UNIVERSITA’ “D’ANNUNZIO” PESCARA-CHIETI

FACOLTA’ DI ARCHITETTURA

LAUREA TRIENNALE

“TECNICHE DEL COSTRUIRE”

LA TRIGONOMETRIA NELLA TOPOGRAFIA

DISPENSE DEL CORSO DI TOPOGRAFIA DEL PROF. PAOLO DI CESARE ANNO ACCADEMICO 2005/2006

TRIGONOMETRIA

La trigonometria è una parte della geometria che trova applicazione in tutti i problemi numerici di risoluzione di calcoli di superfici, sia piane che curve. Note sono pertanto le sue distinzioni in trigonometria piana o sferica. La trigonometria storicamente nasce per risolvere i problemi legati alla risoluzione dei triangoli, da cui il nome, che sin dall’antichità servivano ai tecnici per calcolare le superfici dei terreni. Inizialmente si riuscivano a misurare con una certa precisione solo gli angoli retti mentre per gli altri ci si trovava in difficoltà perché gli strumenti di misura permettevano basse precisioni che si ripercuotevano in errori consistenti nella misura delle superfici e, di conseguenza, ovvie contestazioni. Le misure, quindi, avvenivano solo per superfici rettangolari, o meglio, quadrate. Classico esempio è la castrametazione romana che suddivideva i terreni in superfici quadrate di cento iugeri le quali non potevano tenere conto della situazione morfologica del terreno. Solo con il successivo perfezionamento degli strumenti si riuscirono a misurare gli angoli con una precisione accettabile per cui nacque la trigonometria. Il principio su cui si basa la trigonometria è quello di permettere la risoluzione dei triangoli mediante la conoscenza

degli elementi di quello che viene definito il cerchio trigonometrico. Questo è un cerchio di raggio unitario ed il cui centro coincide con l’origine degli assi cartesiani. Se dal centro del cerchio si traccia un raggio, questo individua un punto P sulla circonferenza ed un angoloα . In topografia gli angoli vengono misurati a partire dall’asse y ed in senso orario. Tracciando la perpendicolare all’asse y partendo da punto P si trova il suo piede nel punto H. Il segmento PH si definisce seno dell’angoloα e si scrive αsen ed il segmento OH coseno dell’angoloα e si scrive αcos .

Se dal punto A, intersezione della circonferenza con l’asse delle y, si traccia la retta tangente alla circonferenza, questa interseca il raggio nel punto T ed il segmento AT si definisce tangente dell’angolo α e si scrive αtan . Se si opera allo stesso modo con l’asse delle x si ottiene la cotangente dell’angolo α e si scrive

αgcot . Vediamo ora le relazioni tra le funzioni trigonometriche. I triangoli OHP e AOT sono simili perché tutti e tre gli angoli sono uguali per cui i lati risulteranno il proporzione e si otterrà

che OHHP

OAAT

= da cui sostituendo i valori delle

funzioni si avrà ααα

conssen

=1

tan cioè

ααα

conssen

=tan

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OAP si ha che OPOHHP =+22

cioè, sostituendo i valori delle funzioni

1cos22 =+ ααsen

Se si considerano i triangoli simili ATO e OBS si possono scrivere le proporzioni BSOB

OAAT

= ,

ovveroα

αgcot

11

tan= da cui

αα

gcot1tan =

I triangoli rettangoli L’utilità delle funzioni trigonometriche consiste nella loro conoscenza numerica che, nota per

i segmenti del cerchio trigonometrico, può essere estesa anche ad altri segmenti che fanno parte di altre figure. Se si sovrappone un triangolo rettangolo in cui un angolo è pari ad α si ottiene una similitudine tra il triangolo OHP ed il triangolo OMN. Perché hanno l’angolo α in comune ed un angolo retto ciascuno per cui per il terzo criterio i due triangoli sono simili e di conseguenza i lati saranno in proporzione e si potrà scrivere la proporzione

OPON

OHOM

HPMN

== da cui HPOPONMN = e si ha che

HOOPONOM = ora il lato MN è il cateto del triangolo, il lato

OR l’ipotenenusa, 1=OP ed αsenHP = da cui deriva che

αsenONMN ⋅= da cui deriva la prima regola degli angoli rettangoli: “Un cateto è uguale all’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto (al cateto)” Dalla proporzione precedente si può ricavare anche il lato MO , altro cateto, mediante la

formula HOOPONOM = , ma ricordando che αcos=OH si ha

αcos⋅= ONMO che si traduce nella: “Un cateto è uguale all’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente (al

cateto)” Se ora mettiamo in relazione il precedente triangolo

OMN con OAT, potremo scrivere la proporzione

OAAT

MOMN

= da cui MOOAATMN = . Ricordando che

1=OA e αtan=AT si avrà che

αtan⋅= MOMN Che darà: “Un cateto è uguale all’altro cateto per la

tangente dell’angolo opposto (al primo cateto)” Ricavando il cateto MO dalla precedente avremo che

αα

gMNMNMO cottan

1⋅=⋅= da cui

“Un cateto è uguale all’altro cateto per la cotangente dell’angolo adiacente (al primo cateto)” In questo modo abbiamo individuato le regole per la risoluzione dei triangoli rettangoli che ci permettono di trovare tutti i suoi elementi. E’ ovvio che dalle formule precedenti si possono ricavare anche quelle inverse per trovare il valore dell’ipotenusa.

I triangoli qualunque La trigonometria permette di risolvere anche i triangoli qualunque e non solo quelli rettangoli.

Vediamo con quali mezzi.

Il teorema dei seni

Dato un triangolo è sempre possibile disegnare il cerchio ad esso circoscritto. Consideriamo l’angolo α che insiste sull’arco AB. Tracciamo ora il diametro AO che interseca la circonferenza nel punto D. Questo individua l’angolo ADB che, insistendo sullo stesso arco AB sarà pari ad α . L’angolo ABD, essendo angolo alla circonferenza che insiste sull’arco AD il cui

angolo l centro è l’angolo piato AOD sarà pari ad un angolo retto per cui il triangolo ABD è un triangolo rettangolo da cui si può ricavare dalle regole precedentemente esposte che

RADsenACB

ABsenADB

AB 2=== cioè il rapporto tra un lato ed il seno dell’angolo opposto è pari al

valore del diametro del cerchio circoscritto al triangolo. Lo stesso risultato si consegue anche se il triangolo è ottusangolo, ma se ne omette la dimostrazione. Se si procede come per il lato AB anche per il lato AC, con lo stesso metodo si raggiunge la formula

RCDsenABC

ACsenADC

AC 2===

. Uguagliando le formule precedenti perché entrambe uguali a 2R si ottiene che

senABCAC

senACBAB

= da cui

deriva il teorema dei seni per un triangolo qualunque come quello indicato in figura:

γβα senc

senb

sena

==

Il teorema di Nepero Diretta conseguenza del teorema dei seni è il teorema di Nepero. Se il teorema dei seni si scrive in forma di proporzione βα sensenba :: = ad essa si può

applicare le due regole del comporre e dello scomporre ottenendo αβααβα

sensensenabasensensenaba

:)(:)(:)(:)(

+=+−=−

Dividendo membro a membro si avrà che )()(

)()(

βαβα

sensensensen

baba

+−

=+− ed applicando le formule

di prostaferesi1 la formula precedente si trasforma in

2tan

2tan

)()(

βα

βα

+

−

=+−

baba

che è la formula di Nepero. In topografia la formula precedente viene applicata quando in un triangolo qualunque sono noti duellati e l’angolo compreso. Per risolvere il problema si individuano la semisomma e la semidifferenza degli angoli α e β indicandoli con M ed N:

2βα +

=M ;

2βα −

=N .

Ma il valore di M è noto perché g200=++ γβα da cui γβα −=+ g200 e dividendo entrambi i membri per 2 da cui

2100

2200

2γγβα

−=−

=+

= gg

M .

La formula di Nepero diventa MN

baba

tantan

)()(=

+− da cui si può ricavare il valore di N dalla

MbabaN tan

)()(tan

+−

=.

Ricavati i valori di M ed N gli angoli α e β si possono ricavare effettuando la somma e la differenza dei valori trovati perché

ααβαβαβαβα==

−++=

−+

+=+

22

222NM

βββαβαβαβα==

+−+=

−−

+=−

22

222NM

1 Le formule di prostaferesi che sono state utilizzate in questa dimostrazione sono:

22cos2 βαβαβα −+

=− sensensen e

2cos

22 βαβαβα −+

=+ sensensen

1Il teorema di Carnot Il teorema di Carnot si applica nelle stesse condizioni del teorema di Nepero, quando si conoscono due lati e l’angolo compreso. Vediamo la dimostrazione. Si consideri il triangolo trigonometrico come indicato in figura, si tracci l’altezza relativa al lato a dal vertice A e si individua il punto H. Il segmento AB è stato diviso in due segmenti CH ed HB. Conoscendo gli elementi del triangolo si possono ricavare le loro lunghezze perché il triangolo iniziale è

stato diviso in due triangoli rettangoli dei quali si conoscono le ipotenuse ed un angolo ciascuno per cui si avrà γsenbCH ⋅= e βsencHB ⋅= che porta alla conoscenza del lato CB.

β⋅+γ⋅= coscos cba . Allo stesso modo si potranno conoscere anche gli altri due lati.

α⋅+γ⋅= coscos cab β⋅+α⋅= coscos abc .

Se si moltiplica la prima equazione per a, la seconda per –b e la terza per –c si ottiene che sommate membro a

membro daranno:

α⋅−=−−

β⋅−α⋅−=−

α⋅−γ⋅−=−

β⋅+γ⋅=+

cos2

coscoscoscos

coscos

222

2

2

2

bccba

acbccbcabb

acaba

Ricavando 2a dalla precedente si otterrà il Teorema di Carnot o Teorema di Pitagora generalizzato.

α⋅−+= cos2222 bccba Il teorema di Carnot si utilizza per conoscere il lato mentre il Teorema di Nepero per conoscere gli angoli. Infatti, se si ricava con la formula inversa il coseno dell’angolo con Carnot il suo valore può essere indifferentemente pari ad α o al suo angolo supplementare α−200 con ovvia indeterminazione, cosa che, invece, non accade applicando il teorema di Nepero.

FORMULE DI BRIGGS Le formule di Briggs derivano da quelle di bisezione. Si usano quando di un triangolo sono noti i tre lati. Se ne mette la dimostrazione e se ne forniscono i valori. Ricordando che

2cbap ++

=si ha:

( )( )bc

cpbpsen −−=

2α

( )bc

cpp −=

2cosα

( )( )( )app

cpbp−−−

=2

tan α

Il calcolo dell’area dei triangoli Per calcolare l’area di un triangolo qualunque si analizzano due casi fondamentali:

1. se si conoscono due lati e l’angolo compreso; 2. se si conoscono i tre lati.

1° caso:

La superficie del triangolo sarà data dalla:

2AHCBS ⋅

= .

aCB = βsencAH ⋅=

che sostituiti daranno:

2βsencaS ⋅⋅

=

“L’area di un triangolo è pari al semiprodotto dei lati per il seno dell’angolo compreso”

1° caso: Si utilizza il teorema di Erone della quale si omette la dimostrazione:

( )( )( )cpbpappS −−−=

in cui 2

cbap ++= .