Esercizio n.16

Dare un limite massimo all’errore commesso:

a) alla seconda iterazione col metodo Newton-Raphson per risolvere la x3 + 2x2 + 10x 20 = 0, partendo da x0 = 1.5

b) alla quarta iterazione per risolvere la x3 + 2x2 + 10x 20 = 0, scrivendola come x = x/2 + (20 x3 2x2 )/20 e partendo da x0 = 1.5

Si consideri che la radice esatta si trova in [1,1.5]

Soluzione n.16a

f (x) = x3 + 2x2 + 10x 20; f (x) = 0; x0 = 1.5

n x n f (x n ) f ' (x n ) h n cifre dec. esatte Risultato

0 1.5000 2.8750 22.7500 -0.1264 0 1.5 ± 0.11 1.3736 0.1012 21.1547 -0.0048 2 1.374 ± 0.0052 1.3688 -0.0001 21.0960 0.0000 4 1.3688 ± 0.00005

Metodo di Newton-Raphson

Essendo f (x) = 3x2 + 4x + 10 (parabola senza inters. con l’asse x) ed f (x) = 6x + 4 si ha che, in [1,1.5],

17

13

)1(

45.16

)1(

46

ff

x

f

f

Dunque m = |(13/17) h1| = 0.0037 < 1 per cui si può applicare il teorema sull’errore del

metodo iterativo il quale afferma che m

hm

mx nn

111

Nel nostro caso n = 2 e l’errore d’arrotondamento in tutti i valori hn è = 5105, dunque: 555

5

12 108.6100.5108.19963.0

1050037.0

hx

(poichè f (x) ha il minimo assoluto in 2/3 e in [1,1.5] ha il minimo relativo in 1).

Soluzione n.16b

F(x) = x/2 + (20 x3 2x2 )/20 ; x = F(x) ; x0 = 1.5

Metodo iterativo

Essendo, in [1,1.5], |F (x)| |10 3x2 4x|/20 |F (1.5)|/20 = 11/80 = m ed essendo gli errori d’arrotondamento sulle F(xn), = 5 105 possiamo applicare la

diseguaglianza

mxx

m

mx nnn

11 11

che per n = 3 fornisce:555

5

344 104.7108.5106.169

10580

69

11

xxx

n x n F (x n ) x n+1 - x n

0 1.5 1.3562 -0.14381 1.3562 1.3694 0.01322 1.3694 1.3687 -0.00073 1.3687 1.3688 0.00014 1.3688 1.3688 0.0000