Evoluzione degli acceleratori

Elettrostatici

Lineari

Circolari

Diagramma dell’energia degli acceleratori dal 1930 al 2010

(LivingstonChart)

Lo sviluppo degli acceleratori è stato determinato dalla ricerca fondamentale:Il raggiungimento di energie sempre maggiori per indagare

la struttura della materia nei componenti più ultimiha portato con sé l’evoluzione di tecnologie e di conoscenze

che si usano per applicazioni in moltissimi campi

L’albero del tempo delle applicazioni degli acceleratori

Un electron volt è una misura di energia: è l’energia cinetica guadagnata da un elettrone passando in una differenza di potenziale di un Volt.

Un Volt non è una misura di energia. Un electron volt è una misura di energia.Un eV è un’energia molto piccola.

Unità di misura dell’energia usate negli acceleratori:

103 eV = 1 KeV106 eV = 1 MeV109 eV = 1 GeV1012 eV = 1 TeV

un eV = 1.602 x 10-19 joules

Gli acceleratori circolari

E.O.Lawrence (1930) ebbe la brillante idea di curvare le particelle su una traiettoria circolare, facendole ripassare molte volte nello stessa cavità a radiofrequenza.Negli acceleratori circolari un campo magnetico B è diretto verticalmente; se una particella relativistica di momento p viaggia nel campo magnetico perpendicolare la variazione di momento è

dp/dt=e v x B

il raggio di curvatura della traiettoria dipende dalla carica e dall’energia della particella

Quali sono i componenti di un sistema di acceleratori ?

Booster - piccolo anello che prepara il fascio del linac per una migliore efficienza di iniezione

Electron Gun LinacAnello di accumulazione

Descrizione di un anello d’accumulazione

ELEMENTI

MagnetiCamera da vuoto

Cavità rfSistemi di diagnostica

-Posizione-Corrente

Sistema di raffreddamento(+ criogenico se SC)

Pompe da vuotoSistema di controllo

Cavi (km…)Protezione dalle radiazioni

…DAΦNE: collider e+ e- all’energia della particella Φ

usato anche come sorgente di luce di sincrotrone

Principali magneti di un anello

DIPOLI – determinano la traiettoria di riferimentoQUADRUPOLI – mantengono le oscillazioni di tutte le particelle

intorno alla traiettoria di riferimentoSESTUPOLI – correggono l’effetto cromatico dei quadrupoliWIGGLERS – aumentano l’emissione di luce di sincrotrone

Equazione fondamentaleper descrivere il movimento di una particella in un acceleratore

( )BvEqdtpd rrrr

×+=

caricaqvelocitàv

massammmomentovmp

o

==

====

r

rr

γ

magneticocampoBelettricocampoE

=

=r

r

ctscvcv

≈≈

≈= 1β

Il moto di una particella carica è modificato dai campi elettromagnetici

particellarelativistica

Campi elettrici

Accelerazione:

aumento di velocità

+ aumento di energia

con le cavità a radiofrequenza

(come nei linacs)

EaFrrr

qmo ==

Accelerazione = aumento di energia

Velocità delle particelle normalizzata alla velocità della luce in funzione dell’energia

La variazione di velocità è trascurabile al di sopra di una certa

energia

β = v/c

Energia cinetica

Campi magneticiUna particella carica in un campo magnetico uniforme B

descrive un cerchio di raggio ρDalla forza di Lorentz:

Rigidità magnetica

vmBq oγρ =

)(3.3)()( GeVEmTB =ρ

I campi magnetici sono usati negli acceleratori per guidare le particelle carichenelle loro traiettorie all’interno della camera da vuoto

In ogni acceleratore esiste una traiettoria di riferimento,sulla quale viaggia la particella nominale

(energia nominale, momenti trasversali nulli).

In un acceleratore circolare tale traiettoria è un’orbita chiusaformata da archi di cerchio e tratti drittiy

Siccome le particelle fanno traiettorie deviate rispetto a quest’orbita

servono anche forze focheggianti che le mantengano vicine ad essa

Frequenza di rivoluzione

o

oo Tf

vCT

cv1

==

≈

mC 100=

sec103.3 7−=oT

3 milioni di giri/sec

DAΦNE (Frascati) LEP (CERN, Ginevra)kmC 27=

sec109 5−=oT

11000 giri/sec

Sistema di riferimento

x

y

s

x – orizzontaley – verticales – longitudinale sulla traiettoria di riferimento

Campo magnetico verticale:

DIPOLICurvano la traiettoria

0

0

=

=

=

s

oy

x

B

BBB

[ ] [ ][ ]GeVE

TBm o3.01 1 =−

ρcomponenti nel nostrosistema di riferimento

QUADRUPOLIfocheggiano le traiettorie

fuori asse

campo magnetico forze sulle particelle

y

Fy

0=

⋅−=

⋅−=

s

x

y

BygB

xgB

[ ]

[ ] ""

/

2 quadrupolodelforzaBgmk

magneticocampodelgradientectemTg

==

==

−

ρ

Componenti del campo magnetico nel nostro

sistema di riferimento:

Quadrupoli

kkykds

yd

kkxkds

xd

yy

xx

−==+

+==+

;0

;0

2

2

2

2

qcgyFqcgxF

y

x

−=

=

Forza di Lorentz: ( )BvqFrrr

×=

la forza di focheggiamentoè lineare in x e y

Un quadrupolofocheggia in x

e defocheggia in y

Sequenza FODO

Una sequenza alternata di lenti focheggianti e defocheggianti ha uneffetto totale focheggiante se le distanze tra le lenti non sono troppo lunghe

Il quadrupolo che focheggia nel piano orizzontale, defocheggia in quello verticale e viceversa

La sequenza FODO focheggia nei due piani

Esempi di magneti in un anello

Si può variare l’intensità del campo magnetico modificando dal sistema di controllo la corrente nelle spire

dipolo quadrupolo

Magneti permanenti

i

per alcune applicazioni si usano i materiali a magneti permanenti:il campo magnetico è fisso, non può essere variato con l’energia;

non consumano corrente usati spesso negli ondulatori delle sorgenti di luce di sincrotrone

Quadrupoli usati nelle zone di interazione di DAFNE

Wigglers e ondulatori

Negli anelli di luce di sincrotroneper aumentare l’emissione di radiazione

si usano i Wigglers e gli Ondulatori:serie di dipoli a campi alternati

in cui le particelle compiono un’oscillazioneed emettono luce la cui lunghezza d’onda

dipende dal campo del wiggler

Oscillazioni di betatrone

Una particella con l’energia nominale e consegue la traiettoria nominalee passa al centro dei quadrupoli dove il campo magnetico è nullo

Se la sua posizione cambia per qualche motivo,passa fuori asse nei quadrupolie oscilla intorno alla traiettoria nominale:Oscillazione di betatrone

0'' ==== yyxx

x

Traiettoria nominale

Q Q

ρ

ρρ

Bsg

sk

sBsg

sk

y

x

yskyxskx

y

x

)()(

)(1)(

)( 2

0)(''0)(''

−=

+=

⎩⎨⎧

=+=+

Equazioni di Hill:Oscillatore pseudoarmonicoTermine forzante periodico

nzacirconferelunghezzaLperiodicafunzioneLsksk xx

==+= )()(

Q

2''s

x∂∂

=

D

Soluzione

A, δ : costanti di integrazione

β : ampiezza di betatrone

φ : avanzamento di fase di betatrone

( )

( ) ( )[ ]δφαδφβ

δφβ

+++−=

+=

)(cos)()(sin)(

)('

)(cos)()(

ssss

Asy

ssAsy

)()(1)(

)(21)(

)(

2

sss

sss

s

βαγ

βα

β

+=

∂∂

−=

∫=)(

)(s

dssβ

φ

Funzioni di Twissy : coordinata trasversa (x o y)

Posizione

Angolo(divergenza)

Piano orizzontale : particelle con energia diversa da quella nominale

ox E

Exskx Δ=+

ρ1)(''L’equazione del moto

è non omogeneanel piano orizzontale:

Una particella con l’energia diversa da quella nominale, al passaggio in un dipolo

segue una traiettoria diversa da quella nominale

La soluzione è la somma della soluzione all’equazione omogenea, xβ(s)e di un termine proporzionale alla deviazione di energia

oEEsDsxsx Δ

+= )()()( β

D(s) è la funzione di dispersione, periodica, viene determinata dai dipoli e dai quadrupoli

Se xo(s) è l’orbita chiusa di riferimento, per ogni energia Ek

esiste un’orbita chiusa,

intorno alla quale oscillano di betatrone le particelle con energia Ek

o

okok E

EEsDsxsx −+= )()()(

Negli anelli in cui i dipoli curvano soltanto sul piano orizzontaleesiste solo la funzione Dx(s), dispersione orizzontale

Spazio delle fasi di una particella

Area dell’ellisse = invariante del moto

a energia costante

ellissedellareaconstyyyy '''2 22 ==++ βαγ

α, β, γ, variano lungo s; l’area dell’ellisse è invece costante

EMITTANZA

ellissedellareaconstyyyy '''2 22 ===++ εβαγ

L’area dell’ellisse che contiene tutte le particelle del fascio èl’emittanza

Dimensione trasversa

Momento trasverso

I parametri di Twiss definiscono la forma e l’inclinazione dell’ellisse nello spazio delle fasi,l’emittanza la sua area.

L’emittanza si conserva qualunque sia la forza magnetica che agisce sulla particella:

Teorema di Liouville

“Nelle vicinanze di una particella, la densità delle particelle nello spazio delle

fasi è costante se le particelle si muovono in un campo magnetico esterno o in

qualunque campo in cui le forze siano conservative”

Le unità di misura dell’emittanza sonom rad

(dimensione * divergenza)

Spazio delle fasi in diversi punti dell’acceleratore

Caratterizzazione del fascio

Le particelle di un fascio in un acceleratore non hanno tutte la stessa energia e posizione

L’energia, la posizione e il momento trasverso hanno distribuzioni gaussiane

Il pacchetto di particelle è un ellissoide a 6 dimensioni:

Posizione - momento orizzontalePosizione - momento verticale

Energia - posizione longitudinale

s

y

x

coordinata

distribuzione

Caratterizzazione di una particella

x y

y’x’

Δl

ΔE/E

Ogni particella ha il suo invariante nei 3 “spazi delle fasi”:

orizzontale, verticale e longitudinale

Dimensione del fascio

)()( ss εβσ =La dimensione trasversadel fascio è

Quanto misura il pacchetto di elettroni o positroni all’interno della camera da vuoto?

Negli anelli di collisione e+ e-

nel piano orizzontale laσ è tipicamente dell’ordine dei mm

mentre nel piano verticaleè circa 100 volte minore

(rms della gaussiana) emittanza

Abbiamo visto:Orbita chiusa

Oscillazioni di betatrone intorno ad essaDiverse orbite chiuse per diverse energie

Equazioni del motoParametri di Twiss e dispersione periodici

…

Trattamento matematico: MATRICI

Ogni particella è caratterizzata da 6 coordinateDue orizzontali: x, x’Due verticali: y, y’

Due longitudinali: s, ΔE/E

VETTORE

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ΔΔ

EEs

yyxx

/

'

'

Il modo in cui il vettore di una particella si trasformaquando passa per un elemento dell’anello

viene descritto dalla matrice dell’elemento

Tratto dritto:

Quadrupolo

Dipolo

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

1000000100000010000010000001000001

l

l

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−−

−

−

10000001000000coshsinh00

00sinh1cosh000000cossin

0000sin1cos

lklkk

lkk

lklklkk

lkk

lk

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

10000001000000100000100

sin000cossin1)cos1(000sincos

ρθ

θθθρ

θρθρθ

Conoscendo le caratteristiche di un elementoLa sua matrice di trasporto è definita

, …, …

L’anello è descritto matematicamente da una serie di matrici.Sia per la progettazione che per la simulazione della dinamica del fascio

vengono usati codici di calcolo

Esempio di simulazione di una regione di anello:

funzioni β di Twiss (nera e rossa)e Dispersione (verde)

Frequenze di betatrone

∫= dssQ yxyx )(21

,, φπ

Il numero di oscillazioni di betatrone in un giro è chiamato

‘numero di betatrone’ o ‘tuno’(dall’inglese ‘tune’)

Siccome le oscillazioni vengono guidate dai quadrupoli,il tuno dell’anello viene determinato dai campi quadrupolari:

più forti sono i quadrupoli, più rapide sono le oscillazioni, maggiori sono i tuni

Risonanze

ci sono quindi zone ‘proibite’ nel diagramma dei tuni:

le risonanze

interi,,, pmnpmQnQ yx =+

La frequenza di betatrone non è un numero intero: se così fosse, qualunqueperturbazione ci fosse in un punto dell’anello sarebbe vista sempre

con la stessa fase, e il suo effetto cumulativo potrebbe esseredistruttivo per la particella

Errori di posizionamento o campo… quanto detto finora si riferisce a un acceleratore ‘ideale’

Nella realtà è impossibile costruire una macchina perfetta:gli errori di posizionamento dei magneti o di intensità del campo

magnetico costituiscono un elemento della macchina.Il loro trattamento matematico fa parte della fisica degli acceleratori

tanto quanto ne fa parte l’elettromagnetismoOrbita chiusa ideale

Orbita chiusa dovuta a un errore

Caso più semplice:errore di posizionamento di un quadrupolo

crea un’orbita chiusa che si discosta da quella idealelungo tutta la macchina

y

Fy

posizione della traiettoria: δx

Il quadrupolo agisce come un dipoloBy = g x

e dà alla traiettoria un angoloδα proporzionale a gx

L’orbita chiusa che ne deriva è data da

)(cos)()(sin2

1)( ssBBl

Qsx k

k

xk φββ

ρδ

π=

Se Qx fosse intero l’orbita sarebbe infinita -> instabile

Cromatismo

L’effetto focheggiante o defocheggiante di un quadrupolo dipende dall’energia della particella

E = E = EEoo

E > E > EEoo

Il tuno della particella con energia nominale è diverso dal tuno di una particella con energia diversa

σσEE

o

yxyx EE

QC

∂∂

= ,, = cromatismo= cromatismo

Sestupoli Il cromatismo non corretto crea instabilità al di sopra di certe correnti

(effetto testa-coda: scoperto ad ADONE, Frascati)

Per correggerlo si usano i sestupoli

)(

222 yxSB

SxyB

y

x

−=

=

Il sestupolo si comporta come un quadrupolo con un gradiente proporzionale allo spostamento trasversale

I sestupoli introducono i campi non lineari nell’acceleratore

Apertura dinamica:zona stabile all’interno dell’anello

La presenza di campi non lineari implica La presenza di campi non lineari implica che il moto della particella che il moto della particella

non è più un’ellisse nello spazio delle fasinon è più un’ellisse nello spazio delle fasi(non basta l’equazione di (non basta l’equazione di HillHill).).

Il moto diventa più disordinato e può portare aIl moto diventa più disordinato e può portare aInstabilitàInstabilità..

L’attraversamento delle risonanze L’attraversamento delle risonanze può portare a perdita della particellapuò portare a perdita della particella

Solo campi lineariDipoli e quadrupoli Sestupoli Ottupoli ……....

simulazione dello spazio delle fasi con forti campi non lineari

Piano longitudinale

Cavità Cavità rfrf

Il fascio di particelle viene iniettato nell’anello con l’energia acquistata nel LINAC.

Durante il passaggio attraverso i dipoli perde energia emettendo

“luce di sincrotrone”. Quando passa nella cavità rf ,

ri-guadagna energia.

VqdtEqEgap∫ ==Δr

)(sinˆ'sinˆ0

tVdtVVt

rf φω == ∫

Durante l’accelerazione tutti i campi magnetici vengono aumentati per seguire l’aumento di energia

Quando l’energia del fascio arriva al valore nominale dell’anello,la cavità rf restituisce alle particelle solo l’energia che esse perdono

per luce di sincrotrone durante il giro.

La particella sincrona è la particella nominale, che arriva alla cavità dopo un

giro, all’istante in cui la fase è quella giusta per il guadagno nominale di energia

orfrf fhf == ωπ2

La frequenza rf del campo elettrico della cavità, frf , è un multiplo intero della

frequenza di rivoluzione, fo

armoniconumeroh =

Le altre particelle del fascio, oscillano intorno alla particella sincrona, con lo stesso principio della stabilità di fase nei linacs.

Analogamente ai piani trasversali, si possono scrivere le equazioni delle

oscillazioni longitudinali, dove le coordinate della particella sono

energiaEEEfase

s

s

−=Δ

−=Δ φφφ

Oscillazioni di sincrotrone ( ) 0sinsincos

2

=−Ω

+ ss

s φφφ

φ&&

Zone stabili

Radiazione di sincrotrone

Una particella carica che viaggia in una traiettoria curva emette fotoni, la cui energia dipende dalla massa e dall’energia della particella e dal raggio di curvatura della traiettoria

Una particella carica che viaggia in una traiettoria curva perde energia.In un anello di accumulazione l’energia persa viene compensata dalle cavità a radiofrequenza

U =4π3

ro

mc2( )3E 4

ρEnergia emessa per giro

cavità a rf

Le particelle più leggere emettono più energia.Come sorgenti di radiazione vengono usati acceleratori di elettroni o positroni

Emissione di luce di sincrotrone

ρ(m)

E(GeV)

ΔE/giro(MeV)

DAΦNE 1

ELETTRA 5.6 2 0.1

ESRF 23 6 1

3000

0.51 0.009

LEP 100 1500

Massa

Energia della particella

( ) ( )32

34

3234

mcBEE

mcrU o ∝=

ρπ

Raggio di curvatura della traiettoria

Campo magnetico

Anello di luce di sincrotrone:nella camera da vuoto dove le particelle curvano si inseriscono finestre di diamante

da dove la luce viene estratta e trasportata alle linee degli esperimenti

Quali sono i ‘limiti’ delle sorgenti di radiazione ?

Energia

Intensità

Aumentando l’energia di un acceleratore circolaresi aumenta la perdita di energia per luce di sincrotrone:

cavità rf dipolidimensioni totali dell’anellotutti i campi magnetici

devono essere dimensionati adeguatamente

Intensità: effetti collettivi

Abbiamo visto comeil moto di una singola particella in un acceleratore è determinato dai campi

magnetici creati dai dipoli e quadrupoli, dal sistema rf, dalle condizioni inizialie dalla radiazione di sincrotrone

Tutte le particelle contenute in un fascio ad alta intensità sono una corrente elettrica con una

carica non trascurabile

Esempio:N=5 10 10 per bunch

n = 100Qtot= 1.6 10 –19 C x 100 x 5 10 10 = 8 10-7 C

I = Q/t = Q fo = 3 10 –6 1.6 10-7 = 2.4 A

Ciò può dare origine a una variazione delle frequenze proprie del fascio (frequenze di betatrone e sincrotrone),

può portare a:

instabilità,

o modifica della distribuzione del fascio,

o allungamento dei pacchetti.

Questi fenomeni si chiamano effetti collettivie sono naturalmente collegati al numero di particelle presenti nel fascio

Questi campi interagiscono con ciò che li circonda,

vengono modificati dalle condizioni al contorno

(camera da vuoto, cavità, ecc) e agiscono a loro volta

sul fascio stesso

I fasci di particelle agiscono come sorgente di campi

elettromagnetici:

self fields

I sistemi che ‘controllano’ gli effetti collettivi sono diversi:Impedenza di ogni elemento ‘visto’ dal fascio

(camera da vuoto, soffietti, cavità, elementi di diagnostica,….)Vuoto dinamico

Sistema di feedbacks…

Camera da vuotoesempio di elementi

soffietto

arco di DAΦNE

Diagnostica

Esempio di monitor di posizione: il segnale elettrico del fascio viene raccoltoda 4 elettrodi, La tensione indotta permettedi risalire alla posizione in x e y del centroide del fascio

Sistema di controllo

Le informazioni sullo stato di ogni elemento dell’acceleratore+ le informazioni sulla posizione, intensità, stato del fascio

lette dagli elementi di diagnosticavengono trasportate alla sala di controllodove l’operatore controlla la situazione e

agisce sugli elementi dell’accelaratoreper mantenere e ottimizzare le performance dell’insieme.

Eventuali malfunzionamenti dei vari sottosistemi vengono segnalatiin tempo reale

Collisori particella-antiparticella

Particella-antiparticella circolano in versi opposti nello stesso anello (es. ADONE)

Vantaggio rispetto ad un fascio contro una targhetta fissa: stessa E nel centro di massa ma con molta meno E del fascio:

Collisore Targhetta fissa di e-

Per avere 1 GeV nel centro di massa: W = 1 GeVE1 = E2 =.5 GeV E = 1000 GeV

Vantaggio e+e- rispetto a p anti-p: e+e- puntiformi

212 EEW ≅ 222 tt mmEW +≅

Luminosità

• Numero di particelle prodotte nell’interazione:

• Limite principale sulla L: interazione fascio-fascioparticella di un fascio vede l’altro fascio come una lente

convergente oscillazioni di betatrone incontrollabilientro un certo limite

Vantaggio dei 2 anelli separati (DAΦNE)

ANNL

−+

∝σLuminosità

Sezione d’urto

Numero di particelle collidenti

Sezione trasversa dei fasci all’interazione

Se volete saperne di più….

CAS: CERN Accelerator School Proceedings : http://cas.web.cern.ch/cas/CAS_Proceedings.html

M. Sands, “The Physics of Electron Storage Rings”, SLAC Report 121 (1970)