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INDICE

1. COMPRESSORI ASSIALI. IPOTESI MONODIMENSIONALE. .................................................................................... 4

2. TEORIA APPLICATA ALLE SCHIERE DI PALE. ....................................................................................................... 8

2.1. DEFINIZIONE GEOMETRICA DEL PROFILO. .................................................................................................... 8

2.2. STUDIO DEL PROFILO ISOLATO. ................................................................................................................... 8

3. ESTENSIONE DELLA TEORIA ALARE AI PROFILI DISPOSTI IN SCHIERA PIANA (MOTO BIDIMENSIONALE). ......... 12

4. RELAZIONE TRA LE CARATTERISTICHE AERODINAMICHE DELLA SCHIERA E IL RENDIMENTO DELLO STADIO. .. 14

5. SCELTA DEL PROFILO DELLE PALE. ................................................................................................................... 17

6. GALLERIA DEL VENTO PER LE PROVE SU SCHIERE DI PALE. ............................................................................. 18

7. FENOMENI DI INSTABILIT NEI COMPRESSORI ASSIALI. ................................................................................... 20

7.1. STALLO. ................................................................................................................................................... 20

7.2. POMPAGGIO. ........................................................................................................................................... 20

7.3. BLOCCAGGIO DELLA PORTATA. ............................................................................................................... 21

8. TEORIA DELLA SIMILITUDINE........................................................................................................................... 22

8.1. PARAMETRI CHE CARATTERIZZANO LE PRESTAZIONI DI UNA TURBOMACCHINA (COMPRESSORI

DINAMICI). ......................................................................................................................................................... 22

8.2. VARIABILI FUNZIONALI. ........................................................................................................................... 22

9. USO DEI PARAMETRI EQUIVALENTI................................................................................................................. 26

10. EQUILIBRIO RADIALE NELLE TURBOMACCHINE OPERATRICI ASSIALI. ............................................................... 28

11. SVERGOLAMENTO DELLA PALETTATURA. ......................................................................................................... 32

12. CRITERIO DEL VORTICE LIBERO (O A MOMENTO CINETICO COSTANTE). ...................................................... 32

13. PROBLEMA INVERSO O DI PROGETTO: NOTA LA DISTRIBUZIONE )(rcu TROVARE )(rcm ............................. 34

14. FLUSSI SECONDARI. ......................................................................................................................................... 36

15. REGOLAZIONE DEI COMPRESSORI. .................................................................................................................. 37

15.1. REGOLAZIONE A NUMERO DI GIRI VARIABILE. ........................................................................................... 37

15.2. REGOLAZIONE PER STROZZAMENTO. ....................................................................................................... 38

15.3. REGOLAZIONE PER BY-PASS. .................................................................................................................... 38

15.4. REGOLAZIONE CON PALETTATURA AD ORIENTAMENTO VARIABILE. ....................................................... 39

16. COMPRESSORI TRANSONICI E SUPERSONICI (BREVI CENNI). .............................................................................. 40

17. GRADO DI REVERSIBILIT DI UN CICLO. ......................................................................................................... 41

17.1. ENERGIA. EXERGIA. .................................................................................................................................. 42

17.2. EFFETTO CARNOT. ................................................................................................................................... 43

18. TURBINE A GAS. .............................................................................................................................................. 43

18.1. CICLO TERMODINAMICO IDEALE. ............................................................................................................. 44

18.1.1. GAS IDEALE. .................................................................................................................................. 44

18.1.2. INFLUENZA DELLA NATURA DEL FLUIDO. ..................................................................................... 48

18.2. ANALISI DEL CICLO IDEALE. ...................................................................................................................... 49

19. CICLI A COMPRESSIONE INTERREFRIGERATA. ................................................................................................... 55

19.1 CASO TEORICO. ....................................................................................................................................... 55

19.2 CASO REALE. ............................................................................................................................................ 55

19.3 CALCOLO DEL DI INTERREFRIGERAZIONE E DI min,CL NEL CASO IDEALE. ............................................. 57

20. CICLI CON RICOMBUSTIONE. ......................................................................................................................... 58

21. CICLI CON RIGENERAZIONE. .......................................................................................................................... 59

21.1. ANALISI DEL CICLO IDEALE O LIMITE. ....................................................................................................... 60

2

21.2. CICLO IDEALE SEMPLICE PARZIALMENTE RIGENERATO. ............................................................................. 64

21.3. CICLO SEMPLICE REALE CON RIGENERAZIONE. ......................................................................................... 65

22. CICLI A COMPRESSIONE INTERREFRIGERATA E RIGENERAZIONE. ..................................................................... 68

23. CICLI RIGENERATIVI CON INTERREFRIGERAZIONE E RICOMBUSTIONE. ........................................................... 69

3

4

1. COMPRESSORI ASSIALI. IPOTESI MONODIMENSIONALE.

Nelle macchine assiali i filetti fluidi, congruenti tra loro, giacciono su superfici cilindriche coassiali: il fluido

non subisce una deviazione di 90 allingresso della palettatura come nelle radiali, si evita quindi questa perdita.

In questo tipo di approccio si studia il problema ad un certo raggio, ad esempio la sezione al raggio medio, co-

s che u non sia pi una grandezza variabile: come se ci dimenticassimo che la paletta abbia una profondit.

Secondo questipotesi semplificativa se il fluido coerente in ingresso ed entra ad un certo raggio, deve essere

coerente anche in uscita ed uscire allo stesso raggio; inoltre, essendo 12 uu , nellequazione fondamentale delle

turbomacchine, perdiamo il termine 2

2

1

2

2 uu e si avr semplicemente:

Per aumentare il lavoro scambiato sembrerebbe da subito conveniente aumentare uc o uw , ma ci si potreb-

be avere solo con un aumento dellangolo ossia, con una maggiore inclinazione delle palette (strutturando il

compressore come una turbina), ma ci , poich si sta lavorando a gradiente di pressione avverso, potrebbe pro-

vocare il distacco della vena fluida, con generazione di zone vorticose.

Ricordando i triangoli di velocit dei compressori centrifughi appare subito evidente la differenza di deviazio-

ne del flusso da cui discende, a parit di velocit periferica, il minor valore di lavoro trasmesso.

Si noti che se la sezione di passaggio decresce in proporzione allaumento di densit del fluido, laltezza dei

triangoli di velocit (pari alla componente assiale dei vettori velocit) costante.

Si ha:

22

1

2

1 au www

22

2

2

2 au www

da cui 2

2

2

1

2

2

2

1 uu wwww

e analogamente 2

1

2

2

2

1

2

2 uu cccc

essendo uup wucu

wwccL

22

2

2

2

1

2

1

2

2

suddividendo tutti i termini di prevalenza acquisita dal fluido in g

LHHH

p

sr

1w

2waa cw

1c2c

u

1

uup wucuwwcc

L

22

2

2

2

1

2

1

2

2

5

si ha: ))((2

12121 uuuur wwww

gH ))((

2

11212 uuuus cccc

gH

dalle quali, considerando le velocit che si avrebbero nelle palette se non ci fossero limiti dati dalle pareti (con-

dizione di flusso indisturbato): 2

21 www

2

21 ccc

2

21 uuu

www

2

21 uuu

ccc

si ottiene: uur wwg

H 1

uus ccg

H 1

ma essendo: uu cw e ucw uu

si ha di nuovo lespressione di partenza:

uuuusr wug

wcwg

HHH 1

)(1

GRADO DI REAZIONE

E un indice che ci dice in quale parte si ha la massima conversione di energia potenziale, se nello statore o se

nel rotore.

u

w

cw

w

ccww

ww

HH

HR u

uu

u

uuuu

uu

sr

r

Quando 2

ucw uu R = 0,5 con 21 cw 12 cw

Per tale valore del grado di reazione, si ha una configurazione simmetrica del triangolo delle velocit, cui cor-

risponder una altrettanto simmetrica disposizione delle palettature nello statore e nel rotore, perch R = 0,5, si-

gnifica che il contributo relativo del rotore deve essere pari al contributo assoluto dello statore, e questo si pu

avere solo se rotore e statore hanno stessa palettatura.

Per gli altri valori del grado di reazione, non si avr pi simmetria, poich, dovendo essere comunque uguali

le altezze dei triangoli delle velocit assolute e relative, ma essendo diversamente inclinate le palettature, si a-

vranno palette pi lunghe nel rotore o viceversa.

6

5,0R

In questo caso la pala statorica ha funzione puramente deviatrice; tale soluzione non ha, in realt, pratica ap-

plicazione.

0sH

Con tale configurazione si realizza una leggera espansione nello statore, favorevole per rendere congruenti i fi-

letti fluidi (Escher-Wiss) e per consentire, nella soluzione che antepone statore a rotore, unuscita assiale del

flusso, molto conveniente nella progettazione delle soffianti (ventole).

1w

2w aa cw

1c

2c

u

1 2

1w

2w aa cw

1c

2c

u

1 2

1w

2w

1c2c

u

1 2

1w 2w aa cw 1c 2c

u

1 2

15,0 R

1R

1R

7

ed uscita assiale dallo statore

I massimi valori di velocit che si ottengono per 5,0R sono maggiori che per 5,0R , ci importante per

le perdite che sono proporzionali al quadrato della velocit, quindi la soluzione con 5,0R la favorita. Inoltre

si hanno alte portate quindi alte velocit: a parit di portata, aumentare la velocit pi facilmente pu portare al-

la velocit del suono, creando una condizione favorevole perch si verifichi il bloccaggio della portata. 5,0R

minimizza aw

cw max)( quindi se aumento la portata, sicuramente aumenta la velocit, ma difficilmente raggiun-

ge quella del suono. Le macchine che lavorano con questo grado di reazione possono avere rendimenti pi ele-

vati delle radiali, in cui sono inevitabili brusche deviazioni, se si progetta la palettatura in modo idoneo, evitan-

do gli urti di ingresso.

1w

2w

1c2c

u

1 2

15,0 R

8

2. TEORIA APPLICATA ALLE SCHIERE DI PALE.

2.1. DEFINIZIONE GEOMETRICA DEL PROFILO.

A-B linea dei centri

l corda del profilo

h apertura alare

f freccia del profilo

deviazione angolare geometrica s spessore massimo del profilo

2.2. STUDIO DEL PROFILO ISOLATO.

Si consideri un flusso di filetti rettilinei paralleli aventi velocit uniforme w ,si supponga immerso in tale

corrente, con un asse perpendicolare alla direzione dei filetti fluidi indisturbati, un solido prismatico di lunghez-

za infinita.

Il flusso che investe il solido creer un campo di moto intorno al profilo di natura bidimensionale. Solo a distan-

za teoricamente infinita la velocit relativa al solido raggiunger asintoticamente il valore di quella iniziale w .

Nellipotesi di fluido perfetto (assenza di viscosit) vale il teorema di Joukowsky:

quando un fluido perfetto investe con flusso traslo-circolatorio un solido cilindrico di lunghezza indefinita, la

risultante di tutte le azioni fluidodinamiche, su una lunghezza unitaria dellostacolo, si riduce ad una forza

(portanza) di grandezza proporzionale al valore della circolazione

Se il solido cilindrico ha una sezione (profilo) dissimmetrica o dissimmetricamente disposta rispetto alla dire-

zione dei filetti della corrente indisturbata, le traiettorie seguite dalle particelle di fluido e la distribuzione delle

velocit nei pressi delle due facce sono diverse.

La distribuzione delle velocit quella che, con un ipotetico fluido perfetto non viscoso, si avrebbe se ad un

semplice moto uniforme traslatorio si supponesse sovrapposta una corrente circolatoria.

Questa sovrapposizione di moti fa s che, per la concordanza del senso del moto, la velocit cresca sul dorso

(o stradorso) e diminuisca sul ventre (o intradorso) del profilo. In modo inverso, naturalmente, risultano essere

distribuiti i valori della pressione. Nel caso di profilo simmetrico disposto simmetricamente, essendo il moto del

tipo a potenziale delle velocit, si verifica che la circolazione o circuitazione della velocit sia nulla:

0cos dsc

l

h

fs

A B

9

D

C

A

D

B

A

C

Bdswdswdswdswdsw coscoscoscoscos

Nel caso di moto traslo-circolatorio di un fluido perfetto, interessante un solido cilindrico dissimmetrico (o di-

sposto dissimmetricamente rispetto alla direzione dei filetti fluidi), landamento delle velocit non pi simme-

trico rispetto agli assi di riferimento essendo 0 . In questo caso si ha un moto a potenziale la cui funzione

potenziale di velocit non che la somma dei rispettivi potenziali dei due moti componenti.

Si genera una distribuzione di pressione che, secondo il teorema di Joukowsky, fa nascere una forza normale

alla direzione di w il cui verso si ottiene ruotando di 2

il vettore w in senso opposto alla circuitazione.

Il valore della circuitazione legato a:

Valore di w

Forma del profilo

Posizione del profilo rispetto alla direzione di w

La portanza P , per unit di lunghezza del profilo:

wP

Che mostra come per un dato fluido il valore di w pu essere ottenuto in infiniti modi.

Nel caso reale di fluido viscoso, oltre alla portanza, la risultante di tutte le azione del fluido sullostacolo ha

una componente che ha la direzione ed il verso di w , detta resistenza R . Tale risultante agisce in un punto det-

to centro di pressione, la cui determinazione importante per il calcolo delle sollecitazioni a cui sottoposta

lala.

La determinazione dellazione aerodinamica del fluido reale sul profilo in genere effettuata sperimentalmen-

te e lentit della portanza e della resistenza vengono individuate tramite le definizione del coefficiente di por-

tanza ( pc ) e del coefficiente di resistenza ( rc ), anche detto numero di scivolamento, con le relazioni:

Sw

Pcp

2

2

1

Sw

Rcr

2

2

1

hlS (corda del profilo per apertura alare)

A

D C

B

w

10

Il valore numerico di tali coefficienti determinabile sperimentalmente in apposite gallerie a vento, quando

noti e l , si misurino contemporaneamente la velocit relativa del vento e le componenti P e R dellazione di

questultimo sul profilo alare in prova. I valori di pc e rc dipendono essenzialmente da:

Forma del profilo

Posizione del profilo rispetto alla direzione di w

Per individuare lassetto del profilo alare rispetto alla corrente che lo investe si assumono come valori di riferi-

mento:

Langolo di incidenza relativo i , angolo per cui si ha portanza nulla se la w diretta lungo la retta in-

clinata di un angolo i rispetto allorizzontale

Langolo di incidenza assoluto 0i .

Il fattore i dipende dalla geometria del profilo solamente, sar quindi noto, fissato che sia il profilo.

I valori di pc e rc vengono quindi rilevati, per unassegnata forma del profilo, variando lassetto del profilo ed

individuando, in tal modo, differenti valori di i o di 0i .

Per un assegnato profilo, pc =0 se la direzione del flusso coincide con quella di portanza nulla, mentre 0rc

sempre.

pc

rc

i

0i08

2,102,0

00

i

i 0i

w

iii 0

0 8

Flusso diretto come la

corda

Questo calo improvviso

indice del fatto che si sta

andando in stallo

Tale valore rappresenta il

massimo angolo

dincidenza possibile prima che ci sia stallo

11

Per valori di w alquanto elevati ( 35.03.0 Mc ) il valore di pc influenzato anche dal numero di Mach.

Per elevati valori di Re, rc praticamente indipendente dal numero di Mach, fino al suo valore critico.

Mentre rc sempre crescente con i (con i aumenta la RESISTENZA perch aumenta la sezione retta), pc

cresce fin quando non si instaurano fenomeni di distacco delle vene fluide dal dorso della pala (stallo) che com-

portano un brusco decadimento delle prestazioni (portanza) del profilo. Si noti come le condizioni favorevoli al

distacco, e quindi alla verifica dello stallo, sono caratterizzate da valori elevati di w e da una maggiore incurva-

tura del profilo. La stessa superficie ha pi portanza se estesa in lunghezza che in profondit per la distribuzione

non lineare della pressione.

Si pu anche definire lefficienza del profilo dal rapporto r

p

c

cE , anche determinabile dalla curva polare del

profilo ricavata riportando in diagramma i valori di pc e rc ottenuti per ciascun valore dellangolo di incidenza

assoluto:

Per le applicazioni civili si punta a risparmiare, ossia, ad avere portanza minimizzando la resistenza, mentre in

applicazioni militari (aeronautiche), interessano le prestazioni, quindi si punta ad avere il massimo della portan-

za, anche se aumenta la resistenza e quindi i consumi.

rc

3,7

00i

buon compromesso

pc massimo, ma rc elevato

tgE

pc

12

3. ESTENSIONE DELLA TEORIA ALARE AI PROFILI DISPOSTI IN SCHIERA PIANA

(MOTO BIDIMENSIONALE).

t = passo della schiera

t

l= solidit della schiera

c1 = angolo costruttivo di ingresso

c2 = angolo costruttivo di uscita

cc 12 = deviazione geometrica

= angolo di calettamento

Un flusso attraversante una schiera di profili in numero finito e disposti con una determinata geometria subi-

sce una deviazione definitiva cui corrisponder una variazione di direzione di w se misurata sufficientemente

lontano dai bordi di attacco e di uscita dei profili. Il teorema di Joukowsky pu utilmente essere esteso anche al

caso di profili in schiera se si considera ancora il fluido privo di viscosit e se si assume come velocit

allinfinito w , il valore medio tra 1w e 2w . Per il calcolo della circuitazione si assumano allora le linee costitui-

te da due filetti fluidi distanti tra loro del passo t .

l

c1

t

1w

1

c2

22w

13

La circuitazione , in questo caso, ottenibile da :

D

C

A

D

C

B

B

Adswsdwsdwdswdsw 2211 coscoscos

Ma se twa cos e BC congruente con DA: A

D

C

Bsdwsdw

Per cui, se lungo A-B e C-D si ha 11 cosw cost e 22 cosw cost, si ha ad una certa distanza della schiera

uuuuu

D

C

B

Awtwwttwtwdswdsw )(coscos 21212211

Ricordando quindi di intendere 2

21 www

si ha che la portanza per un profilo alare inserito in schiera :

us wtwwP

Essendo anche lwcPsps

2

2

1 (formalmente la portanza in schiera uguale al profilo isolato), si ha che il co-

efficiente di portanza del profilo inserito in schiera (nellipotesi di corrente ideale per la quale si ricavato il

valore di ):

l

t

w

wc ups

2

che stabilisce uninterazione fondamentale tra coefficiente di portanza in schiera e deviazione, una volta stabi-

lite le grandezze t e l .

t

AB

C D

2w

1w

14

4. RELAZIONE TRA LE CARATTERISTICHE AERODINAMICHE DELLA SCHIERA E IL

RENDIMENTO DELLO STADIO.

Un profilo investito da un fluido reale di velocit w , subisce oltre lazione della portanza P anche quella del-

la resistenza R (diretta nel verso del moto).

Lefficienza del profilo r

p

c

cE pu quindi essere messa in relazione con il rendimento dello stadio.

La componente tangenziale : cos1 RPsenT

La potenza totale trasmessa per uno stadio con un numero z di pale :

)cos(1 RPsenuzTuzPt

Ricordando che il grado di reazione u

w

cw

w

ccww

ww

HH

HR u

uu

u

uuuu

uu

sr

r

e che

uur wwg

H 1

e uus ccg

H 1

si ha che la potenza trasmessa nel rotore

)cos(, RPsenzwP udr , che rappresenta la potenza teoricamente disponibile per lincremento di pres-

sione.

La componente assiale : RsenPN cos , essendo in genere RsenPcos , la componente as-

siale risulta positiva ed il suo verso contrario alla direzione assiale del moto del fluido come appare logico do-

vendo il fluido spostarsi verso un gradiente avverso di pressione.

Lincremento effettivo di pressione nel rotore allora:

ht

Np

e per 1h , si ha )cos(1

RsenPt

p

P

R

i

1T

NcosPu

Rsen

Psen cosR

centro di

pressione

15

essendo allora la portata volumetrica: awtzQ

si ha che la potenza utilizzata sotto forma di incremento di pressione nel rotore :

)cos()cos(1

, RsenPzwRsenPt

ztwP aaur

Avendo ricavato la potenza disponibile e quella utilizzata, si pu esprimere il rendimento del rotore, come:

)cos(

)cos(

,

,

RPsenzw

RsenPzw

P

P

u

a

dr

ur

r

Essendo tgww ua , sar:

P

Rtg

tgP

R

gr

1

cot

1

ricordando che R

PE , allora:

gE

tgE

r

cot1

1

11

Il rendimento r dipende da:

E

Analogo procedimento conduce alla definizione del rendimento dello statore s che per coincide con

r e quindi si ottiene il rendimento dellintero stadio dalla semisomma dei due: 2

,,

sd

s

rd

r

stadio

P

pV

P

pV

.

Per altre configurazioni rotore e statore avranno differenti rendimenti anche a parit di efficienza aerodinami-

ca.

Si osserva che per

0 0

01

1 tgE

0 e RsenPcos Condizione per la quale 0N e quindi 0p .

Il rendimento presenta un massimo, che si attinge per:

1

112EE

arctg

16

Che mostra come per E 45

Per gli usuali valori dellefficienza tuttavia (per come la funzione )(Ef ) il valore ottimo di si ha per

45 .

Nel caso di 45 si ha che:

E

E1

1

11

max

Risulta quindi, in generale, conveniente adottare valori di 45 che corrispondono alla configura-

zione simmetrica di triangoli di velocit ( 5,0R ).

20E

10

7

9.0

17

5. SCELTA DEL PROFILO DELLE PALE.

Dalla relazione l

t

w

wc ups

2 , noti i triangoli di velocit e le caratteristiche del flusso e della schiera si pu

ricavare il valore di sp

c .

Tale valore , tuttavia, diverso dal ip

c relativo al profilo isolato per le interazioni che si verificano tra le pale e

per la mancanza della scia vorticosa laterale caratteristica del profilo isolato (che influenza il valore dellangolo

di incidenza i ).

Si definisce quindi effetto schiera il rapporto:

isolatop

schierap

c

ck

,

,

Che tende a 1 per valori molto elevati di l

t, studi teorici del Weinig portarono alla determinazione

dellandamento di k con l

t e con langolo di calettamento nelle ipotesi di fluido privo di viscosit e di palette

piane e sottili.

La strada seguita , tuttavia, quella di effettiva sistematica ricerca sperimentale sulle schiere piane misurando

direttamente, per diversi tipi di profili e per diverse combinazioni di rapporto passo/corda e dellangolo di inci-

denza, il valore di uw ed il valore della deviazione angolare realizzabile.

18

6. GALLERIA DEL VENTO PER LE PROVE SU SCHIERE DI PALE.

La schiera progettata in modo da assicurare che almeno nella sezione centrale (nella quale si effettuano le

misure) il flusso sia bidimensionale.

Il flusso nella schiera pu, in tal modo, costituire un ragionevole modello del flusso nella macchina (a meno

degli effetti 3-D per pale molto lunghe).

La funzione del tratto accelerante quella di ottenere un flusso allingresso della sezione di prova, avente un

diagramma rettangolare delle velocit con il minimo sviluppo dello strato limite che, in genere, viene auspicato

per evitare effetti 3-D.

Tra i pi completi e accurati risultati ottenuti con prove su schiera sono quelli relativi ai profili della serie

NACA 65, caratterizzati da un profilo base simmetrico (con 0pc ) ed uno spessore massimo pari al 10% della

lunghezza della corda e da una serie di profili ottenuti da quello base incurvando opportunamente la linea dei

centri.

Le caratteristiche di una schiera sono:

Geometriche:

profilo

curvatura equivalente (arco di cerchio che passa per gli estremi della linea mediana)

rapporto passo/corda (solidit)

Funzionali:

angolo di incidenza

angolo di deviazione

19

i risultati relativi ad una serie di prove condotte al variare della solidit t

l e della curvatura del profilo per un

assegnato valore dellangolo 1 sono condensati nel diagramma:

Nel quale risulta evidente l effetto schiera, dovuto alla curvatura del profilo, c, e al numero di pale.

Elevati valori di causano:

aumento della resistenza e quindi diminuzione dellefficienza del profilo.

Valori troppo piccoli causano:

un comportamento da profilo isolato e quindi basse deviazioni

Elevate curvature comportano:

aumento del carico palare ( pc )

bassi valori del Mach critico

In genere:

25,175,0

pi elevati consentono ammissioni maggiori della portata di attraversamento.

1,25

1.00 5.1

=cost

451

c

0.75

20

7. FENOMENI DI INSTABILIT NEI COMPRESSORI ASSIALI.

7.1. STALLO.

Al diminuire della portata una maggiore inclinazione della 1w fa aumentare langolo di incidenza oltre le con-

dizioni di massimo valore di pc oltre il quale si ha distacco dello strato limite dal dorso delle pale con conse-

guente formazione di vortici.

In tali condizioni si ha un crollo della portanza ed un forte incremento della resistenza.

Nel caso di stallo totale (verificato e studiato su schiera di pale) si ha una brusca diminuzione della pressio-

ne di mandata e, a causa delle forti perdite instauratesi, anche della portata.

Nel caso di riferirsi ad una macchina reale, prima dello stallo totale si verifica il fenomeno dello stallo rotan-

te, caratterizzato da una pulsazione ciclica della pressione, dovuta ad una deviazione locale del flusso rispetto

alla cella in stallo che trasmette queste condizioni alla cella seguente nel verso del moto con una velocit pari a

circa la met di quella angolare della macchina.

Se la frequenza dello stallo (prodotto della velocit di propagazione per il numero delle celle) si avvicina a

quella naturale delle pale si pu avere un fenomeno di risonanza dannoso per lintegrit della pala stessa.

7.2. POMPAGGIO.

Dovuto al differente comportamento della legge che lega le pressioni alle portate nel circuito esterno tra le

condizioni di moto stazionario e quelle di moto vario che genera condizioni di instabilit per valori della portata

elaborata dal compressore molto piccoli rispetto alla massa di fluido contenuta nei condotti esterni e negli orga-

ni circuitari (ad es. serbatoio di mandata).

La massa accumulata nel circuito esterno ha uninerzia a mantenere le proprie condizioni di pressione rispetto

alla rapida variazione della caratteristica interna.

A

B

M

D

p

Q

21

La differenza si esalta al diminuire della portata fino allannullamento della portata. Si ha quin di un riflusso

rapidamente contrastato dalla macchina (dato landamento della caratteristica interna nel quadrante delle portate

negative) che genera una pressione crescente con legge pi rapida rispetto al valore di pressione che si ha nel

circuito esterno. Il punto di funzionamento si riporter in M, instaurando cos un regime stabile di pressioni va-

riabili. Sperimentalmente si verificata u'nanalogia con lequazione dei di Helmots per determinare la frequen-

za del fenomeno:

Vm

pSf

24

2

1

S= sezione tubazione

V=volume capacit

m=massa mediamente presente nel circuito

7.3. BLOCCAGGIO DELLA PORTATA.

Allaumentare della portata cresce la velocit relativa che avr il suo valore massimo (proporzionale allentit

della curvatura) sul dorso del profilo.

Raggiunto il valore del Mach critico se la portata cresce ancora la zona sonica si estende sino a formare una

sezione interamente interessata da valori della velocit di bloccaggio della portata ( 1Ma ).

Essendo TMa il raggiungimento delle condizioni critiche si ha in genere nel primo stadio per valori ele-

vati del numero di giri.

Per bassi valori del numero di giri gli effetti dinterazione portano ad un aumento della velocit assiale negli

ultimi stadi, nei quali, essendo la temperatura pi bassa rispetto al caso precedente, pi probabile che si abbia

bloccaggio.

Ma>1

Ma

22

8. TEORIA DELLA SIMILITUDINE.

8.1. PARAMETRI CHE CARATTERIZZANO LE PRESTAZIONI DI UNA TURBOMACCHINA

(COMPRESSORI DINAMICI).

Rendimento

Salto entalpico totale toth

Potenza di compressione P

8.2. VARIABILI FUNZIONALI.

= viscosit

N = regime di rotazione

D = diametro esterno della girante

m = portata massica

1 = densit in aspirazione

1a = velocit del suono in aspirazione

k = esponente dellisoentropica

Dato lelevato numero di parametri funzionali difficile prevedere le prestazioni della macchina in condizioni

diverse da quelle di progetto. Per verificare le prestazioni dei compressori al di fuori di tali condizioni, si deve

trovare una metodologia di confronto dei risultati con quelli garantiti.

La metodologia pi seguita basata sulla teoria della similitudine dinamica di flusso tra le due condizioni di

funzionamento di progetto e di prova.

In tal modo si pu stabilire in quali condizioni i due flussi, in condizioni diverse, possono considerarsi dina-

micamente simili. Note le caratteristiche di progetto si possono ricavare le corrispondenti caratteristiche del

flusso similare (prova). Lo studio in similitudine di fondamentale importanza per lutilizzo di misure speri-

mentali ottenute su modelli della macchina.

Si verifica la similitudine dinamica del flusso tra due campi di moto quando:

Si verifica un rapporto costante tra due velocit in punti corrispondenti della corrente e tra le velocit

in punti corrispondenti e la velocit di uno stesso organo della macchina (ad es. velocit periferica del-

la girante).

Le velocit in punti corrispondenti hanno stessa direzione rispetto ad una qualsiasi direzione di riferi-

mento.

23

Stessa trasformazione subita dal gas nelle due condizioni di flusso (stesso esponente della trasforma-

zione).

Sono uguali, nei due sistemi, i rapporti di due tipi di forze agenti su masse elementari di fluido in punti

corrispondenti (forze dinerzia, viscose, gravitazionali, elastiche).

Similitudine geometrica delle superfici di contatto del fluido nei due sistemi (cio rapporto costante tra

lunghezze omologhe e angoli omologhi uguali).

Perch si verifichino queste condizioni, occorre imporre le uguaglianze di alcune grandezze dimensionali, de-

rivate dalle stesse relazioni funzionali, valide per le due condizioni di flusso. In tal modo possibile prevedere

le prestazioni per una famiglia di macchine simili e funzionanti in similitudine.

I parametri prestazionali pi ricordati possono quindi, in funzione delle variabili prima citate, , essere espressi

dalle relazioni:

0,,,,,,, 111

kamDNhf tot

0,,,,,,, 112

kamDNf

0,,,,,,, 113

kamDNPf

Mediante il teorema di Buckingham, le tre relazioni tra otto grandezze possono essere trasformate in altrettan-

te in gruppi dimensionali in numeri inferiori ad otto.

Trattandosi di fenomeni meccanici, descrivibili con le tre grandezze fondamentali L , M ,T , possiamo ridurre

le otto grandezze derivate a cinque gruppi dimensionali e quindi scrivere (in funzione delle tre grandezze fon-

damentali o altre tre dipendenti o da esse derivate):

0,,,, 54321'

1

f

0,,,, 54321'

2

f

0,,,, 54321'

3

f

In cui 1 , 2 , 3 , 4 , 5 sono i gruppi adimensionali.

ESEMPIO PER toth IN FUNZIONE DI D , N ,

)(11 totzyx hND MTL

24

Dimensionalmente

MTLD 1 MTLN 1 131 MTL MTLhtot 22

Sostituendo si ha

MTLMTLMTLMTLMTL zyx 221311 Si ha un sistema lineare in tre equazioni e tre incognite:

023 zx 2x

02 y da cui 2y

0z 0z

Per cui

221

22

1ND

hhND tottot

Analogamente

1

22

ND

1

33

ND

m

DN

a14

k5

Si ha quindi:

kDN

a

ND

m

NDND

hf tot ,,,,' 1

1

3

1

2221

ovvero:

ka

DN

m

NDNDf

ND

htot ,,,1

1

3

1

2

22

Generalizzando le tre espressioni si ha:

22 ND

htot , ,53

1 DN

P

=

k

a

DN

m

NDNDf ,,,

1

1

3

1

2

25

che esprimono tre relazioni funzionali tra gruppi dimensionali che caratterizzano le prestazioni di una famiglia

di macchine funzionanti in similitudine di flusso.

Perch si verifichi ci devono essere uguali

22 ND

htot , , 53

1 DN

P

e quindi i gruppi dimensionali entro le parentesi.

Ma

Re12

uDND

u

w

ND

wA

ND

m m3

1

1

1

3

Maa

u

a

ND

11

numero di Mach periferico

2

222 u

L

DN

htot coefficiente di pressione

Le relazioni funzionali tra grandezze dimensionali si possono scrivere sinteticamente

53

1 DN

P

, , = kMaf ,,Re,

E quindi:

a parit di pol1 , si ha similitudine di flusso se si hanno:

Stessi coefficienti di pressione e di portata

Stessi esponenti isoentropici e politropici

Stessi numeri di Mach periferico

Stessi numeri di Reynolds di macchina

Verificandosi tali condizioni risultano uguali anche i numeri di Mach e di Reynolds locali.

1 Ricordando che (condizione di uguaglianza delle turbomacchine)

1

11

1

polk

k

k

k

is

26

9. USO DEI PARAMETRI EQUIVALENTI.

Una rappresentazione molto usate delle curve caratteristiche interne di un compressore quella in cui si riferi-

sce la portata effettiva alla portata corrispondente alla velocit del suono allingresso della macchina.

1

2

1 scDkMc

dove:

1kRTcs

D diametro della girante

1k costante

1

11

RT

p densit del fluido allaspirazione

sostituendo sc e 1

11

RT

p si ha:

1

11

2

1RT

pkRTDkMc

da cui:

1

2

1

1

pkDk

RTM

Mc

M effeff

portata adimensionalizzata rispetto alle condizioni di aspirazione, per cui uno stesso punto dellasse delle ascis-

se pu rappresentare:

22

2

2

'

2

222

11

2

1

'

1

111

pkDk

TRM

pkDk

TRMcost

Se il fluido trattato il medesimo e se si fa riferimento alla stessa macchina si ha:

21 DD

21 kk

21 RR

e lespressione si riduce a: 1

1

p

TM

tale relazione, non pi dimensionale detta parametro corretto, unitamente allaltro, ricavabile con procedi-

mento analogo, per la velocit periferica:

1

'

kRT

Dnk

c

u

s

che d luogo al parametro corretto: 1T

n

Luso di tali parametri corretti consente di studiare il comportamento funzionale della macchina al variare del-

le condizioni di aspirazione.

27

I dati ricavati dalle prove sperimentali vengono infatti riportati in diagramma dopo averli corretti, tenendo

conto delle condizioni ambiente, se si pu ritenere costante il rendimento che dipende, per velocit elevate, dal

numero di Mach e, per velocit basse, dal numero di Reynolds.

In particolare Re pu esercitare notevole influenza sulle perdite se Re < 5102 .

In tal caso si ha infatti che il rendimento decade notevolmente ed allora conveniente tracciare due famiglie

di curve caratteristiche relative a valori rispettivamente elevati e bassi di Re.

Re

0.8

10.0 x 104

p

Tm

T

n alti Re

bassi Re

28

10. EQUILIBRIO RADIALE NELLE TURBOMACCHINE OPERATRICI ASSIALI.

Lipotesi di considerare il flusso bidimensionale, nel senso che non vi comportamento radiale della velocit,

non appare ragionevole quando la lunghezza delle pale apprezzabilmente elevata rispetto al diametro medio.

In tal caso la distribuzione di massa rispetto al raggio pu influenzare notevolmente il profilo di velocit in usci-

ta e, di conseguenza, gli angoli cinematici del flusso. In tal modo, per un osservatore solidale con una particella,

lo spostamento radiale avr luogo fin quando non si instaurer una nuova distribuzione di pressione in grado di

bilanciare gli effetti delle forze centrifughe. Il flusso che nellanulus della macchina caratterizzato da un moto

privo di componente radiale e le cui linee di corrente giacciono su superfici cilindriche circolari comunemente

definito come flusso in EQUILIBRIO RADIALE.

Lanalisi, chiamata metodo dellequilibrio radiale, ampiamente usata per calcoli di progetto quasi-

tridimensionale basata

1. sullassunzione che una linea di corrente giaccia su una superficie cilindrica coassiale allasse della

macchina (assenza di componente radiale), il che significa asserire che: la componente meridiana del

flusso mc giace su una superficie cilindrica non essendovi componente radiale.

uc componente tangenziale della velocit c nella

direzione di r

mc componente della velocit tangenziale alla li-

nea meridiana di flusso nella direzione del raggio di

curvatura R

Si osservi che, nel caso pi generale, per la defles-

sione delle linee di corrente nel piano meridiano, al

termine Fu andrebbe sommato il termine

R

cdmF mm

2

, che provoca unulteriore variazione di

pressione in direzione radiale. Se R ovviamen-

te 0mF ( R se piccolo langolo di defles-

sione).

cm

r R

apice

radice

ca

29

cu

p+dp

p

d b

r

dr

a

2. Ipotesi di assialsimmetria del flusso che implica il ritenere condizioni di moto identiche in ogni punto,

giacente nellintersezione di una superficie cilindrica coassiale allasse della macchina con un piano ad

essa ortogonale per qualsiasi valore del raggio (lo spessore delle pale considerato nullo).

3. Il flusso considerato incomprimibile e senza attrito.

per una generica serie di particelle di massa dm perch si verifi-

chi equilibrio radiale si deve verificare che:

r

cabdr

r

cdmF uuu

22

La particella fluida considerata come elemento anulare e non come un parallelepipedo per cui la superficie

ab (verso lesterno) maggiore della superficie rivolta verso linterno e, pertanto, le forze che agiscono sulle

superfici bdr hanno componenti che tendono a spostare le particelle verso lesterno, ma i due effetti (superficie

e pressione) si compensano.

La forza centrifuga che agisce sulle particelle, Fu, deve essere equilibrata dalle forze di pressione in modo da

avere:

uFpababdpp )( e quindi:

r

cabdrdpab u

2

drr

cdp u

2

; r

c

dr

dp u2

1

Che si ottiene trascurando i termini del II ordine nellequazione dellequilibrio scritta completamente.

Se sono note (a monte e a valle delle pale) )(rcu e )(r pu allora essere determinata la variazione radiale

della pressione lungo le pale che soddisfa lequazione scritta.

2

1

2r

ruradiceapice

r

drcpp

30

Che per un fluido supposto incomprimibile diventa:

2

1

2r

ruradiceapice

r

drcpp

Se non vi componente radiale, al generico raggio r si ha che lentalpia di ristagno :

)(2

1 220 um cchh

e quindi che al variare del raggio deve essere:

dr

dcc

dr

dcc

dr

dh

dr

dh uu

mm

0

ricordando che:

dpTdsdh

1

si ha (considerando )(rT = cost):

dr

dcc

dr

dcc

dr

dp

dr

Tds

dr

dh uu

m

m

10

essendo

r

c

dr

dp u2

1

si ha ancora:

dr

dcccr

dr

d

r

c

dr

Tds

dr

dh mmu

u )(0

Se supponiamo che lungo il raggio sia s(r) = cost , il che, in altre parole, significa dire che tutti i filetti fluidi su-

biscono le stesse perdite (per qualunque valore del raggio, supponendo adiabatica la macchina) e che sia anche

)(0 rh = cost (costanza dellenergia specifica del fluido lungo il raggio) si ha:

0)( dr

dcccr

dr

d

r

c mmu

u

valida per un rotore nel quale sia costante ad ogni raggio il lavoro scambiato con il fluido.

Infatti, se il fluido supposto incomprimibile invece dellentalpia di ristagno si pu considerare la pressione di

ristagno, tale che, essendo:

)(2

1 220 um ccpp

31

si ha:

dr

dcc

dr

dcc

dr

dp

dr

dp uu

m

m

11 0

che fornisce, ricordando sempre lipotesi di equilibrio r

c

dr

dp u2

1

, la relazione:

dr

dcccr

dr

d

r

c

dr

dp mmu

u )(1 0

Lipotesi di costanza di lavoro trasmesso ad ogni raggio (

00 12pp

cuL u

) implica che, partendo il flus-

so, a monte del rotore, con un valore uniforme di 0p , tale valore dovr essere uguale anche lungo il raggio a

valle della pala. In altre parole si ha )(01

rp = cost e )(02

rp = cost, se si impone che sia costante, lungo il raggio,

il lavoro trasmesso. Qun ato detto vale nellipotesi che il trasferimento di lavoro avvenga lungo le pale sempre

con la stessa efficienza e cio che )(rpal = cost, il che significa dire che le perdite di pressione totale (correla-

zioni di perdite con le prove su schiera) siano costanti lungo il raggio.

In questo caso lequazione si riduce a:

0)( dr

dcccr

dr

d

r

c mmu

u

EQUAZIONE DELLEQUILIBRIO

RADIALE PER )(rL = cost

per la quale vale la relazione:

ucu = cost ucr = cost

Lequilibrio radiale costituisce unequazione che, integrata a monte e a valle della palettatura pu fornire la

distribuzione della velocit assiale (meridiana) se viene assegnata la distribuzione delle velocit tangenzia-

li )(rcu (problema di progetto, o indiretto)

32

11. SVERGOLAMENTO DELLA PALETTATURA.

Nel caso di correnti decelerate lo svergolamento delle pale deve essere calcolato e realizzato in modo pi ac-

curato che nel caso di correnti accelerate, a causa della maggior facilit con cui si pu verificare il distacco della

corrente dalle superfici di guida.

In generale, per lo stesso motivo, necessario che siano imposte al fluido solo moderate deviazioni, che, uni-

tamente alla condizione ucuL cost, mostra come al raggio interno, la variazione cu , e quindi, la devia-

zione del flusso debba essere pi elevata a causa del piccolo valore della velocit periferica u .

La variazione cu, la cui distribuzione resta fissata dallaver imposto ucuL cost per da determinare in

termini di valori delle componenti uc2 e uc1 , in grado di realizzare la voluta deviazione.

Diversi sono i criteri adottati per calcolare, in funzione della variazione cu, lo svergolamento delle pale, che

dipender, naturalmente, dai valori assoluti di uc2 e uc1 .

12. CRITERIO DEL VORTICE LIBERO (O A MOMENTO CINETICO COSTANTE).

Un flusso irrotazonale a vortice libero (o, per meglio dire, libero da vortici) caratterizzato da un valore co-

stante del prodotto:

kcr u = cost

Si consideri un elementino di fluido ideale non viscoso che ruota intorno ad

una asse. La circuitazione , definita come lintegrale di linea (che racchiude

una certa area A) della velocit c :

A

cds

r+dr

r

d

cu

cu+dcu

33

La vorticit in un punto definita come il limite della circolazione rispetto allarea A per 0A , si ha

quindi che la vorticit

dA

d

per lelementino considerato :

drrdr

c

dr

dcrdcddrrdccd uuuuu

))((

Se si ignorano i termini del II ordine.

In tal caso, essendo rdrddA si ottiene:

dr

rcd

rdA

d u1

se la vorticit 0 , deve allora essere:

0

dr

rcd u

e quindi :

kcr u = cost

34

13. PROBLEMA INVERSO O DI PROGETTO: NOTA LA DISTRIBUZIONE )(rcu TROVARE

)(rcm .

Ricordiamo che nelle ipotesi precedentemente dette e per L = cost si ha che lequazione dellequilibrio radiale

si riduce a:

0

dr

rcd

r

c

dr

dcc uumm

Ponendo ucr = cost si ha allora

0dr

dcc mm

che fornisce la condizione )(rcm = cost come condizione particolare di distribuzione della componente assiale

(incognita del problema di progetto o indiretto) corrispondente alla condizione imposta derivante dallipotesi di

vortice libero. Per risolvere completamente il problema occorre naturalmente assegnare le condizioni iniziali

(valore di 1mc ) ottenibili semplicemente dallequazione di continuit.

In definitiva, imponendo la costanza del lavoro trasmesso, lipotesi di vortice libero consente di progettare

uno svergolamento delle pale che consente di mantenere costante anche la componente assiale (altezza dei

triangoli di velocit in ingresso e in uscita).

La condizione appena trovata , tuttavia, strettamente legata alla considerazione gi fatta di ritenere costante il

rendimento di palettatura con il raggio e di ritenere adiabatica la macchina.

In caso diverso non potr essere esattamente soddisfatta la condizione L(r) = cost e quindi, anche supponendo

nulla la vorticit non sar esattamente costante la componente assiale.

Con lo svergolamento operato a vortice libero non si conserva il valore del grado di reazione lungo le pale,

dovendo essere al variare di u , ucu = cost, che diminuisce verso la radice dove aumenta la deviazione subita

dal fluido e quindi la curvatura delle pale.

35

APICE

5.0R

RAGGIO MEDIO

5.0R

RADICE

5.0R

rotore

statore

rotore

statore

rotore

statore

cu

c2

c1 wa=ca

w1

w2 w

u

cu

c2

c1 wa=ca

w1

w2 w

u

cu

c2

c1 wa=ca

w1

w2 w

u

36

14. FLUSSI SECONDARI.

effetti dovuti allo strato limite presente su: superficie delle pale

mozzo

casse

Il fluido per effetto della deviazione subisce unazione centrifuga equilibrata dal gradiente di pressione che e-

siste tra ventre e dorso di due pale successive.

Nella zona centrale del condotto la velocit del fluido massima e massima anche lazione di tale forza cen-

trifuga che tender a spostare il fluido dalla zona centrale verso il ventre della pala provocando in conseguenza

un riflusso in senso contrario sia nella zona superiore che inferiore.

Si generano in tal modo vortici di senso opposto.

Un altro fondamentale flusso secondario quello dovuto allazione delle forze centrifughe nel piano ortogo-

nale allasse della macchina che tende a formare un vortice nel piano stesso.

Lazione dei flussi secondari si traduce in uno scostamento sempre pi marcato del flusso principale dalle

condizione ipotizzate per il calcolo dellequilibrio radiale.

Unaltra condizione che pu rendere meno valide le ipotesi di flusso considerate quella di velocit tali da

rendere reversibili gli effetti di comprimibilit in termini di variazione della sezione della macchina che, vice-

versa per basse velocit, non subiscono tali variazioni nellambito di uno stadio.

37

15. REGOLAZIONE DEI COMPRESSORI.

COMPRESSORI CENTRIFUGHI

(comportamento pi graduale)

COMPRESSORI ASSIALI

(curva caratteristica pi ripida,

il profilo risponde alle

variazioni di portata

con rapide variazioni

di sp

c )

15.1. REGOLAZIONE A NUMERO DI GIRI VARIABILE.

Variando u e aw si pu ottenere un comportamento della macchina sempre prossimo a quello di progetto.

=cost

Q

Q

38

15.2. REGOLAZIONE PER STROZZAMENTO.

Riduzione della portata da m a xm

Differente valore della portata volumetrica a parit di variazione della portata massica e vantaggi rispetto alle

condizioni di pompaggio.

15.3. REGOLAZIONE PER BY-PASS.

M

1

1

p

Tmx

1

1

'p

Tmx

1

1

p

Tmp

Tm

Alla mandata

Allaspirazione

39

15.4. REGOLAZIONE CON PALETTATURA AD ORIENTAMENTO VARIABILE.

Apertura

minima

Apertura

intermedia

Apertura

massima

Si modifica lorientamento delle pale statoriche conformemente alle variazioni di portata richieste. Al diminu-

ire della portata decresce langolo di calettamento in modo da imporre al fluido una deviazione tale da mantene-

re costante le direzioni delle velocit relative. In queste condizioni la prevalenza decresce con la portata e la ca-

ratteristica tale da avere (per ovvi motivi) sempre condizioni ottimali di rendimento come per la regolazione a

numero di giri variabile.

Si possono tracciare curve parametrate nellangolo di calettamento a numero di giri costante.

u

u

u

c2

c1 w1

w2

u

wa

c2

c1 w1

w2

u

wa

c2 c1 w1

w2

u

wa

40

16. COMPRESSORI TRANSONICI E SUPERSONICI (BREVI CENNI).

Si definisce compressore supersonico quello in cui, sulle palette di un qualsiasi elemento di stadio e per tutta

laltezza della pala, si verifichi un flusso supersonico.

Se la velocit del flusso passa da valori subsonici alla base a valori supersonici alla sommit, il compressore

definito transonico.

Se la velocit del flusso transonica o supersonica la sua componente assiale , per, sempre, nettamente,

subsonica.

In questa classe di macchine, la presenza di fenomeni di urto rende necessario un profilo con la parte anteriore

(non arrotondata come nel caso di flussi subsonici) a forma di cuneo molto acuto. Inoltre la sagoma del condot-

to deve essere del tipo convergente - divergente e non semplicemente divergente.

Il principio di funzionamento si basa sul forte aumento di pressione conseguente al brusco passaggio, attraver-

so onde durto, del flusso, da velocit supersoniche a velocit subsoniche.

In tal caso impossibile conservare immutata la componente assiale del triangolo di velocit

nellattraversamento dello stadio.

URTO NEL ROTORE

Essendo i compressori supersonici in genere monostadio,

come alcuni fan transonici usati nei turboreattori

a doppio flusso, adottata una soluzione con velocit

assoluta in uscita in direzione assiale

URTO NELLO STATORE

In questa configurazione il rotore imprime soltanto

una forte deviazione ( 0R ) per cui

la compressione avviene tutta nello statore

La variazione di componente assiale (nel rotore e nello statore) comporta un dimensionamento delle palettatu-

re che non tenga conto della sola variazione di densit.

Lurto nel rotore ha un effetto compensativo sullaumento di densit, in tal caso quindi, larea di passaggio

non si riduce in proporzione allaumento di densit.

w1

Ma > 1 w2

c2

c1

u

u

w1

Ma > 1

w2=w1

c2 c1

u

u

41

Nel caso di urto nello statore, gli effetti di aumento di aw nel rotore (in cui non vi aumento di pressione)

vengono compensati da una riduzione dellarea di passaggio.

17. GRADO DI REVERSIBILIT DI UN CICLO.

Quando le trasformazioni di adduzione e sottrazione di calore non sono isoterme si pu definire un indice di

molteplicit delle sorgenti. Si considera quindi la presenza di infinite sorgenti termiche ognuna caratterizzata

da una temperatura T e da un calore dQ scambiato in un tempo infinitesimo.

mm TT

TT

'/"

'/"

Tm, Tm = temperature medie di scambio

T,T = temperature estreme

Per ciascuna sorgente vale '

''

T

T m ; "

""

T

T m ; "

'

Che permettono di separare gli effetti delle distribuzioni delle sorgenti positive e negative.

AB

B

Am

s

Tds

T

B

A IT

dQ

)(

1 B

A IIT

dQ

)(

2

1 e 2 = variazioni entropiche tra A e B

m

B

AmT

QdQ

TI

'

'

'

1

)(

1 m

B

AmT

QdQ

TII

"

"

"

1

)(

2

Si definisce 2

1

grado di reversibilit del ciclo.

Per cicli reversibili 21 1

Per cicli irreversibili 12 1

A

B

I

II

T'

T''

s

T

42

Si ha, quindi:

m

m

m

m

T

T

T

T

Q

Q

'

"11

'

"1

'

"1

1

2

che permette di studiare il rendimento del ciclo in funzione delle temperature medie delle sorgenti anche in pre-

senza di irreversibilit.

17.1. ENERGIA. EXERGIA.

ENERGIA legata al primo principio della termodinamica fornisce informazioni circa lenergia termica tra-

sformabile in energia meccanica.

La conversione di calore in lavoro in un impianto di produzione di energia meccanica a flusso continuo (a va-

pore o con turbina a gas) avviene a scapito di scambi di calore generalmente a pressione costante e, quindi, le

acquisizioni o cessioni di calore sono variazioni di entalpia.

Assunta una temperatura di riferimento 0T si pu definire allora lEXERGIA come:

dQdQT

TdE Carnot

01

energia connessa, assunto il valore 0T , al calore scambiato.

Durante un riscaldamento isobaro 0-1 il contenuto energetico acquisito dal fluido

1

001001001

1

0

001 1 SSTH

T

dQTQdQ

T

TE

pari al lavoro ottenibile con una espansione isoentropica del fluido dallo stato 1 alla temperatura 0T e ricondu-

cendolo allo stato iniziale 0 isotermicamente.

Risulta quindi evidente che una trasformazione che permetta uno scambio di calore con minore incremento di

entropia (i.e. isovolumica) exergeticamente pi efficiente.

T1

T0

0

1

T

S

43

Confronto

a parit di calore introdotto

o

a parit di temperatura massima raggiunta

17.2. EFFETTO CARNOT.

Definisce il limite superiore cui pu tendere il valore numerico del rendimento termodinamico di un ciclo mo-

tore (in assenza di irreversibilit).

'

"1

T

TCarnot

La frazione non utilizzata CarnotT

T 1

'

"

Si definisce quindi 1Carnot

ciclo

come rendimento specifico che indica lo scostamento del ciclo in esame ri-

spetto al ciclo di Carnot operante tra le stesse temperature estreme.

18. TURBINE A GAS.

TURBINA A GAS = macchina motrice a flusso continuo operante su fluido comprimibile.

Rendimento termodinamico fortemente influenzato dalla mancanza di isotermicit delle trasfor-

mazioni di adduzione e sottrazione di calore.

Per ottenere valori convenienti del rendimento occorre esasperare il distanziamento termico dei

suoi punti estremi.

unimpropriet parlare di un vero e proprio ciclo termodinamico per un ciclo aperto.

T1

T0

0

1

T

S

T'1 1'

44

18.1. CICLO TERMODINAMICO IDEALE.

18.1.1. GAS IDEALE.

t

vdpdh

t

pdvduds

nel piano termodinamico:

1

2

1

212 lnln

p

pR

T

Tcss p

per una trasformazione isoentropica

k

k

p

p

T

T1

1

2

1

2

; per una isoterma

1

2lnp

pRs

ci implica che nel piano T, s per un gas ideale le isobare sono costituite da linee sovrapponibili ed ottenute per

traslazione luna dallaltra di uno scarto isoentropico dipendente dal rapporto delle pressioni delle isobare. Tale

considerazione vale anche per un gas perfetto ( )(Tfc p ).

Non vale, invece, per i gas perfetti che ogni isobara sia ottenibile da quella di riferimento i cui punti vengono

moltiplicati per k

k

rifp

p

1

.

Per la invarianza di pc nei gas ideali (e supposto tale nei confronti della pressione nei gas reali):

Tch p

CICLO = cicli infinitesimi di uguale rendimento essendo u

e

T

T= cost.

e

u

idT

T1

k

k

e

u

T

T1

1

u

e

T

T= cost

ds

Tu

Te

1

2

3

4

45

LAVORO MASSICO ( pc cost )

Da un punto di vista termodinamico, il lavoro massico dipende dal livello iniziale di temperatura 1T , dalla va-

riazione entropica s e dal rapporto di compressione .

1

1

42

2

3

14231243 11)()( TT

TT

T

TcTTTTcTTcTTcLLL ppppCidTidid

ricordando che 2

3

1

4

T

T

T

T ;

2

3

T

T (trasf. isobara) =

pc

s

e

; k

kT

T1

2

1 1

11exp111

1

11

1

2

2

3

12

2

3 k

k

p

pppidc

sTcT

T

T

T

TcTT

T

TcL

si vede che ),,( 1TsfLid

0idL se 1 e 0s ( 01 T il caso banale)

Per esprimere il lavoro massico in funzione delle T estreme, oltre che di , si ha:

k

k

p

k

kp

k

keidid T

TTc

T

TTTcQL

1

1

311

1

1231

11

11

posto 1

3

T

T si vede che ),( fLid

0idL se 1 ; 0idL se 1 kk

max,idL si ha se massimo

k

k

k

k

1

1

11

ovvero se massimo

k

kk

k

1

1

1

Per un prefissato valore di si ha allora:

maxidL se min

k

k 1

Il minimo della funzione si ricava:

0

011

46

da cui

21

il valore minimizzante la funzione per il quale maxidL

Si verifica quindi maxidL se 21 essendo

1

2

T

T e

1

3

T

T

1

3

1

2

T

T

T

T 312 TTT

1

3

3

1

1

3

31

1

1

3

2

1

1

3

2

3

T

T

T

T

T

T

TT

T

T

T

T

T

T

T

T

T

2

3

1

2

T

T

T

T 2213 TTT per maxidL

2T la media geometrica tra 1T e 3T . 2

Osservando che max,idL si ha anche se max)( 24131423 TTcTTcTTcTTc pppp deve aver-

si min24 TTcp , ma 2T e 4T sono vincolati dalla relazione dei cicli simmetrici 1324 TTTT da cui il

minimo si ha per 1342 TTTT dovendo essere 132

2 TTT .

2

1

3

1

2

13131342121423max, 12)()(

T

TTcTTcTTTTcTTTTcTTcTTcL ppppppid

essendo 4312 TTTT

2 Media aritmetica.

n

aaa n ...21

Media geometrica o proporzionale. nnaaa ...21

47

Il lavoro massico presenta un andamento simmetrico rispetto alla posizione di massimo, una volta che siano

fissati i livelli termici estremi del ciclo 1T e 3T .

Posto ln si ha :

expexp11 11 TcTcL ppid

essendo 21

)( ,

mazidL si ha

ln

2

1ln

Introducendo la variabile di comodo la simmetria della curva sussiste se

)()()( ididid LLL

exp1

1exp1

1

expexp1

1

ln2

1expln

2

1exp1

ln2

1expln

2

1exp1

expexp1

1

1

1

1

1

Tc

Tc

Tc

Tc

TcL

p

p

p

p

pid

s

T3

T1

1T

Lid

1 21

1

3

T

T 1

1

3

T

T

T

T2=T4

48

dalla quale si riconosce levidente simmetria in quanto e possono essere scambiati senza alterare il risul-

tato per cui idL una funzione simmetrica nei confronti di ln .

RENDIMENTO

'

"'

Q

QQ

Q

LL

e

CidTidid

=

k

kT

T

T

T

TT

TT

TT

TT1

2

1

2

1

2

3

1

4

23

14 111

1

1

11

( pc cost ) 2

3

1

4

T

T

T

T

Il rendimento del ciclo Joule semplice ideale indipendente dalla temperatura 3T .

k

kid 1

11

1

1

d

d id

Per applicazioni in cui siano richiesti ingombri e pesi contenuti si massimizza il lavoro massico e non il rendi-

mento.

18.1.2. INFLUENZA DELLA NATURA DEL FLUIDO.

pc

R

k

k

1

id un incremento di determina un incremento di id a parit di .

d

d id aumenta con id cresce con maggiore rapidit, il che consiglia luso di gas monoatomici

1

0

0 1

id

d

d id

49

18.2. ANALISI DEL CICLO IDEALE.

Confronto tra ciclo ideale e ciclo reale a parit di lavoro di compressione e di calore potenzialmente in-

trodotto nel sistema.

Indice di reversibilit del ciclo che consente di definire il rendimento in funzione della temperatura

media.

CidCr LL

idbr QQ ''

tot

Q

s

sf

irrQtot sss f

1

'

'1

f

s

T

T

Noto che sia Cp

, dato il punto 1, e definiti pc e come valori medi

p

Cr

c

LTT 12 ;

Cp

T

Tpp

1

212

p

Cra

c

LTT

C 12 ;

1

1

212

T

Tpp

essendo bc la perdita di carico in camera di combustione

bcpp 23

definito b il rendimento di combustione

ridbpbp QQTTcTTc '''2'323

p

bid

c

QTT

'23

1

2

2 2'

3

3'

4

4*

*4

4

4'

T'f

T's

fQs

tots

50

14 pp in impianti a ciclo aperto

14 pp in impianti a ciclo chiuso

Definito TP

si ha

Tp

p

p

TT

4

3

34

per il ciclo aperto *414 ppp

Tp

p

p

TT

*4

3

3*4

Lavoro massico reale:

1243 TTc

TTcLmC

p

pmTr

per ciclo aperto *44 TT

Il calore potenzialmente introdotto :

23' TTc

Qb

p

id

id

rR

Q

L

'

)(fc p ; ),(23 fc p

spesoid QQ '' ; entranteQQ ''

TL , CL lavori limite

Rendimento globale del ciclo:

aTmTaCmCC

T

b

CamT

b

amC

CTamT

b

r

L

L

Q

L

Q

LL

Q

LT

CT

1

'''

conveniente massimizzare il rapporto C

T

L

L

conveniente massimizzare il prodotto dei rendimenti

51

'22'2323 '223'2231'

' TTcTTcTTcQ

Q ppb

p

b

speso

1212

1'2

1212

'12

TTc

L

TTc

TTc

p

c

p

p

aC

(

'12pc si riferisce al ciclo limite)

C

p

aC L

TTc 12121

;

C

pp

aC L

TTcTTc 1'212 '121211

imponendo '1212 pp

cc

C

p

aC L

TTc '221211

e supponendo ancora a titolo di semplificazione dei passaggi '2212 pp

cc si ha:

1

1'

1' 3'2

aC

C

b

speso LQQ

che fornisce:

aC

aC

C

C

aTmTaCmCC

TamTb

LQ

L

L

LT

1'

1

3'2

essendo: 31'2'4 TTTT 3

'4

'2

1

T

T

T

T

T

s

p2

p1

1

2'

2

52

'23

'2

1'2

3

43

1'2

43

1

1

1'2

'34

1'2

'34

T

T

T

TTc

T

TTc

TTc

TTc

L

L

p

p

p

p

C

T

aC

aC

C

aTmTaCmC

aTmTb

L

Q

T

T

1'

1

3'2

'2

3

0 se aTmTaCmCT

T

1

'2

3 e quindi per ogni valore di 3T esiste un valore di '2T e quindi di (tenen-

do conto anche per dei diversi rendimenti) per il quale il rendimento globale del ciclo si annulla.

1

1

3

0

aTmTaCmC

T

T

La funzione ha quindi un massimo.

Per 0 si verifica che il calore di irreversibilit pi quello sottratto eguaglia quello introdotto. Ci avviene al

crescere di a parit di P perch con decresce aC .

aCmC

p

paTmT

TcTcL

1

11

3

0L per

11 13 TcTc ppaCmCaTmT

e cio

1

1

1

3

T

TaCmCaTmT

Supposto costante o, uguale punto per punto

pc

g

0,4

0,3

0,2

0,1

13 11 9 7 5 3 1

95,0p

85,0p

75,0p

Lu

40

30

20

10

T3=1000 K

T2=288 K

96,0b

98,0m

Lu

kg

kcal

53

0L se 1 e

1

1

3

aTmTaCmC

T

T

maxL per

2

1

1

3

aTmTaCmC

T

T

Nel caso reale L ammette un massimo per valori di inferiori rispetto al caso ideale per effetto del pro-

dotto dei rendimenti meccanici e adiabatici del compressore e della turbina.

2

1

1

3

max,T

TLid

Dal lavoro massico dipende la portata daria per unit di potenza prodotta.

Il valore della temperatura 3T ha una gran-

dissima influenza nel ciclo reale.

Quanto minore il rendimento politropico

(supposto uguale per la turbina e compressore)

tanto pi elevata la temperatura cui corrispon-

de il valore 0 ; tanto pi si sposta verso de-

stra lorigine della curva.

Compatibilmente con la resistenza dei ma-

teriali lincremento di 3T comporta notevoli in-

crementi del rendimento (con legge dipendente

da 3T stessa e da 'Q ) e del lavoro utile, diretta-

mente proporzionale a 3T , soprattutto per bassi

valori di p .

Effetti delle irreversibilit sul calore da in-

trodurre e sul calore da sottrarre.

imponendo mCaCC

mTaTT

Si pu ricavare unaltra espressione per data da ilr dove:

l rendimento limite

i rendimento interno del ciclo, che, naturalmente, dipende da C e T .

g

0,4

0,3

0,2

0,1

1400 1200 1000 800 600

95,0p

85,0p

75,0p

80

60

40

20

3T

T1=288 K

8

Lu

kg

kcal

0

g

Lu

54

Supponendo, per semplicit, pc = cost, si ha:

11l ;

23

'23'23

23 TT

TT

LL

LL

LL

TTc

TTc

LL

ClTl

CrTr

ClTl

p

p

CrTr

l

ri

definendo Cr

Cl

CL

L ;

Tl

TrT

L

L ;

23

'23

TT

TT

Tl

Cl

CT

C

Tl

Cl

Tl

Cl

CT

CClTl

C

Cl

TlT

i

L

L

L

L

L

L

LL

LL

1

11

1

Tl

Cl

CT

C

lir

L

L1

11

11

rb ;

31

3

2

3

4

2

1

3

2

43

12

43

12

1

1

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

TT

TT

TTc

TTc

L

L

p

p

Tl

Cl

3

11

11

11

T

TTC

C

r

I

II

Il termine I una funzione crescente di mentre il termine II una funzione decrescente di .

1

l

i r

1

55

19. CICLI A COMPRESSIONE INTERREFRIGERATA.

Impossibilit di effettuare una refrigerazione continua.

vdp si riduce per la riduzione di v con T .

19.1 CASO TEORICO.

In tal caso il rendimento risultante dei due cicli virtuali :

III

III

IIIQQ

L

,

,

Senzaltro inferiore a quello del solo II ciclo se si fa il confronto dei rendimenti I ed II al variare di (ca-

so limite).

19.2 CASO REALE.

Il ciclo virtuale aggiunto presenta una fase di espansione ad entropia decrescente.

Supponendo identici i rendimenti politropici delle due fasi 3-4 e 2-5 e isobare 4-5 e 3-2, se si trasla lisobara

passante per 3-2 (gas perfetto3) sino ad avere 2 in 2* e 3 in 3*

alla stessa entropia rispettivamente di 5 e di 4 ( possibile solo a

rigore, considerando il gas perfetto per la dipendenza di pc da

T e p ), si ha un ciclo ideale equivalente a quello reale con e-

spansione virtuale.

3 Nel piano T, s, per un gas ideale, le isobare sono costituite da linee sovrapponibili, ottenute per traslazione luna dallaltra di uno

scarto isoentropico dipendente dal rapporto delle pressioni delle isobare. Tale considerazione vale anche per un gas perfetto

( )(Tfc p ). Non vale, invece, per i gas perfetti che ogni isobara sia ottenibile da quella di riferimento i cui punti vengono moltipli-

cati per

k

k

rifp

p

1

.

4

3 3*

5

2 2*

T

s

56

2

5

1

2

5

1

3

4

3

4

T

T

p

p

p

p

T

T mm

m

m

da cui 4

5

3

2

T

T

T

T e quindi

4

5

45 lnT

Tcss p

per cui 3* e 2* giacciono sulla stessa isobara ed essendo le 23mT e *3*2mT uguali, risultano uguali i rendimenti dei

due cicli, essendo lindice di reversibilit 1 .

Il del ciclo limite equivalente al ciclo aggiunto maggiore di quello reale.

Per ottimizzare del ciclo aggiunto virtuale devo tener conto del prodotto IIII Q , perch se II elevato ma

IIQ molto piccolo, in definitiva lapporto non significativo.

In ogni caso, da un punto di vista impiantistico, gli inconvenienti maggiori sono legati alla presenza degli in-

terrefrigeratori che, oltre a richiedere notevoli portate di refrigerante (in genere acqua), che vanificano uno dei

vantaggi delle T.G. a circuito aperto, di poter funzionare in ambienti anche poveri di risorse idriche, introduco-

no ulteriori perdite di carico ed una maggiore complessit e costi di realizzazione, insieme con una notevole ri-

duzione delle caratteristiche di compattezza di questi impianti.

1 IIl

Ir

III

IIIIII

mQQ

QQ

eff vir tot ott con inter ott 1 0

T

s

a) b) c)

57

19.3 CALCOLO DEL DI INTERREFRIGERAZIONE E DI min,CL NEL CASO IDEALE.

21

In entrambi i casi non si ha un aumento di lavoro utile, si deve avere quindi un massimo del lavoro utile. Il

massimo aumento di uL si avr per quel valore di 1 che rende minimo il lavoro di compressione. Imponendo a

fine interrefrigerazione 1TT .

1

11121111121''121 2TcTTTTcTTcTTcLLL ppppCCC

0111111

Tcd

dLp

C 111

1

1

1

1

1

21 1

Relazione, questultima, che individua il valore ottimale di 1 che minimizza il lavoro di compressione.

T

s

''11

11

2

T

s

''12

12

1

58

20. CICLI CON RICOMBUSTIONE.

Nel caso di cicli a combustione interna il massimo delle ricombustioni va necessariamente considerato

in relazione alla quantit daria che necessaria per realizzare le combustioni che si susseguono.

Per quanto concerne il ciclo ideale valgono le stesse considerazioni espresse per i cicli interrefrigerati.

Per i cicli reali da sottolineare che il rendimento del ciclo addizionale funzione della temperatura in-

termedia e, quindi, dei rapporti di espansione intermedi.

Il rendimento del ciclo addizionale (in questo caso ottenuto con due ricombustioni) :

b

pp

pppmT

add TTcTTc

TTcTTcTTc

''4''3'4'3

'44''4''3'4'3

''4''3'3'4

'44''4''3'3'4

T

s

1

2

3 '3

'4

''3

'4 ''4 4

''4

59

21. CICLI CON RIGENERAZIONE.

Un difetto termodinamico del ciclo Brayton per T.G. costituito dalle variazioni di temperatura del fluido

durante le fasi di riscaldamento e di raffreddamento. Tale circostanza costituisce un impedimento al raggiungi-

mento di elevati valori di rendimento in quanto obbliga il ciclo termodinamico ad essere poco distanziato tra la

sorgente calda e la sorgente fredda.

TOT

Q

s

sf

1

'

'1

f

s

T

T

Supponendo che la 3T sia, come usualmente , pari a circa 1200K, per un valore di 1T =300K il rendimento

del ciclo di Carnot sarebbe:

75,013

1 T

TCarnot

Il calore introdotto nel ciclo Brayton, comincia ad essere scambiato, a fine fase di compressione, a temperatu-

re molto basse (intorno ai 400C).

Da tali considerazioni, valide anche per la fase di cessione del calore che inizia a temperature relativamente

alte, deriva la possibilit di eliminare quelle parti di scambio termico dannose per il rendimento:

1. cessione di calore al fluido appena dopo la fase di compressione;

2. raffreddamento del fluido appena dopo la fase di espansione.

La possibilit di effettuare la rigenerazione , tuttavia, legata al rapporto di compressione del ciclo.

fQs

TOTs

T

s

1

2 4

3

60

La rigenerazione consente di utilizzare contenuti entalpici ormai perduti alla conversione in energia meccani-

ca.

21.1. ANALISI DEL CICLO IDEALE O LIMITE.

Equivalenza tra un ciclo semplice rigenerativo ed un

ciclo semplice a rapporto di compressione maggiore

2

12635 ln

p

pRssss

2365 ssss

Per la congruenza delle isobare il tratto 6-1 traslato

giace su di una isobara. Le quantit di calore entrante

eQ' ed uscente uQ sono le medesime.

Aumento del distanziamento del-

le temperature medie al diminui-

re di

T

s

1

2

3

4

5

6

T

s

1

2

3

4

5

6 6*

1*

432 ppp

561 ppp

uQ *uQ

eQ'

*uQ *uQ

uQ

uQ uQ

eQ' eQ' eQ'

RIGQ

RIGQ

1

2

3

4

5

6

61

4

5

2

1

T

T

T

T

Il rendimento del ciclo semplice ideale una funzione crescente di :

Tale espressione descrive il rendimento di un ciclo ideale semplice rigenerativo in funzione del rapporto tra

gli estremi di temperatura 4

1

T

T del ciclo e del rapporto di compressione. Confrontando tale espressione con quella

nota del ciclo ideale semplice

1

1id si riconosce che il rendimento ideale del ciclo rigenerativo ha un an-

damento funzionale rispetto a del tipo opposto, infatti Rid , crescente al diminuire di , sino al valore:

4

1, 1

T

TRid valido per 1

che coincide con il rendimento di Carnot.

La rigenerazione effettuabile sino a valori di essendo

2

1

1

4

T

Tcoincidente con le condizioni di

massimo valore del lavoro massico.

4

1

41

12

4

5

2

1

4

6

4

5

2

1

34

16, 1

1

1

1

1

1

111T

T

TT

TT

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

TT

TT

Q

Q

e

uRid

62

Si noti che per un certo valore del rendimento idRid , si determinano i due valori del rapporto di

compressione 1 e 2 con 2 > 1 cui corrisponde lo stesso valore del lavoro massico Ridid LL , ;

Il rendimento del ciclo rigenerativo ideale funzione oltre che di anche della temperatura massima

del ciclo;

Allaumentare della temperatura massima aumenta il valore di che realizza leguaglianza tra la

temperatura in uscita dal compressore e quella in ingresso alla turbina.

Rid , id

1

max4T cost

L

1

2

63

Per 1 il ciclo Joule rigenerato pu essere assi-

milato al segmento A-3.

La rigenerazione quindi molto vantaggiosa per gli

impianti fissi di generazione di potenza meccanica

per i quali la semplificazione dei componenti di

maggior costo (turbina e compressore) costituisce

un notevole risparmio. Con tale pratica si ottiene,

da un punto di vista termodinamico, il desiderato di

stanziamento dei livelli termici di entrata ed uscita

del calore con componenti statici (scambiatori) an-

zich dinamici (turbocomponenti).

43

21 A

T

s

Tmax

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 1 5 10 15 20 25 30

id

64

21.2. CICLO IDEALE SEMPLICE PARZIALMENTE RIGENERATO.

Si sinora supposto che lo scambiatore termico destinato alla rigenerazione sia in grado di innalzare la tempe-

ratura del fluido compresso al livello della temperatura del fluido uscente dalla turbina.

Si definisce efficienza della rigenerazione:

25

*65

65

*65

TT

TT

TT

TTR

Tale efficienza, avendo considerato pc cost, pu essere interpretata come il rapporto tra il calore scamiato

con il rigeneratore e quello scambiabile in controcorrente e con superficie di scambio infinita se 6T coincidesse

con 2T e 3T con 5T .

Si pu definire il calore entrante nel ciclo a rigenerazione parziale epQ :

eeReReeRep QRRQQQRQQ )1())(1(

eQ = calore entrante senza rigenerazione

eRQ =calore entrante con rigenerazione totale 1R

RRRL

QR

L

QQ

L

idRidid

e

id

eRep

idpid

111

1

1

1

,

,

RRidRidpid

1111

,,

Il reciproco del rendimento del ciclo semplice a rigenerazione parziale pari alla somma pesata dei reciproci

dei rendimenti dei cicli ideali a rigenerazione totale e nulla aventi come pesi lefficienza R della rigenerazione.

1

1

14

1

1

,

R

T

T

Rpid

RT

TR

T

T

pid

111

1

11

1

4

1

4

1

,

T

s

1

2

3

4

5

6 6*

3*

65

Per 1 , 0, pid

Per

2

1

1

4

T

T,

4

1, 1

T

Tpid

ed i vari rendimenti coincidono

Si pu dimostrare che per 5,0R le curve di pid , presentano un massimo. Per 5,0R un incremento di fa

aumentare sia il rendimento che il lavoro massico.

A titolo di esempio si pu vedere che per 4.0id occorre che sia 3.6 per il ciclo semplice, mentre con

rigenerazione parziale con effi