Filtri CON RL

7/23/2019 Filtri CON RL

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Filtri

Bonanno ClaudioCastelli FilippoFrediani Ambra

Giraldi AngelaPagano Giulia

Tuci Giulia

Un filtro e un circuito che, sottoposto a un segnale periodico di pulsazione in ingresso, restituiscein uscita un segnale attenuato e sfasato. Il suo comportamento cambia in funzione della pulsazione.In laboratorio sono stati studiati filtri RC e filtri RL.

Filtri RC

Si analizza ora il comportamento di un filtro RC passa-basso (figura 1), cioe un circuito che permette

il solo passaggio di frequenze al di sotto di una data soglia detta frequenza di taglio.

SiaRtot= R + r, cioe resistenza R del filtro piu resistenza r del generatore poiche sono in serie.

La legge di Ohm afferma che:

VIn(t) =RtotI(t) +Q(t)C

Sia il segnale in ingresso del tipo VIn(t) =VIncos(t + ) =Re{VInei(t+)} . Si cerca unasoluzione del tipo Q(t) = Q0cos(t+

) = Re{Q0ei(t+)} . Dunque I(t) = dQ(t)dt =Q0sen(t + ) =Re{iQ0ei(t+)} =Re{iQ(t)} .Introducendo i fasori VIn(t) = VIne

i(t+), Q(t) = Q0ei(t+) e I(t) = iQ(t) la

formula si semplifica cos:

VIn(t) =

Rtot+ 1

iC

I(t) =ZtotI(t) (1)

Dove Ztot=ZRtot+ ZC e limpedenza totale del circuito: ZRtot =Rtot e limpedenza dellaresistenza totale eZC=

1iC e quella del condensatore.

Figure 1: Filtro passa-basso RC

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Grazie allintroduzione dei fasori la (1) e formalmente identica alla legge di Ohm per la corrente

continua.

Dunque si ha

Vout(t) = ZCI(t) = ZC

ZtotVIn(t) =T()VIn(t)

T() e detta funzione di trasferimento: T() = 1iC

1Rtot+

1

iC

= 11+i

T

con T = 1RtotC

che e

la pulsazione di taglio.Lampiezza del segnale in uscita e:

Vout= |Vout| = |T()||VIn| = 11+ ffT

2

VIn

poichef= 2

.Il filtro e un passa-basso dato cheVout VIn quando f fT.Lo sfasamento invece e tg= Im{T()}

Re{T()} = f

fT. Dunque quandof fTsi ha che 2 ,

motivo per cui i filtri passa-basso sono detti anche integratori. Infatti se VIn(t)

cos(t) e se

T si ha Vout(t) sen(t).Scambiando nel circuito la posizione della resistenza con quella del condensatore si ottiene un filtropassa-alto che ha caratteristiche duali rispetto al filtro passa-basso, ovvero:

Vout= 11+fTf

2

VIn

e tg = fTf

. E evidente che se f fT allora Vout VIn e 2 , per questo il filtropassa-alto e detto anche derivatore.Collegando in serie un filtro passa-basso e un filtro passa-alto si ottiene un filtro passa-banda.E utile introdurre lattenuazione in decibel, una grandezza adimensionale cos definita: A =

20log10 VoutVIn .

E interessante osservare che il rapporto VoutVIn si puo stimare cos:

in un passa basso, se T si ha che VoutVIn fTf ;

in un passa alto, se T si ha che VoutVIn ffT

;

Adesso saranno esposte nei dettagli due esperienze: una su un filtro passa-basso RC e laltra suun filtro passa-banda.

Esperienza sul filtro passa-basso RC

E stato costruito un circuito come quello schematizzato in figura 2, cioe un filtro passa-basso. Laresistenza e stata scelta sufficientemente grande, per poter trascurare la resistenza interna del

generatore (dellordine della decina di Ohm).

R C() (F)

(33, 0 1, 7)102 (10 1)102

Il valore di R e stato misurato con un multimetro mentre per C e stato preso il valore nominale.Analogamente per lerrore si e preso rispettivamente lerrore strumentale del multimetro e la toller-anza dichiarata dal costruttore (10%).Nella prima parte dellesperienza sono state misurate la frequenza di taglio e la frequenza di dimez-

zamento (frequenza alla quale lattenuazione del filtro vale 12) e gli sfasamenti corrispondenti a tali

frequenze; tali valori sono stati poi confrontati con quelli attesi.Grazie alloscilloscopio sono stati misurati il periodoT = 1f, necessario a determinare la frequenza,

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Figure 2: Schematizzazione di un filtro passa-basso

e lo sfasamento = TT 2. In entrambi i casi lerrore e stato propagato partendo da quellostrumentale su T.

fT = 12RC f12 = 3fT tg= ffT

fT T f12

12

(Hz) (rad) (Hz) (rad)

Valori misurati 476 24 0, 77 0, 06 820 25 0, 94 0, 07Valori attesi 482 72

4 0, 79 825 125

3 1, 05

I valori misurati sono in buon accordo con i valori attesi.Nella seconda parte dellesperienza si misurano con loscilloscopio diversi valori di Vout al variaredif, assicurandosi cheVIn rimanga circa costante nella gamma di frequenze esplorata. Lerrore su

f e stato propagato come sopra, mentre quello su V e quello strumentale delloscilloscopio.E stato poi disegnato un grafico V fin carta bilogaritmica per verificare sperimentalmente lalegge:

V(f) = V

In1+ ffT

2

VIn Vout f(V) (V) (Hz)

21, 4 0, 6 21, 0 0, 6 25, 0 0, 121, 0 0, 6 49, 7 1, 520, 8

0, 6 100

3

19, 6 0, 6 200 616, 6 0, 5 400 1011, 2 0, 3 800 206, 0 0, 2 1606 503, 2 0, 1 3204 100

1, 62 0, 05 6390 2000, 81 0, 02 12785 3400, 40 0, 01 25579 800

0, 210 0, 006 51140 1530

3


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Per fittare i punti e stata usata la legge f(x) = 21,41+( xb )

2, poiche i due parametriVIn efT sono

altamente correlati. E quindi stato ritenuto opportuno fissare uno dei due.

Il fit restituisce (b= 484 6)Hz erid = 0, 31.Possiamo concludere che ce buon accordo tra dati sperimentali e legge teorica.

Esperienza sul filtro passa-banda

Combinando in serie un passa-alto e un passa-basso si ottiene un filtro passa-banda come quelloin figura 3, ossia un filtro che fa passare una determinata banda di frequenze a seconda delle

caratteristiche costruttive del circuito.

Dati gli elementi del circuito, le relazioni con le frequenze di taglio sono:

fTA= 1

2RACAe fTB =

12RBCB

Inoltre per verificare leffettivo comportamento dei due filtri e necessario impostare una frequenzatale che sussistano le relazioni: f fTA e f fTB. Conviene lavorare fra qualche centinaio equalche migliaio di Hertz e impostare il generatore in modo da avere una larga ampiezza. In questomodo e possibile continuare ad osservare il segnale anche dopo lintegrazione.Nel determinare le relazioni precedenti le due maglie sono state considerate scollegate tra loro. Per

non alterare le condizioni di lavoro una volta collegati i circuiti, si considera limpedenza totaledella maglia destra: Z() = 1

iCA+

RB+

1

iCB

1 =

iRBCB+1i(CA+CB)2RBCACB

1i(CA+CB)

perche RBCB.Dalla relazione CA CB si ha 1i(CA+CB) 1iCA , che e la condizione affinche i due filtri non siinfluenzino. Si scelgonoRA, RB, CA, CB in maniera consistente:

RA CA RB CB() (F) () (F)

(3, 47 0, 003)103 (4, 7 0, 5)106 69, 1 0, 6 (0, 22 0, 02)106

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fTA,att fTB,att f(Hz) (Hz) (Hz)

101 (10 1)103 (1, 016 0, 002)103

Figure 3: Schematizzazione filtro passa-banda

I valori delle resistenze sono stati misurati utilizzando un multimetro digitale e gli errori sonostati stimati considerando un errore strumentale dell1% come dichiarato dal costruttore. Per lecapacita sono stati presi i valori nominali.Per verificare il corretto funzionamento del circuito e stato impostato il generatore di funzionisu unonda quadra alla frequenza di lavoro prescelta e sono state misurate lampiezza dentrata,lattenuazione e lo sfasamento rispetto al segnale dingresso. Inoltre e stato osservato che alluscitadal circuito A la forma donda e triangolare mentre alluscita dal circuito B e nuovamente quadra.

pedice Tensione A (V) (dB) (rad)

In 10, 9 0, 3 0 0A 0, 174 0, 05 36 3 0, 47 0, 03B (10, 9 0, 3)103 60 3 0, 016 0, 001

Le attenuazioni sono state misurate in decibel, cioe A[dB] = 20log10(AA,B) con AA = VAVIn

e

AB = VBVIn

. Lerrore e stato calcolato utilizzando la propagazione dellerrore massimo.

Ci si aspetta AA 20 log10 fTAf = 20 e AB 20log10fTAf = 60.

Lo sfasamento e stato misurato utilizzando la relazione = TT 2, doveT e il periodo dellonda

e T e la distanza temporale tra due picchi delle due onde (con T < T). Lerrore sui tempie stato stimato considerando un errore strumentale delloscilloscopio pari al 6 %. Ci si aspettaA =

2

e B = 0, in quanto i due circuiti si comportano rispettivamente da integratore ederivatore.I dati sperimentali sono in accordo con i valori attesi come si pu o notare dalle forme donda inuscita da A e da B.

Si nota che il segnale in uscita da B risulta poco leggibile a causa delleffetto di rumore ad altafrequenza, ma si puo migliorare la misura utilizzando un dispositivo costituito da una tee-BNC eun connettore BNC con saldato un condensatore ceramico (figura 4). Questo si comporta comeun filtro passa basso, infatti pone il condensatore tra loscilloscopio, dotato di una certa resistenzadingresso, e la terra. Per quantificarne leffetto si stima il signal to noise ratio (S/N) come rap-porto tra lampiezza del segnale e quello della banda di rumore, valutandolo prima senza e poi conil dispositivo collegato.

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Figure 4: Schematizzazione del dispositivo costituito da una tee-BNC e un connettore BNC consaldato un condensatore ceramico

senza dispositivo con dispositivo

N(mV) 4, 8 1, 2S(mV) 24, 1 20, 8

S/N

5

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Filtri RL

Si studia ora il comportamento di un filtro RL passa-alto costituito da un elemento resistivo e daun elemento induttivo (bobina), connessi come in figura 5. SiaRtot = R+r la resistenza totaledel circuito, con R la resistenza di carico ed r la resistenza interna al generatore di tensione.Si osserva che in presenza di una tensione in ingresso VIn , la caduta di potenziale ai capi delresistore e data, per la Legge di Ohm, da RI(t) dove I(t) e la corrente che attraversa il resistore.Si puo allora scrivere che:

VIn =LdI(t)dt

+ RI(t)

Introducendo nuovamente la notazione fasoriale e osservando che dI(t)

dt = iI(t) si ottiene

che

VIn(t) = (Rtot+ iL) I(t) =ZtotI(t)

Dove in questo caso ZL = iL e limpedenza dellinduttanza.Alluscita delloscilloscopio si ha un segnale

Vout= ZLI(t) = ZLZtot

VIn(t) =T()VIn(t)

dove T() e la funzione di trasferimento, definita come prima.Lampiezza del segnale in uscita e

Vout= |Vout| = |T()||VIn | = 11+(t )2 VIn = 1

1+(ftf )2 VIn

Perf ftsi haVout VIn , ossi un filtro passa-basso mentre nel caso opposto in ha un passa-alto.Lo sfasamento e dato da tan = Im{T(}Re{T()} =

ftf dunque

Figure 5: Schematizzazione filtro RL

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Figure 6: Schematizzazone filtro passa-alto RL

quandof ft si ha che 2 cio significa che, in banda attenuata, la tensione di uscitatende ad anticipare di 2 rispetto a quella di ingresso;

quandof

ft

0 ovvero, in banda passante, si ha che il segnale in uscita e in fase con

quello in ingresso;

Scambiando nel circuito la posizione dellinduttanza e della resistenza si ottiene un filtro passa-basso con caratteristiche duali rispetto al passa-alto.Adesso sara esposta nel dettaglio lesperienza su un filtro passa-alto RL.

Esperienza sul filtro passa-alto RL

E stato realizzato un circuito come in figura 6, variando di volta in volta il valore di R. Le misuredella resistenza sono state effettuate con un multimetro digitale, considerando un errore strumentaledel 0.8 %. Sono state scelte resistenze dellordine dei 103/104Ohm (per poter consideraretrascurabile il contributo ohmico della resistenza interna del generatore di funzioni, dellordine di

10Ohm) talvolta mettendole in serie e/o in parallelo.

Per ciascuna resistenza sono state determinate la frequenza di dimezzamento dellampiezza dellafunzione donda e lo sfasamento corrispondente attraverso il confronto dei segnali in ingresso (CH1)e in uscita (CH2) visibili in modalita x-t sul monitor delloscilloscopio.La frequenza e stata regolata per ciascun valore della resistenza in modo che lampiezza dondadel segnale uscente fosse la meta di quello in ingresso. Lerrore su f1/2 e quello strumentale. Perdeterminare lo sfasamento 1/2 e stato misurato il periodo T e lo sfasamento temporale t tra

CH1 e CH2: t = tT 2. Lerrore sullo sfasamento e stato calcolato propagando lerrore da T.

R f1/2 1/2Ohm Hz

671 5 122 5 0, 29 0, 02999

8 189

8 0, 2

0, 02

2200 20 398 16 0, 32 0, 023280 30 545 22 0, 32 0, 023950 35 682 27 0, 32 0, 025630 50 992 40 0, 32 0, 026760 60 1126 50 0, 32 0, 02

10030 80 1759 70 0, 32 0, 0222520 200 3896 150 0, 32 0, 0233800 300 5847 235 0, 32 0, 0240560 350 6874 280 0, 32 0, 0267500 600 10000 400 0, 32 0, 02

Il valore atteso dello sfasamento alla frequenza di dimezzamento f1/2 e:= arctan

taglio =

3 0, 33

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Il valore atteso e quindi in accordo con i dati sperimentali per R abbastanza grande (per i primidue valori misurati probabilmente le resistenze interne non sono trascurabili rispetto a quello delgeneratore).E stato inoltre realizzato un grafico Rf su carta bilogaritmica (figura 8), da cui risulta ladipendenza lineare attesa: f1/2(R) =

R

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. Eseguendo con Gnuplot un fit dei dati con la

precedente funzione, si e cos data una stima dellinduttanza L della bobina. Per un best-fitdei dati si e ritenuto opportuno non includere le due resistenze piu piccole, rispetto alle quali leresistenze interne del circuito non erano trascurabili.

Considerando la funzione f(x) = x/a il fit dei dati restituisce a = 5, 87 0, 10 e un 2rid = 1, 01con 9 gradi di liberta. DunqueL= (0, 54

0, 1)H. Lo stesso fit eseguito tenendo conto delle due

resistenze piu piccole restituisce invece un 2rid = 1, 41.

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