Zeno Martini (admin)

ESERCIZI SUI SISTEMI TRIFASE DISSIMMETRICI. (1)

20 February 2011

Presentazione

Ho pensato di pubblicare alcuni articoli con esercizi svolti sui sistemi trifase dissimmetrici.

In rete sembrano prevalere nettamente quelli da svolgere, anche se le richieste di "aiuto" che

arrivano nel nostro forum, permettono a RenzoDF di ridurre lo squilibrio, come in questo caso ad

esempio.

Come faccio di solito, ho preso in mano un'antica dispensa: Esercizi di Elettrotecnica di

Gaetano Malesani edizioni CLEUP. Ormai è completamente sfasciata, ed una rilegatura

virtuale potrebbe anche darle nuova vitalità.

Ogni esercizio sarà sviluppato in più modi: lo scopo è, infatti, non risolvere l'esercizio specifico, ma

imparare a risolvere gli esercizi, sapendo scegliere gli strumenti di analisi e calcolo disponibili.

Inevitabile la consultazione della mia personale "Bibbia Elettrotecnica" che ho citato più volte:

Elettrotecnica Generale di Giovanni Someda.

L'esercizio

che propongo in questo primo articolo è la classica stella non simmetrica, una stella di tre

impedenze non tutte uguali.

I valori delle impedenze sono . La stella è alimentata da una

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terna simmetrica di tensioni concatenate con . Si determinino le correnti di linea e le

indicazioni dei wattmetri

La prima soluzione proposta, è quella classica

con Millman

Il famoso corollario del metodo dei potenziali di nodo, calcola la tensione tra i nodi O' ed O con

una formula:

.

Quindi le correnti di linea si ricavano con

Posto

tensione della fase 1 sull'asse immaginario del piano di Gauss

operatore che fa ruotare un vettore di in senso antiorario

si ha

Ecco il

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Il grafico vettoriale

Le indicazioni dei wattmetri si calcolano con

oppure con

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come nel paragrafo che segue

Per i calcoli

si può usare

SpeQ

consigliato vivamente da RenzoDF.

Svolgimento dell'esercizio con SPeQ

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Ricordo anche che, su questo metodo, RenzoDF ha già scritto un articolo dove propone un

utilissimo script Scilab, facilmente modificabile per controllare quanto fin qui svolto, compreso il

tracciamento del grafico vettoriale.

Oppure si può usare l'applicazione EXCEL,

Circe2010

realizzata proprio dallo stesso Renzo, con la quale è possibile risolvere qualsiasi rete lineare a

regime, in continua od in alternata.

L'applicazione di Renzo Del Fabbro dimostra quali siano i fondamenti dell'analisi delle reti: i

principi di Kirchhoff, la cui importanza ha determinato perfino la scelta del suo avatar ;-)

Ma oltre le "semplici" ed eleganti soluzioni precedenti, c'è anche un

modo più complicato

per risolvere il problema.

"E allora perché usarlo?" ( diranno subito i classici miei venticinque lettori). Non è in effetti

il metodo da usare se lo scopo è risolvere il problema specifico, ma familiarizzarsi con esso è

consigliabile per l'importanza che riveste nello studio dei guasti nelle reti trifase (cortocircuiti netti

e non, ed interruzioni).

E' il metodo che si basa sulla scomposizione delle terne di vettori nelle tre terne: diretta (d),

inversa (i) ed omopolare (0).

Le equazioni per la stella dell'esercizio sono

Scomponiamo le tre tensioni e le tre correnti nelle componenti simmetriche e sostituiamone le

espressioni nelle equazioni della stella. Dopo qualche elaborazione, ponendo

Calcoli con Circe2010: nodo 1=O; 2=O'

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otteniamo

La stella dissimmetrica delle tensioni è una delle infinite stelle che si appoggiano ai vertici del

triangolo delle tensioni concatenate, e che differiscono solo per la terna omopolare. La stella il cui

centro coincide con il baricentro del triangolo, ha componente omopolare nulla. La componente

omopolare di tutte le altre stelle, coincide con l'unione del loro centro stella con il baricentro del

triangolo.

La scomposizione si può eseguire anche per le tensioni concatenate. Poiché la loro somma è sempre

nulla, anche se sono dissimmetriche, dopo alcuni passaggi matematici, tra le componenti dirette

ed inverse delle tensioni concatenate e stellate, si ricavano le relazioni seguenti

La componente omopolare è indefinita per quanto mostrato con il precedente grafico.

Una terna simmetrica fornisce la sola terna diretta. Quindi, nel nostro caso, essendo simmetrica la

terna delle tensioni concatenate, avremo

Posto

si ha

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quindi

Essendo il collegamento delle impedenze a stella, non può circolare la corrente omopolare, per cui

Sostituendo

Le incognite del sistema sono la tensione omopolare , la componente della terna di correnti

diretta, , e quella della terna inversa

Risolvendo il sistema si ottiene

Quindi si ricavano le correnti

Nota: ho risolto il sistema ricorrendo allo

script Scilab

del riquadro che basta copiare ed incollare nella finestra del famoso programma di calcolo freeware

j=%i; // unità immaginariaa=%e^(j*2*%pi/3); // rotazione antioraria di +120°A=[7.67+j*0.833, -1+j*0.833, -1; 3.33-j*1.66, 7.67+j*0.833,...0;-1+j*0.833, 3.33-j*1.66, 0]; // matrice dei coefficientib=-[0;j*231;0]; //termini notiI=linsolve(A,b); // risoluzione sistema lineareE0=I(3)// componente omopolare delle tensioniId=I(1)// componente sequenza diretta correntiIi=I(2) // componente di sequenza inversaI1=Id+Ii // corrente di linea 1

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I2=a^2*Id+a*Ii //corrente di linea 2I3=a*Id+a^2*Ii //corrente di linea 3

Calcoliamo ora le correnti di linea con una

trasformazione stella-triangolo

Eseguendo la trasformazione della stella in un triangolo equivalente, si possono immediatamente

ricavare le correnti nei lati del triangolo; quindi, applicando la LKI ai vertici, possiamo ricavare le

correnti di linea

Le formule di trasformazione possiamo trovarle qui. Sono per le resistenze, ma valgono anche per

le impedenze:basta usare i numeri complessi. Applicandole otteniamo

Con una bella sorpresa: una resistenza negativa! Formalmente non c'è problema, ma nella pratica

il ramo che la contiene è irrealizzabile. (Sulle resistenze negative, consiglio leggere il bel articolo

di IsidoroKZ)

Per i calcoli, il solito script che basta copiare ed incollare nella finestra Scilab

j=%i;//unità immaginariaa=%e^(2*%pi*%i/3);//rotazione di 120* antiorariaZ1=10;//stellaZ2=j*5;Z3=-j*10;U23=400; //tensioni concatenateU31=a^2*U23;U12=a*U23;Z12=Z1+Z2+Z1*Z2/Z3//triangoloZ23=Z2+Z3+Z2*Z3/Z1Z31=Z3+Z1+Z1*Z3/Z2

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IZ1=U12/Z12//correnti di fase del triangoloIZ2=U23/Z23IZ3=U31/Z31Il1=IZ1-IZ3//correnti di lineaIL2=IZ2-IZ1IL3=IZ3-IZ2

Concludiamo con un'appendice teorica

Reti trifasi simmetriche

Una rete trifase con neutro accessibile, può essere schematizzata come il triplo bipolo di figura. La

tensione applicata tra il terminale i ed il comuneO, inietta nella rete la corrente

Le relazioni che legano correnti e tensioni sono

Le sono le auto (i = j) e mutue ( ) ammettenze del triplo bipolo.

Si determinano alimentando un terminale e cortocircuitando gli altri due

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La rete è simmetrica se sono uguali tra loro autoammettenze e mutue ammettenze, quindi se

In una rete simmetrica le componenti simmetriche delle tensioni danno luogo solo a correnti della

stessa sequenza.

Tenendo infatti presenti le relazioni di simmetria, scomponendo le correnti e le tensioni nelle loro

componenti simmetriche nel sistema [r.1] si ottiene

con

Questo permette di definire, per ogni rete simmetrica

Che sono misurabili applicando separatamente alla rete una terna di sequenza zero, una terna di

sequenza diretta, un terna di sequenza inversa.

Le impedenze alla sequenza inversa e diretta sono uguali se . In particolare questo si

verifica per per tutte le reti che non contengono parti in movimento

. Se per ogni si ha la rete è detta reciproca e, per quanto detto, lo può essere solo

se non esistono parti in movimento.

E' immediato constatare che una stella con tre impedenze identiche costituisce una rete

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simmetrica. L'autoammettenza comune è l'ammettenza di un ramo. Le mutue ammettenze sono

nulle se non vi è accoppiamento.

Quando il terminale comune O non esiste od è inaccessibile, l'impedenza alla sequenza zero è

infinita ( )

Se non esistono accoppiamenti cioè se per , le impedenza alle sequenze sono tutte

uguali all'inverso dell'unica autoammettenza

La rete in tal caso è riconducibile ad una stella di tre impedenze uguali. Vale ovviamente il

viceversa: tre impedenze uguali a stella costituiscono una rete simmetrica e le tre impedenze di

sequenza sono uguali all'impedenza di un ramo.

Nello studio degli impianti elettrici le normali linee trifase, nonché trasformatori ed alternatori,

sono considerati elementi simmetrici, come pure i carichi come i motori asincroni. Si assume

anche in genere che le tre fasi siano in condizioni di simmetria rispetto al terreno e rispetto al

neutro, sia che ci siano effettivi collegamenti a centri stella di componenti della rete, sia che il

collegamento sia dovuto alle capacità parassite d'esercizio.

Bibliografia

Esercizi di Elettrotecnica - Gaetano Malesani CLEUP

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