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16capitolo

L’interazioneelettrostatica

som

mar

io 16.1 16.2

16.3

16.4

16.5 16.6

Densità di caricaEsperimenti elementari di elettrostatica

La legge di Coulomb nel vuoto

Il campo elettrico

Il dipolo elettrico

Esercizi

16.2.1 Come si misura la carica elettrica: l’elettroscopio

16.3.1 Il principio di sovrapposizione

16.4.1 Linee di forza e direzione del campo elettrico

626 Capitolo 16 • L’interazione elettrostatica

L’interazione elettromagnetica è, insieme alle interazioni gravitazio-nale, nucleare forte e nucleare debole, una delle quattro interazionifondamentali. Nello studio della meccanica abbiamo visto che l’in-terazione gravitazionale si manifesta tramite una forza attrattiva chesi esercita tra corpi che possiedono una particolare proprietà, detta“massa gravitazionale”. L’interazione elettromagnetica si manifestatramite la forza elettromagnetica che agisce tra corpi che possiedo-no una proprietà detta carica elettrica. Questa può essere di due tipidifferenti, che per convenzione si indicano con gli aggettivi positivo enegativo.

++

−

−

Figura 16.1Atomo di Rutherford: il nucleocentrale è formato da protoni(con carica positiva) e neutroni(neutri); gli elettroni hannocarica negativa e ruotanointorno al nucleo.

Gli esperimenti mostrano che cariche di tipo diverso si attraggono,mentre cariche dello stesso tipo si respingono. Quindi la forza elet-tromagnetica può essere sia attrattiva che repulsiva, a differenza dellaforza gravitazionale che è solo attrattiva.

La materia è formata in larga parte da particelle dotate di carica elet-trica; infatti i suoi costituenti fondamentali, gli atomi, contengono alloro interno due tipi di particelle cariche, i protoni e gli elettroni, chehanno carica uguale in modulo, ma di tipo diverso. Per convenzionesi assume che la carica del protone sia positiva e quella dell’elettronesia negativa. Nel modello planetario proposto da E. Rutherford e il-lustrato nella figura 16.1, l’atomo è composto da un nucleo centrale,costituito da protoni e neutroni,1 attorno al quale orbitano gli elettroni;la forza che tiene legati gli elettroni al nucleo è dovuta all’interazioneelettromagnetica tra protoni ed elettroni. I neutroni non sono dotati dicarica, sono cioè neutri.

Lo studio dell’interazione elettromagnetica nel caso generale in cuile cariche sono in moto è alquanto complesso e sarà affrontato in par-te nei capitoli successivi. In questo capitolo studieremo l’interazioneelettrostatica, ovvero la forza che si esercita tra cariche elettriche inquiete.

Dalla scoperta dell’elettrone, avvenuta nel 1896 ad opera di J.J.Thomson, e da esperimenti successivi è emerso un fatto importante:la carica elettrica è quantizzata, cioè può assumere solo valori paria multipli interi dell’unità di carica elementare e, il cui valore è:

e = 1, 60206 · 10−19 C , (16.1)

dove il simbolo C indica il coulomb, che è l’unità di misura della ca-rica elettrica (si veda il prossimo box giallo). La carica dell’elettroneè pari a −e mentre quella del protone è uguale a +e. Gli esperimentimostrano che le due cariche sono esattamente uguali in modulo, manon vi è ancora ad oggi una spiegazione teorica del motivo di questauguaglianza. Il protone ed il neutrone non sono particelle elementari,vale a dire indivisibili, come lo è l’elettrone; essi infatti sono formatida particelle elementari dette quark, che hanno cariche pari a frazio-ni di e: 2

3 e nel caso dei quark di tipo up e − 13 e nel caso dei quark di

1Rutherford elaborò questo modello nella seconda decade del 1900; il neutrone fuscoperto successivamente da Chadwick nel 1932.

627

tipo down. Questo non viola l’affermazione precedente che le carichesono multipli interi di e, perché i quark non possono esistere indivi-dualmente come particelle libere, come l’elettrone o il protone. Quindiin natura non si trovano mai valori frazionari della carica e.

I vari risultati sperimentali che hanno condotto alla formulazionegenerale delle leggi dell’elettromagnetismo indicano che vale il

principio di conservazione della carica elettrica:in qualunque processo fisico la somma algebrica delle cariche elet-triche coinvolte non può mai variare, cioè la carica non può esserené creata, né distrutta.

Questo principio si verifica per esempio nelle reazioni chimiche: quan-do un atomo cede elettroni ad un altro atomo e forma una molecola, lacarica complessiva si conserva. È stato anche ampiamente verificatonegli esperimenti di fisica delle particelle elementari dove si possonocreare nuovi tipi di particelle. Questi processi avvengono sempre ri-spettando rigorosamente tale principio; per esempio se si creano dueparticelle cariche esse devono avere necessariamente carica +q e −q.

Dimensioni e unità di misura della carica elettricaL’unità di misura della carica elettrica è il coulomb, il cui sim-bolo è C, in onore di Charles Augustin de Coulomb che ricavòla legge che porta il suo nome e che studieremo nel paragra-fo 16.3. La carica elettrica è una grandezza derivata ed èdefinita a partire dalla corrente elettrica i , che definiremo nelcapitolo 20, che è invece una grandezza fondamentale del Si-stema Internazionale: la carica unitaria è quella che attraver-sa in un secondo la sezione di un filo conduttore percorsodalla corrente unitaria.Quindi le dimensioni della carica elettrica sono quelle di unacorrente per un tempo:

[q] = i t .

Come vedremo più avanti in questo volume, l’unità di misuradella corrente è l’ampere il cui simbolo è A; quindi il coulombè definito come il valore della carica che passa in un secon-do attraverso la sezione di un filo conduttore percorso dallacorrente di un ampere:

C = A · s .

Il coulomb è un’unità di misura molto grande, quindi si utilizza-no spesso dei suoi sottomultipli: mC = 10−3 C, μC = 10−6 C,nC = 10−9 C, pC = 10−12 C.La carica elettrica è quantizzata e l’unità di misura elementaredella carica vale:

e = 1.60206 · 10−19 C ;la carica dell’elettrone è −e mentre quella del protone è +e. Uncoulomb corrisponde a 6.25 · 1018 unità elementari di carica.


16.1 Densità di carica

Se la carica elettrica è concentrata in una regione di spazio molto pic-cola, al limite infinitesima, diciamo che la carica è puntiforme; se in-vece essa occupa una regione estesa, dobbiamo definire una nuovagrandezza fisica, la densità di carica, che descrive come la carica èdistribuita nello spazio.

Consideriamo un elemento di volume dV ed indichiamo con dq lacarica in esso contenuta. La densità di carica (di volume) ρ è cosìdefinita:

ρ = dq

dV. (16.2)

Si noti che questa espressione è analoga a quella della densità di mas-sa, che è definita come il rapporto dm/dV , dove dm è la massa con-tenuta nel volume dV .

Se la carica è distribuita su una superficie, come avviene per esem-pio nei conduttori in equilibrio elettrostatico, è utile definire la densitàdi carica superficiale σ . Se d S è un elemento della superficie e dq lacarica che esso contiene, la densità di carica superficiale è

σ = dq

d S. (16.3)

Analogamente, se la carica è distribuita su un filo, definiamo la den-sità di carica lineare λ,

λ = dq

dl, (16.4)

dove dl è la lunghezza di un tratto infinitesimo di filo e dq la carica cheesso contiene. Le densità λ, σ e ρ possono variare da punto a punto,oppure assumere lo stesso valore in ogni punto. In quest’ultimo casola distribuzione di carica si dice uniforme.

Dimensioni e unità di misura della densità di carica elettricaLe densità di carica lineare, superficiale e di volume hannorispettivamente le seguenti dimensioni:

[λ] = [q][l] , [σ ] = [q]

[l2] , [ρ] = [q][l3] ;

dato che la carica ha dimensioni di una corrente per un tempo[q] = i t , si ha

[λ] = i tl−1 , [σ ] = i tl−2 , [ρ] = i tl−3 .

Le unità di misura delle densità di carica lineare, superficiale edi volume sono rispettivamente C/m, C/m2, C/m3.

16.2 • Esperimenti elementari di elettrostatica 629

16.2 Esperimenti elementari di elettrostatica

La comprensione della natura dei fenomeni elettrici e delle leggi cheli regolano si è evoluta nel tempo attraverso lo studio sistematico delleforze che si esercitano tra oggetti fatti di materiali diversi, opportu-namente strofinati con un panno, in modo tale da far loro acquista-re una carica netta (elettrizzazione). Illustreremo ora alcuni sempliciesperimenti che ci aiuteranno a capire come agisce la forza elettro-statica.

plastica vetro

Figura 16.2Le bacchette di vetro e di plastica

sono sospese tramite dei filiisolanti.

plastica vetro

a)

++ +

c)

plasticaplastica

+++ +++

b)

vetro vetro

− − −

− − − − − −

Figura 16.3Le bacchette di vetro e di plastica

cariche si attraggono, mentrebacchette uguali si respingono.

Prendiamo due bacchette di materiale diverso, una di vetro e l’altradi plastica (originariamente in luogo della plastica si utilizzava l’am-bra2) e sospendiamole tramite dei fili di seta come illustrato nella fi-gura 16.2. Come vedremo nel capitolo 19, la seta, la plastica, il vetro,etc. sono materiali isolanti, vale a dire tali che le cariche elettriche(in particolare gli elettroni) non sono libere di muoversi al loro in-terno. Strofiniamo ora la bacchetta di vetro con un panno di lana ela bacchetta di plastica con un panno di pelle e lasciamole libere dimuoversi: noteremo che esse si attraggono come illustrato nella figu-ra 16.3 a). Se sospendiamo due bacchette di vetro [figura 16.3 b)] odue bacchette di plastica [figura 16.3 c)] e le strofiniamo entrambecon lo stesso panno, vedremo che le due bacchette si respingono. Ilmotivo di questo comportamento è che strofinando la bacchetta conil panno forniamo dell’energia che consente a una piccola quantità dicarica di migrare da un corpo all’altro. Quando strofiniamo la bacchet-ta di vetro con il panno di lana, delle cariche negative si trasferisconodal vetro al panno e la bacchetta rimane carica positivamente; se in-vece strofiniamo la bacchetta di plastica con della pelle, una piccolacarica negativa passa dalla pelle alla plastica che si carica negativa-mente. Quindi l’esperimento mostra che due bacchette cariche di se-gno opposto si attraggono, mentre se sono cariche dello stesso segnosi respingono. Questo è vero in generale: tra cariche di segno oppo-sto agisce una forza attrattiva, tra cariche dello stesso segno agisceuna forza repulsiva.

++

b)

c)

plastica metallo

a)

−− −− −−

−− −− −− −−−−−−−−

−− −− −−

−−−−

Figura 16.4Una bacchetta carica è in gradodi attirare una pallina di metallo

[fig. a)]. Una volta che labacchetta tocca il metallo

[fig. b)], la bacchetta e la pallinasi respingono [fig. c)].

L’esperimento appena descritto mostra la presenza di forze elettro-statiche tra oggetti elettrizzati per strofinio; tuttavia è possibile avereforze elettriche anche senza strofinare un corpo. Se per esempio so-spendiamo una pallina di metallo tramite un filo isolante ed avvicinia-mo una bacchetta di plastica elettrizzata negativamente per strofiniocome illustrato nella figura 16.4 a), si osserva che la bacchetta attraela pallina anche se essa è scarica. Questo avviene perché i metalli sonomateriali conduttori, vale a dire gli elettroni possono muoversi libe-ramente al loro interno, come studieremo nel capitolo 19; quando labacchetta carica negativamente viene avvicinata alla pallina di metal-lo, gli elettroni su di essa tendono ad allontanarsi dalla regione che èpiù vicina alla bacchetta, lasciando da quella parte un eccesso di ca-

2L’ambra è una resina fossile che nell’antico Egitto e in Grecia veniva utilizzataper fare gioielli o oggetti ornamentali.


rica positiva. Questo fenomeno si chiama induzione elettrostatica; ilrisultato è che si genera una forza di attrazione tra le cariche negativedella bacchetta e le cariche positive della pallina.

Mettiamo ora a contatto la bacchetta e la pallina [figura 16.4 b)] epoi allontaniamole; vedremo che tra di loro si ha una forza di repulsio-ne, come illustrato nella figura 16.4 c). Questo si spiega perché duranteil contatto una parte della carica negativa della bacchetta si trasferiscesulla pallina caricandola negativamente; di conseguenza i due corpihanno ora una carica dello stesso segno e quindi si respingono.

16.2.1 Come si misura la carica elettrica: l’elettroscopio

Gli esperimenti con le bacchette cariche consentono di mettere in lucealcune caratteristiche qualitative della forza elettrostatica e della ca-rica elettrica; tuttavia per trovare delle leggi quantitative è necessariomisurare la quantità di carica posseduta da un corpo. Uno dei primistrumenti realizzati a questo scopo fu l’elettroscopio a foglie d’oro ri-portato nella figura 16.5. Esso è formato da un’ampolla di vetro in cuiè stato fatto il vuoto e da un’asta conduttrice che termina con due la-mine sottili, anch’esse conduttrici. Si utilizza l’oro perché è il metallopiù malleabile, quindi con esso si possono fare lamine molto sottili edi massa molto piccola.

Figura 16.5Elettroscopio a foglie d’oro.

θ θ

O

P P

Fe Fe

Figura 16.6L’angolo θ di aperturadell’elettroscopio dipendedal modulo della carica presentesulle lamine.

Nella figura 16.6 è schematizzato il suo principio di funzionamen-to: se si deposita sull’asta una carica q, toccando ad esempio il pomel-lo con una bacchetta elettrizzata, la carica elettrica si distribuisce sulconduttore e sulle due lamine che, essendo cariche dello stesso segno,si respingono. La forza gravitazionale tende a portare le due laminein posizione verticale, mentre la forza elettrostatica tende a separarle.In condizioni di equilibrio l’azione delle due forze si bilancia e dallamisura dell’angolo di apertura θ si risale al valore del modulo dellacarica q posseduta dalle foglioline.

Cenni storiciLa prime osservazioni degli effetti della forza elettrostatica ri-

salgono all’antica Grecia e si riferiscono al fatto che strofinandoun oggetto di ambra con un panno di lana o anche semplice-mente con le mani asciutte, questo acquisisce la proprietà diattirare altri piccoli oggetti leggeri quali pagliuzze e foglie sec-che. Questo singolare fenomeno rimase una caratteristica dellasola ambra fino a quando nel 1600 il fisico britannico WilliamGilbert iniziò uno studio sistematico sull’interazione tra corpi“elettrizzati”, ovvero strofinati con un panno di lana o una pelledi animale, e scoprì che altri materiali quali il vetro, le resinesolide e molte pietre dure esibivano le stesse proprietà dell’am-bra. Gilbert chiamò la forza che si esercitava tra questi corpiforza elettrica rifacendosi al nome greco dell’ambra: elektron;da esso derivano quindi i termini elettricità, elettrone, etc...

16.2 • Esperimenti elementari di elettrostatica 631

Negli anni successivi si iniziò a studiare sistematicamente que-sta strana forza per comprenderne l’origine; nel 1729 StephenGray osservò come la “virtù elettrica” eccitata in un corpo perstrofinio, potesse in alcuni casi essere comunicata ad altri cor-pi ed introdusse il concetto di sostanze isolanti e conduttrici.Nel 1733 Charles de Cisternay du Fay avanzò l’ipotesi dell’e-sistenza di due, e solo due, stati elettrici distinti che si possonomanifestare per strofinio nei corpi e chiamò tali stati, rispettiva-mente, elettricità vetrosa e elettricità resinosa, dal nome dellesostanze nelle quali veniva più facilmente eccitata.Nel paragrafo 16.2 abbiamo descritto un esempio delle mol-teplici esperienze di du Fay. I fenomeni legati all’elettricità nonfurono studiati solo in Europa, ma anche in America, soprattut-to ad opera di Benjamin Franklin, l’inventore del parafulmineed uno dei padri della patria degli Stati Uniti. Franklin introdus-se una nuova teoria “dell’unicità del fluido elettrico”, secondola quale esiste un solo fluido elettrico distribuito in tutti i cor-pi. L’idea chiave di Franklin era che questo fluido ipotetico nonpotesse essere né creato né distrutto, ma obbedisse ad una leggedi conservazione; attraverso lo strofinio era possibile far passaredel fluido dal corpo al panno o viceversa, senza mai cambiarela quantità totale di fluido elettrico. Il termine carica elettricaintrodotto da Franklin è entrato a far parte della terminologiadella fisica ed è tuttora utilizzato, sebbene oggi non si parli piùdi fluido elettrico. Per spiegare i risultati sperimentali sulle forzedi interazione tra le bacchette elettrizzate, la teoria di Franklinsosteneva che le particelle di fluido si respingessero reciproca-mente, mentre esse venivano attratte dalle particelle di materia.In condizioni normali un corpo conteneva una quantità di fluidoopportuna tale che le forze di repulsione tra porzioni di fluido etra il fluido e la materia di cui era fatto il corpo si bilanciasseroperfettamente e non si riscontrasse quindi nessuna forza di tipoelettrostatico. Strofinando un corpo con un panno era possibilealterare la quantità di fluido facendo sì che il corpo risultassecarico: nel caso in cui un corpo contenesse più fluido del nor-male esso era carico positivamente (questo è il caso del vetro);se ne conteneva di meno esso era carico negativamente (que-sto è il caso dell’ambra e della resina in generale). La teoria delfluido unico di Franklin fu rapidamente accettata dalla comunitàscientifica rispetto alla teoria dei due fluidi di du Fay, sebbeneosservazioni successive favorissero la teoria dei due fluidi.Alla luce delle conoscenze attuali possiamo dire che entram-be le teorie di du Fay e di Franklin si avvicinavano alla real-tà; infatti oggi sappiamo che all’interno dei corpi sono presentidue tipi di cariche elettriche: i protoni e gli elettroni ai quali sipuò attribuire rispettivamente la proprietà di “elettricità vetrosa”(ovvero carica positiva) e di “elettricità resinosa” (ovvero caricanegativa).


Sappiamo anche che l’intuizione di Franklin è corretta: la caricaelettrica si conserva rigorosamente e non può essere né creata,né distrutta. Il fluido elettrico di Franklin può essere identifi-cato con gli elettroni. Tuttavia secondo Franklin un eccesso difluido elettrico dà una carica positiva, mentre invece sappiamoche un eccesso di elettroni conferisce ad un corpo una caricanegativa. Questa imprecisione storica condiziona ancora oggi ladefinizione della corrente elettrica; infatti, come vedremo nelcapitolo 20, la corrente elettrica è dovuta ad un movimento dicariche che per definizione si assumono positive, mentre in unconduttore metallico la corrente elettrica è dovuta al movimentodegli elettroni che sono negativi. Quindi per motivi storici si as-sume che la corrente elettrica abbia verso opposto al moto deglielettroni, pur essendo da essi generata.

Figura 16.7Bilancia di torsione di Coulomb.

16.3 La legge di Coulomb nel vuotoIntorno alla metà del 1700 gli studi sulla forza elettrica iniziarono adaffrontare aspetti quantitativi e si ipotizzò che essa avesse una dipen-denza dalla distanza simile a quella della forza gravitazionale, espres-sa dalla legge di gravitazione universale di Newton. Nel 1785 Cou-lomb per la prima volta effettuò esperimenti che avevano lo scopo dideterminare l’andamento della forza elettrostatica in funzione delladistanza; egli progettò e realizzò la bilancia di torsione3 (si veda la fi-gura 16.7), il cui principio di funzionamento è riportato in figura 16.8:le due palline metalliche indicate con 1 e 2, vengono posizionate ini-zialmente ad una distanza r nota e su di esse viene depositata una ca-rica anch’essa nota. Le due palline si attraggono (come nel caso dellafigura) o si respingono facendo ruotare il filo a cui è sospesa l’astametallica.

rα

1

2

filo

q

11

q

2

Figura 16.8Principio di funzionamento dellabilancia di Coulomb.

Il filo si comporta come una molla che si oppone alla torsione, fino aquando non si raggiunge una posizione di equilibrio; dalla conoscenzadella costante di torsione del filo (simile concettualmente alla costan-te elastica della molla) e dalla misura dell’angolo di rotazione α, siricava la forza elettrostatica tra le due palline cariche. Da tali misureCoulomb ricavò la legge che descrive la forza con cui interagisconodue cariche elettriche, che ora descriveremo.

Legge di Coulomb La forza con cui interagiscono due cariche elet-triche puntiformi, ferme, nel vuoto ha:

• modulo:

Fe = k0|q1||q2|

r2, (16.5)

3Cavendish nel 1798 utilizzò la bilancia di torsione inventata da Coulomb permisurare la costante di gravitazione universale G e ricavare la densità media dellaTerra.

16.3 • La legge di Coulomb nel vuoto 633

dove:

1. |q1| e |q2| sono i moduli dei valori delle cariche puntiformi cheinteragiscono;

2. r è la distanza tra le cariche;3. k0 è una costante di proporzionalità che dipende dal sistema di

unità di misura.

Nel Sistema Internazionale k0 si scrive nel modo seguente:

k0 = 1

4πε0, (16.6)

dove ε0 è detta costante dielettrica del vuoto; ε0 e k0 valgono:

ε0 = 8.85 · 10−12 C2

Nm2⇒

k0 = 8.99 · 109 Nm2

C2� 9 · 109 Nm2

C2.

(16.7)

Se si utilizza la definizione (16.6) il modulo della forza elettrosta-tica diventa

Fe = 1

4πε0

|q1||q2|r2

. (16.8)

• direzione e verso: la forza è diretta lungo la retta che unisce le duecariche. Se queste hanno lo stesso segno la forza è repulsiva, sehanno segno opposto la forza è attrattiva.

q1

q2

q2

q1

b)

a)

r

r

F

e,21F e,12F

e,21F e,12

Figura 16.9La forza �Fe,12 che q1 esercita suq2 è uguale e opposta alla forza�Fe,21 che q2 esercita su q1. Nelcaso a) le forze sono repulsive

perché le cariche hanno lo stessosegno, nel caso b) sono attrattive

perché q1 e −q2 hanno segnoopposto.

Questo è consistente con il terzo principio della dinamica (principio diazione-reazione): se la carica q1 esercita su q2 una forza �Fe,12 applicataa q2, la carica q2 esercita su q1 una forza �Fe,21 tale che

�Fe,21 = −�Fe,12 ; (16.9)

vale a dire �Fe,21 ha la stessa direzione e lo stesso modulo di �Fe,12, maha verso opposto. Inoltre ricordiamo che essa è applicata alla caricaq1. In figura 16.9 mostriamo la coppia azione-reazione (�Fe,12, �Fe,21)

nel caso che le due cariche abbiano segno uguale o opposto.

q2

q1

q1

q

^

^ 2

a)

b)

O

O

Fe,12e,21

e,12e,21F

F

r

r

r

F

Figura 16.10Nel caso a) le cariche hanno lostesso segno, nel caso b) hanno

segno opposto.

Per esprimere la legge di Coulomb in forma vettoriale, indichiamocon �r il vettore che va dalla carica q1 alla carica q2 e con r il corrispon-dente versore, cioè il vettore di modulo unitario che è diretto come �r(si veda la figura 16.10). Consideriamo la forza che q1 esercita su q2.In base a quanto detto, essa si può esprimere come

�Fe,12 = k0q1q2

r2r . (16.10)

Infatti, se le due cariche hanno lo stesso segno il prodotto q1q2 èpositivo (si noti che abbiamo eliminato i moduli); quindi il prodot-to k0q1q2/r2 è positivo, per cui la forza �Fe,12 ha lo stesso verso di �r


come mostrato in figura 16.10a). Se invece le cariche hanno segno op-posto come in figura 16.10b), il prodotto q1q2 è negativo e �Fe,12 haverso opposto a �r. La forza che q2 esercita su q1 ha l’espressione da-ta nella (16.10), salvo che in questo caso il vettore �r va da q2 a q1,consistentemente con l’equazione (16.9).

NOTARE CHE: la forza di interazione tra cariche elettriche de-scritta dalla legge di Coulomb si riferisce a cariche in quiete; perquesto viene detta forza elettrostatica.

NOTARE CHE: la legge di Coulomb (16.5) vale nel vuoto, ma sipuò considerare valida con buona approssimazione anche in aria. Ve-dremo nel capitolo 19 come vada modificata nel caso in cui le carichesi trovino all’interno di un materiale isolante.

NOTARE CHE: come la forza di gravitazione universale che de-scrive l’interazione gravitazionale tra due masse, anche la forza elet-trostatica agisce “a distanza”, vale a dire non è necessario che le cari-che che interagiscono siano a contatto tra loro.

2

q

q1

3

q

Fe,31

Fe,rise,21F

Figura 16.11La forza risultante �Fe,ris è lasomma vettoriale delle forze che−q2 e q3 esercitano su q1.

16.3.1 Il principio di sovrapposizione

Il principio di sovrapposizione stabilisce:se una carica elettrica q1 interagisce con un insieme di caricheq2, q3, . . . qN , la forza elettrostatica che agisce su q1 è data dallasomma vettoriale delle forze che ciascuna carica della distribuzio-ne esercita su q1.

�Fe,ris = �Fe,21 + �Fe,31 + · · · + �Fe,N1 . (16.11)

Un esempio è riportato in figura 16.11: una carica positiva q1 intera-gisce con le cariche −q2, negativa, e q3 positiva. Le forze che q2 e q3

esercitano su q1 sono rispettivamente �Fe,21 e �Fe,31; la forza risultanteè la somma vettoriale delle due. Nella figura �Fe,ris è ottenuta con laregola del parallelogramma ed è indicata in rosso.

Confronto fra la forza elettrostatica e la forza gravitazionaleLe espressioni della forza elettrostatica tra due corpi puntiformicarichi

�Fe = k0q1q2

r2r

e della forza di gravitazione universale che si esercita tra duemasse puntiformi

�Fg = −Gm1m2

r2r

sono formalmente molto simili: entrambe le forze sono diret-tamente proporzionali al prodotto delle grandezze che intera-giscono, le cariche e le masse, ed entrambe sono inversamenteproporzionali al quadrato della distanza tra i corpi.


e_

r p+−

Figura 16.12L’atomo di idrogeno è costituito

da un protone e da un elettrone.

La differenza sostanziale sta nel fatto che la forza gravita-zionale è solo attrattiva mentre quella elettrostatica può esse-re sia attrattiva che repulsiva, e nel valore della costante diproporzionalità:

k0 = 9 · 109 Nm2

C2e G = 6.67 · 10−11 Nm2

kg2.

Mostreremo ora che nell’atomo le forze elettromagnetiche sonomolto maggiori di quelle gravitazionali.L’atomo più semplice è quello di idrogeno, che è costituito daun protone (carica +e) e da un elettrone (carica −e). Nel mo-dello di Rutherford che rappresenta l’atomo come un piccolosistema solare, l’elettrone ruota intorno al protone lungo un’or-bita circolare. Il raggio dell’orbita è pari a r = 5.3 · 10−11 m.La massa dell’elettrone è me = 9.11 · 10−31 kg, quella delprotone è m p = 1.67 · 10−27 kg; le rispettive cariche sono−qe = qp = 1.6 · 10−19 C; pertanto in questo caso la forzaelettrostatica tra le due cariche è attrattiva come la forza gravi-tazionale tra le due masse.Calcoliamo i loro moduli.Forza elettrostatica:

Fe = k0qp|qe|

r2= 9 · 109 × (1.6 · 10−19)2

(5.3 · 10−11)2= 8.2 · 10−8 N .

Forza gravitazionale:

Fg = Gm pme

r2= 6.67 · 10−11 × 1.67 · 10−27 × 9.11 · 10−31

(5.3 · 10−11)2=

= 3.6 · 10−47 N .

Valutiamo il rapporto tra le due forze:

Fe

Fg= 8.2 · 10−8

3.6 · 10−47= 2.3 · 1039.

Quindi possiamo concludere che la forza gravitazionale traparticelle atomiche cariche è completamente trascurabile ri-spetto alla forza elettrostatica.Su scala planetaria invece la forza elettrostatica è completa-mente trascurabile rispetto alla forza gravitazionale; infatti no-nostante la materia sia composta di particelle cariche, la som-ma delle cariche positive mediamente equivale a quella dellecariche negative, quindi la materia è mediamente neutra. Per-tanto se consideriamo l’interazione tra corpi celesti, la forzagravitazionale domina su quella elettrostatica.


|

1+q2 3+q

x 1x 3

x 2

+q2 3+q +q1

Fe,13 Fe,23

| || ||

+qO xa)

O x

b)

Figura 16.13

PROBLEMA 16.1 Due cariche positive q1 = 2.6 μC e q2 = 1.5 μC si trovano in quietein due punti dello spazio. Scegliendo l’asse x coincidente con la rettache congiunge le due cariche, come indicato in figura 16.13 a), le loroposizioni sono individuate dalle coordinate x1 = +2 cm e x2 = −5 cm.Una terza carica positiva q3 = 0.8 μC viene posta tra di esse nellaposizione x3 = −3 cm. Trovare la forza elettrostatica totale che agiscesulla carica q3.

Sulla carica q3 agisce la forza elettrostatica �Fe,13 dovuta alla carica q1

e la forza elettrostatica �Fe,23 dovuta alla carica q2. Le due forze sonoentrambe repulsive in quanto sia q1 che q2 hanno la stesso segno dellacarica q3. Per calcolare il modulo delle due forze si utilizza la legge diCoulomb (16.5); facendo riferimento alla figura 16.13 a), la distanza trale due coppie di cariche è:

r13 = |x3| + x1 = 3 + 2 = 5 cm ; r23 = |x2| − |x3| = 5 − 3 = 2 cm .

I moduli delle due forze sono:

Fe,13 = k0q1q3

r213

= 9 · 109 × 2.6 · 10−6 × 0.8 · 10−6

(5 · 10−2)2= 7.5 N

Fe,23 = k0q2q3

r223

= 9 · 109 × 1.5 · 10−6 × 0.8 · 10−6

(2 · 10−2)2= 27.0 N .

Nella figura 16.13 b) sono riportati i due vettori �Fe,13 e �Fe,23; la forza�Fe,13 ha verso opposto a quello dell’asse x , mentre �Fe,23 è diretta nelverso positivo. Quindi il modulo della forza totale agente sulla carica q3vale:

Fe,tot = Fe,23 − Fe,13 = 27.0 − 7.5 = 19.5 N ;Fe,tot è diretta nel verso positivo dell’asse x , ovvero essa è diretta versola carica q1. La forza di repulsione esercitata dalla carica q2 prevale suquella della carica q1 perché, sebbene q1 sia più grande di q2, q3 è piùvicina a q2 che a q1.

r

1

q3

q2

r

rq x

y

O

Figura 16.14

PROBLEMA 16.2 Tre cariche elettriche sono poste in quiete sui vertici di un triangoloequilatero di lato r = 4 cm come indicato in figura 16.14. I valori dellecariche sono rispettivamente q1 = −4 nC, q2 = 3 nC e q3 = 6 nC. De-terminare la forza elettrostatica totale che agisce sulla carica q3 a causadelle altre due. Se ne calcolino le componenti nel sistema di riferimentoindicato in figura, il modulo e l’angolo che essa forma con l’asse x.

Sulla carica q3 agiscono le forze elettrostatiche �Fe,13, dovuta alla cari-ca q1, e �Fe,23, dovuta alla carica q2; esse sono mostrate in figura 16.15.La forza �Fe,13 è attrattiva perché q1 e q3 hanno segno opposto, men-tre �Fe,23 è repulsiva perché q2 e q3 sono entrambe positive. Calcoliamoinnanzitutto il modulo delle due forze di Coulomb:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Fe,13 =k0|q1|q3

r2=9 · 109× 4 · 10−9×6 · 10−9

(4 · 10−2)2=13.50 · 10−5 N ;

Fe,23 =k0q2q3

r2=9 · 109× 3 · 10−9×6 · 10−9

(4 · 10−2)2=10.12 · 10−5 N .


q1

q3

q2

Fe,13

Fe,tot

Fe,23

α

yα

xO

r

Figura 16.15

y

Fe,totxO

c)

θ

Figura 16.16

L’angolo α che le due forze formano con l’asse y è pari a 30◦, dato chein un triangolo equilatero i tre angoli interni sono uguali e pari a 60◦ eα è pari a metà di un angolo interno. Proiettiamo le due forze sugli assicoordinati facendo riferimento alla figura 16.15:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

F xe,13 = −Fe,13 sin α = −13.50 · 10−5 × sin 30◦ =

= −6.75 · 10−5 N ;

F ye,13 = −Fe,13 cos α = −13.50 · 10−5 × cos 30◦ =

= −11.69 · 10−5 N .

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

F xe,23 = −Fe,23 sin α = −10.12 · 10−5 × sin 30◦ =

= −5.06 · 10−5 N ;

F ye,23 = Fe,23 cos α = 10.12 · 10−5 × cos 30◦ =

= 8.76 · 10−5 N .

Le componenti della forza risultante che agisce su q3 sono pertanto:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

F xe,tot = F x

e,13 + F xe,23 = −6.75 · 10−5 − 5.06 · 10−5 =

= −11.81 · 10−5 N ;F y

e,tot = F ye,13 + F y

e,23 = −11.69 · 10−5 + 8.76 · 10−5 == −2.93 · 10−5 N .

Il modulo della forza vale:

Fe,tot =√

(F xe,tot )

2 + (F ye,tot )

2 =

=√

(−11.81 · 10−5)2 + (−2.93 · 10−5)2 = 12.17 · 10−5 N .

Il vettore �Fe,tot è riportato nella figura 16.16, dove è indicato l’an-golo θ che il vettore forma con l’asse x ; utilizzando le regole dellatrigonometria si ricava:

tan θ = F ye,tot

F xe,tot

= −2.93 · 10−5

−11.81 · 10−5= 0.24809 .

L’equazionetan θ = 0.24809

ammette due soluzioni:

θ1 = arctan 0.24809 = 13.9◦ e θ2 = arctan 0.24809 + 180◦ = 193.9◦.

Dato che il vettore �Fe,tot giace nel terzo quadrante e non nel primo, ilrisultato corretto è θ2.


O x

y

θ θ

θ

P

Fe

T

Figura 16.17Dato che le due sferettehanno ugual massa, i due filiformano con la verticale lostesso angolo θ .

P

A

O x

L

d/2

y

θ θ

Figura 16.18

PROBLEMA 16.3 Due sferette uguali di carica positiva q e massa m = 2 g, sono appesea due fili di massa trascurabile e lunghezza L = 3 cm come indicato infigura 16.17. In condizioni di equilibrio l’angolo θ che i fili formano conla verticale è 10◦. Si calcoli q.

Su ciascuna massa agiscono tre forze: la forza peso �P = m�g diretta versoil basso, la tensione del filo �T e la forza di Coulomb �Fe. Dato che le duecariche sono uguali questa forza è repulsiva. Il suo modulo è dato da:

Fe = k0|q| × |q|

d2= k0

q2

d2,

dove d è la distanza tra le due cariche. Si noti che, dato che le massedelle due sferette sono uguali, i moduli delle rispettive forze peso sonouguali; inoltre, i moduli delle forze elettriche sono uguali per l’equazione(16.9) e quelli delle tensioni dei due fili sono uguali perché all’equilibrio�T = −�Fe − �P.Quindi i fili formano con la verticale angoli uguali e la congiungentele due cariche è una retta orizzontale. Pertanto il triangolo O P A dellafigura 16.18 è un triangolo rettangolo e

O P = d

2= L sin θ .

In componenti, nel sistema di riferimento riportato in figura 16.17, pos-siamo quindi scrivere per la forza elettrica che agisce sulla carica asinistra:

�Fe =(

−k0q2

4L2 sin2 θ, 0

).

Per la forza peso e la tensione della corda abbiamo analogamente

�T = (T sin θ, T cos θ), �P = (0, −mg) .

Imponendo la condizione di equilibrio �Fe + �T + �P = 0 otteniamo⎧⎪⎨⎪⎩−k0

q2

4L2 sin2 θ+ T sin θ = 0

T cos θ − mg = 0;

ricavando T dalla seconda equazione e sostituendo nella prima si ottiene

−k0q2

4L2 sin2 θ+ mg

cos θsin θ = 0 ⇒ q2 = 4L2mg sin3 θ

k0 cos θ

da cui si ricava

q = 2L

√mg sin3 θ

k0 cos θ=

= 2 × 0.03

√2 · 10−3 × 9.8 × sin3 10◦

9 · 109 × cos 10◦ = 6.5 · 10−9 C.

16.4 • Il campo elettrico 639

16.4 Il campo elettrico

Come abbiamo visto, la forza di interazione elettrostatica è una for-za a distanza, vale a dire si esercita tra cariche che non sono neces-sariamente a diretto contatto fra loro. Introdurremo ora una nuovagrandezza fisica, il campo elettrico �E, che descrive l’effetto che unadistribuzione di cariche in quiete produce nello spazio.

+ +r̂

q1 Fe,1

Q

r

Figura 16.19

Iniziamo discutendo l’effetto di una carica puntiforme Q sullo spa-zio circostante. Supporremo che Q sia vincolata a rimanere ferma inuna data posizione. Se poniamo un’altra carica q1 in un punto a di-stanza r da Q, per la legge di Coulomb (16.10) essa è soggetta allaforza �Fe,1, dovuta alla presenza di Q, data da

�Fe,1 = k0Qq1

r2r =

(k0

Q

r2r

)q1 . (16.12)

Ricordiamo che r è il vettore unitario (versore) che ha la direzione delvettore �r che unisce Q a q1, come indicato in figura 16.19. Analoga-mente, se al posto di q1 poniamo nella stessa posizione �r una caricaq2, la forza a cui essa è soggetta è

�Fe,2 = k0Qq2

r2r =

(k0

Q

r2r

)q2 . (16.13)

Confrontando le espressioni di �Fe,1 ed �Fe,2 notiamo che, se conside-riamo i rapporti �Fe,1/q1 e �Fe,2/q2, otteniamo la stessa grandezza chenon dipende dalle cariche q1 e q2, ma solo da Q e dalla distanza r daQ del punto in cui abbiamo posto q1 e q2:

�Fe,1

q1= �Fe,2

q2= k0

Q

r2r . (16.14)

Questo ragionamento si può ripetere per qualunque carica q, posta inun punto qualsiasi dello spazio: troveremo sempre che il rapporto tra laforza che Q esercita su q e q stessa è dato dalla (16.14) e dipende soloda Q e dalla distanza r . Possiamo dunque descrivere le forze elettrichegenerate dalla carica puntiforme Q associando ad ogni punto dellospazio un vettore che chiamiamo campo elettrico, dato da

�E = �Fe

q= k0

Q

r2r . (16.15)

Introducendo il campo elettrico, in pratica separiamo l’effetto prodottodalla carica Q, che consideriamo sorgente del campo, dalla presenzao meno di altre cariche: la carica Q produce in ogni punto dello spazioil campo elettrico �E; il suo effetto si manifesta quando in un puntoqualsiasi poniamo una carica q, perché su di essa agisce la forza �Fe =q �E. Dato che la carica Q è ferma, il campo elettrico che essa generanon varia nel tempo e pertanto si dice elettrostatico.


Supponiamo ora che in una data regione di spazio ci sia una distri-buzione di cariche. Poniamo una carica di prova q in una data posi-zione: su di essa agisce una forza elettrostatica che, per il principiodi sovrapposizione, è la somma vettoriale delle forze elettrostaticheche ciascuna carica della distribuzione esercita su q, come indicatonell’equazione (16.11), vale a dire

�Fe,ris = �Fe,1 + �Fe,2 + ... + �Fe,N .

Generalizzando quanto fatto in precedenza per una carica puntiforme,se dividiamo questa espressione per la carica q otteniamo

�Fe,ris

q= �Fe,1

q+ �Fe,2

q+ ... + �Fe,N

q= �E1 + �E2 + ... + �EN ; (16.16)

pertanto è naturale definire il campo elettrico generato dalla distribu-zione di cariche nel modo seguente:

il campo elettrico generato da una distribuzione di cariche è datodalla forza elettrostatica totale �Fe,ris divisa per la carica di prova

�E = �Fe,ris

q. (16.17)

Il campo elettrico non dipende dalla carica di prova, ma solo dallacarica, o dalla distribuzione di cariche, che lo generano.

Dall’equazione (16.16) segue che anche per il campo elettrico vale ilprincipio di sovrapposizione, vale a dire: il campo elettrico generatoda una distribuzione di cariche è la somma vettoriale dei campielettrici generati dalle singole cariche.

Nell’esempio appena considerato abbiamo assunto che la distribuzio-ne di cariche fosse discreta, cioè che fosse formata da un insieme dicariche puniformi; tuttavia la definizione di campo elettrico data nel-la (16.17) vale anche se la carica è distribuita in maniera continua.In tal caso è sufficiente suddividere la distribuzione in tante caricheinfinitesime dq; ciascuna di esse esercita sulla carica di prova q unaforza che, divisa per q, è il campo generato dalla carica infinitesimadq. Quindi il campo totale si ottiene sommando vettorialmente tuttii contributi infinitesimi in maniera analoga a quanto fatto nell’equa-zione (16.16); l’unica differenza sta nel fatto che essendo i contributiinfinitesimi dovremo sostituire la somma con un integrale.

NOTARE CHE: se la carica Q sorgente del campo è puntiformel’espressione del campo elettrico che essa genera è data dall’equazio-ne (16.15), vale a dire

�E = k0Q

r2r ; (16.18)


il suo modulo è

E = k0|Q|r2

. (16.19)

Per verificare se in una data regione di spazio esiste un campo elettri-co, è sufficiente porre in una data posizione una carica di prova q: seviene accelerata vuol dire che su di essa agisce una forza elettrica �Fe.Nota �Fe, possiamo calcolare il campo elettrico �E che agisce nel puntoutilizzando la (16.17).

Dimensioni e unità di misura del campo elettricoDalla definizione (16.17) segue che il campo elettrico ha ledimensioni di una forza diviso una carica, vale a dire

[E] = [Fe][q] = mlt−2

i t= mlt−3i−1 .

Il campo elettrico si misura in newton/coulomb, simbolo N/C,oppure in volt/metro, simbolo V/m, come vedremo più avanti.

16.4.1 Linee di forza e direzione del campo elettrico

Si definiscono linee di forza del campo elettrico le curve a cui il cam-po elettrico è tangente in ogni punto. Supponiamo che il campo siagenerato da una carica Q puntiforme e positiva; come si vede dall’e-quazione (16.18) esso è diretto radialmente, quindi le linee di forza delcampo sono delle rette uscenti rispetto alla carica Q, come mostrato infigura 16.20. Si noti che, dato che in ogni punto il campo elettrico hala stessa direzione e lo stesso verso della forza che agirebbe su una ca-rica positiva posta in quel punto, il verso delle linee di forza coincidecon quello di tale forza. Da qui il nome di linee di forza.

Figura 16.20a) Il campo elettrico generato da

Q è radiale e uscente rispetto aQ; b) le linee di forza del campo

pertanto sono anch’esse radialie uscenti.

E

E

E

Q Q

a) b)

EE

E

E

E

Analogamente, se la carica Q è negativa la direzione del campo è ra-diale, ma il suo verso è entrante rispetto a Q; quindi le linee di forzasono radiali ed entranti come mostrato in figura 16.21. Anche in que-sto caso la forza che agirebbe su una carica positiva posta in un datopunto ha lo stesso verso delle linee di forza.


Figura 16.21a) Il campo elettrico generato daQ è radiale ed entrante rispettoa Q; b) le linee di forza delcampo pertanto sono anch’esseradiali ed entranti.

E

E

E

E

QQ

a) b)

EE

E

E

1

2

Figura 16.22Le linee di forza del campoelettrostatico sono più fitte doveil campo è più intenso.

Facendo riferimento alla figura 16.22, confrontiamo il numero di lineedi forza che attraversano i quadratini uguali 1 e 2: si noti che il qua-dratino 1 è più vicino alla sorgente del campo rispetto al quadratino2, quindi nella regione 1 il campo è più intenso che nella 2. Si vedeanche che nella regione 1 le linee di forza sono più fitte che nella 2,quindi ne deduciamo che le linee di forza sono più fitte dove il campoè più intenso (criterio introdotto da Faraday).

In pratica, le linee di forza forniscono un modo per visualizzare ilcampo elettrico, che ci sarà particolarmente utile quando studieremo ilfenomeno dell’induzione elettrostatica nel paragrafo 19.3: data unalinea, in ogni suo punto possiamo dire come è diretto il campo e in cheverso, perché esso è tangente alla linea ed ha lo stesso verso. Inoltre,come si vede dalla figura 16.22, l’intensità del campo è maggiore dovele linee di forza sono più fitte.

b)

a)

Figura 16.23Linee di forza del campoelettrostatico generato da: a) duecariche positive, b) due carichedi segno opposto.

Le linee di forza del campo elettrostatico generato da più carichepossono avere una struttura molto complessa. In figura 16.23a) mo-striamo come esempio quelle relative a due cariche positive tenuteferme a distanza d; in figura 16.23b) sono invece mostrate le linee diforza relative a due cariche di segno opposto tenute ferme a distanza d.In questo caso le linee di forza escono dalla carica positiva ed entranoin quella negativa.

NOTARE CHE: le linee di forza del campo elettrico non possonomai incrociarsi, eccetto che nei punti in cui si trovano le cariche o inquelli in cui il campo elettrico è nullo, come in figura 16.23 a). Infattise in un dato punto poniamo una carica di prova e su di essa agisce unaforza elettrica, questa determina in maniera univoca il campo elettricoe la linea di forza a cui esso è tangente. Pertanto la linea di forza chepassa per quel punto deve essere unica.

Misura della carica elementare: l’esperienza di MillikanNegli anni 1910-1913 Robert Millikan fece un famoso espe-rimento per misurare la carica elementare, di cui diamo unaspiegazione semplificata.Delle goccioline di olio vengono immesse tramite un nebulizza-tore nella camera A. Alcune di esse sono cariche positivamente,altre negativamente.


Figura 16.24

h

++

pila

nebulizzatore

camera A gocce di olio

piastra

microscopio

camera B

E

Nella camera B c’è un campo elettrico rivolto verso il basso.Attraverso la piastra forata, alcune gocce passano nella cameraB, dove sono soggette alla forza elettrica �Fe = q �E, diretta versol’alto per quelle con carica negativa e verso il basso per quellecon carica positiva. Fissiamo un sistema di riferimento con assey verticale e diretto verso il basso. Consideriamo per esempioil moto di una gocciolina di massa m e carica q positiva. Dallaseconda legge della dinamica si ha

ma = q E + mg ⇒ a = q

mE + g ; (16.20)

dato che il campo è uniforme, l’accelerazione è costante ed ilmoto è uniformemente accelerato. Assumendo che la velocitàiniziale sia trascurabile, si ha

y = 1

2at2 .

Quindi il tempo impiegato dalla goccia per toccare il fondo è

t =√

2h

a,

dove h è l’altezza della camera B. Misurando il tempo t , notoh si ricava l’accelerazione; da questa, utilizzando l’equazione(16.20), noto E si determina il rapporto q/m. Se la massa dellegocce è nota si può quindi misurare la carica. Con questo espe-rimento Millikan dimostrò che la carica si presenta sempre inmultipli interi di

e = 1.60 · 10−19 C ,

quindi che la carica è quantizzata. Per questo risultato RobertMillikan fu insignito del premio Nobel nel 1923.


ea

E

FN

S

EO

Figura 16.25

PROBLEMA 16.4 Un elettrone in quiete viene accelerato verso nord da un campo elettri-co. Il modulo della sua accelerazione è 2.5 · 109 m/s2. Determinare ilmodulo, la direzione ed il verso del campo elettrico. Si ricordi che lacarica dell’elettrone è −1.6 · 10−19 C e la sua massa è 9.1 · 10−31 kg.

Nella figura 16.25 è riportato il vettore accelerazione dell’elettrone. Dalsecondo principio della dinamica

Fe = ma = 9.1 · 10−31 × 2.5 · 109 = 22.75 · 10−22 N .

La forza in questione è la forza elettrostatica dovuta al campo elettrico.Essa è data da:

�Fe = q �E ⇒ �E = �Fe

q= − �Fe

|e| ;

nell’ultimo passaggio abbiamo esplicitato il segno negativo della caricadell’elettrone (q = −e) per mettere in evidenza il fatto che il campoelettrico ha verso opposto a quello della forza elettrostatica che agiscesull’elettrone, come illustrato in figura. In questo caso il campo elettricoè diretto verso sud ed il suo modulo vale:

E = Fe

e= 22.75 · 10−22

1.6 · 10−19= 14.2 · 10−3 N/C .

2q

1

x

q

O−d

Figura 16.26

Figura 16.27

PROBLEMA 16.5 Una carica positiva q1 si trova alla distanza d da una carica negativaq2 tale che q2 = −4q1. Trovare il punto sull’asse che le congiunge incui il campo elettrico è nullo.

Scegliamo un sistema di riferimento come quello indicato nella figu-ra 16.26; poniamo la carica positiva q1 nell’origine e la carica negativaq2 nel punto di ascissa x = −d. In figura 16.27 mostriamo come so-no diretti i campi elettrici generati dalle due cariche, ricordando che peruna carica positiva il campo è uscente mentre per una carica negativa èentrante.

E1E2E1 E2E1

E2

q2 q

1

xO−d

Affinché il campo totale sia nullo, si deve avere

�Etot = �E1 + �E2 = 0 ⇒ �E1 = −�E2 ,

cioè �E1 e �E2 devono avere stesso modulo, stessa direzione e verso oppo-sto. Dalla figura si vede che nella porzione di retta compresa tra le duecariche, i due campi elettrici hanno lo stesso verso, mentre a destra diq1 e a sinistra di q2 i due campi hanno verso opposto. Di conseguenzail punto P in cui �Etot = 0 deve trovarsi in una di queste due regioni.Consideriamo dapprima la regione a sinistra di q2. Un punto qualsiasidell’asse x in questa regione è più vicino a q2 che a q1. Inoltre il modu-lo della carica q2 è maggiore di quello della carica q1, quindi il campogenerato da q2 nel punto è sicuramente maggiore in modulo del campogenerato da q1.


q2 q

1

E2 E1

xd O P

Figura 16.28

Pertanto in questa regione i due campi non possono annullarsi. L’unicapossibilità che rimane è che il punto cercato si trovi sull’asse x a de-stra di q1, ovvero nel semiasse positivo dell’asse x . Indichiamo con x lacoordinata generica del punto P .Dato che q1 si trova nell’origine delle coordinate, la distanza tra P e q1è proprio x ; mentre la distanza tra P e q2 è x + d, come si vede dallafigura 16.28; il modulo dei due campi elettrici vale:

E1 = k0q1

x2; E2 = k0

|q2|(x + d)2

= k04q1

(x + d)2.

Il punto in cui la somma vettoriale dei due campi si annulla si ottieneuguagliando i due moduli:

q1

x2= 4q1

(x + d)2⇒ 4x2 = (x + d)2 ;

questa è un’equazione di secondo grado che ha due soluzioni; estraendola radice quadrata si ha:

2x = ±(x + d) ⇒ x1 = d e x2 = −d/3 .

Il punto x2 = −d/3 non è la soluzione cercata perché si trova tra le duecariche; in quel punto i due campi elettrici hanno lo stesso modulo, mahanno anche lo stesso verso, quindi il campo risultante è diverso da zero.La soluzione cercata è invece x1 = d , dove E1 ed E2 hanno lo stessomodulo ma verso opposto e la loro somma vettoriale è zero.

gFel

E

��

��

m q

Figura 16.29

Durante una giornata nuvolosa un ammasso di nuvole cariche produceun campo elettrico nello spazio compreso tra esse e la superficie terre-stre. A causa di tale campo, un granello di polvere, che si trova vicinoalla superficie e possiede una carica negativa pari a −4.0 nC, subisceuna forza elettrostatica diretta verso il suolo pari a 6.0 · 10−6 N. a) De-terminare modulo, direzione e verso del campo elettrico nel punto in cuisi trova il granello di polvere; b) sapendo che la massa del granello èdi 3 mg, determinare quanto dovrebbe valere la sua carica affinché essoresti sospeso nello spazio per effetto della forza gravitazionale e dellaforza elettrostatica.

a) Il modulo del campo elettrico è pari a:

E = Fe

|q| = 6.0 · 10−6

4.0 · 10−9= 1.5 · 103 N/C ;

la sua direzione è quella dell’asse verticale ed è diretto verso le nuvo-le come illustrato nella figura 16.29, dato che il granello di polvere hacarica negativa; ricordiamo infatti che se la carica è negativa il campoelettrico e la forza elettrostatica hanno sempre verso opposto.

b) Affinché il granello di polvere resti sospeso in aria per l’azione dellaforza gravitazionale e della forza elettrostatica, quest’ultima deve esserediretta verso l’alto; di conseguenza il granello deve avere carica positiva.

PROBLEMA 16.6


Il suo valore si trova uguagliando i moduli delle due forze:

q E = mg ⇒ q = mg

E= 3 · 10−6 × 9.8

1.5 · 103= 19.6 nC .

T

E

Fe

α

Fg

q

α

m

x

y

Figura 16.30

PROBLEMA 16.7 Una pallina di plastica di massa m = 2 g viene elettrizzata strofinando-la con un panno; essa viene quindi sospesa ad un filo in una regione incui agisce un campo elettrico orizzontale di modulo E = 4.5 · 103 N/C,diretto come illustrato nella figura 16.30. Se la pallina si trova in equi-librio quando l’angolo α tra il filo e la verticale è di 15◦, quanto vale lacarica da essa posseduta?

Sulla pallina agiscono tre forze come illustrato in figura: la forza gravi-tazionale �Fg diretta verso il basso, la forza elettrostatica �Fe diretta oriz-zontalmente verso destra e la tensione del filo �T diretta lungo il filo.Dalla figura si evince che la forza elettrostatica ed il campo elettrico �Ehanno lo stesso verso, quindi la carica della pallina è positiva. Per trovareil suo modulo dobbiamo imporre che la somma vettoriale della tre forzesia nulla: �Fg + �Fe + �T = 0 .

Scegliendo gli assi coordinati come in figura e proiettando le forze sugliassi si ottiene: {

Fx = q E − T sin α = 0 ;Fy = T cos α − mg = 0 .

Dalla seconda equazione si ottiene T = mg/ cos α che sostituita nellaprima dà:

q E − mgsin α

cos α= 0 ⇒ q = mg

Etan α = 2 · 10−3 × 9.8

4.5 · 103× tan 15◦ =

= 1.17 μC .

ο

Lθ θ

y

xO

θ = 45

43

2

2r= L /

1

qq

qq

Figura 16.31Quattro cariche disposteai vertici di un quadratodi lato L.

PROBLEMA 16.8 Siano date quattro cariche puntiformi di carica |q| = 2 · 10−12 C, posteai vertici di un quadrato di lato L = 2.0 cm, come mostrato in figura16.31. Determinare il campo elettrostatico da esse generato nel centrodel quadrato, quando: a) q1 = q4 = −2·10−12 C, q2 = q3 = +2·10−12

C; b) q1 = q2 = −2 · 10−12 C, q3 = q4 = +2 · 10−12 C.

Le cariche sono puntiformi e generano un campo elettrostatico radiale;dato che esse sono poste ai vertici del quadrato, nel punto O ciscunagenera un campo diretto lungo le diagonali e con verso che dipende dalsegno della carica. Il centro del quadrato si trova a una distanza r daciascuna carica,

r = L√

2/2 = L/√

2 ,

pari a metà diagonale; pertanto per l’equazione (16.19) il modulo delcampo generato dalla i-esima carica qi è

Ei = k0|qi |r2

= k0|qi |

L2/2.


1

+ 4

2

L2

3

O

1

4

3

+-

-

E

q

q q

q

E

E

E

Figura 16.32

θ

1

–

+

L

+

x

y

O

2

43

1 2

1x 2x

θ = 45 ο

1y 2y=

q

E E

E

E

q q

q

E

E

–

Figura 16.33

θ

1

+

L

+

x

y

O

2

43

θ = 45 ο

4 3

4x 3x

4y 3y=

qq

E E

E

E

q

EE

E

E

q––

Figura 16.34

Dato che tutte le cariche hanno, in modulo, lo stesso valore, anche icampi hanno modulo uguale e pari a

Ei ≡ E = 9 · 109 × 2 · 10−12

(0.02)2/2= 90 N/C . (16.21)

Il campo totale è dato dalla somma vettoriale dei quattro campi(principio di sovrapposizione).

a) q1 = q4 = −2 · 10−12 C, q2 = q3 = +2 · 10−12 C;Come mostrato in figura 16.32 i campi �E1 ed �E4 generati rispettivamentedalle cariche q1 e q4 hanno stessa direzione e verso opposto; poiché imoduli sono uguali e dati dalla (16.21), la loro somma vettoriale è nulla.Analoga considerazione si può fare per i campi generati da q2 e q3, �E2 ed�E3, che hanno somma vettoriale nulla. Pertanto, per motivi di simmetriail campo totale al centro del quadrato è nullo:

�Eris = �E1 + �E2 + �E4 + �E4 = 0 .

b) q1 = q2 = −2 · 10−12 C, q3 = q4 = +2 · 10−12 C.Ricordiamo che i moduli dei quattro campi sono uguali ad E dato dalla(16.21). Consideriamo quelli generati in O dalle cariche q1 e q2: essen-do le cariche entrambe negative, �E1 ed �E2 sono diretti verso le cariche,come indicato in figura 16.33. Scegliendo un sistema di riferimento {xy}come indicato in figura, si vede che, per motivi di simmetria, le com-ponenti dei campi lungo l’asse x sono uguali e opposte, per cui la lorosomma è nulla:⎧⎨⎩E1,x = −E sin θ

E2,x = E sin θ⇒ E1,x + E2,x = 0 ;

le componenti lungo y sono invece uguali e concordi:

E1,y = E2,y = E cos 45◦ .

Analogo ragionamento si può fare per i campi generati dalle cariche q3e q4, i cui campi in O sono mostrati in figura 16.34; in questo caso ledue cariche sono positive ed i campi che esse generano sono diretti comequelli generati da q1 e q2. Pertanto si ha

E3,x = −E4,x ⇒ E3,x + E4,x = 0 ;e

E3,y = E4,y = E cos 45◦ .

Il campo risultante delle quattro cariche pertanto è

Eris,x = E1,x + E2,x + E3,x + E4,x = 0 ,

eEris,y = 4 × Ei,y = 4E cos 45◦ = 4 × 90 × 1/

√2 =

= 254.6 N/C.


{O P x

δ

rq q E

E

Figura 16.35Dipolo elettrico.

q q

δ

p

Figura 16.36Momento del dipolo elettrico.

= +

q q

rx

ϕ

ϕ

y

P

δ

dipEEE

E

E

p

Figura 16.37

16.5 Il dipolo elettrico

Un dipolo elettrico è un sistema formato da due cariche elettricheuguali in modulo ma di segno opposto, separate da una distanza fissache indichiamo con δ.

Calcoliamo il campo elettrico sull’asse del dipolo, in un punto Pposto a distanza r dal centro, come mostrato in figura 16.35. Per ilprincipio di sovrapposizione il campo in P è la somma vettoriale delcampo generato dalla carica positiva, �E+, e di quello generato dallacarica negativa �E−:

�Edip = �E+ + �E− .

�E+ ed �E− hanno la stessa direzione (quella dell’asse del dipolo) everso opposto, quindi la componente x del campo risultante vale

Edip = E+ − E− = k0

[q

(r − δ/2)2− q

(r + δ/2)2

]= k0q

[r2 + δ2/4 + rδ − r2 − δ2/4 + rδ

(r − δ/2)2(r + δ/2)2

]=

= k0q

[2rδ

(r2 − δ2/4)2

].

Facciamo ora l’ipotesi che la distanza a cui calcoliamo il campo siamolto maggiore della distanza tra le due cariche, vale a dire r δ. Inquesta approssimazione possiamo trascurare il termine δ2/4 rispetto ar2 nel denominatore, quindi otteniamo

Edip = k02qδ

r3. (16.22)

Indichiamo con �δ il vettore che va dalla carica negativa a quella posi-tiva, come mostrato in figura 16.36; definiamo momento di dipolo �pil vettore che ha stessa direzione e lo stesso verso di �δ ed ha modulopari a

p = qδ ; (16.23)

quindi possiamo scrivere

�p = q�δ . (16.24)

Utilizzando la (16.23) il modulo del campo elettrico del dipolo sul-l’asse si può scrivere come

Edip = k02p

r3. (16.25)

Calcoliamo ora il campo del dipolo in un punto P della retta che passaper il centro ed è perpendicolare all’asse. Scegliamo un sistema diriferimento come indicato in figura 16.37. Dato che le due cariche

16.5 • Il dipolo elettrico 649

sono uguali in modulo e che la distanza r di ciascuna dal punto P è lastessa, i moduli di �E+ e di �E− sono uguali e pari a

E+ = E− = k0q

r2;

inoltre, se consideriamo le componenti dei due vettori lungo gli assisi ha

E+,x = −E+ sin ϕ E−,x = −E− sin ϕ

E+,y = E+ cos ϕ E−,y = −E− cos ϕ .

Dato che E+ = E−, da queste espressioni si ricava:

Edip,x = E+,x + E−,x = −2k0q

r2sin ϕ

Edip,y = E+,y + E−,y = 0 .

Dalla trigonometria si ha

δ/2 = r sin ϕ ⇒ sin ϕ = δ

2r;

quindi si ha

Edip,x = −2k0q

r2

δ

2r= −k0

qδ

r3,

vale a dire

Edip,x = −k0p

r3, Edip,y = 0 . (16.26)

Si vede dunque che il campo di dipolo sull’asse verticale è direttoparallelamente al momento di dipolo e in verso opposto; quando ladistanza r tende all’infinito il campo va a zero come 1/r3, cioè piùrapidamente del campo della carica singola che va a zero come ∼1/r2. Se si calcola il campo in un punto qualsiasi, si vede che a grandidistanze dal dipolo esso va sempre a zero come 1/r3.

NOTARE CHE: come vedremo in seguito, il dipolo elettrico èutile nello studio del campo elettrico della materia; infatti le molecole,pur avendo carica nulla, possono avere un momento di dipolo nonnullo (per esempio la molecola dell’acqua).

Dimensioni ed unità di misura del momento di dipolo elettricoIl momento di dipolo elettrico p è il prodotto di una carica per

una lunghezza:

[p] = [qδ] = ql = ilt.

La sua unità di misura è il coulomb·metro (C·m).Nella fisica atomica e molecolare il momento di dipolo elettricoè spesso riportato in debye (D):

1 D = 3.335641 · 10−30 C·m.


Riassumiamo

• Legge di Coulomb. Due cariche puntiformi q1 e q2 ferme,poste ad una distanza r , esercitano tra loro le forze �Fe,12 e�Fe,21, tali che �Fe,12 = −�Fe,21 (terzo principio della dinamica),date da:

1) modulo:

Fe,12 = Fe,21 = 1

4πε0

|q1||q2|r2

= k0|q1||q2|

r2,

dove ε0 = 8.85 · 10−12 C2/N·m2 è la costante dielettrica delvuoto e k0 = 1/4πε0 = 8.99 · 109 � 9 · 109N·m2/C2;

2) direzione: le due forze sono dirette lungo la retta che uniscele due cariche;

3) verso: le forze sono repulsive se le cariche hanno lo stessosegno, attrattive se hanno segno opposto.

In forma vettoriale, la forza �Fe,12 che la carica q1 esercita sullacarica q2 è data da

�Fe,12 = k0q1q2

r2r ,

dove �r è il vettore che va dalla carica q1 alla carica q2 e r è ilversore corrispondente, cioè il vettore di modulo unitario che èdiretto come �r.

• Principio di sovrapposizione. La forza elettrostatica che agi-sce su una carica Q che interagisce con un insieme di ca-riche q1, . . . , qn è data dalla somma vettoriale delle forze�Fe,1, . . . , �Fe,n , dove �Fe,1 è la forza che la carica q1 esercita suQ, �Fe,2 è quella esercitata dalla carica q2, ecc...

• Campo elettrico. Il campo elettrico �E generato da una distri-buzione di cariche in un punto P è uguale al rapporto tra laforza elettrostatica che agisce su una carica di prova q posta inP e la carica stessa:

�E = �Fe

q.

Il campo elettrico non dipende dalla carica di prova, ma solodalla distribuzione di cariche che lo generano.

• Principio di sovrapposizione per il campo elettrico. Il cam-po elettrico generato da una distribuzione di cariche è ugualealla somma vettoriale dei campi elettrici generati dalle singolecariche.

• Campo elettrico di una carica puntiforme. Una carica pun-tiforme Q, ferma, genera in un punto P un campo elettricodato da �E = 1

4πε0

Q

r2r̂ ,

16.6 • Esercizi 651

dove �r è il vettore che unisce la carica al punto P e r̂ è il versorecorrispondente.

• Dipolo elettrico. Un dipolo elettrico è formato da due caricheelettriche di ugual modulo e segno opposto, separate da unadistanza fissa δ. Esso è caratterizzato dal momento di dipolo�p, definito come

�p = q�δ ,

dove �δ è il vettore che va dalla carica negativa a quella positiva.Il campo elettrico del dipolo sull’asse che congiunge le duecariche (asse del dipolo) ha modulo

Edip = k02p

r3.

16.6 Esercizi

16.1 Calcolare quanti elettroni devono essere rimossi da una pallina digomma inizialmente neutra, per farle acquisire una carica netta di 8.0 μC.

16.2 Una bacchetta di plastica ha una carica di −4.0 nC mentre unabacchetta di vetro ha una carica di +2.4 nC. a) Quanti elettroni devonoessere trasferiti dalla plastica al vetro affinché le due bacchette abbiano lastessa carica? b) Quanto vale la carica di una delle due bacchette in questocaso?

16.3 La molecola dell’acqua è formata da due atomi di idrogeno ed unatomo di ossigeno (H2O) ed è globalmente neutra. Calcolare quanti elettronisi trovano in nove litri di acqua, sapendo che il peso molecolare dell’acquaè di 18 g/mol.

16.4 Due cariche puntiformi q1 e q2 esercitano tra loro una forza di 10N quando sono poste ad una distanza di 0.01 mm. Si calcoli la forza alladistanza di 1 mm.

16.5 Due sferette cariche positivamente si trovano alla distanza di 20 cmed il modulo della forza con la quale si respingono è di 6 · 10−2 N. Trovarequanto vale la forza quando la distanza è ridotta a 10 cm.

16.6 La distanza tra due protoni in quiete è di 2.9 · 10−10 m. a) Tro-vare la forza repulsiva esercitata da ciascun protone sull’altro; b) sapen-do che la massa del protone è 1.67 · 10−27 kg, determinare la conseguenteaccelerazione di uno dei protoni se fosse libero di muoversi.

16.7 Si calcoli la distanza a cui bisogna porre due elettroni in modo chela forza elettrostatica sia uguale alla forza peso che agisce su di essi. Lamassa dell’elettrone è me = 9.1 · 10−31 kg.

16.8 Un elettrone (di carica qe = −1.6 · 10−19 C e massa me = 9.1 ·10−31 kg) è mantenuto in quiete dall’azione combinata della forza pesoe della forza elettrostatica esercitata da un protone fisso nello spazio. Aquale distanza ed in quale posizione deve essere posto il protone rispettoall’elettrone?


16.9 Una piccola sfera di plastica di massa m = 0.55 kg ha una caricaelettrica q = 0.13 μC ed è sospesa ad un filo come mostrato nella figu-ra 16.38. Una seconda sfera avente la stessa carica viene avvicinata allaprima dal basso finché la tensione nel filo non si è ridotta a 1/3 del valoreiniziale. Quanto vale la distanza d tra le due sfere in questo caso?

q

d

q

m

T

g

Figura 16.38

16.10 Due sferette vengono caricate con cariche q e −q e quindi attacca-te agli estremi di una molla di costante elastica k = 0.1 N/m e lunghezza ariposo l0 = 7 mm. Sapendo che, raggiunto l’equilibrio, la molla si comprimedi 1 mm, si calcoli q.

16.11 Due cariche incognite q1 e q2 si trovano ad una distanza l. Il campoelettrico generato dalle due cariche si annulla in un punto che si trova sulsegmento che unisce le due cariche e che dista l/3 da q1. Quanto vale ilrapporto q1/q2? Specificare anche il segno relativo delle due cariche.

16.12 Una carica positiva +q viene posta nell’origine del sistema dicoordinate ed un’altra carica identica viene messa lungo l’asse x nella po-sizione x = +0.40 m. Trovare in quale posizione deve essere messa unaterza carica pari a +4q in modo tale che la forza netta sulla carica postanell’origine raddoppi in modulo, ma non cambi direzione e verso.

16.13 Due cariche puntiformi A e B, ciascuna di 30 · 10−9 C, distano traloro 2.4 cm. a) Determinare la forza esercitata su A in modulo, direzione everso. b) Una terza carica puntiforme C, uguale alle prime due, viene postain modo da formare un triangolo equilatero con A e B. Trovare di nuovo laforza agente su A in modulo, direzione e verso.

16.14 Tre cariche positive uguali di carica 1 μC sono poste ai verticidi un triangolo equilatero di lato 10 cm. Una quarta carica positiva q0 =0.1 nC viene posta al centro del triangolo. Determinare: a) la forza risultantesu q0 dovuta alla presenza delle altre tre cariche; b) la forza risultante nelcaso in cui una delle cariche venisse tolta da uno dei vertici del triangolo.

T

α

m

q q1 2

d

Figura 16.39

16.15 Una piccola sferetta di plastica di massa m = 80 g è appesa alsoffitto come mostrato in figura 16.39; la sferetta ha una carica positivaq1 = 600 nC. Alla destra di q1 vi è un’altra sferetta che possiede una ca-rica negativa q2 = −900 nC. In condizioni di equilibrio si raggiunge laconfigurazione realizzata in figura, dove le due sferette si trovano alla stessaquota e distano tra loro d = 15 cm. Trattando le due sferette come carichepuntiformi, determinare l’angolo α e la tensione T del filo.

16.16 In un punto dello spazio distante 10 m da una carica puntiforme,l’intensità del campo elettrico generato dalla carica vale 10 N/C ed il campoè diretto verso la carica. Trovare il valore della carica in modulo e segno.

16.17 Una distribuzione di carica genera un campo elettrico �E costante.Una carica q = 2 · 10−9 C posta in un punto P è soggetta ad una forzaelettrostatica pari a 3 · 10−7 N. Quanto vale il modulo del campo elettrico?

16.18 Una particella di carica q1 = 2.6 nC, posta in un punto P dellospazio, sente una forza verticale diretta verso l’alto di 0.58 μN dovuta allapresenza di una distribuzione di cariche. Determinare: a) il valore di �E inmodulo, direzione e verso in questo punto; b) la forza che questo campoeserciterebbe su una particella di carica q2 = −13 nC collocata nello stessopunto P al posto di q1.

16.19 Una carica di 45 μC è situata nel punto del piano {xy} individuatodal raggio vettore �r0 = (3 m, 4 m). Determinare il modulo, la direzione e ilverso del vettore campo elettrico �E nel punto �r = (7 m, −4 m).

16.20 Tre cariche puntiformi q1 = Q, q2 = −2Q, q3 = Q, Q = 4pC, giacciono sull’asse x di un opportuno sistema di riferimento. Le loro

16.6 • Esercizi 653

coordinate sono x1 = −2 mm, x2 = 0, x3 = 2 mm. Si calcoli: a) il campoelettrico nel punto (d, 0), d = 4 mm; b) il campo elettrico nel punto (0, d);c) la forza elettrica che agisce su una carica Q posta in (0, d).

16.21 Due cariche elettriche, di valore rispettivamente q1 = 40 μC eq2 = 150 μC, sono fissate in due punti dello spazio distanti tra loro 20.0 m.Una terza carica q3 = −5 μC viene posta sul segmento che congiungele due cariche, ad una distanza di 5.0 m rispetto a q1. Determinare: a) laforza totale agente su q3, in modulo, direzione e verso; b) il campo elettricopresente nel punto dove si trova q3, in modulo, direzione e verso.

16.22 Quattro cariche positive, ciascuna di valore 1 · 10−10 C, giacciononei vertici di un quadrato. Nel centro del quadrato viene posta una caricanegativa. Se la forza risultante agente su ciascuna delle cinque cariche ènulla, determinare il valore della carica negativa.

16.23 Quattro cariche q1 = +2.0 μC, q2 = +4.0 μC, q3 = −6.0 μCe q4 = +8.0 μC sono poste ai vertici di un quadrato il cui lato è lungol = 0.5 m come mostrato nella figura 16.40. Trovare il campo elettrico nelcentro del quadrato. Supponendo di scegliere un sistema di riferimento comequello indicato in figura, in cui l’origine coincide con il centro del quadrato,si esprima il campo tramite le sue componenti e se ne indichi il modulo.

q 4q1

q2

q3

x

y

O

l

Figura 16.40

16.24 Facendo riferimento alla figura 16.40, supponiamo che le quattrocariche siano q1 = −3 μC, q2 = 2 μC, q3 = −1 μC e q4 = 4 μC e che illato sia lungo l = 10 cm. Determinare in modulo, direzione e verso la forzaelettrostatica che le tre cariche q1, q2 e q3 esercitano su q4.

16.25 Due cariche puntiformi di carica rispettivamente q1 = 2.0 ·10−6 Ce q2 = 3.0 · 10−6 C distano fra loro 0.5 m. a) Trovare il modulo, la direzionee il verso del campo elettrico �E in un punto A giacente sulla retta che uniscele due cariche e che si trova ad una distanza di 0.5 m da q2 ed 1.0 m daq1. b) Trovare di nuovo il campo �E nel punto A nel caso in cui la carica q2abbia carica −3.0 · 10−6 C.

16.26 Tre particelle, ognuna di carica q = 2 nC, si trovano sui verticidi un quadrato di lato d = 20 cm. Sul quarto vertice del quadrato nonc’è nessuna carica. Determinare, in modulo, direzione e verso: a) il campoelettrico nel centro del quadrato; b) il campo elettrico sul vertice senza lacarica.

Ferrari2 - Welcome to the INFN Roma Home Page · in natura non si trovano mai valori frazionari...

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