ESERCIZIO 1

Soluzione

Per stabilire quanto deve valere Rx, dato che ho la tensione massima chedeve cadere ai suoi capi (20V), e sufficiente calcolare quanto vale la correnteche la attraversa. Questa corrente e la stessa che passa attraverso il diodo,infatti i due componenti sono in serie. Una volta conosciuta I, dalla leggedi Ohm ricavo la Rx come Rx=V/I=20/I. Inoltre, anche se ho un segnaledi tensione sinusoidale, mi serve solo conoscere il suo valore massimo persvolgere l’esercizio: infatti avro il massimo della caduta di tensione su Rxin corrispondenza del massimo di tensione in ingresso, ovvero 220 V. Percalcolare la corrente, devo sapere quale e la caduta di tensione ai capi deldiodo. Poiche so che la tensione che cade ai capi della serie di diodo+Rxe 220V, e che quella ai capi di Rx deve essere 20V, ho che ai capi del miodiodo avro 200V. Attenzione pero, perche questo diodo non e ideale, quindidevo tener conto della resistenza serie. In pratica, questi 200 V cadono aicapi del sistema diodo ideale + resistenza serie,come mostrato nella Figura1. Ho quindi

V(D+Rs) = VD + RsI = VD + 104I = 200 V

dove VD e la tensione ai capi del solo diodo IDEALE. Per calcolarla uso lasolita formula:

VD =kT

qln

I

IS

1

Figura 1:

ottengo quindi l’equazione:

V(D+Rs) = VD + RsI = VD + 104I = 200 V =kT

qln

I

IS

+ 104I

La mia incognita qui e solo I, ma poiche appare sia fuori che dentro illogaritmo devo risolvere l’equazione per iterazioni successive. Posso sia ipo-tizzare un valore iniziale per la corrente, sia per la tensione, e poi ricavarel’altro parametro. Per esempio, ipotizziamolo per la tensione. Un valoreragionevole e V I

D = 0.7 V , da cui si ottiene

II ≃ IS(e0.7q

kBT ) = 10−12(e0.7

0.0259 ) = 10−12 · 5.75 · 1011 = 0.575 A

questo valore lo metto dentro il logaritmo dell’equazione precedente

V(D+Rs) = VD + RsI = VD + 104I = 200V =kT

qln

II

IS

+ 104I

e ottengo quindi un nuovo valore per I.

200V =kT

qln

II

IS

+ 104III

III = 0.0199 A

i due valori di corrente sono troppo diversi per potermi fermare, devo fareun’altra iterazione. Calcolo ancora una volta la corrente, che sara IIII , dallaformula

200V =kT

qln

III

IS

+ 104IIII

ottengo il valore IIII = 0.0199 A, che e uguale a quello trovato in prece-denza, quindi mi posso fermare. La tensione e data da

V IID =

kT

qln

IIII

IS

= 0.0259ln19.9 · 10−3

10−12= 0.613 V

2

Ho trovato quello che mi serve per dimensionare Rx: ho la corrente I, quindi

VD = RxI → Rx = VD/I =20

19.9 · 10−3= 1003Ω

Il testo ci chiede adesso di determinare il drogaggio massimo della zonameno drogata per avere solo IS durante la semionda negativa. Notiamoche durante la semionda negativa significa semplicemente quando il diodoe polarizzato in inversa. In questa condizione, il diodo fa passare sempresolo IS , a meno che non vada in breakdown! infatti, se va in breakdown,inizia a condurre una corrente elevata. Come si lega questo al drogaggio?A pagina 124 dello Sze abbiamo un grafico di VB , tensione di breakdown,in funzione del drogaggio del lato MENO DROGATO, nel grafico indicatocon NB , che nel nostro caso sarebbe ND. Dobbiamo vedere quanto vale latensione inversa con cui polarizziamo il diodo, per poter sapere quanto puovalere al massimo ND. Poiche la mia tensione in ingresso varia tra +220 e-220V, so che nel peggiore dei casi avro -220 volt di polarizzazione inversa.La giunzione va in breakdown per questo valore se ND > 2 ·1015cm−3, comesi puo notare dal grafico.

L’ultima cosa da calcolare e l’area del diodo. Poiche ho IS , devo calco-

lare JS , e poi l’area si ottiene da A =IS

JS

. La JS e data dalla somma delle

densita di corrente degli elettroni e delle lacune. Poiche pero ho molte piulacune, posso trascurare la corrente degli elettroni:

JS ≃qDp

Lp

pn0 = qDp

Lp

ni2

ND

Mi mancano i valori di diffusivita e lunghezza di diffusione. Li vado a cercarenel solito grafico a pagina 40 dello Sze, ma mi accorgo che non conosco ilvalore di NA. So pero che ho a che fare con una giunzione p+n, quindi elecito supporre che NA sia circa 3 ordini di grandezza superiore a ND, quindi

ipotizzo NA = 1018cm−3, da cui ottengo Dp = 2cm2/s Lp =√

Dpτp =√

2 · 106cm2 = 0.001414cm La densita di corrente di saturazione risultaquindi:

JS ≃ 1.602 · 10−19[C]2[cm2/s]

0.001414[cm]

2.25 · 1020[cm−3]

2 · 1015[cm−3]

= 25.49 · 10−12[C

s · cm2] = 25.49 · 10−12[A/cm2]

L’area si calcola dunque come

A =IS

JS

=1012[A]

25.49 · 10−12[A/cm2]= 0.039cm2 = 3.9mm2

3

ESERCIZIO 2

Si calcolino i parametri di piccolo segnale (conduttanza differenziale, re-sistenza serie, capacita di giunzione, capacita di svuotamento) per un diodoa T=300K avente le seguenti caratteristiche:ND = NA = 1015cm−3

ǫr = 12ni = 1.5 · 1010cm−3

Wp = Wn = 200µmτp = τn = 1µsµn = 1000 cm2/V sµp = 400 cm2/V sA = 1.5mm2

VA = 0.6V

Soluzione

Siamo in condizioni di polarizzazione diretta, quindi il circuito equivalentee il seguente: La conduttanza differenziale G0 vale, come da formulario,

Figura 2:

G0 =q(IDC + IS)

kBTcon IDC = IS(e

qVDCkBT − 1) Posso calcolare immediata-

mente la corrente di saturazione inversa, ma prima verifico se il diodo e abase lunga, corta o nessuno dei due casi. Calcolo quindi le Lp,n

Dp =kT

qµp = 10.4cm2/s

Dn =kT

qµn = 26cm2/s

Lp =√

Dpτp = 3.22 · 10−3cm

4

Ln =√

Dnτn = 5.1 · 10−3cm

Mi servono i valori di xn,xp che saranno uguali e pari alla meta di W, inquanto la giunzione e simmetrica. Calcolo W con la solita formula

W =

√

2ǫs(NA + ND)(Vbi − VA)

qNAND

= 1.24 · 10−4cm

xn = xp =W

2= 0.62 · 10−4cm

Wn −xn = Wp −xp = 200 ·10−4 −0.62 ·10−4cm ≃ 200 ·10−4cm = Wp = Wn

Il diodo e sicuramente a base lunga sul lato n, perche

Wn = 200µm = 200 · 10−4cm = 20 · 10−3cm > 6Lp

(siamo in diretta quindi non rischio di aumentare troppo W a causa dellapolarizzazione) ma sul lato p ho

Wp = 200µm = 200 · 10−4cm = 20 · 10−3cm ≃ 4Ln

quindi devo vedere quanto vale coth(Wp − xp

Ln

). Svolgendo i calcoli ottengo

coth(Wp − xp

Ln

) ≃ coth(Wp

Ln

) = coth(20 · 10−3

5.1 · 10−3) = coth(3.92) = 1.000785

. posso aprossimare come 1, quindi base lunga. Risulta quindi

IS ≃ qAni2[

Dp

LpND

+Dn

LnNA

] = 4.5 · 10−12A

Mi manca IDC per calcolare G0. Per calcolarla devo tenere conto anche dellapresenza della resistenza serie, infatti la tensione applicata che ci da il testocade ai capi di un diodo non ideale, che ha in serie la sua Rs. Ho quindi

VA = VD + RSIDC =kT

qln(

IDC

IS

) + RSIDC

Va risolta per iterazioni successive, ma prima mi serve il valore di RS .

RS = ρn

Wn − xn

A+ ρp

Wp − xp

A=

1

qµnND

Wn − xn

A+

1

qµpNA

Wp − xp

A

Abbiamo tutto cio che ci serve per calcolarla

RS = (1

1.6 · 10−191000 · 1015+

1

1.6 · 10−19400 · 1015)200 · 10−4

1.5 · 10−2= 29.1Ω

5

Adesso posso calcolare IDC in maniera iterativa dalla formula

VA =kT

qln(

IDC

IS

) + RSIDC

Imponiamo un valore plausibile per IDCI , che metteremo dentro il logaritmo

per ottenere un nuovo valore di questa corrente. Ad esempio, poniamoIDC

I = 1mA, ottenendo

0.6 = 0.0259ln(10−3

4.5 · 10−12) + 29.1IDC

II

IDCII =

0.6 − 0.0259ln(0.22 · 109)

29.1= 3.58mA

Poiche IDCII e IDC

I non sono abbastanza simili, faccio un’altra iterazione

0.6 = 0.0259ln(3.58 · 10−3

4.5 · 10−12) + 29.1IDC

III

IDCIII =

0.6 − 0.0259ln(3.58·10−3

4.5·10−12 )

29.1= 2.7mA

Faccio ancora un’iterazione e ottengo

IDCIV = 2.6mA

Posso fermarmi qui, e quindi calcolo finalmente G0:

G0 =q(IDC + IS)

kBT=

2.6 · 10−3 + 4.5 · 10−12

0.0259= 0.1Ω−1 = 0.1S

La tensione VD che cade ai capi del solo diodo e data da

VD = VA − RSIDC = 0.6 − 29.1 · 2.6 · 10−3 = 0.52V

Il testo chiede anche di calcolare le capacita di svuotamento e di diffusione,che valgono

CJ =

√

(qǫs

2

NAND

NA + ND

1

Vbi − VD

Cd =q2

2kT(

Lp

ND

+Ln

NA

)eqVDkBT

E devo poi moltiplicarle per l’area del dispositivo (altrimenti trovo una ca-pacita per unita di area, in [F/cm2] ma a me serve una capacita in [F ]).Ottengo in definitiva

CJ · A = 3.99 · 10−10[F ] ≃ 400[pF ]

Infine, la capacita di diffusione

Cd·A =Aq2

2kT(Lppn0+Lnnp0)e

qVDkBT =

Aq2

2kT(

Lp

ND

+Ln

NA

)eqVDkBT = 8.39·10−8[F ] = 83.9[nF ]

6

ESERCIZIO 3

Si considerino due giunzioni pn: la prima e brusca simmetrica con NA =ND = 1017cm−3, mentre la seconda e a gradiente lineare, con NA−ND = kx.Stabilire quanto deve valere k affinche:

• A tensione applicata nulla, l’estensione della regione di svuotamentosia identica nei due casi

• La tensione di built-in sia identica nei due casi

Nelle condizioni trovate al punto precedente trovare quanto deve valere latensione applicata alla giunzione a gradiente lineare affinche la regione disvuotamento abbia un’estensione pari a quella della giunzione brusca contensione applicata nulla.

7

SVOLGIMENTO

Dobbiamo imporre Wbr=Wgr-lin

3122

k

V

qV

NdNaNdNa

qglbis

bbis −

− =⋅+ εε

Dobbiamo calcolarci le tensioni di buil-in delle due giunzioni

⋅

⋅=

⋅

⋅⋅=

=

===

−

−

1010

20

1717

2

102ln0518.0

102ln0259.02

2ln

2

835.010

1010ln0259.0ln

glgl

i

glglbi

ibrbi

kWkW

n

kW

qkT

V

Vn

NaNdq

kTV

Non è possibile calcolare direttamente il valore della tensione di built-in per la giunzione a GL. Nell’equazione, infatti, sia il valore Wgl

che il valore k risultano essere non noti

Come primo passo possiamo imporre Wgl=Wbr

( ) cm

VNdNaNdNa

qW bib

sbr

5217

1717

19

12

10482.1835.010

101010602.110053.12

2

−−

−

⋅≅+⋅⋅⋅=

=⋅⋅+= ε

Imponendo Wgl=1.482·10-5cm

( )kk

V glbi ⋅⋅⋅=

⋅

⋅⋅⋅= −−

−15

10

5

10741.0ln0518.0102

10482.1ln0518.0

Ricordiamo che

)10741.0ln(1057.1210255.3106.1

1085.89.1112)10741.0ln(0518.0

)10741.0ln(0518.0106.1

1085.89.111210255.3

12)10482.1(

122

1520

1519

1415

15

19

1415

35

3

kk

kk

kk

k

V

q

k

V

qV

NdNaNdNa

q

glbis

glbisbbi

s

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=⋅

=⋅

=⋅+

−

−−

−−

−

−

−−

−−

−−

ε

εε

Questa equazione può essere risolta attraverso iterazioni successiveSi attribuisce un valore iniziale a k1 e si determina il valore di k2

Si itera il processo fino a che i due valori non convergono

)10741.0ln(1057.12 11520

2 kk ⋅⋅⋅= −

k1 k2

1016 2.51·102

1Troppo distanti

2.51·1021 18.11·1021

18.11·102

120.59·1

021

20.59·102

120.75·1

021I due valori convergono

Abbiamo quindi determinato il valore di k richiesto dal problema

Che dimensioni ha k?

Precisazione sul valore iniziale k = 1016

Affinché si ottengano dei valori di k fisicamente sensati (cioè positivi) è necessario scegliere un valore iniziale che consenta di estrarre un logaritmo positivo. Dalla matematica sappiamo che:

10)ln( >⇔> xx

Dobbiamo quindi imporre la seguente condizione sull’argomento:

1515

15 1035.110741.0

1110741.0 ⋅>⇒

⋅>⇒>⋅⋅ −

− kkk

PUNTO 2Determinare k tale che la tensione di built-in sia identica nei due casi

Dovrà essere:

835.0102

ln0259.02835.02

ln2

10 =

⋅

⋅⋅⇒=

⇒= −−

gl

i

glbrbiglbi

kW

n

kW

qkT

VV

Ancora una volta abbiamo 2 incognite, per cui abbiamo bisogno di una ulteriore condizione

33

63

19

12

384.40310861.65

10602.1835.010053.11212

kW

kkkq

VW gl

biglsgl =⇒⋅≅

⋅⋅⋅⋅⋅== −

−ε

4222 314

143/2

710

3/20518.0835.0

10

3

10

3

101.1)1095.4(

1095.4

1084.403

102102

84.403

102

84.403

ln0259.02835.0

−⋅=⋅=

⋅=

⋅=⇒=⋅

⋅⋅⋅=

cmk

k

kekk

kk

PUNTO 3Nelle condizioni trovate al punto precedente, trovare quanto deve valere la tensione applicata alla seconda giunzione affinché la regione di svuotamento abbia identica estensione a quella della regione di svuotamento della giunzione brusca quando a questa non è applicata alcuna tensione

cmk

VV

qxglbis 53 10482.1)(12 −− ⋅=

−ε

422101.1

835.0−

−

⋅=

=

cmk

VV glbi

VV

V

V

V

Vq

x

x

x

x

xs

381.0453.0835.0

)835.0(453.0

)835.0(1018.710255.3101.1

)835.0(106.1

1085.89.1112)10482.1(

10482.1101.1

)835.0(12

1515

2219

1435

53

22

=−=−=

−⋅=⋅⋅

−⋅

⋅⋅⋅=⋅

⋅=⋅

−

−−

−

−−

−ε