Esercizi di trigonometria

1. Sia AC una corda di un semicerchio di centro O e diametro AB=2r. Sia D il punto medio dell’arco minore AC e H il punto medio della corda AC. Stabilire la variazione della differenza tra l’area del quadrato costruito su HB e l’area del triangolo ABD in funzione della posizione del punto C. Studiare la funzione ottenuta stabiliendone il suo periodo fondamentale, studiarne il segno e valutarla agli estremi.

2. Su una semicirconferenza di diametro AB=2r si tracci una corda AA’ e il raggio OO’

parallelo a AA’. Si consideri la funzione y(x)=AA’- OO’ e se ne studi dominio e segno nel periodo fondamentale.

3. Data la semicirconferenza di diametro AB=2r si mandi dal punto A la tangente e su

di essa si prendano i segmenti AE=r e AF=2r, dalla stessa parte rispetto alla semicirconferenza. Si determini su questa un punto Q e si consideri la funzione y(x)= QE2-QF2. Disegnarla. SI studi anche la funzione h(x)=PE2/PF2

4. Sopra una semicirconferenza di diametro AB=2r si determini un punto C tale che,

indicata con D la sua proiezione sulla tangente in B alla semicirconferenza si studi la funzione y=AC+CDr

5. Sia ABC un triangolo inscritto in una semicirconferenza di diametro BC. Sia D un

punto di BC. La perpendicolare in D al diametro interseca la semicirconferenza in P e le rette AB e AC in M e N. Dimostrare che DP è medio proporzionale tra DM e DN.

6. Internamente al quadrato ABCD di lato a tracciare la semicirconferenza di diametro

AB. Esprimere al variare di P sull’arco AB la funzione 3AP2-DP2. Rappresentare in

!

"#,#[ ] la funzione ottenuta, y=f(x), e metterne in evidenza il tratto di grafico relativo al problema. Determina il punto di massimo della funzione nell’intervallo di variabilità relativo al problema. Studiare il segno della funzione f(x).

7. Considerato il triangolo ABC avente i lati CA a= e CB a= 2 , si costruisca, da parte

opposta a C rispetto alla retta AB, il triangolo rettangolo ABD il cui cateto BD sia uguale alla metà del cateto AB. Si studi come varia l'area del quadrangolo ADBC al

variare dell'angolo ACB^

e si calcoli il perimetro di detto quadrangolo quando la sua area è massima. (Maturità 1988, sessione ordinaria)