Fisica Generale B · 2015. 3. 26. · Fisica Generale B Correnti elettriche stazionarie Scuola di...

A.A. 2014 – 2015 Maurizio Piccinini

Fisica Generale B

Correnti elettriche Correnti elettriche Correnti elettriche Correnti elettriche stazionariestazionariestazionariestazionarie

Scuola di Ingegneria e Architettura

UNIBO – Cesena

Anno Accademico 2014 – 2015


Intensità di corrente

Fenomeni stazionari: le cariche sono in movimento con caratteristiche invarianti

nel tempo in ciascun punto.

Il trasporto di cariche può avvenire nei mezzi dove una certa frazione di esse è

libera di muoversi (conduttori metallici, soluzioni elettrolitiche, gas ionizzati,

semiconduttori, dielettrici imperfetti).

In un mezzo diverso dal vuoto, in assenza di campo le cariche libere si muovono con

2

In un mezzo diverso dal vuoto, in assenza di campo le cariche libere si muovono con

velocità istantanea v dipendente dalla temperatura, e con direzione, verso ed

intensità variabili casualmente a causa delle interazioni con il mezzo. Risulta perciò

= 0.

In un conduttore metallico tipicamente v ≈ 106 m/s.

In presenza di un campo elettrico, nel conduttore si determina un movimento

collettivo in una direzione definita, caratterizzato dalla velocità di deriva vd .

Ne risulta = vd . (Tipicamente vd ≈ 1 mm/s).


Intensità di corrente

Intensità di corrente di conduzione: quantità di carica che attraversa una superficie orientata S nell’unità di tempo:

dQi

dt=

Unità di Intensità di Corrente nel S.I.: 1 Ampère (A).

3

Un Ampère è l’intensità di corrente elettrica che, se percorre due conduttori rettilinei

paralleli di lunghezza infinita e sezione trasversale trascurabile, posti nel vuoto a

distanza di un metro l’uno dall’altro, produce fra questi una forza pari a 2 x 10-7

Newton per metro di lunghezza.

Un coulomb è la carica che, attraversando in un secondo una sezione ortogonale

al suo flusso, produce una corrente di 1 A.

1 C = 1 A x 1 s


dSdQ J dSdt

= ⋅��

Intensità e densità di corrente

dv��

dv d t← →

dS�

ր ϑV

dSdQ Nqd= ( )cosdNq v dtdS ϑ=

dNqv dS dt= ⋅

��

( )dSdQ J dS dt= ⋅��

P.d

v dS dtρ= ⋅��

q = carica elementare. N = cariche per unità di volume

4

( ) :d d d d

J P Nqv v v v J Jρ ρ ρ+ − + −= = = + = +� � �� Densità di

corrente elettrica

S

S

dQJ dS

dt= ⋅∫

��Flusso di corrente attraverso una superficie finita S: ( , , )J x y z

�

dS�

La densità di corrente nel punto P(x,y,z)

rappresenta la carica che, nell’unità di tempo,

attraversa l’unità di superficie perpendicolare

alla sua direzione, in quel punto.

Intensità di corrente attraverso

una superficie orientata: Flusso

della densità di corrente attraverso

quella superficie.


Conservazione della carica elettrica

S

S

dQJ dS

dt= ⋅∫

��

SS

dQ dQ J dS dt= − = − ⋅∫��

�S

0S

dQJ dS

dt⋅ + =∫��

�

V V 0V V

dJd d

dtρ∇ ⋅ + =∫ ∫

� �

5

dQ

V Vdt∫ ∫

V 0V

dJ d

dt

ρ ∇⋅ + = ∫� �

0d

Jdt

ρ ∇ ⋅ + =

� �Equazione di continuità della

corrente elettrica.

Le due equazioni evidenziate descrivono, in forma integrale ed in forma differenziale, il

Principio di conservazione della carica elettrica


Conservazione della carica elettrica

0d

Jdt

ρ ∇ ⋅ + =

� �

0J∇ ⋅ =� �

Correnti stazionarie:

0 Eρ ε= ∇ ⋅� �

6

0Jdt

∇ ⋅ + =

0 0dE

Jdt

ε

∇ ⋅ + =

��

Situazioni non

stazionarie:

Densità di corrente di spostamento.J�

E�

0 Eρ ε= ∇ ⋅


Legge di Ohm

+ -V∆

iSi osserva sperimentalmente che

V Ri∆ =

Resistenza elettrica

Prima legge di Ohm

7

Seconda legge di Ohm

R dipende:

- dal metallo impiegato

- dalla sua forma geometrica (lunghezza e sezione)

- dalla temperatura

Unità di misura: 1 Ω = 1V/1A

R

lR

Sρ=

Resistività elettrica

0( ) ( )(1 )R RT T Tρ ρ α= + ∆

Coefficiente di temperatura


Legge di Ohm

Resistività elettrica e

8

Resistività elettrica e coefficienti di temperatura.

Valori tipici


Legge di Ohm

In un conduttore di forma qualsiasi percorso da corrente:

�dl

dS

; ;Rdl

dV Edl R di JdSdS

ρ= = =dV Rdi=

R

dlEdl JdS

dSρ=

9

J� dS

RE Jρ=� �

cJ Eσ=� � Conduttori ohmici

Conduttività elettrica

Più in generale, per un conduttore qualunque si può

ricavare sperimentalmente la relazione costitutiva( )J f E=

� �

dS


Conduzione elettrica

dJ vρ=� �

cJ Eσ=� �

Modello di Drude - Lorentz

d

c

E vρ

σ=� �

10

0 0v =��

E�

�� E dv v=� �

0E

qEv v t

m= +

��

0E

qEv v t

m≈ +

��

d

qEv

mτ=

��

2NqJ E

m

τ=� �

2

c

Nq

m

τσ =

d

mE v

qτ=� �

t = tempo fra due urti

τ = = tempo medio fra due urti


1 1 2 2

1 2

1 2

V R i R i R i

V V Vi i i

R R R

∆ = = =

∆ ∆ ∆= + = + =

1 1 2 2

1 2

1 2

1 1

V R i R i R i

Vi i i V

R R R

∆ = = =

∆= + = ∆ + =

Sistemi di resistori

Collegamento in parallelo

1 2

1 1 1

R R R= +

1

1

R

i

2

2

R

i1 2R RR

R R=

+1 21 2

11

1 2R R R= +

Collegamento in serie

1 2 1 2

1 2( )

V V V R i R i

V R R i R i

∆ = ∆ + ∆ = +

∆ = + =1V∆ 2V∆

V∆

1R i 2R i

V∆

1 2

RR R

=+


Sistemi di resistori

Potenza elettrica

iA B ( ) ( )A B A BL V V dq V V i dtδ = − = −

LW Vi

δ= = ∆

12

V∆L

W Vidt

δ= = ∆

Nel caso di una resistenza:2

W Ri= Effetto Joule

Potenza erogata dal campo elettrostatico


Generatori di forza elettromotrice

Il passaggio di una corrente stazionaria lungo un circuito chiuso richiede la presenza di forze,

in grado di compiere sui portatori di carica un lavoro non nullo quando attraversano il

circuito.

Per produrre una corrente stazionaria occorre inserire nel circuito un generatore, nel quale si

originano forze non conservative (dal punto di vista macroscopico) in grado di mantenere

una differenza di potenziale fra i suoi estremi, anche quando questa sposta cariche nel circuito

esterno al generatore.

13

Pila di Volta

Tali forze agiscono sulle cariche in modo da separarle, producendo e conservando una

differenza di potenziale fra

i due poli del generatore.

Le forze che spostano cariche all’interno del generatore non sono elettrostatiche (hanno

origine chimica, meccanica, ecc.): esse agiscono in verso opposto alle forze elettrostatiche

che cercano di ristabilire l’equilibrio.

Il campo dovuto alle forze non

elettrostatiche, all’interno del

generatore, viene detto

campo elettromotore.

Alessandro Volta

(1745 – 1827)



+ + + + + +

- - - - - - - -

+ + + + + +

- - - - - - - -

EmEs EmEs

A

14

- - - - - - - - - - - - - - - -

s mE E E= +� � �

( )m s

E dr E E dr⋅ = + ⋅∫ ∫� � ��

B

Circuitazione su un percorso che attraversa il generatore:

m sE dr E dr= ⋅ + ⋅∫ ∫� ��

nti

A

m mBE dr E dr E dr ε⋅ = ⋅ = ⋅ =∫ ∫ ∫� � ��

E dr ε⋅ =∫� ��

Forza elettromotrice …

…del generatore



+ + + + + +

- - - - - - - -

EmEs

A

B

nt nt nti i i

0A A A

m sB B BE dr E dr E dr⋅ = ⋅ + ⋅ =∫ ∫ ∫� � ��

(0) (0) (0) (0)0B A A B

V V V Vε ε+ − = ⇒ = −

All’equilibrio (generatore non collegato ad un circuito):

15

B

+ + + + + +

- - - - - - - -

EmEs

A

B

A BV V V r iε∆ = − = −

Osservazione sperimentale

(generatore collegato):

R

V∆

i1i 2i

1V∆

2V∆

ε1 1r iV ε= −∆

2 2r iV ε= −∆



A BV V r iε− = −

Ri r iε = +

ε ε ε ε ≡≡≡≡ fem = somma delle cadute di potenziale ai capi delle due resistenze.

r = resistenza interna al generatore

V∆

i1i 2i

1r iε −2r iε −

ε

1 1R i2 2R i

1r i 2r i

A BV V Ri− =

16

ε ε ε ε ≡≡≡≡ fem = somma delle cadute di potenziale ai capi delle due resistenze.

In generale, la differenza di potenziale misurata ai capi di un generatore è

minore o uguale alla forza elettromotrice. La uguaglia solo quando il generatore

non eroga corrente.

+ -+ - + -

Generatore ideale Generatori reali


Leggi di Kirchhoff

Legge delle maglie

Maglia: insieme di rami che formano un circuito

chiuso.

Individuato un verso della corrente nella maglia e

scelto un verso di percorrenza per l’esame della

stessa, la somma algebrica delle cadute di

+ -

r

R1

ε��

17

stessa, la somma algebrica delle cadute di

potenziale e delle f.e.m. incontrate compiendo un

circuito completo è uguale a zero. R2

Corr. Perc.

AV

1 2

iR R r

ε=

+ +2 1A AV R i r i R i Vε+ − + =+

1 2 0R i r i R iε+ + + =+

2 1 0R i r i R iε− − − =− 1 2i

R R r

ε= −

+ +

A

1R i− r i− ε+ 2 AR i V− =


Leggi di Kirchhoff

Legge dei nodi

Nodo: punto di confluenza di più di due rami di un

circuito.

In ogni nodo la somma delle correnti entranti è

uguale alla somma di quelle uscenti. 1i

2i

i

18

1 2 3i i i= +

1

3i

N.B.: In un circuito complesso alcuni rami possono appartenere

a due maglie diverse. In tal caso il verso scelto per la corrente in

una maglia può essere discorde rispetto al verso della corrente

nell’altra maglia. Allora si può definire una corrente ed un verso

nel ramo comune ed applicare la legge delle maglie tenendo

conto dello stesso verso in entrambe le maglie … (segue)


Ponte di Wheatstone

G

rGR R

R3 R4

iGi1

1 1 2 4 1( ) ( ) 0G G G GR i i i r i R i i− + − − − + =

2 2 1 2 1 1 2( ) ( ) 0Gri R i i R i i iε− + + − + + − =

1 1 2 2 1 2 3 1 4 1( ) ( ) ( ) 0G GR i i i R i i R i R i i− + − − − − − + =

1 4 1 1 2 1 4( ) ( ) 0G GR R i R i R R r i− + + − + + =

1 2 3 4 1 1 2 2 1 4( ) ( ) ( ) 0GR R R R i R R i R R i+ + + − + + + =

( ) ( )R R i R R r i R i ε− + + + + − =

Perc.

19

+ -

rGR2 R1

ε��r

i2

1 2 1 1 2 2 1( ) ( ) GR R i R R r i R i ε− + + + + − =

Di ε=� �

In forma simbolica:

con D = matrice delle resistenze

1 2( , , )

(0,0, )Gi i i i

ε ε=

=

�

�

Si ottiene:1 3 2 4( )

G

R R R Ri

Dε

−=

1 31 3 2 4 4

2

( ) 0R R

Se R R R R RR

− = ⇒ =

N.B.: …

oppure si deve

tenere conto

della somma

delle correnti,

con i rispettivi

versi, come

definite nelle

varie maglie.


Circuito RC

+ -

Rε�� C0R Viε − − ∆ =

A BV V V∆ = −

AB

' 'dq dt C q tε −

Processo di carica

0V

iR

ε − ∆= ≥ 0

dq

dt≥

; V q C∆ =

C q tε −' 'dq dt

20

0dq

dt

qR

Cε − − =

' '

'

dq dt

C q RCε=

−ln

C q t

C RC

εε−

− =

( ) (1 )t

RCq t C eε−

= −

( )t

RCdq

i t edt R

ε −= =( ) (1 )

t

RCV t eε−

∆ = −

q C dq

R dt

ε −=

R dt

0dt dqC RC dtqε − − =

t

RCC q

eC

εε

−−=

lnC q t

C RC

εε−

= −

( ) 0dtq dqC RCε − − =

0 0

' '

'

q tdq dt

C q RCε=

−∫ ∫


Circuito RC

+ -

Rε�� C

A BV V V∆ = −

AB0iV R∆ − =

' 'dq dt q t

0V

iR

∆= ≥ 0

dq

dt≤

Processo di scarica

; V q C∆ =

21

0dq

dt

qR

C+ =

0

' '

'

q t

C

dq dt

q RCε= −∫ ∫ ln

q t

C RCε= −

( )t

RCq t C eε−

=

( )t

RCdq

i t edt R

ε −= − =

( )t

RCV t eε−

∆ =

R dt

dqi

dt= −


Circuito RC

+ -

Rε�� C

A BV V V∆ = −

AB0Ri V− − ∆ =

' 'dq dt q t

0V

iR

∆= − ≤ 0

dq

dt≤

Processo di scarica

22

0dq

dt

qR

C− − =

0

' '

'

q t

C

dq dt

q RCε= −∫ ∫ ln

q t

C RCε= −

( )t

RCq t C eε−

=

( )t

RCdq

i t edt R

ε −= = −

( )t

RCV t eε−

∆ =

R dt

dqi

dt=


Circuito RC

RiepilogoCarica

Cε( )q t

ε ( )i t

Cε( )q t

Scarica

RCτ =

Costante di tempo

23

R( )i t

ε

ε

( )RV t∆

( )CV t∆ε

ε−

R

ε−

( )i t

( )RV t∆

( )CV t∆

Costante di tempo

capacitiva


Circuito RC

Bilancio energetico

+ -

Rε�� C

A BV V V∆ = −

ABt

RCL dq idt e dtR

εδε

ε ε ε−

= = =

Energia prodotta dal generatore:

2 tε 2ε t∞

24

2

0

t

RCL e dtR

ε

ε −∞= ∫

2L Cε ε=

Energia accumulata nel condensatore:

21 ( )2

EU C V= ∆2ε

Dov’è andata?

Energia dissipata per effetto Joule:22

2

2

t

RCR

L Wdt Ri dt R e dtR

δε −

= = =

22

0

t

RCR

L e dtR

ε −∞= ∫

21

2RL Cε=

2

R

ε= − R

0

t

RCCe

∞−

E RL U Lε = +


Nodi e maglie

Esempio: circuito a due maglieR1

ε�� ε��

R2

R3i1 i2

i3

A B C

1 2 3 (nodo B)i i i= +

1 1 3 3 1 0R i R i ε− − + =

2 2 3 3 2 0R i R i ε− + − =

3 1 2i i i= −

1 1 3 1 3 2 1 0R i R i R i ε− − + + =

2 2 3 1 3 2 2 0R i R i R i ε− + − − =

3 2 2 1 3 1

1

1 2 1 3 2 3

R R Ri

R R R R R R

ε ε ε− −− =

+ +

25

+ -

+-

1ε�� 2ε��

DEF

1 3 1 3 2 1( ) 0R R i R i ε− + + + =

3 1 2 3 2 2( ) 0R i R R i ε− + − =

3 2 11

1 3

R ii

R R

ε+=

+

3 2 13 2 3 2 2

1 3

( ) 0R i

R R R iR R

εε

+− + − =

+

2

3 2 3 1 1 3 22

1 2 1 3 2 3 3 2

( )

( ) 0

R i R R R

R R R R R R R i

ε ε+ − + −− + + + =

3 1 1 2 3 22

1 2 1 3 2 3

R R Ri

R R R R R R

ε ε ε− −=

+ +

2 1 3 1 3 21

1 2 1 3 2 3

R R Ri

R R R R R R

ε ε ε+ −=

+ +

2 1 1 23

1 2 1 3 2 3

R Ri

R R R R R R

ε ε+=

+ +

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