Esercizi Sulle Molle Ad Elica Cilindrica

Esercitazione I – 2005/2006 Molla ad elica cilindrica Luca Corno

Costruzione di Macchine I (N.O.) Pag. 1 di 10

I Esercitazione: molla ad elica cilindrica

Una carrozza ferroviaria di massa M appoggia su 2 carrelli, mediante 2 molle ad elica cilindrica a sezione circolare per ogni carrello. Basandosi sulla teoria elementare per il calcolo di queste molle (vedi figura):

1) scegliere le dimensioni delle molle (in acciaio), tutte uguali fra loro, in modo da ottenere una rigidezza complessiva verso terra pari a Kt, nell’ipotesi che il carico sia uniformemente ripartito tra le 4 molle;

2) calcolare la freccia (rispetto alle molle scariche) corrispondente alla massa m, che deve essere

tale da non portare a pacco le molle; 3) scegliere il materiale fra i tre proposti (ed eventualmente rivedere il precedente

dimensionamento) in modo tale da garantire, quando le molle vanno a pacco, un ulteriore margine, rispetto a quanto previsto dalla norma, dato il particolare impiego delle molle, pari almeno a 1,25;

4) calcolare la massa aggiuntiva che porta a pacco le molle. DATI massa M = 18000 kg Kt = 440 N/mm MATERIALI 48Si7 Rm=1.300 MPa Rp0.2=1.110 MPa A= 6% 52SiCrNi5 Rm=1.400 MPa Rp0.2=1.220 MPa A= 5% 60SiCr8 Rm=1.450 MPa Rp0.2=1.250 MPa A= 5% E= 206.000 MPa per acciai legati e non (da UNI 8736) ν= 1/m = 0,3 Per acciai legati e non (da UNI 8736).



SIMBOLI d = diametro del filo della molla D = 2R = diametro di avvolgimento sul quale è avvolto l’asse del filo della molla p0 = passo della molla scarica α = angolo di avvolgimento v = spazio interspira a molla scarica P = forza sulla molla (sull’asse) i = numero di spire (e frazioni di spira) attive l = lunghezza del filo = 2π R i NORME ALLE QUALI RIFERIRSI UNI 3545-80 (materiali) UNI 7900 (calcolo molle a compressione) UNI 8525 (caratteristiche costruttive molle ad elica cilindrica a compressione)



MOLLA AD ELICA CILINDRICA Simboli utilizzati D [mm] diametro di avvolgimento sul quale è avvolto l’asse del filo della molla P [N] forza sulla molla (sull’asse) R [mm] raggio di avvolgimento della spira (= D/2) d [mm] diametro del filo della molla i [ ] numero di spire (e frazioni di spira) attive l [mm] lunghezza del filo = 2π R i p0 [mm] passo della molla scarica v [mm] spazio interspira a molla scarica α [°] angolo di avvolgimento dell’elica 1) DETERMINAZIONE DELLA RIGIDEZZA La rigidezza di una molla è la proprietà che lega la forza agente sulla molla all’elongazione che la molla subisce, chiamata freccia; essa è definita come la tangente alla curva caratteristica, che è il diagramma azione-cedimento della molla. In generale si definisce

dfdPK = , essendo P il carico ed f la freccia della molla;

in particolare, la molla può avere rigidezza costante, ossia

fPK = (1.)

su tutto il campo di azione dell’elemento. Le ipotesi iniziali del problema che ci è posto sono:

1. che la molla abbia passo dell’elica costante 2. che il carico sia puramente assiale 3. che il rapporto fra il diametro di avvolgimento e il diametro del filo sia molto maggiore di

10. In particolare questo fattore prende il nome di curvatura del filo: se esso è grande, il filo si comporta come una trave di De Saint-Venant, non risentendo di distorsione della distribuzione dei carichi.

Pensiamo di rompere un tratto di una spira: il carico assiale, P, provoca sulla spira un’azione tagliante e un momento. Possiamo proiettare le azioni in direzione normale e tangenziale alla spira, poiché conosciamo l’angolo di avvolgimento α: ne ricaviamo quattro componenti di azione interna



α

ααα

cos

sincossin

PRM

PRMPTPN

t

f

=

===

(2.)

Ricordiamo dall’Analisi Matematica che 0sinlim

0=

→α

α; poiché α è piccolo, vale 0sin ≈α , quindi:

PRPRM

PRMPPT

PN

t

f

≈=

≈=≈=≈=

α

ααα

cos0sin

cos0sin

(3.)

La molla è soggetta solo a torsione e taglio; dato che il contributo di quest’ultimo è trascurabile, consideriamo solo il momento torcente.1 Pensiamo di svolgere la molla, riconducendola a un filo ad asse rettilineo, lungo l: il momento torcente provoca lo scorrimento delle superfici di base e d’apice, di un angolo ϕ; l’intero filo ha una torsione indicata dall’angolo γ. Eguagliamo il lavoro delle forze esterne al lavoro della deformazione elastica (energia accumulata nella molla)

ϕtMPf21

21

= (4.)

L’angolo di scorrimento è legato all’angolo di torsione dalla relazione

γϕ ⋅=⋅ lr (5.)

dRi

rRi γπγπϕ 42

== (6.)

Ricordiamo che è

Gτγ = (7.)

possiamo dunque scrivere

GdRiPRPf τπ4

⋅= (8.)

lo sforzo tangenziale è dovuto al momento torcente, quindi per una sezione circolare sarà

33

1616dPR

dM t

ππτ ⋅

=⋅

= (9.)

raggruppando tutte le equazioni in una sola scrittura è

1 Il contributo del taglio è sempre trascurabile solo per il calcolo della rigidezza; non sempre lo è per la determinazione della sollecitazione nel filo.



4

32

3

641614d

RPG

idPR

GdRiPRPf =

⋅⋅=

ππ (10.)

4

364Gd

iPRf = (11.)

si ottiene allora

icdG

iRdG

fPK

⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅== 33

4

864 (12.)

Si nota in questo caso che la rigidezza di una molla ad elica dipende:

1. dalle caratteristiche del materiale, tramite il modulo di elasticità tangenziale G; 2. direttamente dalla quarta potenza del diametro del filo; 3. inversamente dal numero di spire i e dal cubo del raggio di avvolgimento dell’elica R

Notiamo che variazioni anche piccole delle dimensioni d e R possono influenzare grandemente la rigidezza K. 2) DIMENSIONAMENTO La molla che intendiamo dimensionare serve per la sospensione di una carrozza ferroviaria, con due carrelli ciascuno dei quali ha due molle. Il sistema equivale pertanto a quattro molle in parallelo; come è noto, le loro rigidezze si compongono sommandosi, cioè

∑=i

itot KK (13.)

nel nostro caso, le molle sono tutte uguali: la rigidezza di ciascuna è pari a ¼ della rigidezza totale K = 110 N/mm (14.) Da questo valore ricaviamo il numero di spire attive nella molla; innanzitutto imponiamo un valore di curvatura che, come si è spiegato, sia maggiore di 10: c = 11 (15.) e assumiamo un diametro di filo di primo tentativo, per esempio d = 58 mm (16.) da questo discende che il diametro di avvolgimento è D = 638mm (17.) Sostituiamo la (16.) e la (17.) nell’equazione (12.), ricavando il numero di spire:

92,364 3

4

==KR

Gdi (18.)



il numero di spire evidentemente deve essere intero: lo arrotondiamo all’intero più prossimo. La differenza che si ottiene andrà ad interferire con le grandezze della molla: consentiamo una certa tolleranza sul valore di rigidezza, che varrà pertanto K = 108 N/mm (19.) Come si vede, uno scostamento del 2% è tranquillamente tollerabile. Le altre dimensioni invece rimarranno invariate. Il proporzionamento della molla prosegue verificando due condizioni fondamentali:

1. che la freccia “a pacco” cioè quando tutte le spire siano a contatto, sia superiore alla condizione di deformazione prodotta dal carico nominale;

2. che in condizioni di “pacco”, in cui il momento torcente evidentemente è massimo, il filo resista, e che il carico che manda a pacco la molla sia maggiore di quello che le viene imposto in condizioni normali di esercizio.

Il passo dell’elica è la distanza fra l’asse del filo in posizioni omologhe in due spire successive: esso vale

απ tan2 Rp = = 211 mm (20.) e la distanza fra le spire, quando la molla è sotto carico, si riduce progressivamente. Lo spazio che si può impiegare per la deformazione però è minore del passo, e corrisponde solo allo spazio interspira: v = p-d = 211 – 58 = 153 mm (21.) quindi su tutta la molla avremo una freccia massima data da fmax = v i = 612 mm (22.) La freccia generata dal carico è

44145 408,75108

mgfK

= = = mm (23.)

Si nota che la freccia a pacco è maggiore della freccia nominale: il primo confronto è soddisfatto.



3) DETERMINAZIONE DEL CARICO MASSIMO Il carico che manda la molla a pacco si ricava dalla (1.) imponendovi la freccia a pacco:

pP fKP ⋅= = 66096 N (24.) 4) VERIFICA STATICA Verifichiamo che la molla, in condizioni prossime all’impaccamento, non ceda per rottura del filo: come abbiamo dimostrato, quando le condizioni sono tali da consentire l’uso del metodo elementare l’unica azione che sollecita la molla è il momento torcente. Dobbiamo confrontare la τ massima dovuta alla torsione con la resistenza a rottura per torsione stabilita dalle norme: la τ limite in questo caso è valutata in

2limmR

=τ (25.)

essendo chiaramente Rm la resistenza a rottura a trazione del materiale. Vista l’applicazione del dispositivo, inoltre, chiediamo un ulteriore margine di sicurezza, passando dalla sollecitazione “limite” a quella “ammissibile”

ητ

τ lim=amm (26.)

ove η è posto, come si è detto, pari a 1,25. Il momento torcente massimo è prodotto dal carico di pacco:

RPM Pt =max, =21084,6 Nm (27.) La sollecitazione prodotta vale

3max16

dM t

πτ = =550,4 MPa (28.)

Considerando i tre materiali proposti, le sollecitazioni ammissibili diventano (in MPa): Sigla Rm Rp0,2 A% τlim τamm 48Si7 1300 1100 6 650 52052SiCrNi5 1400 1220 5 700 56060SiCr8 1450 1250 5 725 580 Vediamo che il 48Si7 non permette di ottenere una molla con resistenza sufficiente. Dovremo perciò costruire la molla con uno dei materiali più resistenti.



5) MASSA AGGIUNTIVA AMMISSIBILE Il carico che manda a pacco la molla vale, come si è visto

PP = 66096 N (29.) per ciascuna molla. Il carico complessivo dovuto al peso della carrozza si suddivide equamente fra le quattro sospensioni, ciascuna delle quali sostiene P = 44145 N (30.) La differenza fra questi valori è il peso della massa che si può aggiungere per mandare la molla a pacco: P* = 21951 N (31.) Sull’intera carrozza si potrà aggiungere un peso di

4** PPtot = = 87804 N (32.) corrispondente a una massa m* = Ptot

* / g = 8950 kg. (33.)



6) METODO APPROSSIMATO La molla a elica cilindrica è detta “di torsione” perché, sotto certe condizioni, la sollecitazione prevalente al suo interno è di torsione. Queste condizioni sono riconducibili sostanzialmente al fatto che si possa trascurare la curvatura, e questo è possibile se il rapporto fra il diametro di avvolgimento (D) e quello del filo (d) è superiore a 10: allora, il filo della molla si comporta come una trave di De Saint-Venant. Il carico applicato in asse produce un momento torcente di valore

RFM t ⋅= (34.) da cui segue uno sforzo tangenziale teorico

3

162 m

m

p

t

dFRd

JM

πτ == . (35.)

Come abbiamo detto sopra, l’effetto del taglio può non essere trascurabile: considerandolo, pur senza prescindere dall’uso del metodo elementare, si ha

2316

mT d

Fπ

τ = (36.)

e quindi

max12maxmax 32116 τ

πτττ K

Dd

dFR

mT =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+=′ (37.)

con

cK 1

3211 += (38.)

Se la molla presenta una curvatura inferiore a 10, le fibre interne alla spira sono più corte di quelle esterne: ciò provoca lo spostamento del centro di torsione verso l’asse, e una conseguente sovrasollecitazione all’intradosso, perché la distribuzione degli sforzi tangenziali non è più lineare. La sola torsione provoca lo spostamento del centro di torsione di valore δ: se r è il raggio del filo, è

( )128

1224

2

+++

=cc

ccrm

δ (39.)

e lo sforzo dovuto alla sola torsione è

3max,16

1

1

m

mI d

FRc

rcπ

δ

τ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−= (40.)



Se si considera anche il taglio, la sollecitazione provocata dal momento torcente è accresciuta di un fattore K2:

max2max ττ K=′′ (41.) dove

( ) ccc

ccrcK m 1615,0

14141615,0

1

1

2 +−−

≈+

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

δ

(42.)

dove τmax è lo sforzo calcolato con il metodo elementare.

COSTRUZIONE DI MACCHINE 2005-2006 27-set-05

ESERCITAZIONE N°1 MOLLA AD ELICA CILINDRICA

DATI DEL PROBLEMA

M 18000 kg massa della carrozzag 9,81 m/s2 accelerazione di gravità a livello del mareP 176580 N peso della carrozzaKt 440 N/mm rigidezza complessiva verso terran 4 numero complessivo di molleK 110 N/mm rigidezza stimata di una molla

CARATTERISTICHE MECCANICHE DEGLI ACCIAI PER MOLLEDATI COMUNI:E 206000 MPa modulo elastico longitudinale (m. di Young)ν 0,3 coefficiente di contrazione trasversale (m. di Poisson)G 79230,77 MPa modulo elastico torsionaleDATI SPECIFICI:

Sigla Rm Rp0,2 A% τ lim τ amm48Si7 1300 1100 6 650 52052SiCrNi5 1400 1220 5 700 56060SiCr8 1450 1250 5 725 580

SCELTA DEI PARAMETRI DIMENSIONALI DELLA MOLLASi richiede di impostare un valore di primo tentativo per il rapporto fra il diametro di avvolgimentoe il diametro del filoc 11 (=D/d)d 58 mm diametro del filo della mollaD 638 mm diametro di avvolgimento della spiraR 319 mm raggio di avvolgimento della spiraINDIVIDUAZIONE DEL NUMERO DI SPIRE

legame fra numero di spire e rigidezza della molla

i 3,923387 valore calcolato con la formula correttai 4 arrotondamento all'intero prossimoK 108 N/mm rigidezza reale della singola molla, ammetto tolleranza sul valore∆ 2% scostamento fra il valore teorico e quello reale

GEOMETRIA DELLA MOLLA

α 6 ° angolo di avvolgimento della mollaα 0,10472 rad angolo di avvolgimento della mollap 211 mm passo dell'elicav 153 mm spazio interspirafp 612 mm freccia a pacco

f 408,75 mm freccia reale sotto carico

PRIMA VERIFICA: FRECCIA IN ESERCIZIOesito del confronto fra la freccia reale e quella massima: OK

KRGdi

iRGdK 3

4

3

4

6464=⇒=

SECONDA VERIFICA: RESISTENZA A ROTTURA A PACCO

τ lim 0,5 Rm carico di rottura a torsioneη 1,25 coefficiente di sicurezza extra norma

Pp 66096 N forza che manda a pacco la mollamp 6737,615 kg massa corrispondente alla forza Pp

PR 21084624 Nmm momento torcente nel filo in corrispondenza del carico Pp21084,62 Nm momento torcente nel filo in corrispondenza del carico Pp

relazione fra momento torcente e sforzo in una sezione circolare

τ 550,37 MPa sforzo di scorrimento nella sezione del filo

Sigla τ lim τ amm48Si7 650 52052SiCrNi5 700 56060SiCr8 725 580

TERZA VERIFICA: MASSA AGGIUNTIVA CHE MANDA A PACCO LA MOLLA

P 176580 N forza dovuta alla massa propriaP 1 mol 44145 N forza che agisce sulla singola molla

Pp 1 mol 66096 N forza totale che manda a pacco una mollaPp 264384 N forza complessiva che si scarica sulle quattro molle

Pm 1 mol 21951 N forza dovuta alla massa aggiunta su una mollaPm 87804 N forza dovuta alla massa aggiunta sulla carrozzam* 8950,46 kg massa aggiuntiva che manda a pacco le molle

esitoNON RESISTE

RESISTERESISTE

3

16d

M t

πτ =

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