ESERCIZI SVOLTI DI MECCANICA - Tiscali · PDF fileESERCIZI SVOLTI DI MECCANICA Questa dispensa...

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ESERCIZISVOLTIDIMECCANICA

Questa dispensa si propone di fornire allo studente l'anello di giunzione tra teoria edesercizio.difattinotocheimodellicreatidaifisicinelcorsodeisecolialfinedispiegareifenomeninaturalisiadattinopoiallasoluzionedisemplicifenomenireali.Laddovequindisiparladiunagocciachecadedaunrubinetto,possiamopensareaduncorpopuntiformechesimuovedimotorettilineouniformementeaccelerato,oppure,riferendociadunoggettochescivolasulghiaccio,possiamopensareadunasuperficieidealesenzaattrito.L'utilizzodiquestadispensaquindifinalizzatoinnanzituttoallacomprensionedeltestodiunesercizio,passaggiospessosottovalutatodaglistudentimadiimportanzafondamentale(consigliosempredileggereiltestodiunesercizioperalmeno5volte!Infattiinquestomodoriusciamoadavereunquadrocompletodellasituazionefisica),quindiall'inserimentodel fenomeno descritto all'interno di un problema specifico: grandezze cinematiche,dinamiche,corpoesteso,equilibrio..., edinfineall'applicazionedelmodellocorrettoconrelativicalcolimatematici.Unaverificachesuggeriscodisvolgere,qualoranoncisiricordidiunaformula,quelladelleunit di misura. Difatti sele unit di misuraai duemembridi un'equazionesonodifferenti,sicuramentel'equazionesbagliata. La dispensa fornisce alcuni esercizi, tratti da i pi recenti temi d'esame, relativi agliargomentitrattatinelcorsoelalorodettagliatasoluzione.Glistudentisonopregati,qualoratrovasseroqualcheerrore(statisticamenteinevitabile),diavvisarmiall'[email protected]

EmilianoPuddu

Cinematica

Es.1Daunrubinettocadonodellegocced'acquaaintervalliregolari.Quandolaprimagocciatoccalasuperficie dellavandino,laterzagocciasistastaccandodalrubinetto.Seladistanzatrailrubinettoedillavandino d=30cm,determinarelaquota,rispettoallavandino,dellasecondagoccia,nell'istanteincuilaterzainiziaa cadere.SOLUZIONELa prima cosa che si nota in quest'esercizio che delle gocce cadono percorrendo un motounidimensionale.Sicuramentel'accelerazionedigravitgentraingioco.Lagocciad'acquasicuramenteuncorpopiccolorispettoall'ambientecircostante,percuipossiamotrattarlacomecorpopuntiforme.Il testochiedeinoltredicalcolareun'altezzaaduncertoistantetemporale,cosachefapensareadunproblemadicinematica.L'eserciziosirisolveinquestomodo:notiamochelegoccecadonotutteadintervalliregolari t.Questointervallo,inizialmentesconosciuto,sipucalcolarepermezzodellaleggeorariadiuncorpo,laqualemetteinrelazionelospaziopercorsoconiltempoimpiegato:

s t =s 0 v 0 t12

a t 2 (1)

Aquestopuntodobbiamodeciderechi sono legrandezze ingioconel problema.s(t) la posizionealgenericoistantet,s(0)ilpuntodipartenza,v(0)lavelocitchelagocciapossiedealpuntodipartenza,ala sua accelerazione. Facciamoora riferimentoalla Fig. 1. All'istante t=0 la primagoccia si staccadalrubinettoesitrovaadaltezzahrispettoalfondodellavandino.Nelmomentoincuilaterzagocciasistaccadal rubinetto (t=2t), la primagoccia tocca il fondodel lavandino, trovandosi ads(t=2t)=0. Lavelocit

inizialediognigoccianulla,mentrel'accelerazione a acui sottoposto l'accelerazionedigravit g.Assegnandovalorepositivoaivettoricolversojinfigura,l'equazionedimotosiriscrivecome:

0=h12

g t2

dacuiricaviamo t=2h /g .Questointervalloditempo,comegidetto,l'istanteacuilaprimagocciatoccaterra,maanchequelloacuilaterzagocciasistaccadalrubinetto.Ricordandochelegoccecadonoadintervalli regolari, ricaviamol'istanteacui lasecondagocciasi staccatadalrubinettocomelamet di

questointervalloditempo: t=12 2hg = h2g . Aquestopunto,riutilizzandol'eq.(1)per laseconda

gocciaotteniamo

s h2g =h12 g h2g 2

, ovvero la quota della secondagoccia nell'istante in cui la prima tocca il

lavandino.

s(t=0)=h

s(t=2t)=0

j

Es.1del13/7/2006All'istante t=0 un punto materiale si muove con velocit v(0)=60 m/s nella direzione delle x positive. Nell'intervalloditempocompresotragliistantit=0set=15slasuavelocitdiminuisceuniformementefino adannullarsi.Qual'lasuaaccelerazionemediaintaleintervalloditempo?Spiegareilsignificatodelsegno (+o)nellarisposta.SOLUZIONEDal testo comprendiamo immediatamente che all'istante t=0 il corpo puntiforme possiede una velocitassegnata v(0)=60 m/s, mentre nei successivi 15secondi essa diminuisce fino a raggiungere il valorev(15)=0 m/s; il modo in cui diminuisce uniforme, come specificato nel testo, che significa che

l'accelerazioneadelcorpocostanteinquestointervalloditempo(015s):trattiamoilproblemacomeunmotouniformementedecelerato,lacuivelocitseguelaleggefondamentaleperlacinematica:

v t f =v 0a t f.(2)

cherisoltaforniscel'unicaincognita,l'accelerazionea:

a=v t f v 0

t f

Aquestopuntosisostituisconoivalorifornitidaltestotf=15s,v(0)=60m/sev(15)=0m/sesiottienea=4m/s. Il segno a conclusione di questo esercizio ha il significato di una accelerazione negativa odecelerazione,ovveroun'accelerazionedisegnooppostoaquellodellavelocitinizialev(0).

Es.1del10/9/2004Unpuntomaterialesimuovedimotorettilineoconleggeoraria

s t =6 t5 t 2 .Dire inquali istanti di tempoilpuntopassadall'originedegliassiedeterminare lavelocit intali istanti. Determinarequindilacoordinatadelpuntodiinversionedelmoto.SOLUZIONELa legge oraria descritta, per il moto uniformemente accelerato, dall'equazione

s t =s 0 v 0 t12

a t 2 ,incuinotiamochesonopresentidiversepotenzedellavariabiletemporale

t.Lapotenzadigradonullorappresentalaposizioneiniziale,lapotenzadigrado1hapercoefficientelavelocitall'istantezero,mentrelapotenzadigrado2hapercoefficientel'accelerazionemoltiplicataperilfattorenumerico.Ilsuggerimentoquindi,difronteaduneserciziocomequesto,diriconoscerenelmotoinesamelevariabilicinematiche:s(0)=6mv(0)=5m/sa=0.5m/s2

Aquestopuntorispondiamoallaprimadomanda:determinaregliistantiincuiilcorpopassaperl'originedegliassisignificadeterminareivaloridellavariabiletempotaiqualilaposiziones(t)assumevalorezero:

65tt 2=0 .Questaequazionerisoltadalleradicidelpolinomiodisecondogrado.Quest'ultimoilprodottodiduemonomideltipo tt 1 tt2 ,dovet1et2devonosoddisfarelecondizioni:t1+t2=5t1t2=6,dacuisiottienet1=2et2=3.Notachequestiduenumerisono,dalpuntodivistadellageometriaanalitica,ivalori in cui la parabola s t =65tt 2 interseca l'asse delle ordinate (dei tempi t), come si puosservareinFig.2.Lavelocit,comenoto,sipuricavarederivandolaleggeorariarispettoallavariabiletemporale:

v t =ds t

dt=52t

nellaqualesostituiamoivalori deitempiappenatrovatiperdeterminare lecorrispondentivelocit,comerichiestodaltesto:v(2)=1m/sev(3)=+1m/s.Aquestopuntorispondiamoall'ultimadomanda,checichiedeinqualeistantetemporalelavelocit siannulla:difattiproprioinquestoistantecheil motodiventada

negativoopositivo,oviceversa.Quindiponendov(t)=0ricaviamot=2.5s.

Es.1del10/9/2004Unpuntomaterialesimuovenelpianoconleggedelmoto:r t =0.5t i0.25t 2 j (rinmetri,tinsecondi)

Determinare:a)latraiettoriab)lospostamento r fragliistantit=2et=2sc)lavelocitistantaneaall'istantet=2sSOLUZIONEIl fatto che il punto si muovenel piano ci suggerisce istantaneamente che si tratta di un moto a duedimensioni. Come tale possiamo scomporlo in due moti in una dimensione da trattare separatamenter t = x t i y t j dove x t =0.5t e y t =0.25 t 2 . La traiettoria la curva di tutte le

posizioninelpianodelpuntomaterialeinconsiderazione, indipendentementedall'istanteincuiessopassadaquesteposizioni.Questacurvamette quindiinrelazioneipuntidellacoordinataxconicorrispondentidellacoordinatay,ovverocifornisceunafunzionedeltipoy=f(x).Nelcasospecifico,essasiottieneisolandolavariabiletemporaledall'equazioneinx(t):

t=2x t ,equindisostituendotaleespressionepertnell'equazioneiny(t):y t =0.25 2x 2 dacuiotteniamofinalmente:

y t = x2 .Comepossiamonotare,questatraiettorialaparabolaaventeperassedisimmetrial'asseyeverticenell'originedegliassiO(0,0)(vedifigura).Perquantoriguardalospostamentorichiestoalpuntob),dobbiamospecificarecheessounvettoredefinitocomeladifferenzatraleposizionipreseadunistanteconsideratofinaleedunoinizialedelcorpopuntiforme.Calcoleremolospostamentodelcorpopuntiformecome: r=r t=2 sr t=2 s=0.5 2 i0.2522 j0.52 i0.25 2 2 j=2 i , r=2 m.Lavelocitistantaneaall'istantet=2sottenutadapprimaderivandolaposizione r t rispettoaltempoequindisostituendoallavariabiletilvalore2:

v t =dr t

dt=

d x t dt

id y t

dti=0.5 i0.5 t j dacui v t=2s=0.5 ij ,mentreilmodulo

dellavelocit,ottenutoapplicandoilTeoremadiPitagoraallecoordinate,:

v t=2s =0.5212=1.11 m/s.

DinamicaEs.1del15/4/2008Unasferadiraggiotrascurabileedimassam=0.1kgruotaconvelocitangolarecostante=10rad/ssu unacirconferenzadiraggioR=0.2m.Lasfera imperniataalpiano,comeinfigura,tramiteunamolla idealedicostanteelasticak=1000N/m.Determinarel'allungamentodellamolla xelalunghezzadella mollaariposo.

SOLUZIONEQuesto esercizio propone la seguente situazione: su di un piano orizzontale una sfera ruota mi motocircolareuniformeintornoalpuntoO,vincolatainquestomotodaunamolla.Lamollaquindiesercitaquellaforzadirichiamo(centripeta)chefaschelasferanonscappidallasuatraiettoriacircolare.Comesappiamo,laforzadiunamollalegataall'allungamentodellamollastessadall'espressione(leggediHook)FH=kx;sappiamoinoltre,chelaforzacentripetaesercitatasudiuncorpoFc=mR.Poichlastessamollaafornirequestaforza,possiamoricavarel'allungamentodellamollasemplicementeeguagliandol'espressioneperFCaquellaperFH:

k x=mR

dacuiricaviamo x=mR

k=0.0002m=0.2mm.

A questo punto, considerato che il raggio della traiettoria circolare la lunghezza della molla estesa,sottraendodaquestoilvalorex,otteniamolalunghezzadellamollaariposoL=0.1998m.

Es.2del4/9/2008Ilsistemadifigurasitrovaall'equilibrio,lamolla