Fdt Bode Esercizi Crop
-
Upload
luis-sevillano -
Category
Documents
-
view
49 -
download
2
description
Transcript of Fdt Bode Esercizi Crop
2
Esercizi sulla forma di BODE della f.d.t. Scrivere nella forma adatta per il tracciamento dei diagrammi di BODE ( forma di BODE) le seguenti fdt:
Ø a) 24)(s10)10(sG(s)
++
=
SOLUZIONE Mettendo in evidenza 10 al numeratore e scomponendo il denominatore e mettendo in evidenza al denominatore due volte il 4 si ottiene:
)44s)4(4
4s4(
1)10s100(
4)4)(s(s
)1010s10(*10
G(s)
44
10++
+=
++
+=
0,25s)0,25s)(1(10,1s)6,25(1
0,25s)0,25s)(116(10,1s)100(1G(s)
+++
=++
+=
Per tracciare il diagramma di BODE occorre sostituire la variabile s con jw, perciò:
20,25jw)(10,1jw)6,25(1G(s)
++
=
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
3
Ø b) 5)4)(ss(s2)5(sG(s)
+++
=
SOLUZIONE Mettendo in evidenza 2 al numeratore e al denominatore il 4 e il 5 si ottiene:
0,2s)0,25s)(120s(10,5s)10(1
)55
5s)5(
44
4ss4(
)22
2s2(*5
G(s)++
+=
++
+=
0,2s)0,25s)(1s(10,5s)(1 0,5G(s)
+++
=
Per tracciare il diagramma di BODE occorre sostituire la variabile s con jw, perciò:
0,2jw)0,25jw)(1jw(10,5jw)(1 0,5G(s)
+++
=
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
4
Ø c) 0,5s)3s)(5(1s1)5(sG(s) 2 ++
+=
SOLUZIONE Mettendo in evidenza al denominatore il 5 si ottiene:
0,1s)3s)(1(1s1)(s
s)5
0,5553s)5((1s
1)5(sG(s) 22 ++
+=
++
+=
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
5
ES.1 Tracciare il grafico del modulo e della fase della fdt seguente:
10s)s)(1(10,4s)20(1G(s)++
+=
SOLUZIONE Si sostituisce la s con jw:
10jw)jw)(1(10,4jw)20(1G(jw)
+++
=
Il guadagno statico Go = 20 in dB risulta: Go[dB]= 20* Log 20= 26 dB
Le pulsazioni d’angolo valgono h w1= 1/0.4=2.5 rad/s i w2= 1 rad/s i w3= 1/10=0,1 rad/s A queste pulsazioni associamo una freccia rivolta verso l’alto o verso il basso, a seconda che provengano da zeri o da poli ed in corrispondenza la spezzata sale ( h ) di 20 dB/dec (pendenza p= +1) o scende ( i ) di 20 dB/dec (p=-1). Nel caso di zeri o poli doppi la pendenza vale rispettivamente: Ø + 40dB/dec (p=+2); Ø - 40 dB/dec (p= -2)
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
6
Il diagramma del modulo si costruisce nel seguente modo:
• si traccia una semiretta // all’asse delle w di ordinata 26 dB ( corrispondente al guadagno statico Go=20 ) da w=0 fino a w3= 0,1 rad/sec dove è posizionata la prima freccia (i).
• Da w3 il diagramma prosegue con pendenza -2 ( -20 dB/dec) fino a w2 (i)
• Da w2 (i) cambia la pendenza da -2 a - 4 (-40 dB/dec) fino a w1 (h).
• Da w1 (h) prosegue, essendo la freccia rivolta verso l’alto, con pendenza +2 ( 20 dB/dec) che sommata alla precedente - 4 fa -2 (-20 dB/dec)
Il diagramma degli sfasamenti si costruisce dividendo per 10 e moltiplicando per 10 ogni pulsazione d’angolo, si ha:
• 0,1 w1= 0,25 rad/s a ϕ = 0° • 10 w1= 25 rad/s a ϕ = +90° • 0,1 w2= 0,1 rad/s a ϕ= 0° • 10 w2= 10 rad/s a ϕ= -90° • 0,1 w3= 0,01 rad/s a ϕ= 0° • 10 w3= 1 rad/s a ϕ= -90°
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
7
modulo
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
8
Fase
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
9
Es.2 Tracciare il grafico del modulo e della fase della fdt seguente:
4s)0,5s)(1s(12s)10(1G(s)
+++
=
SOLUZIONE
4jw)0,5jw)(1(12jw)10(1
jw4jw)0,5jw)(1jw(12jw)10(1G(jw)
+++
⋅=++
+=
1
Per facilitare il tracciamento del modulo di Bode consideriamo G(jw) = G1(jw)*G2(jw) come prodotto di 2 funzioni che disegniamo separatamente. Per ottenere il modulo complessivo si sommano le ordinate dei singoli grafici. G1(jw) fdt di un polo nell’origine G2(jw) G0=10 G0[dB]= 20*Log10= 20 dB Le pulsazioni d’angolo di G valgono h w1= 1/2= 0,5 rad/s i origine w*2= 1 rad/s i w3= 1/0,5= 2 rad/s i w4= ¼ =0,25 rad/s
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
10
Modulo
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
11
fase
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
12
Es.3 Tracciare il grafico del modulo e della fase della fdt seguente:
10s)0,1s)(1(1s)20s(1G(s)++
+=
SOLUZIONE
=++
+=
10jw)0,1jw)(1(1jw) jw(120G(jw)
Per facilitare il tracciamento del modulo di Bode consideriamo G(jw) = G1(jw)*G2(jw) come prodotto di 2 funzioni che disegniamo separatamente. Per ottenere il modulo complessivo si sommano le ordinate dei singoli grafici. G1(jw) fdt di uno zero nell’origine G2(jw) G20=20 G20[dB]= 20*Log20= 26 dB Le pulsazioni d’angolo di G valgono h origine w*1= 1 rad/s h w2= 1/1= 1 rad/s i w3= 1/0,1= 10 rad/s i w4= 1/10 =0,1 rad/s
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
13
Modulo
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
14
Fase
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
15
Es.4 Tracciare il grafico del modulo e della fase della fdt seguente:
10s)2s)(1(1s)0,1(1G(s)
−+−
=
SOLUZIONE
10jw)2jw)(1(1jw)0,1(1G(jw)−+
−=
G0=0,1 G0[dB]= 20*Log 0,1= -20 dB Le pulsazioni d’angolo di G valgono h (parte immaginaria negativa) w*1= 1 rad/s i w2= 1/2= 0.5 rad/s i (parte immaginaria neg) w*3= 1/10 =0,1 rad/s La costante di tempo a numeratore , essendo negativa per w >10 w1, produce uno sfasamento negativo di -90°; per lo stesso motivo la costante di tempo a denominatore produce uno sfasamento di +90°
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
16
Modulo
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
17
fase
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
18
Es.5 Tracciare il grafico del modulo e della fase della fdt seguente:
22s)5s)(10.4s)(1(15s)50(1G(s)
+++−
=
SOLUZIONE
22jw)5jw)(10.4jw)(1(15jw)50(1G(jw)
+++−
=
G0=50 G0[dB]= 20*Log 50= 34 dB Le pulsazioni d’angolo di G valgono h (parte immaginaria neg) w*1= 1/5= 0.2 rad/s i w2= 1/0.4= 2.5 rad/s i w3= 1/5 =0,2 rad/s ii w4= 1/2 =0,5 rad/s La costante di tempo a numeratore , essendo negativa per w >10 w1, produce uno sfasamento negativo di -90°;
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
19
Modulo
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
20
fase
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
21
Es.6 Tracciare il grafico del modulo e della fase della fdt seguente:
22
2
s)0.1s)(1(1s10s)10(1G(s)
+++
=
SOLUZIONE
22
2
jw)0.1jw)(1(1jw10jw)10(1G(jw)
+++
=
G0=10 G0[dB]= 20*Log 10= 20 dB Le pulsazioni d’angolo di G valgono hh w1= 1/10= 0.1 rad/s ii origine w*2= 1 rad/s i w3= 1/0.1= 10 rad/s ii w4= 1 rad/s
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
22
Modulo
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
23
fase
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
24
Es.7 Tracciare il grafico del modulo e della fase della fdt seguente:
2
2
50s)5s)(10.5s)(1(110sG(s)
+−+=
SOLUZIONE
2
2
50jw)5jw)(10.5jw)(1(110jwG(jw)
+−+=
G0=10 G0[dB]= 20*Log 10= 20 dB Le pulsazioni d’angolo di G valgono hh origine w*1= 1 rad/s i (parte immaginaria neg) w*2= 1/0.5 = 2 rad/s i w3= 1/5 = 0.2 rad/s ii w4= 1/50= 0.02 rad/s
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
25
Modulo
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
26
fase
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
27
Es.8 Tracciare il grafico del modulo e della fase della fdt seguente:
4s))(1s(110s)-20(1-G(s) 2 +−
=
SOLUZIONE
4jw)jw)(1jw)(1(110jw)-20(1-G(jw)
++−=
G0=20 G0[dB]= 20*Log20= 26 dB Le pulsazioni d’angolo di G valgono h (parte immaginaria neg) w*1= 1/10= 0.1 rad/s i (parte immaginaria neg) w*2= 1 rad/s i w3= 1 rad/s i w4= ¼= 0.25 rad/s
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
28
Modulo
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
29
fase
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
30
Es.9 Tracciare il grafico del modulo e della fase della fdt caratterizzata da poli e zeri complessi coniugati seguente:
13)4s2)(s(s78G(s) 2 +++
=
SOLUZIONE
La G(s) ha un polo reale s+2=0 p1= -2
e due poli complessi coniugati che si ottengono risolvendo l’equazione (1) s2+ 4s +13=0
p2=-2+j3 p2=-2-j3
scriviamo il trinomio nella forma canonica: (2) s2 + 2ζωn s + ωn
2 Uguagliando i coefficienti della (1) e della (2) si ha:
2ζωn= 4 ωn
2= 13 ωn = rad.q.(13) = 3.61 rad/s ζ = 4/(2ωn) = 2/3.61= 0.554
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
31
Mettiamo la G(s) nella forma di Bode:
)0.076s0.3s0.5s)(1(13
)13s
134s
1313)13(
2s
222(
7813)4s2)(s(s
78G(s)
2
22
+++=
=+++
=+++
=
Il guadagno statico vale G0=3 G0[dB]= 20*Log3= 9.54 dB Le pulsazioni d’angolo di G valgono i w1 = 1/0.5= 2 rad/s ( per il polo reale) i w*n= 3.61 rad/s ( pulsazione naturale per i due poli complessi coniugati) Il grafico sarà tracciato tenendo presente che per valori di Ø w < 2 rad/s il grafico è costante è pari a 9,54
dB Ø w=2 rad/s si avrà una pendenza di -20 dB/dec
dovuta al polo reale Ø w=3,61 rad/s si avrà un’ulteriore incremento di
pendenza negativa di - 40 dB/dec a causa dei poli complessi coniugati Ø wn =0 3,61 rad/s dovuta ai poli complessi
coniugati , non si ha un effetto di risonanza in quanto lo scostamento massimo del diagramma
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
32
asintotico da quello effettivo è di soli 0,89 dB. Infatti essendo ζ = 0,554 si ha Ø -20 Log10 2ζ= - 0,89 dB
Modulo
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
33
fase
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
34
Es.10 Tracciare il grafico del modulo e della fase della fdt caratterizzata da poli e zeri complessi coniugati seguente:
2
2
10s)2s)(1(1)s10(1G(s)
+++
=
SOLUZIONE
La G(s) ha 3 poli reali 1+2s = 0 p1= -1/2 1+10s = 0 p2=p3= -1/10 E due zeri immaginari coniugati (1) 1+s2=0
z1=-rad.q(-1)=-j z2=rad.q.(-1)= +j scriviamo il trinomio nella forma canonica: (2) s2 + 2ζωn s + ωn
2 Uguagliando i coefficienti della (1) e della (2) si ha:
2ζωn= 0 ωn
2= 1 ωn = 1 rad/s ζ = 0 Il guadagno statico vale G0=10 G0[dB]= 20*Log10= 20dB Le pulsazioni d’angolo di G valgono i w1 = 1/2= 0.5 rad/s ( per i poli reali)
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
35
ii w2 = 1/10= 0.1 rad/s ( per i poli reali) hh w*n= 1 rad/s ( pulsazione naturale per i due zeri immaginari coniugati)
Modulo
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
36
fase
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
37
Es.11 Tracciare la risposta in frequenza della seguente fdt:
3)6)(s(s5)2)(s(sG(s)
++++
=
SOLUZIONE
Mettiamo la G(s) nella forma di BODE:
)3s)(1
6s(1
)5s)(1
2s0.55(1
)3s
33)3(
6s
666(
)5s
55)5(
2s
222(
G(s)++
++=
++
++=
Il guadagno statico vale G0=0.55 G0[dB]= 20*Log 0.556= -5.1 dB Le pulsazioni d’angolo di G valgono h w1 = 2 rad/s h w2 = 5 rad/s i w3= 6 rad/s i w4= 3 rad/s
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
38
Modulo
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
39
fase
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
40
Es.12 Tracciare la risposta in frequenza della seguente fdt:
0,05)6)(ss(s3)20(sG(s)
+++
=
SOLUZIONE
Mettiamo la G(s) nella forma di BODE:
=++
+=
+++
=s)
0,051(1*0.05*s)
616(1*s
s)313(1*20
0,05)6)(ss(s3)20(sG(s)
s)0,05
1s)(161s(1
s)31200(1
G(s)++
+=
Il guadagno statico vale G0=200 G0[dB]= 20*Log 200= 46 dB Le pulsazioni d’angolo di G valgono h w1 = 3 rad/s i origine w*2 = 1 rad/s i w3= 6 rad/s i w4= 0.05 rad/s
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
41
Modulo
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
42
fase
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
43
Es.13 Tracciare la risposta in frequenza della seguente fdt:
3)7)(s(ss5)30(sG(s) 2 ++
−=
SOLUZIONE
Mettiamo la G(s) nella forma di BODE:
s)31s)(1
71(1s
s)51-7.14(1-
s)31s)(1
713(1*7*s
s)51-5(1*30-
G(s)22 ++
=++
=
Il guadagno statico vale G0=7.14 G0[dB]= 20*Log 7.14= 17 dB Le pulsazioni d’angolo di G valgono h (parte immaginaria neg) w*1 = 5 rad/s ii origine w*2 = 1 rad/s i w3= 7 rad/s i w4= 3 rad/s
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
44
Modulo
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
45
fase
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
46
Es.14 Tracciare la risposta in frequenza della seguente fdt:
3)2)(s1)(s(s3)s(sG(s)
+++−
=
SOLUZIONE
Mettiamo la G(s) nella forma di BODE:
1/3s)1/2s)(1s)(1(1*3*2*11/3s)-s(1*3-G(s)
+++=
1/3s)1/2s)(1s)(1(11/3s)-0.5s(1-G(s)
+++=
Il guadagno statico vale G0=0.5 G0[dB]= 20*Log 0.5= -6 dB Le pulsazioni d’angolo di G valgono h (origine) w*1 = 1 rad/s h (parte immaginaria neg) w*2 = 3 rad/s i w3 = 1 rad/s i w4= 2 rad/s i w5= 3 rad/s
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
47
Modulo
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
48
fase
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
49
Es.15 Determinare il modulo e l’argomento della fdt seguente per Ø w=0 rad/s Ø w=1 rad/s Ø w=10 rad/s Ø w= ∞ rad/s
4)3)(s(s20G(s)
++=
SOLUZIONE
Mettiamo la G(s) nella forma di BODE:
0.25s)0.33s)(1(11.67
1/4s)1/3s)(14(1*320G(s)
++=
++=
0.25jw)0.33jw)(1(11.67G(jw)
++=
Il modulo
22 (0.25w)1 (0.33w)11.67
0.25jw)(10.33jw)(11.67G(jw)
++=
=++
=
L’argomento w)arctg(0.25w)arctg(0.33G(jw) −−=∠
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG
50
Ø w=0 rad/s
1.670)*(0.251 0)*(0.331
1.67G(j0)22
=++
=
0arctg(0)arctg(0)G(j0) =−−=∠ Ø w=1 rad/s
1.541.03*1.05
1.67(0.25)1 (0.33)1
1.67G(j1)22
==++
=
°=−−=∠ -32.3)arctg(0.25)arctg(0.33G(j1) Ø w=10 rad/s
0.182.7*3.45
1.6710)*(0.251 10)*(0.331
1.67G(j10)22
==
=++
=
°=−−=∠ -141.310)*arctg(0.2510)*arctg(0.33G(j10) Ø w= ∞ rad/s
01.67)*(0.251 )*(0.331
1.67)G(j22
=∞
==∞+∞+
=∞
°=∞−∞−=∞∠ -180)*arctg(0.25)*arctg(0.33)G(j
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
SLUQUEG