8 10 19

f 2 fax 2 5

fa inattiva sì Infattisiano Xs E Z f fare 2 1 5 2 251

a

la stessa dim fa vedere

IR IR gli 2 5 è iniettivo

Più mi generale se ce e IR 104 b E IR

h IR 7 IR hai axel

li è inattiva lnfattise Xs E IR sono tali che licei LA

axe µ a X faretiricordo che

a O

Xuxa h e Inattiva

f 7 2 è surgettiva No7 2 5

Infatti of Imf perché non esiste una

sol in 2 di 2 5 0

Cos'è Imf Inf I 2 51 c 2

In f è l'insieme dei numeri dispari

Sia ye 2 dispari 7 ke 2 4 2 1

f y s 2 5 2k 11 a ÈxD

Kiss c è dispari E Inf

Viceversa ti XE 2 2 5 è dispari Inf D

Imf D

Consideriamo di nuovo h IR IR hcxi ax

bdoneaelrltoy.beRsono fissati

Hye IK considera l'equazione 44 y cioè

ai b pf è surgeltiva se ce ha sol V'yln axe y e

Le funzioni lineari IR IR con a 01 axel

sono sia iniettive che surgettive cioè

bigettive o anche biunivoche o anche 1 1

Composizione di funzioni f X Y4,2 minimi g y 7

gol X 72 è data da g fai ti xe

Di solito non possiamo fare fog perché i

domini delle 2 funzioni non lo permettono

Anche se si può considerare fog le due

composizioni In genere sono

Esempio f IR IR g IR IR

2 5 X 3 2

yo f IR IR y FG 2 512 4 2 20 25

fog IR IR fighe 2 75

f g got Infatti 8171011 25 5 figlio

In generale non basta verificare che le funzionisiano date da formule diverse

Es tt e IR fini fax 1

1 7È f X y g X 72

se f y sono iniettivalsurgettivelligettinecosa si può dire di gol

ma

sia f X Y ligettiva Posso definire

f Y X che associa a ogni y c È

l'unico E X i fax y

f of X X f f G f fai tt EX

f È Y Y o f y ftp.tyi y Hye

f si chiama la funzione inversa

Dato insieme la funzione X X che

ad ogni associa se stesso si chiama

funzione identità

Idi X

Quindi se f X è ligettiva ho

f f I.ly f of Id

Es li IR IR bici a b a o

li IR IR b che

T t'a verificare ho b Idea b oh 7

a date fra a b KC d 1M

a e tritoli li E IR

Scrivere Koh e b ok sono uguali1 I1 1

A B minimi finiti

FA B 1 a B FCA B

Sia A 1 2 3 B a lo

i a 1 a 1 a 1 a

2 a 2 a i 2 e i 2 7 b7 a 3 lo 3 a 3 le

1 b i e i b 1 b

a a i a a i 2 E i 2 il3 a 3 b 3 a 3 E

In questo caso FCA B 8 23

AIn generale FCA B B

H

X crimine finito X n

HA E X naturismo fa X 291

o fadefinito da f

c A

fa è la funzione indicatrice di A

Ho

PG FG 1914a fa

Dico che f è biunivoca Costruisco la funzione

inversa

FA ami PG

data f e FA 0,1 pongo I 1 1 7 14 1

4 ai A 4 f 7

cioe 40 Id ÌN Idea io

XI f 10,11 2 2

ti

01 Y minimi limiti

c se 7 f X I iniettivo X I E

Vale il viceversa se X E 4

posso trovare f X Y inattivaesercizio

c2 se I f X Y surgettiva X 7 4

Vale il viceversa cioè se Xp Y

posso trovare f Y surgettivaesercizio

1 te 3 7 f X Y ligettiva a X Y