuoto. In e↵etti, nell’interpretazione attuale, e associata a “dark energy” la cui natura e pero, almeno per il momento,totalmente ignota.

Consideriamo le Equazioni di Friedmann nella loro forma piu generale:

:aptq “ ´

4G

3aptq

ˆ `

3p

c2

˙`

1

3aptq (6.86)

9a2ptq “

8G

3a2ptq ´

c2

R2`

1

3a2ptq (6.87)

Come prima, consideriamo il caso della sola polvere cosmologica, 3pc2 » 0;con la sostituzione “ 0a´3, la 6.86 diventa,

:a “ ´

4Ga

3 `

1

3a “ ´

4G03a2

`

1

3a (6.88)

si vede immediatamente che anche con “ 0, :a “ 13a, ovvero il terminedi “forza” non e nullo e se ° 0 corrisponde ad una forza repulsiva (il segnoe opposto al termine gravitazionale).

Non c’e nessuna interpretazione classica di in termini classici ma la teo-ria quantistica dei campi prevede l’esistenza di fluttuazioni nel vuoto associa-te ai campi quantistici come, ad esempio, il campo di Higgs. Come mostratoda Carroll, Press e Turner (Annual Review of Astronomy and Astrophysics,1992, Vol. 30: 499-542) il valore teorico di puo essere stimato utilizzandosemplici concetti della teoria dei campi. Quegli autori compiono un’analisistandard per stimare la densita di energia dei campi del vuoto integrandofino ad un numero d’onda massimo k

max

oltre il quale la teoria non e piuvalida. Trovano che

vac

“ limLÑ8

E0

L3“ h

k4max

162(6.89)

Gli autori considerano che la teoria non sia piu valida a causa degli e↵etti digravita quantistica che intervengono alle scale dell’energia di Planck

EP

“

chc5

G« 1.22 ˆ 1019GeV (6.90)

per cui se kmax

“ EP

h si ottiene infine vac

« 1095 kgm´3.

97

Analogamente come mostrato da Peacock (Cosmological Physics, 2000) inbase al principio di indeterminazione di Heisemberg, una coppia di particellevirtuali di massa m puo esistere per un tempo

t „

h

mc2(6.91)

con una separazione massima

x „

h

mc(6.92)

dove mc e la quantita di moto. La densita tipica dei campi del vuoto epertanto

vac

„

m

x3«

c3m4

h3 (6.93)

e questa densita del vuoto non cambia nel tempo; analogamente a prima, seadottiamo per m la massa di Planck

m “ mP

“

EP

c2“

ˆhc

G

˙12“ 1.22 ˆ 1019GeV “ 2.2 ˆ 10´8 kg (6.94)

otteniamovac

« 5 ˆ 1096 kgm´3 (6.95)

Dalle osservazioni abbiamo evidenza che corrisponde a

vac

« 6 ˆ 10´27 kgm´3 (6.96)

ovvero circa „ 10120 volte meno di quanto ci aspettiamo! Questa e unadiscrepanza molto seria.

Come vedremo piu avanti, il modello inflazionario spiega l’omogeneita el’isotropia dell’universo che, attualmente, non e causalmente connesso. Sequesto modello e vero, allora c’e bisogno proprio di una densita di energiadell’ordine di

vac

„ 1095 kgm´3 per guidare l’espansione rapida (inflazione)nei primi istanti di vita dell’universo. La domanda che pero sorge spontanea,e legata al perche, da allora, la densita di energia del vuoto e diminuita diun fattore „ 10120.

E’ conveniente e naturale associare una densita V

alla densita di energiadel vuoto (o dark energy) all’epoca attuale. Pertanto consideriamo

:a “ ´

4Ga

3

ˆ `

3p

c2

˙`

1

3a (6.97)

e separiamo i vari contributi alla densita di energia scrivendola nella forma

:a “ ´

4Ga

3

ˆm

` V

`

3pV

c2

˙(6.98)

98

dove m

rappresenta la “dust” eV

la dark energy. Abbiamo associato al cam-po del vuoto anche una pressione p

V

; questa e legata a V

da una equazionedi stato che, come vedremo tra poco, deve essere del tipo

pV

“ ´V

c2 (6.99)

il segno “´” serve a dare la forza repulsiva. Quindi l’equazione per a diventa

:a “ ´

4Ga

3p

m

´ 2V

q (6.100)

Nell’espansione “ 0a´3, V

“ cost. (perche si tratta di energia del vuoto),ovvero

:a “ ´

4G03a2

`

8GV

3a (6.101)

che ha la stessa forma della 6.88

:a “ ´

4G03a2

`

1

3a (6.102)

Quindi possiamo identificare con V

attraverso

V

“

8G(6.103)

All’epoca presente, t “ t0, apt0q “ 1, otteniamo dalla 6.101

:apt0q “ ´

4G03

`

8GV

3(6.104)

e quindi possiamo introdurre un parametro di densita come 0 per la polvere:

“

V

c

“

8GV

3H20

(6.105)

ricordando che la densita critica e c

“ 3H208G. Per cui si ottiene

“

3H20

(6.106)

Le equazioni di Friedmann sono quindi

:a “ ´

0H20

2a2` H0a (6.107)

9a2 “

0H20

a´

c2

R2` H

20a

2 (6.108)

99

sostituendo i valori per t “ t0, apt0q “ 1, 9apt0q “ H0 otteniamo

c2

R2“ H2

0 rp0 ` q ´ 1s (6.109)

k “

1

R2“

p0 ` q ´ 1

c2H20

(6.110)

La condizione per avere lo spazio piatto (Euclideo) e k “ 0 ovvero

0 ` “ 1 (6.111)

Poiche il raggio di curvatura scala con Rptq “ aR, se il raggio di curvaturae nullo adesso lo era necessariamente anche in passato.

6.3.1 L’equazione di stato

Una generalizzazione del formalismo fin qui visto e supporre che la compo-nente i-esima abbia un’equazione di stato della forma generica

pi

“ wi

i

c2 (6.112)

Adesso possiamo utilizzare l’equazione relativistica di conservazione dell’e-nergia per trovare la variazione della densita con a

d

da` 3

` pc2

a“ 0 (6.113)

se non c’e scambio di energia tra le componenti, questa equazione si applicaa ciascuna componente e sostituendo p

i

“ wi

i

c2 si ha

di

da` 3

i

` wi

i

a“ 0 (6.114)

di

da“ ´3p1 ` w

i

q

i

a(6.115)

abbiamo gia trovato questa equazione che sappiamo risolvere per separazionedelle variabili e la cui soluzione generale e

i

ptq “ 0 a´3p1`w

i

q (6.116)

Vediamo adesso i vari casi rilevanti:

100

• se abbiamo materia “fredda”, ovvero la polvere cosmologica, l’equazio-ne di stato e

pi

“ 0 Ñ wi

“ 0 (6.117)

pertanto la densita varia come

i

„ a´3 (6.118)

come avevamo gia trovato.

• se abbiamo radiazione o materia ultrarelativistica

pi

“

1

3"i

“

1

3i

c2 Ñ wi

“

1

3(6.119)

pertanto la densita varia come

i

„ a´4 (6.120)

• infine, nel caso della dark energy intesa come energia del vuoto, dob-biamo avere

i

„ cost. (6.121)

ovverow

i

“ ´1 (6.122)

E’ immediato ripetere l’analisi gia fatta prima con questo formalismoottenendo l’equazione di :a considerando il contributo della componente i-esima in aggiunta alla polvere cosmologica

:a “ ´

0H20

2a2´ p1 ` 3w

i

q

i,0H2

0

2a2`3wi

(6.123)

dove il parametro di densita della specie i-esima e

i,0 “

8Gi,0

3H20

(6.124)

L’equazione per 9a diventa

9a2 “

0H20

a`

i,0H2

0

a1`3wi

´

c2

R2(6.125)

valutandola per t “ t0, apt0q “ 1 e 9apt0q “ H0 si ottiene

c2

R2“ H2

0 rp0 ` i,0q ´ 1s (6.126)

101

ovvero

k “

1

R2“

p0 ` i,0q ´ 1

c2H20

(6.127)

il motivo alla base di questa estensione del formalismo standard e la possibi-lita di utilizzare questi risultati per stimare w

i

dalle osservazioni.Se ci sono piu specie, si possono generalizzare questi risultati appena

ottenuti con la sostituzione

i,0 Ñ

ÿ

i

i,0 (6.128)

quindi e facile vedere che la condizione per una geometria spaziale piatta epertanto

0 `

ÿ

i

i,0 “ 1 (6.129)

6.3.2 La dinamica dei modelli di Friedmann con ‰ 0: conside-razioni generali

Prima di tutto, i modelli con † 0 non sono interessanti. L’unica di↵erenzacon i modelli con “ 0 e che, come si vede in questa equazione,

9a2 “

8G03a

´

c2

R2`

1

3a2 (6.130)

per piccoli che siano 0 e il secondo membro si inverte eventualmente disegno perche ha un andamento come 8G0p3aq

´1´ ||a23, ovvero si torna

eventualmente al big crunch.Consideriamo quindi i modelli con ° 0 ovvero ° 0. ° 0 corri-

sponde ad una forza repulsiva che si oppone alla gravita, pertanto in tuttiquesti modelli c’e un tasso minimo di espansione 9a

min

ottenibile imponendo:a “ 0. Esprimendo la costante cosmologica con il formalismo dell’equazionedi stato (p

V

“ wv

c2, w “ 1) si ha

:a “ ´

0H20

2a2` H

20a

9a2 “

0H20

a´

c2

R ` H20a

2 (6.131)

quindi, imponendo :a “ 0 si ottiene il fattore di scala amin

per cui si raggiungeil valore minimo della sua derivata 9a

min

amin

“

ˆ0

2

˙13(6.132)

102

e pertanto

9a2min

“

>13

230 H2

0

130

p2q

13´

c2

R2`

131 H2

0

˜2

0

42

¸13

9a2min

“

3

2H2

0 p220q

13´

c2

R2(6.133)

poiche c2R2“ H2

0 p0 ` ´ 1q si hanno vari casi a seconda del segno di

9a2min

“ H20

„3

2p2

20q

13´ p0 ` ´ 1q

(6.134)

Se 9a2min

° 0 si ritrova il comportamento rappresentato in figura 27(a).Inizialmente, quando :a † 0 domina la gravita e, a partire dal flesso (:a “ 0,9a “ 9a

min

) comincia a dominare l’e↵etto repulsivo della costante cosmologicaper cui :a ° 0. Per grossi valori di a

9a2 “

» 0

0H20

a´

» 0

c2

R ` H20a

2

9a2 “ H20a

2 (6.135)

la cui soluzione si trova per separazione delle variabili

9a “ aH012

ªt0

t

da

a“

ªt0

t

H012 dt

aptq “ eH012 pt ´ t0q (6.136)

ovvero aptq ha lo stesso andamento del modello di de Sitter che vedremo trapoco e caratterizzato da 0 “ 0 e ° 0.

Viceversa, se 9a2min

† 0 il secondo membro dell’espressione

9a2min

“ H20

„3

2p2

20q

13´ p0 ` ´ 1q

e negativo, ed esiste un intervallo di valori di aptq per cui non ci sono soluzionie si hanno due rami come in figura 27(b). Nel ramo “B” l’universo non siespande mai in modo tale da raggiungere il regime in cui e importante. Nelramo “A” l’espansione e dominata dal termine in e l’universo non arriva

103

7.3 Friedman Models with Non-Zero Cosmological Constant 213

Fig. 7.3a–d. Examples of the dynamics of world models in which Λ = 0 (Bondi, 1960).Models a and d are referred to as Lemaitre models. In a, the model parameters are Ω0 = 0.3and ΩΛ = 0.7, a favoured model according to current best estimates of these parameters.b This ‘bouncing’ model has Ω0 = 0.05 and ΩΛ = 2. The zero of cosmic time has beenset to the value when a = 0. The loci are symmetrical in cosmic time with respect to thisorigin. c This model is an Eddington–Lemaitre model which is stationary at redshift zc = 3,corresponding to scale factor a = 0.25. In d, the model parameters are Ω0 = 0.01 andΩΛ = 0.99 and the age of the Universe can far exceed H−1

0

behaviour corresponds to exponentially collapsing and expanding de Sitter solutions

a =!

ΩΛ − 1ΩΛ

"1/2

exp#±Ω

1/2Λ H0τ

$. (7.58)

In these ‘bouncing’ Universes, the smallest value of a, amin, corresponds to thelargest redshifts which objects could have.

The most interesting cases are those for which amin ≈ 0. The case where amin = 0is known as the Eddington–Lemaitre model and is illustrated in Fig. 7.3c. The literalinterpretation of these models is either: A, the Universe expanded from an origin atsome finite time in the past and will eventually attain a stationary state in the infinite

Figura 27: Modelli di Friedmann per ° 0. Il tempo cosmico e in unita di H´10 .

L’intersezione tra la retta a “ 1 e le curve determina l’eta attuale dell’universoin quello specifico modello. (a) Caso in cui 9a2

min

° 0 per valori rappresentativi0 “ 0.3, “ 0.7. (b) Caso in cui 9a2

min

† 0 per 0 “ 0.05, “ 2.0. Lo zerodel tempo cosmico e stato posto quando 9a “ 0. (c) Caso in cui 9a2

min

“ 0 ovvero delmodello di Eddington-Lemaitre, nel caso in cui l’universo e stazionario per z

c

“ 3,corrispondente ad un fattore di scala a “ 0.05. (d) Caso in cui 9a2

min

Á 0. Inquesto modello 0 “ 0.01 e “ 0.99, 9a

min

» 0 pure essendo positivo, e l’etadell’universo puo superare di molto il valore H´1

0 .

104

mai a contrarsi in modo tale che la gravita domini: questo significa che nonc’e mai stata la singolarita iniziale e l’universo e “rimbalzato” dopo un valoreminimo di a per e↵etto del termine in .

Nel caso limite in cui 0 “ 0, ovvero quello del modello di de Sitter, si ha

9a2 “ ´

c2

R ` H20a

2

9a2 “ ´H20 p ´ 1q ` H

20a

2

9a2 “ H20 r2

a2

´ p ´ 1qs

la cui soluzione e

aptq “

ˆ ´ 1

˙12cosh

´12

H0¯

(6.137)

con “ t´ tmin

e tmin

e il tempo di rimbalzo ovvero quello per cui aptmin

q “

amin

. In questi casi la variazione di aptq e simmetrica rispetto ad amin

. Le so-luzioni asintotiche corrispondono alle soluzioni esponenzialmente espandentie collassanti di de Sitter

aptq “

ˆ ´ 1

˙12e˘12

H0 (6.138)

Nell’universo rimbalzante, amin

corrisponde al massimo redshift che gli og-getti possono avere a

min

“ p1 ` zmax

q

´1.Il modello stazionario si ottiene imponendo che valga sempre

:a “ 9a “ 0 (6.139)

ovvero

:a “ ´

0H20

2a2` H

20a “ 0

9a2 “

0H20

a` H

20a

2´ H2

0 p0 ` ´ 1q “ 0 (6.140)

Come abbiamo gia visto, dalla prima equazione si ricava

amin

“

ˆ0

2

˙13(6.141)

mentre dalla seconda equazione, ponendo a “ amin

si ha la condizione

9a2min

“ H20

„3

2p2

20q

13´ p0 ` ´ 1q

“ 0

105

ovvero, il modello stazionario corrisponde al caso in cui 9amin

“ 0 e comportal’esistenza di uno stato in cui l’universo si mantiene stazionario con aptq “

cost. “ amin

. I modelli stazionari corrispondenti alla combinazione di 0 e per cui 9a2

min

“ 0 prendono il nome di modelli di Eddington-Lemaitre esono quindi quelli di separazione tra le due famiglie di modelli viste prima incui 9a2

min

° 0 e 9a2min

† 0.E’ possibile mostrare che i modelli stazionari sono inconsistenti con le

osservazioni. Infatti, ponendo amin

“ p1 ` zc

q

´1, con zc

redshift dello statostazionario, si ottiene

“

0

2p1 ` z

c

q

3 (6.142)

e, sostituendo la 6.142 nella condizione 9a2min

“ 0

0H20

a´ H2

0 rp0 ` q ´ 1s ` H20a

2“ 0

si ottiene la relazione tra 0 e zc

0 “

2

p1 ` zc

q

3´3p1`z

c

q´2“

2

z2c

pzc

` 3q

(6.143)

Se adesso fossimo in uno stato stazionario, potremmo vincolare il valore di 0.Infatti osservando oggetti a redshift z ° 6, si ha che z

c

° 6 ovvero 0 † 0.01che e almeno un fattore 10 inferiore al contributo della dark matter (ed unfattore 4 inferiore al contributo dei soli barioni).

E’ anche chiaro che gli stati stazionari appena visti sono instabile e richie-dono fine tuning : piccole variazioni di 0 e portano subito o alla famigliadi soluzioni 9a2

min

° 0 oppure 9a2min

† 0 che, come si e visto, hanno andamentidiversi.

Un caso interessante si ha per 9a2min

À 0 che, insieme al modello diEddington-Lemaitre e rappresentato in figura 27(c). Come nel caso visto pri-ma ( 9a2

min

† 0 abbiamo due rami distinti: nel ramo “A” l’universo si espandea partire da un’origine (big bang) nel passato e raggiungera (eventualmente)uno stato stazionario nel futuro infinito. Nel ramo “B” l’universo si espandea partire da un valore definito di a nel passato infinito. Lo stato stazionariodel modello di Eddington-Lemaitre e indicato da “C” ed e instabile perchel’universo, se perturbato, si muove sul ramo B o A. Il modello stazionario diEinstein e quello in cui siamo nella fase asintotica a aptq costante e quindisiamo partiti da un big bang ad un tempo infinito nel passato, ovvero il ramoA di figura 27(c) con t0 Ñ 8.

Le proprieta dei modelli con costante cosmologica ‰ 0 possono essereriassunti in un diagramma in cui si riporta 0 vs 0+, come quello rap-presentato in figura 28. In questa figura i modelli con “ 0 giacciono su

106

7.4 Observations in Cosmology 215

Fig. 7.4. The classification of the Friedman world models with ΩΛ = 0 in a plot of Ω0 againstΩ0 + ΩΛ (Carroll et al., 1992). The Eddington–Lemaitre models lie along the line labelled‘loitering’

ΩΛ such that the value of amin is just greater than zero. An example of this type ofmodel is shown in Fig. 7.3d.

As we will show in Chap. 15, there is now strong evidence that the spatialgeometry of the Universe is flat, so that Ω0 + ΩΛ is very close to unity. Thedynamics of such spatially flat models with different combinations of Ω0 and ΩΛ

are shown in Fig. 7.5. These models indicate how the age of the Universe can begreater than H−1

0 for large enough values of ΩΛ.

7.4 Observations in Cosmology

Models with finite values of the cosmological constant dominate much of currentcosmological thinking and so it is convenient to develop the expressions for therelations between observables and intrinsic properties in parallel for models withand without the Λ-term. The reason for including the results for world models withΩΛ = 0 is that they can often be expressed analytically in closed form and so provideinsight into the physics of the world models.

Figura 28: Classificazione dei modelli di Friedmann con ‰ 0 in un diagrammadi 0 in funzione di

totale

“ 0 `. I modelli di Eddington-Lemaitre si trovanosulla linea indicata da “Loitering Models”. Il caso “No Big Bang” corrisponde aimodelli per cui 9a2

min

† 0.

107

una retta a 45˝. Poiche

k “

1

R2“

0 ` ´ 1

c2H20

(6.144)

la geometria dipende da 0 ` ∫ 1. I modelli stazionari di Eddington-Lemaitre (separazione tra 9a2

min

° 0 e 9a2min

† 0, quest’ultimo indicato da“No Big Bang”) sono caratterizzati da “ 02p1 ` z

c

q

3 e sono chiamati“Loitering Models” in figura. Infine il diagramma mostra anche la divisionetra i modelli che collasseranno ad un big crunch e quelli che si espanderannoper sempre.

I modelli con ° 0 possono avere eta dell’universo t0 ° H´10 . Nel caso

limite dei modelli di Eddington-Lemaitre con 9amin

“ 0, a “ amin

, l’universoe infinitamente vecchio. Un tipo di modelli con eta t0 ° H´1

0 sono i modellidi Lemaitre con valore tale che 9a

min

Á 0 cioe appena maggiore di zero(figura 27d).216 7 The Friedman World Models

Fig. 7.5. The dynamics of spatially flat world models, Ω0 +ΩΛ = 1, with different combina-tions of Ω0 and ΩΛ. The abscissa is plotted in units of H−1

0 . The dynamics of these modelscan be compared with those shown in Fig. 7.2 which have ΩΛ = 0

7.4.1 The Deceleration Parameter

Just as Hubble’s constant H0 measures the expansion rate of the Universe at thepresent epoch, so we can define the present deceleration of the Universe a(t0). Itis conventional to define the deceleration parameter q0 to be the dimensionlessdeceleration at the present epoch through the expression

q0 = −!

aaa2

"

t0

. (7.61)

Substituting a = 1, a = H0 at the present epoch into the dynamical equation (7.40),we find

q0 = Ω0

2− ΩΛ . (7.62)

Equation (7.62) represents the present competition between the decelerating effectof the attractive force of gravity and the accelerating effect of the repulsive darkenergy. Substituting the favoured values of Ω0 = 0.3 and ΩΛ = 0.7 (see Chaps. 8and 15), we find q0 = −0.55, showing that the Universe is accelerating at the presentepoch because of the dominance of the dark energy.

Figura 29: La dinamica del modelli piatti, 0 ` “ 1, per diverse combinazionidi 0 e . Il tempo cosmico e in unita di H´1

0 . Questi modelli possono essereconfrontati con quelli in figura 26 in cui “ 0.

108

Come mostreremo piu avanti, abbiamo l’evidenza molto forte che la geo-metria dell’universo e piatta per cui

0 ` » 1 (6.145)

La dinamica di questi modelli e mostrata in figura 29; se e sucientementegrande, l’eta dell’universo puo essere ° H´1

0 .

109