FISICA

CON ELEMENTI DI MATEMATICA

(A-E)

CORSO DI LAUREA IN FARMACIA

A.A. 2014/2015

Dott.ssa Silvia Rainò:

E-mail: silvia.raino@ba.infn.it

silvia.raino@uniba.it

1

Testi consigliati 2

Elementi di Matematica

Davidson – Metodi matematici per un corso introduttivo

di Fisica (EdiSes)

Fisica

Giancoli: Fisica (Casa Editrice Ambrosiana)

Bellotti et al.: Esercizi di Fisica - meccanica e

termodinamica (Casa Editrice Ambrosiana)

In alternativa al Giancoli:

Ragozzino: Principi di Fisica (Edises)

Contenuti disciplinari 3

Elementi di matematica

4

Argomenti propedeutici al Corso di Fisica Generale:

Rappresentazione dei numeri in potenze di dieci con

esponente positivo e negativo;

Rappresentazione cartesiana di un grafico (equazioni di

una retta, di una parabola, di un esponenziale);

Definizione dei logaritmi naturali e decimali e loro proprietà

fondamentali;

Definizione delle funzioni trigonometriche;

Misura degli angoli in radianti;

Misura di aree e volumi delle figure geometriche

fondamentali (triangolo, rettangolo, cerchio, cubo, sfera)

Definizione grandezze scalari e vettoriali

Argomenti di Fisica Generale 5

Unità di misura

Grandezze scalari e vettoriali

Argomenti di:

o Meccanica

o Teoria dei fluidi

o Temperatura e calore

o Elettricità e magnetismo

Obiettivo:

Fornire gli strumenti matematici di base necessari

alla comprensione e al calcolo dei concetti

introduttivi di fisica

Elementi di Matematica 6

Potenze di dieci

Quanto dista dalla Terra la galassia di

Andromeda?

20000000000000000000000 m

Quanto pesa una molecola di penicillina?

0,00000000000000002 kg

Quanto tempo fa è stata costruita la Piramide di

Cheope?

100000000000 s

7

Esiste un metodo “meno ingombrante” per

esprimere numeri molto grandi o molto piccoli?

Potenze di dieci

E’ possibile esprimere numeri grandi o piccoli

utilizzando una notazione compatta che fa uso

delle potenze di dieci

Moltiplicando 10 per se stesso diverse volte si ha:

8

1001010 210

1000101010 310

1000001010101010 510

Potenze di dieci

L’apice di 10 rappresenta il numero di volte per cui

10 viene moltiplicato per se stesso

O equivalentemente il numero di zeri che

compaiono nella risposta

9

2101001010

2101001010

Proprietà delle potenze di dieci

101 = 10

100 = 1, per convenzione

Moltiplicazione fra potenze di 10:

In generale:

Potenza di potenza:

10

32532 101010101010101010

mnmn 101010

mnmn 1010

Esponente negativo

Se una potenza di 10 appare al denominatore di

una espressione, l’esponente viene dato con un

segno negativo. Ad esempio:

In generale:

11

1101010

1 .

3

3100010

10

1

1000

1 .

n

n

1010

1

Esponente negativo

Moltiplicando una potenza positiva di 10 per una

potenza negativa di 10 si ottiene, ad esempio:

In generale:

12

22424 1010101001010000 .

101010101010

10

1000

100 13232

3

2

.

mnmn

m

n 101010

10

10

Prefissi

A cosa ci servono le potenze di 10?

Nella discussione di grandezze fisiche, è spesso conveniente

l’uso dei prefissi

Ad esempio:

1000 m = 103m= 1 km oppure 5 km = 5103m = 5000 m

710-9g = 7ng

13

T tera 1012

p pico 10-12

G giga 109

n nano 10-9

M mega 106

micro 10-6

k kilo 103

m milli 10-3

h etto 102

c centi 10-2

da deca 101

d deci 10-1

Calcoli con le potenze di 10

Usando le potenze di 10 molti calcoli vengono

notevolmente semplificati.

Qualsiasi numero può essere espresso mediante

potenza di 10.

6400 = 6.4103

0.0137 = 1.3710-2

L’esponente di 10 corrisponde al numero di posti

decimali di cui ci spostiamo

14

Esempi

Riscrivere in termini di potenze di 10 i seguenti numeri:

1/10000

0.000002

107/10000

15

4

410

10

100010

10000

1 .

6

6

10

21020000020

.

34747

4

77

1010101010

10

10000

10

Esempi

0.01/106

(0.2104)/(1000103)

16

862

6

2

6101010

10

10

10

010

.

363

6

3

33

41

3

4

10210102

10

102

1010

10102

101000

1020

.

Esempi

Risolvere i seguenti calcoli:

17

3000

42000000.1 4

3

7

3

7

104110

10

3

24

103

1024

.

..

0000030001202 ... 963

63

10631010321

1031021

..

.

2400320

004803203

.

..

3

31

32

31

32

1021010

1010

4223

8423

10421023

10841023

..

..

..

..

Potenza di un numero

Proprio come 103 significa 101010, possiamo elevare

qualsiasi numero a una potenza n moltiplicando il numero

per se stesso n volte. Allora:

Valgono anche le regole per l’uso di esponenti negativi:

18

822221 3 .

164442 2 .

3753515151513 3......

9333

35

2504

1

2

124

224

2

4

2

2

.

..

Esponente frazionario

Definizione:

Chiamiamo N1/m radice m-sima di N e la

indichiamo con:

Esempio:

19

mm NN /1

313

21

2727

44

/

/

Proprietà delle potenze 20

Le proprietà formali delle potenze sono:

mnmn aaa

mn

m

n

aa

a

mnmn aa

n

m

n m aa

Proprietà esponente frazionario

Gli esponenti frazionari si trattano secondo le stesse

regole degli esponenti interi.

Alcuni esempi:

21

4444444221121212121 ///// o

27272727272727273311313131313131 /////// o

2244

332727

21221

313313

//

//)(

Simbologia matematica

Simbolo Significato

= Uguale a

Proporzionale a

Approssimativamente uguale a

≈ oppure Circa uguale a; dell’ordine di grandezza di

> (<) Maggiore (minore) di

>> (<<) Molto maggiore (minore) di

x Variazione di x

|x| Valore assoluto (modulo) di x

Sommatoria di mi da i=1 a i=N

Sommatoria di mi per tutti i valori fisicamente permessi di i

22

N

i im1

i im

Variazione di una grandezza:

Un oggetto è posto nella posizione x1=2cm ad un certo istante di

tempo. Successivamente la posizione diventa x2=9cm

La distanza della quale si è mosso è anche detta variazione di x ed

è :

Il simbolo x indica l’incremento della grandezza x.

x NON indica il prodotto di per x

Per esempio: t2-t1= t = differenza di tempo.

t>0 se l’istante t2 è successivo a t1

t<0 se l’istante t2 precede t1

23

12 xxxxx inizialefinale

Valore assoluto di una grandezza

Valore assoluto o modulo di x si indica con |x|

Il valore assoluto misura la “grandezza” di un

numero senza tener conto del suo segno:

|+x|=x

|-x|=x

Esempio:

24

3x- 7x = -4x =4x se x > 0

-4x se x < 0

ìíî

Sommatoria

In molti problemi di fisica è necessario sommare una serie di numeri

Ad esempio per determinare la massa totale M di un sistema

composto da molte masse singole m1, m2, m3, m4,… possiamo

scrivere:

dove N è il numero totale di masse del sistema

Per abbreviare la lunghezza della somma si utilizza il simbolo

(sommatoria), pertanto:

25

NmmmmmM ...4321

N

i

imM1

i= indice della sommatoria

mi= massa di una generica particella dell’insieme;

Per i=1: mi= m1, i=2: mi= m2

Sistemi di equazioni di primo grado

In alcuni problemi di fisica si può avere un’equazione

che coinvolge più di una incognita.

Per esempio:

6x+2y=6

Per poterla risolvere in modo univoco è necessaria

un’altra equazione.

In generale, per risolvere un problema con n incognite,

bisogna avere n equazioni

26

Esempio

Soluzione di un sistema di due equazioni di primo

grado in due incognite:

Un metodo per risolvere questa equazione è quello

per sostituzione (ma non è l’unico):

Si risolve prima una delle due equazioni rispetto a y e

quindi si sostituisce l’espressione trovata nella seconda

equazione

27

22848

1626

yx

yx

Esempio 1

Quindi, risolvendo la (1) rispetto a y:

E sostituendo il risultato nella (2):

28

22848

1626

yx

yx

xyxy 33662

283348 xx

2812128 xx

4020 x

2x

Trovato il risultato dell’incognita x (x=2), lo si

sostituisce nell’equazione (1):

Quindi il risultato è:

29

626 yx

6226 y

62 y

3y

32 yx ,

Equazioni di secondo grado

Le equazioni di secondo grado coinvolgono la seconda

potenza dell’incognita e hanno forma:

La soluzione di questa equazione è:

Tre casi sono possibili:

b2=4ac : una soluzione

b2>4ac : due soluzioni reali

b2<4ac : due soluzioni immaginarie che non tratteremo nella

soluzione dei nostri problemi

30

02 cbxax

a

acbbx

2

42

21

,

a

bx

2

a

acbbx

2

42

1

a

acbbx

2

42

2

Geometria analitica 31

Coordinate cartesiane

Le informazioni di fisica sono solitamente presentate su una

coppia di assi coordinati:

X per l’asse orizzontale o asse delle ascisse

Y per l’asse verticale o asse delle ordinate

I sistemi X-Y sono chiamati coordinate cartesiane ortogonali

32

La posizione di un punto è specificata

assegnando due numeri (x,y):

x: valore della coordinata x

y: valore della coordinata y

Coordinate cartesiane

Posizione di alcuni punti (x,y) nel

piano cartesiano X-Y

Gli assi X-Y hanno proprie unità

di misura, non necessariamente

uguali

33

Esempio

Un sistema di coordinate X-Y è utile per

rappresentare vari tipi di situazioni fisiche, non

solo delle distanze.

Esempio: lunghezza di una fettuccia di gomma

tesa da una forza di trazione variabile

34

L (m

)

F(10-3N)

rottura

Sistema di coordinate tridimensionale 35

Un sistema di coordinate X-Y consente di determinare la posizione di

un punto P su un piano (cioè in due dimensioni, X e Y)

Per localizzare un punto nello spazio è necessario definire anche la

quota o altezza del punto

E’ opportuno utilizzare un sistema di coordinate tridimensionale

aggiungendo un terzo asse, Z, al sistema di coordinate X-Y

Un punto P è rappresentato dalla posizione:

P(x,y,z), coordinate del punto P

Sistema di coordinate tridimensionale

Gli assi X,Y,Z in un sistema di coordinate

tridimensionali non sono orientati in modo casuale

Sistema di coordinate destrorso:

Se si immagina che una vite ordinaria venga avvitata

nel senso di trasportare l’asse X verso Y, la vite avanza

nella direzione positiva dell’asse Z

36

Distanza tra due punti

Come si determina la distanza fra due punti in un sistema di

coordinate?

Poiché gli assi di un sistema di coordinate cartesiane

ortogonali formano angoli retti si può usare il teorema di

Pitagora

37

X

Y

x=a

y=b

A

A(x,y)

con x=a, y=b

O

b

Distanza OA=c c

Distanza tra due punti 38

22222 bacbac

La distanza del punto A(x,y)=(a,b) dall’origine O(0,0)

del sistema di riferimento è la lunghezza di c.

Distanza tra due punti

Quanto dista il punto A(x1,y1) dal punto B(x2,y2)?

39

I punti A, B, C definiscono un

triangolo rettangolo di lati a e b

noti:

• a=x2-x1

• b=y2-y1

La lunghezza del terzo lato c è :

2

12

2

12

22 yyxxbac

Esempio

In figura:

A: (x1,y1)=(4,2)

B: (x2,y2)=(8,7)

La distanza di A da B è data da:

40

464125162748222

12

2

12 . yyxxc

Funzioni e grafici 41

Concetto di funzione

In fisica si utilizzano spesso relazioni funzionali tra diverse

variabili fisiche

Ad esempio:

Una particella si muove lungo l’asse X.

Sia x la posizione della particella al tempo t rispetto all’origine O.

All’istante di tempo t1, la posizione è x1

Ad un istante successivo t2 la posizione è x2, e così via…

42

X

t1

x x2 x1

t2 t

Concetto di funzione

La posizione x della particella varia in funzione del

tempo t che è trascorso.

Matematicamente:

x=f(t) ovvero “x è una funzione di t”

Ad ogni istante t possiamo determinare la posizione

x della particella rispetto all’origine

43

X

t1

x x2 x1

t2 t

Concetto di funzione

Nell’equazione x=f(t), le grandezze x e t

rappresentano delle variabili:

t variabile indipendente

x, per la quale determiniamo i valori per ogni t

variabile dipendente

In altre parole: la posizione x dipende dal tempo t che

è trascorso

44

La particolare forma di f(t) dipende dal problema

fisico che si sta affrontando.

L’espressione f(t) che mette in relazione x e t si

chiama relazione funzionale

45

Concetto di funzione

Rappresentazione di relazioni funzionali

L’informazione quantitativa che otteniamo in un

esperimento è ciò che definisce i dati.

I dati sono usati per determinare le relazioni

funzionali fra le variabili dell’esperimento

46

Rappresentazione di relazioni funzionali

Come si possono rappresentare le relazioni

funzionali?

Per mezzo di una tabella

Per mezzo di un grafico

Per mezzo di una equazione

47

Esempio di rappresentazione di una funzione

Una cinquecento si muove lungo una strada dritta con una

velocità costante v0=15 km/h.

All’istante t=0, la posizione dell’auto coincide con l’origine

del sistema di riferimento s=0

48

O s

In ciascun intervallo di tempo di un’ora la cinquecento

percorre 15km. Perciò:

Dopo 1 ora (t=1h), s=15 km

Dopo 2 ore (t=2h), s=15km+15km=30km

Dopo 3 ore (t=3h), s=15km+15km+15km = 45km

Come si può rappresentare questa relazione

funzionale tra spazio percorso s e il tempo t?

49

O s

Tabella 50

Tempo t (ore) Posizione s (kilometri)

0 0

1 15

2 30

3 45

4 60

5 75

6 90

… ….

N.B.: Alle variabili spazio e tempo (s e t) sono associati sia i valori numerici sia le

unità di misura corrispondenti (ore e kilometri) di cui parleremo in dettaglio in seguito

Grafico

I dati tabulati nella tabella precedente possono essere

riportati su un grafico. Scegliamo un sistema di coordinate

cartesiane ortogonali con:

Asse x: tempo (t)

Asse y: posizione (s)

51

Tempo t (h) Posizione s (km)

0 0

1 15

2 30

3 45

4 60

5 75 Tempo (ore)

Posi

zio

ne

(km

)

Nell’esempio analizzato, una singola linea retta passa

per TUTTI i punti

La relazione funzionale tra le variabili è nota come

relazione lineare

Si dice che s aumenta linearmente con t

52

Tempo (ore)

Posi

zio

ne

(km

)

Equazione

In base all’esempio precedente, la posizione s aumenta

con il tempo t ad un tasso costante di 15 km/h si

possono mettere in relazione s e t per mezzo

dell’equazione:

s = v0t , con v0= 15 km/h

La relazione funzionale tra s e t è data dall’equazione di

una retta (slides successive) e ci dice che:

“La posizione s (in metri) della particella” aumenta con il tempo t

(in secondi) ad una tasso costante di 15 km/h

53

Variabile indipendente Variabile dipendente

Esercizi

Dalla tabella seguente costruire un grafico dello spazio

percorso da una particella(in kilometri) in funzione del tempo

t (in ore). Indichiamo con x lo spazio percorso.

Qual è l’equazione che mette in relazione le variabili x e t?

54

Distanza x

(kilometri)

Tempo t (ore)

0 0

2 0.5

4 1.0

6 1.5

8 2

10 2.5

Esercizi

Disegnare i grafici delle seguenti funzioni da t=0 a

t=10s:

a) x=t

b) x=2t

c) x=3t

d) x=4t

e) x=5t

In ciascun caso x è espresso in kilometri e t in ore

55

La retta

Una delle relazioni funzionali più semplici che può

esistere fra due variabili è la relazione lineare e si

verifica quando:

Una delle due variabili è direttamente proporzionale

all’altra

È rappresentata graficamente da una retta

56

La retta

Una retta generica è rappresentata dall’equazione:

x variabile indipendente

y variabile dipendente

a, b costanti

Poiché y=ax+b è un’equazione le grandezze y, ax,

b devono avere le stesse dimensioni

Se b=0, y=ax ovvero y è proporzionale a x

57

baxy

Grafico di una retta

Variabile indipendente x

sull’asse orizzontale

Variabile dipendente y

sull’asse verticale

Intersezione con asse y

Per x=0 y=a0+b=b

Intersezione con asse x

Per y=0 0=ax+b

58

a

bx

y= ax+b a>0

Grafico di una retta 59

y= ax+b a<0 Variabile indipendente x

sull’asse orizzontale

Variabile dipendente y

sull’asse verticale

Intersezione con asse y

Per x=0 y=a0+b=b

Intersezione con asse x

Per y=0 0=ax+b

a

bx

Esempio

Tracciare un grafico

della retta y=2x+4

In questo esempio: a=2,

b=4

Per x=0, y=20+4=4

intersezione con l’asse

delle y nel punto (0,4)

Per y=0, 0=2x+4 cioè

x=-4/2=-2

intersezione con l’asse

delle x nel punto (-2,0)

60

Pendenza di una retta

Caratteristica importante della

retta è la sua pendenza o

inclinazione.

Consideriamo la retta:

y=ax+b

Che passa attraverso i punti

(x1,y1) e (x2,y2)

Si definisce:

61

x

y

xx

yypendenza

12

12

Pendenza di una retta

La retta y=ax+b passa attraverso i

punti (x1,y1) e (x2,y2):

y1=ax1+b

y2=ax2+b

Sottraendo membro a membro

Dividendo entrambi i membri per x2-x1:

62

1212 xxayy

12

12

xx

yya

Pendenza della retta:

y=ax+b

La parabola

Una parabola è l'insieme dei punti del

piano equidistanti da una retta L (detta

direttrice) e da un punto F (detto fuoco)

non contenuto in L

Una parabola con asse di simmetria

parallelo all’ asse y è rappresentata

dall’equazione:

x variabile indipendente

y variabile dipendente

a, b, c costanti

63

y= ax2 +bx+c

Parabola

Punti importanti della parabola

Vertice

Fuoco

Asse di simmetria

Direttrice

64

F = -b

2a,1- b2 + 4ac

4a

æ

èç

ö

ø÷

V -b

2a,4ac- b2

4a

æ

èç

ö

ø÷

x = -b

2a

y =1+ b2 - 4ac

4a

Intersezione con l’asse x

I punti di intersezione della parabola con l’ asse x si

trovano risolvendo il sistema:

che equivale a trovare le soluzioni di un’ equazione di

secondo grado

ax2+bx+c=0

L’ intersezione della parabola con l’ asse x è una

rappresentazione grafica delle soluzioni delle equazioni di

secondo grado

65

cbxaxy

y

2

0 equazione asse x

Intersezione con l’asse y

I punti di intersezione della parabola con l’ asse y si trovano

risolvendo il sistema:

cioè:

y=a0+b0+c y=c

Il punto y=c rappresenta l’intersezione della parabola con

l’asse delle ordinate

66

cbxaxy

x

2

0 equazione asse y

Disegnare una parabola nel piano

Per disegnare nel piano la parabola di equazione

y=ax2+bx+c bisogna:

Determinare se la parabola è rivolta verso l’ alto o verso il

basso

a>0 : concavità verso l’ alto

a<0 : concavità verso il basso

Trovare le coordinate del vertice V

Trovare l'intersezione della parabola con l'asse delle y

Ovvero porre x=0 => y = c

Trovare le intersezioni, se esistono, della parabola con l'asse

delle x

67

Esercizi

Tracciare il grafico della parabola y = x2 -3x -5

a>0 : concavità verso l’ alto

Inters. con y : y=-5

Inters. Con x : -1.2, 4.2

Vertice (3/2,-7.25)

68

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Esercizi

Tracciare il grafico della parabola y = -2x2+3x+20

a<0 : concavità verso il basso

Inters. con y = 20

Inters. con x = -2.5, 4

Vertice : (3/4,21.125)

69

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Esercizi

Tracciare il grafico delle parabole

y = -9.8x2+25;

y=-9.8x2+2x;

y = -9.8x2-3x+15

70

-20

-10

0

10

20

30

-3 -2 -1 0 1 2 3

-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

-4 -2 0 2 4

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trigonometria 71

Il radiante

L’ unità di misura più conveniente per la misura degli angoli

in fisica è il radiante o rad.

La misura in radianti di un angolo e' il rapporto tra l'arco di

circonferenza sotteso dall’angolo e il raggio della

circonferenza.

Si calcolino i valori in radianti di 360°,180°, 90°

72

R

l

rad in misurato

Il radiante 73

Semplici Triangolo Quadrato

equilatero

Il radiante

In generale:

74

a°

a(rad)=

360

2p

a(rad) =2p

360°a°

Funzioni trigonometriche : sen 75

Sia dato un triangolo rettangolo ABC

c2 = a2 + b2

Definizione della funzione seno (sen)

A C

B

q

f

c a

b

senq =lato opposto a q

ipotenusa=

a

c

senq =a

a2 + b2

Funzioni trigonometriche : cos 76

Sia dato un triangolo rettangolo ABC

c2 = a2 + b2

Definizione della funzione coseno (cos)

A C

B

q

f

c a

b

cosq =lato adiacente a q

ipotenusa=

b

c

cosq =b

a2 + b2

Funzioni trigonometriche : tan 77

Sia dato un triangolo rettangolo ABC

c2 = a2 + b2

Definizione della funzione tangente (tan)

A C

B

q

f

c a

b tanq =

lato opposto a q

lato adiacente a q=

a

b

cosθ

senθ

θ a adiacente lato

ipotenusa

ipotenusa

θ a opposto latotanθ

b

c

c

a

Relazioni trigonometriche

Riassumiamo alcune importanti relazioni tra le

funzioni goniometriche

c2 = a2 + b2

Dalle definizioni segue che :

a = c senq

b = c cosq

a2 + b2 = c2 sen2q c2 cos2q = c2 (sen2q cos2q ) = c2

78

A C

B

q

f

c a

b

sin2q +cos2q =1

Relazioni trigonometriche

Riassumiamo alcune importanti relazioni tra le

funzioni goniometriche

ricordando che

f = 90° - q

Dalle definizioni :

a = c cosf = c cos (90°-q)

b = c senf = c sin (90°-q)

79

A C

B

q

f

c a

b

senq = cos(90°-q) , cosq = sin(90°-q)

Circonferenza goniometrica

Uno strumento utile per determinare

i valori di sen, cos, tan è la

circonferenza goniometrica :

circonferenza con centro nel centro

degli assi e raggio pari ad 1.

Ogni punto ha come coordinate

cartesiane x=cosq e y=senq

Proprietà : sen2q cos2q = 1

Dato un angolo , il valore del sen,

cos e tan si ricava in base alle

proprietà geometriche dei triangoli

80

)sen,P(cos θθ

P

θθsen

θcos

Circonferenza goniometrica 81

45° l

l

d

2

145senθsen ° l

d

l

22

quadrato

quadrato

dlld

2

145cosθcos ° l

d

l

Per definizione nella circonferenza

goniometrica d=1:

2

11 ld

Circonferenza goniometrica 82

60°

l

b

h l

2

3

1

2

3

60senθsen °l

h

2

3

2

1

1

lhb

llato equilaterotriangolo

,

_

2

1

1

2

1

60cosθcos °l

b

Circonferenza goniometrica 83

Valori di alcune funzioni trigonometriche

gradi

radianti

seno

coseno tan

0 0

0

1 0

30 p/6

0.5 √3/2 1/√3

45 p/4

1/√2 1/√2 1

60 p/3 √3/2 0.5 √3

90 p/2 1

0 ∞

180 p 0 -1 0

84

Funzioni inverse : sen-1, cos-1, tan-1

1. Qual è l’ angolo q che ha come coseno 0.5?

2. Qual è l’ angolo q tale che senq = 1?

3. Qual è l’ angolo q tale che tanq = 1?

L’ operazione di esprimere un angolo

in funzione del valore di sen, cos e tan

si scrive matematicamente

Risposte : (v. tab precente) 1. 60°, 2. 90°, 3. 45°

85

A C

B

q

f

c a

b

q = sen-1 a

c

æ

èç

ö

ø÷ oppure q = cos-1 b

c

æ

èç

ö

ø÷ oppure q = tan-1 a

b

æ

èç

ö

ø÷

Osservazione : il -1 non è un esponente!! -1 è associato ad una funzione, non ad un

numero.

Richiamo

Sen, cos, tan : definizioni

sinq = a / c;

cosq = b /c ;

tanq = a /b ;

Sen, cos, tan : relazioni tra cateti e ipotenusa

a = c sinq oppure a = c cosf ;

b = c cosq oppure b = c sinf ;

a = b tanq, b = a tanf ;

Proprietà : sen2q + cos2q=1 ; sinq = cos(90-q), etc.

86

A C

B

q

f

c a

b

Esercizi

Calcolare tutti i lati del triangolo :

87

l = 10

q = 50°

f = 40°

AB = ?

BC = ?

CA= 10 q

f A

B C

l

Risultati:

AB = 7.6

BC = 6.4

CA = 10

Esercizi

Calcolare tutti i lati del triangolo :

88

h = 10

q = 40°

f = 60° q f h

C B

A AB = ?

BC = ?

CA = ?

Risultati:

AB = 11.5

BC = 17.7

CA = 15.5

H

Esercizi

Calcolare tutti i lati del triangolo :

89

h = 5

q = 30°

f = 40° q f

h C B

A AB = ?

BC = ?

CA = ?

Risultati

AB = 7.77

BC = 14.6

CA = 10

Esercizi

Data una rampa avente un piano lungo 2 m ed inclinato

di 60° rispetto all’ orizzontale, calcolare

la lunghezza del lato della rampa che

tocca il suolo

Di quanto si innalza la rampa

Sia dato un piano inclinato lungo 50 cm. Se il punto più

alto dista 25 cm dal suolo, determinare qual è l’

inclinazione del piano.

90

2 m

60°

Esercizi

Date due rette incidenti perpendicolari, determinare la

lunghezza dei cateti del triangolo rettangolo in figura

(ipotenusa = 5, q=30° )

91

q a

b

Richiamo

I valori di sen e cos nei

quattro quadranti si possono

calcolare con il metodo

grafico della circonferenza

goniometrica.

Il cos di 120° è l’ ascissa OH,

il sen di 120° è l’ ordinata PH.

OH = -cos(60°) = -1/2

PH = sen(60°) = √3/2

92

)sen120,P(cos120 °°

H

120° 60°

Richiamo : arcoseno, arcocoseno, arcotangente

93

1. Qual è l’ angolo q che ha come coseno 0.5?

2. Qual è l’ angolo q tale che senq = 1?

3. Qual è l’ angolo q tale che tanq = 1?

q = sen-1 a

c

æ

èç

ö

ø÷ oppure q = cos-1 b

c

æ

èç

ö

ø÷ oppure q = tan-1 a

b

æ

èç

ö

ø÷

gradi

radianti

seno

coseno tan

0 0

0

1 0

30 p/6

0.5 √3/2 1/√3

45 p/4

1/√2 1/√2 1

60 p/3 √3/2 0.5 √3

A C

B

q

f

c a

b

Esempio

Determinare gli angoli aventi sen = -1/2

94

P P

Risposta : 210° e 330°

30° 30°

Coordinate polari

Nel piano (due dimensioni) la posizione di un punto

P è univocamente determinata da due informazioni

In un sistema di coordinate X-Y la posizione è definita

univocamente da una coppia di numeri (x,y)

coordinate del punto

La posizione di un punto P può essere data da

dalla distanza di P dall’ origine degli assi (r) e dall’

angolo che la retta OP forma con l’ asse delle x (q).

95

Coordinate polari

Al posto di (x,y), si può

dare la posizione di P

con la coppia (r,q) ove

r = distanza OP (sempre

positiva!).

Inoltre OP è l’ipotenusa del

triangolo OPM

q = angolo misurato a partire

dall’ asse x ( va da 0 a 360° )

96

r

q

Coordinate polari

Risulta dunque

La posizione di P in coordinate

polari si esprime dunque P(r,q)

ove

97

r

q

r = + x2 + y2 > 0

x = r ×cosq

y = r × senqtanq =

y

xÞq = tan-1 y

x

æ

èç

ö

ø÷

x

yyxr 122 tan= q,

Quadranti in un sistema di coordinate

Un punto può essere espresso in coordinate polari o

cartesiane in un punto qualsiasi del piano.

Si identificano

quattro quadranti.

In base ai quadranti

bisognerà inserire i

segni opportuni

98

Quadranti in un sistema di coordinate

Consideriamo un punto nel II quadrante.

x = r cosq [< 0]

y = r senq [> 0]

99

II Quadrante I Quadrante

Quadranti in un sistema di coordinate

Segni delle coordinate e

delle funzioni trigonometriche

nei vari quadranti

100

Esercizio

Calcolare le coordinate polari del punto (3,-5)

(r, q) = (5.83, 301°)

101

P

Esercizio

Calcolare le coordinate polari del punto (-2.5,5)

(r, q) = (5.6, 117°)

102

63°

Esercizio

Calcolare le coordinate cartesiane del punto P con

(r,q) = (10, 210°)

x = 10 cos(210°) = -8.6

y = 10 sen(210°) = -5

103

A

B

x

y

Approssimazioni nel caso di piccoli angoli

Sia CB <<AC, ovvero y<< x. Segue :

r = √(x2+y2) ≅ x

y è approssimativamente uguale alla lunghezza dell’

arco di circonferenza s, y≅s => y≅ rq da cui si ha

104

C

r s

senq =y

r@

rq

r=q, cosq =

x

r@

r

r=1, tanq =

y

x@

rq

r=q

q

Esponenziale e Logaritmo 105

La funzione esponenziale

Richiamo :

Potenza con esponente intero

Potenza con esponente frazionario

Si può definire anche una funzione più generica che

ad un x generico (numero reale) associa 2x, ovvero :

La variabile è proprio l’ esponente

Se x è intero o frazionaria si ritrovano i casi precedenti

106

23 = 2 ×2 ×2

25

3 = 253

f : x®2x ove x generico

La funzione esponenziale

f : x y=f(x)=2x

107

X 2X

-5 2-5 0,03125

-4 2-4 0,0625

-3 2-3 0,125

-2 2-2 0,25

-1 2-1 0,5

0 20 1

1 21 2

2 22 4

3 23 8

4 24 16

5 25 32

0

5

10

15

20

25

30

35

-6 -4 -2 0 2 4 6

y = 2x

La funzione esponenziale

F : x 0.5x

108

X 0.5X

-5 0.5-5 32

-4 0.5-4 16

-3 0.5-3 8

-2 0.5-2 4

-1 0.5-1 2

0 0.50 1

1 0.51 0,5

2 0.52 0,25

3 0.53 0,125

4 0.54 0,0625

5 0.55 0,03125

y = 0.5x

0

5

10

15

20

25

30

35

-6 -4 -2 0 2 4 6

La funzione esponenziale

Dato un numero generico (numero reale) positivo a, esiste una

funzione che ad ogni x generico associa ax, tale funzione è

chiamata esponenziale

109

La funzione esponenziale y = ax

appare come in figura:

se 0<a<1 si ha il grafico in

rosso

se invece a>1, si ha il grafico in

blu

La funzione esponenziale

Dato un numero generico (numero reale) positivo a,

esiste una funzione che ad ogni x generico associa

ax, tale funzione è chiamata esponenziale

In particolare in ambito scientifico si usa spesso

come numero reale positivo il numero di Nepero e,

pari ad e ≈ 2.7183…

La funzione x ex, ovvero f(x)=ex è detta

funzione esponenziale standard

110

La funzione esponenziale standard

Rappresentazione grafica

111

y

x

f (x) = e-x = e-1×x =

= e-1( )x

=1

e

æ

èç

ö

ø÷

x

xexf )(

Esponenziale

Le funzioni esponenziali che si incontrano in fisica

sono usualmente nella forma

E.g.: Legge decadimento radioattivo : N=N0e-t/l ->

Radiofarmaci

112

f (x) = A×eax

Esempio

Sia l= 8267 anni la vita media del Carbonio-14.

Quale frazione di Ca-14 è presente nel fossile dopo

10000 anni?

N/N0 = e-10000/8267 = 0.3

Quale frazione di atomi di carbonio è presente nel

fossile dopo 5723.6 anni?

N/N0 = e-5723.6/8267 = 0.5

113

N(t) = N0e- t

l

Introduzione al Logaritmo

9 = 32 oppure 27 = 33

81 = 92=(32)2= 32x2 = 34

64 = 8x8 = 23 x 23 = 23+3 = 26=22x3=(22)3 = 43

1. Qual è la potenza di 3 che ha come risultato il

numero 81?

Risposta : 4. Infatti 34=81

2. Qual è la potenza di 9 che ha come risultato il

numero 81? (81 = 92)

Risposta : 2. Infatti 92=81

114

Definizione di logaritmo

Definizione :

Il logaritmo in base a di un numero x è uguale all’

esponente y al quale il numero a deve essere elevato

affinchè si abbia x = ay. Cioè :

Se x = ay allora y = logax

Il logaritmo è la funzione inversa dell’ esponenziale

Esempio : pH = -log10x

(ove x è la concentrazione dello ione idrogeno nella soluzione)

115

Osservazioni

Se il logaritmo è espresso in base 10 talvolta si

esprime senza specificare la base

Se il logaritmo è espresso nella base e (numero di

Nepero) in genere non si specifica la base e

viene utilizzata la notazione

Loge5 ln5

116

Proprietà dei logaritmi

Poiché il logaritmo rappresenta un esponente, esso ha le

stesse proprietà matematiche degli esponenti.

LogaAB = LogaA + LogaB

Loga (A/B) = LogaA – LogaB

Loga An = n LogaA

Cambio di base da a a k : Logax = Logkx / Logk a

117

Proprietà dei logaritmi

Dimostriamo la prima delle proprietà dei logaritmi

LogaAB = LogaA + LogaB

Dimostrazione :

Sia p = LogaA e q = LogaB;

p+q= LogaA + LogaB.

Inoltre:

ap=A e aq=B

AB = ap aq = a (p+q) =>

LogaAB =Loga(a (p+q) ) = p+q = LogaA + LogaB

118

Esempio

Determinare il tempo di dimezzamento del Carbonio 14

sapendo che la sua vita media è pari a 8267 anni

119

N(t) = N0e-t/8257 sia tdimezzamento = t

N(t )

N0

=1

2= e

-t8257

ln(1

2) = -

t

8257 => - t = - ln(2)*8257

t = 5723.3

Sintesi della misura di superfici e volumi delle

principali figure geometriche piane e solide

Figure geometriche 120

Aree e volumi 121

L

L

Quadrato

Area = L2

Rettangolo

Area = ab

a

b

Cubo

Volume = L3

Parallelepipedo

Volume = abc

L L

L

a

b

c

Aree figure piane 122

h

b

Triangolo

Area =

Trapezio

b1

b2

Triangolo rettangolo

b

a 2

hb Area =

2

ba

Area =

2

hbb 21 h

Circonferenza, cerchio, sfera

Diametro = 2R

Perimetro circonferenza: L=2pR

Area cerchio: A= pR2

123

R

Superficie della sfera:

Volume della sfera:

2R4π

3R

4π

3

Cilindro

Area cilindro:

Stot= 2Sbase+Slaterale=

=2pR2 + 2pRh

Volume cilindro

V = Sbaseh = pR2h

124

h

R

Esempio

Dato un cilindro di raggio R=20cm e altezza

h=30cm, Quanto vale il 60% del volume totale?

V = pR2h = p(20cm)2(30cm)= p410230 cm3=

= p12103cm3

125

3333

60 10622101260100

60cmcmVV tot ..% p

Esempio

Si consideri un pezzo di legno cubico di lato 0.5 m. Se in esso

viene praticato un foro di forma sferica di raggio 5 cm e la

densità del legno è di 0.75 g/cm3, quanto vale la massa del

pezzo di legno prima e dopo il foro?

Ricordiamo che massa=densità*volume (m=V)

Prima : min= Vcubo

Volume Cubo:0.5m*0.5m*0.5m = 0.125m3

Densità: 0.75 g/cm3= 0.75*0.001kg/(0.01m)3 =750 kg/m3

Massa= 0.125 m3*750 kg/m3 = 93.75 kg

Dopo : mfin= *(Vcubo-Vsfera)

750 kg/m3*[(0.5*0.5*0.5)-(4/3)p (0.05)3 ]m3 = 93.36 kg

126

Esempio

Si vuole costruire una zattera con tronchi di legno a forma

cilindrica aventi diametro di 42 cm e lughezza 1m. La

zattera deve pesare almeno 300 Kg. Se la densità del

legno è in media 750 Kg/m3, calcolare qual è il numero

minimo di tronchi di legno che servono per la costruzione

della zattera.

V = p r2*l= p *(0.21)2*1=0.1385 m3

m1tronco = 750*0.1385 = 104 Kg

Numero tronchi minimo = 300/104 = 2.88 ≈3

127