Estudio de propagacion de ondas

acusticas en prominencias de bucle

solares

Israel Fetecua Soto *, Director: Benjamın Calvo Mozo**

Universidad Nacional de Colombia.Facultad de Ciencias.

Departamento de Fısica

Diciembre de 2008

Resumen

En el presente trabajo de tesis se reliza un desarrollo sobre la teorıade ondas magnetohidrodinamicas, en particular para el caso de ondaslentas (ondas acusticas) y se realiza un modelo sencillo de una prominenciade bucle en el cual es posible obtener propagacion de ondas acusticastipo-P con periodo de oscilacion de 5 minutos. Se obtienen longitudes ytemperaturas que se ajustan a la tabla publicada en De Moortel 2002basada en las observaciones del TRACE a 171 A. Se concluye que lasondas acusticas se propagan en la periferia de la prominencia donde latemperatura oscila entre 105 − 106 K.

Indice

1. Fenomenologıa solar superficial 2

2. Teorıa del sonido 4

3. Descripcion de la magnetohidrodinamica (MHD) 6

4. Ondas magnetohidrodinamicas 8

5. Descripcion 2D de prominencias de bucle 12

6. Ondas en prominencias de bucle 14

7. Conclusiones 17*132456, ifetecuas@unal.edu.co

**Profesor del Observatorio Astronomico Nacional

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1. Fenomenologıa solar superficial

Los fenomenos producidos en el Sol estan ligados fuertemente a factores de gen-eracion y transporte de energıa, presion, campos gravitacionales y magneticosque modulan la dinamica solar. Analisis de imagenes tomadas en distintas re-giones del espectro electromagnetico por observatorios terrestres y espacialeshan permitido realizar modelos de la estructura solar basados en cinco postu-lados basicos sustentados por la baja velocidad de rotacion solar y su formacasi esferica; estos son: equilibrio hidrostatico entre la fuerza gravitacional porunidad de volumen y el gradiente de presion, la continuidad de la masa, laecuacion de estado en el interior del Sol es casi ideal, la produccion de energıaen el nucleo dentro de 0,25R⊙ debida a la conversion de H en He4 mediante lacadena proton - proton y finalmente el trasporte de energıa el cual es radiativohasta 0,7R⊙ y luego convectivo hasta la superficie, llegando a ser radiativo denuevo en la fotosfera y la cromosfera.

Telescopios espaciales como el SoHO (Solar and Heliospheric Observatory, 1995)y el Trace (Transition Region And Coronal Explorer 1998) se han dedicadoa la exploracion de la atmosfera solar, su densidad, temperatura, evolucion,actividad, flujos de plasma y campo magnetico que permiten entender algunosfenomenos que suceden en esta region del Sol. Sus detectores se ocupan de laregion del espectro entre 150 - 5000 A donde suceden transiciones energeticasasociadas a temperaturas entre 103−106 K, con estos datos es posible determinarestados quımicos y fısicos involucrados en la atmosfera solar.

Figura 1. Telescopio espacial SoHO 1995. Tomada de

http://sohowww.nascom.nasa.gov/

La atmosfera solar esta dividida principalmente en fotosfera, cromosfera y coro-na. La fotosfera es la parte visble del Sol, su espesor esta entre 300 y 500 Km ysus temperaturas varıan desde 8000 K en el interior hasta 4500 K en su parte

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mas externa. El espectro continuo y las lıneas de absorcion debidas a las capas“frıas”mas externas observadas por espectroscopıa desde la tierra provienen dela fotosfera. A traves de ella se observa el proceso de conveccion como granuloscon diametros de aproximadamente 1000 Km sobre la superficie y las llamadasfaculas que son puntos brillantes de unos miles de kilometros producidos porconcentraciones de lıneas magneticas cerca de manchas solares y que tienen untiempo de vida de varios minutos.

La cromosfera esta 500 Km por encima de la fotosfera y no es facilmente visi-ble debido a que su radiacion es mas debil comparada con la producida por lafotosfera, en eclipses se hace visible a traves del espectro ”flash”donde se puedenidentificar mas de 3000 lıneas y su principal lınea de emision en Hα a 656,3 nmque permite ver flamas oscuras que bordean zonas de supregranulacion y que al-canzan alturas de hasta 10,000 Km llamadas espıculas y las plages (playas) queson zonas brillantes en forma de nube de miles de Km que usualmente apareceny desaparecen con las manchas solares.

La cromosfera a traves de una zona de transicion se va convirtiendo en la coro-na que se extiende varias veces el radio solar hacia el espacio interplanetario,esta compuesta en su parte interna por elementos altamente ionizados y en suparte externa por polvo. La ionizacion de esos elementos es posible solo si sutemperatura es de millones de Kelvin, una teoria postula que la energıa paracalentar la corona nace de ondas de choque provenientes de la superficie porefectos de granulacion y otra teorıa postula que nace a partir de la energıa lib-erada por reconexiones magneticas.

Existen fenomenos que traspasan las zonas atmosfericas antes mencionadas, porejemplo, las prominencias ( o filamentos cuando se observan dentro del disco so-lar) que se forman en regiones de polaridad magnetica opuesta en la fotosfera,alrededor de lıneas de campo magnetico de (3−30)∗10−4T en forma de cinta obucle y se extienden hasta la corona teniendo alturas de 105 Km y espesores de103Km. Estan compuestas por plasma con densidades de 1016 m−3 y temperat-uras de 104 K muy frıas comparadas con las temperaturas de la corona. Puedensubsistir por dıas o meses segun su estabilidad y tienen distintas geometrıas, es-tas son arcos estirados(Sheared arcade) y helicoidales, las helicoidales nacen delas primeras, a traves de reconexiones magneticas que permiten entorchamientosde las lıneas de campo magnetico, produciendo las formas helicoidales.

Los flares son explosiones violentas producidas en la corona y la cromosferaque pueden durar minutos liberando gran cantidad de energıa calentando elplasma a millones de grados kelvin y acelerando iones, protones y electrones avelocidades cercanas a las de la luz, emitiendo rayos x y ondas de radio. Estas

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explosiones suelen suceder alrededor de manchas solares y por ejemplo puede serla fase final de una prominencia que se vuelve muy inestable y su intenso campomagnetico emerge hacia el espacio interplanetario produciendo una eyeccion demasa coronal (C.M.E.) que lleva consigo emision en luz blanca, aunque no sesabe exactamente como funciona el mecanismo que los produce, estan ligadosfuertemente a las inestabilidades de campos magneticos.

Figura 2. Estructura general del Sol y su fenomenologıa. Extractada de [5].

2. Teorıa del sonido

Para entender la dinamica del sonido es necesario comprender los fundamentosde la mecanica de fluidos, dado que el sonido se produce por la perturbacion enpresion y densidad en un fluido compresible. Dentro de estos principios basicos,estan la continuidad de la masa y la ecuacion de Euler. Hay que resaltar, quenuestro estudio se realiza sobre entidades macroscopicas y que, por lo tanto,si nos referimos a un volumen infinitamente pequeno, estamos hablando de unvolumen que contiene varias moleculas del fluido y no solo una.

Para realizar una descripcion completa del estado de un fluido movil es nece-sario conocer la velocidad v = v(x, y, z, t), la presion p(x,y,z,t) y la densidadρ(x, y, z, t), estas magnitudes referidas al espacio y al tiempo de evolucion y no alas partıculas fijas del fluido. Veamos pues la continuidad de la masa: sea V0 unvolumen en el espacio, la masa de fluido encerrada en este volumen es

∫ρ dV y

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la masa de fluido que sale de V0 en una unidad de tiempo es∮

ρ v · df donde dfes un elemento de superficie que va en direccion normal hacia fuera del volumen;por lo tanto, la disminucion de la masa en el volumen V0 por unidad de tiempoes: − ∂

∂t

∫ρ dV igualando estas expresiones tenemos:∮

ρ v · df = − ∂

∂t

∫ρ dV (1)

Utilizando la formula de Green∮

ρ v · df =∫

div(ρv) dV en la ecuacionanterior y reordenando terminos tenemos:

∂ρ

∂t+ div(ρv) = 0 (2)

que es la ecuacion de continuidad de la masa valida para cualquier volumen.

Estudiemos ahora la fuerza que actua sobre un volumen dentro del fluido, quese ve afectado por su alrededor, esta sera: −

∮p df escrita como integral de

volumen (ecuacion de Green) tenemos:

−∮

p df = −∫

grad p dV (3)

De esta ecuacion se puede observar que sobre una unidad de volumen, se ejerceuna fuerza − grad p. Con esta informacion podemos hallar una ecuacion demovimiento para el fluido, a traves, de la ecuacion de Newton para una densidadde masa ρ que se acelera debido a la fuerza ejercida por − grad p.

ρdvdt

= − grad p (4)

En esta ecuacion la dvdt esta referida a una partıcula determinada del fluido,

por lo tanto, es necesario realizar un traslacion de este termino a funciones quese refieren a puntos fijos en el espacio; de este proceso nacen dos terminos, elprimero es (∂v

∂t )dt, donde la derivada se refiere a un punto determinado en elespacio. Y el segundo termino es:

dx∂v∂x

+ dy∂v∂y

+ dz∂v∂z

= (dr · grad)v (5)

Tenemos entonces que el termino dv/dt es:

dvdt

=∂v∂t

+ (v · grad)v (6)

Finalmente reemplazando en la ecuacion de movimiento y generalizando para uncaso con campo gravitacional obtenemos la ecuacion de Euler que es la ecuacionde movimiento de un fluido.

∂v∂t

+ (v · grad)v = −1ρgradp + g (7)

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Estas ecuaciones son validas para fluidos ideales, es decir, para sistemas en losque no se disipa energıa y por lo tanto, se tiene una condicion adiabatica o seaS = const ası tenemos que la ecuacion termodinamica dω = Tds + V dp queda:

dω = V dp = dp/ρ (8)

Entonces se tiene que (grad p)/ρ = grad ω al reemplazar en la ecuacion deEuler, tenemos la ecuacion adiabatica que da razon de la termodinamica

∂v∂t

+ (v · grad)v = −grad ω (9)

Con las ecuaciones de continuidad de la masa, de Euler y adiabatica se tiene unsistema completo de ecuaciones de la dinamica de fluidos.

Hemos dado la base al estudio de la dinamica de fluidos; ahora pasemos alcaso particular de fluidos compresibles en los cuales se pueden dar pequenasoscilaciones y por lo tanto variaciones pequenas de la presion y la densidad, deesta forma, podemos escribir la presion y la densidad de la siguiente forma

p = p0 + p′ ρ = ρ0 + ρ′ (10)

Donde p0 y ρ0 son la presion y la densidad en equilibrio y p′ y ρ′ son susvariaciones, reemplazando p y ρ en la ecuacion de continuidad (ec. 2) se tiene

∂ρ′∂t

+ ρ0 div v = 0 (11)

En esta ecuacion se han despreciado las cantidades de segundo orden (siendode primer orden: ρ′, p′, y v) y se ha tenido en cuenta que la velocidad espequena comparada con la velocidad del sonido debido a que las oscilacionesson pequenas. Se puede ahora reemplazar la presion y la densidad en la ecuacionde Euler (ec. 7) obteniendo

∂v∂t

+ (1/ρ0)gradp′ = 0 (12)

Como una onda sonora en un fluido ideal es adiabatica, se tiene la siguienterelacion entre presion y densidad:

p′ = (∂p/∂ρ0)sρ′ (13)

De igual forma podemos describir la velocidad a partir de un potencial de ve-locidades φ que cumple v = grad φ, al expresar la velocidad de esta forma yreemplazando la ecuacion anterior en las ecuaciones de continuidad y de Eulerse obtiene la siguiente ecuacion de onda

∂2φ/∂t2 − (∂p/∂ρ)s∇2φ = 0 (14)

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Que representa una onda sonora con velocidad c =√

(∂p/∂ρ)s. Podemos derivarcon respecto del tiempo la ecuacion de onda para el potencial de velocidades yobtener una ecuacion de onda para la presion que nos muestra como el sonidonace y se propaga a traves de variaciones de presion. Supongamos ahora unaonda plana (que depende unicamente de la coordenada x), su solucion es de laforma

φ = f1(x− ct) + f2(x + ct) (15)

f1(x− ct) representa una onda plana movil que viaja en direccion positiva de xy f2(x + ct) una onda movil en direccion negativa de x, donde c es la velocidaddel sonido y la velocidad se propaga en direccion x debido a que vx = ∂φ/∂t,por esto, se dice que la onda sonora en un fluido es longitudinal.

3. Descripcion de la magnetohidrodinamica (MHD)

En un fluido (ya sea lıquido o gaseoso) conductor en presencia de un campomagnetico, se crean fuerzas que nacen de la interaccion entre el fluido conduc-tor y el campo magnetico, que van a afectar el movimiento del fluido y, porlo tanto, el campo magnetico se ve afectado por el cambio en el movimientodel fluido. Fluidos de este tipo se encuentran en los tubos fluorescentes, en lostelevisores de plasma, en las auroras boreales y en el Sol; todos estos fluidos sonplasmas que en presencia de campos magneticos son susceptibles de ser explica-dos mediante la MHD. Para describir un sistema de este tipo es necesario utilizarlas ecuaciones de campo que describen las interacciones electromagneticas y lasecuaciones de la hidrodinamica.

Con respecto de las ecuaciones de Maxwell se tiene

rot H = µ0j , rot E = −∂H/∂t div j = 0 , div H = 0 (16)

donde hemos supuesto que no existen oscilaciones de alta frecuencia en el flui-do y por lo tanto no existen corrientes de desplazamiento de Maxwell, tambienque la permeabilidad en nuestro estudio se puede aproximar a la unidad, por lotanto µ = µ0 = 1 y que σ la conductividad es constante en todo el medio y porlo tanto el camino libre medio de los electrones debe ser pequeno comparadocon el radio de curvatura de su trayectoria en el campo magnetico.

Si el fluido se encuentra en movimiento, existe entonces una densidad de cor-riente asociada a la velocidad v del medio, que se encuentra afectado por elcampo E+v×H. Segun la ley de Ohm para este medio se tiene que la densidadde corriente es

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j = σ(E + v ×H) (17)

Si despejamos de la ecuacion de Ohm el campo electrico y lo reemplazamos en laecuacion de Faraday que nos dice como varıa el campo magnetico en el tiempodebido a la existencia de corrientes obtenemos la siguiente expresion

∂H∂t

= ∇× (v ×H− ∇×Hσµ0

) (18)

Si utilizamos ahora en esta ecuacion la siguiente propiedad del algebra vectorial∇× (∇× F ) = ∇(∇ · F )−∇2F se tiene

∂H/∂t = rot (v ×H) +1

µ0σ∇2H (19)

En esta ecuacion se observa la variacion del campo magnetico en el tiempo de-bido principalmente a dos factores, el primero nos dice que el campo se modificacomo si las lıneas de fuerza fuesen arrastradas con el movimiento de la materiay el segundo termino tiene la forma de una ecuacion de difusion con 1

µ0σ la di-fusividad magnetica, por lo tanto, el campo disminuye de un punto a otro en elmedio a traves del tiempo; Por ejemplo, el tiempo de decrecimiento espontaneodel campo en una esfera de cobre de 1 metro de radio es menor a diez segundos,mientras que el del campo magnetico solar total es de 1010 anos. En estudiosastrofısicos donde las longitudes son grandes comparadas con las que se puedendar en el laboratorio es el primer termino de la derecha de la ecuacion el quedomina su comportamiento, dado que la relacion RM = LV/η (donde RM esel numero de Reynolds magnetico) es mucho mayor que la unidad, es decir, eltermino difusivo es poco relevante.

Para lograr una descripcion de la fenomenologıa en la MHD es necesario teneren cuenta las ecuaciones de la hidrodinamica. La ecuacion de continuidad

∂ρ/∂t + div(ρv) = 0 (20)

y la ecuacion de movimiento del fluido viscoso dada por la ecuacion de Navier-Stokes que tiene en cuenta tanto la fuerza electromagnetica ejercida sobre unaunidad de volumen del fluido conductor como la fuerza gravitacional

ρ(dv/dt) = −grad p + ρg + F + j×H (21)

Donde la derivada representa la derivada convectiva

d/dt = ∂/∂t + v · grad (22)

En esta ecuacion de movimiento el termino F es la fuerza viscosa por unidad devolumen y se puede expresar de la siguiente forma

F = ρν4v (23)

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Donde ν es la viscosidad cinematica; para problemas en los que se trabajancon masas grandes, como los problemas referentes a la astrofısica es posibleprescindir de F. En lıquidos compresibles o en gases es necesario tener en cuentala ecuacion termica

ρdU

dt=

p

ρ

dρ

dt+ ε (24)

Aquı U es la energıa interna y ε representa el calor por unidad de tiempo y porunidad de volumen, debido a la conduccion termica, la viscosidad y el flujo decorriente electrica, aunque el efecto de conduccion termica es el mas relevantey se puede expresar ası

ε = λ4T (25)

En esta ecuacion, λ es la conductividad termica y T la temperatura. Las ecua-ciones de Maxwell, las de la hidrodinamica y la termica nos ofrecen una descrip-cion completa de los fenomenos magnehidrodinamicos en lıquidos o en gases.

4. Ondas magnetohidrodinamicas

Al realizar pequenas perturbaciones en un medio conductor homogeneo que seencuentra en presencia de un campo magnetico H0 es posible obtener ondasmagnetohidrodinamicas. Consideremos en primera aproximacion que la viscosi-dad, la conductividad calorıfica y la resistencia electrica son despreciables, paraun sistema de este tipo las ecuaciones de la magnetohidrodinamica que se de-scribieron en el capıtulo anterior se pueden escribir de la siguiente forma

div H = 0 (26)

∂H/∂t = rot (v ×H) (27)

∂ρ/∂t + div (ρv) = 0 (28)

∂v/∂t + (v · grad)v = − grad P/ρ + [(rot H)×H]/ρ (29)

Observemos que el termino difusivo se omitio en la segunda ecuacion, dado quenuestro problema sera de tipo astrofısico, donde las distancias son grandes ylos campos no son tan intensos. Como el sistema que estamos estudiando es nodisipativo, entonces la ecuacion termodinamica es simplemente s = constanteun sistema isoentropico.

Perturbar el medio, descrito por las ecuaciones anteriores es basicamente realizarpequenas variaciones en el campo magnetico, presion y densidad alrededor deun punto de equilibrio, es decir,

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H = H0 + h, ρ = ρ0 + ρ′, P = P0 + P ′ (30)

Como el movimiento es isoentropico entonces existe la siguiente relacion entrepresion y densidad P ′ = (∂P/∂ρ)sρ′ donde (∂P/∂ρ)s es u2

0 el cuadrado de lavelocidad del sonido en el medio, de esta manera, las ecuaciones que obtenemospara el sistema perturbado son las siguientes

div h = 0, a) ∂h/∂t = rot (v ×H) b) (31)

∂ρ′/∂t + ρ div v = 0 (32)

∂v/∂t = −(u20/ρ) grad ρ′ − (H× rot h)/ρ (33)

En la ultima ecuacion se ha tenido en cuenta que la velocidad v es pequena yque representa las variaciones en la velocidad para lo cual en el equilibrio v = 0,ademas se puede observar que la primera ecuacion a) es consecuencia de b),por lo tanto solo tendremos en cuenta la ecuacion b). Supongamos ahora quelas soluciones de este conjunto de ecuaciones, vienen dadas por ondas planas dela forma ei(k·r−ωt). Al expresar las varibles v, h, ρ′, como ondas planas y re-solviendo el sistema de ecuaciones anterior, obtenemos las siguientes ecuaciones

−ωh = k× (v ×H), a) ωρ′ = ρk · v b) (34)

−ωv + (u20/ρ)ρ′k = −H× (k× h)/ρ (35)

En las anteriores ecuaciones la a) muestra que la direccion de h debe ser per-pendicular a la direccion de k que es el vector de onda y que podemos definiren la direccion del eje x; ahora definamos tambien que el plano en el que se en-cuentran H y k sea el plano xy. Como H esta en el plano xy, quiere decir que lacomponente Hz es nula, esto sera importante en el desarrollo de las ecuacionesy en el estudio fısico. Introduzcamos ahora la velocidad de fase de la onda como

u = ω/k (36)

Al resolver el sistema de ecuaciones anterior componente a componente se ob-tiene

uhz = − vzHx, uvz = − Hxhz/ρ (37)

uhy = vxHy − vyHx, uvy = − Hxhy/ρ (38)

vx(u − u20/u) = Hyhy/ρ (39)

El primer conjunto de estas ecuaciones tiene como variables solo vz y hz, y elsegundo conjunto tiene como variables hy, vx y vy, es decir, la propagacion en

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cada conjunto de ecuaciones es independiente el uno del otro. La perturbacionen densidad esta ligada con vx por medio de la relacion ρ′ = ρvx/u que sededuce facilmente de las ecuacion ωρ′ = ρk · v si tenemos en cuenta que k vaen direccion x. Para que el primer conjunto de ecuaciones sea compatible, esnecesario que

u ≡ u1 = Hx/√

ρ (40)

Segun esta primera solucion, hz oscila perpendicularmente a la direccion depropagacion de la onda, y al campo constante H0. De la ecuacion uhz = − vzHx

se observa tambien que vz oscilan con hz. La relacion de dispersion serıa

ω = H · k/ρ (41)

Veamos ahora que la velocidad de grupo que sera la velocidad fısica de propa-gacion de las ondas esta dada por:

∂ω/∂k = H0/√

ρ (42)

La velocidad de grupo no depende de k y va en direccion de H0.

Analicemos ahora el segundo y tercer conjunto de ecuaciones, al realizar algu-nas operaciones algebraicas, podemos reescribir estas ecuaciones en una solaecuacion de la forma

(u2 − u20)(u

2 − H2x

ρ) =

u2H2y

ρ(43)

Esta es una ecuacion de orden cuarto o bicuadrada de la forma x4 + p x2 + q = 0cuya solucion viene dada por x = ± 1/2(

√(−p + 2

√q)±

√(−p− 2

√q)). En

nuestro caso, las soluciones son

u2,3 =12{

√(u2

0 +H2

ρ+

Hxu0√ρ

) ±

√(u2

0 +H2

ρ− Hxu0√

ρ)} (44)

Esta solucion, nos dice que existe oscilacion de hy, vx, vy y la densidad enel plano de H0 y k. Supongamos ahora un caso lımite en la solucion que en-contramos anteriormente, sea H2 � ρu2

0, al desarrollar esta aproximacion ennuestra solucion se obtiene que u2 = u0 y por lo tanto vy � vx lo que implicaque las ondas de este tipo son ondas acusticas que se propagan con velocidad u0.

En el mismo caso lımite se tiene que u3 es aproximadamente igual a u1 convx ' 0 y que vy ' −hy/ρ, como vemos, aquı los vectores se encuentran en elmismo plano de k y H.

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Si suponemos ahora un fluido incompresible, es decir, u0 →∞ se tiene solamenteuna solucion con dos direcciones de polarizacion que van a tener la siguienterelacion entre velocidad y campo magnetico oscilante

vA = − h/√

ρ (45)

Estas son las llamadas ondas de Alfven que se han oservado en la dinamica solary que surgen por que las lıneas de fuerza magnetica se comportan como lıneasde flujo, estas lıneas tienden a acercarse por la hidrodinamica, pero por la fuerzade campo magnetico se alejan y estas fuerzas opuestas crean oscilaciones quegeneran entonces dos tipos de ondas, unas de presion en las que varıa la presiony la densidad y otras magneticas dadas por la velocidad de Alfven, surgen ası lasondas ”magnetohidrodinamicas”.

Desde otro punto de vista podemos escribir la ecuacion 50 en terminos del anguloθ que forma el campo magnetico (que podemos fijarlo en la direccion z) con elvector de onda k obteniendo la siguiente ecuacion de dispersion

u4 − u2(u20 + v2

A)u20v

2A cos2 θ = 0 (46)

La soluciones de esta ecuacion se muestran en el siguiente grafico en coordenadaspolares.

Figura 3. Solucion general para ondas mhd

En esta figura se observan tres ondas, notadas por ondas lentas, ondas de Alfveny ondas rapidas, las ondas lentas estan asociadas a ondas de presion, de la figurase observa que cuando el vector de onda es paralelo al campo magnetico seproducen ondas lentas con velocidad Cs, es decir, ondas que se mueven a lavelocidad del sonido, estas ondas son ondas acusticas, ondas de presion que semueven a la velocidad del sonido en el medio.

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5. Descripcion 2D de prominencias de bucle

Entre la fotosfera y la corona se producen arcos compuestos por gas de plasmasimilar al que se encuentra en la superficie solar, es decir, plasma denso com-puesto principalmente por Hidrogeno y Helio parcialmente ionizados, confinadospor campos magneticos del orden de (3 − 30) ∗ 10−4 T, con densidades entre3 ∗ 1016 − 3 ∗ 1017m−3 y temperaturas del orden de 104 − 105 K. Nacen enregiones de polaridad magnetica opuesta y son perpendiculares a la lınea neutraque divide estas dos regiones, elevandose a alturas promedio de 100 Mm. Paraque esta estructura sea estable es necesario que β = PT /PM < 1, es decir,que la presion magnetica PM sea mayor que la presion termica del gas PT quese logra aproximadamente para alturas menores a un radio solar, para alturasmayores la prominencia se vuelve inestable y puede producir un fenomeno deflare.

Figura 4. Conjunto de prominencias tomadas por el Trace 171 A,Nov 9 2000.[1]

Hemos supuesto que la prominencia esta compuesta por gas de plasma, de acuer-do a la hidrodinamica de este planteamiento, podemos describir la densidadelectronica de la siguiente forma

ne(h) = n0 exp (− h

λT) (47)

Estamos diciendo aquı, que la densidad depende de la altura con respectode la superficie donde se encuentran los dos pies de la prominencia o arco yque decae exponencialmente, siendo n0 = 2 ∗ 1016 m−3 el valor de la den-sidad electronica en la base de la prominencia y λT = 47Mm ∗ (Te/1MK)la altura de escala termica. Esta escala surge de la escala de altura de pre-sion λp(Te) = 2KBTe/µmHg� = 47Mm(Te/1Mk) que se basa en la condicion

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de equilibrio hidrostatico dP/dr = −GM(r)ρ(r)/r2 para la cual λp = P/ρg�teniendo en cuenta que g� es el valor de la gravedad en la superficie solar a R�

Podemos ahora escribir la densidad media de la prominencia ası ρ = µ ne mH

donde µ = 1,27 es el peso atomico medio y viene dado por la relacion entre lascantidades de Hidrogeno y Helio H : He = 10 : 1, mientras que mH es la masadel Hidrogeno.

Hemos obtenido entonces una expresion para la densidad media de la promi-nencia en terminos de la altura que podemos parametrizar en terminos de lalongitud del arco (s); Es posible suponder distintas geometrıas para describirla prominencia, como la Sheared arcade o la semicircular, por simplicidad sesupondra que la geometrıa de la prominencia es semicircular y por lo tanto ladensidad se puede reescribir ası

ρ = µ n0 mH exp−(2L

πsin(

πs

2L)/λT ) (48)

Donde tenemos que la longitud total del arco es de 2L. Esta expresion repre-senta ahora un problema de 1D que sera lo que intentaremos resolver.

Figura 5. Lineas de campo magnetico para la aproximacion de campo dipolarlejano. [1]

El campo magnetico en cercanıas de la prominencia, se puede modelar suponien-do la existencia de una espira de corriente paralela a la superficie dentro de lafotosfera que producira lıneas de campo magnetico que salen de una de las re-giones de polaridad opuesta y llega a la otra, describiendo una geometrıa semi-circular que es precisamente la lınea de campo que produce el confinamiento delplasma. Si suponemos ahora la aproximacion de campo lejano para el dipolo setiene que la expresion para el campo magnetico dependiendo de la altura es

B(h) ' B0(1 +h

hD)−3 (49)

Donde hD = 75 Mm es la altura a la que se encuentra la espira y en la cual elcampo magnetico tiende a infinito. Valores usuales para B0 son 2 ∗ 10−3 − 2 ∗

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10−2 T. podemos ahora tambien parametrizar esta ecuacion en terminos de lalongitud de arco de la prominencia (s) ası

B(s) ' B0(1 +2L sin( πs

2L )πhD

)−3 (50)

Para que la prominencia se mantenga estable, es necesario que se mantengala relacion entre la presion magnetica y la presion termica, siendo esta ultimaPT = 2ξnekBTe donde ξ = 1, 0,5 si el gas esta total o parcialmente ionizadorespectivamente. Es de esperar entonces que mientras aumente la altura, dis-minuye la densidad y aumenta la temperatura. Un modelo analıtico, basado enun metodo numerico hidrostatico que busca mantener la conservacion del mo-mento y la energıa dentro de la prominencia es sugerido en Aschwanden (Pag97)

T (s) = Tmax(1− (L− s

L− s0)a)b (51)

Donde L es la longitud media de la prominencia, s0 = 1,3 Mm La altura de labase sobre la cromosfera, Tmax = 1MK y a, b coeficientes que dependen de L,Tmax, y sh la escala de altura para el calentamiento. Los parametros a y b sepueden expresar ası

a = a0 + a1(L

sh)a2 , b = b0 + b1(

L

sh)b2 (52)

Para valores de L = 40,000 Mm, sh = 4000,000 Mm, a0 = 2,098, a1 = 0,258,a2 = 1,565, b0 = 0,320, b1 = −0,009, b2 = 0,877, se obtiene coeficientes a =2,09819 y b = 0,31984.

Figura 6. Variacion de la temperatura con la altura. [1]

6. Ondas en prominencias de bucle

Para pensar en la propagacion de ondas en prominencias de bucle, es necesarioprimero tener en cuenta que estas ondas nacen escencialmente en el interiorsolar, en la zona de conveccion motivadas por las ondas que llegan desde laregion radiativa. Es natural pensar que existen ondas del tipo acustico en el Sol,

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dado que este es una gran esfera de gas que se mantiene en movimiento interno,donde hay ondas de presion a distintos periodos de oscilacion; el estudio deestas ondas ha dado paso a una nueva rama de la astronomıa solar llamadaheliosismologıa, que intenta develar la estructura interna del Sol mediante elestudio de ondas tipo-p (ondas de presion).

Figura 7. Modos normales de oscilacion asociados a modos-p en el Sol

Desde 1960 se ha conocido la existencia de estas oscilaciones. Actualmente elGOLF (Global Oscillation at Low Frequencies) a bordo del SoHO ha mostradoque existen ondas tipo-P (ondas de presion) con un periodo de oscilacion de 5minutos y que estas oscilaciones se dan a nivel global en cercanıas de la superfi-cie solar y son las mas representativas. Se supone que estas ondas se propaganen el interior solar, llegan a la superficie y por el cambio en la temperatura,la densidad y la velocidad del sonido se producen ondas de choque que no per-miten que las ondas se propagen mas alla de la superficie. Recientes estudios hanmostrado que existen oscilaciones en la atmosfera solar transmitidas probable-mente desde la superficie solar por medio de las prominencias de bucle y otrasestructuras que confinan plasma por la accion de lıneas de campo magnetico.Se realizara entonces un modelo sencillo para una prominencia y se observara sies posible tal situacion.

En el capıtulo anterior, observamos que las prominencias de bucle son en escen-cia, plasma confinado por campos magneticos, esta situacion es entonces suscep-tible de ser explicada mediante la teorıa de la MHD, que vimos en el capıtulo 3.En el capıtulo 4 se observo que a traves de perturbaciones en presion, densidady campo magnetico en un medio isoentropico es posible obtener propagacion deondas acusticas y ondas de Alfven. En el estudio de ondas acusticas se obtuvouna condicion entre la densidad, la velocidad del sonido en el medio y el campomagnetico.

H2 � ρu20 (53)

Recordemos que la presion total dentro del bucle esta dada por una presion delgas y una presion magnetica.

P = Pgas +H2

8π(54)

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Tambien que la expresion para el cuadrado de la velocidad del sonido en unmedio isoentropico es u2

0 = (∂p/∂ρ)s = 2KBT/mHµ. Aquı la presion se refierea la presion del gas, ya que no tiene sentido hablar de la variacion en densidadde la presion magnetica, es necesario aclarar tambien que esta expresion es paraun gas totalmente ionizado.Supongamos entonces un tubo vertical formado por lıneas de campo magnetico,dentro de el existen ciertos valores de campo magnetico B0, densidad ρ0, ypresion p0 y fuera de el otras condiciones Be, ρe, pe y que esta estructura esta enequilibrio.

Figura 8. Tubo magnetico como modelo de una prominencia de bucle. [1]

En la aproximacion para ondas acusticas se tendra entonces que las ecuacionesde continuidad y momento son

∂ρ∂t = −ρ0∇ · v, ρ0∂v∂t = −c2s∇ρ (55)

Si derivamos con respecto del tiempo la primera de las ecuaciones anteriores eintroducimos en su resultado la ecuacion de momento tendremos

∂2ρ∂t2 = c2s∇2ρ (56)

una ecuacion de onda en densidad, si suponemos ahora que esta ecuacion deonda tiene nodos en los puntos finales del tubo, podemos encontrar las siguientessoluciones

v(s, t) = A cos(nπcs

Lt) sin(

nπ

Ls) (57)

ρ(s, t) = −Aρ0

cssin(

nπcs

Lt) cos(

nπ

Ls) (58)

Que representan soluciones armonicas, donde se observa un desfase entre lavelocidad y la densidad, lo que sugiere la popagacion de ondas acusticas, conperiodo de oscilacion

T = L/nCs (59)

Para un gas adiabatico totalmente ionizado se tiene que la velocidad del sonido

es Cs =√

γ2KBTµmH

= 147√

T1MK Donde hemos normalizado la temperatura a

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1 MK. Supongamos ahora que el periodo de oscilacion es de 5 minutos y ob-servemos si es posible obtener modos normales de oscilacion, con dimensiones ytemperaturas parecidas a las de una prominencia de bucle usual.

Tabla 1. Temperatura Vs Longitud media de la prominenciaT (MK) L(Mm)

1 550.8 490.6 430.4 350.2 250.05 13

Grafica 1. Posibles condiciones para oscilacion de 5 minutos

Observaciones obtenidas a traves del Trace a 171 A entre 1998− 2001 de variasprominencias de bucle fueron procesadas y se encontraron valores tıpicos parala velocidad del sonido, longitud y periodo de oscilacion (De Moortel 2002 [8])

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Tabla 2. Datos tıpicos para ondas acusticas en prominencias de bucle

Figura 9. Observacion de ondas acusticas realizadas por el TRACE a 171 A el13 de junio de 2001. El segmento marcado como BT es un segmento del la

prominencia. [8]

Comparando los valores que se encuentran en la tabla 2 con los obtenidos enla grafica 1 y la tabla 1 se observa que existe la posibilidad de propagacion deondas con periodo de 5 minutos y que el quinto modo de oscilacion (lınea azuloscuro) es el que mejor se ajusta a los datos. La grafica proporciona una escalade temperaturas entre los 0,01 − 1 MK, lo que significa que estas ondas sepropagan por el borde de la prominencia, dado que es en la periferia donde lastemperaturas logran esos valores, en zonas mas internas, es probable que existanoscilaciones con otros periodos de oscilacion pero este breve estudio no es capazde concluır sobre su comportamiento.

7. Conclusiones

Existe la propagacion de ondas acusticas en prominencias de bucle solares sus-tentada por la teorıa MHD.Es posible determinar la propagacion de ondas acusticas tipo - P en la periferiade una prominencia de bucle para temperaturas entre 105 − 106 K.El quinto modo normal de oscilacion de ondas tipo - P con periodo de oscilacionde 5 minutos es el que mejor se ajusta a los datos observacionales.

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Referencias

[1] Aschwanden Markus, Physics of the solar corona, Springer-Praxis, 2004.

[2] Landau L. D., Mecanica de los fluidos, Reverte, 1991.

[3] Landau L.D., Electrodinamica de los medios continuos, Reverte, 2002.

[4] Cowling T.G., Magnetohidrodinamica, Editorial Alabama, 1968.

[5] Karttunen Hannu, Fundamental astronomy, Springer, quinta edicion, 2006.

[6] Denisse J.F., Delcroix J.L., Teorıa de las ondas en los plasmas, EditorialAlhambra, 1968.

[7] Spirous Patsourakos, SoHO contribitions to prominence science, Solarphysics 208: 253− 281, 2002.

[8] De Moortel, I., Ireland, J., Walsh, R W., Longitudinal intensity oscillationsin coronal loops observed with trace, Solar physics, 209: 61− 88, 2002.

[9] Hindman Bradley. W., The generation of coronal loop waves below the pho-tosphere by p-mode forcing, Astrophysical journal 677: 769− 780, 2008.

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