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Esercizi sulle equazioni di secondo grado

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E. Modica

A.S. 2010/2011

Richiami teorici

1 Equazioni di secondo grado

Definizione 1. Dicesi equazione di secondo grado, un’equazione del tipo:

ax2 + bx + c = 0

con a, b, c ∈ R e a 6= 0. I valori a, b, c prendono il nome di coefficienti e, in particolare, cviene detto termine noto.

Un’equazione di secondo grado si definisce:

• incompleta pura quando il secondo coefficiente e nullo e quindi si ha ax2 + c = 0;

• incompleta spuria quando il terzo coefficiente e nullo e quindi si ha ax2 + bx = 0;

• completa quando i tre coefficienti sono tutti diversi da zero e quindi si ha ax2+bx+c = 0.

1.1 Risoluzione delle equazioni di secondo grado

1.1.1 Equazione incompleta pura (b = 0)

L’equazione si presenta nella forma:ax2 + c = 0

e si risolve portando a secondo membro il termine noto e dividendo per il coefficiente del terminedi grado massimo:

ax2 = −c⇒ x2 = − c

a⇒ x = ±

√− c

a

1

Esercizio 1. Risolvere l’equazione 4x2 − 9 = 0.

Le soluzioni si ottengono come segue:

x2 =9

4⇒ x = ±3

2

Esercizio 2. Risolvere l’equazione 4x2 + 9 = 0.

L’equazione non ammette soluzioni in quanto il quadrato di un numero reale e sempre nonnegativo e, di conseguenza, la scrittura x2 = −9

4non e verificata per nessun valore dell’incognita

x.

Osservazione 1.

Un’equazione incompleta pura ammette soluzioni se, e solo se, i coefficienti a e c sono discordi.

1.1.2 Equazione incompleta spuria (c = 0)

L’equazione si presenta nella forma:ax2 + bx = 0

e si risolve mettendo in evidenza la x e utilizzando la legge di annullamento del prodotto. Diconseguenza una soluzione sara sempre quella nulla.

ax2 + bx = 0⇒ x(ax + b) = 0⇒ x = 0 ∨ ax + b = 0⇒ x = 0 ∨ x = − b

a

Esercizio 3. Risolvere l’equazione 2x2 − 4x = 0.

Si ha:2x(x− 2) = 0⇒ 2x = 0 ∨ x− 2 = 0⇒ x = 0 ∨ x = 2

1.1.3 Equazione completa

L’equazione si presenta nella forma:

ax2 + bx + c = 0

Si determina il delta dell’equazione:∆ = b2 − 4ac

che prende il nome di discriminante dell’equazione. Le soluzioni si determinano mediante laformula:

x1,2 =−b∓

√∆

2a

Si possono, quindi, presentare tre casi:

I caso : ∆ = b2 − 4ac > 0In questo caso il radicale

√∆ e un numero reale e l’equazione ammette le due soluzioni

reali e distinte :

x1 =−b−

√∆

2ax2 =

−b +√

∆

2a

2

Esercizio 4. Risolvere l’equazione 3x2 − 5x + 2 = 0.

∆ = 25− 24 = 1

x1,2 =5∓ 1

6⇒ x1 = 1, x2 =

2

3

II caso : ∆ = b2 − 4ac = 0In questo caso l’equazione ammette due radici reali e coincidenti date dall’espres-sione:

x1 = x2 = − b

2a

Esercizio 5. Risolvere l’equazione 4x2 − 12x + 9 = 0.

∆ = 144− 144 = 0

x1 = x2 = −12

8=

3

2

III caso : ∆ = b2 − 4ac < 0In questo caso l’equazione non ammette soluzioni reali, ma soluzioni complesseconiugate .

Esercizio 6. Risolvere l’equazione x2 − x + 3 = 0.

∆ = 1− 12 = −11 < 0

L’equazione non ammette soluzioni reali.

Esercizi sulle equazioni incomplete pure

Esercizio 7. Risolvere le seguenti equazioni di secondo grado incomplete pure.

a) 4x2 − 25 = 0

b) x2 − 11 = 0

c) 64x2 − 16 = 0

d) −x2 + 9 = 0

e) 100x2 − 4 = 0

f) 2x2 + 7 = 0

g) 4x2 − 9 = 0

e) 3x2 + 12 = 0

3

Esercizi sulle equazioni incomplete spurie

Esercizio 8. Risolvere le seguenti equazioni di secondo grado incomplete spurie.

a) x2 − 2x = 0

b) 20x2 − 10x = 0

c) 3x2 = 12x

d) 5x2 − 4x = 0

e) 7x2 − 14x = 0

f) 3x2 + 8x = 0

g) 5x2 = −25x

e) 4x2 = −10x

Esercizi sulle equazioni complete

Esercizio 9. Risolvere le seguenti equazioni di secondo grado complete.

a) x2 + 3x + 2 = 0

b) x2 + 12x− 45 = 0

c) 3x2 + x− 2 = 0

d) 5x2 + 7x− 6 = 0

e) 6x2 + 5x + 1 = 0

f) 14x2 − 9x + 1 = 0

g) x2 − 7x + 12 = 0

h) x2 + x− 2 = 0

i) x2 + 3x− 70 = 0

j) 5x2 − 16x + 3 = 0

k) 4x2 − 7x− 2 = 0

l) 2x2 + 11x = 6

m) x2 + 8x− 48 = 0

n) 2x2 + 9x + 10 = 0

o) 7x2 + 12x + 5 = 0

p) 2x2 + 3x + 1 = 0

q) 2x2 = 9x− 10

r) 2x2 − 8x = −6

4