Corso di Geometria 2010-11

BIAR, BSIR

Esercizi 6: soluzioni

Esercizio 1. a) Verificare con un calcolo diretto che il polinomio caratteristico di una matriceA di ordine due e` dato da:

pA(x) = x2 (trA)x+ detAdove trA (la traccia della matrice A) e` la somma degli elementi diagonali di A.b) Dati a, b R trovare una matrice di ordine due il cui polinomio caratteristico e` x2 + ax+ b.c) Sia A una qualunque matrice di ordine due con polinomio caratteristico pA(x) = x2. Di-mostrare che A2 = 0.

Soluzione. b) Si deve avere trA = a,detA = b, dunque, ad esempio A =(a b1 0

).

c) Si deve avere trA = detA = 0, dunque A e` del tipo A =(a bc a

)con la condizione

a2 + bc = 0. Si verifica che allora A2 = 0.

Esercizio 2. Sono date le matrici:

A1 =(

2 51 2

), A2 =

(0 61 5

), A3 =

(3 10 3

), A4 =

(1 22 4

).

Sia fi lendomorfismo di R2 rappresentato da Ai nella base canonica, i = 1, 2, 3, 4.a) Calcolare gli autovalori di ciascuna delle matrici date.b) Stabilire quali degli endomorfismi fi sono diagonalizzabili.c) Se fi e` diagonalizzabile, determinare una base di autovettori e la matrice associata a firispetto a tale base.d) Se Ai e` diagonalizzabile, determinare esplicitamente una matrice M invertibile e una matriceD diagonale tali che D = M1AiM .

1

Soluzione. Matrice A1. Autovalori distinti 3,3: sono tutti e due semplici, quindi f1 e` diag-onalizzabile (e A1 e` diagonalizzabile). Base di E(3) =

(51

), base di E(3) =

(11)

. Dunque

una base di autovettori e`(

51

),

(11)

, matrice associata D =(

3 00 3

). Se M =

(5 11 1

)e`

la matrice ottenuta incolonnando la base di autovettori, si avra` D = M1AM .

Matrice A2. Autovalori distinti 2, 3: sono due, semplici, quindi f2 e` diagonalizzabile (e A2

e` diagonalizzabile). Base di E(2) =(

31

), base di E(3) =

(21

). Dunque una base di autovettori e`(

31

),

(21

), matrice associata D =

(2 00 3

). Se M =

(3 21 1

)e` la matrice ottenuta incolonnando

la base di autovettori, si avra` D = M1AM .

Matrice A3. Un solo autovalore 1 = 3, con MA(3) = 2 ma MG(3) = 1. Dunque f3 none` diagonalizzabile (e A3 non e` diagonalizzabile).

Matrice A4. Autovalori distinti 0, 5: sono due, quindi f4 e` diagonalizzabile (e A4 e` diag-

onalizzabile). Base di E(0) =(

21

), base di E(5) =

(12)

. Dunque una base di autovettori e`(21

),

(12)

, matrice associata D =(

0 00 5

). Se M =

(2 11 2

)e` la matrice ottenuta incolon-

nando la base di autovettori, si avra` D = M1AM .

Esercizio 3. Sono date le matrici:

A1 =

2 1 11 2 11 1 2

, A2 =1 2 20 1 01 1 2

, A3 =2 1 00 2 1

0 0 2

.Sia fi lendomorfismo di R3 rappresentato da Ai nella base canonica, i = 1, 2, 3.a) Scrivere il polinomio caratteristico e calcolare gli autovalori di ciascuna delle matrici date.b) Calcolare la molteplicita` geometrica di ciascuno degli autovalori.c) Determinare quali degli endomorfismi fi sono diagonalizzabili.d) Se fi e` diagonalizzabile, determinare una base di autovettori e la matrice associata a firispetto a tale base.e) Se Ai e` diagonalizzabile, determinare esplicitamente una matrice M invertibile e una matriceD diagonale tali che D = M1AiM .

Soluzione. Matrice A1. Polinomio caratteristico x3+6x29x+4 = (x1)2(x4) totalmenteriducibile. Autovalori distinti 1, 4 con MA(1) = 2,MA(4) = 1. Si verifica che MG(1) = 2 e

2

MG(4) = 1. La somma delle molteplicita` geometriche e` 3: dunque f1 e` diagonalizzabile. Base

di E(1) =

110

, 101

, base di E(4) =11

1

. Base di autovettori:

B = 11

0

, 101

,11

1

.

Matrice associata rispetto a B: D =1 0 00 1 0

0 0 4

. Se M = 1 1 11 0 1

0 1 1

allora D = M1AM .Matrice A2. Polinomio caratteristico x(x 1)2 totalmente riducibile. Autovalori distinti

0, 1 con MA(0) = 1,MA(1) = 2. Si verifica che MG(0) = 1 e MG(1) = 2. La somma

delle molteplicita` geometriche e` 3: dunque f2 e` diagonalizzabile. Base di E(0) =

201

, base diE(1) =

110

,10

1

. Base di autovettori:

B =20

1

,11

0

,10

1

.

Matrice associata rispetto a B: D =0 0 00 1 0

0 0 1

. Se M =2 1 10 1 0

1 0 1

allora D = M1AM .Matrice A3. Polinomio caratteristico (x2)2. Un solo autovalore 1 = 2 con MA(2) = 3.

Si verifica che MG(2) = 1 dunque f3 non e` diagonalizzabile.

Esercizio 4. a) Trovare le radici del polinomio p(x) = x3 + 7x2 11x+ 5.b) Studiare gli autovalori e gli autospazi dellendomorfismo T di R3 definito da:

T

xyz

=2x+ 2y + zx+ 3y + zx+ 2y + 2z

.c) Verificare che T e` diagonalizzabile, e trovare una base di R3 formata da autovettori di T .

3

d) Se A e` la matrice associata a T rispetto alla base canonica, determinare un matrice diagonaleD e una matrice invertibile M tali che D = M1AM .

Soluzione. a) Le radici sono 1 = 1 e 2 = 5 e il polinomio si spezza p(x) = (x 1)2(x 5).b) Si verifica che il polinomio caratteristico della matrice canonica di T e` p(x) = x3 + 7x2 11x+5. Per la parte a), gli autovalori sono 1 e 5 e si ha MA(1) = 2,MA(5) = 1. Si ha MG(1) =

2 = MA(1) dunque T e` diagonalizzabile (secondo criterio). Base di E(1) =

101

, 012

,base di E(5) =

111

. Base di autovettoriB =

101

, 012

,11

1

.Matrice associata rispetto alla base canonica A =

2 2 11 3 11 2 2

. Possiamo prendere D =1 0 00 1 0

0 0 5

e M =

1 0 10 1 11 2 1

. Esercizio 5. Sia f lendomorfismo di R3 tale che:

f(e1) = e1 + 2e2 + 2e3,f(e2) = e1 + e2 + e3,f(e3) = e1.

dove (e1, e2, e3) e` base canonica di R3.

a) Scrivere la matrice associata a f rispetto alla base canonica e calcolare f

111

.b) Stabilire se f e` iniettivo.c) Dimostrare che f e` diagonalizzabile e trovare esplicitamente una base di autovettori.

Soluzione. a) Matrice canonica A =

1 1 12 1 02 1 0

. Si ha f11

1

=33

3

(in particolare,11

1

e`4

un autovettore associato allautovalore 3).

b) Esplicitamente, f

xyz

=x+ y + x2x+ y

2x+ y

. Si verifica che Kerf ha dimensione 1 e base 12

1

dunque f non e` iniettivo. In particolare, 0 e` un autovalore di f e E(0) = Kerf ha base

121

.c) Polinomio caratteristico x(x3)(x+1) e autovalori distinti 0, 3,1: sono tre, tutti semplici,

quindi f e` diagonalizzabile. Base di autovettori

121

,11

1

, 111

associati rispettivamentea 0, 3,1.

Esercizio 6. a) Per quali valori di k la matrice

0 k 01 0 10 1 0

e` diagonalizzabile?(Suggerimento: usare il fatto che se una matrice di ordine n ha n autovalori distinti, allora e`diagonalizzabile. )

b) Per quali valori di h la matrice

2 2h 40 1 h 20 0 1

e` diagonalizzabile?Soluzione. a) Il polinomio caratteristico e` x(x2 + 1 k). Se k 1 abbiamo il solo autovalore1 = 0; siccome rkA = 2 per ogni valore di k, otteniamo MG(0) = 1 per ogni k, dunque lasomma delle molteplicita` geomeriche vale 1, e A non e` diagonalizzabile.

Se k > 1 abbiamo tre autovalori distinti 0,k 1,k 1, tutti semplici, dunque A e`

diagonalizzabile. In conclusione, A e` diagonalizzabile se e solo se k > 1.b) Risulta che A e` diagonalizzabile se e solo se h = 2. Infatti, la matrice e` triangolare superiore,per cui gli autovalori sono gli elementi diagonali distinti, cioe` 1 = 1, con MA(1) = 2, e 2 = 2,con MA(2) = 1 (quindi 2 e` semplice). Applicando il secondo criterio, osserviamo che A e`diagonalizzabile se e solo se MG(1) = 2. Sappiamo che MG(1) = 3 rk(A I). Ora

A I =1 2h 40 0 h 2

0 0 0

,da cui

rk(A I) ={

2 se h 6= 21 se h = 2

5

In conclusione

MG(1) =

{1 se h 6= 22 se h = 2

e di conseguenza A e` diagonalizzabile se e solo se h = 2.

Esercizio 7. Sia A una matrice quadrata avente un solo autovalore R. Dimostrare che,se A e` diagonalizzabile, allora A = I dove I e` la matrice identita`.

Soluzione. Poiche A e` diagonalizzabile, la somma delle molteplicita` geometriche degli autovalorideve valere n (lordine della matrice). Siccome abbiamo un solo autovalore dovra` risultareMG() = n; daltra parte MG() = n rk(A I) e otteniamo rk(A I) = 0. Ma lunicamatrice di rango nullo e` la matrice nulla, quindi A I = O e necessariamente A = I.

Esercizio 8. Sia f il seguente endomorfismo di R4:

f

x1x2x3x4

=

4x1 + 2x3x2 + x4x1 + x3x2 + x4

.a) Verificare che gli autovalori distinti di f sono 0, 2, 3.

b) Verificare che f e` diagonalizzabile, trovando esplicitamente una base di autovettori.

Soluzione. a) La matrice canonica di f e` A =

4 0 2 00 1 0 11 0 1 00 1 0 1

e un calcolo mostra che ilpolinomio caratteristico e` x(x 2)2(x 3). Gli autovalori distinti sono 0, 2, 3 di cui solo ilsecondo e` multiplo: MA(2) = 2.b) Applicando il secondo criterio, basta osservare che MG(2) = 2 = MA(2), dunque f e`diagonalizzabile. Si trova la base di autovettori:

0101

,

1010

,

0101

,2010

,dove il primo e` associato a 0, il secondo e il terzo a 2 e il quarto a 3.

6

Esercizio 9. Data N =(

1 11 1

), sia T lendomorfismo di Mat(2 2) definito da

T (A) = AN per ogni A Mat(2 2).

a) Scrivere esplicitamente T(x yz w

).

b) Scrivere la matrice associata a T rispetto alla base canonica di Mat(2 2).c) Stabilire se T e` diagonalizzabile.d) Esiste una matrice in ImT con determinante pari a 1?

Soluzione. a) Si ha per definizione

T

(x yz w

)=(x yz w

)(1 11 1

)=(x y x yz w z w

).

b) La matrice associata a T rispetto alla base canonica e` A =

1 1 0 01 1 0 00 0 1 10 0 1 1

.c) Il polinomio caratteristico di A e` pA(x) = x4 e abbiamo il solo autovalore nullo. PoicheMG(0) = 2, si vede che T non e` diagonalizzabile.

d) Limmagine di T e` generata dalle matrici(

1 10 0

),

(0 01 1

), dunque

ImT = {(a ab b

): a, b R}.

Risulta che ogni matrice di ImT ha determinante nullo, quindi la risposta e` negativa.Piu semplicemente, bastava osservare che ogni matrice dellimmagine di T e` un prodotto

AN : dunque ha determinante nullo, poiche det(AN) = detA detN = 0.

Esercizio 10. Trovare un endomorfismo f di R2 avente autovalori 1, 3 e tale che f(

10

)=(

21

).

f e` unico?

Soluzione. Cerchiamo di determinare la matrice canonica di f , diciamo A =(a bc d

). Gli

autovalori di f (cioe` 1, 3) devono essere entrambi di molteplicita` algebrica 1 (spiegare perche).Dunque il polinomio caratteristico e`

(x 1)(x 3) = x2 4x+ 3,

7

da cui trA = 4, detA = 3. Otteniamo le condizioni:{a+ d = 4ad bc = 3

Ora f(

10

)=(ac

), e sappiamo che per ipotesi f

(10

)=(

21

). Dunque a = 2, c = 1 e quindi

b = 1, d = 2. Lunica matrice possibile e` dunque A =(

2 11 2

)(che verifica le condizioni). f e`

unico, e risulta

f

(xy

)=(

2x+ yx+ 2y

).

Esercizio 11. Sia f lunico endomorfismo di R2 tale che:f

(12

)=(

48

)f

(13

)=(13)

a) Verificare che f e` diagonalizzabile.

b) Calcolare f(

10

), f

(01

).

c) Trovare la matrice associata a f rispetto alla base canonica.

Soluzione. a) I vettori v1 =(

12

), v2 =

(13

)sono linearmente indipendenti e formano una base

di R2: dunque f esiste ed e` unico. Per ipotesi{f(v1) = 4v1f(v2) = v2

e B = (v1, v2) e` una base di autovettori associati rispettivamente agli autovalori 4 e 1. Dunquef e` diagonalizzabile, e la matrice associata a f rispetto alla base (v1, v2) e` D =

(4 00 1

).

8

b) Si ha(

10

)= 3v1 2v2 e

(01

)= v1 + v2 da cui

f

(10

)= 3f(v1) 2f(v2) =

(1430

)f

(01

)= f(v1) + f(v2) =

( 511

)

c) La matrice canonica di f ha colonne date da f(e1), f(e2), dunque e` A =(

14 530 11

).

Potevamo procedere anche nel modo seguente. Sappiamo che, se A e` la matrice canonica dif , e D e` la matrice associata rispetto alla base di autovettori B, allora si ha D = M1AM ,dove M e` la matrice di passaggio dalla base canonica alla base B, cioe` M =

(1 12 3

). Dunque,

poiche M1 =(

3 12 1

)si ha

A = MDM1 =(

14 530 11

).

Esercizio 12. Sia f un endomorfismo di R4 con autovalori 2, 2 e autospazi:

E(2) di equazione x1 + x2 x3 2x4 = 0, E(2) generato dal vettore

1001

.a) E` vero che f e` diagonalizzabile?b) Se f e` diagonalizzabile, determinare una base di R4 costituita da autovettori di f .

Soluzione. a) Osserviamo che E(2) ha dimensione 3 e E(2) ha dimensione 1. Poiche perdefinizione la molteplicita` geometrica di un autovalore e` la dimensione dellautospazio associato,si ha

MG(2) +MG(2) = 3 + 1 = 4,dunque f e` diagonalizzabile per il primo criterio.b) Una base di E(2) e` data da tre soluzioni indipendenti dellequazione che definisce E(2),

ad esempio

1100

,

1010

,

2001

. Una base di E(2) e`

1001

. Una base di autovettori si ottieneunendo le due basi trovate.

9

Esercizio 13. Spiegare perche non esiste alcun endomorfismo di R3 con autovalori 1, 3 eautospazi: E(1) di equazione x+ y z = 0, e E(3) di equazione x+ 2y + 3z = 0.Soluzione. Si avrebbe MG(1) + MG(3) = 4, e questo e` impossibile poiche la somma dellemolteplicita` geometriche degli autovalori non puo` mai superare la dimensione n (in questo caso3).

Esercizio 14. Calcolare la potenza kesima di ognuna delle seguenti matrici:

A1 =(

5 46 5

), A2 =

(a 00 d

), A3 =

(3 61 2

).

(Iniziare calcolando A2, poi A3...).

Soluzione. Osserviamo che A21 = I, A31 = A,A

41 = I... Dunque

Ak1 =

{A se k e` dispariI se k e` pari

.

Si ha poi Ak2 =(ak 00 dk

). Infine A23 = 5A3 e quindi A

k3 = 5

k1A3.

Esercizio 15. In R2 consideriamo le seguenti basi: BC = (e1, e2) (base canonica), B1 =((21

),

(32

)),B2 =

((31

),

(53))

. Calcolare

a) la matrice di passaggio M da BC a B1,b) la matrice di passaggio N da B1 a B2,c) la matrice di passaggio P da BC a B2.Quale relazione intercorre tra M,N e P?

Soluzione. a) M =(

2 31 2

).

b) Si ha: (

31

)= 3

(21

)(

32

)(53)

= (

21

)(

32

)dunque N =

(3 11 1

).

c) P =(

3 51 3

). Risulta P = MN .

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